¿Qué es módulo? — Matemáticas

Definición 3.1 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 3 — Módulos sobre un dominio de ideales principales

Un $A$ -módulo es un grupo abeliano $(M, +)$ con una multiplicación por escalares $A \times M \to M$ que cumple los axiomas de espacio vectorial: $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ , $1x = x$ . Los submódulos, los cocientes $M/N$ , los morfismos (aplicaciones $A$ -lineales), las sumas directas $\bigoplus_i M_i$ y los teoremas de isomorfía se definen y se demuestran palabra por palabra igual que para los espacios vectoriales y los grupos abelianos; en particular, $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ para todo morfismo $f$ .

Ejemplos

Ejemplo 3.2

Los tres casos que motivan la teoría.

$A = K$ un cuerpo: los módulos son los espacios vectoriales.
$A = \Z$ : los módulos son exactamente los grupos abelianos ( $nx$ ha de ser $x + \dots + x$ ) y los submódulos son los subgrupos.
$A = K[X]$ : un módulo es un $K$ -espacio vectorial $V$ junto con la aplicación $K$ -lineal $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — recíprocamente, todo par $(V, u)$ con $u \in \mathcal L(V)$ se convierte en un $K[X]$ -módulo mediante $P \cdot x = P(u)(x)$ . Los submódulos son precisamente los subespacios $u$ -estables.

Un ideal de $A$ es exactamente un submódulo de $A$ ; un anillo cociente $A/I$ es un $A$ -módulo. A diferencia de los espacios vectoriales, los módulos pueden tener torsión: en $\Z/6\Z$ , el elemento $\bar 3 \ne 0$ es aniquilado por $2 \neq 0$ .

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