Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

22Probabilidad: fundamentos y ley de los grandes números

En segundo año se construyó la probabilidad sobre espacios numerables; la teoría de la medida elimina ahora toda restricción. Un espacio de probabilidad es un espacio medido de masa total $1$ , las variables aleatorias son aplicaciones medibles, la esperanza es la integral de Lebesgue — y, de golpe, todo el arsenal analítico (el Capítulos 9, 10 y 11) se aplica al azar. Este capítulo instala el diccionario, construye sucesiones infinitas de variables aleatorias independientes (en $\intcc01$ , a partir de dígitos binarios: el azar se esconde dentro de la medida de Lebesgue), demuestra los lemas de Borel–Cantelli y la ley cero–uno de Kolmogorov, ordena los modos de convergencia y demuestra la ley de los grandes números — el teorema que hace converger las frecuencias hacia las probabilidades y hace posible la estadística. El problema de fin de semana da la demostración de Etemadi de la ley fuerte en su forma definitiva $L^1$ .

22.1 El diccionario

Definición 22.1

Un espacio de probabilidad es un espacio medido $(\Omega, \mathcal A, \P)$ con $\P(\Omega) = 1$ ; los elementos de $\mathcal A$ son sucesos, y una propiedad se cumple casi seguramente (c.s.) si su suceso tiene probabilidad $1$ . Una variable aleatoria es una aplicación medible $X \colon \Omega \to \R$ (o $\R^d$ : un vector aleatorio); su ley es la medida de probabilidad imagen $\P_X = X_*\P$ en $\R$ (el Ejercicio 11.9), determinada por la función de distribución $F_X(t) = \P(X \leq t)$ (el Ejercicio 9.3). $X$ tiene densidad $f$ si $\P_X = f\,\dd\lambda$ ; es discreta si $\P_X$ es una combinación numerable de masas de Dirac. La esperanza es

\E[X] = \int_\Omega X\,\dd\P \qquad (X \geq 0 \text{ o } X \in L^1(\P)),

y el teorema de transferencia (el Ejercicio 11.9) la calcula en la ley: $\E[g(X)] = \int_\R g\,\dd\P_X$ — $= \sum g(x_k)p_k$ en el caso discreto, $= \int g(x)f(x)\dd x$ en el caso con densidad: las fórmulas de segundo año, ahora teoremas de una sola teoría. La varianza es $\V(X) = \E[(X - \E X)^2] = \E[X^2] - (\E X)^2$ para $X \in L^2$ .

Ejemplo 22.2

Las leyes estándar y sus transformadas destacables: Bernoulli $\mathcal B(p)$ , binomial $\mathcal B(n, p)$ , geométrica, Poisson $\mathcal P(\lambda)$ (discretas: las tablas de segundo año siguen siendo válidas); uniforme en $\intcc01$ (la propia medida de Lebesgue); exponencial $\mathcal E(\lambda)$ (densidad $\lambda\eu^{-\lambda x}\mathbf 1_{x>0}$ ); la gaussiana $\mathcal N(m, \sigma^2)$ de densidad $\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\bigl(-\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2}\bigr)$ — una densidad de probabilidad por el Problema 10.1, de media $m$ y varianza $\sigma^2$ (momentos gaussianos, el Ejercicio 11.10).

Proposición 22.3 (Markov y Chebyshev)

Para $X \geq 0$ y $a > 0$ : $\P(X \geq a) \leq \frac{\E X}{a}$ ; para $X \in L^2$ : $\P\bigl(\abs{X - \E X} \geq a\bigr) \leq \frac{\V(X)}{a^2}$ .

Demostración. El Ejercicio 10.5(a); Chebyshev es Markov aplicado a $(X - \E X)^2$ . ∎

22.2 Independencia

Definición 22.4

Las sub- $\sigma$ -álgebras $\mathcal A_1, \dots, \mathcal A_n \subseteq \mathcal A$ son independientes si $\P(A_1\cap\dots\cap A_n) = \prod\P(A_i)$ para todos $A_i \in \mathcal A_i$ ; los sucesos son independientes si lo son las $\sigma$ -álgebras $\{\varnothing, A_i, A_i^c, \Omega\}$ ; las variables aleatorias $X_1, \dots, X_n$ lo son si lo son las $\sigma$ -álgebras $\sigma(X_i) = X_i^{-1}(\mathcal B(\R))$ . Una familia infinita es independiente si toda subfamilia finita lo es.

Teorema 22.5

$X_1, \dots, X_n$ son independientes si y solo si la ley del vector $(X_1, \dots, X_n)$ es la medida producto $\P_{X_1}\otimes\cdots\otimes\P_{X_n}$ . En tal caso, para $g_i \geq 0$ (o tales que los productos sean integrables):

\E\Bigl[\prod_ig_i(X_i)\Bigr] = \prod_i\E[g_i(X_i)],

en particular, $\E[XY] = \E X\,\E Y$ y $\V(X_1 + \dots + X_n) = \sum\V(X_i)$ para variables $L^2$ independientes.

Demostración. Si las $X_i$ son independientes, las dos medidas de probabilidad $\P_{(X_1,\dots,X_n)}$ y $\bigotimes\P_{X_i}$ coinciden en todos los productos $B_1\times\dots\times B_n$ de borelianos — un $\pi$ -sistema que genera $\mathcal B(\R^n)$ (la Proposición 11.2(b)) —, luego en todas partes (el Teorema 9.7). Recíprocamente, una ley producto factoriza todos los sucesos $\bigcap_iX_i^{-1}(B_i)$ : independencia. La fórmula de la esperanza es entonces Tonelli/Fubini (el Teorema 11.5) a través del teorema de transferencia; $\E[XY] = \E X\E Y$ es el caso $g_i = \mathrm{id}$ , y desarrollar el cuadrado da la aditividad de las varianzas (los términos cruzados son $\E[(X_i - \E X_i)(X_j - \E X_j)] = 0$ ). ∎

Teorema 22.6 (Existencia de sucesiones independientes)

En $\bigl(\intcc01, \mathcal L, \lambda\bigr)$ existe una sucesión $(U_n)_{n\geq1}$ de variables aleatorias independientes, cada una uniforme en $\intcc01$ . En consecuencia, para cualesquiera leyes prescritas $(\mu_n)$ en $\R$ existen $(X_n)$ independientes con $\P_{X_n} = \mu_n$ .

Demostración. Dígitos. Para $\omega \in \intcc01$ , sean $(b_k(\omega))$ sus dígitos binarios ( $\omega = \sum b_k2^{-k}$ ; elíjase el desarrollo que no termina en una cola de $1$ — la ambigüedad afecta solo a un conjunto numerable, luego nulo). Cada $b_k$ es una variable aleatoria ( $\{b_k = 1\}$ es una unión finita de intervalos diádicos) y el vector $(b_1, \dots, b_m)$ toma cada valor de $\{0,1\}^m$ en un intervalo diádico de longitud $2^{-m}$ : los $b_k$ son Bernoulli $(\frac12)$ independientes.

Reagrupación. Pártase $\N^*$ en infinitos conjuntos infinitos disjuntos $(I_n)$ (por ejemplo, mediante potencias de primos, o diagonales); sea $(k^n_j)_j$ una enumeración de $I_n$ y póngase

U_n = \sum_{j\geq1} b_{k^n_j}\,2^{-j} .

Cada $U_n$ es uniforme: sus dígitos binarios son bits equilibrados independientes, de modo que $\P(U_n \in [l2^{-m}, (l+1)2^{-m})) = 2^{-m}$ para todo intervalo diádico, y los intervalos diádicos determinan la ley (el Teorema 9.7). Las $U_n$ son independientes: son funciones de bloques disjuntos de la familia independiente $(b_k)$ — formalmente, los sucesos $\{U_n \in D_n\}$ para $D_n$ diádicos dependen de un número finito de dígitos de conjuntos disjuntos y factorizan; el argumento del $\pi$ -sistema lo eleva a todos los borelianos.

Leyes arbitrarias. Sea $G_n(u) = \inf\{t : F_{\mu_n}(t) \geq u\}$ (la función cuantil de la función de distribución $F_{\mu_n}$ ); la equivalencia clave $G_n(u) \leq t \iff u \leq F_{\mu_n}(t)$ (continuidad por la derecha de $F$ , monotonía) muestra que $X_n = G_n(U_n)$ es medible con $\P(X_n \leq t) = \P(U_n \leq F_{\mu_n}(t)) = F_{\mu_n}(t)$ : ley $\mu_n$ ; la independencia se hereda (funciones de variables independientes, Ejercicio 22.3). ∎

Ejemplo 22.7 (El problema de los cumpleaños, honestamente)

Entre $n$ personas con cumpleaños independientes y uniformes sobre $N = 365$ días, la probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos vale

p_n = \prod_{k=1}^{n-1}\Bigl(1 - \frac kN\Bigr),

por condicionamientos sucesivos (o directamente: los $N(N-1)\cdots(N - n + 1)$ casos favorables entre los $N^n$ totales, un argumento de recuento que la fórmula del producto de la independencia hace riguroso). Tomando logaritmos y usando $-\ln(1 - x) = x + O(x^2)$ :

\ln p_n = -\frac{n(n-1)}{2N} + O\Bigl(\frac{n^3}{N^2}\Bigr), \qquad\text{luego}\qquad p_n \approx \eu^{-n^2/2N} .

El punto de inflexión $p_n = \frac12$ se sitúa en $n \approx \sqrt{2N\ln2} \approx 1.18\sqrt N$ : para $N = 365$ , $n = 23$ ( $p_{23} = 0.4927$ ). Dos moralejas. La primera: las colisiones entre $n$ objetos en $N$ casillas aparecen a escala $n \sim \sqrt N$ , no $n \sim N$ — el escalado del cumpleaños que rige las colisiones de las funciones de dispersión y el coste $\sqrt N$ de los ataques del cumpleaños en criptografía. La segunda: el cálculo es una plantilla: los $\binom n2$ sucesos de colisión por pares no son independientes y, sin embargo, la respuesta se comporta como si lo fueran ( $\eu^{-\binom n2/N}$ es exactamente la heurística de pares independientes) — una primera instancia de la aproximación de Poisson, que el problema de fin de semana del Capítulo 23 hace rigurosa (desigualdad de Le Cam).

22.3 Borel–Cantelli y la ley cero–uno

Teorema 22.8 (Borel–Cantelli)

Sean $(A_n)$ sucesos y $\limsup A_n = \bigcap_N \bigcup_{n\geq N}A_n$ (« $A_n$ ocurre infinitas veces»).

Si $\sum\P(A_n) < \infty$ , entonces $\P(\limsup A_n) = 0$ .
Si $\sum\P(A_n) = \infty$ y los $A_n$ son independientes, entonces $\P(\limsup A_n) = 1$ .

Demostración. (1) es el Ejercicio 9.4. (2): para $N \leq M$ , la independencia de los complementarios (el Ejercicio 22.3) da

\P\Bigl(\bigcap_{n=N}^{M}A_n^c\Bigr) = \prod_{n=N}^M\bigl(1 - \P(A_n)\bigr) \leq \exp\Bigl(-\sum_{n=N}^M\P(A_n)\Bigr) \xrightarrow[M \to \infty]{} 0

( $1 - x \leq \eu^{-x}$ ; la serie diverge). Así, $\P\bigl(\bigcup_{n\geq N}A_n\bigr) = 1$ para todo $N$ , y la intersección decreciente en $N$ sigue teniendo probabilidad $1$ (continuidad por arriba, la Proposición 9.6). ∎

Teorema 22.9 (Ley cero–uno de Kolmogorov)

Sean $(X_n)$ independientes y $\mathcal T = \bigcap_N\sigma(X_N, X_{N+1}, \dots)$ la $\sigma$ -álgebra de cola (sucesos insensibles a cualquier número finito de las $X_n$ : convergencia de $\sum X_n$ , de $\frac{S_n}n$ , valores de $\limsup$ , …). Entonces todo $T \in \mathcal T$ cumple $\P(T) \in \{0, 1\}$ .

Demostración. Fíjese $N$ . Las $\sigma$ -álgebras $\sigma(X_1, \dots, X_N)$ y $\sigma(X_{N+1}, \dots)$ son independientes: los sucesos que dependen de bloques disjuntos factorizan sobre los $\pi$ -sistemas generadores (cilindros $\bigcap_{i\leq N}\{X_i \in B_i\}$ y, respectivamente, condiciones finitas sobre las variables posteriores), y Dynkin (el Teorema 9.4, aplicado dos veces, un lado cada vez) extiende la factorización. Un suceso de cola $T$ está en $\sigma(X_{N+1}, \dots)$ para todo $N$ : $T$ es independiente de cada $\sigma(X_1, \dots, X_N)$ , luego de la $\sigma$ -álgebra que estas generan, $\sigma(X_1, X_2, \dots)$ (Dynkin una vez más: la unión de las $\sigma(X_1,\dots,X_N)$ es un $\pi$ -sistema que la genera). Pero también $T \in \sigma(X_1, X_2, \dots)$ : $T$ es independiente de sí mismo, $\P(T) = \P(T\cap T) = \P(T)^2$ : $\P(T) \in \{0, 1\}$ . ∎

22.4 Modos de convergencia

Definición 22.10

$X_n \to X$ casi seguramente si $\P(X_n \to X) = 1$ ; en probabilidad si $\P(\abs{X_n - X} \geq \varepsilon) \to 0$ para todo $\varepsilon > 0$ ; en $L^p$ si $\E\abs{X_n - X}^p \to 0$ .

Proposición 22.11

(a) la convergencia c.s. implica la convergencia en probabilidad; (b) la convergencia en $L^p$ implica la convergencia en probabilidad; (c) la convergencia en probabilidad implica la convergencia c.s. a lo largo de una subsucesión; (d) ninguna otra implicación es cierta en general.

Demostración. (a) $\P(\abs{X_n - X} \geq \varepsilon) \leq \P\bigl(\sup_{m\geq n}\abs{X_m - X} \geq \varepsilon\bigr) \downarrow \P\bigl(\limsup\{\abs{X_m - X} \geq \varepsilon\}\bigr) = 0$ bajo convergencia c.s. (continuidad por arriba; el suceso del límite superior excluye la convergencia). (b) Markov: $\P(\abs{X_n - X} \geq \varepsilon) \leq \varepsilon^{-p}\,\E\abs{X_n - X}^p$ . (c) Tómese $n_k$ con $\P(\abs{X_{n_k} - X} \geq 2^{-k}) \leq 2^{-k}$ ; Borel–Cantelli (1) hace que $\abs{X_{n_k} - X} < 2^{-k}$ a partir de cierto índice, c.s. (d) La máquina de escribir (el Ejercicio 12.3) en $(\intcc01, \lambda)$ converge en $L^1$ y en probabilidad, pero en ningún punto; $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ c.s. pero no en $L^1$ ; los detalles y los contraejemplos restantes están en el Ejercicio 22.6. ∎

22.5 La ley de los grandes números

En todo lo que sigue, $(X_n)$ son independientes con la misma ley (i.i.d.), $S_n = X_1 + \dots + X_n$ .

Teorema 22.12 (Ley débil de los grandes números)

Si $X_1 \in L^2$ , con $m = \E X_1$ :

\P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n}{n} - m\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr) \leq \frac{\V(X_1)}{n\,\varepsilon^2} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 :

$\frac{S_n}n \to m$ en probabilidad (y en $L^2$ ).

Demostración. $\E\frac{S_n}n = m$ y $\V\bigl(\frac{S_n}n\bigr) = \frac{n\V(X_1)}{n^2}$ (el Teorema 22.5); Chebyshev. ∎

Teorema 22.13 (Ley fuerte de los grandes números)

Si $X_1 \in L^1$ , entonces

\frac{S_n}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{\text{c.s.}} \E[X_1].

La demostramos aquí bajo la hipótesis más fuerte $X_1 \in L^4$ ; el caso general ( $L^1$ : la demostración de Etemadi) es el problema de fin de semana.

Demostración bajo $\E X_1^4 < \infty$ . Centrando ( $X_i \mapsto X_i - m$ ), supóngase $m = 0$ . Desarróllese:

\E[S_n^4] = \sum_{i,j,k,l}\E[X_iX_jX_kX_l] = n\,\E[X_1^4] + 3n(n-1)\,\bigl(\E[X_1^2]\bigr)^2 \leq C\,n^2 ,

puesto que la independencia y el centrado matan todo término que contenga un factor aislado ( $\E[X_iX_jX_kX_l] = \E[X_i]\E[\cdots] = 0$ salvo que los índices se emparejen: los únicos supervivientes son los $n$ términos $i=j=k=l$ y los $3n(n-1)$ términos con dos pares distintos). Markov:

\P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n}n\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr) = \P\bigl(S_n^4 \geq n^4\varepsilon^4\bigr) \leq \frac{Cn^2}{n^4\varepsilon^4} = \frac{C}{\varepsilon^4n^2},

sumable: Borel–Cantelli (1) da, para cada racional $\varepsilon$ , que $\abs{S_n/n} < \varepsilon$ a partir de cierto índice, c.s.; intersecando en $\varepsilon \in \Q_+^*$ (una cantidad numerable de sucesos de probabilidad $1$ ): $S_n/n \to 0$ c.s. ∎

Ejemplo 22.14 (Lo que compra la ley fuerte)

(a) Frecuencias: para lanzamientos de moneda i.i.d., la frecuencia observada de caras converge c.s. a $p$ — la justificación empírica de la propia probabilidad. (b) Monte Carlo: para $g \in L^1(\intcc01)$ y $(U_n)$ uniformes i.i.d., (Teorema 22.6), $\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) \to \int_0^1g$ c.s.: integrales por muestreo, en cualquier dimensión, a la velocidad independiente de la dimensión $\sim n^{-1/2}$ que precisa el Capítulo 23. (c) Números normales: casi todo número real tiene, en su desarrollo binario, frecuencia asintótica $\frac12$ de unos (aplíquese la ley fuerte a las variables de dígitos del Teorema 22.6) — el teorema de Borel, un enunciado sobre los números de todos los días demostrado por la medida: el Problema 22.1 lo completa en todas las bases.

Método 22.15

El orden de trabajo para los enunciados asintóticos sobre sucesiones aleatorias: (1) ¿es el suceso un suceso de cola? Entonces su probabilidad vale $0$ o $1$ (el Teorema 22.9) y solo hay que decidir cuál. (2) Para demostrar enunciados c.s.: Borel–Cantelli — probabilidades sumables para los sucesos «malos», mediante cotas de tipo Markov o Chebyshev sobre los momentos que existan; la independencia solo hace falta en el sentido recíproco. (3) Subsucesión más sándwich: demuéstrese la convergencia a lo largo de una subsucesión manejable y contrólese la oscilación intermedia por monotonía o desigualdades maximales — el esqueleto de la demostración de Etemadi. (4) Para los límites en distribución, espérese al Capítulo 23.

22.6 Ejercicios

Ejercicio 22.1 ★

(a) Sea $X$ de función de distribución $F$ continua y estrictamente creciente. Demuéstrese que $F(X)$ es uniforme en $\intcc01$ y que $G(U) \sim F$ para $U$ uniforme, $G = F^{-1}$ : simulación por inversión. (b) Calcúlense la función de distribución y la densidad de $X^2$ para $X$ uniforme en $\intcc{-1}1$ , y de $-\frac1\lambda\ln U$ para $U$ uniforme en $\intoo01$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.1.

(a) Para $u \in \intoo01$ : $\P(F(X) \leq u) = \P(X \leq F^{-1}(u)) = F(F^{-1}(u)) = u$ (la continuidad y la monotonía estricta hacen de $F$ una biyección sobre $\intoo01$ con $\{F(X) \leq u\} = \{X \leq F^{-1}(u)\}$ ): $F(X)$ es uniforme. Recíprocamente, $\P(G(U) \leq t) = \P(U \leq F(t)) = F(t)$ : para simular una ley, aplíquese la inversa de la función de distribución a una muestra uniforme.

(b) $Y = X^2$ , $X$ uniforme en $\intcc{-1}1$ : para $t \in \intcc01$ , $F_Y(t) = \P(-\sqrt t \leq X \leq \sqrt t) = \sqrt t$ : densidad $\frac1{2\sqrt t}\mathbf 1_{\intoo01}$ . Y $\P\bigl(-\frac1\lambda\ln U \leq t\bigr) = \P(U \geq \eu^{-\lambda t}) = 1 - \eu^{-\lambda t}$ : la exponencial $\mathcal E(\lambda)$ — la inversión en acción.

Ejercicio 22.2 ★

(a) Calcúlense la media y la varianza de las leyes de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ y geométrica mediante el teorema de transferencia. (b) Demuéstrese que una variable aleatoria positiva $T$ con $\P(T > t) > 0$ para todo $t$ cumple la propiedad de falta de memoria $\P(T > t + s \mid T > t) = \P(T > s)$ para todos $s, t \geq 0$ si y solo si $T$ es exponencial. (La función de supervivencia satisface la ecuación funcional de Cauchy; la monotonía sustituye a la continuidad.)

Solución

Solución de Ejercicio 22.2.

(a) Poisson: $\E X = \sum_{k\geq0}k\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \lambda$ , $\E[X(X-1)] = \lambda^2$ , de modo que $\V = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$ . Geométrica ( $\P(X = k) = p(1-p)^{k-1}$ ): $\E X = \frac1p$ , $\V = \frac{1-p}{p^2}$ (derívese dos veces la serie geométrica).

(b) $G(t) = \P(T > t)$ es no creciente con $G(0^+)\dots$ $G \colon \intco0\infty \to \intoc01$ ; la falta de memoria se lee $G(t + s) = G(t)G(s)$ . Entonces $G(n t) = G(t)^n$ y $G(t/n) = G(t)^{1/n}$ : $G(q) = G(1)^q$ para $q \geq 0$ racional; escribiendo $G(1) = \eu^{-\lambda}$ ( $\in \intoo01$ : $G(1) = 1$ forzaría $G \equiv 1$ , imposible para una variable aleatoria finita; $G(1) = 0$ queda excluido por hipótesis) y encajonando un $t$ arbitrario entre racionales (monotonía): $G(t) = \eu^{-\lambda t}$ — la ley exponencial. El recíproco es un cálculo.

Ejercicio 22.3 ★★

(a) Demuéstrese que si $X_1, \dots, X_n$ son independientes y $f_i$ son funciones borelianas, las $f_i(X_i)$ son independientes. (b) Demuéstrese que unos sucesos $A_1, \dots, A_n$ son independientes si y solo si lo son sus complementarios, si y solo si los indicadores $\mathbf 1_{A_i}$ son variables aleatorias independientes. (c) (La independencia por pares es más débil) Dos monedas equilibradas: $A =$ la primera sale cara, $B =$ la segunda sale cara, $C =$ ambas coinciden. Demuéstrese que $A, B, C$ son independientes dos a dos pero no independientes.

Solución

Solución de Ejercicio 22.3.

(a) $\sigma(f_i(X_i)) = f_i(X_i)^{-1}(\mathcal B) \subseteq X_i^{-1}(\mathcal B) = \sigma(X_i)$ ( $f_i$ borelianas), y las sub- $\sigma$ -álgebras de $\sigma$ -álgebras independientes son independientes (la identidad que las define vale a fortiori).

(b) $\sigma(A_i) = \{\varnothing, A_i, A_i^c, \Omega\} = \sigma(A_i^c) = \sigma(\mathbf 1_{A_i})$ : las tres afirmaciones expresan la independencia de las mismas $\sigma$ -álgebras. (Que la factorización sobre los $A_i$ se propague a los complementarios es el argumento del $\lambda$ -sistema contenido en la equivalencia de la Definición 22.4 — o bien la inclusión-exclusión directa.)

(c) $\P(A) = \P(B) = \P(C) = \frac12$ ; $A\cap B = A\cap C = B\cap C$ sobre los pares: cada intersección es «ambas caras» o análoga, de probabilidad $\frac14$ : independientes dos a dos. Pero $\P(A\cap B\cap C) = \P(\text{CC}) = \frac14 \neq \frac18$ : no independientes — $C$ queda determinado por $A$ y $B$ .

Ejercicio 22.4 ★★

(a) (El mono infinito) Una sucesión i.i.d. de pulsaciones uniformes sobre un alfabeto finito contiene c.s. todo texto finito infinitas veces: demuéstrese con Borel–Cantelli (2) sobre bloques disjuntos. (b) (Rachas) Para bits equilibrados i.i.d., sea $R_n$ la longitud de la racha de unos que empieza en la posición $n$ . Demuéstrese que, c.s., $R_n \geq (1+\varepsilon)\log_2n$ un número finito de veces, y $R_n \geq \log_2 n$ infinitas veces (ambas mitades de Borel–Cantelli; para la segunda, pásese a bloques disjuntos para ganar independencia): la racha más larga entre los $n$ primeros dígitos crece como $\log_2n$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.4.

(a) Sean $T$ el texto, de longitud $L$ , y $q = a^{-L}$ ( $a$ el tamaño del alfabeto). Los sucesos $E_k = \{$ las posiciones $kL+1, \dots, (k+1)L$ deletrean $T\}$ son independientes (bloques disjuntos de letras i.i.d.), cada uno de probabilidad $q > 0$ : $\sum\P(E_k) = \infty$ , y Borel–Cantelli (2) da infinitas apariciones c.s.

(b) Cota superior: $\P\bigl(R_n \geq (1+\varepsilon)\log_2n\bigr) \leq 2^{-(1+\varepsilon)\log_2n} = n^{-(1+\varepsilon)}$ , sumable: por Borel–Cantelli (1), c.s. solo hay un número finito de tales $n$ . Cota inferior: empaquétense bloques disjuntos — el $j$ -ésimo, de longitud $\ell_j = \lceil\log_2s_j\rceil$ , empezando en $s_j = \sum_{i<j}\ell_i$ ; los sucesos «el bloque $j$ es todo unos» son independientes de probabilidad $2^{-\ell_j} \asymp \frac1{s_j} \asymp \frac1{j\log_2 j}$ , cuya suma diverge: Borel–Cantelli (2) da infinitos bloques de unos, es decir, $R_{s_j} \geq \log_2 s_j$ infinitas veces. En conjunto: la longitud máxima de racha entre los $n$ primeros dígitos es $(1 + o(1))\log_2n$ a.s.

Ejercicio 22.5 ★★

Sean $(X_n)$ independientes. (a) Demuéstrese que el radio de convergencia de $\sum X_n z^n$ es una constante c.s. (posiblemente $0$ o $\infty$ ). (b) Demuéstrense $\P(\sum X_n \text{ converge}) \in \{0, 1\}$ y $\P(S_n/n \to m) \in \{0,1\}$ . (c) Dese un suceso relativo a $(X_n)$ que no sea un suceso de cola, y compruébese que la ley cero–uno puede fallar para él.

Solución

Solución de Ejercicio 22.5.

(a) $R = \bigl(\limsup\abs{X_n}^{1/n}\bigr)^{-1}$ no cambia si se modifican un número finito de $X_n$ : para todo $N$ , $R$ es $\sigma(X_N, X_{N+1}, \dots)$ -medible, es decir, medible respecto de la cola. Entonces cada suceso $\{R \leq c\}$ tiene probabilidad $0$ o $1$ (el Teorema 22.9), de modo que la función de distribución de $R$ solo toma los valores $0, 1$ : salta en un único punto $c_0 \in \intcc0{+\infty}$ , y $R = c_0$ c.s.

(b) La convergencia de $\sum X_n$ y la de $\frac{S_n}n$ son insensibles a cambiar un número finito de términos (para la segunda: los términos modificados aportan $O(1/n) \to 0$ ): sucesos de cola; ley cero–uno.

(c) $\{X_1 > 0\}$ depende de $X_1$ : para signos i.i.d. ( $\P(X_1 = \pm1) = \frac12$ ), su probabilidad vale $\frac12 \notin \{0,1\}$ — ninguna contradicción, no es un suceso de cola.

Ejercicio 22.6 ★★

En $(\intcc01, \lambda)$ , exhíbanse — con demostración — variables aleatorias tales que: (a) $X_n \to 0$ en probabilidad y en todo $L^p$ , pero en ningún punto c.s.; (b) $X_n \to 0$ c.s. pero en ningún $L^p$ ; (c) $X_n \to 0$ en $L^1$ pero no en $L^2$ ; (d) y demuéstrese: si $X_n \to X$ en probabilidad y $\abs{X_n} \leq Y \in L^1$ , entonces $X_n \to X$ en $L^1$ (subsucesiones, convergencia dominada y el truco de la subsubsucesión).

Solución

Solución de Ejercicio 22.6.

Trabájese en $(\intcc01, \lambda)$ . (a) La máquina de escribir $\mathbf 1_{I_n}$ (Ejercicio 12.3): $\norm{X_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (en todo $p < \infty$ ), luego también en probabilidad; en cada $\omega$ los valores $0$ y $1$ reaparecen ambos: no hay convergencia puntual en ningún punto. (b) $X_n = n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ fuera de $0$ , pero $\norm{X_n}_p \geq n^{1 - 1/p} \geq 1$ . (c) $X_n = \sqrt n\,\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$ : $\E\abs{X_n} = n^{-1/2} \to 0$ , $\E X_n^2 = 1$ . (d) De cualquier subsucesión extráigase (convergencia en probabilidad) una subsucesión ulterior que converja c.s. (la Proposición 22.11(c)); la convergencia dominada da convergencia en $L^1$ a lo largo de ella, con el mismo límite $X$ . Así, toda subsucesión de la sucesión numérica $\E\abs{X_n - X}$ tiene una subsubsucesión que tiende a $0$ : la sucesión entera tiende a $0$ .

Ejercicio 22.7 ★★

Una encuesta de opinión estima una proporción desconocida $p$ mediante la frecuencia empírica $\hat p_n$ de $n$ extracciones independientes. (a) Chebyshev: demuéstrese $\P(\abs{\hat p_n - p} \geq \varepsilon) \leq \frac1{4n\varepsilon^2}$ (úsese $p(1-p) \leq \frac14$ ). (b) ¿Cuántas extracciones garantizan un error $\leq 3\%$ con probabilidad $\geq 95\%$ según esta cota? (La respuesta verdadera, vía el Capítulo 23, es de unas $1070$ : Chebyshev es honesta pero burda.)

Solución

Solución de Ejercicio 22.7.

(a) $\hat p_n = \frac{S_n}n$ con $S_n$ binomial: $\V(\hat p_n) = \frac{p(1-p)}n \leq \frac1{4n}$ , y Chebyshev (la Proposición 22.3) da la cota. (b) Resuélvase $\frac1{4n(0.03)^2} \leq 0.05$ : $n \geq \frac{1}{4\cdot0.0009\cdot0.05} \approx 5556$ . El teorema central del límite justificará $n \approx 1070$ para la misma garantía: Chebyshev paga su generalidad con un factor $\approx 5$ .

Ejercicio 22.8 ★★★

(Bernstein) Para $f \in \mathcal C(\intcc01)$ , defínase el polinomio de Bernstein $B_nf(x) = \sum_{k=0}^n\binom nkx^k(1-x)^{n-k}f\bigl(\frac kn\bigr)$ . (a) Reconózcase $B_nf(x) = \E\bigl[f\bigl(\frac {S_n}n\bigr)\bigr]$ para $S_n$ binomial $\mathcal B(n, x)$ . (b) Demuéstrese $B_nf \to f$ uniformemente en $\intcc01$ : sepárese según $\{\abs{\frac{S_n}n - x} \leq \delta\}$ y su complementario, usando la continuidad uniforme y Chebyshev con la cota uniforme $\V(\frac{S_n}n) \leq \frac1{4n}$ . (c) Conclúyase: una segunda demostración, probabilística, del teorema de aproximación de Weierstrass (el Corolario 7.16), con la velocidad explícita $\norm{B_nf - f}_\infty \leq \frac32\,\omega_f(n^{-1/2})$ para el módulo de continuidad $\omega_f$ — demuéstrese al menos la forma $O(\omega_f(n^{-1/2}))$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.8.

(a) Si $S_n \sim \mathcal B(n, x)$ , el teorema de transferencia da $\E\bigl[f(\frac{S_n}n)\bigr] = \sum_k\binom nkx^k(1-x)^{n-k}f(\frac kn) = B_nf(x)$ .

(b)–(c) Sea $\omega = \omega_f$ el módulo de continuidad ( $\abs{f(u) - f(v)} \leq \omega(\abs{u - v})$ , y $\omega(c \delta) \leq (1 + c)\,\omega(\delta)$ encadenando pasos). Entonces, para todo $\delta > 0$ ,

\abs{f(u) - f(x)} \leq \Bigl(1 + \frac{(u - x)^2}{\delta^2}\Bigr)\omega(\delta)

(si $\abs{u - x} \leq \delta$ , es claro; en caso contrario, $\omega(\abs{u-x}) \leq (1 + \frac{\abs{u-x}}\delta) \omega(\delta) \leq (1 + \frac{(u-x)^2}{\delta^2}) \omega(\delta)$ ). Tómense esperanzas en $u = \frac{S_n}n$ :

\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \Bigl(1 + \frac{\V(S_n/n)}{\delta^2}\Bigr)\omega(\delta) \leq \Bigl(1 + \frac{1}{4n\delta^2}\Bigr)\omega(\delta) ;

con $\delta = n^{-1/2}$ : $\norm{B_nf - f}_\infty \leq \frac54\,\omega\bigl(n^{-1/2}\bigr) \leq \frac32\,\omega\bigl(n^{-1/2}\bigr) \to 0$ (continuidad uniforme en el compacto): un teorema de Weierstrass probabilístico, con velocidad explícita y uniforme.

Ejercicio 22.9 ★★★

(Coleccionista de cupones) Se extraen con reposición, uniformemente, cromos de $n$ tipos; sea $T_n$ el número de extracciones hasta ver todos los tipos. (a) Escríbase $T_n = \sum_{k=1}^{n}\tau_k$ con $\tau_k$ geométrica de parámetro $\frac{n - k + 1}n$ y las $\tau_k$ independientes, y dedúzcanse $\E T_n = n\,H_n \sim n\ln n$ ( $H_n$ el número armónico) y $\V(T_n) \leq \frac{\pi^2}6n^2$ . (b) Chebyshev: $\frac{T_n}{n\ln n} \to 1$ en probabilidad. (c) Afínese con Borel–Cantelli: demuéstrese directamente $\P(T_n > \beta n\ln n) \leq n^{1 - \beta}$ para $\beta > 1$ (cota de la unión sobre el suceso de que falte algún tipo tras $\beta n\ln n$ extracciones, usando $1 - x \leq \eu^{-x}$ ), y dedúzcase que, a lo largo de $n = 2^m$ , c.s. $T_n \leq \beta n\ln n$ a partir de cierto índice, para todo $\beta > 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.9.

(a) Una vez recogidos $k - 1$ tipos, cada extracción es nueva con probabilidad $p_k = \frac{n-k+1}n$ : $\tau_k$ es geométrica $(p_k)$ , y las $\tau_k$ son independientes (las extracciones lo son). Sumas: $\E T_n = \sum_k\frac n{n-k+1} = nH_n \sim n\ln n$ ; $\V(T_n) = \sum\frac{1 - p_k}{p_k^2} \leq n^2\sum_{j=1}^n\frac1{j^2} \leq \frac{\pi^2}6n^2$ .

(b) Chebyshev: $\P\bigl(\abs{T_n - nH_n} \geq \varepsilon n\ln n\bigr) \leq \frac{\pi^2n^2/6}{\varepsilon^2n^2\ln^2n} \to 0$ , y $\frac{nH_n}{n\ln n} \to 1$ : $\frac{T_n}{n\ln n} \to 1$ en probabilidad.

(c) Cota de la unión: $T_n > t$ significa que algún tipo no ha salido tras $\lceil t\rceil$ extracciones, de modo que $\P(T_n > t) \leq n(1 - \frac1n)^{t} \leq n\,\eu^{-t/n}$ ; en $t = \beta n\ln n$ : $\leq n^{1 - \beta}$ . Para $\beta > 1$ , $\sum_m 2^{m(1-\beta)} < \infty$ : Borel–Cantelli da, a lo largo de $n = 2^m$ , que c.s. $T_n \leq \beta n\ln n$ a partir de cierto índice — en particular, para todo $\beta > 2$ como se enunció (cualquier $\beta > 1$ sirve a lo largo de la subsucesión).

Ejercicio 22.10 ★★

Usando la construcción por dígitos (Teorema 22.6): (a) verifíquese por cálculo directo que $U = \sum b_{2k}2^{-k}$ (los dígitos de índice par de una $\omega$ uniforme) es uniforme e independiente de $V = \sum b_{2k-1}2^{-k}$ ; (b) dedúzcase una biyección medible salvo conjuntos nulos entre $\intcc01$ y $\intcc01^2$ que conserve la medida, y coméntese: un número aleatorio uniforme contiene dos (y una infinidad numerable) independientes — compárese con la curva de Peano (el Problema 6.1), que lograba la sobreyectividad, pero ni la conservación de la medida ni la inyectividad.

Solución

Solución de Ejercicio 22.10.

(a) Los dígitos de índice par $(b_{2k})_k$ son bits equilibrados i.i.d. (una subfamilia de la familia independiente de dígitos), de modo que $U = \sum_kb_{2k}2^{-k}$ da a cada intervalo diádico su probabilidad correcta (como en el Teorema 22.6): uniforme; análogamente $V$ ; y $(U, V)$ dependen de bloques de dígitos disjuntos: independientes (factorización en rectángulos diádicos y después Dynkin).

(b) $\Phi(\omega) = (U(\omega), V(\omega))$ es medible con $\Phi_*\lambda = \lambda\otimes\lambda = \lambda_2$ (coincidencia en los rectángulos diádicos más unicidad). Entrelazar dígitos define una inversa definida fuera del conjunto (nulo) de los racionales diádicos de cualquiera de los dos factores: una biyección que conserva la medida entre subconjuntos de medida total de $\intcc01$ y $\intcc01^2$ . Contrástese con Peano (el Problema 6.1): la continuidad forzaba la sobreyectividad sin inyectividad; renunciar a la continuidad a cambio de la mera medibilidad compra un isomorfismo de medida — la dimensión es invisible para la teoría de la medida y visible para la topología.

Ejercicio 22.11 ★★

(Récords) Sean $(X_n)_{n\geq1}$ i.i.d. de función de distribución continua, y dígase que hay un récord en el instante $n$ si $X_n > \max(X_1, \dots, X_{n-1})$ (el instante $1$ es un récord). Sea $R_n$ el indicador de récord. (a) Demuéstrese $\P(R_n = 1) = \frac1n$ (por simetría, cada una de las $n!$ ordenaciones de $X_1, \dots, X_n$ es igualmente probable y los empates tienen probabilidad $0$ ). (b) Demuéstrese que los $R_n$ son independientes (cuéntense las ordenaciones compatibles con posiciones de récord prescritas, o argúyase que el orden relativo de $X_1, \dots, X_{n-1}$ es independiente del rango de $X_n$ entre ellas). (c) Dedúzcase de Borel–Cantelli (el Teorema 22.8, ambas mitades) que hay infinitos récords c.s., pero que los récords en instantes consecutivos $n, n+1$ ocurren infinitas veces con probabilidad — ¡decídase cuál! — y calcúlese $\sum_n\P(R_n = 1, R_{n+1} = 1)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.11.

(a) La continuidad de la distribución hace nulos los sucesos de empate (como en los argumentos de estadísticos de orden del capítulo), y las $n!$ ordenaciones relativas de $(X_1, \dots, X_n)$ son intercambiables, luego igualmente probables. $R_n = 1$ significa que el máximo ocupa la última posición: probabilidad $\frac{(n-1)!}{n!} = \frac1n$ .

(b) Fíjese $n$ y condiciónese al orden relativo de $X_1, \dots, X_{n-1}$ : insertar $X_n$ en una de las $n$ posiciones de rango posibles es uniforme e independiente de ese orden (intercambiabilidad de la $n$ -tupla). Por tanto, $R_n$ (el suceso « $X_n$ ocupa la primera posición») es independiente de toda la historia de récords $(R_1, \dots, R_{n-1})$ , que es función del orden relativo de las $n - 1$ primeras variables. La inducción da la independencia completa con $\P(R_n = 1) = \frac1n$ .

(c) $\sum\P(R_n = 1) = \sum\frac1n = \infty$ con independencia: la segunda mitad de Borel–Cantelli da infinitos récords c.s. (los récords nunca cesan — pero se ralean logarítmicamente: $\E[\#\text{récords} \leq n] = H_n \approx \ln n$ ). Récords consecutivos: $\P(R_n = R_{n+1} = 1) = \frac1{n(n+1)}$ (independencia), y

\sum_n\frac1{n(n+1)} = \sum_n\Bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\Bigr) = 1 < \infty :

se aplica la primera mitad de Borel–Cantelli — solo hay, c.s., un número finito de pares de récords consecutivos.

Ejercicio 22.12 ★★

(La racha más larga de caras) Lánzese una moneda equilibrada infinitas veces y sea $L_n$ la longitud de la racha más larga de caras consecutivas entre los $n$ primeros lanzamientos. (a) Demuéstrese que, para todo $\varepsilon > 0$ , c.s. $L_n \leq (1 + \varepsilon)\log_2n$ a partir de cierto índice (la probabilidad de que alguna racha de longitud $\ell$ empiece entre los $n$ primeros lanzamientos es a lo sumo $n2^{-\ell}$ ; Borel–Cantelli a lo largo de $n = 2^k$ ). (b) Demuéstrese que, c.s., $L_n \geq (1 - \varepsilon)\log_2n$ a partir de cierto índice (pártanse los $n$ primeros lanzamientos en $\lfloor n/\ell\rfloor$ bloques disjuntos de longitud $\ell = \lceil(1 - \varepsilon)\log_2n\rceil$ ; los bloques son independientes, cada uno todo caras con probabilidad $2^{-\ell}$ , y la probabilidad de que ninguno sea todo caras es a lo sumo $\exp(-n2^{-\ell}/\ell)$ ; súmese de nuevo a lo largo de $n = 2^k$ ). (c) Conclúyase $\frac{L_n}{\log_2n} \to 1$ c.s.: en un millón de lanzamientos equilibrados cabe esperar una racha de unas $20$ caras — y un conjunto de datos sin ella es probablemente inventado.

Solución

Solución de Ejercicio 22.12.

(a) Una racha de longitud $\ell$ que empieza en la posición $i \leq n$ tiene probabilidad $2^{-\ell}$ ; cota de la unión: $\P(L_n \geq \ell) \leq n2^{-\ell}$ . Con $\ell_n = (1 + \varepsilon)\log_2n$ : $\P(L_n \geq \ell_n) \leq n^{-\varepsilon}$ . A lo largo de $n = 2^k$ : $\sum_k2^{-k\varepsilon} < \infty$ , de modo que c.s. $L_{2^k} < (1+\varepsilon)k$ a partir de cierto índice (Borel–Cantelli); para $n$ general, tómese $2^{k-1} < n \leq 2^k$ y úsense la monotonía de $L_n$ y $\log_22^{k-1} \leq \log_2n$ : $L_n \leq L_{2^k} < (1 + \varepsilon)k \leq (1 + \varepsilon)\frac{k}{k-1} \log_2n$ , y el factor extra se absorbe agrandando ligeramente $\varepsilon$ .

(b) Con $\ell = \lceil(1 - \varepsilon)\log_2n\rceil$ y $m = \lfloor n/\ell\rfloor$ bloques disjuntos: los bloques son independientes, cada uno todo caras con probabilidad $2^{-\ell} \geq n^{-(1-\varepsilon)}/2$ , de modo que

\P(L_n < \ell) \leq \bigl(1 - 2^{-\ell}\bigr)^{m} \leq \exp\bigl(-m2^{-\ell}\bigr) \leq \exp\Bigl(-c\,\frac{n^{\varepsilon}}{\log_2n}\Bigr)

para cierta constante $c > 0$ y $n$ grande. Estas probabilidades son sumables a lo largo de $n = 2^k$ (de hecho, en todo $n$ ): Borel–Cantelli da c.s. $L_n \geq (1 - \varepsilon)\log_2n$ a partir de cierto índice (la monotonía rellena los huecos entre los $2^k$ como en (a), sin daño).

(c) Ambas cotas a lo largo de una sucesión $\varepsilon = \frac1j$ , intersecando una cantidad numerable de sucesos de medida total: $\frac{L_n}{\log_2n} \to 1$ c.s. Para $n = 10^6$ : $\log_2n \approx 19.9$ — una racha de $\approx 20$ caras no es una anomalía sospechosa, sino una certeza matemática, y su ausencia es indicio de un humano fingiendo «azar» (rara vez se atreve nadie a escribir más de $5$ o $6$ caras seguidas).

22.7 Problema: la demostración de Etemadi de la ley fuerte

Problema 22.1

Problema de fin de semana — la ley fuerte de los grandes números para variables i.i.d. integrables

La ley fuerte de Kolmogorov — $\frac{S_n}n \to \E X_1$ c.s. para $X_n \in L^1$ i.i.d. — tuvo durante mucho tiempo solo demostraciones intrincadas; en 1981, N. Etemadi encontró una de una economía asombrosa, que no usa nada más allá de este capítulo (y que incluso debilita la independencia a la independencia dos a dos). La seguimos. Sean $(X_n)$ independientes dos a dos, idénticamente distribuidas e integrables; $m = \E X_1$ , $S_n = X_1 + \dots + X_n$ .

Parte I — Reducciones.

Demostrar que basta tratar $X_n \geq 0$ (pártase $X_n = X_n^+ - X_n^-$ : compruébese que las dos mitades vuelven a ser i.i.d. independientes dos a dos e integrables). Supóngase en adelante $X_n \geq 0$ .
(Truncamiento) Sean $Y_n = X_n\,\mathbf 1_{X_n \leq n}$ y $S_n^* = Y_1 + \dots + Y_n$ . Demostrar

$\sum_{n\geq1}\P(X_n \neq Y_n) = \sum_{n\geq1}\P(X_1 > n) \leq \E[X_1] < \infty$

(el Ejercicio 11.3) y dedúzcase, vía Borel–Cantelli, que $\frac{S_n - S_n^*}{n} \to 0$ c.s.: basta demostrar $\frac{S^*_n}n \to m$ a.s.
Demostrar $\E Y_n = \E\bigl[X_1\mathbf 1_{X_1\leq n}\bigr] \to m$ (convergencia monótona) y, por tanto, $\frac1n\sum_{k\leq n}\E Y_k \to m$ (Cesàro): basta demostrar $\frac{S_n^* - \E S_n^*}{n} \to 0$ a.s.

Parte II — La estimación de la varianza.

Demostrar

$\V(Y_n) \leq \E[Y_n^2] = \E\bigl[X_1^2\,\mathbf 1_{X_1 \leq n}\bigr]$

y, usando la fórmula de las capas (la Proposición 11.8), la cota clave

$\sum_{n\geq1}\frac{\V(Y_n)}{n^2} \leq \sum_{n\geq1}\frac1{n^2}\, \E\bigl[X_1^2\mathbf 1_{X_1\leq n}\bigr] \leq C\,\E[X_1] < \infty$

(intercámbiense la suma y la esperanza — Tonelli para series — y acótese $\sum_{n \geq x}\frac1{n^2} \leq \frac2{\max(x,1)}$ para la estimación interior $x^2\sum_{n\geq x}n^{-2} \leq 2x$ ).

Parte III — Convergencia a lo largo de subsucesiones geométricas. Fíjese $\alpha > 1$ y sea $k_j = \lfloor\alpha^j\rfloor$ .

Usando la independencia dos a dos (las varianzas se suman, el Teorema 22.5 — compruébese que la aditividad de las varianzas solo necesita la independencia dos a dos) y Chebyshev, demuéstrese, para todo $\varepsilon > 0$ :

$\sum_{j\geq1}\P\Bigl(\Bigl| \frac{S^*_{k_j} - \E S^*_{k_j}}{k_j}\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr) \leq \frac1{\varepsilon^2}\sum_{j\geq1}\frac1{k_j^2} \sum_{n\leq k_j}\V(Y_n) = \frac1{\varepsilon^2}\sum_{n\geq1}\V(Y_n) \sum_{j\,:\,k_j\geq n}\frac1{k_j^2} .$
Demostrar $\sum_{j : k_j \geq n}k_j^{-2} \leq \frac{C_\alpha}{n^2}$ (serie geométrica; atención a la parte entera: $k_j \geq \frac{\alpha^j}2$ para el cuidado de tipo $\alpha^j \geq 2$ ), y conclúyase con la pregunta 4 y Borel–Cantelli:

$\frac{S^*_{k_j} - \E S^*_{k_j}}{k_j} \xrightarrow[j\to\infty]{\text{c.s.}} 0, \qquad\text{luego}\qquad \frac{S^*_{k_j}}{k_j} \to m \ \text{c.s.}$

Parte IV — Sándwich y conclusión.

Para $k_j \leq n \leq k_{j+1}$ , úsese la monotonía de $S^*_n$ (¡sumandos no negativos!) para demostrar

$\frac{k_j}{k_{j+1}}\,\frac{S^*_{k_j}}{k_j} \;\leq\; \frac{S^*_n}{n} \;\leq\; \frac{k_{j+1}}{k_j}\,\frac{S^*_{k_{j+1}}}{k_{j+1}},$

y dedúzcase, c.s.:

$\frac m\alpha \leq \liminf\frac{S^*_n}n \leq \limsup\frac{S^*_n}n \leq \alpha\,m .$
Hágase $\alpha \downarrow 1$ a lo largo de una sucesión y conclúyase $\frac{S_n^*}n \to m$ c.s. y, por tanto (Parte I), la ley fuerte de los grandes números:

$\boxed{\ \frac{S_n}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{\text{c.s.}} \E[X_1].\ }$
¿Dónde bastó exactamente la independencia dos a dos (en lugar de la independencia completa)? Enumérense los tres lugares donde se invocaron hipótesis de tipo independencia.

Parte V — Dividendos.

(Números normales de Borel) Demostrar que $\lambda$ -casi todo $x \in \intcc01$ es normal en toda base $b \geq 2$ : cada dígito $0, \dots, b-1$ aparece con frecuencia asintótica $\frac1b$ (fíjense $b$ y un dígito, aplíquese la ley fuerte a las variables indicadoras — justifíquese que los dígitos en base $b$ de una variable uniforme son i.i.d. uniformes en $\{0,\dots,b-1\}$ , como en el Teorema 22.6 — e interséquense después los sucesos de probabilidad uno, en cantidad numerable). Exhíbase un número explícito no normal y reflexiónese: el teorema afirma la normalidad de casi todos los números y, sin embargo, demostrar la normalidad de $\sqrt2$ o de $\pi$ sigue abierto.
(Monte Carlo, garantizado) Justifíquese por completo el método del Ejemplo 22.14(b) para $g \in L^1(\intcc01^d)$ : constrúyase la muestra uniforme i.i.d. en $\intcc01^d$ a partir del Teorema 22.6 y del Ejercicio 22.10, y enúnciese qué entrega la ley fuerte.

Parte VI — Lo que compra la independencia completa: desigualdades maximales y series aleatorias. Etemadi gasta solo independencia dos a dos; las partes restantes explotan la versión completa (mutua). Sean $(Z_n)$ variables independientes centradas de $L^2$ y $S_k = Z_1 + \dots + Z_k$ (una notación nueva, sin relación con las $X_n$ anteriores).

(Desigualdad maximal de Kolmogorov) Para $\varepsilon > 0$ , demuéstrese

$\P\Bigl(\max_{1\leq k\leq n}\abs{S_k} \geq \varepsilon\Bigr) \;\leq\; \frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n\V(Z_k) :$

El precio de Chebyshev compra el máximo (divídase el suceso según el primer índice $k$ con $\abs{S_k} \geq \varepsilon$ ; en ese trozo escríbase $S_n^2 \geq S_k^2 + 2S_k(S_n - S_k)$ y úsese la independencia de las coaliciones $(Z_1, \dots, Z_k)$ y $(Z_{k+1}, \dots, Z_n)$ , el Teorema 22.5). Señálese el paso en que la independencia dos a dos ya no bastaría.
(Teorema de la serie única de Khinchin–Kolmogorov) Dedúzcase: si $\sum_n\V(Z_n) < \infty$ , entonces $\sum_nZ_n$ converge casi seguramente (demuéstrese que, c.s., las sumas parciales forman una sucesión de Cauchy: hágase $m \to \infty$ en la desigualdad maximal aplicada a $Z_{N+1}, \dots, Z_{N+m}$ , y después $N \to \infty$ ).
(Series de Rademacher) Sean $(\varepsilon_n)$ signos i.i.d., $\P(\varepsilon_n = \pm1) = \frac12$ (el Teorema 22.6), y sean $(x_n)$ números reales. Demuéstrese que $\sum_nx_n\varepsilon_n$ converge c.s. en cuanto $\sum_nx_n^2 < \infty$ ; demuéstrese también que, sean cuales sean los $(x_n)$ , la probabilidad de que $\sum_nx_n\varepsilon_n$ converja vale $0$ o $1$ (Teorema 22.9).
El recíproco, elementalmente. Póngase $T_n = \sum_{k\leq n}x_k\varepsilon_k$ y $s_n^2 = \sum_{k\leq n}x_k^2$ , y supóngase $s_n \to \infty$ . (a) Demuéstrese la desigualdad de Paley–Zygmund: para $Z \geq 0$ con $\E Z^2 < \infty$ y $0 < \theta < 1$ ,

$\P\bigl(Z > \theta\,\E Z\bigr) \;\geq\; (1 - \theta)^2\,\frac{(\E Z)^2}{\E Z^2}$

(pártase $\E Z$ en el nivel $\theta\E Z$ y aplíquese Cauchy–Schwarz al trozo superior). (b) Demuéstrese $\E T_n^4 \leq 3s_n^4$ . (c) Dedúzcase $\P\bigl(\abs{T_n} > \frac{s_n}2\bigr) \geq \frac3{16}$ y conclúyase que $\sum_nx_n\varepsilon_n$ diverge c.s.; de ahí la dicotomía

$\sum_nx_n\varepsilon_n\ \text{converge c.s.} \iff \sum_nx_n^2 < \infty .$
(Serie armónica aleatoria) Conclúyase que $\sum_n\frac{\varepsilon_n}{n^s}$ converge c.s. si y solo si $s > \frac12$ . Para $\frac12 < s \leq 1$ la serie converge c.s. aunque $\sum_nn^{-s} = \infty$ : los signos aleatorios producen cancelación de intensidad raíz cuadrada — compárese con la serie alternada $\sum_n\frac{(-1)^n}{n^s}$ , que converge para todo $s > 0$ .

Parte VII — Concentración: la desigualdad de Hoeffding. La ley fuerte dice $\frac{S_n}n \to m$ ; las desigualdades de concentración dicen cuán improbable es una desviación para cada $n$ fijo.

(Lema de Hoeffding) (a) Demuéstrese $\cosh\lambda \leq \eu^{\lambda^2/2}$ para todo $\lambda \in \R$ , comparando las dos series término a término. (b) Sea $Z$ centrada con $a \leq Z \leq b$ , $a < b$ . Demuéstrese

$\E\,\eu^{\lambda Z} \leq \exp\Bigl(\frac{\lambda^2(b - a)^2}8\Bigr)$

(acótese $\eu^{\lambda z}$ en $\intcc ab$ por su cuerda, tómense esperanzas y estúdiese $\varphi(t) = -pt + \log(1 - p + p\eu^t)$ con $p = \frac{-a}{b-a}$ y $t = \lambda(b - a)$ : demuéstrense $\varphi(0) = \varphi'(0) = 0$ y $\varphi'' \leq \frac14$ ).
(Desigualdad de Hoeffding) Sean $X_1, \dots, X_n$ independientes con $a_i \leq X_i \leq b_i$ y $S_n = X_1 + \dots + X_n$ . Demuéstrese, para $t > 0$ ,

$\P\bigl(S_n - \E S_n \geq t\bigr) \leq \exp\Bigl(\frac{-2t^2}{\sum_{i=1}^n(b_i - a_i)^2}\Bigr),$

y la misma cota para la cola inferior (Chebyshev exponencial: acótese $\E\,\eu^{\lambda(S_n - \E S_n)}$ usando la independencia y la pregunta 17, y optimícese después en $\lambda > 0$ ).
(La ley fuerte, caso acotado, con velocidad) Sean las $X_i$ i.i.d. con valores en $\intcc ab$ y $m = \E X_1$ . Demuéstrese

$\P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n}n - m\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr) \leq 2\exp\Bigl(\frac{-2n\varepsilon^2}{(b - a)^2}\Bigr)$

y recupérese $\frac{S_n}n \to m$ c.s. por Borel–Cantelli: una segunda demostración de la ley fuerte para variables acotadas — sin truncamiento, con una velocidad exponencial en cada $n$ finito, pero con sumandos acotados y independencia completa. Compárense las hipótesis con las de Etemadi.
(Monte Carlo, garantizado a $n$ fijo) Sean $g \colon \intcc01^d \to \intcc01$ medible y $(U_k)$ la muestra uniforme i.i.d. de la pregunta 11. Dado $\varepsilon, \delta > 0$ , demuéstrese

$n \geq \frac{\log(2/\delta)}{2\varepsilon^2} \implies \P\Bigl(\Bigl|\frac1n\sum_{k=1}^ng(U_k) - \int g\,\dd\lambda_d\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr) \leq \delta,$

y evalúese el umbral para $\varepsilon = \delta = 10^{-2}$ . La cota no involucra $d$ : compárese con la pregunta 11 y con las mallas deterministas.

Parte VIII — ¿Cuán grande es un paseo aleatorio? Hacia el logaritmo iterado. Sea $S_n = \varepsilon_1 + \dots + \varepsilon_n$ el paseo aleatorio simple construido con signos equilibrados i.i.d.

(Colas subgaussianas) Demuéstrese $\E\,\eu^{\lambda S_n} = (\cosh\lambda)^n \leq \eu^{n\lambda^2/2}$ y dedúzcase, para $x > 0$ ,

$\P(S_n \geq x) \leq \eu^{-x^2/(2n)}, \qquad \P(\abs{S_n} \geq x) \leq 2\,\eu^{-x^2/(2n)} .$
Dedúzcase, vía Borel–Cantelli,

$\limsup_{n\to\infty}\frac{\abs{S_n}} {\sqrt{2n\log n}} \leq 1 \quad\text{c.s.}$

(para $\eta > 0$ , súmense las cotas de cola en $x = (1 + \eta)\sqrt{2n\log n}$ e interséquese después en $\eta = \frac1p$ ). En particular, el paseo vive a la escala del TCL $\sqrt n$ salvo un factor logarítmico — muy por debajo de la cota burda $\abs{S_n} \leq n$ .
A lo largo de la subsucesión de duplicación $n_j = 2^j$ , demuéstrese

$\limsup_{j\to\infty}\frac{S_{n_j}} {\sqrt{2n_j\log\log n_j}} \leq 1 \quad\text{c.s.},$

y reflexiónese: la ley del logaritmo iterado (Khinchin; Hartman–Wintner para sumandos $L^2$ centrados generales) afirma que

$\limsup_{n\to\infty}\frac{S_n} {\sqrt{2n\log\log n}} = 1 \quad\text{c.s.}$

Explíquese con precisión qué separa la estimación por subsucesiones recién demostrada de la mitad superior de este enunciado (hay que controlar $\max_{n_j \leq n \leq n_{j+1}}S_n$ dentro de cada bloque, lo que exige una desigualdad maximal a escala exponencial) y compruébese cuantitativamente que la desigualdad de la pregunta 12 es demasiado débil para ese fin. La mitad inferior descansa en el segundo lema de Borel–Cantelli aplicado a bloques independientes; ambas mitades son material honesto de tercer año para un curso dedicado a la probabilidad.
(Desviación uniforme sobre una clase finita) Sean $A_1, \dots, A_N$ sucesos de un experimento repetible, y estímese cada probabilidad por su frecuencia empírica $\hat p_i$ sobre $n$ repeticiones i.i.d. Combinando la desigualdad de Hoeffding con una cota de la unión, demuéstrese

$\P\Bigl(\max_{i\leq N}\,\abs{\hat p_i - \P(A_i)} > \varepsilon\Bigr) \;\leq\; 2N\,\eu^{-2n\varepsilon^2},$

y dedúzcase la regla del tamaño muestral: $n \geq \frac{\ln(2N/\delta)}{2\varepsilon^2}$ garantiza que las $N$ estimaciones sean simultáneamente $\varepsilon$ -precisas con probabilidad $\geq 1 - \delta$ . Calcúlese $n$ para $N = 10^6$ , $\varepsilon = 0.01$ , $\delta = 0.05$ : el precio logarítmico de la uniformidad.
(La ventana armónica aleatoria) Combinando las dos mitades de la teoría de series aleatorias, demuéstrese que, para signos i.i.d. $(\varepsilon_n)$ , la serie $\sum_n\frac{\varepsilon_n}{n^\alpha}$ converge c.s. si $\alpha > \frac12$ y diverge c.s. si $\alpha \leq \frac12$ ; contrástese con la convergencia absoluta (que exige $\alpha > 1$ ): en la ventana $\alpha \in \intoc{\frac12}1$ , la convergencia es un fenómeno genuinamente probabilístico — cancelación, no tamaño.

Solución

Solución de Problema 22.1.

1. $X_n^{\pm}$ son funciones borelianas de $X_n$ : siguen siendo independientes dos a dos (el Ejercicio 22.3(a)) e idénticamente distribuidas e integrables, con $\E X_1 = \E X_1^+ - \E X_1^-$ . Si el teorema vale para variables no negativas, aplíquese a ambas mitades y réstese: $\frac{S_n}n = \frac{S_n^+}n - \frac{S_n^-}n \to \E X_1^+ - \E X_1^- = m$ a.s.

2. $\P(X_n \neq Y_n) = \P(X_n > n) = \P(X_1 > n)$ (leyes idénticas), y $\sum_n\P(X_1 > n) \leq \sum_n\P(X_1 \geq n) \leq \E X_1 < \infty$ (el Ejercicio 11.3(a)). Borel–Cantelli (1): c.s. $X_n = Y_n$ para todo $n$ grande, de modo que $S_n - S_n^*$ es finalmente constante en $n$ : $\frac{S_n - S_n^*}n \to 0$ c.s., y las dos sumas normalizadas comparten su comportamiento asintótico.

3. $X_1\mathbf 1_{X_1 \leq n} \nearrow X_1$ : el teorema de convergencia monótona da $\E Y_n \to m$ ; las medias de Cesàro de una sucesión convergente convergen al mismo límite: $\frac{\E S_n^*}n = \frac1n\sum_{k\leq n}\E Y_k \to m$ . Basta, por tanto, demostrar $\frac{S^*_n - \E S^*_n}{n} \to 0$ c.s.

4. $\V(Y_n) \leq \E Y_n^2 = \E[X_1^2\mathbf 1_{X_1\leq n}]$ . Por Tonelli para series,

\sum_n\frac{\E[X_1^2\mathbf 1_{X_1\leq n}]}{n^2} = \E\Bigl[X_1^2\!\!\sum_{n \geq \max(X_1, 1)}\!\frac1{n^2} \Bigr] \leq \E\Bigl[X_1^2\cdot\frac{4}{\max(X_1,1)}\Bigr] \leq 4\,\E[X_1] < \infty,

usando $\sum_{n\geq x}n^{-2} \leq \frac4x$ para $x \geq 1$ (para $x \geq 2$ : $\leq \frac1{x-1} \leq \frac2x$ ; para $1 \leq x < 2$ : $\leq \frac{\pi^2}6 \leq \frac4x$ , pues $\frac4x > 2$ ), y $X_1^2/\max(X_1, 1) \leq X_1$ en ambos casos $X_1 \gtrless 1$ .

5. La independencia dos a dos da $\E[(Y_i - \E Y_i)(Y_j - \E Y_j)] = 0$ para $i \neq j$ (la fórmula del producto para dos variables), de modo que las varianzas se suman: $\V(S^*_k) = \sum_{n\leq k}\V(Y_n)$ . Chebyshev en cada $k_j$ y sumando:

\sum_j\P\Bigl(\abs{S^*_{k_j} - \E S^*_{k_j}} \geq \varepsilon k_j\Bigr) \leq \frac1{\varepsilon^2}\sum_j\frac1{k_j^2}\sum_{n\leq k_j}\V(Y_n) = \frac1{\varepsilon^2}\sum_n\V(Y_n)\!\!\sum_{j : k_j\geq n}\!\frac1{k_j^2}

(Tonelli para la serie doble de términos no negativos).

6. $k_j = \lfloor\alpha^j\rfloor \geq \frac{\alpha^j}2$ (válido en cuanto $\alpha^j \geq 1$ , es decir, para todo $j \geq 0$ : $\lfloor x\rfloor \geq \frac x2$ si $x \geq 1$ ). Por tanto,

\sum_{j : k_j \geq n}\frac1{k_j^2} \leq 4\sum_{j : \alpha^j \geq n}\alpha^{-2j} \leq \frac{4}{1 - \alpha^{-2}}\cdot\frac1{n^2} = \frac{C_\alpha}{n^2},

(serie geométrica desde el primer $j$ con $\alpha^j \geq n$ ). Combinando con las preguntas 4–5, la suma doble es finita; Borel–Cantelli (1), aplicado para cada racional $\varepsilon$ e intersecado, da $\frac{S^*_{k_j} - \E S^*_{k_j}}{k_j} \to 0$ c.s. y, con la pregunta 3, $\frac{S^*_{k_j}}{k_j} \to m$ c.s.

7. $Y_n \geq 0$ hace $n \mapsto S^*_n$ no decreciente: para $k_j \leq n \leq k_{j+1}$ ,

\frac{S^*_{k_j}}{k_{j+1}} \leq \frac{S^*_n}{n} \leq \frac{S^*_{k_{j+1}}}{k_j},

que es el sándwich exhibido tras insertar $\frac{k_j}{k_{j+1}}$ y $\frac{k_{j+1}}{k_j}$ . Como $\frac{k_{j+1}}{k_j} \to \alpha$ , la pregunta 6 da, c.s.,

\frac m\alpha \leq \liminf_n\frac{S^*_n}n \leq \limsup_n\frac{S^*_n}n \leq \alpha m .

8. Aplíquese la pregunta 7 para $\alpha = 1 + \frac1p$ , $p \in \N^*$ : una cantidad numerable de sucesos c.s.; en su intersección, haciendo $p \to \infty$ : $\lim\frac{S^*_n}n = m$ c.s. Con las preguntas 1–3, $\frac{S_n}n \to \E X_1$ c.s.: la ley fuerte de los grandes números, bajo independencia dos a dos.

9. Las hipótesis de tipo independencia aparecieron tres veces: (i) la aditividad de las varianzas (pregunta 5) — basta la de dos a dos; (ii) la idéntica distribución, en las sumas de truncamiento (pregunta 2) y en el cálculo de la media (pregunta 3) — sin independencia alguna; (iii) Borel–Cantelli (1) (preguntas 2 y 6) — válido sin ninguna independencia. La independencia mutua completa no se invocó nunca: la observación de Etemadi.

10. Fíjense una base $b$ y un dígito $r$ . Los dígitos en base $b$ , $(d_k)$ , de una $\omega$ uniforme son i.i.d. uniformes en $\{0, \dots, b-1\}$ (cada valor del vector de dígitos ocupa un intervalo de longitud $b^{-m}$ : el argumento del Teorema 22.6, palabra por palabra). La ley fuerte aplicada a las variables acotadas i.i.d. $\mathbf 1_{d_k = r}$ da: c.s., la frecuencia del dígito $r$ tiende a $\frac1b$ . Intersecando en la cantidad numerable de pares $(b, r)$ : casi todo número es simplemente normal en toda base. Un número explícito no normal: $x = 0.100100100\ldots_2$ (frecuencia de unos $\frac13 \neq \frac12$ ). El contraste es humillante: casi todos los números son normales y, sin embargo, para $\sqrt2$ , $\eu$ o $\pi$ la normalidad sigue sin demostrarse — la teoría de la medida cuenta sin exhibir.

11. Por el Ejercicio 22.10 iterado, una sola variable uniforme produce una sucesión de vectores uniformes i.i.d. $U_k$ en $\intcc01^d$ (divídase el conjunto de dígitos de cada $U_n$ del Teorema 22.6 en $d$ subfamilias). Para $g \in L^1(\intcc01^d)$ , las variables $g(U_k)$ son i.i.d. integrables de media $\int g\,\dd\lambda_d$ (transferencia): la ley fuerte da

\frac1n\sum_{k=1}^ng(U_k) \xrightarrow[n\to\infty]{\text{c.s.}} \int_{\intcc01^d}g\,\dd\lambda_d :

la integración de Monte Carlo converge casi seguramente, en toda dimensión — el tamaño del error es asunto del teorema central del límite (el Capítulo 23).

12. Sea $A_k = \{\abs{S_k} \geq \varepsilon\} \cap \bigcap_{j<k}\{\abs{S_j} < \varepsilon\}$ : los $A_k$ son disjuntos con unión $A = \{\max_{k\leq n}\abs{S_k} \geq \varepsilon\}$ . Entonces

\E S_n^2 \geq \sum_{k=1}^n\E\bigl[S_n^2\mathbf 1_{A_k}\bigr] = \sum_{k=1}^n\E\Bigl[\bigl(S_k^2 + 2S_k(S_n - S_k) + (S_n - S_k)^2\bigr)\mathbf 1_{A_k}\Bigr] \geq \sum_{k=1}^n\E\bigl[S_k^2\mathbf 1_{A_k}\bigr],

porque el término cruzado se anula: $S_k\mathbf 1_{A_k}$ es una función boreliana de la coalición $(Z_1, \dots, Z_k)$ , que es independiente de $S_n - S_k$ , función de $(Z_{k+1}, \dots, Z_n)$ (el Teorema 22.5), de modo que $\E[S_k\mathbf 1_{A_k}(S_n - S_k)] = \E[S_k\mathbf 1_{A_k}]\,\E[S_n - S_k] = 0$ . En $A_k$ , $S_k^2 \geq \varepsilon^2$ , de donde $\E S_n^2 \geq \varepsilon^2\sum_k\P(A_k) = \varepsilon^2\P(A)$ ; y $\E S_n^2 = \sum_{k\leq n}\V(Z_k)$ (las varianzas se suman). El paso decisivo es la factorización: $S_k\mathbf 1_{A_k}$ es una función no lineal de todo el primer bloque, y su independencia del segundo bloque es independencia de coaliciones — la independencia dos a dos de las $Z_i$ solo descorrelaciona pares y no la justificaría.

13. Fíjese $N$ y aplíquese la pregunta 12 a $Z_{N+1}, \dots, Z_{N+m}$ :

\P\Bigl(\max_{N < k \leq N+m}\abs{S_k - S_N} > \varepsilon\Bigr) \leq \frac1{\varepsilon^2}\sum_{j=N+1}^{N+m}\V(Z_j) \leq \frac{r_N}{\varepsilon^2}, \qquad r_N = \sum_{j>N}\V(Z_j) .

Los sucesos crecen con $m$ ; la continuidad por abajo da $\P(\sup_{k>N}\abs{S_k - S_N} > \varepsilon) \leq r_N/\varepsilon^2$ , y $r_N \to 0$ por hipótesis. Por tanto, para cada $p \in \N^*$ , $\P\bigl(\bigcap_N\{\sup_{k>N} \abs{S_k - S_N} > \frac1p\}\bigr) \leq \inf_Np^2r_N = 0$ : casi seguramente, para todo $p$ hay un $N$ con $\sup_{k>N}\abs{S_k - S_N} \leq \frac1p$ (interséquense los sucesos c.s. en $p$ , en cantidad numerable), de modo que $\abs{S_k - S_l} \leq \frac2p$ para todos $k, l > N$ : las sumas parciales son c.s. de Cauchy, luego c.s. convergentes.

14. Las variables $Z_n = x_n\varepsilon_n$ son independientes (funciones borelianas de variables independientes, el Ejercicio 22.3(a)), centradas y con $\V(Z_n) = x_n^2$ : la pregunta 13 se aplica cuando $\sum_nx_n^2 < \infty$ y da convergencia c.s. En general, para cada $N$ la convergencia de $\sum_nx_n\varepsilon_n$ no se ve afectada por los valores de $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_N$ : el suceso de convergencia está en la $\sigma$ -álgebra de cola de la sucesión independiente $(\varepsilon_n)$ , de modo que la ley cero–uno de Kolmogorov (el Teorema 22.9) fuerza que su probabilidad valga $0$ o $1$ .

15. (a) Partiendo en el nivel $\theta\E Z$ y aplicando Cauchy–Schwarz al trozo superior,

\E Z = \E\bigl[Z\mathbf 1_{Z \leq \theta\E Z}\bigr] + \E\bigl[Z\mathbf 1_{Z > \theta\E Z}\bigr] \leq \theta\,\E Z + \sqrt{\E Z^2}\, \sqrt{\P(Z > \theta\E Z)} ,

de modo que $(1 - \theta)\E Z \leq \sqrt{\E Z^2\,\P(Z > \theta\E Z)}$ ; elévese al cuadrado. (b) Desarróllese $T_n^4 = \sum_{i,j,k,l}x_ix_jx_kx_l\, \E[\varepsilon_i\varepsilon_j\varepsilon_k\varepsilon_l]$ : la esperanza vale $1$ cuando los índices se emparejan (los cuatro iguales, o dos pares distintos, esto último en $3$ disposiciones) y $0$ en caso contrario (un signo desemparejado tiene media nula y sale factor por independencia). Por tanto,

\E T_n^4 = \sum_kx_k^4 + 3\sum_{i\neq j}x_i^2x_j^2 = 3s_n^4 - 2\sum_kx_k^4 \leq 3s_n^4 .

\P\Bigl(\abs{T_n} > \frac{s_n}2\Bigr) = \P\Bigl(T_n^2 > \frac{s_n^2}4\Bigr) \geq \Bigl(\frac34\Bigr)^2 \frac{s_n^4}{3s_n^4} = \frac3{16} .

Si la serie convergiera con probabilidad positiva, convergería c.s. (pregunta 14), de modo que $\sup_n\abs{T_n} < \infty$ c.s., y algún $M$ cumpliría $\P(\sup_n\abs{T_n} > M) < \frac3{16}$ ; pero en cuanto $s_n > 2M$ , $\P(\abs{T_n} > M) \geq \P(\abs{T_n} > \frac{s_n}2) \geq \frac3{16}$ : contradicción. Así, la divergencia es casi segura y, con la pregunta 14, la dicotomía es completa.

16. Aquí $x_n = n^{-s}$ y $\sum_nn^{-2s} < \infty$ exactamente cuando $s > \frac12$ : por las preguntas 14–15, $\sum_n\frac{\varepsilon_n}{n^s}$ converge c.s. si y solo si $s > \frac12$ (para $s \leq \frac12$ , divergencia c.s.). Para $\frac12 < s \leq 1$ la convergencia nunca es absoluta. La comparación es instructiva: unos signos perfectamente alternados cancelan con intensidad $n^{-s}$ para todo $s > 0$ , mientras que unos signos aleatorios típicos cancelan solo con intensidad raíz cuadrada — el paseo aleatorio de la pregunta 21 crece como $\sqrt n$ , y la sumación de Abel convierte exactamente ese crecimiento en convergencia de $\sum\varepsilon_nn^{-s}$ para $s > \frac12$ .

17. (a) $\cosh\lambda = \sum_k\frac{\lambda^{2k}}{(2k)!}$ y $\eu^{\lambda^2/2} = \sum_k\frac{\lambda^{2k}}{2^kk!}$ ; y $(2k)! \geq 2^kk!$ vale término a término, porque $\frac{(2k)!}{k!} = \prod_{i=1}^k(k + i) \geq \prod_{i=1}^k(2i) = 2^kk!$ (cada factor cumple $k + i \geq 2i$ para $i \leq k$ ), de modo que, de hecho, $(2k)! \geq 2^k(k!)^2 \geq 2^kk!$ . (b) Obsérvese $a \leq 0 \leq b$ ( $Z$ está centrada) y, por convexidad de $z \mapsto \eu^{\lambda z}$ , para $z \in \intcc ab$ :

\eu^{\lambda z} \leq \frac{b - z}{b - a}\,\eu^{\lambda a} + \frac{z - a}{b - a}\,\eu^{\lambda b}, \qquad\text{luego}\qquad \E\,\eu^{\lambda Z} \leq \frac{b\,\eu^{\lambda a} - a\,\eu^{\lambda b}}{b - a} = (1 - p)\eu^{-pt} + p\,\eu^{(1-p)t} = \eu^{\varphi(t)}

con $p = \frac{-a}{b-a} \in \intcc01$ , $t = \lambda(b - a)$ , $\varphi(t) = -pt + \log(1 - p + p\eu^t)$ . Entonces $\varphi(0) = 0$ , $\varphi'(t) = -p + \frac{p\eu^t}{1 - p + p\eu^t}$ se anula en $0$ y $\varphi''(t) = \rho(1 - \rho) \leq \frac14$ para $\rho = \frac{p\eu^t}{1 - p + p\eu^t} \in \intcc01$ : Taylor de orden $2$ da $\varphi(t) \leq \frac{t^2}8 = \frac{\lambda^2(b-a)^2}8$ .

18. Para $\lambda > 0$ , Markov aplicado a la variable positiva $\eu^{\lambda(S_n - \E S_n)}$ (la Proposición 22.3) y la fórmula del producto para variables independientes dan

\P(S_n - \E S_n \geq t) \leq \eu^{-\lambda t}\prod_{i=1}^n\E\,\eu^{\lambda(X_i - \E X_i)} \leq \exp\Bigl(-\lambda t + \frac{\lambda^2}8\sum_i(b_i - a_i)^2\Bigr),

por la pregunta 17(b) aplicada a cada $X_i - \E X_i \in \intcc{a_i - \E X_i}{b_i - \E X_i}$ centrada (misma anchura). Minimizando el exponente en $\lambda = \frac{4t}{D}$ , $D = \sum_i(b_i - a_i)^2$ , se obtiene $-\frac{2t^2}D$ . La cola inferior se sigue aplicando el resultado a $(-X_i)$ .

19. Tómense $t = n\varepsilon$ y $D = n(b - a)^2$ :

\P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n}n - m\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr) \leq 2\exp\Bigl(\frac{-2n^2\varepsilon^2}{n(b-a)^2}\Bigr) = 2\exp\Bigl(\frac{-2n\varepsilon^2}{(b-a)^2}\Bigr),

que es sumable en $n$ (una serie de tipo geométrico): Borel–Cantelli (el Teorema 22.8) da que c.s. $\abs{\frac{S_n}n - m} < \varepsilon$ a partir de cierto índice; intersecando en $\varepsilon = \frac1p$ resulta $\frac{S_n}n \to m$ c.s. Comparación: Etemadi solo pide $X_1 \in L^1$ e independencia dos a dos, y no entrega velocidad alguna; Hoeffding pide acotación e independencia completa, y entrega una garantía exponencial explícita en cada $n$ finito — los dos teoremas responden a preguntas distintas sobre el mismo límite.

20. Las $g(U_k)$ son i.i.d. con valores en $\intcc01$ y media $\int g\,\dd\lambda_d$ (transferencia), de modo que la pregunta 18 con $b_i - a_i = 1$ , $t = n\varepsilon$ da la cota bilátera $2\eu^{-2n\varepsilon^2} \leq \delta$ en cuanto $\eu^{2n\varepsilon^2} \geq \frac2\delta$ , es decir, $n \geq \frac{\log(2/\delta)}{2\varepsilon^2}$ . Para $\varepsilon = \delta = 10^{-2}$ :

n \geq \frac{\log 200}{2\cdot10^{-4}} = \frac{5.2983\ldots}{0.0002} \approx 26\,492 :

unas $26\,500$ muestras garantizan una precisión $1\%$ con confianza $99\%$ — en toda dimensión $d$ y para todo integrando medible con valores en $\intcc01$ . La ley fuerte de la pregunta 11 prometía convergencia sin ninguna garantía a $n$ finito; una malla determinista con $k$ puntos por eje cuesta $k^d$ evaluaciones, exponencial en $d$ . La concentración es lo que hace de Monte Carlo un método y no una esperanza.

21. Independencia y fórmula del producto: $\E\,\eu^{\lambda S_n} = (\E\,\eu^{\lambda\varepsilon_1})^n = (\cosh\lambda)^n \leq \eu^{n\lambda^2/2}$ por la pregunta 17(a). Markov sobre $\eu^{\lambda S_n}$ :

\P(S_n \geq x) \leq \eu^{-\lambda x + n\lambda^2/2} = \eu^{-x^2/(2n)} \qquad\text{en el óptimo } \lambda = \frac xn,

y la cota simétrica para $-S_n$ (misma ley) duplica la constante para $\abs{S_n}$ .

22. Fíjese $\eta > 0$ y póngase $x_n = (1 + \eta)\sqrt{2n\log n}$ para $n \geq 2$ :

\P(\abs{S_n} \geq x_n) \leq 2\exp\bigl(-(1 + \eta)^2\log n\bigr) = \frac{2}{n^{(1+\eta)^2}},

sumable, pues $(1 + \eta)^2 > 1$ . Borel–Cantelli: c.s. $\abs{S_n} < (1 + \eta)\sqrt{2n\log n}$ para todo $n$ grande, de modo que $\limsup_n\frac{\abs{S_n}}{\sqrt{2n\log n}} \leq 1 + \eta$ c.s.; intersecando los sucesos c.s. para $\eta = \frac1p$ , $p \in \N^*$ , se obtiene la afirmación. El paseo de tamaño $n$ tiene amplitud típica $\sqrt n$ (su varianza), y hasta sus peores excursiones superan esa escala a lo sumo en $\sqrt{2\log n}$ .

23. Con $n_j = 2^j$ y $x = (1 + \eta)\sqrt{2n_j\log\log n_j}$ (definido para $j \geq 2$ ), la pregunta 21 da

\P\bigl(S_{n_j} \geq x\bigr) \leq \exp\bigl(-(1 + \eta)^2\log\log n_j\bigr) = (j\log 2)^{-(1+\eta)^2},

sumable en $j$ , pues $(1 + \eta)^2 > 1$ : Borel–Cantelli y $\eta = \frac1p$ dan $\limsup_jS_{n_j}/\sqrt{2n_j \log\log n_j} \leq 1$ c.s. Lo que falta para la mitad superior completa es el puente entre los instantes de control: hay que demostrar que $\max_{n_j\leq n\leq n_{j+1}}S_n$ supera $(1+\eta)\sqrt{2n_j\log\log n_j}$ solo un número finito de veces, lo que exige una desigualdad maximal con colas gaussianas (la desigualdad de reflexión de Lévy o la de Ottaviani, no demostradas aquí). La pregunta 12 es cuantitativamente demasiado débil: acota la probabilidad por

\frac{n_j}{(1+\eta)^2\,2n_j\log\log n_j} = \frac{1}{2(1+\eta)^2\log(j\log2)},

que tiende a $0$ pero no es sumable en $j$ : Borel–Cantelli no puede concluir. La mitad inferior de la ley del logaritmo iterado aplica el segundo lema de Borel–Cantelli a los incrementos independientes $S_{n_{j+1}} - S_{n_j}$ , usando cotas inferiores ajustadas para colas de tipo gaussiano. Ambos refinamientos son probabilidad genuina de tercer año, un curso más allá; lo que este problema entrega sin ayuda es la escala exacta del logaritmo iterado a lo largo de tiempos geométricos.

24. Cada $\hat p_i$ es una media de $n$ variables indicadoras i.i.d. con valores en $\intcc01$ y media $\P(A_i)$ : Hoeffding da $\P(\abs{\hat p_i - \P(A_i)} > \varepsilon) \leq 2\eu^{-2n\varepsilon^2}$ . La cota de la unión multiplica por $N$ . Resolviendo $2N\eu^{-2n\varepsilon^2} \leq \delta$ : $n \geq \frac{\ln(2N/\delta)}{2\varepsilon^2}$ . Numéricamente: $\ln\frac{2\cdot10^6}{0.05} = \ln(4\cdot10^7) \approx 17.5$ , de modo que $n \geq \frac{17.5}{2\cdot10^{-4}} \approx 87\,600$ : estimar una probabilidad con precisión $\pm1\%$ cuesta unas $18\,500$ muestras ( $\ln(2/\delta)/2\varepsilon^2$ ), y un millón de probabilidades solo $\approx 4.7$ veces más — la uniformidad cuesta $\ln N$ , no $N$ : la observación que hace estadísticamente posible la minimización del riesgo empírico y, con ella, el aprendizaje automático.

25. Las variables $X_n = \frac{\varepsilon_n} {n^\alpha}$ son independientes, centradas y acotadas, con $\sum_n\V(X_n) = \sum_nn^{-2\alpha}$ . Si $\alpha > \frac12$ : la serie de varianzas converge, y el teorema de la serie única (Parte VI) da la convergencia c.s. de $\sum X_n$ . Si $\alpha \leq \frac12$ : la serie de varianzas diverge, y la mitad recíproca (el argumento de Paley–Zygmund de la Parte VI, aplicable porque los sumandos están acotados por $1$ ) da la divergencia c.s. La convergencia absoluta pide $\sum n^{-\alpha} < \infty$ : $\alpha > 1$ . En $\intoc{\frac12}1$ , la serie converge c.s. aunque $\sum\abs{X_n} = \infty$ con seguridad: los signos conspiran para cancelarse, con probabilidad uno — convergencia por cancelación, invisible para cualquier criterio absoluto y, por la ley cero–uno, con un veredicto determinista de todos modos.