21Formas diferenciales y teorema de Stokes

Demostración. Generación. Sean $\alpha \in \Lambda^kE^*$ y $\beta = \sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$, donde $\alpha(e_I)$ abrevia $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$. Ambos miembros son $k$-lineales y alternados, de modo que coinciden en cuanto coincidan en todas las $k$-tuplas $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ con $j_1 < \dots < j_k$ (la multilinealidad reduce a tuplas de vectores de la base, y la alternancia a las estrictamente crecientes). Y $e_I^*(e_{j_1}, \dots, e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$: para $I = J$ la matriz es la identidad; para $I \neq J$ alguna fila es nula. Así, $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$ para todo $J$: $\beta = \alpha$. Independencia. Si $\sum_I c_Ie_I^* = 0$, evaluando en $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ se obtiene $c_J = 0$. ∎

Demostración. Ambas propiedades se comprueban en los elementos de la base y se extienden por bilinealidad. Asociatividad: ambos parentizados de $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ coinciden con el producto exterior de la familia concatenada de $1$-formas, por la fórmula del determinante de la Definición 21.3 (desarrollo de Laplace por bloques). La regla de los signos: pasar cada uno de los $\ell$ factores de $\beta$ por delante de los $k$ factores de $\alpha$ cuesta un signo por cada transposición adyacente (un intercambio de dos filas del determinante), y por tanto $(-1)^{k\ell}$ en total. ∎

Demostración. Las identidades funtoriales son inmediatas de las definiciones (para la regla del producto, compruébese en productos exteriores de $1$-formas con la fórmula del determinante — $\det(\ell_i(uv_j)) = \det((u^*\ell_i)(v_j))$ — y extiéndase después bilinealmente). (1) $u^*$ lleva el espacio unidimensional $\Lambda^nE^*$ (la Proposición 21.4) en sí mismo, de modo que $u^*\alpha = c\,\alpha$ con $c$ independiente de $\alpha \neq 0$; evaluando en $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ y $(v_j) = (e_j)$ se obtiene $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$. (2) Para $v_1, \dots, v_k \in E$, los vectores $u(v_1), \dots, u(v_k)$ están en la imagen de $u$, de dimensión $< k$: son linealmente dependientes, y una forma alternada se anula sobre una familia dependiente (desarróllese el vector dependiente según los demás). ∎

Demostración. (a) Por bilinealidad basta tratar $\omega = a\,\dd x_I$, $\eta = b\,\dd x_J$. Entonces $\omega \wedge \eta = ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ y

y pasar la $1$-forma $\dd b$ por delante de los $k$ factores de $\dd x_I$ cuesta $(-1)^k$ (la Definición 21.5): el segundo término es $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$. (b) Para una función: $\dd(\dd a) = \sum_{i,j} \frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge \dd x_i$. El coeficiente es simétrico en $(i,j)$ por el teorema de Schwarz sobre las derivadas parciales cruzadas (demostrado en el volumen de segundo año; $a$ es $\mathcal C^\infty$), mientras que $\dd x_j \wedge \dd x_i$ es antisimétrico: emparejando los términos $(i,j)$ y $(j,i)$, todo se cancela. Para $\omega = \sum a_I\dd x_I$ general: $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I) = \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$ por (a), y ambos términos se anulan ($\dd(\dd x_I) = 0$, pues el coeficiente es constante). ∎

Demostración. (a) Enunciados puntuales sobre retrocesos lineales (la Proposición 21.6), más la regla de la cadena $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$. (b) Para una $0$-forma $f$: $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ es la regla de la cadena. Para $\omega = a\,\dd y_I$: usando (a), $\varphi^*\omega = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$, de modo que, por la regla de Leibniz (el Teorema 21.9(a)) y $\dd\dd\varphi_{i_r} = 0$:

(c) Puntualmente esto es exactamente $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ en las formas de grado máximo (la Proposición 21.6(1) con $u = D\varphi(x)$). ∎

Demostración. Construimos un operador de homotopía lineal $h\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ con

si $\dd\omega = 0$, entonces $\omega = \dd(h\omega)$ y hemos terminado. Para $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$, póngase

(el acento circunflejo suprime un factor; las integrales son regulares en $x$ por derivación bajo la integral, el Teorema 10.15, estando todas las derivadas dominadas en los compactos). Comprobar la (21.1) es un cálculo que se hace una vez en la vida, de modo que lo hacemos entero. Fíjese $I$ y tómese $\omega = a\,\dd x_I$ (linealidad). Primero,

el primer grupo recoge los términos en que $\dd$ golpea el factor $x_{i_r}$ — el producto exterior $\dd x_{i_r}\wedge\dd x_{I\setminus i_r}$ reconstruye $\dd x_I$ con un signo $(-1)^{r-1}$ que cancela el prefactor, y los $k$ valores de $r$ dan el factor $k$ —, mientras que el segundo grupo recoge los términos en que $\dd$ golpea la integral (la regla de la cadena saca $t\,\partial_ja(tx)$). A continuación, $\dd\omega = \sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$ y, aplicando la definición de $h$ en grado $k+1$, con el índice $j$ ocupando la primera posición:

Las sumas dobles se cancelan en $\dd(h\omega) + h(\dd\omega)$, que por tanto vale

por el teorema fundamental del cálculo. La condición de ser estrellado entró donde tenía que entrar: $tx \in U$ para $t \in \intcc01$, de modo que $a(tx)$ tiene sentido. ∎

Demostración. (a) Sean $\gamma\colon V \to M$, $\delta\colon V' \to M$ parametrizaciones directas cuyas imágenes contienen $\operatorname{supp}\omega\cap M$. La transición $\tau = \delta^{-1}\circ\gamma$ es un difeomorfismo entre los abiertos correspondientes de $V, V'$ (regularidad de las transiciones: el Teorema 20.3, vía la descripción local por grafos), y allí $\gamma = \delta\circ\tau$, de modo que $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ (el Teorema 21.11(a)). Escríbase $\delta^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$; entonces (Teorema 21.11(c)) $\tau^*(\delta^*\omega) = (g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$. Siendo directos ambos referenciales, $D\tau$ lleva una base positiva a una base positiva: $\det D\tau > 0$, de modo que $\det D\tau = \abs{\det D\tau}$ y el teorema del cambio de variables (el Teorema 11.11) da $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$: las dos integrales coinciden. He aquí toda la razón de ser de la orientación: sin el control del signo, el jacobiano y su valor absoluto difieren y la integral queda mal definida. (b) Si $(\chi_i)$ y $(\tilde\chi_j)$ son dos particiones admisibles (recubrimientos incluidos), entonces, por (a) y la aditividad finita, $\sum_i\int\chi_i\omega = \sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega = \sum_j\int\tilde\chi_j\omega$, siendo cada término doble calculable en cualquiera de las dos cartas. La última afirmación: si $\gamma$ recorre las parametrizaciones directas de $M$, entonces $\Phi\circ\gamma$ recorre las parametrizaciones directas de $M'$ (la comparación de orientaciones es localmente constante y está fijada en un punto por componente), y $(\Phi\circ\gamma)^*\omega = \gamma^*(\Phi^*\omega)$. ∎

Demostración. Cada $x \in K$ está en algún $W_{i(x)}$ con una bola cerrada $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$; la compacidad extrae $x_1, \dots, x_N$ con las bolas $B(x_s, r_{x_s})$ recubriendo $K$. Para cada $s$, tómese una meseta $\theta_s \in \mathcal C^\infty$, $0 \leq \theta_s \leq 1$, $\theta_s = 1$ en $\bar B(x_s, r_{x_s})$, $\operatorname{supp}\theta_s \subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (regularícese el indicador de la bola de radio $\frac32r_{x_s}$, el Teorema 12.9). Asígnese cada $s$ a un índice $i(s)$ con $B(x_s, 2r_{x_s}) \subseteq W_{i(s)}$ y póngase $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$. En el abierto $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j > \tfrac12\} \supseteq K$, las funciones $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ hacen el trabajo, pero solo están definidas allí; para globalizar, sea $\rho \in \mathcal C^\infty(\R^n)$ tal que $\rho = 0$ donde $\sum_j\Theta_j \geq 1$ y $\rho > 0$ donde $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ (regularícese un corte adecuado de $1 - \sum_j\Theta_j$), y póngase

El denominador es en todas partes $> 0$ y vale $\sum_j\Theta_j$ en $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$, un entorno abierto de $K$ (cada punto de $K$ está en alguna bola $B(x_s, r_{x_s})$ donde $\theta_s = 1$); allí $\sum_i\chi_i = 1$. Los soportes y las cotas son claros. ∎

Demostración. Primero, la contabilidad de la orientación: la normal exterior a lo largo de $\partial H^k$ es $-e_k$, y

el referencial $(e_1, \dots, e_{k-1})$ de $\partial H^k$ es positivo para la orientación inducida exactamente cuando $k$ es par, de donde la comparación enunciada. Por linealidad, tómese $\eta = f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$, $f \in \mathcal C^\infty_c(\R^k)$; entonces $\dd\eta = (-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ (llevar $\dd u_i$ a su posición cuesta $i - 1$ intercambios). Dos casos, ambos por Tonelli–Fubini (el Teorema 11.6) y el teorema fundamental del cálculo en una variable.

Caso $i < k$. Integrando primero en $u_i$ sobre $\R$: $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ (soporte compacto), de modo que $\int_{H^k}\dd\eta = 0$. Y la restricción de $\eta$ a $\{u_k = 0\}$ contiene el factor $\dd u_k$, que se restringe a $0$ ($u_k$ es allí constante): $\int_{\partial H^k}\eta = 0$ también.

Caso $i = k$. Integrando primero en $u_k$ sobre $\intco0\infty$:

Del lado del borde, $\eta$ se restringe a $f(u', 0)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$ y, siendo la orientación inducida $(-1)^k$ veces la estándar, $\int_{\partial H^k}\eta = (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$. Los dos miembros coinciden. ∎

Demostración. Recúbrase el compacto $M$ por un número finito de imágenes de cartas directas (interiores o de borde), y tómese una partición de la unidad $(\chi_i)$ subordinada a los abiertos correspondientes $W_i$ de $\R^n$ (el Lema 21.20), con $\sum\chi_i = 1$ en un entorno de $M$. En ese entorno, $\dd(\sum\chi_i) = 0$, de modo que

ambos miembros son aditivos, y basta demostrar el teorema para una forma soportada en la imagen de una sola carta.

Carta interior. Si $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$ con $V$ abierto en $\R^k$: extiéndase $\eta = \gamma^*\omega$ por cero a $\R^k$ (regular, de soporte compacto en $V$) y aplíquese el Lema 21.22 con el soporte alejado de $\partial H^k$ (trasládese $V$ al semiespacio superior abierto — o repítase sin más el cálculo del caso $i < k$ en todo $\R^k$): $\int_M\dd\omega = \int_{\R^k}\dd\eta = 0$, y $\int_{\partial M}\omega = 0$, pues $\omega$ se anula cerca de $\partial M$.

Carta de borde. Si $\operatorname{supp}\omega\cap M \subseteq \gamma(V \cap H^k)$: con $\eta = \gamma^*\omega$ extendida por cero, $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ (el Teorema 21.11(b)), de modo que, por Definición 21.18:

Queda identificar el miembro derecho con $\int_{\partial M}\omega$. El borde está parametrizado por $\beta(u') = \gamma(u', 0)$, y $\beta^*\omega$ es la restricción de $\eta$ a $\{u_k = 0\}$ (retroceso por la inclusión $u' \mapsto (u', 0)$ compuesta con $\gamma$). La comparación de orientaciones es el mismo $(-1)^k$ en ambos miembros: el referencial $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ se sitúa en la orientación inducida de $\partial M$ con el signo $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$ calculado en la carta (el vector exterior retrocede a $-e_k$), que es exactamente el signo que relaciona la orientación inducida de $\partial H^k$ con la estándar de $\R^{k-1}$ (el Lema 21.22). Los dos convenios de signo se cancelan: $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$. ∎