¿Qué es espacio de probabilidad? — Matemáticas

Definición 22.1 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 22 — Probabilidad: fundamentos y ley de los grandes números

Un espacio de probabilidad es un espacio medido $(\Omega, \mathcal A, \P)$ con $\P(\Omega) = 1$ ; los elementos de $\mathcal A$ son sucesos, y una propiedad se cumple casi seguramente (c.s.) si su suceso tiene probabilidad $1$ . Una variable aleatoria es una aplicación medible $X \colon \Omega \to \R$ (o $\R^d$ : un vector aleatorio); su ley es la medida de probabilidad imagen $\P_X = X_*\P$ en $\R$ (el Ejercicio 11.9), determinada por la función de distribución $F_X(t) = \P(X \leq t)$ (el Ejercicio 9.3). $X$ tiene densidad $f$ si $\P_X = f\,\dd\lambda$ ; es discreta si $\P_X$ es una combinación numerable de masas de Dirac. La esperanza es

\E[X] = \int_\Omega X\,\dd\P \qquad (X \geq 0 \text{ o } X \in L^1(\P)),

y el teorema de transferencia (el Ejercicio 11.9) la calcula en la ley: $\E[g(X)] = \int_\R g\,\dd\P_X$ — $= \sum g(x_k)p_k$ en el caso discreto, $= \int g(x)f(x)\dd x$ en el caso con densidad: las fórmulas de segundo año, ahora teoremas de una sola teoría. La varianza es $\V(X) = \E[(X - \E X)^2] = \E[X^2] - (\E X)^2$ para $X \in L^2$ .

Ejemplos

Ejemplo 22.2

Las leyes estándar y sus transformadas destacables: Bernoulli $\mathcal B(p)$ , binomial $\mathcal B(n, p)$ , geométrica, Poisson $\mathcal P(\lambda)$ (discretas: las tablas de segundo año siguen siendo válidas); uniforme en $\intcc01$ (la propia medida de Lebesgue); exponencial $\mathcal E(\lambda)$ (densidad $\lambda\eu^{-\lambda x}\mathbf 1_{x>0}$ ); la gaussiana $\mathcal N(m, \sigma^2)$ de densidad $\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\bigl(-\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2}\bigr)$ — una densidad de probabilidad por el Problema 10.1, de media $m$ y varianza $\sigma^2$ (momentos gaussianos, el Ejercicio 11.10).

Ejemplo 22.14 (Lo que compra la ley fuerte)

(a) Frecuencias: para lanzamientos de moneda i.i.d., la frecuencia observada de caras converge c.s. a $p$ — la justificación empírica de la propia probabilidad. (b) Monte Carlo: para $g \in L^1(\intcc01)$ y $(U_n)$ uniformes i.i.d., (Teorema 22.6), $\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) \to \int_0^1g$ c.s.: integrales por muestreo, en cualquier dimensión, a la velocidad independiente de la dimensión $\sim n^{-1/2}$ que precisa el Capítulo 23. (c) Números normales: casi todo número real tiene, en su desarrollo binario, frecuencia asintótica $\frac12$ de unos (aplíquese la ley fuerte a las variables de dígitos del Teorema 22.6) — el teorema de Borel, un enunciado sobre los números de todos los días demostrado por la medida: el Problema 22.1 lo completa en todas las bases.

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Ejemplos

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