Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

2Anillos y aritmética

Los números enteros ordinarios se factorizan únicamente en números primos; también lo hacen los polinomios sobre un campo. ¿Son estos dos hechos un teorema? Este capítulo responde sí, y encuentra las hipótesis exactas que componen una "aritmética" posible en un anillo conmutativo: la cadena

\text{Euclidean} \;\Longrightarrow\; \text{principal} \;\Longrightarrow\; \text{factorial (UFD)},

con todas las implicaciones probadas y todas las conversaciones refutadas. la teoria luego se prueba donde se gana su sustento: los enteros gaussianos $\Z[\iu]$ (que descifrará el teorema de los dos cuadrados de Fermat en el problema de fin de semana), anillos polinomiales en varias variables (de Gauss lema, criterio de Eisenstein), y anillos noetherianos, culminando en el teorema de la base de Hilbert. En todo momento, anillo significa anillo conmutativo con unidad $1 \neq 0$ ; el volumen del año 2 ideales de $\Z$ y $K[X]$ son nuestros dos ejemplos guía.

2.1 Ideales, cocientes y el teorema del isomorfismo

Definición 2.1

Un ideal $I$ de un anillo $A$ es un aditivo subgrupo tal que $AI \subseteq I$ . El cociente anillo $A/I$ es el grupo cociente $(A, +)/I$ con la multiplicación $(a + I)(b + I) = ab + I$ : bien definido, desde que se cambió $a$ a $a + x$ , $b$ a $b + y$ ( $x, y \in I$ ) cambia $ab$ por $ay + xb + xy \in I$ . La proyección $\pi \colon A \to A/I$ es un morfismo de anillo sobreyectivo con núcleo $I$ y núcleos de los morfismos de anillo son exactamente los ideales.

Teorema 2.2 (Primer teorema del isomorfismo)

Si $f \colon A \to B$ es un morfismo de anillo, entonces $\bar f\colon A/\ker f \to \operatorname{im} f$ , $a + \ker f \mapsto f(a)$ , es un isomorfismo de anillo. De manera más general, $f$ factoriza a través de $A/I$ para cualquier ideal $I \subseteq \ker f$ . Los ideales de $A/I$ son los $J/I$ para $J \supseteq I$ y ideal de $A$ (teorema de correspondencia).

Demostración. En cuanto a grupos (Teoremas 1.3 y 1.5), destacando que todos las aplicaciones a la vista también respetar productos: $\bar f$ está bien definido, biyectivo en el imagen y multiplicativo; la correspondencia $J \mapsto J/I$ , $\bar J \mapsto \pi^{-1}(\bar J)$ conserva ideales en ambos direcciones porque $\pi$ es un morfismo de anillo sobreyectivo. ∎

Definición 2.3

Sea $I \subsetneq A$ un ideal adecuado. $I$ es principal si $ab \in I \Rightarrow a \in I$ o $b \in I$ ; $I$ es máximo si no ideal se encuentra estrictamente entre $I$ y $A$ .

Proposición 2.4

$I$ es primo $\iff$ $A/I$ es un dominio integral; $I$ es máximo $\iff$ $A/I$ es un campo. En particular ideales maximales son primos.

Demostración. Escriba $\bar a$ para las clases en $A/I$ . “ $I$ principal” traduce textualmente a “ $\bar a\bar b = 0 \Rightarrow \bar a = 0$ o $\bar b = 0$ ”, y $A/I \neq 0$ a $I \neq A$ : esa es la definición de un dominio. Para maximalidad, utilice el teorema de correspondencia: no ideal estrictamente entre $I$ y $A$ $\iff$ $A/I$ no tiene ideal más que $0$ y $\iff$ $A/I$ es un campo — para el último paso: en un campo el único ideales es $0$ y todo (un ideal que contiene $x \ne 0$ contiene $x^{-1}x = 1$ ); por el contrario, si cada $x$ distinto de cero genera la unidad ideal, luego $xy = 1$ para algunos $y$ . Los campos son dominios, por lo que ideales maximales son primos. ∎

Ejemplo 2.5

En $\Z$ : los ideales primordiales son $(0)$ y los $(p)$ , $p$ primos; el Los máximo son los $(p)$ ( $\Z/p\Z = \mathbb F_p$ es un campo, $\Z/(0) = \Z$ no lo es). En $K[X, Y]$ : $(X) \subsetneq (X, Y)$ son ambos primos ( $K[X,Y]/(X) \cong K[Y]$ , un dominio; $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$ , un campo), por lo que $(X)$ es primo pero no máximo.

Para garantizar que ideales maximales existir en toda su generalidad, Necesitamos un principio de teoría de conjuntos. Un conjunto parcialmente ordenado es inductivo si cada subconjunto totalmente ordenado (cadena) tiene un límite superior.

Teorema 2.6 (lema de zorn)

Todo conjunto inductivo parcialmente ordenado no vacío tiene un máximo elemento.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 2.7

Este no es un teorema de las matemáticas ordinarias sino un axioma: es equivalente, sobre los axiomas básicos de Zermelo-Fraenkel de conjunto teoría, al axioma de elección ("todo producto de conjuntos no vacíos no está vacío"), que aceptamos a lo largo de este libro. Marcamos cada uno uso. El análisis lo invocará nuevamente (Hahn–Banach, Capítulo 8).

Teorema 2.8 (krüll)

Cada ideal $I \subsetneq A$ adecuado está contenido en un máximo ideal.

Demostración. Ordene por inclusión el conjunto $\mathcal E$ de ideales adecuado que contiene $I$ ; no está vacío ( $I \in \mathcal E$ ). una cadena $(J_\lambda)$ en $\mathcal E$ tiene un límite superior $J = \bigcup J_\lambda$ : un ideal (cualquier $a, b \in J$ se encuentra en un $J_\lambda$ común por totalidad), propia ( $1 \notin J_\lambda$ para todos los $\lambda$ ), que contiene $I$ . El lema de Zorn produce un elemento máximo de $\mathcal E$ , que es un ideal máximo que contiene $I$ (un ideal estrictamente encima y apropiado estaría en $\mathcal E$ ). ∎

Teorema 2.9 (Teorema del resto chino)

Sea $I_1, \dots, I_n$ por pares comaximal ideales de $A$ ( $I_k + I_l = A$ para $k \neq l$ ). entonces

A\Big/\bigcap_{k=1}^n I_k \;\xrightarrow{\;\sim\;}\; \prod_{k=1}^n A/I_k, \qquad a \longmapsto (a + I_1, \dots, a + I_n),

y además $\bigcap_k I_k = I_1 I_2 \cdots I_n$ (el ideal generado por productos).

Demostración. La aplicación $f(a) = (a + I_k)_k$ es un morfismo de anillo con kernel $\bigcap I_k$ ; por Teorema 2.2 basta con demostrar la sobrejetividad. Reparar $k$ ; para cada $l \neq k$ escriba $1 = u_l + v_l$ con $u_l \in I_k$ , $v_l \in I_l$ (comaximalidad). entonces

e_k = \prod_{l \neq k} v_l = \prod_{l\neq k}(1 - u_l) \equiv 1 \pmod{I_k}, \qquad e_k \in I_l \ (l \neq k),

entonces $f(e_k) = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ; dado un objetivo $(a_k + I_k)_k$ , el elemento $\sum_k a_k e_k$ se asigna a él.

Productos vs intersección: $I_1\cdots I_n \subseteq \bigcap I_k$ siempre. Por el contrario, por inducción basta con tratar $n = 2$ (se verifica que $I_1$ y $I_2\cdots I_n$ sean comaximal: multiplicar $1 = u_l + v_l$ sobre $l \geq 2$ da $1 \in I_1 + I_2\cdots I_n$ ). Para $n = 2$ : escriba $1 = u + v$ , $u \in I_1$ , $v \in I_2$ ; para $x \in I_1 \cap I_2$ , $x = xu + xv \in I_2I_1 + I_1I_2 = I_1I_2$ . ∎

Ejemplo 2.10

En $\Z$ con $I_k = (m_k)$ , $m_k$ coprimo por pares: $\Z/(m_1\cdots m_n)\Z \cong \prod \Z/m_k\Z$ — el volumen del año 2 en chino teorema del resto. Restricción a unidades: $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ para $\gcd(m,n)=1$ , de donde la multiplicatividad de $\varphi$ de Euler (Ejercicio 2.8).

2.2 Divisibilidad: euclidiana, principal, factorial

Definición 2.11

Sea $A$ un dominio integral, $a, b \in A$ . Nosotros decimos $a$ divide $b$ ( $a \mid b$ ) si $b \in (a) = aA$ . Los elementos $a, b$ son asociados si $a = ub$ con $u \in A^\times$ (equivalentemente $(a) = (b)$ ). Un distinto de cero no unidad $p$ es:

irreducible si $p = ab$ fuerzas $a \in A^\times$ o $b \in A^\times$ ;
principal si $p \mid ab$ fuerza a $p \mid a$ o $p \mid b$ (es decir, el ideal $(p)$ es primo).

Proposición 2.12

En cualquier dominio, prima $\Rightarrow$ irreducible. Lo contrario es falso en general: en $\Z[\iu\sqrt 5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}$ , el elemento $2$ es irreducible pero no es primo.

Demostración. Sea $p$ primo y $p = ab$ . Luego $p \mid ab$ , diga $p \mid a$ : $a = pc$ , entonces $p = pcb$ , y al cancelar $p$ (¡dominio!) se obtiene $cb = 1$ : $b \in A^\times$ .

En $\Z[\iu\sqrt5]$ se utiliza la norma $N(x + \iu y\sqrt 5) = x^2 + 5y^2$ , que es multiplicativa (es $\abs z^2$ ). Si $2 = ab$ con $a, b$ no unidades, luego $4 = N(a)N(b)$ con $N(a), N(b) \neq 1$ (los elementos norma- $1$ son $\pm1$ , las unidades), por lo que $N(a) = 2$ : imposible, $x^2 + 5y^2 = 2$ no tiene una solución entera. Entonces $2$ es irreducible. Pero $2 \mid 6 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5)$ mientras que $2$ no divide ningún factor ( $\frac12 \pm \frac{\iu\sqrt5}2 \notin \Z[\iu\sqrt5]$ ): no es primo. ∎

Definición 2.13

Un dominio integral $A$ es:

euclidiano si hay una aplicación $\nu \colon A \setminus \{0\} \to \N$ (un euclidiano función) tal que para todos los $a, b$ con $b \ne 0$ hay existen $q, r$ con $a = bq + r$ y ( $r = 0$ o $\nu(r) < \nu(b)$ );
principal (a PID) si cada ideal tiene la forma $(a)$ ;
factorial (a UFD) si cada no unidad distinta de cero es un producto de irreductibles, únicamente bajo pedido y asociados.

Teorema 2.14

euclidiano $\Rightarrow$ principal.

Demostración. Sea $I \neq (0)$ un ideal y $b \in I \setminus\{0\}$ con $\nu(b)$ mínimo. Para $a \in I$ , divida: $a = bq + r$ ; entonces $r = a - bq \in I$ y $\nu(r) < \nu(b)$ contradirían la minimalidad, por lo que $r = 0$ y $a \in (b)$ : $I = (b)$ . ∎

Ejemplo 2.15

$\Z$ (con $\nu = \abs\cdot$ ) y $K[X]$ (con $\nu = \deg$ ) son euclidiano — el volumen del Año 2 demostró ambas divisiones. Así es $\Z[\iu]$ , siendo $\nu = N$ la norma cuadrada (Ejercicio 2.4); la geometría de la prueba está en el figura a continuación. Existe un PID que no es euclidiano pero es delicado para certificar (el ejemplo estándar es $\Z\bigl[\frac{1+\iu\sqrt{19}}2\bigr]$ ); un UFD que no es un PID es fácil: $K[X, Y]$ (Ejercicio 2.6) o $\Z[X]$ .

División en los enteros gaussianos: el cociente exacto a/b ∈ ℂ se encuentra a la distancia ≤ √2/2 < 1 de algún punto de celosía q ∈ ℤ[ ]; entonces r = a - bq tiene N(r) = N(b)\,|a/b - q|2 < N(b). Una división euclidiano, por lo tanto una aritmética completa. — División en los enteros gaussianos: el cociente exacto $a/b \in \C$ se encuentra a la distancia $\leq \frac{\sqrt2}{2} < 1$ de algún punto de celosía $q \in \Z[\iu]$ ; entonces $r = a - bq$ tiene $N(r) = N(b)\,\abs{a/b - q}^2 < N(b)$ . Una división euclidiano, por lo tanto una aritmética completa.

Lema 2.16 (Cadenas ascendentes de ideales principales)

En un PID, cada secuencia creciente de ideales $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ es finalmente constante.

Demostración. $I = \bigcup_n I_n$ es ideal (la unión está aumentando), por lo que $I = (a)$ ; el elemento $a$ se encuentra en algún $I_N$ , y luego $I = (a) \subseteq I_N \subseteq I_n \subseteq I$ en $n \geq N$ . ∎

Lema 2.17 (Bézout; Lema de Euclides)

Sea $A$ un PID y un $a, b \in A$ . Entonces $(a) + (b) = (d)$ para algunos $d$ , a máximo común divisor: $d \mid a$ , $d \mid b$ , y cada divisor común de $a, b$ divide a $d$ ; además $d = au + bv$ para algunos $u, v$ (Bézout). En consecuencia, cada elemento irreducible de un PID es prima.

Demostración. $(a) + (b)$ es ideal, por lo tanto $(d)$ ; $a, b \in (d)$ da $d \mid a, b$ ; y $d = au + bv \in (a) + (b)$ . Un divisor común $c$ de $a, b$ divide $au + bv = d$ .

Euclides: sea $p$ irreducible, $p \mid ab$ , $p \nmid a$ . un mcd $d$ de $p$ y $a$ divide a $p$ , por lo que $d$ es una unidad o un asociado de $p$ (irreductibilidad); El asociado está excluido por $p \nmid a$ . entonces $1 = pu + av$ , de donde $b = pub + abv$ y $p$ dividen ambos términos: $p \mid b$ . ∎

Teorema 2.18

Principal $\Rightarrow$ factorial.

Demostración. Existencia. Supongamos que alguna no unidad $a$ distinta de cero no tiene factorización en irreductibles. Entonces $a$ no es irreducible: $a = a_1b_1$ con ambos factores no unidades; al menos uno de ellos, digamos $a_1$ , nuevamente no tiene factorización (un producto de dos factorizables elementos son factorizables). Iterando, obtenemos $a = a_0, a_1, a_2, \dots$ , cada uno de los cuales es un divisor adecuado del último sin factorización, entonces $(a_0) \subsetneq (a_1) \subsetneq (a_2) \subsetneq \cdots$ — las inclusiones son estrictas porque $a_n = a_{n+1}c$ con $c$ a no unidad significa que $(a_n) = (a_{n+1})$ forzaría a $c \in A^\times$ (cancelar en un dominio). Esto contradice Lema 2.16.

Unicidad. Deja $p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s$ con todos factores irreducible, $r \leq s$ , por inducción en $r$ . el mejor (Lema 2.17) $p_1$ divide el lado derecho, por lo que divide algunos $q_j$ ; renumerar $j = 1$ . Como $q_1$ es irreducible y $p_1$ no es una unidad, $q_1 = u p_1$ con $u \in A^\times$ : $p_1, q_1$ son asociados. Cancelar $p_1$ : $p_2 \cdots p_r = (u q_2) q_3\cdots q_s$ y concluir por inducción ( $r = 1$ fuerza a $s = 1$ : una unidad multiplicada por irreductibles no puede ser $1$ ). ∎

Observación 2.19

En un UFD, existen mcd (tome exponentes mínimos en el factorizaciones) y el lema de Euclides se cumple — irreducible $=$ primo (Ejercicio 2.2) — pero Bézout puede fallar: en $\Z[X]$ , $\gcd(2, X) = 1$ y $1 \neq 2U + XV$ (evaluar en $X = 0$ : $1 = 2U(0)$ , imposible). Las identidades Bézout son exclusivas propiedad de PID.

Ejemplo 2.20 (Un anillo sin factorización única)

Ninguna de las implicaciones euclidiano $\Rightarrow$ PID $\Rightarrow$ UFD es una equivalencia, y el fallo del Vale la pena verlo una vez con todo detalle. en

A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}, \qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,

la norma es multiplicativa y $N(z) = 1$ si y sólo $z \in A^\times = \{\pm1\}$ . considerar

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).

Los cuatro factores son irreducible: sus normas son $4, 9, 6, 6$ y una factorización adecuada $z = z_1z_2$ obligaría $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — pero $a^2 + 5b^2$ nunca es igual a $2$ o $3$ ( $b = 0$ deja los no cuadrados $2, 3$ ; $\abs b \geq 1$ da $\geq 5$ ). Sin embargo, $2$ no está asociado a $1 \pm \iu\sqrt5$ (normas $4 \neq 6$ ): dos realmente diferentes. factorizaciones de $6$ en irreductibles. De manera equivalente, irreducible $\neq$ prima aquí: $2$ divide el producto $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ pero ninguno de los factores (normas otra vez). La reparación teórica ideal de este fracaso — factorizar ideales en lugar de elementos — es el nacimiento de la teoría algebraica de números; a nuestro nivel, el ejemplo calibra qué tan especiales son los anillos euclidiano $\Z$ , $K[X]$ , $\Z[\iu]$ de este capítulo realmente lo son.

Método 2.21

Para identificar un anillo cociente $A/I$ , busque un morfismo sobreyectivo $f \colon A \to B$ con el kernel $I$ e invocar Teorema 2.2; cuando $A = C[X]$ es un polinomio anillo, $f$ suele ser una evaluación. Así $\Z[X]/(X^2+1) \cong \Z[\iu]$ (evaluar en $\iu$ ), $K[X,Y]/(Y - X^2) \cong K[X]$ (evaluar $Y$ en $X^2$ ), $\R[X]/(X^2+1) \cong \C$ . Para mostrar $I$ primo o máximo, muestra que el cociente es un dominio o un campo (Proposición 2.4).

2.3 Polinomios sobre una UFD: Gauss y Eisenstein

A lo largo de esta sección $A$ es un UFD con campo de fracción $K$ (construido como el campo de cocientes formales $a/b$ , $b \neq 0$ , exactamente como $\Q$ de $\Z$ ; el volumen del año 2 hizo esto construcción para $\Q$ , y se traslada textualmente). Nuestro objetivo: la factorialidad pasa de $A$ a $A[X]$ , y la irreducibilidad pasa $A$ es esencialmente irreductibilidad sobre el campo más grande $K$ .

Definición 2.22

El contenido $c(P)$ de un distinto de cero $P \in A[X]$ es un mcd de sus coeficientes (definidos hasta un unidad); $P$ es primitivo si $c(P) \in A^\times$ . Cada $P \in A[X]$ escribe $P = c(P)\,P_1$ con la primitiva $P_1$ , y cada $P \in K[X]\setminus\{0\}$ escribe $P = \lambda P_1$ con $\lambda \in K^\times$ y $P_1 \in A[X]$ primitivas (denominadores claros, luego factorice el contenido).

Lema 2.23 (Gauss)

El producto de dos polinomios primitivos de $A[X]$ es primitivo; en consecuencia $c(PQ) = c(P)c(Q)$ hasta unidades.

Demostración. Sea $P, Q$ primitivo y supongamos que algún irreducible (= primo, UFD) $p$ divide todos los coeficientes de $PQ$ . Reducir módulo $p$ : en $(A/(p))[X]$ , $\bar P \bar Q = 0$ . Pero $A/(p)$ es un dominio ( $(p)$ primo), por lo que $(A/(p))[X]$ es un dominio (coeficientes principales multiplicar), forzando $\bar P = 0$ o $\bar Q = 0$ : $p$ divide todo coeficientes de $P$ o todo $Q$ , contradiciendo la primitividad. Para la consecuencia, escriba $P = c(P)P_1$ , $Q = c(Q)Q_1$ : $PQ = c(P)c(Q) P_1Q_1$ con $P_1Q_1$ primitiva. ∎

Teorema 2.24

Sea $A$ un UFD con campo de fracción $K$ .

Una primitiva $P \in A[X]$ de grado $\geq 1$ es irreducible en $A[X]$ si es irreducible en $K[X]$ .
$A[X]$ es un UFD; sus irreductibles son los irreductibles de $A$ y los polinomios primitivos irreducible sobre $K$ . en particular $\Z[X]$ , y por inducción $K[X_1, \dots, X_n]$ y $\Z[X_1, \dots, X_n]$ , son UFD.

Demostración. (1) ( $\Leftarrow$ ) Si $P = QR$ en $A[X]$ con $Q, R$ no unidades, entonces ninguno de los factores es constante (un factor constante de una primitiva el polinomio es una unidad), por lo que la factorización es adecuada en $K[X]$ . ( $\Rightarrow$ ) Supongamos $P = QR$ con $Q, R \in K[X]$ de grados $\geq 1$ . Escriba $Q = \lambda Q_1$ , $R = \mu R_1$ con la primitiva $Q_1, R_1 \in A[X]$ : $P = \lambda\mu\, Q_1R_1$ y $Q_1R_1$ es primitivo de Gauss. Tomando contenido, $\lambda\mu \in A^\times$ (ambos lados tienen la unidad contenido; formalmente, $\lambda\mu = c(P) \in A^\times$ hasta unidades, y en particular $\lambda \mu \in A$ ): $P = (\lambda\mu Q_1) R_1$ es una factorización adecuada en $A[X]$ .

(2) Existencia: dado $P \neq 0$ no unidad, factor $P = c(P)P_1$ , factorice $c(P)$ en irreductibles de $A$ y factorice $P_1$ en el UFD $K[X]$ como $\prod Q_i$ con $Q_i \in K[X]$ irreducible; escribiendo $Q_i = \lambda_i R_i$ con la primitiva $R_i \in A[X]$ (por lo tanto irreducible sobre $K$ , por lo tanto en $A[X]$ por (1)), el producto $\prod \lambda_i$ es una unidad de $A$ como antes y $P_1 = u\prod R_i$ . Unicidad: compara la parte constante de una factorización y parte polinómica; las constantes se multiplican a $c(P)$ (Gauss), única por factorialidad de $A$ ; las partes polinómicas dan dos factorizaciones en $K[X]$ del mismo polinomio, para que coincidan a constantes de $K^\times$ (factorialidad de $K[X]$ , Teorema 2.18), y polinomios primitivos coincidentes asociados en $K[X]$ están asociados en $A[X]$ : si $R = \lambda R'$ con $R, R'$ primitiva y $\lambda \in K^\times$ , luego tomando contenido fuerza a $\lambda \in A^\times$ . ∎

Teorema 2.25 (Criterios de irreductibilidad)

Sea $A$ un UFD, $K$ su campo de fracción y $P = a_nX^n + \dots + a_0 \in A[X]$ una primitiva de grado $n \geq 1$ .

(Reducción) Si $p \in A$ es primo, $p \nmid a_n$ , y la reducción $\bar P$ es irreducible en $(A/(p))[X]$ , entonces $P$ es irreducible en $K[X]$ (por lo tanto en $A[X]$ ).
(Eisenstein) Si algunos Prime $p$ satisface $p \nmid a_n$ , $p \mid a_i$ para $0 \leq i < n$ y $p^2 \nmid a_0$ , luego $P$ es irreducible. en $K[X]$ (por lo tanto en $A[X]$ ).

Demostración. Por Teorema 2.24(1), una factorización adecuada sobre $K$ produce $P = QR$ con $Q, R \in A[X]$ , $\deg Q, \deg R \geq 1$ (Se excluyen las constantes: serían unidades o se estropearían). primitividad).

(1) Reducir mod $p$ : $\bar P = \bar Q\bar R$ en $(A/(p))[X]$ . desde $p \nmid a_n$ y $\deg$ sólo pueden caer bajo reducción, $\deg \bar Q = \deg Q \geq 1$ y $\deg\bar R = \deg R \geq 1$ (sus principales los coeficientes se multiplican a $\bar a_n \neq 0$ , por lo que ninguno cae): $\bar P$ factoriza adecuadamente — contradicción.

(2) Reducir mod $p$ : $\bar Q \bar R = \bar P = \bar a_n X^n$ (todos los coeficientes más bajos mueren). En el dominio $(A/(p))[X]$ , el Las factorizaciones de $cX^n$ ( $c \ne 0$ ) son constantes y puras. poderes $c'X^k$ : efectivamente si $\bar Q\bar R = \bar a_nX^n$ , y digamos $\bar Q$ tenía un coeficiente distinto de cero en el grado $< \deg\bar Q$ , tome términos más bajos distintos de cero: $\operatorname{val}(\bar Q\bar R) = \operatorname{val}\bar Q + \operatorname{val}\bar R$ (dominio), que debe ser igual a $n = \deg\bar Q + \deg\bar R$ , forzando $\operatorname{val} = \deg$ para ambos: ambos son monomios. como arriba, los grados no bajan, por lo que $Q$ y $R$ tienen su constante términos $Q(0), R(0)$ divisible por $p$ — ambos, ya que ambos las reducciones son monomios de grado $\geq 1$ . Entonces $p^2 \mid Q(0)R(0) = a_0$ : contradicción. ∎

Ejemplo 2.26

$X^n - p$ es irreducible sobre $\Q$ para cada primo $p$ y $n \geq 1$ (Eisenstein en $p$ ): hay polinomios irreducible de cada grado sobre $\Q$ — en marcado contraste con $\C$ (grado $1$ , d’Alembert–Gauss, probado en Capítulo 16) y $\R$ (grados $1, 2$ ). El truco de movedizo se amplía Alcance de Eisenstein: el $p$ -ésimo ciclotómico polinomio $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ tiene

\Phi_p(X + 1) = \frac{(X+1)^p - 1}{X} = X^{p-1} + \binom{p}{1}X^{p-2} + \dots + \binom{p}{p-1},

Eisenstein en $p$ ( $p \mid \binom pk$ para $0 < k < p$ , y $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$ ): $\Phi_p(X+1)$ , por lo tanto $\Phi_p$ , es irreducible sobre $\Q$ . Este es el corazón algebraico de la historia de $17$ -gon contada en Capítulo 4.

Método 2.27

Para probar $P \in \Z[X]$ irreducible sobre $\Q$ : (i) hacer $P$ primitivo; (ii) probar Eisenstein, en $P(X)$ y en los turnos $P(X \pm 1)$ ; (iii) intente reducir el módulo de primos pequeños que no dividen el coeficiente principal — irreductibilidad mod uno $p$ es suficiente, y más allá de $\mathbb F_p$ la irreductibilidad es una verificación finita (ninguna raíz excluye los factores de grado- $1$ ; luego pruebe los números finitos factores de cada grado $\leq \deg P/2$ ); (iv) si todo lo demás falla, coeficientes indeterminados. Cuidado: el mod de reducibilidad lo hace cada $p$ no implica reducibilidad sobre $\Q$ (Ejercicio 2.11).

2.4 anillos noetherianos

Definición 2.28

Un anillo $A$ es noetheriano si cada ideal de $A$ se genera de forma finita.

Proposición 2.29

$A$ es noetheriano si cada secuencia creciente de ideales es eventualmente constante (condición de cadena ascendente), si cada La familia no vacía de ideales tiene un elemento máximo (para inclusión).

Demostración. (FG $\Rightarrow$ ACC): para una cadena $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ , la unión $I$ es una ideal, generada por $x_1, \dots, x_r$ ; todos los $x_i$ se encuentran en algunos $I_N$ , por lo que $I = I_N = I_n$ para $n \geq N$ . (ACC $\Rightarrow$ máximo elements): si un La familia no vacía $\mathcal F$ no tenía ningún elemento máximo, seleccione $I_1 \in \mathcal F$ y luego inductivamente $I_{n+1} \supsetneq I_n$ en $\mathcal F$ (posible ya que $I_n$ no es máximo): un infinito cadena estrictamente creciente. (Esto utiliza el axioma de dependiente elecciones, una forma débil de elección por la que no nos preocupamos). (Máximo elements $\Rightarrow$ FG): dado un ideal $I$ , la familia de ideales generada finitamente contenida en $I$ es no vacío ( $(0)$ ); un elemento máximo $J = (x_1, \dots, x_r)$ debe igual a $I$ : en caso contrario, sumando $x \in I \setminus J$ al Los generadores producen un miembro estrictamente más grande de la familia. ∎

Teorema 2.30 (Teorema de la base de Hilbert)

Si $A$ es noetheriano, también lo es $A[X]$ . Por lo tanto también lo son $A[X_1, \dots, X_n]$ , y cada cociente de ellos.

Demostración. Sea $I$ un ideal de $A[X]$ y supongamos que $I$ no es finitamente generado. Construye una secuencia: $f_1 \in I \setminus \{0\}$ de grado mínimo, e inductivamente $f_{k+1} \in I \setminus (f_1, \dots, f_k)$ de grado mínimo (el conjunto no está vacío por supuesto). Los grados $d_k = \deg f_k$ no son decrecientes (por minimalidad de cada elección: $f_{k+1}$ estaba disponible en el paso $k+1$ ... precisamente, $f_{k+1} \notin (f_1,\dots,f_k) \supseteq (f_1, \dots, f_{k-1})$ , por lo que $f_{k+1}$ compitió en el paso $k$ y perdió o empatado: $d_{k+1} \geq d_k$ ). Deja que $a_k \in A$ sea el líder coeficiente de $f_k$ . La cadena de ideales $(a_1) \subseteq (a_1, a_2) \subseteq \cdots$ se estabiliza: $a_{n+1} \in (a_1, \dots, a_n)$ para algunos $n$ , digamos $a_{n+1} = \sum_{k\leq n} u_k a_k$ . considerar

g = f_{n+1} - \sum_{k=1}^{n} u_k X^{\,d_{n+1} - d_k} f_k .

Entonces $g \in I \setminus (f_1, \dots, f_n)$ (la suma está en el ideal, $f_{n+1}$ no), pero el coeficiente de grado $d_{n+1}$ cancela: $\deg g < d_{n+1}$ , contradiciendo lo minimalidad de $d_{n+1} = \deg f_{n+1}$ .

Iterando, $A[X_1, \dots, X_n] = (A[X_1, \dots, X_{n-1}])[X_n]$ es noetheriano; un cociente $A/I$ es noetheriano porque es ideales $J/I$ se eleva a ideales de $A$ (correspondencia), donde hay un número finito Los generadores se proyectan sobre los generadores. ∎

Observación 2.31

La noetherianidad es el axioma de finitud de la geometría algebraica: cualquier sistema de ecuaciones polinomiales en variables $n$ , por infinitas que sean, es equivalente a un número finito de ellos — su conjunto de soluciones se corta por un número finito de polinomios. PID son noetheriano (trivialmente); $\Z[X_1, X_2, \dots]$ en infinitas variables no es ( $(X_1) \subsetneq (X_1, X_2) \subsetneq \cdots$ ). Los anillos No etheriano también se producen de forma natural en el análisis: continuo funciones en $\intcc01$ forma uno (Ejercicio 2.10).

2.5 Ceremonias

Ejercicio 2.1 ★

Identifique los cocientes: (a) $\Z[X]/(X^2 + 1) \cong \Z[\iu]$ ; (b) $\R[X]/(X^2+1) \cong \C$ ; (c) $\mathbb F_2[X]/(X^2 + X + 1)$ es un campo con elementos $4$ — escribe su tabla de multiplicar.

Solución

Solución de Ejercicio 2.1.

(a) Evaluación $f \colon \Z[X] \to \Z[\iu]$ , $P \mapsto P(\iu)$ , es un morfismo de anillo sobreyectivo ( $a + bX \mapsto a + b\iu$ ). Núcleo: dividir $P$ por mónico $X^2 + 1$ en $\Z[X]$ : $P = (X^2 + 1)Q + (bX + a)$ con $a, b \in \Z$ ; entonces $P(\iu) = a + b\iu = 0$ sif $a = b = 0$ . Entonces $\ker f = (X^2+1)$ y Teorema 2.2 concluye.

(b) El mismo cálculo con coeficientes $\R$ : $\R[X]/(X^2+1) \cong \C$ — este es el construcción más limpio de $\C$ .

(c) $X^2 + X + 1$ no tiene raíz en $\mathbb F_2$ ( $0, 1 \mapsto 1$ ), entonces, teniendo grado $2$ , es irreducible: el cociente $\mathbb F_4 = \mathbb F_2[X]/(X^2+X+1)$ es un campo (Proposición 2.4; $(P)$ máximo en $K[X]$ cuando $P$ es irreducible, ya que $K[X]$ es un PID: un ideal ( $(D) \supseteq (P)$ significa $D \mid P$ ). Sus cuatro elementos son $0, 1, \omega, \omega + 1$ donde $\omega = \bar X$ , con $\omega^2 = \omega + 1$ . Tabla de multiplicar (elementos distintos de cero):

\omega \cdot \omega = \omega + 1, \qquad \omega(\omega + 1) = \omega^2 + \omega = 1, \qquad (\omega+1)^2 = \omega^2 + 1 = \omega .

Los elementos distintos de cero forman un grupo cíclico de orden $3$ generado por $\omega$ .

Ejercicio 2.2 ★

(a) Demuestre que en UFD, todo elemento irreducible es primo. (b) Demuestre que un dominio integral finito es un campo. (c) Deduzca que en un anillo finito, cada ideal principal es máximo.

Solución

Solución de Ejercicio 2.2.

(a) Sea $p$ irreducible en UFD y $p \mid ab$ , digamos $ab = pc$ , con $a, b \neq 0$ (de lo contrario, trivial). Si $a$ o $b$ es una unidad, $p$ divide al otro. De lo contrario, factorice $a$ , $b$ y $c$ en irreductibles: las dos factorizaciones de $ab$ ,

(\text{factors of } a)(\text{factors of } b) = p \cdot (\text{factors of } c),

debe aceptar el pedido y asociados: $p$ es asociado de algunos irreducible factor de $a$ o de $b$ , por lo tanto lo divide.

(b) Sea $A$ un dominio finito y $x \neq 0$ . La aplicación $y \mapsto xy$ es inyectivo ( $xy = xy' \Rightarrow x(y - y') = 0 \Rightarrow y = y'$ ), por lo tanto sobreyectivo ( $A$ finito): $1 = xy$ para algunos $y$ .

(c) Si $\mathfrak p$ es primo en un anillo finito $A$ , entonces $A/\mathfrak p$ es un dominio finito, por lo tanto, un campo por (b), por lo que $\mathfrak p$ es máximo (Proposición 2.4).

Ejercicio 2.3 ★

En $\Z[\iu\sqrt5]$ : verificar que $3$ , $1 + \iu\sqrt5$ y $1 - \iu\sqrt5$ sean irreducible, que $9 = 3\cdot 3 = (2 + \iu\sqrt5)(2 - \iu\sqrt5)$ , y concluir nuevamente (después Proposición 2.12) que $\Z[\iu\sqrt5]$ no es un UFD. ¿Dónde falla exactamente la unicidad?

Solución

Solución de Ejercicio 2.3.

Normas: $N(3) = 9$ , $N(1 \pm \iu\sqrt5) = 6$ , $N(2 \pm \iu\sqrt5) = 9$ . Las ecuaciones $x^2 + 5y^2 = 2$ y $x^2 + 5y^2 = 3$ no tienen soluciones enteras, por lo que ningún elemento tiene la norma $2$ o $3$ . Un adecuado La factorización de $3$ necesitaría dos factores de la norma $3$ : imposible — $3$ es irreducible. Una factorización adecuada de $1 \pm \iu\sqrt5$ (norma $6$ ) necesitaría factores de las normas $2, 3$ : imposible. Lo mismo para $2 \pm \iu\sqrt5$ (norma $9$ : los factores tiene norma $3$ ). ahora

9 = 3 \cdot 3 = (2 + \iu\sqrt5)(2 - \iu\sqrt5),

dos factorizaciones en irreductibles. son genuinamente diferentes: las unidades son $\pm 1$ (norma $1$ ) y $2 \pm \iu\sqrt5 \neq \pm 3$ . Entonces la unicidad falla, mientras que la existencia de factorizaciones se mantienen en $\Z[\iu\sqrt5]$ (Ejercicio 2.10(c)): la no factorialidad aquí es puramente una falla de unicidad. (Consistentemente, Proposición 2.12: estos irreductibles no son primos.)

Ejercicio 2.4 ★★

(a) Demuestre que $\Z[\iu]$ es euclidiano para la norma $N(x + \iu y) = x^2 + y^2$ : dado $a, b \neq 0$ , elija $q \in \Z[\iu]$ más cercano a $a/b \in \C$ . (b) Determine $\Z[\iu]^\times$ . (c) Mismas preguntas para $\Z[\iu\sqrt2]$ y $N(x + \iu y\sqrt2) = x^2 + 2y^2$ . ¿Por qué falla el mismo argumento para $\Z[\iu\sqrt5]$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 2.4.

(a) Sean $a, b \in \Z[\iu]$ , $b \neq 0$ y $a/b = x + \iu y \in \C$ . Elija números enteros $m, n$ con $\abs{x - m} \leq \frac12$ , $\abs{y - n} \leq \frac12$ y establezca $q = m + \iu n$ , $r = a - bq$ . entonces

N(r) = N(b)\,\abs*{\tfrac ab - q}^2 \leq N(b)\Bigl(\tfrac14 + \tfrac14\Bigr) = \tfrac{N(b)}2 < N(b).

Entonces $N$ es una función euclidiano ( $N(r) < N(b)$ o $r = 0$ ).

(b) Si $uv = 1$ entonces $N(u)N(v) = 1$ con $N(u) \in \N$ : $N(u) = 1$ , es decir $x^2 + y^2 = 1$ : $u \in \{\pm 1, \pm\iu\}$ ; por el contrario estas son unidades.

(c) Para $\Z[\iu\sqrt2]$ : el mismo redondeo da $\abs{a/b - q}^2 \leq \frac14 + \frac{2}4 = \frac34 < 1$ : euclidiano; unidades: $x^2 + 2y^2 = 1$ da $\pm 1$ . Para $\Z[\iu\sqrt5]$ el límite se convierte en $\frac14 + \frac54 = \frac32 > 1$ : el argumento de redondeo falla — y debe fallar, ya que $\Z[\iu\sqrt5]$ ni siquiera es un UFD (Ejercicio 2.3), mientras que euclidiano implicaría UFD (Teoremas 2.14 y 2.18).

Ejercicio 2.5 ★★

Sea $A$ un anillo. (a) Demuestre que si $x$ es nilpotente ( $x^n = 0$ para algunos $n$ ) y luego $1 + x \in A^\times$ . (b) Demuestre que si $A$ es un dominio, $A[X]^\times = A^\times$ ; dar un contraejemplo sobre $\Z/4\Z$ . (c) Demuestre que un dominio no tiene idempotentes ( $e^2 = e$ ) distintos de $0, 1$ , y ninguno nilpotente distinto de $0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 2.5.

(a) Si $x^n = 0$ :

(1 + x)\bigl(1 - x + x^2 - \dots + (-1)^{n-1}x^{n-1}\bigr) = 1 + (-1)^{n-1}x^n = 1 .

(b) En un dominio, $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ ; $PQ = 1$ fuerzas $\deg P = \deg Q = 0$ y $P, Q \in A^\times$ : $A[X]^\times = A^\times$ . Sobre $\Z/4\Z$ : $(1 + 2X)^2 = 1 + 4X + 4X^2 = 1$ , por lo que $1 + 2X$ es una unidad de grado $1$ (aquí $2$ es nilpotente; compare (a)).

(c) $e^2 = e$ da $e(e - 1) = 0$ , por lo que $e \in \{0, 1\}$ en un dominio. Si $x^n = 0$ con $n \geq 1$ mínimo y $x \ne 0$ , entonces $n \geq 2$ y $x \cdot x^{n-1} = 0$ con ambos factores distintos de cero: contradicción.

Ejercicio 2.6 ★★

En $A = K[X, Y]$ : (a) muestre que ideal $(X, Y)$ es máximo pero no principal — entonces $K[X,Y]$ es un UFD (Teorema 2.24) que no es PID; (b) identificar $K[X, Y]/(Y - X^2)$ y $K[X,Y]/(XY - 1)$ como subanillos de racional funciones; (c) ¿ $(Y - X^2)$ es primo? máximo?

Solución

Solución de Ejercicio 2.6.

(a) $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$ (evaluar en $(0,0)$ ): un campo, por lo que $(X,Y)$ es máximo. Si $(X, Y) = (P)$ : $P \mid X$ fuerzas (grados en $Y$ ) $P \in K[X]$ y $P \mid Y$ luego fuerza a $P \in K$ ; $P = 0$ es absurdo y $P \in K^\times$ daría $(P) = K[X,Y]$ , propiedad contradictoria ( $K[X,Y]/(X,Y) \cong K \neq 0$ ). entonces $(X,Y)$ no es principal.

(b) La evaluación $P(X, Y) \mapsto P(X, X^2)$ asigna $K[X,Y]$ a $K[X]$ ; su núcleo es $(Y - X^2)$ : dividiendo por monic-in- $Y$ polinomio $Y - X^2$ , $P = (Y - X^2)Q + R(X)$ y $P(X, X^2) = R(X)$ . Entonces $K[X,Y]/(Y - X^2) \cong K[X]$ — el anillo de coordenadas de una parábola, isomorfa a la de una recta.

La evaluación $P(X, Y) \mapsto P(X, X^{-1})$ asigna $K[X, Y]$ al anillo $K[X, X^{-1}]$ de polinomios de Laurent. Su núcleo contiene $(XY - 1)$ ; por el contrario, módulo $XY - 1$ cada clase tiene un representante $R = \sum_{n \geq 0} a_nX^n + \sum_{m \geq 1} b_m Y^m$ (reemplace cada producto $XY$ por $1$ repetidamente) y $R(X, X^{-1}) = \sum a_n X^n + \sum b_m X^{-m} = 0$ fuerza todos los $a_n = b_m = 0$ . Por lo tanto $K[X, Y]/(XY - 1) \cong K[X, X^{-1}]$ — el Anillo de coordenadas de una hipérbola: la línea a la que se le quita un punto.

(c) $(Y - X^2)$ es primo (el cociente $K[X]$ es un dominio) pero no máximo ( $K[X]$ no es un campo; concretamente $(Y - X^2) \subsetneq (Y - X^2,\, X) \subsetneq K[X,Y]$ ).

Ejercicio 2.7 ★★

Irreducible o no superior a $\Q$ : $X^5 - 12X^3 + 36X - 12$ ; $X^4 + X + 1$ (reducir mod $2$ ); $X^4 + 4$ ; $\Phi_8 = X^4 + 1$ (cambio de $1$ ); $X^3 - X - 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 2.7.

$X^5 - 12X^3 + 36X - 12$ : Eisenstein en $p = 3$ ( $3 \mid 12, 36, 12$ ; $9 \nmid 12$ ; $3 \nmid 1$ ): irreducible. (En $p = 2$ Eisenstein falla: $4 \mid 12$ .)

$X^4 + X + 1$ : reducir mod $2$ . Sin raíz en $\mathbb F_2$ ; la única cuadrática irreducible sobre $\mathbb F_2$ es $X^2 + X + 1$ y $(X^2+X+1)^2 = X^4 + X^2 + 1 \neq X^4 + X + 1$ . Entonces $X^4 + X + 1$ es irreducible sobre $\mathbb F_2$ , por lo tanto, sobre $\Q$ (Teorema 2.25(1); es mónico).

$X^4 + 4$ : reducible — la identidad de Sophie Germain, $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$ .

$X^4 + 1$ : turno, $(X+1)^4 + 1 = X^4 + 4X^3 + 6X^2 + 4X + 2$ : Eisenstein en $2$ . Una factorización de $X^4+1$ cambiaría a uno de $(X+1)^4 + 1$ : irreducible.

$X^3 - X - 1$ : un cúbico es reducible sobre $\Q$ si tiene un raíz racional; una raíz racional de un polinomio entero mónico es una número entero que divide el término constante (teorema de la raíz racional: si $(p/q)$ en términos más bajos es una raíz, $q \mid 1$ , $p \mid -1$ ), y $\pm 1$ no son raíces ( $-1$ y $-1$ ): irreducible.

Ejercicio 2.8 ★★

(a) De Teorema 2.9, demuestre que la función de Euler es multiplicativo en argumentos coprimos y que $\varphi(p^k) = p^{k-1}(p-1)$ ; recuperar $\varphi(n) = n\prod_{p \mid n}(1 - \frac1p)$ . (b) Resuelva: $x \equiv 2 \pmod 7$ , $x \equiv 5 \pmod{11}$ , $x \equiv 1 \pmod{13}$ , exhibiendo los idempotentes $e_k$ de la prueba de Teorema 2.9.

Solución

Solución de Ejercicio 2.8.

(a) Para $\gcd(m, n) = 1$ , Teorema 2.9 suena isomorfismo $\Z/mn\Z \cong \Z/m\Z \times \Z/n\Z$ . Un elemento de un el anillo producto es una unidad si ambas coordenadas lo son, entonces $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ y $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ . Para una potencia primaria, la las no unidades de $\Z/p^k\Z$ son las clases de múltiplos de $p$ : $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}$ . Por lo tanto

\varphi(n) = \prod_i \bigl(p_i^{\alpha_i} - p_i^{\alpha_i-1}\bigr) = n \prod_{p \mid n}\Bigl(1 - \frac1p\Bigr).

(b) $M = 7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$ . Idempotentes: $e_1 \equiv (1, 0, 0)$ : $143 = 11\cdot13 \equiv 3 \pmod 7$ y $3 \cdot 5 \equiv 1$ : $e_1 = 143 \cdot 5 = 715$ . $e_2$ : $91 \equiv 3 \pmod{11}$ , $3 \cdot 4 \equiv 1$ : $e_2 = 91\cdot4 = 364$ . $e_3$ : $77 \equiv -1 \pmod{13}$ : $e_3 = 77 \cdot 12 = 924$ . entonces

x \equiv 2\,e_1 + 5\,e_2 + 1\,e_3 = 1430 + 1820 + 924 = 4174 \equiv 170 \pmod{1001},

y de hecho $170 = 24\cdot7 + 2 = 15\cdot11 + 5 = 13\cdot13 + 1$ .

Ejercicio 2.9 ★★★

(El radical nil) Sea $\operatorname{Nil}(A)$ el conjunto de elementos nilpotentes. (a) Demuestre que $\operatorname{Nil}(A)$ es un ideal contenido en cada ideal principal. (b) Por el contrario, sea $a$ no nilpotente; utilizando el lema de Zorn en ideales evitando $S = \{a^n : n \in \N\}$ , produzca un ideal principal que no contenga $a$ . Concluir:

\operatorname{Nil}(A) = \bigcap_{\mathfrak p \text{ prime}} \mathfrak p .

Solución

Solución de Ejercicio 2.9.

(a) Si $x^n = 0$ y $y^m = 0$ , la expansión binomial de $(x+y)^{n+m}$ tiene todos los términos $x^iy^j$ con $i + j = n + m$ , por lo que $i \geq n$ o $j \geq m$ : cada término desaparece y $x + y$ es nilpotente; $(ax)^n = a^nx^n = 0$ : $\operatorname{Nil}(A)$ es un ideal. Si $\mathfrak p$ es primo y $x^n = 0 \in \mathfrak p$ , la inducción en $n$ da $x \in \mathfrak p$ ( $x \cdot x^{n-1} \in \mathfrak p$ ).

(b) Sean $a \notin \operatorname{Nil}(A)$ y $S = \{a^n : n \geq 1\}$ , por lo que $0 \notin S$ . El conjunto $\mathcal E$ de ideales disjunto de $S$ contiene $(0)$ y es inductivo (la unión de una cadena de ideales disjunto de $S$ es un ideal disjunto de $S$ ): Zorn proporciona $\mathfrak p \in \mathcal E$ máximo. $\mathfrak p$ es adecuado ( $a \notin \mathfrak p$ , desde $a \in S$ ). Primalidad: dejar $x, y \notin \mathfrak p$ . Por maximalidad, $\mathfrak p + (x)$ y $\mathfrak p + (y)$ conoce a $S$ : $a^m \in \mathfrak p + (x)$ , $a^n \in \mathfrak p + (y)$ . Multiplicando, $a^{m+n} \in \mathfrak p + (xy)$ . Si $xy \in \mathfrak p$ , entonces $a^{m+n} \in \mathfrak p \cap S$ : absurdo. Entonces $xy \notin \mathfrak p$ — contrapositivo de primalidad. Por tanto, todo elemento no nilpotente evita algún principal ideal; con (un), $\operatorname{Nil}(A) = \bigcap_{\mathfrak p} \mathfrak p$ .

Ejercicio 2.10 ★★★

(a) Sea $A$ noetheriano y $f \colon A \to A$ una sobreyectiva morfismo de anillo. Demuestre que $f$ es inyectivo. (Consider $\ker f \subseteq \ker f^2 \subseteq \cdots$ .) (b) Demuestre que el anillo $\mathcal C(\intcc01, \R)$ de continuo funciones no es noetheriano. (Consider $I_n = \{f : f = 0 \text{ on } \intcc0{1/n}\}$ .) (c) Demuestre que en noetheriano dominio, cada valor distinto de cero no unidad es un producto (finito) de irreductibles — entonces La no factorialidad de $\Z[\iu\sqrt 5]$ es una falla de Sólo unicidad.

Solución

Solución de Ejercicio 2.10.

(a) La cadena $\ker f \subseteq \ker f^2 \subseteq \cdots$ estabiliza (Proposición 2.29): $\ker f^n = \ker f^{n+1}$ para algunos $n$ . Deje $x \in \ker f$ . Como $f$ , por lo tanto $f^n$ , es sobreyectiva, $x = f^n(y)$ para algunos $y$ ; luego $f^{n+1}(y) = f(x) = 0$ , entonces $y \in \ker f^{n+1} = \ker f^n$ , es decir, $x = f^n(y) = 0$ .

(b) $I_n = \{f \in \mathcal C(\intcc01, \R) : f\restriction_{ \intcc0{1/n}} = 0\}$ es ideal y $I_n \subseteq I_{n+1}$ . el la inclusión es estricta: $x \mapsto \max\bigl(0, x - \frac1{n+1}\bigr)$ desaparece en $\intcc0{\frac1{n+1}}$ pero no en $\intcc0{\frac1n}$ . Una cadena infinita estrictamente creciente contradice Proposición 2.29.

(c) Suponga que el conjunto de no unidades distintas de cero que no admiten factorización en irreductibles no está vacío. La familia correspondiente de ideales $\{(a)\}$ tiene un elemento máximo $(a)$ (Proposición 2.29). El elemento $a$ no es irreducible (un irreducible es su propia factorización), por lo que $a = bc$ con $b, c$ no unidades; $(a) \subseteq (b)$ es estricto (ya que $(a) = (b)$ daría $b = ad$ , $a = adc$ , entonces $dc = 1$ : $c$ una unidad), igualmente $(a) \subsetneq (c)$ . Por maximidad, $b$ y $c$ ambos factor en irreductibles; factores de concatenación $a$ : contradicción. Aplicado a $\Z[\iu\sqrt5]$ — noetheriano como cociente de $\Z[X]$ (Teorema 2.30, $\Z[\iu\sqrt5] \cong \Z[X]/(X^2+5)$ ) — esto muestra que existen factorizaciones allí; Ejercicio 2.3 demostró que la unicidad es lo que falla.

Ejercicio 2.11 ★★★

Deje $P = X^4 + 1$ . (a) Demuestre que $P$ es irreducible sobre $\Q$ (Ejercicio 2.7). (b) Demuestre que $P$ es módulo reducible cada primo $p$ : tratar $p = 2$ ; luego, para $p$ impar, demuestre que $8 \mid p^2 - 1$ y admitir por ahora (probado en Capítulo 4) que el el grupo multiplicativo del campo con elementos $p^2$ es cíclico, concluir que $P$ se divide en dos factores cuadráticos mod $p$ ; hacerlos explícitos cuando uno de $-1$ , $2$ , $-2$ sea un mod cuadrado $p$ , y mostrar que uno de ellos siempre lo es.

Solución

Solución de Ejercicio 2.11.

(a) Ejercicio 2.7: turno y Eisenstein en $2$ .

(b) Mod $2$ : $X^4 + 1 = (X + 1)^4$ . Ahora dejemos que $p$ sea impar. el los cuadrados forman un subgrupo del índice $2$ en $(\Z/p\Z)^\times$ : el El morfismo $x \mapsto x^2$ tiene el núcleo $\{\pm 1\}$ (dos elementos: $X^2 - 1$ tiene como máximo $2$ raíces en un campo y $1 \neq -1$ para raíces impares). $p$ ), por lo que su imagen tiene elementos $\frac{p-1}2$ . En consecuencia, el El producto de dos no cuadrados es un cuadrado (en el orden $2$ cociente grupo, $\overline{xy} = \bar x\bar y$ ). Por lo tanto, al menos uno de $-1$ , $2$ , $-2$ es un mod cuadrado $p$ (si $-1$ y $2$ no lo son, $-2 = (-1)\cdot 2$ es). En cada caso $X^4 + 1$ factores mod $p$ :

$-1 = c^2$ : $X^4 + 1 = X^4 - c^2 = (X^2 - c)(X^2 + c)$ ;
$2 = c^2$ : $(X^2 + cX + 1)(X^2 - cX + 1) = X^4 + (2 - c^2)X^2 + 1 = X^4 + 1$ ;
$-2 = c^2$ : $(X^2 + cX - 1)(X^2 - cX - 1) = X^4 - (c^2 + 2)X^2 + 1 = X^4 + 1$ .

Entonces $X^4+1$ es módulo reducible cada primo, pero irreducible supera $\Q$ : el criterio de reducción (Teorema 2.25(1)) detecta irreductibilidad pero su fallo no prueba nada.

(Por razones estructurales: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$ es un producto de dos números pares consecutivos, entonces $8 \mid p^2 - 1$ ; el cíclico grupo $\mathbb F_{p^2}^\times$ (ciclicidad demostrada en Capítulo 4) contiene entonces un elemento $\zeta$ de orden $8$ , una raíz de $X^4 + 1$ ; su polinomio mínimo sobre $\mathbb F_p$ divide a $X^4+1$ y tiene grado $\leq 2$ — $X^4+1$ nunca puede ser irreducible mod $p$ .)

Ejercicio 2.12 ★★

(Anillos divididos de idempotentes) Un elemento $e$ de un anillo conmutativo $A$ es idempotente si $e^2 = e$ . (a) Demuestre que si $e$ es idempotente, también lo es $1 - e$ , y que la aplicación $x \mapsto (ex, (1-e)x)$ es un isomorfismo de anillo $A \cong Ae \times A(1-e)$ , donde $Ae$ es un anillo con unidad $e$ . (b) Encuentre todos los idempotentes de un dominio y de $\Z/12\Z$ ; exhibe el isomorfismo $\Z/12\Z \cong \Z/4\Z \times \Z/3\Z$ nombrando sus dos idempotentes no triviales. (c) Demuestre que la descomposición CRT de $\Z/n\Z$ (Ejemplo 2.10) corresponde exactamente al idempotentes $e_i \equiv 1 \bmod p_i^{a_i}$ , $e_i \equiv 0$ módulo de los otros poderes primarios: los anillos se descomponen a lo largo de sus idempotentes a medida que los espacios se descomponen a lo largo de proyecciones.

Solución

Solución de Ejercicio 2.12.

(a) $(1-e)^2 = 1 - 2e + e^2 = 1 - e$ . La aplicación $\varphi(x) = (ex, (1-e)x)$ es aditivo y multiplicativo en el producto. de los dos ideales: $exey = e^2xy = e(xy)$ , y $Ae$ es un anillo conmutativo con unidad $e$ ( $e\cdot ex = ex$ ). Inyectivo: $ex = 0$ y $(1-e)x = 0$ suman $x = 0$ . Sobreyectiva: $(ea, (1-e)b)$ es la imagen de $ea + (1-e)b$ (calcule ambas componentes que utilizan $e(1-e) = 0$ ). Las unidades se asignan al estilo $(1, 0)$ pares correctamente: $\varphi(1) = (e, 1-e)$ , la unidad del producto.

(b) En un dominio, $e(e - 1) = 0$ fuerza a $e \in \{0, 1\}$ : solo Idempotentes triviales. En $\Z/12\Z$ , resolviendo $e^2 \equiv e$ : $e \in \{0, 1, 4, 9\}$ . El par no trivial $\{4, 9\}$ : $4 + 9 = 13 \equiv 1$ , $4\cdot9 = 36 \equiv 0$ y $\Z/12\Z\cdot4 = \{0, 4, 8\} \cong \Z/3\Z$ (unidad $4$ ), $\Z/12\Z\cdot9 = \{0, 3, 6, 9\} \cong \Z/4\Z$ (unidad $9$ ): la división CRT $\Z/12\Z \cong \Z/4\Z\times\Z/3\Z$ , con $9 \leftrightarrow (1, 0)$ y $4 \leftrightarrow (0, 1)$ .

(c) Bajo el isomorfismo CRT $\Z/n\Z \cong \prod_i \Z/p_i^{a_i}\Z$ , el elemento $e_i$ con lo indicado congruencias corresponde a la tupla con $1$ en el slot $i$ y $0$ en otra parte: los idempotentes elementales del producto. Por el contrario, una familia completa de idempotentes ortogonales. ( $e_ie_j = 0$ para $i \neq j$ , $\sum e_i = 1$ ) vuelve a montar el descomposición del producto mediante (a), de forma inductiva. Los idempotentes son para anillos qué son las proyecciones ortogonales a los espacios de Hilbert (Capítulo 13): las coordenadas de un directo interno descomposición.

2.6 Problema: teorema de los dos cuadrados de Fermat

Problema 2.1

Problema de fin de semana — sumas de dos cuadrados, vía $\Z[\iu]$

¿Qué números enteros son sumas de dos cuadrados? La respuesta de Fermat (1640) es una de las joyas de la aritmética; los enteros gaussianos convierten su prueba en la teoría de los anillos. En todo momento, $N(x + \iu y) = x^2 + y^2$ denota la norma, $\Z[\iu]$ es euclidiano (Ejercicio 2.4), por lo tanto, PID y UFD, y primo gaussiano significa primo (= irreducible) elemento de $\Z[\iu]$ .

Parte I — Norms and Gaussian primes.

Verifique $N(zw) = N(z)N(w)$ , deduzca nuevamente $\Z[\iu]^\times = \{\pm1, \pm\iu\}$ y pruebe el Brahmagupta identidad: un producto de dos sumas de dos cuadrados es una suma de dos cuadrados.
Demuestre que si $N(z)$ es un número primo, entonces $z$ es un Prima gaussiana.
Demuestre que todo primo gaussiano $\pi$ divide exactamente a uno número primo $p$ (consider $N(\pi) = \pi\bar\pi$ ), y que entonces $N(\pi) \in \{p, p^2\}$ .
Deducir la dicotomía: para cada primo $p$ , ya sea $p$ permanece primo en $\Z[\iu]$ (y no hay primo gaussiano de norma $p$ existe), o $p = \pi\bar\pi$ con $\pi$ un gaussiano prima de la norma $p$ — y luego $p = a^2 + b^2$ .

Parte II — Wilson’s theorem and $-1$ modulo $p$ .

Demuestre teorema de wilson: para $p$ principal, $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ . (Empareje cada residuo con su inversa; ¿Cuáles son autoemparejados?)
Sea $p$ un primo impar y $m = \frac{p-1}2$ . mostrar eso $(m!)^2 \equiv (-1)^{m+1} \pmod p$ (en $(p-1)!$ , reemplazar cada factor $k > m$ por $-(p - k)$ ).
Concluye: $-1$ es un módulo cuadrado $p$ si $p = 2$ o $p \equiv 1 \pmod 4$ . (For the “only if”: if $x^2 \equiv -1$ , what is the order of $x$ in $(\Z/p\Z)^\times$ , and what does Lagrange say?)

Parte III — The splitting law.

Deje $p \equiv 1 \pmod 4$ y $x$ con $p \mid x^2 + 1 = (x + \iu)(x - \iu)$ . Demuestre que $p$ es no a Primo gaussiano y concluir con la Parte I: $p = a^2 + b^2$ .
Vamos $p \equiv 3 \pmod 4$ . Mostrar directamente que $p$ no es un suma de dos cuadrados (cuadrados mod $4$ ), y deducir que $p$ sigue siendo un primo gaussiano.
Resuelva $p = 2$ : exhiba la factorización $2 = -\iu(1+\iu)^2$ y verifique que $1 + \iu$ sea un gaussiano. prima. ( $2$ es el único primo ramificado: divisible por el cuadrado de una prima gaussiana hasta una unidad.)
Armar la clasificación de los primos gaussianos, hasta unidades: $1 + \iu$ ; los números enteros $p \equiv 3 \pmod 4$ ; el pares conjugados $\pi, \bar\pi$ de la norma $p \equiv 1 \pmod 4$ . Verifíquelo en $5 = (2+\iu)(2-\iu)$ y en $3$ .

Parte IV — The two-squares theorem.

Demostrar la mitad directa: si en la factorización $n = \prod p_i^{\alpha_i}$ todo primo $\equiv 3 \pmod 4$ aparece con un exponente par, entonces $n$ es una suma de dos cuadrados. (Brahmagupta + Partes II–III.)
Demuestre lo contrario: si $n = a^2 + b^2 = N(a + \iu b)$ y $q \equiv 3 \pmod 4$ divide $n$ , muestra que $q$ , a Primo gaussiano, divide a $a + \iu b$ o $a - \iu b$ , que de hecho, divide tanto $a$ como $b$ , y concluye por inducción en $n$ de que el exponente de $q$ en $n$ es par.
Enuncie el teorema final. ¿Cuál de $2025$ , $2026$ , $2027$ ? son sumas de dos cuadrados? ( $2025 = 81 \cdot 25$ ; $2026 = 2 \cdot 1013$ , $1013$ prime; $2027$ prime.)
(Epílogo) Demuestre que un primo $p \equiv 1 \pmod 4$ es un suma de dos cuadrados de una manera esencialmente única: si $p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2$ (enteros positivos), entonces $\{a, b\} = \{c, d\}$ . (Uniqueness of factorization in $\Z[\iu]$ .)

Part V — Counting representations: Jacobi’s formula and Leibniz’s series. Escribe $r_2(n) = \#\{(a, b) \in \Z^2 : a^2 + b^2 = n\}$ (pares ordenados, signos y ceros incluido), y deje que $\chi$ sea el mod de carácter no trivial $4$ : $\chi(d) = +1$ si $d \equiv 1$ , $-1$ si $d \equiv 3 \pmod4$ , $0$ si $d$ par.

(Calentamiento, por el contrario) ¿Qué números enteros son diferencias de dos cuadrados? Mostrar: $n = a^2 - b^2$ con $a, b \in \Z$ y si $n \not\equiv 2 \pmod 4$ — no se necesita teoría de anillos y no hay estructura comparable a lo que sigue.
Demuestre que $r_2(n)$ es el número de $z \in \Z[\iu]$ con $N(z) = n$ . Escribiendo $n = 2^{a}\prod_jp_j^{b_j} \prod_kq_k^{c_k}$ con $p_j \equiv 1$ , $q_k \equiv 3 \pmod4$ , utilice la clasificación de la pregunta 11 y factorización única para mostrar: tal $z$ existe si todo $c_k$ son pares, y en ese caso

$r_2(n) = 4\prod_j\,(b_j + 1) .$

(Count: $z = u\,(1+\iu)^{a}\prod_j\pi_j^{s_j} \bar\pi_j^{\,b_j - s_j}\prod_kq_k^{c_k/2}$ with $u$ a unit and $0 \leq s_j \leq b_j$ ; why is this list exhaustive and repetition-free?)
Demuestre que $d \mapsto \chi(d)$ es completamente multiplicativo, deduzca que $n \mapsto \sum_{d \mid n}\chi(d)$ es multiplicativo y calculelo en potencias primarias: es igual a $1$ en $2^a$ ; $b + 1$ en $p^b$ ( $p \equiv 1$ ); $1$ o $0$ en $q^c$ ( $q \equiv 3$ ) según $c$ es par o impar.
Concluye teorema de jacobi:

$r_2(n) = 4\sum_{d \mid n}\chi(d) = 4\bigl(d_1(n) - d_3(n)\bigr),$

donde $d_i(n)$ cuenta los divisores $\equiv i \pmod 4$ . Verifique en $n = 3, 5, 9, 25$ y enumere el $16$ representaciones de $65$ .
(El círculo) Demuestre que $\sum_{n \leq x}r_2(n)$ es el número de puntos de red de $\Z^2$ en el disco cerrado de radio $\sqrt x$ , y demostrar

$\sum_{n\leq x}r_2(n) = \pi x + O(\sqrt x)$

(cada punto de la red posee un cuadrado unitario; comparar áreas, el error de vivir en un anillo de ancho $O(1)$ ).
(Leibniz, leído aritméticamente) Combine las preguntas 19–20:

$\sum_{d \leq x}\chi(d)\Bigl\lfloor\frac xd\Bigr\rfloor = \frac{\pi x}4 + O(\sqrt x),$

y deducir — quitando los pisos con cuidado — La serie de Leibniz

$1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \dots = \frac\pi4 .$

La serie alterna de recíprocos impares is la exceso promedio de divisores $\equiv 1$ sobre divisores $\equiv 3$ : análisis calculado por aritmética.
(¿Qué tan raras son las sumas de dos cuadrados?) Demuestre que no El número entero $\equiv 3 \pmod 4$ es una suma de dos cuadrados (dos formas: cuadrados mod $4$ , o el criterio de paridad de pregunta 17), por lo que al menos una cuarta parte de todos los números enteros son perdido; y demostrar que el promedio $\frac1x\sum_{n\leq x}r_2(n) \to \pi$ de la pregunta 20 es compatible con enteros representables que tienen densidad $0$ — exhibir números enteros con muchas representaciones anormales (tomar productos de muchos números primos $\equiv 1 \bmod 4$ ) a explicar cómo una proporción que se desvanece todavía puede conllevar una promedio positivo. (Landau demostró que la verdadera densidad decae como $1/\sqrt{\log x}$ ; eso está más allá de nuestras herramientas, pero el mecanismo ahora es visible.)

Part VI — Complements: primitive representations and Pythagoras.

Llame a una representación $n = a^2 + b^2$ primitivo si $\gcd(a, b) = 1$ . Demuestre que $n \geq 1$ admite una representación primitiva si $4 \nmid n$ y sin primo $q \equiv 3 \pmod 4$ divide $n$ . (For the necessity, reuse the descent of question 13 and squares mod $4$ ; for the sufficiency, build $z$ from $1 + \iu$ and the $\pi_j$ only — no conjugates — and explain why a common prime factor of $a$ and $b$ would force both $\pi_j$ and $\bar\pi_j$ , or $(1+\iu)^2$ , into $z$ .)
(triplas pitagóricas) Sea $a^2 + b^2 = c^2$ con $a, b, c$ positivo, $\gcd(a, b) = 1$ y $b$ par. mostrar eso $a + \iu b$ y $a - \iu b$ son coprimos en $\Z[\iu]$ (un divisor primo gaussiano común dividiría $2a$ y $2b$ , y $c$ es impar), deducir de único factorización que $a + \iu b = u(m + \iu n)^2$ para un unidad $u$ , y concluir la parametrización clásica: hasta intercambiar $a$ y $b$ ,

$a = m^2 - n^2, \qquad b = 2mn, \qquad c = m^2 + n^2,$

con $m > n \geq 1$ coprimo de paridades opuestas. Recupere $(3, 4, 5)$ y $(21, 20, 29)$ de $(m, n) = (2, 1)$ y $(5, 2)$ .
(Verificación numérica) Tome $x = 25$ . calcular $r_2(n)$ para $1 \leq n \leq 25$ de la fórmula de Jacobi, compruebe que los valores distintos de cero se produzcan exactamente en $n = 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25$ y que

$\sum_{n \leq 25} r_2(n) = 80 = 4\sum_{d \leq 25}\chi(d) \Bigl\lfloor\frac{25}d\Bigr\rfloor .$

Verificar que el disco cerrado de radio $5$ contenga $81$ puntos de la red y comparar con $\pi x \approx 78.5$ : el error está dentro del $O(\sqrt x)$ de la pregunta 20.

Solución

Solución de Problema 2.1.

1. $N(z) = z\bar z$ , entonces $N(zw) = zw\overline{zw} = z\bar z\, w \bar w = N(z)N(w)$ . Si $uv = 1$ : $N(u)N(v) = 1$ en $\N$ , entonces $N(u) = 1$ , es decir $u \in \{\pm 1, \pm \iu\}$ ; los cuatro son unidades. Brahmagupta: $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = N\bigl((a + \iu b)(c + \iu d)\bigr) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2$ .

2. Si $z = ab$ , entonces $N(z) = N(a)N(b)$ es primo, entonces $N(a) = 1$ o $N(b) = 1$ : un factor es una unidad. Como $N(z) > 1$ , $z$ no es cero ni una unidad: irreducible — y primo, ya que $\Z[\iu]$ es un UFD (Teorema 2.14, Teorema 2.18 y Lema 2.17).

3. $\pi$ divide $N(\pi) = \pi\bar\pi \geq 2$ , un entero; factorizar $N(\pi)$ en números primos y usarlo $\pi$ es primo, $\pi \mid p$ para algún número primo $p$ . si también $\pi \mid q \neq p$ : Bézout en $\Z$ da $1 = up + vq$ , entonces $\pi \mid 1$ — absurdo: $p$ es único. De $p = \pi\gamma$ : $p^2 = N(p) = N(\pi)N(\gamma)$ con $N(\pi) \neq 1$ , entonces $N(\pi) \in \{p, p^2\}$ .

4. Sea $\pi$ un primo gaussiano que divide $p$ , $p = \pi\gamma$ . Si $N(\pi) = p^2$ : $N(\gamma) = 1$ , entonces $p$ es un asociado de $\pi$ , en sí mismo un primo gaussiano; y no gaussiano Prime tiene la norma $p$ (si $N(\rho) = p$ entonces $\rho \mid \rho\bar\rho = p$ , y $p$ Prime en $\Z[\iu]$ forzaría $\rho$ asociado a $p$ , dando $N(\rho) = N(p) = p^2 \neq p$ ). Si $N(\pi) = p$ : escribir $\pi = a + \iu b$ , $p = \pi\bar\pi = a^2 + b^2$ .

5. En el grupo abeliano $(\Z/p\Z)^\times$ , empareje cada uno elemento con su inversa. Los elementos autoinversos son las raíces. de $X^2 - 1$ : exactamente $\pm 1$ (como máximo dos raíces en un campo). El producto de todos los elementos es entonces $1 \cdot (-1) \cdot \prod (\text{pairs } k k^{-1}) = -1$ : $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ . (Para $p = 2$ : $1! \equiv -1$ .)

6. Escriba $(p-1)! = \prod_{k=1}^m k \cdot \prod_{k=m+1}^{p-1}k$ con $m = \frac{p-1}2$ . en el segundo sustituto del producto $k = p - j$ , $j = 1, \dots, m$ : módulo $p$ , $\prod_{j=1}^m (p - j) \equiv (-1)^m m!$ . Por lo tanto, $-1 \equiv (-1)^m (m!)^2$ , es decir, $(m!)^2 \equiv (-1)^{m+1} \pmod p$ .

7. Si $p \equiv 1 \pmod 4$ , $m$ es par y pregunta 6 da $(m!)^2 \equiv -1$ : una raíz cuadrada de $-1$ . Por el contrario, si $x^2 \equiv -1 \pmod p$ ( $p$ impar), luego $x^4 = 1 \neq x^2$ : $x$ tiene orden $4$ en $(\Z/p\Z)^\times$ , por lo que $4 \mid p - 1$ (Lagrange). Y $p = 2$ : $1^2 = 1 \equiv -1$ . Conclusión: $-1$ es un cuadrado mod $p$ si $p = 2$ o $p \equiv 1 \pmod 4$ .

8. Con $x^2 \equiv -1$ : $p \mid x^2 + 1 = (x + \iu)(x - \iu)$ . Si $p$ fuera un primo gaussiano, dividiría un factor; pero $\frac xp \pm \frac \iu p \notin \Z[\iu]$ . Entonces $p$ no es un prima gaussiana; por la dicotomía (pregunta 4) — $p$ no es primo significa la segunda rama — $p = a^2 + b^2$ .

9. Los cuadrados son $\equiv 0$ o $1 \pmod 4$ , por lo que $a^2 + b^2 \in \{0, 1, 2\} \pmod 4$ : un primo $p \equiv 3 \pmod 4$ no es un suma de dos cuadrados. Según la pregunta 4, la rama $N(\pi) = p$ ( $p = a^2+b^2$ ) es imposible: $p$ sigue siendo un primo gaussiano.

10. $(1 + \iu)^2 = 2\iu$ , entonces $2 = -\iu(1 + \iu)^2$ ; y $N(1 + \iu) = 2$ es primo, por lo que $1 + \iu$ es un primo gaussiano (pregunta 2).

11. Cada primo gaussiano divide exactamente a un primo número $p$ (pregunta 3); listado por casos: $p = 2$ da el asociados de $1 + \iu$ ; $p \equiv 3 \pmod 4$ se entrega a $p$ (pregunta 9); $p \equiv 1 \pmod 4$ entrega la pareja $\pi, \bar\pi$ de la norma $p$ (preguntas 4 y 8). El par es genuino: $\bar\pi \in \{\pm\pi, \pm\iu\pi\}$ forzaría, escribiendo $\pi = a + \iu b$ , ya sea $b = 0$ , $a = 0$ o $a = \pm b$ , lo que da $p = a^2 + b^2 \in \{a^2, 2a^2\}$ — imposible para un número primo impar. Comprobar: $5 = (2 + \iu)(2 - \iu)$ , $N(2\pm\iu) = 5$ ; $3$ : prima de la norma $9$ .

12. Escriba $n = 2^{\alpha}\prod_i p_i^{\beta_i} \prod_j q_j^{2\gamma_j}$ con $p_i \equiv 1$ , $q_j \equiv 3 \pmod 4$ . Cada factor es una suma de dos cuadrados: $2 = 1^2 + 1^2$ ; $p_i = a^2 + b^2$ (pregunta 8); $q_j^{2\gamma_j} = (q_j^{\gamma_j})^2 + 0^2$ . La identidad Brahmagupta (pregunta 1) propaga la propiedad al producto $n$ .

13. Dejemos $n = a^2 + b^2 = N(a + \iu b)$ y $q \equiv 3 \pmod 4$ , $q \mid n$ . El primo gaussiano $q$ (pregunta 9) divide $(a + \iu b)(a - \iu b)$ , de ahí uno de los dos factores — digamos $q \mid a + \iu b$ (el otro caso es idéntico). Pero luego $\frac{a + \iu b}{q} = \frac aq + \iu \frac bq \in \Z[\iu]$ se lee como $q \mid a$ y $q \mid b$ en $\Z$ . Por lo tanto $q^2 \mid n$ y $\frac n{q^2} = \bigl(\frac aq\bigr)^2 + \bigl(\frac bq\bigr)^2$ . por fuerte inducción en $n$ , el exponente de $q$ en $n/q^2$ es par; el de $n$ también lo es.

14. Teorema (Fermat). Un número entero positivo es una suma de dos cuadrados si y sólo si todo primo $\equiv 3 \pmod 4$ ocurre en él con un exponente par. — $2025 = 3^4 \cdot 5^2$ : exponente de $3$ par, sí ( $2025 = 45^2 + 0^2 = 27^2 + 36^2$ ). $2026 = 2 \cdot 1013$ con $1013 \equiv 1 \pmod 4$ principal: sí ( $1013 = 22^2 + 23^2$ y Brahmagupta con $2 = 1^2+1^2$ : $2026 = (22 - 23)^2 + (22 + 23)^2 = 1^2 + 45^2$ ). $2027$ es un principal $\equiv 3 \pmod 4$ : no.

15. Deje $p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2$ con positivo enteros, $p \equiv 1 \pmod 4$ y $\pi$ un primo gaussiano con $p = \pi\bar\pi$ (pregunta 4). Tanto $a + \iu b$ como $c + \iu d$ tienen norma $p$ , por lo tanto, los primos gaussianos (pregunta 2) se dividen $p = (a+\iu b)(a - \iu b)$ ; por unicidad de factorización, $c + \iu d$ es asociado de $a + \iu b$ o de $a - \iu b$ :

c + \iu d \in \{\pm(a \pm \iu b),\ \pm\iu(a \pm \iu b)\} = \{\pm a \pm \iu b,\ \pm b \pm \iu a\}.

La positividad de $c, d$ deja a $c + \iu d \in \{a + \iu b, b + \iu a\}$ : $\{c, d\} = \{a, b\}$ .

16. Si $n = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ : los dos factores tienen la misma paridad, por lo que $n$ es impar (ambos impares) o divisible por $4$ (ambos pares) — nunca $\equiv 2 \pmod 4$ . Por el contrario, $n$ impar: $n = \bigl(\frac{n+1}2\bigr)^2 - \bigl(\frac{n-1}2\bigr)^2$ ; $n = 4m$ : $n = (m+1)^2 - (m-1)^2$ . La respuesta es una simple condición de congruencia, con una línea identidad detrás de esto: las diferencias de cuadrados no conllevan aritmética profundidad, y el contraste con las sumas es el objetivo de este problema.

17. $(a, b) \mapsto z = a + \iu b$ es una biyección entre representaciones y $\{z : N(z) = n\}$ . Factorizar $z$ en el UFD $\Z[\iu]$ usando la clasificación (pregunta 11): hasta una unidad, $z = (1+\iu)^{a'}\prod_j\pi_j^{s_j}\bar\pi_j^{t_j} \prod_kq_k^{u_k}$ , y tomando normas ( $N(1+\iu) = 2$ , $N(\pi_j) = N(\bar\pi_j) = p_j$ , $N(q_k) = q_k^2$ ):

n = 2^{a'}\prod_jp_j^{s_j + t_j}\prod_kq_k^{2u_k} .

Exponentes coincidentes: $a' = a$ , $s_j + t_j = b_j$ , $2u_k = c_k$ — soluble si cada $c_k$ es par, y entonces $u_k = c_k/2$ es forzado mientras $s_j \in \intint0{b_j}$ es libre. Datos distintos $(u, (s_j))$ proporciona $z$ no asociados con mismo norma; la unidad $u \in \{\pm1, \pm\iu\}$ (4 opciones) y luego enumera cada clase asociada sin repetición (dos iguales los productos violarían la unicidad de la factorización — $\pi_j$ y $\bar\pi_j$ no están asociados ya que $p_j = \pi_j\bar\pi_j$ no está ramificado). Total: $r_2(n) = 4\prod_j(b_j + 1)$ y $0$ si algún $c_k$ es impar.

18. $\chi(dd') = \chi(d)\chi(d')$ está marcado mod $4$ (impar $\times$ impar cubre los cuatro casos de signos; cualquier cosa par da $0 = 0$ ). Para coprime $m, n$ , los divisores de $mn$ son únicamente $d = d_1d_2$ con $d_1 \mid m$ , $d_2 \mid n$ : $\sum_{d \mid mn}\chi(d) = \bigl(\sum_{d_1\mid m}\chi(d_1)\bigr)\bigl(\sum_{d_2\mid n}\chi(d_2)\bigr)$ : multiplicativo. Poderes primos: en $2^a$ , solo $d = 1$ es impar: suma $= 1$ . En $p^b$ con $p \equiv 1$ : todos $\chi(p^i) = 1$ , suma $= b + 1$ . En $q^c$ con $q \equiv 3$ : $\chi(q^i) = (-1)^i$ , suma alterna $= 1$ ( $c$ par) o $0$ ( $c$ impar).

19. Las dos funciones multiplicativas $\frac14r_2$ (pregunta 17) y $\sum_{d\mid n}\chi(d)$ (pregunta 18) está de acuerdo con todos los poderes primarios — $1$ en $2^a$ ; $b + 1$ en $p^b$ ; $\mathbf 1_{c\ \mathrm{even}}$ en $q^c$ — de ahí que coincida en todas partes: la fórmula de Jacobi, con $\sum_{d\mid n}\chi(d) = d_1(n) - d_3(n)$ ordenando divisores. Cheques: $r_2(3) = 0 = 4(1 - 1)$ ; $r_2(5) = 8 = 4(2 - 0)$ ( $(\pm1,\pm2), (\pm2,\pm1)$ ); $r_2(9) = 4 = 4(2 - 1)$ (divisores $1, 9 \equiv 1$ ; $3 \equiv 3$ ; representaciones $(\pm3, 0), (0, \pm3)$ ); $r_2(25) = 12 = 4(3 - 0)$ . Para $65 = 5\cdot13$ : $r_2 = 4\cdot2\cdot2 = 16$ , de $65 = 1 + 64 = 16 + 49$ : los dieciséis pares $(\pm1, \pm8), (\pm8, \pm1), (\pm4, \pm7), (\pm7, \pm4)$ .

20. $\sum_{n \leq x}r_2(n)$ cuenta los pares $(a, b)$ con $0 < a^2 + b^2 \leq x$ , es decir, los puntos de la red del disco cerrado $D_{\sqrt x}$ menos el origen. asignar a cada uno punto de red $P$ el cuadrado unitario $P + \intco01^2$ : estos los cuadrados recubren el avión. Todo cuadrado unido a un punto de $D_{\sqrt x}$ se encuentra en $D_{\sqrt x + \sqrt2}$ , y cada cuadrado reunión $D_{\sqrt x - \sqrt 2}$ está adjunta a un punto de $D_{\sqrt x}$ (el cuadrado tiene diámetro $\sqrt 2$ ): comparando áreas,

\pi(\sqrt x - \sqrt2)^2 \leq \#\{\text{lattice points in } D_{\sqrt x}\} \leq \pi(\sqrt x + \sqrt 2)^2,

y ambos límites son $\pi x + O(\sqrt x)$ . Restando el El origen no cambia nada con esta precisión.

21. Por Jacobi (pregunta 19) e intercambiando el pedido de sumatoria ( $n = dm$ ):

\frac14\sum_{n\leq x}r_2(n) = \sum_{n \leq x}\sum_{d \mid n}\chi(d) = \sum_{d \leq x}\chi(d)\,\#\{m : dm \leq x\} = \sum_{d\leq x}\chi(d)\Bigl\lfloor\frac xd\Bigr\rfloor,

que es $\frac{\pi x}4 + O(\sqrt x)$ según la pregunta 20. Eliminar los pisos: $\lfloor x/d\rfloor = x/d + O(1)$ , pero sumando $O(1)$ sobre $d \leq x$ es demasiado burdo; en su lugar use que el las sumas parciales de $\chi$ están acotadas ( $0, 1, 1, 0$ cíclicamente), así por Abel resumen $\sum_{d\leq x}\chi(d)\{x/d\}$ , cuyo términos que agrupamos en pares $d \equiv 1, 3$ , es $O(\sqrt x)$ — alternativamente y más simplemente: dividir en $\sqrt x$ . Para $d \leq \sqrt x$ , reemplace $\lfloor x/d\rfloor$ por $x/d + O(1)$ : error $O(\sqrt x)$ . Para $d > \sqrt x$ , $\lfloor x/d\rfloor$ toma cada valor $v < \sqrt x$ en un intervalo de $d$ consecutivos, en el que la suma $\chi$ es $O(1)$ : error total $O(\sqrt x)$ por sumando los valores $\leq \sqrt x$ de $v$ , mientras que $\sum_{d > \sqrt x}\chi(d)\frac xd = O(\sqrt x)$ por colas de series alternas ( $x\sum_{d>\sqrt x}\chi(d)/d = x\,O(1/\sqrt x)$ ). Por lo tanto

x\sum_{d \leq x}\frac{\chi(d)}d = \frac{\pi x}4 + O(\sqrt x), \qquad\text{i.e.}\qquad \sum_{d\leq x}\frac{\chi(d)}d = \frac\pi4 + O\Bigl(\frac1{\sqrt x}\Bigr),

y dejando $x \to \infty$ : $1 - \frac13 + \frac15 - \dots = \frac\pi4$ .

22. Si $n \equiv 3 \pmod4$ fuera $a^2 + b^2$ : cuadrados son $\equiv 0, 1 \pmod 4$ y $a^2 + b^2 \in \{0, 1, 2\}$ mod $4$ — imposible. (El criterio de la pregunta 17 dice que igual: $n \equiv 3 \pmod 4$ obliga a algunos números primos $\equiv 3$ a ser impares exponente.) Entonces, los números enteros representables evitan un residuo completo clase: densidad $\leq \frac34$ . El promedio $\pi$ de $r_2$ se concentra en unos pocos números enteros: $n = \prod_{j\leq k}p_j$ (primos distintos $\equiv 1 \bmod 4$ ) tiene $r_2(n) = 4\cdot2^k$ representaciones — ilimitadamente muchas — por lo que un conjunto disperso de $n$ puede llevar el promedio completo, exactamente como el promedio de una lotería La recompensa coexiste con una pérdida casi segura. Landau’s $\#\{n \leq x \text{ representable}\} \sim Cx/\sqrt{\log x}$ lo confirma: densidad $0$ , media $\pi$ .

23. Necesidad. Deje $n = a^2 + b^2$ con $\gcd(a, b) = 1$ . Si un primo $q \equiv 3 \pmod 4$ divide $n$ , La pregunta 13 muestra $q \mid a$ y $q \mid b$ : contradicción. si $4 \mid n$ : los cuadrados son $\equiv 0, 1 \pmod 4$ , por lo que $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod 4$ fuerza a $a^2 \equiv b^2 \equiv 0$ , es decir $a, b$ ambos pares: contradicción. Suficiencia. Escribir $n = 2^{\alpha}\prod_jp_j^{b_j}$ con $\alpha \leq 1$ y $p_j \equiv 1 \pmod 4$ , y configurar $z = (1+\iu)^{\alpha}\prod_j \pi_j^{b_j} = a + \iu b$ , de norma $n$ . Supongamos un primo $t$ divide $\gcd(a, b)$ ; luego $t \mid z$ en $\Z[\iu]$ . Si $t \equiv 3 \pmod 4$ : $t \mid N(z) = n$ , excluido. Si $t \equiv 1 \pmod 4$ : $t = \pi_t\bar\pi_t$ , entonces $\bar\pi_t \mid z$ ; pero el La factorización de $z$ no contiene primos conjugados ( $\pi_j$ y $\bar\pi_j$ son no asociados, pregunta 17), contradiciéndose factorización única. Si $t = 2 = -\iu(1+\iu)^2$ : entonces $(1+\iu)^2 \mid z$ , forzando $\alpha \geq 2$ , excluido. Por lo tanto $\gcd(a, b) = 1$ : la representación es primitiva.

24. $a$ es impar ( $\gcd(a, b) = 1$ , $b$ par), por lo que $c^2 = a^2 + b^2$ es impar y $c$ es impar. Sea $\delta$ un común Divisor primo gaussiano de $a + \iu b$ y $a - \iu b$ : divide su suma $2a$ y su diferencia $2\iu b$ , por lo tanto $2a$ y $2b$ ; una relación Bézout $ua + vb = 1$ luego da $\delta \mid 2$ , por lo que $\delta$ está asociado a $1 + \iu$ y $N(\delta) = 2$ divide $N(a + \iu b) = c^2$ , lo cual es impar: contradicción. Entonces $a + \iu b$ y $a - \iu b$ son coprimos con producto $c^2$ ; en el UFD $\Z[\iu]$ , cada primo gaussiano de $c^2$ ocurre con un exponente par y se divide completamente en uno de los dos factores coprimos, de donde $a + \iu b = u(m + \iu n)^2 = u\bigl(m^2 - n^2 + 2\iu mn\bigr)$ con $u$ una unidad. el Las opciones $u = \pm\iu$ hacen que la parte real $\mp 2mn$ sea pareja — imposible, $a$ es impar. Las opciones $u = \pm1$ dan, después ajustando los signos de $m, n$ e intercambiando sus nombres para hacer todo positivo, $a = m^2 - n^2$ , $b = 2mn$ con $m > n \geq 1$ ; y $c^2 = N(m + \iu n)^2$ da $c = m^2 + n^2$ . un divisor común de $m$ y $n$ dividiría $a$ y $b$ : $\gcd (m, n) = 1$ ; y $m \equiv n \pmod 2$ haría que $a$ fuera par: paridades opuestas. Comprobaciones: $(m, n) = (2, 1)$ da $(3, 4, 5)$ ; $(m, n) = (5, 2)$ proporciona $(25 - 4, 20, 25 + 4) = (21, 20, 29)$ y $441 + 400 = 841 = 29^2$ .

25. La fórmula de Jacobi $r_2(n) = 4(d_1(n) - d_3(n))$ da, para $n = 1, \dots, 25$ :

4,\ 4,\ 0,\ 4,\ 8,\ 0,\ 0,\ 4,\ 4,\ 8,\ 0,\ 0,\ 8,\ 0,\ 0,\ 4,\ 8,\ 4,\ 0,\ 8,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 12,

distinto de cero exactamente en $n = 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25$ (por ejemplo $r_2(15) = 0$ : divisores $1, 5 \equiv 1$ y saldo $3, 15 \equiv 3$ ; $r_2(20) = 8$ : divisores $1, 5 \equiv 1$ , ninguno $\equiv 3$ ). El total es $4 + 4 + 4 + 8 + 4 + 4 + 8 + 8 + 4 + 8 + 4 + 8 + 12 = 80$ . El lado divisor: el impar $d \leq 25$ contribuye

25 - 8 + 5 - 3 + 2 - 2 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 20,

leyendo $\chi(d)\lfloor 25/d\rfloor$ para $d = 1, 3, 5, \dots, 25$ ; y $4 \cdot 20 = 80$ , como lo predicen las preguntas 21 identidad. Puntos de red del disco cerrado de radio $5$ : los puntos $80$ con $1 \leq a^2 + b^2 \leq 25$ más el origen, es decir $81$ ; y $\pi x = 25\pi \approx 78.54$ , un error de aproximadamente $2.46$ , cómodamente dentro del $O(\sqrt x)$ banda de la pregunta 20 ( $\sqrt x = 5$ ).