Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

7Sucesiones y series

La teoría de las series numéricas (volumen del primer año) madura aquí en tres direcciones: las series con valores en espacios de Banach, donde el trabajo lo hace la convergencia absoluta; los criterios más finos para series reales (sumación de Abel); y las familias sumables —la suma liberada del orden de los términos—, con el teorema de Fubini para sumas dobles y el producto de Cauchy. Estas herramientas sostienen todos los capítulos de series de funciones que vienen a continuación.

7.1 Series en espacios normados

Definición 7.1

Para una sucesión $(u_n)$ de un espacio normado $E$ , la serie $\sum u_n$ converge cuando lo hacen sus sumas parciales; converge absolutamente cuando $\sum \norm{u_n} < \infty$ . En un espacio de Banach, la convergencia absoluta implica la convergencia (Teorema 5.21); en un espacio no completo esto puede fallar (Ejercicio 7.9).

Ejemplo 7.2

En $\mathcal{M}_n(K)$ (o en $\mathcal{L}_c(E)$ con $E$ de Banach): para $\vertiii A < 1$ , la serie de Neumann $\sum A^k$ converge absolutamente a $(I - A)^{-1}$ (demostrado en el Ejercicio 5.5); y $\sum \frac{A^k}{k!}$ converge absolutamente a $\eu^A$ para toda $A$ (Ejemplo 5.22). Las series geométrica y exponencial con valores en operadores se comportan como sus modelos escalares: ese es todo el sentido del marco de Banach.

7.2 Sumación de Abel

Teorema 7.3 (Sumación de Abel y criterio de Abel)

(Sumación por partes) Para escalares $a_n$ y vectores $b_n$ , con $B_n = \sum_{k=0}^{n} b_k$ :

\sum_{n=0}^{N} a_n b_n = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} (a_{n+1} - a_n) B_n .

(Criterio de Abel) Si $(a_n)$ es una sucesión real decreciente hacia $0$ y las sumas parciales $B_n$ están acotadas (en un espacio de Banach), entonces $\sum a_n b_n$ converge.

Demostración. La identidad, paso a paso: con $B_{-1} = 0$ , escribamos $b_n = B_n - B_{n-1}$ y separemos,

\sum_{n=0}^{N} a_nb_n = \sum_{n=0}^{N} a_nB_n - \sum_{n=0}^{N} a_nB_{n-1} = \sum_{n=0}^{N} a_nB_n - \sum_{n=0}^{N-1} a_{n+1}B_{n} ,

reindexando la segunda suma mediante $n \mapsto n + 1$ (el término en $B_{-1}$ se anula); agrupando el rango común $0 \leq n \leq N-1$ queda $a_NB_N$ más $\sum_{n\leq N-1}(a_n - a_{n+1})B_n$ : la fórmula del enunciado. Es la integración por partes discreta, con $(B_n)$ como primitiva de $(b_n)$ y la diferencia $a_{n+1} - a_n$ como derivada de $(a_n)$ . Para el criterio, con $\norm{B_n} \leq M$ : el término de frontera $a_N B_N \to 0$ ; y la serie $\sum (a_n - a_{n+1})B_n$ converge absolutamente, pues

\sum_n \norm{(a_{n+1} - a_n)B_n} \leq M \sum_n (a_n - a_{n+1}) = M a_0 < \infty

(suma telescópica, con $a_n \downarrow 0$ ). Ambas piezas de la identidad convergen, luego también lo hace $\sum a_n b_n$ . ∎

Ejemplo 7.4

$\sum \frac{\sin n}{n}$ converge: $a_n = \frac1n \downarrow 0$ y $B_n = \sum_{k=1}^{n} \sin k$ está acotada; en efecto, $B_n = \Im\sum_{k \leq n} \eu^{\iu k} = \Im\,\frac{\eu^{\iu}(\eu^{\iu n} - 1)}{\eu^{\iu} - 1}$ , de módulo $\leq \frac{2}{\abs{\eu^{\iu} - 1}}$ . No converge absolutamente ( $\abs{\sin n} \geq \sin^2 n = \frac{1 - \cos 2n}{2}$ , y $\sum \frac{1 - \cos 2n}{2n}$ diverge, puesto que $\sum \frac{\cos 2n}{n}$ converge por el mismo criterio de Abel mientras que $\sum \frac{1}{2n}$ diverge). El criterio de las series alternadas es el caso particular $b_n = (-1)^n$ .

Ejemplo 7.5 (Abel sobre la circunferencia de convergencia)

¿Para qué complejos $z$ con $\abs z = 1$ converge $\sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n}$ ? En $z = 1$ es la serie armónica: divergente. Para $z \neq 1$ sobre la circunferencia se aplica el criterio de Abel con $a_n = \frac1n \downarrow 0$ y $b_n = z^n$ , cuyas sumas parciales están acotadas independientemente de $N$ :

\Bigl|\sum_{n=1}^{N} z^n\Bigr| = \Bigl|\frac{z(z^N - 1)}{z - 1}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{z - 1}} .

Convergente, aunque nunca absolutamente (por $\sum\frac1n$ ). Una sola serie, toda una circunferencia de comportamientos: divergencia en un único punto y semiconvergencia en todos los demás. Este es el comportamiento habitual de las series de potencias en la frontera (Capítulo 11), encontrado aquí a mano; en $z = -1$ recupera la serie armónica alternada, y en $z = \eu^{\iu\theta}$ sus partes real e imaginaria son las series $\sum\frac{\cos n\theta}{n}$ y $\sum\frac{\sin n\theta}{n}$ del Ejercicio 7.4.

Ejemplo 7.6 (Una serie alternada con trampa)

¿Converge $\sum_{n\geq2} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt n + (-1)^n}$ ? Los signos alternan y los términos tienden a $0$ y, sin embargo, el criterio de las alternadas no se aplica: los módulos $\frac{1}{\sqrt n + (-1)^n}$ no son decrecientes (dan un salto hacia arriba en cada $n$ impar). Desarrollemos en su lugar:

\frac{(-1)^n}{\sqrt n + (-1)^n} = \frac{(-1)^n}{\sqrt n}\cdot \frac{1}{1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt n}} = \frac{(-1)^n}{\sqrt n} - \frac{1}{n} + O\Bigl(\frac{1}{n^{3/2}}\Bigr).

La primera pieza converge (criterio de las alternadas, aplicado honestamente a $\frac1{\sqrt n}\downarrow0$ ), la tercera converge absolutamente, pero la pieza central es la serie armónica divergente: la suma diverge a $-\infty$ . La moraleja: cuando falla la monotonía, hay que desarrollar hasta que cada pieza sea o bien absolutamente convergente o bien un caso limpio de aplicación de un criterio; el $-\frac1n$ escondido es invisible para un recuento de signos.

Observación 7.7 (Errores frecuentes)

(i) “Los términos tienden a $0$ ” no demuestra nada: la serie armónica diverge. (ii) El criterio de las alternadas exige módulos decrecientes; el Ejemplo 7.6 es el contraejemplo canónico, y la tercera serie del Ejercicio 7.1 el ejercicio de rigor. (iii) Las series condicionalmente convergentes no pueden reordenarse (Ejemplo 7.12), y sus productos de Cauchy pueden diverger: para el cuadrado de $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ , los términos diagonales cumplen

\abs{c_k} = \sum_{m=0}^{k} \frac{1}{\sqrt{(m+1)(k-m+1)}} \geq (k+1)\cdot\frac{2}{k+2} \longrightarrow 2 \neq 0

(cada factor es a lo sumo $\frac{k+2}2$ por la desigualdad entre medias), de modo que $\sum c_k$ diverge: la convergencia absoluta de al menos uno de los factores (Ejercicio 7.8) no es un lujo. (iv) La sumabilidad se refiere por definición a cotas absolutas: no existe tal cosa como una familia sumable condicionalmente.

7.3 Familias sumables

Definición 7.8

Sea $I$ un conjunto de índices numerable. Una familia $(u_i)_{i \in I}$ de reales no negativos es sumable cuando las sumas parciales finitas están acotadas; su suma es

\sum_{i \in I} u_i = \sup_{F \subseteq I \text{ finito}} \sum_{i \in F} u_i \in \intcc{0}{+\infty} .

Una familia de reales o de complejos (o de vectores de un Banach) es sumable cuando lo es $(\norm{u_i})$ ; su suma se define entonces separando las partes positiva y negativa (o real e imaginaria) o, equivalentemente, como el valor común de $\sum_{n} u_{\sigma(n)}$ sobre todas las enumeraciones $\sigma$ de $I$ (véase más abajo).

Método 7.9 (Cómo elegir un criterio)

Ante $\sum u_n$ , por este orden: (1) si $u_n \not\to 0$ , hay divergencia; se acabó. (2) Si los términos tienen signo constante, compárese: hállese un equivalente (Capítulo 6) y sitúese en el mapa de Riemann–Bertrand. (3) Si los signos alternan con módulos decrecientes, el criterio de las alternadas; si los módulos no son monótonos, desarróllese el término hasta que cada pieza sea absolutamente convergente o un caso limpio (Ejemplo 7.6). (4) Si el patrón de signos es oscilatorio pero estructurado ( $\sin n\theta$ , $\eu^{\iu n\theta}$ , potencias de matrices), el criterio de Abel con sumas parciales acotadas. (5) La convergencia absoluta siempre merece comprobarse primero: es más fuerte, es inmune al orden y desbloquea los productos de Cauchy y el teorema de Fubini.

Ejemplo 7.10 (Sumabilidad por recuento diagonal)

¿Para qué $s > 0$ es sumable la familia $\bigl((m + n)^{-s}\bigr)_{m, n \geq 1}$ ? Agrupemos las sumas parciales finitas por diagonales $m + n = k$ : la diagonal $k$ contiene $k - 1$ pares, cada uno aportando $k^{-s}$ , de modo que las sumas finitas están acotadas exactamente por (y agotan)

\sum_{k \geq 2} \frac{k - 1}{k^{s}} ,

serie de términos positivos equivalente a $k^{1-s}$ : sumable si y solo si $s - 1 > 1$ , es decir, $s > 2$ . El índice bidimensional se come una potencia entera: un plano de términos es “una dimensión más divergente” que una recta; quien decide la sumabilidad es la geometría de recuento del conjunto de índices, no el tamaño de cada término. (El mismo censo muestra que $\bigl((m^2 + n^2)^{-1}\bigr)$ no es sumable: sobre la diagonal $m + n = k$ cada término es al menos $k^{-2}$ , y $(k-1)\cdot k^{-2}$ suma como la serie armónica.)

Teorema 7.11 (Sumabilidad y orden)

Para familias no negativas, la suma es invariante por cualquier enumeración: $\sum_{i} u_i = \sum_{n=0}^{\infty} u_{\sigma(n)}$ para toda biyección $\sigma \colon \N \to I$ .
Una serie real o compleja $\sum u_n$ es conmutativamente convergente (toda reordenación converge, con la misma suma) si y solo si converge absolutamente.

Demostración. (1) Toda suma parcial $\sum_{n \leq N} u_{\sigma(n)}$ es una suma parcial finita de la familia (luego $\leq$ el supremo); y todo $F$ finito está contenido en algún $\{\sigma(0), \dots, \sigma(N)\}$ (luego el supremo es $\leq$ el límite de la serie). Las dos cotas coinciden.

(2) Si $\sum\abs{u_n} < \infty$ : para toda reordenación $\sigma$ y todo $\varepsilon > 0$ , elíjase $N$ con $\sum_{n > N}\abs{u_n} \leq \varepsilon$ ; a partir del índice en que $\sigma$ ha agotado $\intint{0}{N}$ , las sumas parciales reordenadas distan del límite original a lo sumo $\varepsilon$ : misma suma. Si $\sum \abs{u_n} = \infty$ pero $\sum u_n$ converge (caso real; el complejo se sigue coordenada a coordenada): las partes positiva y negativa divergen ambas, y se puede reordenar para alcanzar cualquier límite prefijado —teorema de Riemann, realizado en el Ejercicio 7.5—, de modo que falla la convergencia conmutativa. ∎

Ejemplo 7.12 (Una reordenación pillada in fraganti)

La serie armónica alternada suma $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ (volumen del primer año). Reordenémosla como “un positivo, dos negativos”:

1 - \frac12 - \frac14 + \frac13 - \frac16 - \frac18 + \frac15 - \cdots

Agrupando cada bloque de tres,

\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{4k-2} - \frac1{4k} = \frac{1}{4k-2} - \frac{1}{4k} = \frac12\Bigl(\frac{1}{2k-1} - \frac1{2k}\Bigr),

de modo que la serie reordenada converge a $\frac12\ln 2$ : la mitad de la suma original, con exactamente los mismos términos. Las series convergentes no absolutamente recuerdan el orden de sus términos; las familias sumables son precisamente las que no.

Ejemplo 7.13 (Agrupar es seguro; desagrupar, no)

Agrupar términos consecutivos de una serie convergente no altera nunca la suma: las sumas parciales agrupadas forman una subsucesión de las originales. La operación inversa está prohibida:

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0 + 0 + \cdots = 0,

y sin embargo la versión desagrupada $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ diverge (sus sumas parciales oscilan entre $1$ y $0$ ). Desagrupar solo es legítimo con una hipótesis compensatoria; por ejemplo, que los términos tiendan a $0$ con longitudes de grupo acotadas: entonces, entre dos sumas parciales agrupadas, las originales se desvían a lo sumo en una suma de un número acotado de términos $o(1)$ , y la convergencia se transfiere de vuelta. Esa es exactamente la cláusula bajo la cual el cálculo por bloques del Ejemplo 7.12 es una demostración y no un juego de manos.

Teorema 7.14 (Fubini para familias; productos de Cauchy)

Sea $(u_{m,n})_{(m,n) \in \N^2}$ una familia doble sumable (es decir, con $\sup_F \sum_F \abs{u_{m,n}} < \infty$ ). Entonces

\sum_{(m,n)} u_{m,n} = \sum_{m=0}^{\infty}\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty} u_{m,n}\Bigr) = \sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\sum_{m=0}^{\infty} u_{m,n}\Bigr) = \sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\sum_{m+n=k} u_{m,n}\Bigr),

convergiendo todas las series interiores (absolutamente). En particular, si $\sum a_m$ y $\sum b_n$ convergen absolutamente, su producto de Cauchy converge absolutamente y

\Bigl(\sum_m a_m\Bigr)\Bigl(\sum_n b_n\Bigr) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k, \qquad c_k = \sum_{m=0}^{k} a_m b_{k-m} .

Demostración. Caso no negativo. Cada agrupación (por filas, por columnas o por diagonales) calcula el mismo supremo: todo conjunto finito de pares está contenido en un bloque finito de filas (lo que acota cada suma agrupada por debajo mediante sumas parciales finitas y por encima mediante el total), y la convergencia monótona de las sumas parciales hace el resto; en concreto, para filas: de $\sum_{m \leq M}\sum_{n \leq N} u_{m,n} \leq S$ se sigue, haciendo $N \to \infty$ y después $M \to \infty$ , que $\sum_m \sum_n u_{m,n} \leq S$ ; y recíprocamente, todo $F$ finito cabe en un rectángulo así, luego $S \leq \sum_m\sum_n u_{m,n}$ . Diagonales: las mismas dos cotas con triángulos en lugar de rectángulos.

Caso general. Sepárense las partes positiva y negativa (real e imaginaria), cada una familia no negativa sumable; las cuatro agrupaciones coinciden en cada parte y, por tanto, en la diferencia; la convergencia absoluta de las series interiores procede del caso no negativo aplicado a $\abs{u_{m,n}}$ .

Producto de Cauchy. La familia $u_{m,n} = a_m b_n$ es sumable: las sumas parciales finitas de $\abs{a_mb_n}$ están acotadas por $\bigl(\sum\abs{a_m}\bigr)\bigl(\sum\abs{b_n}\bigr)$ . Las filas dan $\bigl(\sum a_m\bigr)\bigl(\sum b_n\bigr)$ ; las diagonales dan $\sum_k c_k$ . ∎

Ejemplo 7.15 (La identidad exponencial, honestamente)

Para $a, b \in \C$ (o matrices que conmutan):

\Bigl(\sum_m \frac{a^m}{m!}\Bigr)\Bigl(\sum_n \frac{b^n}{n!}\Bigr) = \sum_k \sum_{m+n=k} \frac{a^m b^n}{m!\,n!} = \sum_k \frac{(a + b)^k}{k!},

por el teorema del binomio en cada diagonal: $\eu^a \eu^b = \eu^{a+b}$ , la ecuación funcional de $\exp$ deducida solo de la serie. (La conmutación se usa en el paso del binomio; para matrices que no conmutan la identidad falla de verdad, Capítulo 16.)

Ejemplo 7.16 (Los productos de Cauchy como herramienta de cálculo)

A partir de la serie geométrica y del $\sum_{n \geq 1} nz^n = \frac{z}{(1-z)^2}$ ( $\abs z < 1$ ) del Ejercicio 7.2, un producto de Cauchy más remata el segundo momento. Multipliquemos $\sum_m mz^m$ por $\sum_n z^n$ : el coeficiente diagonal es $\sum_{m=0}^k m = \frac{k(k+1)}2$ , luego

\frac{z}{(1-z)^3} = \sum_{k\geq0}\frac{k(k+1)}{2}\,z^k ,

y la identidad $n^2 = 2\cdot\frac{n(n+1)}2 - n$ ensambla

\sum_{n\geq1} n^2z^n = \frac{2z}{(1-z)^3} - \frac{z}{(1-z)^2} = \frac{z(1+z)}{(1-z)^3} .

En $z = \frac12$ : $\sum_{n\geq1}\frac{n^2}{2^n} = \frac{\frac12\cdot\frac32}{\frac18} = 6$ , un valor cerrado sin derivar en ningún momento, solo multiplicando como polinomios unas series absolutamente convergentes. El mismo encadenamiento de identidades calcula todo $\sum n^dz^n$ , y quien se dedique a la probabilidad reconocerá el segundo momento factorial de la ley geométrica (Capítulo 23).

Ejemplo 7.17 (Evaluación de una suma doble)

Para $s > 1$ real, sea $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ . Contando divisores mediante sumación doble —la familia $(m^{-s}n^{-s})$ sobre $(m,n) \in (\N^*)^2$ es sumable (producto de series positivas convergentes)— y agrupando por el producto $q = mn$ :

\zeta(s)^2 = \sum_{m,n} \frac{1}{(mn)^s} = \sum_{q=1}^{\infty} \frac{d(q)}{q^s},

donde $d(q)$ es el número de divisores de $q$ . Las familias sumables convierten la combinatoria en análisis.

Ejemplo 7.18 (Una evaluación por Fubini: $\sum_n (\zeta(n) - 1) = 1$ )

Para $n \geq 2$ entero, $\zeta(n) - 1 = \sum_{k \geq 2} k^{-n}$ . La familia doble $(k^{-n})_{k, n \geq 2}$ es sumable: sumando primero las columnas geométricas,

\sum_{k\geq2}\sum_{n\geq2} \frac{1}{k^n} = \sum_{k\geq2} \frac{1/k^2}{1 - 1/k} = \sum_{k\geq2} \frac{1}{k(k-1)} = 1

(telescópica), y todos los términos son positivos, así que el Teorema 7.14 autoriza a sumar por filas en su lugar:

\sum_{n\geq2}\bigl(\zeta(n) - 1\bigr) = 1 .

Los infinitos valores de $\zeta$ , cada uno de aspecto trascendente, tienen colas que suman exactamente $1$ . Moraleja: cuando una suma doble tiene términos positivos, calcúlese en el orden que se derrumbe; aquí las columnas son geométricas, las filas son misteriosas, y Fubini transfiere el derrumbe.

Ejemplo 7.19 (La serie geométrica resuelve una ecuación)

En el espacio de Banach $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , resolvamos $x - K(x) = y$ , donde $K(f)$ es la función constante $\frac12\int_0^1 f$ . La norma de operador cumple $\vertiii K \leq \frac12 < 1$ , de modo que se aplica la serie de Neumann (Ejemplo 7.2): $x = \sum_{n\geq0} K^n(y)$ . Calculemos las iteradas: $K(y) = \frac12\int_0^1 y$ (una constante) y, aplicando $K$ a una constante $c$ , se obtiene $\frac c2$ , de modo que $K^n(y) = \frac{1}{2^{n-1}}\cdot\frac12\int_0^1 y$ para $n \geq 1$ . Sumando las constantes geométricas:

x = y + \Bigl(\int_0^1 y\Bigr) \sum_{n\geq1}\frac{1}{2^n} = y + \int_0^1 y .

Comprobación: $x - K(x) = y + \int y - \frac12\bigl(\int y + \int y\bigr) = y$ . Una serie infinita, una respuesta finita y una verificación de una línea: la serie geométrica es un algoritmo de inversión, no solo un enunciado de convergencia.

Ejemplo 7.20 (Telescopar por fracciones simples)

La sumación exacta es rara; las sumas telescópicas son su principal proveedor. Descompongamos

\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr),

(compruébese reduciendo a común denominador), de modo que las sumas parciales se derrumban:

\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac12\Bigl(\frac{1}{1\cdot2} - \frac{1}{(N+1)(N+2)}\Bigr) \longrightarrow \frac14 .

El mismo patrón —escribir el término como $c(u_n - u_{n+1})$ para una $(u_n)$ explícita— resolvió el Ejercicio 7.10 (arcotangentes) y calcula todo $\sum\frac{1}{n(n+1)\cdots(n + k)} = \frac{1}{k\cdot k!}$ . Cuando a este nivel existe una suma exacta, por lo general hay un telescopio escondido en el término.

Observación 7.21 (Perspectivas dentro de este volumen)

Tres capítulos posteriores son clientes directos. Para el Capítulo 10: la convergencia normal de $\sum f_n$ es la convergencia absoluta de $\sum\norm{f_n}_\infty$ en el espacio de Banach $\bigl(C, \norm\cdot_\infty\bigr)$ , es decir, el Teorema 5.21 disfrazado. Para el Capítulo 11: dentro del disco de convergencia todo es absoluto y sumable, de modo que los productos de Cauchy y las reordenaciones circulan libremente (por eso las series de potencias se multiplican como polinomios); en la frontera toma el relevo el criterio de Abel (Ejemplo 7.5). Para el Capítulo 23: las funciones generatrices de probabilidad son series de potencias cuyas manipulaciones —productos para sumas de variables independientes, sumas dobles para leyes compuestas— están todas autorizadas por el Teorema 7.14. Las familias sumables son la asesoría jurídica del análisis que viene.

Observación 7.22 (Dónde se usa este capítulo)

Todo lo que lleve una suma infinita pasa por aquí: las series de potencias (Capítulo 11) son familias sumables disfrazadas, los coeficientes de Fourier se multiplican mediante productos de Cauchy y se reordenan mediante Parseval (Capítulo 14), y las funciones generatrices de probabilidad (Capítulo 23) son el teorema de Fubini aplicado a esperanzas. El volumen del tercer año absorbe las familias sumables dentro de la integración de Lebesgue respecto de la medida de contar, donde el Teorema 7.14 pasa a ser un caso particular del teorema de Fubini–Tonelli.

7.4 Ejercicios

Ejercicio 7.1 ★

Carácter de $\sum \dfrac{\cos n}{n}$ ; $\;\sum \dfrac{(-1)^n}{\ln n}$ ; $\;\sum \dfrac{(-1)^n}{n^{3/4} + \cos n}$ (desarrolla como en la trampa del primer año: el criterio de las alternadas necesita monotonía).

Solución

Solución de Ejercicio 7.1.

$\sum\frac{\cos n}{n}$ : criterio de Abel con $a_n = \frac1n$ y $b_n = \cos n$ , cuyas sumas parciales están acotadas (parte real de una suma geométrica, como en el Ejemplo 7.4): convergente, y no absolutamente, por el mismo truco del $\cos^2$ .

$\sum \frac{(-1)^n}{\ln n}$ ( $n \geq 2$ ): criterio de las alternadas, con $\frac{1}{\ln n} \downarrow 0$ : convergente; y no absolutamente (pues $\ln n \leq n$ ).

$\sum \frac{(-1)^n}{n^{3/4} + \cos n}$ : desarrollemos,

\frac{(-1)^n}{n^{3/4} + \cos n} = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}}\cdot \frac{1}{1 + \frac{\cos n}{n^{3/4}}} = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}} - \frac{(-1)^n\cos n}{n^{3/2}} + O\Bigl(\frac{1}{n^{9/4}}\Bigr).

Primera serie: alternada, convergente. Segunda: absolutamente convergente (escala $\frac{1}{n^{3/2}}$ ). Tercera: absolutamente convergente. En total: convergente.

Ejercicio 7.2 ★

Demuestra que, para $\abs z < 1$ , $\sum_{n\geq1} n z^{n} = \dfrac{z}{(1-z)^2}$ , mediante el producto de Cauchy de $\sum z^n$ consigo misma.

Solución

Solución de Ejercicio 7.2.

Producto de Cauchy de $\sum_{m\geq0} z^m$ consigo misma (ambas absolutamente convergentes para $\abs z < 1$ ): el coeficiente diagonal es $c_k = \sum_{m=0}^{k} 1 = k + 1$ , luego

\frac{1}{(1-z)^2} = \sum_{k\geq0} (k+1)z^k .

Multiplicando por $z$ y reindexando: $\sum_{n \geq 1} n z^n = \frac{z}{(1-z)^2}$ .

Ejercicio 7.3 ★★

(Lema de tipo Kronecker) Sea $\sum b_n$ una serie real convergente. Demuestra, mediante sumación de Abel, que $\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k\,b_k \to 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.3.

Sea $B_n = \sum_{k \leq n} b_k \to B$ . Sumación de Abel con $a_k = k$ :

\sum_{k=1}^{n} k\,b_k = n B_n - \sum_{k=1}^{n-1} B_k \quad\Longrightarrow\quad \frac1n \sum_{k=1}^{n} k b_k = B_n - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} B_k .

Las medias de Cesàro de la sucesión convergente $(B_k)$ tienden a su límite $B$ (volumen del primer año), de modo que el miembro derecho tiende a $B - B = 0$ .

Ejercicio 7.4 ★★

Estudia la convergencia de $\sum \dfrac{\sin(n\theta)}{n^\alpha}$ ( $\theta \in \R$ , $\alpha > 0$ ): ¿para qué $(\theta, \alpha)$ es absolutamente convergente, semiconvergente o divergente?

Solución

Solución de Ejercicio 7.4.

Si $\theta \in \pi\Z$ , todos los términos se anulan: convergente trivialmente. Supongamos $\theta \notin \pi\Z$ .

$\alpha > 1$ : absolutamente convergente (dominación por $n^{-\alpha}$ ).

$0 < \alpha \leq 1$ : se aplica el criterio de Abel ( $a_n = n^{-\alpha} \downarrow 0$ ; las sumas parciales de $\sin n\theta$ están acotadas por $\frac{1}{\abs{\sin(\theta/2)}}$ , suma geométrica): convergente. No absolutamente: $\abs{\sin n\theta} \geq \sin^2 n\theta = \frac{1 - \cos 2n\theta}{2}$ , y $\sum \frac{1 - \cos 2n\theta}{2n^\alpha}$ diverge ( $\sum n^{-\alpha}$ diverge y $\sum \frac{\cos 2n\theta}{n^\alpha}$ converge por Abel cuando $2\theta \notin 2\pi\Z$ ; el caso excluido $2\theta \in 2\pi\Z$ significa $\theta \in \pi\Z$ , ya tratado). Semiconvergente.

Ejercicio 7.5 ★★★

(Reordenación de Riemann) Sea $\sum u_n$ una serie real convergente pero no absolutamente convergente, y sea $\ell \in \R$ . Demuestra que alguna reordenación de $\sum u_n$ converge a $\ell$ . (Prueba que ambas subseries de términos positivos y negativos divergen; y alterna después con avidez: toma términos positivos hasta superar $\ell$ , luego negativos hasta bajar de él, y así sucesivamente; los términos tienden a $0$ , lo que fuerza la convergencia a $\ell$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 7.5.

Sean $p_1, p_2, \dots$ los términos no negativos de $(u_n)$ en su orden, y $q_1, q_2, \dots$ los negativos. Tanto $\sum p_k$ como $\sum q_k$ divergen: si una de las dos convergiera, la otra sería la serie convergente $\sum u_n$ menos aquella y también convergería, y entonces $\sum \abs{u_n} = \sum p_k - \sum q_k$ convergería, en contra de la hipótesis. Además $u_n \to 0$ (pues $\sum u_n$ converge).

Reordenación ávida: tómense términos positivos $p_1, p_2, \dots$ hasta que la suma corriente supere por primera vez $\ell$ (posible, pues $\sum p_k = +\infty$ ); después términos negativos hasta que la suma baje por primera vez de $\ell$ (posible, pues $\sum q_k = -\infty$ ); repítase indefinidamente (cada fase es finita y cada término se usa exactamente una vez: es una reordenación auténtica). Tras cada cambio, la distancia de la suma corriente a $\ell$ es a lo sumo el último término empleado; y como los términos usados en el cambio $m$ -ésimo tienen índice $\to \infty$ y $u_n \to 0$ , las sumas corrientes convergen a $\ell$ .

Ejercicio 7.6 ★★

Demuestra que la familia $\Bigl(\dfrac{x^{m+n}}{m!\,n!}\Bigr)_{(m,n)\in\N^2}$ es sumable para todo $x \in \R$ , y vuelve a deducir la identidad $(\eu^x)^2 = \eu^{2x}$ agrupando la suma doble a lo largo de las diagonales $m + n = k$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.6.

Sumabilidad: las sumas parciales finitas de $\frac{\abs x^{m+n}}{m!n!}$ están acotadas por $\bigl(\sum_m \frac{\abs x^m}{m!}\bigr)^2 = \eu^{2\abs x}$ . Agrupación diagonal (Teorema 7.14):

(\eu^{x})^2 = \sum_{m,n} \frac{x^{m+n}}{m!\,n!} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k \sum_{m+n=k} \frac{1}{m!\,n!} = \sum_k \frac{x^k}{k!}\sum_{m=0}^{k}\binom km = \sum_k \frac{(2x)^k}{k!} = \eu^{2x} .

Ejercicio 7.7 ★★

Demuestra que la familia $\bigl(\frac{1}{m^2 n^2}\bigr)_{m,n \geq 1}$ es sumable y que, agrupando por el mcd, con $q = \gcd(m,n)$ ,

\zeta(2)^2 = \sum_{q\geq1} \frac{1}{q^4} \sum_{\substack{a,b \geq 1\\ \gcd(a,b)=1}} \frac{1}{a^2b^2} = \zeta(4) \cdot S,

donde $S = \sum_{\gcd(a,b)=1} \frac{1}{a^2b^2}$ : deduce $S = \zeta(2)^2/\zeta(4)$ . (Todo par $(m,n)$ se escribe de manera única como $(qa, qb)$ con $\gcd(a,b) = 1$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 7.7.

Sumabilidad: está acotada por $\zeta(2)^2$ como familia producto (argumento del producto de Cauchy del Teorema 7.14). La aplicación $(q, a, b) \mapsto (qa, qb)$ , de las ternas con $\gcd(a, b) = 1$ en los pares $(m, n)$ , es una biyección (póngase $q = \gcd(m,n)$ ). Agrupando en consecuencia la familia sumable (una partición del conjunto de índices, legítima para familias sumables por el Teorema 7.11 o el Teorema 7.14 aplicado a la partición en una cantidad numerable de clases):

\zeta(2)^2 = \sum_{q} \sum_{\gcd(a,b)=1} \frac{1}{q^4 a^2 b^2} = \zeta(4)\, S, \qquad\text{luego}\qquad S = \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} .

(Con los valores $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ y $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ del Capítulo 14: $S = \frac{5}{2}$ .)

Ejercicio 7.8 ★★★

(Teorema de Abel sobre productos, versión ligera) Supongamos que $\sum a_n$ converge absolutamente y que $\sum b_n$ converge. Demuestra que su producto de Cauchy $\sum c_n$ converge, con $\sum c_n = (\sum a_n)(\sum b_n)$ . (Escribe $C_N = \sum_{k\leq N} c_k = \sum_n a_n B_{N-n}$ , con $B$ las sumas parciales de $b$ ; sepáralo según $n \leq N/2$ o no, usando la acotación de $(B_m)$ y la cola absoluta de $(a_n)$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 7.8.

Sea $A = \sum a_n$ (absolutamente convergente), $B_m = \sum_{k\leq m} b_k \to B$ , acotada por $M$ . Entonces

C_N = \sum_{k=0}^{N} c_k = \sum_{n=0}^{N} a_n B_{N-n}

(agrupando por el índice de $a$ ). Escribamos

C_N - AB = \sum_{n=0}^{N} a_n (B_{N-n} - B) - B\sum_{n > N} a_n .

El último término tiende a $0$ . Separemos la suma en $n = \lfloor N/2 \rfloor$ : para $n \leq N/2$ se tiene $N - n \geq N/2$ , luego $\abs{B_{N-n} - B} \leq \varepsilon_N := \sup_{m \geq N/2}\abs{B_m - B} \to 0$ , y esa parte es $\leq \varepsilon_N \sum\abs{a_n}$ ; para $n > N/2$ , $\abs{B_{N-n} - B} \leq 2M$ , y esa parte es $\leq 2M \sum_{n > N/2} \abs{a_n} \to 0$ . Por tanto $C_N \to AB$ .

Ejercicio 7.9 ★★★

En el espacio $E$ (no completo) de las sucesiones reales nulas a partir de un índice, con la norma del supremo, exhibe una serie absolutamente convergente que no converja en $E$ . (Prueba con $u_n = 2^{-n} e_n$ , siendo $(e_n)$ las sucesiones canónicas.)

Solución

Solución de Ejercicio 7.9.

Tomemos $u_n = 2^{-n} e_n$ (con $e_n$ la sucesión que tiene un único $1$ en la posición $n$ ). Entonces $\sum \norm{u_n}_\infty = \sum 2^{-n} < \infty$ : absolutamente convergente. Pero las sumas parciales $S_N = (1, \tfrac12, \dots, 2^{-N}, 0, \dots)$ tendrían que converger a la sucesión $(2^{-n})_n$ , que no es nula a partir de ningún índice: queda fuera de $E$ . Dentro de $E$ , $(S_N)$ es de Cauchy sin límite (para todo $x \in E$ que se anule a partir del índice $K$ se tiene $\norm{S_N - x} \geq 2^{-K-1}$ para $N > K$ ): la serie no converge en $E$ . La completitud es exactamente lo que necesita el Teorema 5.21.

Ejercicio 7.10 ★★

Verifica la identidad $\arctan(n+1) - \arctan(n) = \arctan\dfrac{1}{n^2 + n + 1}$ y deduce el valor exacto de

\sum_{n=1}^{\infty} \arctan\frac{1}{n^2 + n + 1} .

Solución

Solución de Ejercicio 7.10.

Tanto $\arctan(n+1) - \arctan n$ como $\arctan\frac{1}{n^2+n+1}$ están en $\intoo{0}{\frac\pi2}$ , y la fórmula de adición de la tangente da

\tan\bigl(\arctan(n{+}1) - \arctan n\bigr) = \frac{(n+1) - n}{1 + n(n+1)} = \frac{1}{n^2 + n + 1} :

tangentes iguales en un intervalo donde $\tan$ es inyectiva, luego la identidad se cumple. Telescopando,

\sum_{n=1}^{N}\arctan\frac{1}{n^2+n+1} = \arctan(N{+}1) - \arctan 1 \xrightarrow[N\to\infty]{} \frac\pi2 - \frac\pi4 = \frac\pi4 .

Ejercicio 7.11 ★★

Determina el carácter (con equivalentes) de

\sum_n \bigl(\sqrt{n+1} - \sqrt n\bigr)^{\alpha} \ (\alpha > 0), \qquad \sum_n \Bigl(1 - \cos\frac1n\Bigr), \qquad \sum_n \Bigl(\eu - \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{\!n}\Bigr).

Solución

Solución de Ejercicio 7.11.

Primera: $\sqrt{n+1} - \sqrt n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} \sim \frac{1}{2\sqrt n}$ , de modo que los términos son $\sim 2^{-\alpha}n^{-\alpha/2}$ : converge si y solo si $\frac\alpha2 > 1$ , es decir, $\alpha > 2$ . Segunda: $1 - \cos\frac1n \sim \frac{1}{2n^2}$ : converge. Tercera: $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n = \eu^{\,n\ln(1 + 1/n)} = \eu^{\,1 - \frac1{2n} + O(n^{-2})} = \eu\bigl(1 - \frac{1}{2n} + O(n^{-2})\bigr)$ , luego

\eu - \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{\!n} \sim \frac{\eu}{2n} :

términos positivos equivalentes a un múltiplo del armónico: diverge.

Ejercicio 7.12 ★★★

Sea $(a_n)$ positiva y decreciente con $\sum a_n$ convergente. Demuestra que $n\,a_n \to 0$ (acota $n a_{2n}$ por una cola). Prueba que el recíproco es falso y que la monotonía es esencial, con contraejemplos explícitos.

Solución

Solución de Ejercicio 7.12.

Por monotonía, $n\,a_{2n} \leq a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{2n} = S_{2n} - S_n \to 0$ (criterio de Cauchy para la serie convergente). Por tanto $2n\,a_{2n} \to 0$ , y $(2n{+}1)\,a_{2n+1} \leq (2n{+}1)a_{2n} = \frac{2n+1}{2n}\,(2n\,a_{2n}) \to 0$ : las dos subsucesiones de $(na_n)$ tienden a $0$ , luego $na_n \to 0$ .

El recíproco falla: $a_n = \frac1{n\ln n}$ es positiva y decreciente con $na_n = \frac1{\ln n} \to 0$ y, sin embargo, $\sum a_n$ diverge (frontera de Bertrand, Problema 7.1, pregunta 18). La monotonía es esencial: sea $a_n = \frac1n$ cuando $n$ es potencia de $2$ y $a_n = 2^{-n}$ en los demás casos: $\sum a_n \leq \sum_k 2^{-k} + \sum_n 2^{-n} < \infty$ , pero $na_n = 1$ a lo largo de las potencias de $2$ , luego $na_n \not\to 0$ .

7.5 Problema: el $\zeta(2) = \pi^2/6$ de Euler, por la suma de cotangentes de Cauchy

La identidad más célebre de Euler, $1 + \frac14 + \frac19 + \cdots = \frac{\pi^2}6$ , admite una demostración completamente elemental, debida a Cauchy: la fórmula de De Moivre produce un polinomio cuyas raíces son los números $\cot^2\frac{k\pi}{2n+1}$ , las fórmulas de Vieta suman esas raíces de forma exacta, y el encaje $\cot^2\theta < \frac{1}{\theta^2} < 1 + \cot^2\theta$ aplasta las sumas parciales de $\sum\frac1{k^2}$ entre dos cotas racionales explícitas. Recorremos la demostración completa, extraemos $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ por el mismo método y cartografiamos después toda la frontera entre convergencia y divergencia con las series de Bertrand, demostrando además que esa frontera no alberga ninguna serie convergente más lenta que todas las demás.

Problema 7.1

Problema de fin de semana — $\zeta(2) = \pi^2/6$ y el panorama de Bertrand

En todo el problema, $n \geq 1$ y $\theta_k = \dfrac{k\pi}{2n+1}$ para $k = 1, \dots, n$ ; obsérvese que $0 < \theta_k < \frac\pi2$ .

Parte I — La identidad de las cotangentes.

Demuestra la fórmula de De Moivre $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^m = \cos m\theta + \iu\sin m\theta$ ( $m \in \N$ ) y deduce, para $m = 2n + 1$ ,

$\sin\bigl((2n{+}1)\theta\bigr) = \sum_{j=0}^{n} (-1)^j\binom{2n+1}{2j+1}\cos^{2(n-j)}\theta\, \sin^{2j+1}\theta .$
Deduce que, para $\theta \in \intoo{0}{\frac\pi2}$ ,

$\sin\bigl((2n{+}1)\theta\bigr) = \sin^{2n+1}\theta\; P_n(\cot^2\theta), \qquad P_n(x) = \sum_{j=0}^{n} (-1)^j\binom{2n+1}{2j+1}x^{\,n-j},$

polinomio de grado $n$ con coeficiente director $2n + 1$ .
Prueba que los $x_k = \cot^2\theta_k$ , $k = 1, \dots, n$ , son $n$ raíces distintas de $P_n$ y, por tanto, todas ellas.
Mediante las fórmulas de Vieta, demuestra la identidad exacta

$\sum_{k=1}^{n} \cot^2\frac{k\pi}{2n+1} = \frac{n(2n-1)}{3}.$
Deduce también que $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sin^2\theta_k} = \frac{2n(n+1)}{3}$ .
Demuestra el encaje $\cot^2\theta < \dfrac1{\theta^2} < \dfrac{1}{\sin^2\theta}$ para $\theta \in \intoo{0}{\frac\pi2}$ (a partir de $\sin\theta < \theta < \tan\theta$ ).

Parte II — El encaje se cierra: el teorema de Euler.

Sumando la pregunta 6 sobre $k = 1, \dots, n$ con $\theta = \theta_k$ , establece

$\frac{n(2n-1)}{3} \;<\; \frac{(2n+1)^2}{\pi^2}\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2} \;<\; \frac{2n(n+1)}{3}.$
Concluye (el teorema de Euler, por la demostración de Cauchy):

$\zeta(2) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}.$
Extrae una velocidad del encaje: prueba que

$\Bigl|\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2} - \frac{\pi^2}6\Bigr| = O\Bigl(\frac1n\Bigr),$

en coherencia con la cola exacta $\sum_{k>n}k^{-2} = \frac1n - \frac{1}{2n^2} + O(n^{-3})$ del Ejercicio 6.11.
Pon la máquina un piso más arriba: usando la segunda función de Vieta de $P_n$ , prueba que

$\sum_{k=1}^{n}\cot^4\theta_k = \Bigl(\frac{n(2n-1)}3\Bigr)^{\!2} - \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{60} \;\sim\; \frac{8n^4}{45},$

y encaja con $\cot^4 < \theta^{-4} < (1 + \cot^2)^2$ para obtener $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$ .

Parte III — Dividendos.

Deduce de $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ :

$\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}, \qquad \sum_{k\geq1}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = \frac{\pi^2}{12}.$
Combina con el Ejercicio 7.7: calcula $S = \sum_{\gcd(a,b)=1}\frac{1}{a^2b^2} = \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} = \frac52$ e interpreta $\frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 0.608$ como la densidad de los pares de enteros primos entre sí (enuncia la heurística con honestidad: el recuento riguroso es asunto del volumen del tercer año).
(Aceleración certificada) La fórmula de la cola de la pregunta 9 da $\sum_{k\leq n}k^{-2} + \frac1n - \frac1{2n^2} = \frac{\pi^2}6 + O(n^{-3})$ . Compara el trabajo necesario para seis cifras de $\zeta(2)$ : sumación directa frente a la suma corregida en $n = 100$ (donde el error es $1.7\cdot10^{-7}$ ).
Comprueba la pregunta 4 a mano para $n = 1$ y $n = 2$ (los valores $\cot^2\frac\pi3 = \frac13$ y $\cot^2\frac\pi5 + \cot^2\frac{2\pi}5 = 2$ ), usando $\cos\frac\pi5 = \frac{1+\sqrt5}4$ o una evaluación numérica.
Demuestra la identidad compañera

$\sum_{k=1}^{n}\tan^2\frac{k\pi}{2n+1} = n(2n+1)$

(los números $\tan^2\theta_k$ son las raíces del polinomio invertido $x^nP_n(1/x)$ ), y verifícala en $n = 1$ .

Parte IV — El panorama de Bertrand. Para $\alpha, \beta \in \R$ , consideremos la serie de Bertrand

\sum_{n \geq 3} \frac{1}{n^{\alpha}(\ln n)^{\beta}} .

Prueba que para $\alpha > 1$ la serie converge sea cual sea $\beta$ (compara con $n^{-(1+\alpha)/2}$ ).
Prueba que para $\alpha < 1$ diverge sea cual sea $\beta$ .
Para $\alpha = 1$ : usando la comparación serie–integral (Teorema 6.6) con $f(t) = \frac{1}{t(\ln t)^\beta}$ , demuestra que converge si y solo si $\beta > 1$ .
Itera la frontera: prueba que $\sum\frac{1}{n\ln n\,\ln\ln n}$ diverge mientras que $\sum\frac{1}{n\ln n\,(\ln\ln n)^2}$ converge.
Dos trampas: determina el carácter de

$\sum_n \frac{1}{n^{1 + 1/\ln n}} \qquad\text{y}\qquad \sum_n \frac{1}{n^{1 + 1/\ln\ln n}}$

(calcula $n^{1/\ln n}$ exactamente; compara $n^{1/\ln\ln n}$ con toda potencia de $\ln n$ ).
(No hay serie convergente más lenta) Sea $\sum a_n$ una serie convergente cualquiera con $a_n > 0$ , y sean $R_n = \sum_{k \geq n}a_k$ sus colas. Demuestra que $\sum \frac{a_n}{\sqrt{R_n}}$ sigue convergiendo (compara con la suma telescópica $2(\sqrt{R_n} - \sqrt{R_{n+1}})$ ), pese a que $\frac{a_n/\sqrt{R_n}}{a_n} \to \infty$ : toda serie convergente está estrictamente dominada por otra serie convergente. La frontera de la convergencia no es una curva, sino una niebla.

Parte V — Comprobaciones cruzadas y síntesis.

(Condensación de Cauchy) Demuestra que, para $(a_n)$ positiva y decreciente, $\sum a_n$ converge si y solo si $\sum 2^k a_{2^k}$ converge. Vuelve a deducir de ahí la frontera de la pregunta 18.
(El coste de la lentitud) Para $\sum\frac1{n(\ln n)^2}$ , acota la cola mediante una integral y prueba que sumar hasta $N = 10^6$ deja todavía un error mayor que $0.07$ : una convergencia certificada por la teoría puede ser inútil para el cálculo numérico; contrástese con la pregunta 13.
Clasifica (con justificaciones de una línea): $\sum\frac1{n\ln n}$ , $\sum\frac1{n^{1.01}}$ , $\sum\frac{(\ln n)^{100}}{n^{1.001}}$ y $\sum\frac1{n(\ln n)(\ln\ln n)^{3}}$ .
(Síntesis) Una frase para cada punto: cómo De Moivre convirtió una identidad trigonométrica en un polinomio con sumas de raíces calculables; dónde necesitó el encaje identidades exactas en los extremos en lugar de equivalentes; qué herramienta del Capítulo 6 movió la parte IV; y qué dice la pregunta 21 sobre el sueño de un “criterio universal de comparación”. Nombra las dos cumbres: el $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ de Euler (y su piso superior, $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ ) y la clasificación de Bertrand. Señala dónde se volverá a demostrar $\zeta(2)$ : mediante Parseval en el Capítulo 14; un teorema, dos civilizaciones.

Solución

Solución de Problema 7.1.

1. Inducción sobre $m$ : para $m = 0$ ambos miembros valen $1$ ; el paso multiplica por $\cos\theta + \iu\sin\theta$ y usa las fórmulas de adición $\cos(m\theta + \theta) = \cos m\theta\cos\theta - \sin m\theta\sin\theta$ y $\sin(m\theta + \theta) = \sin m\theta\cos\theta + \cos m\theta\sin\theta$ . Desarrollando en cambio por el teorema del binomio con $m = 2n+1$ y recogiendo la parte imaginaria (las potencias impares de $\iu\sin\theta$ , con $\iu^{2j+1} = (-1)^j\iu$ ):

\sin\bigl((2n{+}1)\theta\bigr) = \sum_{j=0}^{n}(-1)^j \binom{2n+1}{2j+1}\cos^{2(n-j)}\theta\,\sin^{2j+1}\theta .

2. Sobre $\intoo0{\frac\pi2}$ se tiene $\sin\theta \neq 0$ : sáquese $\sin^{2n+1}\theta$ como factor de cada término, quedando $\bigl(\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\bigr)^{n-j} = (\cot^2\theta)^{n-j}$ : es la identidad del enunciado, con $P_n(x) = \sum_j(-1)^j\binom{2n+1}{2j+1}x^{n-j}$ . Su coeficiente en $x^n$ es el de $j = 0$ , es decir, $\binom{2n+1}{1} = 2n + 1 \neq 0$ .

3. En $\theta_k = \frac{k\pi}{2n+1}$ : $\sin\bigl((2n{+}1)\theta_k\bigr) = \sin k\pi = 0$ mientras que $\sin^{2n+1}\theta_k \neq 0$ , luego $P_n(\cot^2\theta_k) = 0$ . Los $\theta_k$ crecen estrictamente dentro de $\intoo0{\frac\pi2}$ , donde $\cot^2$ decrece estrictamente: los valores $x_k = \cot^2\theta_k$ son distintos dos a dos; son $n$ raíces distintas de un polinomio de grado $n$ y, por tanto, todas ellas.

4. Vieta: la suma de las raíces es menos el cociente de los coeficientes de $x^{n-1}$ y de $x^n$ :

\sum_{k=1}^{n}\cot^2\theta_k = \frac{\binom{2n+1}{3}}{\binom{2n+1}{1}} = \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)/6}{2n+1} = \frac{n(2n-1)}{3}.

5. $\frac{1}{\sin^2\theta} = 1 + \cot^2\theta$ ; sumando, $n + \frac{n(2n-1)}3 = \frac{3n + 2n^2 - n}{3} = \frac{2n(n+1)}{3}$ .

6. Sobre $\intoo{0}{\frac\pi2}$ : $\sin\theta < \theta < \tan\theta$ (volumen del primer año). Tomando inversos se invierten las desigualdades: $\cot\theta < \frac1\theta < \frac1{\sin\theta}$ , y elevando al cuadrado (todo positivo) queda $\cot^2\theta < \frac1{\theta^2} < \frac1{\sin^2\theta}$ .

7. Sumemos la pregunta 6 en $\theta = \theta_k$ sobre $k \leq n$ , usando las preguntas 4 y 5 y $\frac1{\theta_k^2} = \frac{(2n+1)^2}{k^2\pi^2}$ :

\frac{n(2n-1)}3 < \frac{(2n+1)^2}{\pi^2}\sum_{k=1}^n\frac1{k^2} < \frac{2n(n+1)}3 .

8. Multiplicando por $\frac{\pi^2}{(2n+1)^2}$ :

\frac{\pi^2}{3}\cdot\frac{n(2n-1)}{(2n+1)^2} < \sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2} < \frac{\pi^2}{3}\cdot\frac{2n(n+1)}{(2n+1)^2}.

Ambas cotas tienden a $\frac{\pi^2}3\cdot\frac12 = \frac{\pi^2}6$ (las fracciones racionales tienden a $\frac12$ ). Las sumas parciales crecen, luego convergen, y el encaje da $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ : el teorema de Euler, por la demostración de Cauchy.

9. Las sumas parciales crecen hacia $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ , luego $0 \leq \frac{\pi^2}6 - \sum_{k\leq n}k^{-2}$ ; y la cota inferior de la pregunta 8 da

\frac{\pi^2}6 - \sum_{k\leq n}\frac1{k^2} \leq \frac{\pi^2}6 - \frac{\pi^2}3\cdot\frac{n(2n-1)}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}6\cdot\frac{(2n+1)^2 - (4n^2 - 2n)}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}6\cdot\frac{6n + 1}{(2n+1)^2} = O\Bigl(\frac1n\Bigr),

en concordancia con la cola exacta $\frac1n - \frac1{2n^2} + O(n^{-3})$ del Ejercicio 6.11.

10. La segunda función simétrica elemental de las raíces es $\sigma_2 = \frac{\binom{2n+1}5}{\binom{2n+1}1} = \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{120}$ , luego

\sum_k\cot^4\theta_k = \sigma_1^2 - 2\sigma_2 = \Bigl(\frac{n(2n-1)}3\Bigr)^2 - \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{60} \sim \frac{4n^4}9 - \frac{4n^4}{15} = \frac{8n^4}{45}.

Encajando $\cot^4\theta < \theta^{-4} < (1 + \cot^2\theta)^2 = 1 + 2\cot^2\theta + \cot^4\theta$ y sumando: ambas sumas exteriores valen $\frac{8n^4}{45}(1 + o(1))$ (el añadido $n + 2\sigma_1 = O(n^2)$ es despreciable), mientras que la central es $\frac{(2n+1)^4}{\pi^4}\sum_{k\leq n}k^{-4}$ . Por tanto

\sum_{k\leq n}\frac1{k^4} \longrightarrow \pi^4\cdot\frac{8/45}{16} = \frac{\pi^4}{90}.

11. Separando $\zeta(2)$ según la paridad: $\sum_{\text{pares}} = \sum_j\frac{1}{(2j)^2} = \frac14\zeta(2) = \frac{\pi^2}{24}$ , luego $\sum_{\text{impares}} = \zeta(2) - \frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}8$ . Alternada: $\sum_k\frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = \sum_{\text{impares}} - \sum_{\text{pares}} = \frac{\pi^2}8 - \frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}{12}$ (la convergencia absoluta justifica el reagrupamiento, Teorema 7.11).

12. $S = \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} = \frac{(\pi^2/6)^2}{\pi^4/90} = \frac{90}{36} = \frac52$ . Heurística: la identidad $\zeta(2)^2 = \zeta(4)S$ del Ejercicio 7.7 dice que extraer el mcd renormaliza los pares hasta convertirlos en pares coprimos; y el recíproco $\frac1{\zeta(2)} = \frac6{\pi^2} \approx 0.608$ es el candidato natural para la densidad de los pares coprimos entre todos los pares, un enunciado sobre $\lim_N \frac{1}{N^2}\#\{(m,n) \leq N : \gcd = 1\}$ cuya demostración honesta (con términos de error) corresponde al volumen del tercer año.

13. La sumación directa tiene error $\sim \frac1n$ : seis cifras exigen unos $10^6$ términos. La suma corregida $\sum_{k\leq n}k^{-2} + \frac1n - \frac1{2n^2}$ tiene error $O(n^{-3})$ : en $n = 100$ vale $1.6449339\dots$ frente a $\frac{\pi^2}6 = 1.6449341\dots$ , con error $1.7\cdot10^{-7}$ : siete cifras con cien términos. Las correcciones asintóticas ganan a la paciencia bruta por cuatro órdenes de magnitud.

14. $n = 1$ : $P_1(x) = 3x - 1$ , de raíz $\frac13$ , y en efecto $\cot^2\frac\pi3 = \bigl(\frac1{\sqrt3}\bigr)^2 = \frac13 = \frac{1\cdot1}3$ . $n = 2$ : la fórmula predice $\frac{2\cdot3}3 = 2$ ; con $\cos\frac\pi5 = \frac{1 + \sqrt5}{4}$ se calcula $\cot^2 36^\circ \approx 1.894$ y $\cot^2 72^\circ \approx 0.106$ : suma $2.000$ .

15. Los números $\tan^2\theta_k = \frac1{x_k}$ son las raíces de $Q(x) = x^nP_n\bigl(\frac1x\bigr) = \sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{2n+1}{2j+1}x^j$ (los $x_k$ no son nulos). Vieta sobre $Q$ : el coeficiente director es $(-1)^n$ (término $j = n$ ) y el siguiente es $(-1)^{n-1}\binom{2n+1}{2n-1} = (-1)^{n-1}\binom{2n+1}{2}$ , de donde

\sum_{k=1}^n\tan^2\theta_k = -\frac{(-1)^{n-1}\binom{2n+1}2}{(-1)^n} = \binom{2n+1}2\cdot \frac{2}{2n+1}\cdot\frac{2n+1}{2} = n(2n+1).

Comprobación para $n = 1$ : $\tan^2\frac\pi3 = 3 = 1\cdot3$ .

16. Sea $\gamma = \frac{1+\alpha}2 \in \intoo{1}{\alpha}$ . Entonces $\frac{n^{-\alpha}(\ln n)^{-\beta}}{n^{-\gamma}} = n^{\gamma - \alpha}(\ln n)^{-\beta} \to 0$ (una potencia negativa de $n$ gana a toda potencia de $\ln n$ ), de modo que a partir de un índice los términos son $\leq n^{-\gamma}$ con $\gamma > 1$ : converge por comparación con una serie de Riemann.

17. Sea $\gamma = \frac{1+\alpha}2 \in \intoo{\alpha}{1}$ : ahora $\frac{n^{-\gamma}}{n^{-\alpha}(\ln n)^{-\beta}} = n^{\alpha-\gamma}(\ln n)^{\beta} \to 0$ , así que a partir de un índice los términos son $\geq n^{-\gamma}$ con $\gamma < 1$ : diverge.

18. $f(t) = \frac1{t(\ln t)^\beta}$ es positiva, continua y decreciente para $t$ grande (su logaritmo tiene derivada $-\frac1t\bigl(1 + \frac{\beta}{\ln t}\bigr) < 0$ a partir de un punto). Primitivas: para $\beta \neq 1$ , $\int^x f = \frac{(\ln x)^{1-\beta}}{1-\beta} + \text{cte}$ , que tiene límite finito si y solo si $\beta > 1$ ; para $\beta = 1$ , $\int^x f = \ln\ln x \to \infty$ . Por el Teorema 6.6, la serie y la integral comparten carácter: converge si y solo si $\beta > 1$ .

19. Mismo criterio: $\frac{\dd}{\dd t}\ln\ln\ln t = \frac{1}{t\ln t\,\ln\ln t}$ , y $\ln\ln\ln t \to \infty$ : divergencia. Y $\frac{\dd}{\dd t}\Bigl(-\frac1{\ln\ln t}\Bigr) = \frac{1}{t\ln t\,(\ln\ln t)^2}$ con $-\frac1{\ln\ln t} \to 0$ : convergencia.

20. Primera: $n^{1/\ln n} = \eu^{\ln n/\ln n} = \eu$ , de modo que los términos valen exactamente $\frac{1}{\eu\,n}$ : un múltiplo de la serie armónica, divergente; el exponente $1 + \frac1{\ln n}$ se arrastra hacia $1$ demasiado deprisa. Segunda: $n^{1/\ln\ln n} = \eu^{\ln n/\ln\ln n}$ , y $\frac{\ln n}{\ln\ln n} \geq 2\ln\ln n$ a partir de un punto, luego $n^{1/\ln\ln n} \geq (\ln n)^2$ : los términos son $\leq \frac1{n(\ln n)^2}$ , serie de Bertrand convergente (pregunta 18): convergente. La frontera pasa estrictamente entre esos dos exponentes.

21. $R_n \downarrow 0$ y

\sqrt{R_n} - \sqrt{R_{n+1}} = \frac{R_n - R_{n+1}}{\sqrt{R_n} + \sqrt{R_{n+1}}} = \frac{a_n}{\sqrt{R_n} + \sqrt{R_{n+1}}} \geq \frac{a_n}{2\sqrt{R_n}},

luego $\sum_n \frac{a_n}{\sqrt{R_n}} \leq 2\sum_n(\sqrt{R_n} - \sqrt{R_{n+1}}) = 2\sqrt{R_1} < \infty$ (suma telescópica). Y sin embargo $\frac{a_n/\sqrt{R_n}}{a_n} = \frac1{\sqrt{R_n}} \to \infty$ : la serie nueva converge siendo infinitamente mayor. Ninguna serie convergente es la más lenta, y ningún criterio de comparación contra una familia fija puede ser completo.

22. Para $(a_n)$ positiva y decreciente, agrupemos los términos entre potencias consecutivas de $2$ :

2^{k}a_{2^{k+1}} \leq \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1} a_n \leq 2^ka_{2^k} .

Sumando sobre $k$ : si $\sum 2^ka_{2^k}$ converge, las sumas parciales de $\sum a_n$ están acotadas (converge); y si $\sum a_n$ converge, entonces $\sum_k 2^{k+1}a_{2^{k+1}} \leq 2\sum_n a_n < \infty$ . Para $a_n = \frac1{n(\ln n)^\beta}$ : $2^ka_{2^k} = \frac{1}{(k\ln 2)^\beta}$ , y $\sum k^{-\beta}$ converge si y solo si $\beta > 1$ : de nuevo la frontera de la pregunta 18, sin integrales.

23. Por comparación integral,

\sum_{n > N}\frac{1}{n(\ln n)^2} \geq \int_{N+1}^{\infty}\frac{\dd t}{t(\ln t)^2} = \frac{1}{\ln(N+1)},

que en $N = 10^6$ vale $\approx 0.0724$ : tras un millón de términos la cola supera todavía $0.07$ ; la serie converge, pero ninguna sumación directa exhibirá jamás su suma. Contrástese con la pregunta 13, donde una sola corrección asintótica compró siete cifras con cien términos: saber cómo converge una serie vale más que saber que converge.

24. $\sum\frac1{n\ln n}$ : diverge ( $\alpha = 1$ , $\beta = 1$ , pregunta 18). $\sum\frac1{n^{1.01}}$ : converge (Riemann, $\alpha > 1$ ). $\sum\frac{(\ln n)^{100}}{n^{1.001}}$ : converge ( $\alpha = 1.001 > 1$ , $\beta = -100$ , pregunta 16). $\sum\frac1{n\ln n(\ln\ln n)^3}$ : converge (patrón de la pregunta 19: primitiva $-\frac12(\ln\ln t)^{-2}$ , con límite finito).

25. De Moivre convierte la anulación de $\sin(2n{+}1)\theta_k$ en la anulación de un polinomio en $\cot^2\theta_k$ , y Vieta lee las sumas exactas de raíces que el análisis por sí solo únicamente podría estimar (preguntas 1–5). El encaje necesitó los valores exactos $\frac{n(2n-1)}3$ y $\frac{2n(n+1)}3$ en ambos lados: unos equivalentes habrían supuesto la conclusión, ya que todo el objetivo es la constante $\frac{\pi^2}6$ (preguntas 7–8). La parte IV funcionó enteramente con la comparación serie–integral del Capítulo 6, con las primitivas logarítmicas haciendo la clasificación (preguntas 18–19). La pregunta 21 destruye el sueño de un criterio universal de comparación: bajo toda serie convergente hay otra infinitamente más lenta; escalas como la de Bertrand cartografían la frontera cada vez con más finura, pero nunca la alcanzan. Cumbres: el $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ de Euler con su piso superior $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ (preguntas 8 y 10) y la clasificación de Bertrand (preguntas 16–18); $\zeta(2)$ regresa en el Capítulo 14, donde la identidad de Parseval vuelve a demostrarlo en una línea a partir de la serie de Fourier del diente de sierra: una constante, dos civilizaciones.

Términos definidos en este capítulo

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7.1 Series en espacios normados

7.2 Sumación de Abel

7.3 Familias sumables

7.4 Ejercicios

7.5 Problema: el ζ(2)=π2/6\zeta(2) = \pi^2/6ζ(2)=π2/6 de Euler, por la suma de cotangentes de Cauchy

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7.5 Problema: el $\zeta(2) = \pi^2/6$ de Euler, por la suma de cotangentes de Cauchy