¿Qué es espacio métrico completo?

Ejemplo 4.8 (De Cauchy pero sin límite)

En $X = \Q$ con la distancia usual, las truncaciones decimales de $\sqrt2$,

cumplen $\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$: son de Cauchy en $\Q$. Un límite en $\Q$ sería también el límite en $\R$, a saber $\sqrt2 \notin \Q$: no existe límite en $X$. La incompletitud es la presencia de esos “límites fantasma”; la completitud de $\R$ se diseñó en el volumen del primer año precisamente para dar hogar a toda sucesión de Cauchy.

Ejemplo 4.13 (Una ecuación integral)

Sobre $X = C(\intcc{0}{1})$ (completo, Teorema 4.9), consideremos $T(f)(x) = 1 + \frac12 \int_0^x f(t)\,\dd t$. Para $f, g \in X$:

así que $T$ es una contracción de razón $\frac12$: tiene un único punto fijo continuo, la solución de $f' = \frac f2$, $f(0) = 1$, es decir, $\eu^{x/2}$. Este esquema, industrializado, se convierte en el teorema de Cauchy–Lipschitz del Capítulo 16.

Ejemplo 4.14 (Un punto fijo numérico: $x = \cos x$)

Sobre el completo $X = \intcc{0}{1}$, la aplicación $f = \cos$ envía $X$ en $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ y es una contracción: por la desigualdad del valor medio,

Banach: hay una única solución de $x = \cos x$ en $\intcc01$ (y por tanto en $\R$: todo punto fijo real está en $\intcc{-1}{1}$ y, tras una aplicación, en $\intcc{\cos 1}{1}$), y la iteración $x_{n+1} = \cos x_n$ converge a ella desde cualquier punto de partida: $x_\infty \approx 0.739085$, el célebre número que se obtiene aporreando la tecla del coseno de una calculadora. La cota del error predice un decrecimiento en $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$, es decir, alrededor de una cifra por cada $13$ pulsaciones; la cota a posteriori del problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 14) certifica cada paso sobre la marcha.

Ejemplo 7.5 (Perturbar la identidad)

Sea $g \colon \R^d \to \R^d$ $k$-lipschitziana con $k < 1$. Entonces $\varphi = \mathrm{id} + g$ es un homeomorfismo de $\R^d$ sobre $\R^d$. Inyectividad, con un módulo cuantitativo:

La sobreyectividad es el teorema del punto fijo: resolver $\varphi(x) = y$ equivale a $x = y - g(x)$, y $x \mapsto y - g(x)$ es una $k$-contracción del completo $\R^d$ — existe una única solución $x = \psi(y)$ para todo $y$. La desigualdad mostrada hace la inversa $\psi$ lipschitziana de constante $\frac1{1-k}$: es un homeomorfismo, con cotas explícitas de ambos módulos. Este enunciado de apariencia inocua es el motor del teorema de la función inversa (el Capítulo 20): cerca de un punto donde $Df$ es invertible, $f$ es una aplicación lineal invertible más una pequeña perturbación lipschitziana, y el ejemplo de hoy hace el resto. También cuantifica la robustez numérica: un sistema perturbado por menos que el margen de la inversa sigue siendo resoluble, y la solución se desplaza a lo sumo $\frac{1}{1-k}$ veces la perturbación.