21Formas diferenciales y teorema de Stokes

Demostración. Generando. Sea $\alpha \in \Lambda^kE^*$ y $\beta = \sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$, donde$\alpha(e_I)$ abrevia $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$. Ambos lados son $k$-lineales y alternándose, por lo que se ponen de acuerdo en cuanto se ponen de acuerdo en todos $k$-tuplas $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ con $j_1 < \dots < j_k$ (la multilinealidad se reduce a tuplas de vectores base, alternancia a estrictamente crecientes). Y $e_I^*(e_{j_1}, \dots, e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$: para $I = J$ la matriz es la identidad; para $I \neq J$ algunos fila es cero. Entonces $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$ para todos los $J$: $\beta = \alpha$. Libertad. Si $\sum_I c_Ie_I^* = 0$, evaluar en $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ da $c_J = 0$. ∎

Demostración. Ambas propiedades se verifican en elementos básicos y se amplían mediante bilinealidad. Asociatividad: ambos paréntesis de $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ igual a la cuña del familia concatenada de formas $1$, mediante la fórmula determinante de Definición 21.3 (Ampliación de Laplace por bloques). La regla de los signos: moviendo cada uno de los factores $\ell$ de $\beta$ más allá de los factores $k$ de $\alpha$ cuesta un signo por adyacente transposición (un intercambio de dos filas del determinante), por lo tanto $(-1)^{k\ell}$ en total. ∎

Demostración. Las identidades funcionales son inmediatas a partir de las definiciones. (para la regla del producto, verifique las cuñas de formas $1$ con el fórmula determinante — $\det(\ell_i(uv_j)) = \det((u^*\ell_i)(v_j))$ — luego extender bilinealmente). (1) $u^*$ asigna el $\Lambda^nE^*$ unidimensional (Proposición 21.4) a sí mismo, por lo que $u^*\alpha = c\,\alpha$con$c$es independiente de$\alpha \neq 0$; prueba en $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ y $(v_j) = (e_j)$da$c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$. (2) Para $v_1, \dots, v_k \in E$, los vectores $u(v_1), \dots, u(v_k)$se encuentran en la imagen de$u$, de dimensión$< k$: son linealmente dependiente, y un forma alterna desaparece en un familia dependiente (expandir el vector dependiente a lo largo del otros). ∎

Demostración. (a) Por bilinealidad basta con tratar $\omega = a\,\dd x_I$,$\eta = b\,\dd x_J$. Luego$\omega \wedge \eta = ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ y

y mover el formato $1$ $\dd b$ más allá de los factores $k$ de $\dd x_I$cuesta$(-1)^k$ (Definición 21.5): el El segundo término es $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$. (b) Para una función: $\dd(\dd a) = \sum_{i,j} \frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge \dd x_i$. El coeficiente es simétrico en$(i,j)$ por Teorema de Schwarz sobre parciales mixtos (probado en el Año 2 volumen; $a$ es $\mathcal C^\infty$), mientras que $\dd x_j \wedge \dd x_i$es antisimétrico: emparejando los términos$(i,j)$ y $(j,i)$, todo se cancela. Para un $\omega = \sum a_I\dd x_I$general:$\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I) = \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$ por (a), y ambos términos desaparecen ($\dd(\dd x_I) = 0$ desde el el coeficiente es constante). ∎

Demostración. (a) Declaraciones puntuales sobre retrocesos lineal (Proposición 21.6), más la regla de la cadena $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$. (b) Para un formulario $0$ $f$: $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ es la regla de la cadena. Para $\omega = a\,\dd y_I$: usando (a), $\varphi^*\omega = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$, por lo que según la regla de Leibniz (Teorema 21.9(a)) y $\dd\dd\varphi_{i_r} = 0$:

(c) Puntualmente esto es exactamente $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ en formularios de primer grado (Proposición 21.6(1) con $u = D\varphi(x)$). ∎

Demostración. Construimos un operador de homotopía $h\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ lineal con

si $\dd\omega = 0$, entonces $\omega = \dd(h\omega)$ y estamos hecho. Para juego $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$

(el sombrero elimina un factor; las integrales son suaves en $x$ por diferenciación bajo la integral, Teorema 10.15, siendo todos los derivados dominado en compactos). comprobando (21.1) es un cálculo que se realiza una vez al vida, por eso lo hacemos en su totalidad. Repare $I$ y tome $\omega = a\,\dd x_I$ (linealidad). Primero,

el primer grupo recoge los términos en los que $\dd$ llega al factor $x_{i_r}$ — la cuña $\dd x_{i_r}\wedge\dd x_{I\setminus i_r}$vuelve a ensamblar$\dd x_I$ con un signo $(-1)^{r-1}$ que cancela el prefactor, y los valores de $k$ de $r$ dan el factor $k$ — mientras que el segundo grupo recoge los términos donde $\dd$ llega a la integral (cadena la regla muestra $t\,\partial_ja(tx)$). A continuación, $\dd\omega = \sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$, y aplicando el definición de $h$ en el grado $k+1$, ocupando el índice $j$ la primera ranura:

Las sumas dobles se cancelan en $\dd(h\omega) + h(\dd\omega)$, que por lo tanto es igual

por el teorema fundamental del cálculo. forma de estrella ingresó donde tenía que hacerlo: $tx \in U$ para $t \in \intcc01$, para que $a(tx)$ tenga sentido. ∎

Demostración. (a) Sean $\gamma\colon V \to M$, $\delta\colon V' \to M$ parametrizaciones directas cuyas imágenes contienen $\operatorname{supp}\omega\cap M$. La transición $\tau = \delta^{-1}\circ\gamma$ es un difeomorfismo entre la subconjuntos abiertos relevantes de $V, V'$ (suavidad de las transiciones: Teorema 20.3, vía local descripción del gráfico), y $\gamma = \delta\circ\tau$ allí, por lo que $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ (Teorema 21.11(a)). Escribe $\delta^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$; entonces (Teorema 21.11(c)) $\tau^*(\delta^*\omega) = (g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$. Al ser ambos fotogramas directos, $D\tau$ asigna una base positiva a una base positiva: $\det D\tau > 0$, entonces $\det D\tau = \abs{\det D\tau}$ y el teorema de cambio de variables (Teorema 11.11) da $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$: los dos las integrales concuerdan. Here is the whole reason orientación exists: sin el control de signos, el jacobiano y su los valores absolutos difieren y la integral está mal definida. (b) Si $(\chi_i)$ y $(\tilde\chi_j)$ son dos admisibles particiones (cubiertas incluidas), luego por (a) y finitas aditividad, $\sum_i\int\chi_i\omega = \sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega = \sum_j\int\tilde\chi_j\omega$, cada término doble computable en cualquiera de los gráficos. La última declaración: si $\gamma$ se desborda parametrizaciones directas de $M$, luego se ejecuta $\Phi\circ\gamma$ sobre parametrizaciones directas de $M'$ (el orientación comparación es localmente constante y fija en un punto por componente) y $(\Phi\circ\gamma)^*\omega = \gamma^*(\Phi^*\omega)$. ∎

Demostración. Cada $x \in K$ se encuentra en algún $W_{i(x)}$ con una bola cerrado $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$; extractos de compacidad $x_1, \dots, x_N$ con las bolas $B(x_s, r_{x_s})$ cubriendo $K$. Para cada $s$, realice un golpe $\theta_s \in \mathcal C^\infty$,$0 \leq \theta_s \leq 1$,$\theta_s = 1$ en $\bar B(x_s, r_{x_s})$, $\operatorname{supp}\theta_s \subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (apaciguar el indicador del bola de radio $\frac32r_{x_s}$, Teorema 12.9). Asigne cada $s$ a uno índice $i(s)$ con $B(x_s, 2r_{x_s}) \subseteq W_{i(s)}$ y establezca $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$. En el conjunto abierto $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j > \tfrac12\} \supseteq K$, el Las funciones $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ hacen el trabajo pero son definido sólo allí; para globalizar, deje que $\rho \in \mathcal C^\infty(\R^n)$satisfaga$\rho = 0$donde$\sum_j\Theta_j \geq 1$y$\rho > 0$donde$\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ (apaciguar un límite adecuado de $1 - \sum_j\Theta_j$), y conjunto

El denominador está en todas partes $> 0$ y es igual $\sum_j\Theta_j$ en $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$, un abierto entorno de $K$ (cada punto de $K$ se encuentra en alguna bola $B(x_s, r_{x_s})$ donde $\theta_s = 1$); allí $\sum_i\chi_i = 1$. Los apoyos y los límites son claros. ∎

Demostración. Primero la contabilidad orientación: la normalidad exterior a lo largo $\partial H^k$ es $-e_k$, y

el marco $(e_1, \dots, e_{k-1})$ de $\partial H^k$ es positivo para el orientación inducido exactamente cuando $k$ es Incluso, de ahí la comparación indicada. Por linealidad, tome $\eta = f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$,$f \in \mathcal C^\infty_c(\R^k)$; entonces$\dd\eta = (-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ (mover $\dd u_i$ a su ranura cuesta intercambios $i - 1$). dos casos, ambos de Tonelli–Fubini (Teorema 11.6) y el de una variable teorema fundamental del cálculo.

Caso $i < k$. Integrando primero en $u_i$ sobre $\R$: $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ (compatible con compacto), por lo que $\int_{H^k}\dd\eta = 0$. Y la restricción de $\eta$ a $\{u_k = 0\}$ contiene el factor $\dd u_k$, que restringe a $0$ ($u_k$ es constante allí): $\int_{\partial H^k}\eta = 0$ también.

Caso $i = k$. Integrando primero en $u_k$ terminado $\intco0\infty$:

En el lado límite, $\eta$ se restringe a $f(u', 0)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$ y el inducido orientación siendo $(-1)^k$ veces el estándar, $\int_{\partial H^k}\eta = (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$. Las dos partes están de acuerdo. ∎

Demostración. Cubra el compacto $M$ con un número finito de imágenes de directo gráficos (interior o límite) y tome un partición de unidad $(\chi_i)$ subordinado al correspondiente conjuntos abiertos $W_i$ de $\R^n$ (Lema 21.20), con $\sum\chi_i = 1$en un entorno de$M$. Sobre eso entorno $\dd(\sum\chi_i) = 0$, entonces

ambos lados son aditivos y basta con demostrar la Teorema para una forma compatible con una sola imagen de gráfico.

Interior chart. Si $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$con$V$abierto en$\R^k$: extienda$\eta = \gamma^*\omega$por cero a$\R^k$ (suave, soporte compacto en $V$) y aplicar Lema 21.22 con el soporte fuera de $\partial H^k$ (traducir $V$ al abra el medio espacio superior — o simplemente repita el caso $i < k$ cálculo sobre todo $\R^k$): $\int_M\dd\omega = \int_{\R^k}\dd\eta = 0$y$\int_{\partial M}\omega = 0$ ya que $\omega$ desaparece cerca de $\partial M$.

Límite chart. Si $\operatorname{supp}\omega\cap M \subseteq \gamma(V \cap H^k)$: con$\eta = \gamma^*\omega$ extendido por cero, $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ (Teorema 21.11(b)), por lo que mediante Definición 21.18:

Falta identificar el lado derecho con $\int_{\partial M}\omega$. El límite está parametrizado por$\beta(u') = \gamma(u', 0)$y$\beta^*\omega$ es la restricción de $\eta$ a $\{u_k = 0\}$ (obstáculo bajo la inclusión $u' \mapsto (u', 0)$compuesta con$\gamma$). El orientación la comparación es la misma $(-1)^k$ en ambos lados: el marco $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ se sienta en el inducido orientación de $\partial M$ con el signo $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$ calculado en el gráfico (el vector de salida retrocede a $-e_k$), que es exactamente el signo que relaciona la inducción de $\partial H^k$ orientación al estándar $\R^{k-1}$ (Lema 21.22). Las dos convenciones de signos. cancelar: $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$. ∎