Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

3Módulos sobre un dominio de ideales principales

Álgebra lineal sobre un anillo en lugar de sobre un cuerpo: este pequeño cambio de hipótesis produce uno de los grandes teoremas de unificación del álgebra. Un módulo sobre $\Z$ es un grupo abeliano; un módulo sobre $K[X]$ es un espacio vectorial dotado de un endomorfismo. El teorema de estructura de los módulos finitamente generados sobre un DIP clasifica, pues, de un solo golpe, todos los grupos abelianos finitamente generados y todos los endomorfismos salvo semejanza — la reducción de Jordan, que en segundo año se obtuvo mediante delicadas inducciones, cae como corolario, junto con su hermana más sutil, la forma canónica racional, válida sobre todo cuerpo. El motor de cálculo es la forma normal de Smith, una aritmética de matrices digna de Euclides.

En todo el capítulo, $A$ es un anillo conmutativo, pronto un DIP; «módulo» significa $A$ -módulo.

3.1 Módulos y módulos libres

Definición 3.1

Un $A$ -módulo es un grupo abeliano $(M, +)$ con una multiplicación por escalares $A \times M \to M$ que cumple los axiomas de espacio vectorial: $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ , $1x = x$ . Los submódulos, los cocientes $M/N$ , los morfismos (aplicaciones $A$ -lineales), las sumas directas $\bigoplus_i M_i$ y los teoremas de isomorfía se definen y se demuestran palabra por palabra igual que para los espacios vectoriales y los grupos abelianos; en particular, $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ para todo morfismo $f$ .

Ejemplo 3.2

Los tres casos que motivan la teoría.

$A = K$ un cuerpo: los módulos son los espacios vectoriales.
$A = \Z$ : los módulos son exactamente los grupos abelianos ( $nx$ ha de ser $x + \dots + x$ ) y los submódulos son los subgrupos.
$A = K[X]$ : un módulo es un $K$ -espacio vectorial $V$ junto con la aplicación $K$ -lineal $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — recíprocamente, todo par $(V, u)$ con $u \in \mathcal L(V)$ se convierte en un $K[X]$ -módulo mediante $P \cdot x = P(u)(x)$ . Los submódulos son precisamente los subespacios $u$ -estables.

Un ideal de $A$ es exactamente un submódulo de $A$ ; un anillo cociente $A/I$ es un $A$ -módulo. A diferencia de los espacios vectoriales, los módulos pueden tener torsión: en $\Z/6\Z$ , el elemento $\bar 3 \ne 0$ es aniquilado por $2 \neq 0$ .

Definición 3.3

$M$ es finitamente generado si $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ para ciertos $x_i$ . $M$ es libre de rango $n$ si $M \cong A^n$ , es decir, si tiene una base (una familia generadora $A$ -linealmente independiente). Todo $M$ finitamente generado es cociente de un módulo libre: $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ aplica $A^n$ sobre $M$ .

Proposición 3.4 (Invariancia del rango)

Si $A \neq 0$ y $A^m \cong A^n$ , entonces $m = n$ .

Demostración. Tómese un ideal maximal $\mathfrak m$ de $A$ (el Teorema 2.8) y póngase $k = A/\mathfrak m$ , que es un cuerpo. Un isomorfismo $f \colon A^m \to A^n$ lleva $\mathfrak m A^m$ en $\mathfrak m A^n$ (linealidad), luego induce un isomorfismo de cocientes

A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n, \qquad\text{es decir}\qquad k^m \cong k^n

como $k$ -espacios vectoriales (el cociente $A^m/\mathfrak m A^m$ es aniquilado por $\mathfrak m$ , de modo que la acción de $A$ se factoriza a través de $k$ ; las imágenes de la base canónica forman una $k$ -base). La teoría de la dimensión sobre el cuerpo $k$ da $m = n$ . ∎

Teorema 3.5 (Submódulos de los módulos libres)

Sea $A$ un DIP y sea $M \subseteq A^n$ un submódulo. Entonces $M$ es libre de rango $\leq n$ .

Demostración. Inducción sobre $n$ . Para $n = 1$ : $M$ es un ideal, luego $M = (0)$ (libre de rango $0$ ) o $M = dA \cong A$ ( $x \mapsto dx$ es inyectiva: dominio). Para $n > 1$ : sea $\pi \colon A^n \to A$ la última coordenada. Entonces $\pi(M)$ es un ideal, $(0)$ o $dA$ . Si $(0)$ : $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ y se aplica la hipótesis de inducción. En caso contrario, elíjase $x_0 \in M$ con $\pi(x_0) = d$ . Todo $x \in M$ se escribe de manera única

x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 + \Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr), \qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi

( $\pi(x) \in dA$ , luego el coeficiente está en $A$ ). Así $M = Ax_0 \oplus (M \cap \ker \pi)$ : la suma es directa, pues $\pi(ax_0) = ad = 0$ obliga a $a = 0$ . Por inducción, $M \cap \ker\pi \subseteq \ker \pi \cong A^{n-1}$ es libre de rango $\leq n - 1$ ; añadiendo $x_0$ (independiente de $\ker\pi$ , como acabamos de ver) se obtiene una base de $M$ de cardinal $\leq n$ . ∎

Observación 3.6

En consecuencia, sobre un DIP todo módulo finitamente generado $M$ admite una presentación finita: una sobreyección $\varphi\colon A^n \to M$ tiene núcleo libre con base $c_1, \dots, c_k$ ( $k \leq n$ ), y $M \cong A^n / \operatorname{im}(C)$ , donde $C \in M_{n,k}(A)$ es la matriz cuyas columnas son los $c_j$ . Entender $M$ significa entender una matriz sobre $A$ salvo cambios de base en el origen y en el destino — el asunto de la sección siguiente.

3.2 Forma normal de Smith

Definición 3.7

Dos matrices $B, C \in M_{n,k}(A)$ son equivalentes si $C = QBP$ con $Q \in GL_n(A)$ , $P \in GL_k(A)$ (invertibles sobre $A$ : determinante en $A^\times$ ). Matrices de presentación equivalentes definen módulos $A^n/ \operatorname{im}$ isomorfos (cámbiense las bases de $A^n$ y $A^k$ ).

Teorema 3.8 (Forma normal de Smith)

Sea $A$ un DIP y sea $B \in M_{n,k}(A)$ . Entonces $B$ es equivalente a una matriz diagonal

\operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0), \qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 ,

y los $d_i$ son únicos salvo asociados: $d_1 \cdots d_i$ es un máximo común divisor de los menores $i \times i$ de $B$ (en particular, ese máximo común divisor es un invariante de la equivalencia). Los $d_i$ son los factores invariantes de $B$ .

Demostración. Existencia. Si $B = 0$ , hemos terminado. En caso contrario, considérese el conjunto de los ideales $(b)$ generados por las entradas de las matrices equivalentes a $B$ ; como $A$ es noetheriano, elíjanse una matriz $B'$ equivalente a $B$ y una entrada $d$ de $B'$ con $(d)$ maximal en ese conjunto. Llévese $d$ a la posición $(1,1)$ mediante intercambios de filas y columnas.

Afirmación: $d$ divide a toda entrada de $B'$ . Primero, la columna 1: si $b_{i1}$ no es múltiplo de $d$ , sea $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud + vb_{i1}$ (Bézout), de modo que $(e) \supsetneq (d)$ . El truco de la matriz $2 \times 2$ : actuando sobre las filas $1$ y $i$ por

\begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de \end{pmatrix} \in GL_2(A) \qquad \Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr)

se obtiene una matriz equivalente con entrada $e$ en la posición $(1,1)$ , lo que contradice la maximalidad de $(d)$ . Así que $d$ divide la columna $1$ y, simétricamente, la fila $1$ . Restando múltiplos de la fila 1 y de la columna 1 se anulan: $B'$ es equivalente a $\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$ . A continuación, $d$ divide toda entrada $b$ de $B''$ : súmese la fila de $b$ a la fila 1 (una operación elemental; la nueva primera fila contiene $d$ y entradas $b$ ) y repítase el argumento de anulación de columnas: un no múltiplo mejoraría de nuevo $(d)$ . Ahora inducción sobre el tamaño: $B''$ , cuyas entradas son todas divisibles por $d$ , tiene una forma de Smith $\operatorname{diag}(d_2, \dots)$ cuyas entradas siguen siendo divisibles por $d$ (toda entrada de cualquier $QB''P$ es una $A$ -combinación de entradas de $B''$ ); póngase $d_1 = d$ .

Unicidad. Denotemos por $D_i(B)$ un máximo común divisor de todos los menores $i \times i$ . Las operaciones de filas y columnas y, más en general, la multiplicación por cualquier matriz, no pueden reducir ese máximo común divisor: los menores $i \times i$ de $QB$ son $A$ -combinaciones de los de $B$ (desarrollo de Cauchy–Binet; o directamente: cada fila de $QB$ es combinación de filas de $B$ , y los menores son multilineales en las filas). Así que $D_i(QBP)$ y $D_i(B)$ se dividen mutuamente: $D_i$ es un invariante de la equivalencia. Sobre la forma diagonal, los menores $i \times i$ no nulos son los productos de $i$ de los $d_j$ , y la divisibilidad $d_1 \mid \dots \mid d_r$ hace de $d_1 \cdots d_i$ el máximo común divisor. Por tanto $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ salvo unidades, y $d_i = D_i/D_{i-1}$ queda determinado. ∎

Método 3.9

Sobre un dominio euclídeo ( $\Z$ , $K[X]$ ), la reducción de Smith es un algoritmo — no hace falta el argumento de maximalidad: llévese a la posición $(1,1)$ la entrada de menor tamaño euclídeo; si no divide alguna entrada de su fila o de su columna, una división euclídea deja allí un resto estrictamente menor — intercámbiese y vuélvase a empezar (termina porque los tamaños decrecen); cuando divide toda su fila y su columna, anúlense estas; si no divide alguna entrada interior, súmese esa fila a la fila $1$ y vuélvase a empezar; recúrrase sobre el bloque interior. En la práctica, con matrices enteras: calcúlense $D_1 = \gcd$ de las entradas, $D_2$ , … mediante menores para tamaños pequeños, o ejecútese el algoritmo.

Ejemplo 3.10 (Una reducción de Smith, con todo detalle)

Reduzcamos $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ sobre $\Z$ . La esquina $1$ lo divide todo: anúlense su fila y su columna ( $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ , y después $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ , $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$ ):

M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} .

En el bloque interior, la esquina $-3$ divide todas las entradas: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ y $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ lo dejan reducido a $\operatorname{diag}(-3, 0)$ . Ajustando los signos (multiplíquese una fila por $-1$ , operación lícita):

M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .

Comprobación mediante los divisores determinantales: $D_1 = \gcd(\text{entradas}) = 1$ ; todo menor $2\times2$ de $M$ es múltiplo de $3$ (por ejemplo, $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$ ) y uno de ellos vale $-3$ : $D_2 = 3$ ; $D_3 = \det M = 0$ . Por tanto $d_1 = 1$ , $d_2 = 3$ , $d_3 = 0$ : la misma respuesta. Dos lecciones: un factor invariante nulo registra la caída del rango (el conúcleo gana un sumando libre $\Z$ ), y la cadena de divisibilidad $1 \mid 3 \mid 0$ es el certificado de Smith — una reducción diagonal que viola la cadena (por ejemplo $\operatorname{diag}(2, 3)$ , que un descuido puede producir a partir de $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ deteniéndose demasiado pronto: la forma de Smith correcta es $\operatorname{diag}(1, 6)$ , ¡pues aquí $D_1 = 1$ !) no está terminada.

El subretículo L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) de ℤ2 (puntos rojos). La forma normal de Smith de ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) es diag(1, 6): en la base adaptada f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) de ℤ2 se tiene L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2, luego ℤ2/L ℤ/6ℤ — el índice es igual a | | = 6, el área del dominio fundamental sombreado. — El subretículo $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ de $\Z^2$ (puntos rojos). La forma normal de Smith de $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ es $\operatorname{diag}(1, 6)$ : en la base adaptada $f_1 = (1,3)$ , $f_2 = (0,1)$ de $\Z^2$ se tiene $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$ , luego $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — el índice es igual a $\abs{\det} = 6$ , el área del dominio fundamental sombreado.

3.3 El teorema de estructura

Definición 3.11

Sea $A$ un dominio y sea $M$ un $A$ -módulo. El submódulo de torsión es

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ para cierto } a \neq 0\}

(es un submódulo: si $ax = by = 0$ , entonces $ab(x + y) = 0$ , $ab \ne 0$ ). $M$ es sin torsión si $T(M) = 0$ , y un módulo de torsión si $T(M) = M$ .

Teorema 3.12 (Estructura de los módulos finitamente generados sobre un DIP)

Sea $A$ un DIP y sea $M$ un $A$ -módulo finitamente generado. Existen un $r \in \N$ único y elementos $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$ no nulos y no unidades, únicos salvo asociados, tales que

M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s).

Además, $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ y $M/T(M) \cong A^r$ : un módulo finitamente generado y sin torsión sobre un DIP es libre.

Demostración. Existencia. Preséntese $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ (la Observación 3.6) y llévese $C$ a forma de Smith: tras los dos cambios de base, $M \cong A^n / (d_1A \times \dots \times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus \dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$ . Descártense los factores en los que $d_i$ es una unidad ( $A/(d_i) = 0$ ); la cadena de divisibilidad se conserva.

Identificación de la torsión. En la descomposición, $A^r$ es sin torsión (un dominio no tiene divisores de cero) y cada $A/(d_i)$ es de torsión (aniquilado por $d_i \ne 0$ ); una suma directa descompone la torsión en consecuencia: $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ y $M/T(M) \cong A^r$ .

Unicidad de $r$ : $M/T(M) \cong A^r$ solo depende de $M$ , y la Proposición 3.4 lo determina $r$ .

Unicidad de los $d_i$ : basta tratar el módulo de torsión $T = T(M)$ . Descompóngase cada $d_i$ en primos y sepárese mediante el teorema chino del resto (el Teorema 2.9; primos distintos generan ideales comaximales):

A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr): \qquad T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr),

los divisores elementales $p^{k_{p,j}}$ . Recíprocamente, los $d_i$ se reconstruyen a partir del multiconjunto de divisores elementales ( $d_s$ = producto de la mayor potencia de cada primo, etc.), de modo que basta demostrar que el multiconjunto $\{k_{p,j}\}_j$ queda determinado por $T$ para cada primo $p$ . Fijemos $p$ ; para $j \geq 1$ considérense los $A/(p)$ -espacios vectoriales $p^{j-1}T/p^jT$ . Sobre un factor cíclico $A/(p^k)$ :

p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr) \cong \begin{cases} A/(p) & \text{si } j \leq k,\\ 0 & \text{si } j > k, \end{cases}

y sobre un factor $A/(q^k)$ con $q \neq p$ : la multiplicación por $p$ es allí biyectiva ( $p$ es invertible módulo $q^k$ : Bézout), de modo que el cociente es $0$ . Las sumas directas se atraviesan: $\dim_{A/(p)} p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$ . Estas dimensiones intrínsecas determinan el multiconjunto de exponentes. ∎

Corolario 3.13 (Grupos abelianos finitamente generados)

Todo grupo abeliano finitamente generado es $\Z^r \times \Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ con $d_1 \mid \dots \mid d_s$ , de manera única. Todo grupo abeliano finito es producto de grupos cíclicos de orden potencia de primo, único como multiconjunto.

Ejemplo 3.14

Los grupos abelianos de orden $p^n$ corresponden a las particiones de $n$ : para $p^4$ : $\Z/p^4$ , $\Z/p^3\times\Z/p$ , $(\Z/p^2)^2$ , $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$ , $(\Z/p)^4$ — cinco grupos, pues $4$ tiene cinco particiones. Los órdenes mixtos multiplican los recuentos primo a primo (teorema chino del resto): hay $5 \times 2$ grupos abelianos de orden $2^4 \cdot 3^2 = 144$ .

3.4 Aplicación: formas canónicas de los endomorfismos

Sea $K$ un cuerpo, sea $V$ un $K$ -espacio vectorial de dimensión finita $n$ y sea $u \in \mathcal L(V)$ ; hagamos de $V$ un $K[X]$ -módulo mediante $P \cdot x = P(u)(x)$ (el Ejemplo 3.2). Este módulo es finitamente generado (una $K$ -base lo genera) y de torsión: para cada $x$ , los $n+1$ vectores $x, u(x), \dots, u^n(x)$ son $K$ -dependientes, lo que proporciona un polinomio anulador no nulo.

Definición 3.15

Para $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ mónico, la matriz compañera es

C_P = \begin{pmatrix} 0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} :

la matriz de «multiplicar por $X$ » en $K[X]/(P)$ respecto de la base $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$ .

Teorema 3.16 (Frobenius: forma canónica racional)

Existe una única sucesión de polinomios mónicos no constantes $P_1 \mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (los invariantes de semejanza de $u$ ) tal que, como $K[X]$ -módulos,

V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s):

y en una base adecuada $u$ tiene matriz diagonal por bloques $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$ . Además:

$P_s = \mu_u$ (polinomio mínimo) y $P_1\cdots P_s = \chi_u$ (polinomio característico); en particular $\mu_u \mid \chi_u$ (nueva demostración de Cayley–Hamilton) y $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , de modo que $\chi_u$ y $\mu_u$ tienen los mismos factores irreducibles.
Dos endomorfismos (o dos matrices cuadradas) son semejantes si y solo si tienen los mismos invariantes de semejanza.

Demostración. El teorema de estructura (el Teorema 3.12) aplicado al DIP $K[X]$ : el módulo de torsión $V$ se descompone con factores invariantes $P_i$ , normalizados mónicos (las unidades de $K[X]$ son $K^\times$ ); no aparece parte libre ( $V$ es de torsión). Sobre cada factor cíclico $K[X]/(P_i)$ , la multiplicación por $X$ tiene matriz $C_{P_i}$ en la base de las potencias de $\bar X$ : concatenando bases se obtiene la forma por bloques.

(1) El anulador de $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ es $(P_1)\cap \dots\cap(P_s) = (P_s)$ (cadena de divisibilidad: $P_s$ es un múltiplo común, y la clase de $1$ en el último factor es aniquilada exactamente por $(P_s)$ ): $\mu_u = P_s$ . Para $\chi_u$ : sobre un factor cíclico, $\chi_{C_P} = P$ , por inducción sobre $m = \deg P$ . Desarrollando $\det(XI_m - C_P)$ por la primera fila (cuyas entradas son $X$ , después ceros y después $a_0$ en la última columna):

\det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr) + (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L ,

donde $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (misma forma, un tamaño menos) y $L$ es triangular con diagonal $(-1, \dots, -1)$ , luego $\det L = (-1)^{m-1}$ . Por inducción, el primer término es $X\tilde P$ y el segundo es $a_0$ : el total es $X\tilde P + a_0 = P$ (caso base $m=1$ : $\det(X + a_0) = P$ ). Los determinantes se multiplican por bloques: $\chi_u = \prod P_i$ . Cayley–Hamilton: $\chi_u \in (\mu_u)$ , pues $P_s \mid$ cada uno… recíprocamente, cada $P_i \mid P_s$ , luego $\chi_u = \prod P_i$ divide a $P_s^{\,s} = \mu_u^s$ ; y $\mu_u = P_s$ divide a $\chi_u$ por ser uno de sus factores.

(2) Dos endomorfismos semejantes son estructuras de módulo conjugadas, luego tienen los mismos invariantes (unicidad en el Teorema 3.12); recíprocamente, invariantes iguales dan $K[X]$ -módulos isomorfos, y un isomorfismo de módulos es exactamente una biyección lineal que entrelaza los dos endomorfismos: una semejanza. ∎

Corolario 3.17 (La semejanza no cambia al extender el cuerpo)

Sean $K \subseteq L$ cuerpos y sean $M, N \in M_n(K)$ . Si $M$ y $N$ son semejantes sobre $L$ , lo son sobre $K$ .

Demostración. Los invariantes de semejanza de $M$ se calculan con la fórmula de los menores de Smith (el Teorema 3.8) aplicada a la matriz de presentación $XI_n - M$ sobre $K[X]$ — en efecto, el $K[X]$ -módulo $V_M = K^n$ tiene presentación $XI_n - M$ : la aplicación $K[X]^n \to V_M$ , $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$ , es sobreyectiva con núcleo generado por las columnas de $XI_n - M$ (verificación directa: módulo esas columnas, todo elemento de $K[X]^n$ se reduce a un vector constante, y los vectores constantes se aplican biyectivamente; el problema de fin de semana lo detalla). Los máximos comunes divisores de polinomios no cambian al extender el cuerpo: si $d$ es el máximo común divisor mónico en $K[X]$ de una familia $(f_j)$ , Bézout da $d = \sum u_jf_j$ con $u_j \in K[X]$ , de modo que todo divisor común de los $f_j$ en $L[X]$ divide a $d$ ; y como $d$ es él mismo un divisor común, también es el máximo común divisor en $L[X]$ . Por tanto, los factores invariantes de $XI_n - M$ , cocientes de máximos comunes divisores de menores sucesivos, son los mismos sobre $K$ y sobre $L$ : $M, N$ tienen los mismos invariantes de semejanza sobre $L$ si y solo si los tienen sobre $K$ ; se concluye por Teorema 3.16(2). ∎

Teorema 3.18 (Forma de Jordan, redemostrada)

Supongamos que $\chi_u$ se descompone en factores lineales sobre $K$ (por ejemplo, $K = \C$ ). Aplicando a $V$ la descomposición en divisores elementales (demostración del Teorema 3.12) en lugar de la de factores invariantes:

V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X - \lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr),

y en la base $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots, \overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ de cada factor, $u$ actúa como el bloque de Jordan $J_k(\lambda)$ : todo endomorfismo cuyo polinomio característico se descompone en factores lineales admite una base de Jordan, y el multiconjunto de bloques $(\lambda, k)$ es único.

Demostración. Los divisores elementales del módulo de torsión $V$ son los $(X - \lambda)^k$ , donde $X - \lambda$ recorre los factores irreducibles de $\mu_u$ (que se descompone en factores lineales, pues así ocurre con $\chi_u$ y ambos tienen los mismos factores irreducibles, el Teorema 3.16). En $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$ , póngase $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ para $j = 1, \dots, k$ : entonces $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (con $f_0 = 0$ ), es decir, $u(f_j) = \lambda f_j + f_{j-1}$ : la matriz de $u$ sobre $(f_1, \dots, f_k)$ es exactamente $J_k(\lambda)$ (unos por encima de la diagonal). La unicidad del multiconjunto de divisores elementales es Teorema 3.12. ∎

Observación 3.19

La jerarquía de las formas canónicas queda ahora clara: la forma racional existe sobre todo cuerpo y detecta la semejanza de manera absoluta (el Corolario 3.17); la forma de Jordan es su refinamiento cuando $\chi_u$ se descompone en factores lineales. Las demostraciones del teorema de Jordan por recuento de dimensiones vistas en segundo año quedan subsumidas: toda aquella combinatoria era la aritmética del DIP $K[X]$ .

3.5 Ejercicios

Ejercicio 3.1 ★

(a) Demostrar que $\Q$ no es finitamente generado como $\Z$ -módulo. (b) Demostrar que $\Q$ es sin torsión pero no libre. (c) ¿Por qué ninguno de los dos enunciados contradice Teorema 3.12?

Solución

Solución de Ejercicio 3.1.

(a) Si $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$ , sea $d$ un denominador común de los $q_i$ : toda combinación está en $\frac1d\Z$ , pero $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$ . Contradicción.

(b) Sin torsión: $nq = 0$ con $n \neq 0$ obliga a $q = 0$ en $\Q$ . No libre: dos racionales no nulos cualesquiera $\frac ab, \frac cd$ cumplen la relación no trivial $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd = 0$ , luego una base tiene a lo sumo un elemento; y $\Q \cong \Z$ haría $\Q = \Z q$ cíclico, pero $\frac q2 \notin \Z q$ . (Además $\Q \neq 0$ .)

(c) El Teorema 3.12 supone la generación finita, que (a) niega: no hay contradicción — más bien, $\Q$ muestra que la hipótesis es necesaria en el enunciado «sin torsión $\Rightarrow$ libre».

Ejercicio 3.2 ★

Listar los grupos abelianos de orden $360$ salvo isomorfismo, en forma de divisores elementales y en forma de factores invariantes. ¿Cuántos grupos abelianos de orden $p^5$ hay?

Solución

Solución de Ejercicio 3.2.

$360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$ . Particiones: de $3$ : $(3), (2,1), (1,1,1)$ ; de $2$ : $(2), (1,1)$ ; de $1$ : $(1)$ . Por tanto, $3 \times 2 \times 1 = 6$ grupos. Divisores elementales $\to$ factores invariantes:

$\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/360$
$\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/3 \times \Z/120$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/180$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/6 \times \Z/60$
$(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$
$(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$

(Para pasar a factores invariantes: el mayor $d_s$ reúne la mayor potencia de cada primo, y así sucesivamente hacia abajo.) De orden $p^5$ : tantos como particiones de $5$ , a saber, $7$ .

Ejercicio 3.3 ★

Calcular la forma normal de Smith sobre $\Z$ de

B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix},

e identificar los grupos abelianos $\Z^2/B\Z^2$ y $\Z^3/C\Z^3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.3.

$B$ : $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$ ; $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 - 24} = 8$ . Factores invariantes $d_1 = 2$ , $d_2 = 8/2 = 4$ : forma de Smith $\operatorname{diag}(2, 4)$ , y $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$ .

$C$ : diagonal, pero no de Smith ( $2 \nmid 3$ ). $D_1 = \gcd(2,3,12) = 1$ ; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) = \gcd(6, 24, 36) = 6$ ; $D_3 = 72$ . Luego $d = (1, 6, 12)$ y $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — coherentemente con el teorema chino del resto: $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$ .

Ejercicio 3.4 ★★

Sea $L \subseteq \Z^n$ un subgrupo de rango $n$ cuya base son las columnas de $B \in M_n(\Z)$ , $\det B \neq 0$ . Demostrar que $\Z^n/L$ es finito de cardinal $\abs{\det B}$ , y que $\Z^n/L \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ , donde $d_i$ son los factores invariantes de $B$ . Ilústrese con $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.4.

Escribamos $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ con $Q, P \in GL_n(\Z)$ (el Teorema 3.8; ningún $d_i$ es nulo, pues $\det B \neq 0$ ). Entonces $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/ \operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (el isomorfismo compuesto $x \mapsto Q^{-1}x$ de $\Z^n$ lleva $B\Z^n$ sobre $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$ ). Su cardinal es $\prod \abs{d_i} = \abs{\det \operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$ , ya que $\det Q, \det P = \pm 1$ . Para $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ : $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ , $D_1 = 1$ , $D_2 = 6$ : $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ , de cardinal $\abs{\det B} = 6$ .

Ejercicio 3.5 ★★

Sea $A$ un dominio. (a) Comprobar que $T(M)$ es un submódulo y que $M/T(M)$ es sin torsión. (b) Demostrar que el ideal $(X, Y)$ de $K[X,Y]$ , visto como $K[X,Y]$ -módulo, es sin torsión pero no libre: el teorema de estructura necesita realmente la hipótesis de DIP.

Solución

Solución de Ejercicio 3.5.

(a) Submódulo: hecho en la Definición 3.11. Si $a(x + T(M)) = 0$ en $M/T(M)$ con $a \neq 0$ , entonces $ax \in T(M)$ : $bax = 0$ para cierto $b \neq 0$ , y $ba \neq 0$ (dominio), luego $x \in T(M)$ : la clase es nula. Así, $M/T(M)$ es sin torsión.

(b) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ es sin torsión (submódulo del dominio $K[X,Y]$ actuando sobre sí mismo). Supongamos que fuera libre; dos elementos cualesquiera $P, Q$ cumplen $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$ , una relación no trivial cuando $P \ne Q$ son no nulos, luego una base tiene un solo elemento: $(X, Y) = (P)$ sería principal — en contra del Ejercicio 2.6(a). Es sin torsión y finitamente generado ( $X, Y$ lo generan), pero no libre: sobre el no DIP $K[X,Y]$ , el teorema de estructura falla.

Ejercicio 3.6 ★★

(a) Demostrar que $2\Z$ no tiene complemento directo en el $\Z$ -módulo $\Z$ : los submódulos de los módulos libres son libres (el Teorema 3.5), pero no tienen por qué ser sumandos directos. (b) Demostrar que si $M \subseteq A^n$ ( $A$ un DIP) cumple que $A^n/M$ es sin torsión, entonces $M$ sí es un sumando directo.

Solución

Solución de Ejercicio 3.6.

(a) Si $\Z = 2\Z \oplus C$ , la proyección $\Z \to \Z/2\Z$ se restringe a un isomorfismo $C \cong \Z/2\Z$ : $C$ sería un subgrupo de $\Z$ cuyo elemento no nulo $x$ cumpliría $2x \in C \cap 2\Z = 0$ . Pero $\Z$ es sin torsión: $C = 0$ , lo que obliga a $\Z = 2\Z$ — falso.

(b) $A^n/M$ es finitamente generado y sin torsión, luego libre (el Teorema 3.12): $A^n/M \cong A^r$ con base $f_1, \dots, f_r$ . Elíjanse preimágenes $y_i \in A^n$ de los $f_i$ y póngase $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$ . Todo $x \in A^n$ cumple $\pi(x) = \sum a_if_i$ , luego $x - \sum a_iy_i \in M$ : $A^n = M + F$ . Si $\sum a_iy_i \in M$ , aplicando $\pi$ se obtiene $\sum a_if_i = 0$ y, por tanto, todos los $a_i = 0$ (es una base): $M \cap F = 0$ . Así $A^n = M \oplus F$ .

Ejercicio 3.7 ★★

Resolver en $\Z^2$ el sistema

\begin{cases} 2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\ 6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20}, \end{cases}

determinando para qué pares $(b_1, b_2)$ existen soluciones, mediante la forma de Smith del Ejercicio 3.3 (cambios de variable invertibles en ambos lados).

Solución

Solución de Ejercicio 3.7.

La reducción del Ejercicio 3.3 era efectiva: con

L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}

(operación de fila $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ , operaciones de columna $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ y después $C_2 \leftarrow -C_2$ ). Poniendo $y = R^{-1}x$ (una biyección de $(\Z/20\Z)^2$ , por ser $R$ invertible sobre $\Z$ ), el sistema $Bx \equiv b \pmod{20}$ equivale a

2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}.

La congruencia $ky \equiv c \pmod{20}$ es resoluble si y solo si $\gcd(k, 20) \mid c$ : hay soluciones si y solo si $2 \mid b_1$ y $4 \mid b_2 - 3b_1$ , es decir, $b_1$ par y $b_2 \equiv 3b_1 \pmod 4$ . Cuando es resoluble hay $2 \times 4 = 8$ soluciones módulo $20$ .

Ejercicio 3.8 ★★

(a) Determinar todos los invariantes de semejanza y todas las formas de Jordan posibles de una matriz nilpotente $4 \times 4$ , clasificados según la partición de $4$ que realizan. (b) Exhibir dos matrices complejas $4\times4$ con el mismo polinomio característico y el mismo polinomio mínimo que no sean semejantes, y demostrar que para $n \leq 3$ esto no puede ocurrir.

Solución

Solución de Ejercicio 3.8.

(a) Una $u$ nilpotente cumple $\mu_u = X^k$ ; los divisores elementales son $X^{k_1} \geq \dots$ , un bloque de Jordan $J_{k_i}(0)$ por cada parte de una partición de $4$ :

partición	forma de Jordan	factores invariantes
$(4)$	$J_4$	$X^4$
$(3,1)$	$J_3 \oplus J_1$	$X,\ X^3$
$(2,2)$	$J_2 \oplus J_2$	$X^2,\ X^2$
$(2,1,1)$	$J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$	$X,\ X,\ X^2$
$(1,1,1,1)$	$0$	$X, X, X, X$

(b) Tómense $u = J_2\oplus J_2$ y $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ : ambas tienen $\chi = X^4$ , $\mu = X^2$ , pero factores invariantes distintos — no son semejantes (el Teorema 3.16); también se pueden comparar los rangos: $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 = \operatorname{rk} v$ . Para $n \leq 3$ : $\chi$ y $\mu$ determinan, para cada valor propio $\lambda$ (sobre un cuerpo de descomposición), el tamaño total $m_\lambda \leq 3$ de los bloques asociados a $\lambda$ y el mayor bloque $r_\lambda$ ; y una partición de $m \leq 3$ queda determinada por su parte mayor ( $m = 3, r = 2$ obliga a $(2,1)$ , etc.). Así, los divisores elementales coinciden, y el Corolario 3.17 hace descender la semejanza al cuerpo base.

Ejercicio 3.9 ★★★

Sean $u \in \mathcal L(V)$ , $\dim V = n$ . Demostrar que son equivalentes: (i) $V$ es un $K[X]$ -módulo cíclico (existe $x$ con $V = K[u]x$ , un vector cíclico); (ii) $\mu_u = \chi_u$ ; (iii) $s = 1$ en el Teorema 3.16. Deducir que una matriz compañera tiene un vector cíclico, y determinar cuándo lo tiene una matriz diagonal.

Solución

Solución de Ejercicio 3.9.

(i) $\Rightarrow$ (ii): si $V = K[u]x$ , entonces $V \cong K[X]/\operatorname{Ann}(x)$ y $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (un polinomio aniquila $x$ si y solo si aniquila todo $V = K[u]x$ , pues $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$ ). Luego $n = \dim V = \deg \mu_u$ ; y como $\mu_u \mid \chi_u$ y $\deg\chi_u = n$ , ser mónicos da $\mu_u = \chi_u$ .

(ii) $\Rightarrow$ (iii): $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ y $\mu_u = P_s$ (el Teorema 3.16); la igualdad de grados obliga a $s = 1$ .

(iii) $\Rightarrow$ (i): $V \cong K[X]/(P_1)$ es cíclico, generado por la preimagen de $\bar 1$ .

Una matriz compañera es el caso $V = K[X]/(P)$ mismo: $x = \bar 1$ , es decir, $e_1$ , es cíclico. Para una matriz diagonal $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ : $\chi = \prod (X - \lambda_i)$ , $\mu = \prod_{\lambda \text{ distintos}} (X - \lambda)$ ; coinciden si y solo si los $\lambda_i$ son distintos dos a dos: una matriz diagonal tiene vector cíclico si y solo si sus entradas diagonales son distintas dos a dos (entonces sirve $x = (1, \dots, 1)$ : Vandermonde).

Ejercicio 3.10 ★★★

Para $M \in M_n(\Z)$ , vista como endomorfismo de $\Z^n$ , demostrar la fórmula del índice: si $\det M \ne 0$ , entonces $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$ , y deducir que $M \in GL_n(\Z)$ si y solo si $\det M = \pm 1$ . Aplicación: el grupo $\Z^2$ tiene exactamente $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ subgrupos de índice $m$ . (Cuéntense las matrices en forma de Hermite $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ , $ad = m$ , $0 \leq b < d$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 3.10.

Smith: $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$ ; el Ejercicio 3.4 da $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} = \abs{\det M}$ . Si $\det M = \pm 1$ : la fórmula de la matriz adjunta $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ tiene entradas enteras, luego $M \in GL_n(\Z)$ ; recíprocamente, $MM^{-1} = I$ da $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ en $\Z$ , luego $\det M = \pm1$ .

Subgrupos de índice $m$ en $\Z^2$ : un tal subgrupo $L$ tiene rango $2$ (índice finito) y una única base en forma normal de Hermite $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ : $d$ queda caracterizado por $L \cap (\{0\} \times \Z) = \{0\} \times d\Z$ , y $a$ por $\pi_1(L) = a\Z$ (primeras coordenadas), y $b$ es entonces único módulo $d$ ; normalícense $a, d > 0$ y $0 \leq b < d$ . El índice es $ad = m$ . Recuento: para cada divisor $d \mid m$ ( $a = m/d$ ) hay $d$ elecciones de $b$ : en total $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$ .

Ejercicio 3.11 ★★

(Ecuaciones $x^k = e$ en los grupos abelianos) Sea $G$ un grupo abeliano finito con factores invariantes $d_1 \mid d_2 \mid \dots \mid d_s$ . (a) Demostrar que, para todo $k \geq 1$ ,

\#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) .

(b) Deducir que un grupo abeliano finito es cíclico si y solo si, para todo $k$ , la ecuación $x^k = e$ tiene a lo sumo $k$ soluciones. (c) Recuperar la ciclicidad de los subgrupos finitos de $K^\times$ ( $K$ un cuerpo, el Capítulo 4): ¿por qué el polinomio $X^k - 1$ garantiza el criterio de (b)?

Solución

Solución de Ejercicio 3.11.

(a) Por el teorema de estructura, $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$ , y $x^k = e$ se desacopla coordenada a coordenada. En $\Z/d\Z$ : $kx \equiv 0 \pmod d$ tiene exactamente $\gcd(k, d)$ soluciones ( $x$ ha de ser múltiplo de $d/\gcd(k,d)$ , y hay $\gcd(k, d)$ de ellos). Multiplíquese sobre los factores.

(b) Si $G = \Z/d_s\Z$ es cíclico ( $s = 1$ ), el recuento es $\gcd(k, d_s) \leq k$ . Si $s \geq 2$ : tómese $k = d_1$ ; el recuento es $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ (cada $\gcd$ vale $d_1$ por la cadena de divisibilidad): la ecuación $x^{d_1} = e$ tiene más de $d_1$ soluciones.

(c) En un cuerpo, $X^k - 1$ tiene a lo sumo $k$ raíces (el Capítulo 2: un polinomio no nulo de grado $k$ sobre un dominio), de modo que todo subgrupo finito $G \leq K^\times$ cumple el criterio de (b): $G$ es cíclico — la demostración estructural, de una línea, de la ciclicidad de $\mathbb F_q^\times$ , complementaria de la demostración por recuento de Capítulo 4.

Ejercicio 3.12 ★★★

(Las matrices elementales generan) (a) Demostrar que $M \in M_n(\Z)$ es invertible en $M_n(\Z)$ si y solo si $\det M = \pm1$ . (b) Demostrar que $SL_2(\Z)$ está generado por las dos matrices elementales $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ y $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . (Ejecútese el algoritmo de Euclides sobre la primera columna de $M \in SL_2(\Z)$ mediante multiplicaciones por la izquierda por potencias de $E, F$ , hasta llegar a $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ ; termínese a mano — obsérvese que $-I = (EF^{-1}E)^2$ .) (c) Explicar la relación con la reducción de Smith: sobre $\Z$ , las operaciones de filas y columnas de determinante $1$ bastan para diagonalizar, salvo signos.

Solución

Solución de Ejercicio 3.12.

(a) Si $MN = I$ con $N$ enteras: $\det M\det N = 1$ con ambos enteros, luego $\det M = \pm1$ . Recíprocamente, si $\det M = \pm1$ , la fórmula de los cofactores $M^{-1} = \frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ tiene entradas enteras.

(b) Multiplicar por la izquierda por $E^{-k}$ resta $k$ veces la fila $2$ a la fila $1$ ; por $F^{-k}$ , $k$ veces la fila $1$ a la fila $2$ . Dada $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c & *\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$ , la primera columna $(a, c)$ es un vector unimodular ( $\gcd(a, c) = 1$ : divide a $\det M = 1$ ). Ejecútese Euclides sobre $(a, c)$ con estas operaciones de fila: tras finitos pasos la columna se convierte en $(\pm1, 0)$ . La matriz es ahora $\pm \bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix} \bigr) = \pm E^{b}$ (el determinante sigue siendo $1$ ). Queda escribir $-I$ en los generadores: $(EF^{-1}E)^2 = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (compruébese el cuadrado de la matriz de rotación). Deshaciendo el proceso, $M$ es una palabra en $E^{\pm1}, F^{\pm1}$ .

(c) El algoritmo de Smith (el Método 3.9) usa exactamente esas operaciones de filas y columnas (más intercambios y cambios de signo, que a su vez son productos de operaciones elementales salvo el signo del determinante): sobre $\Z$ , toda matriz es $U\,D\,V$ con $U, V$ productos de matrices elementales y $D$ la forma de Smith — (b) es el caso $2\times2$ de determinante $1$ del hecho general de que las matrices de tipo $E$ generan $SL_n(\Z)$ .

3.6 Problema: el conmutante y el biconmutante

Problema 3.1

Problema de fin de semana — forma racional, conmutante, biconmutante

Sea $K$ un cuerpo, sea $V$ un $K$ -espacio vectorial de dimensión $n \geq 1$ y sea $u \in \mathcal L(V)$ . Estudiaremos el conmutante

\mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\},

una subálgebra de $\mathcal L(V)$ que contiene $K[u] = \{P(u) : P \in K[X]\}$ , y demostraremos la fórmula de dimensión de Frobenius y el teorema del doble conmutante: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ . En todo el problema, $V$ es el $K[X]$ -módulo definido por $u$ , con factores invariantes $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ y descomposición cíclica $V = \bigoplus_{i=1}^s V_i$ , $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$ , $n_i = \deg P_i$ (el Teorema 3.16).

Parte I — La matriz de presentación $XI - M$ y ejercicios preparatorios.

Sea $M \in M_n(K)$ y sea $\varphi \colon K[X]^n \to V_M = K^n$ la aplicación que envía $(Q_1, \dots, Q_n)$ a $\sum_i Q_i(M)e_i$ . Demostrar que $\varphi$ es un morfismo sobreyectivo de $K[X]$ -módulos y que toda columna de $XI_n - M$ está en $\ker\varphi$ .
Demostrar que, módulo las columnas de $XI_n - M$ , todo elemento de $K[X]^n$ es congruente con un vector constante (redúzcanse los grados usando $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$ ), y deducir $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : el módulo $V_M$ tiene matriz de presentación $XI_n - M$ . Recupérese el punto de partida del Corolario 3.17: los invariantes de semejanza de $M$ son los factores invariantes no unidades de $XI_n - M$ .
Calcular los invariantes de semejanza de: una matriz escalar $\lambda I_n$ ; una matriz diagonal con entradas diagonales distintas; el bloque de Jordan $J_n(0)$ de tamaño $n \times n$ ; $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ para $n = 3$ .
Demostrar que $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ .

Parte II — Morfismos entre módulos cíclicos.

Sean $P, Q$ mónicos no constantes. Demostrar que un $K[X]$ -morfismo $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ queda determinado por $f(\bar 1)$ , y que $\bar c \in K[X]/(Q)$ puede servir como $f(\bar 1)$ si y solo si $P\bar c = 0$ en $K[X]/(Q)$ .
Deducir

$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr) \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$

de dimensión $\deg \gcd(P, Q)$ sobre $K$ . (Demuéstrese que las soluciones $\bar c$ de $P\bar c = 0$ en $K[X]/(Q)$ forman el submódulo cíclico generado por $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$ .)
Demostrar la fórmula de Frobenius:

$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$

(Una $v$ que conmuta es exactamente un $K[X]$ -endomorfismo de $V$ ; descompóngase $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ en matrices de morfismos $V_j \to V_i$ y úsese la cadena de divisibilidad.)
Deducir $\dim \mathcal C(u) \geq n$ , con igualdad si y solo si $u$ es cíclico ( $s = 1$ ), y calcular $\dim\mathcal C(u)$ para $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : los dos extremos de la fórmula.
Verificar directamente la fórmula de Frobenius para $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ , calculando el conmutante explícitamente como matrices $3\times3$ .

Parte III — El teorema del doble conmutante. Sea $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ ; demostraremos que $w \in K[u]$ .

Demostrar que $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ y que todo $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ conmuta con $u$ — de modo que la inclusión por demostrar, $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , es un refinamiento genuino de $w \in \mathcal C(u)$ .
Supongamos primero que $u$ es cíclico, $V = K[u]x$ . Demostrar directamente que $\mathcal C(u) = K[u]$ (evalúese una $v$ que conmute en $x$ : $v(x) = P(u)x$ para cierto $P$ , y compárense $v$ y $P(u)$ sobre la base $u^k x$ ), y concluir el teorema en este caso.
Volvamos al caso general. Para cada $i$ , sea $\pi_i\colon V \to V_i$ la proyección a lo largo de los demás sumandos. Demostrar que $\pi_i \in \mathcal C(u)$ y deducir que $w$ conserva cada $V_i$ y conmuta con $u_i = u\restriction_{V_i}$ ; concluir mediante la pregunta 11 aplicada al $u_i$ cíclico: existen polinomios $Q_i$ con $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ .
Queda pegar los $Q_i$ en un único polinomio. Para $i \leq j$ (de modo que $P_i \mid P_j$ ), demostrar que $\eta_{ij} \colon V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , es un $K[X]$ -morfismo bien definido (lo que hay que comprobar es que $R(u)x_j = 0$ implica $R(u)x_i = 0$ ), y que $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , extendida por $0$ sobre los demás sumandos, está en $\mathcal C(u)$ .
Usando $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ , demostrar que $Q_i \equiv Q_j \pmod{P_i}$ para $i \leq j$ . Deducir que $Q = Q_s$ cumple $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ para todo $i$ , luego $w = Q(u)$ sobre cada $V_i$ y, por tanto, sobre $V$ :

$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$
(Coda) Deducir del teorema: si $v$ conmuta con toda matriz que conmute con $u$ y $u$ es cíclico, entonces $v$ es un polinomio en $u$ ; y dar un ejemplo que muestre que $\mathcal C(u) = K[u]$ falla para $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ — ¿dónde interviene exactamente la ciclicidad?

Parte IV — Dividendos de los invariantes de semejanza. La forma canónica racional es una máquina; he aquí cinco de sus resultados clásicos.

(Traspuesta) Demostrar que toda $M \in M_n(K)$ es semejante a su traspuesta ${}^tM$ . (Las operaciones que llevan $XI - M$ a forma de Smith, traspuestas, llevan $XI - {}^tM$ a la misma forma de Smith: mismos invariantes de semejanza.)
(Descenso de la semejanza) Sea $K \subseteq L$ una extensión de cuerpos y sean $M, N \in M_n(K)$ . Demostrar que si $M$ y $N$ son semejantes sobre $L$ , lo son sobre $K$ . (La forma de Smith de $XI - M$ calculada en $K[X]$ sigue siendo una forma de Smith en $L[X]$ — ¿por qué no cambian los factores invariantes?) Consecuencia que conviene recordar: dos matrices reales conjugadas en $GL_n(\C)$ lo son en $GL_n(\R)$ .
(Clasificación de los nilpotentes) Sea $u$ nilpotente. Demostrar que el número de bloques de tamaño $\geq k$ en su descomposición en bloques de Jordan nilpotentes es igual a $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ , y deducir que las clases de nilpotentes de $M_n(K)$ , sobre cualquier cuerpo $K$ , están en biyección con las particiones de $n$ . ¿Cuántas clases de nilpotentes hay en $M_5(K)$ ?
(Un par concreto) Determinar los invariantes de semejanza de la derivación $D\colon P \mapsto P'$ actuando sobre el espacio $K_{n-1}[X]$ de los polinomios de grado $< n$ : (a) para $K = \Q$ ; (b) para $K = \mathbb F_p$ con $p < n$ (en característica $p$ , $(X^p)' = 0$ : calcúlese $\ker D^k$ y úsese la pregunta 18).
(Clases de conjugación de $GL_2(\mathbb F_q)$ ) Usando los factores invariantes, demostrar que toda clase de $GL_2(\mathbb F_q)$ es exactamente de uno de estos cuatro tipos: central $aI$ ; diagonalizable con dos valores propios distintos $a \neq b$ en $\mathbb F_q^\times$ ; no semisimple con polinomio mínimo $(X - a)^2$ ; cíclica con polinomio característico irreducible.
Contar las clases de cada tipo y concluir: $GL_2(\mathbb F_q)$ tiene exactamente $q^2 - 1$ clases de conjugación. (Cuéntense las cuádricas mónicas irreducibles sobre $\mathbb F_q$ ; los pares no ordenados $\{a, b\}$ ; recuérdese que la invertibilidad restringe los términos independientes.)
(Lo cíclico es genérico) Demostrar que $M \in M_2(\mathbb F_q)$ deja de ser cíclico si y solo si $M$ es escalar, y deducir que una matriz $2\times2$ tomada al azar uniformemente sobre $\mathbb F_q$ es cíclica con probabilidad $1 - q^{-3}$ . Enunciar la heurística análoga para $M_n$ y $q$ grande (no se pide demostración): las matrices no cíclicas son raras — por eso la Parte III del Problema 3.1 solo requirió trabajo de verdad más allá del caso genérico.

Parte V — Complementos.

(Centro del conmutante) Demostrar que el centro del álgebra $\mathcal C(u)$ es exactamente $K[u]$ (combínense las dos inclusiones de la Parte III). Deducir que $\mathcal C(u)$ es conmutativa si y solo si $u$ es cíclico — lo que recupera el caso de igualdad de la pregunta 8 por una vía puramente estructural.
(¿Qué dimensiones se alcanzan?) Deducir de la fórmula de Frobenius que $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ para todo $u$ . Determinar después el conjunto exacto de valores que toma $\dim \mathcal C(u)$ cuando $u$ recorre $\mathcal L(V)$ con $\dim V = 4$ : demostrar que es $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ (enumérense las sucesiones de grados $n_1 \leq \dots \leq n_s$ que suman $4$ y realícese cada una con un nilpotente). En particular, $12$ y $14$ , pese a tener la paridad correcta, no se alcanzan: la restricción de paridad es necesaria, pero no suficiente.
(Ecuación de clases de $GL_2(\mathbb F_3)$ ) Para $q = 3$ , calcular el tamaño de cada clase de conjugación de la pregunta 20 mediante órbita–estabilizador: el centralizador de una $M$ cíclica en $GL_2(\mathbb F_q)$ es el grupo de unidades de $K[M]$ (pregunta 11). Identificar $K[M]$ en los tres tipos no centrales, listar los tres polinomios cuadráticos mónicos irreducibles sobre $\mathbb F_3$ y verificar la ecuación de clases

$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)} = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$

con $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ clases, tal como predice la pregunta 21.

Solución

Solución de Problema 3.1.

1. $\varphi$ es aditiva y $K[X]$ -lineal: $\varphi(X \cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X \cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$ , siendo $X \cdot v = Mv$ la estructura de módulo de $V_M$ . Es sobreyectiva: los vectores constantes dan todo $K^n$ . La columna $j$ de $XI - M$ es $Xe_j - \sum_i m_{ij}e_i$ , cuya imagen es $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$ .

2. Módulo las columnas, $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$ : todo vector de polinomios se reduce, por inducción sobre el grado máximo, a un vector constante $c \in K^n$ . Si el vector de partida está en $\ker\varphi$ , entonces $\varphi(c) = c = 0$ (sobre las constantes, $\varphi$ es la identificación $K^n = V_M$ ), de modo que el vector está en el subespacio generado por las columnas: $\ker\varphi = (XI_n - M)K[X]^n$ . Por tanto $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$ , y Smith sobre $K[X]$ (todos los factores invariantes son no nulos, pues su producto es $\det(XI - M) = \chi_M$ ) da $V_M \cong \bigoplus_i K[X]/(f_i)$ : los $f_i$ no constantes son los invariantes de semejanza, calculables como cocientes de máximos comunes divisores de menores (Teorema 3.8).

3. $\lambda I_n$ : $XI - \lambda I$ ya está en forma de Smith: invariantes $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$ , $n$ de ellos. Entradas diagonales distintas: $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X - \lambda_i)$ con módulos comaximales dos a dos, de modo que el teorema chino del resto lo comprime en el único cíclico $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$ : un solo invariante, $\chi$ . $J_n(0)$ : $\mu = X^n = \chi$ obliga a un único invariante $X^n$ . $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ : divisores elementales $X^2, X$ ; invariantes $P_1 = X \mid P_2 = X^2$ .

4. $P \mapsto P(u)$ aplica $K[X]$ sobre $K[u]$ , con núcleo $(\mu_u)$ por definición del polinomio mínimo: $K[u] \cong K[X]/(\mu_u)$ , de dimensión $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$ .

5. La $K[X]$ -linealidad obliga a $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1) = Q\,f(\bar 1)$ . La clase $\bar 1$ cumple $P \bar 1 = 0$ , luego $P f(\bar 1) = 0$ es necesario. Recíprocamente, si $P\bar c = 0$ , entonces $f(\bar Q) = Q\bar c$ está bien definida ( $Q \equiv Q' \bmod P \Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ múltiplos de $P\bar c = 0$ ) y es $K[X]$ -lineal.

6. Sean $g = \gcd(P, Q)$ , $P = gP'$ , $Q = gQ'$ con $\gcd(P', Q') = 1$ . En $K[X]/(Q)$ : $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc \iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (Euclides, $\gcd(P', Q') = 1$ ). Así pues, los $\bar c$ admisibles forman el submódulo generado por $\bar{Q'}$ , cuyo anulador es $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$ : ese submódulo es $\cong K[X]/(g)$ . Con la pregunta 5, $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$ , de dimensión $\deg\gcd(P,Q)$ .

7. $v$ conmuta con $u$ si y solo si $v$ conmuta con todo $P(u)$ , si y solo si $v$ es $K[X]$ -lineal: $\mathcal C(u) = \operatorname{End}_{K[X]}(V)$ . Escribiendo los morfismos de $V = \bigoplus_j V_j$ como matrices $(f_{ij})$ , $f_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (compóngase con las inyecciones y las proyecciones), la pregunta 6 da

\dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i,j} n_{\min(i,j)} = \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k ,

usando la cadena de divisibilidad ( $\gcd(P_i, P_j) = P_{\min(i,j)}$ ) y, para el último paso, que $\min(i,j) = k$ ocurre exactamente para $2(s - k) + 1$ pares $(i, j)$ .

8. Como $2(s-k)+1 \geq 1$ , se tiene $\dim\mathcal C(u) \geq \sum_k n_k = n$ , con igualdad si y solo si $s = 1$ , es decir, si y solo si $u$ es cíclico (el Ejercicio 3.9). Para $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : $s = n$ , todos $n_k = 1$ : $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — correcto, pues $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal L(V)$ .

9. Fórmula: invariantes $(X, X^2)$ , luego $s = 2$ , $n_1 = 1$ , $n_2 = 2$ : $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$ . Directamente: en la base $(e_1, e_2, e_3)$ con $u e_2 = e_1$ , $ue_1 = ue_3 = 0$ , escribiendo $Au = uA$ para $A = (a_{ij})$ se obtienen las condiciones $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ y $a_{11} = a_{22}$ : cinco parámetros libres $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$ .

10. Un polinomio $P(u)$ conmuta con todo lo que conmute con $u$ (es una suma de potencias de $u$ ): $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ . Y $u \in \mathcal C(u)$ , de modo que toda $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ conmuta con $u$ .

11. Sean $V = K[u]x$ y $v \in \mathcal C(u)$ . Escribamos $v(x) = P(u)x$ (ciclicidad). Para $y = Q(u)x$ arbitrario: $v(y) = vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$ . Luego $v = P(u)$ : $\mathcal C(u) = K[u]$ . Entonces $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (conmutar con todo $K[u]$ es lo mismo que conmutar con $u$ ). El teorema vale en el caso cíclico.

12. $\pi_i$ es $K[X]$ -lineal (la descomposición es una suma directa de submódulos), luego $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , y $w$ conmuta con ella: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq V_i$ . La restricción $w_i = w\restriction_{V_i}$ conmuta con el $u_i = u\restriction_{V_i}$ cíclico (pregunta 10), y $w_i \in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (pregunta 11): $w_i = Q_i(u_i) = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ para cierto $Q_i \in K[X]$ .

13. Buena definición de $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$ : si $R(u)x_j = 0$ , entonces $P_j \mid R$ , y $P_i \mid P_j$ da $P_i \mid R$ , luego $R(u)x_i = 0$ ( $\operatorname{Ann}(x_i) = (P_i)$ ). $\eta_{ij}$ es entonces $K[X]$ -lineal por construcción, y $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ es una composición de $K[X]$ -morfismos $V \to V$ : $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal C(u)$ .

14. Evaluemos $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ en $x_j$ : el miembro de la izquierda es $w(x_i) = Q_i(u)x_i$ ; el de la derecha, $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$ . Por tanto $(Q_i - Q_j)(u)\,x_i = 0$ : $P_i \mid Q_i - Q_j$ para todo $i \leq j$ . En particular, con $Q = Q_s$ : $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$ , luego $Q(u)$ y $Q_i(u)$ coinciden sobre $V_i$ (al que $P_i(u)$ aniquila). Así pues, $w = Q(u)$ sobre cada $V_i$ y, por tanto, sobre $V$ : $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ y, con la pregunta 10, $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ .

15. La primera afirmación son las preguntas 10–14 (o, para $u$ cíclico, la pregunta 11 sola). Para $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ : $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ tiene dimensión $n^2$ , mientras que $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$ . Así que $\mathcal C(u) = K[u]$ falla estrepitosamente; y sin embargo el teorema del biconmutante se cumple ( $\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$ : el centro del álgebra de matrices son los escalares). La ciclicidad es lo que hace que el conmutante simple ya sea polinómico; el doble conmutante lo es siempre.

16. Si $P(XI - M)Q = S$ es una reducción de Smith ( $P, Q$ invertibles sobre $K[X]$ ), trasponiendo se obtiene ${}^tQ\,(XI - {}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$ : la misma forma de Smith, luego $XI - M$ y $XI - {}^tM$ tienen los mismos factores invariantes, es decir, $M$ y ${}^tM$ tienen los mismos invariantes de semejanza (el Corolario 3.17): son semejantes.

17. Los invariantes de semejanza de $M$ sobre $L$ son los factores invariantes de $XI - M$ en $L[X]$ . Una reducción de Smith de $XI - M$ sobre $K[X]$ — con $P, Q$ invertibles sobre $K[X]$ y forma diagonal con la cadena de divisibilidad — es también una reducción de Smith válida sobre $L[X]$ ( $P, Q$ siguen siendo invertibles: sus determinantes son constantes no nulas), y los factores invariantes mónicos son únicos: los factores invariantes calculados sobre $K$ y sobre $L$ coinciden. Así, $M \sim_L N$ si y solo si tienen los mismos factores invariantes, si y solo si $M \sim_K N$ . En particular, dos matrices reales conjugadas en $\C$ lo son en $\R$ — un enunciado que suele demostrarse por vía analítica (especializando una $P + \iu Q$ invertible) y aquí sale por vía estructural.

18. Descompóngase $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ en bloques de Jordan nilpotentes. En un bloque de tamaño $m$ , $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$ , luego $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ si $m \geq k$ y $0$ en caso contrario. Sumando sobre los bloques: $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k = \#\{t : m_t \geq k\}$ . La sucesión de rangos determina, pues, el multiconjunto $(m_t)$ — una partición de $n$ — y recíprocamente toda partición se realiza: las clases de nilpotentes $\leftrightarrow$ particiones de $n$ , sobre cualquier cuerpo. $M_5$ : $p(5) = 7$ clases ( $5$ ; $4{+}1$ ; $3{+}2$ ; $3{+}1{+}1$ ; $2{+}2{+}1$ ; $2{+}1{+}1{+}1$ ; $1^5$ ).

19. (a) Sobre $\Q$ (o sobre cualquier cuerpo de característica $0$ ), $D^n = 0$ , $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$ : $D$ es nilpotente de índice $n$ sobre un espacio de dimensión $n$ , luego es cíclico con único invariante $X^n$ ( $x = X^{n-1}$ lo genera: sus derivadas sucesivas generan el espacio). (b) Sobre $\mathbb F_p$ con $p < n$ : $D^p = 0$ , porque la derivada $p$ -ésima de todo monomio $X^m$ lleva el factor $m(m-1)\cdots(m-p+1)$ , producto de $p$ enteros consecutivos y, por tanto, $\equiv 0 \bmod p$ . Escribamos $n = ap + r$ , $0 \leq r < p$ . Entonces $\ker D^k$ está generado por los monomios $X^m$ con $D^kX^m = 0$ ; contando los exponentes $m < n$ según su resto módulo $p$ : $\dim\ker D^k = ak + \min(r, k)$ para $0 \leq k \leq p$ , luego $\operatorname{rk}D^{k-1} - \operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a + \mathbf 1_{k \leq r}$ . Por la pregunta 18, la partición tiene $a$ bloques de tamaño exactamente $p$ y (si $r > 0$ ) un bloque de tamaño $r$ : invariantes de semejanza $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$ . La característica cambia la forma canónica del operador más familiar de las matemáticas.

20. $M \in GL_2$ tiene $s \in \{1, 2\}$ factores invariantes. Si $s = 2$ : $P_1 = P_2 = X - a$ ( $a \neq 0$ : invertibilidad), es decir, $M = aI$ , central. Si $s = 1$ : $M$ es cíclica, con polinomio característico $=$ igual al polinomio mínimo $\chi$ de grado $2$ , y las clases corresponden a los posibles $\chi$ con $\chi(0) \neq 0$ : $\chi$ descompuesto con raíces distintas $a \neq b$ (la compañera $\sim$ es diagonalizable); $\chi = (X - a)^2$ (la compañera, no semisimple); $\chi$ irreducible. Exactamente un tipo cada uno — los factores invariantes son un invariante completo.

21. Centrales: $q - 1$ elecciones de $a$ . Valores propios distintos y descompuestos: pares no ordenados $\{a, b\} \subseteq \mathbb F_q^\times$ , $a \neq b$ : $\binom{q-1}2$ clases. Polinomio mínimo $(X-a)^2$ : $q - 1$ clases. Cuadráticas irreducibles con término independiente no nulo: todas las cuadráticas irreducibles valen (sus raíces son no nulas), y hay $\frac{q^2 - q}2$ cuadráticas mónicas irreducibles (las $q^2$ cuadráticas mónicas menos las $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ que se descomponen). En total:

(q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2 = q^2 - 1 .

22. Si $M$ no es cíclica, $s = 2$ y $M$ es escalar (la dicotomía de la pregunta 20 vale en $M_2$ , sea invertible o no: dos factores invariantes de grado $1$ con $P_1 \mid P_2$ y $P_1 = P_2$ obligan a $M = aI$ ). Las escalares son $q$ entre las $q^4$ matrices: probabilidad de ser cíclica $1 - q^{-3}$ . En general, el lugar no cíclico de $M_n$ es donde los menores $(n-1)\times(n-1)$ de $XI - M$ comparten un factor — una condición algebraica propia —, de modo que su proporción es $O(1/q)$ -pequeña para $q$ grande: las matrices con $\chi = \mu$ son la regla, y el argumento de pegado de la Parte III es el precio que se paga por las excepciones.

23. Un elemento del centro de $\mathcal C(u)$ está en $\mathcal C(u)$ y conmuta con todo elemento de $\mathcal C(u)$ , es decir, está en $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ (pregunta 14). Recíprocamente, $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$ , y todo $P(u)$ conmuta con todo $v \in \mathcal C(u)$ (un tal $v$ conmuta con $u$ y, por tanto, con cada potencia de $u$ ): $K[u]$ es central en $\mathcal C(u)$ . Por tanto $Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ . En consecuencia, $\mathcal C(u)$ es conmutativa si y solo si $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ ; en ese caso $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$ , mientras que la pregunta 8 da $\dim\mathcal C(u) \geq n$ : luego $n_s = n$ y $s = 1$ , es decir, $u$ es cíclico. Recíprocamente, para $u$ cíclico la pregunta 11 da $\mathcal C(u) = K[u]$ , que es conmutativa. Estructuralmente: un álgebra de matrices igual a su propio centro es exactamente un álgebra de polinomios $K[u]$ de un $u$ cíclico.

24. Cada coeficiente $2s - 2i + 1$ de la fórmula de Frobenius es impar, luego

\dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i \equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 .

Para $n = 4$ , las sucesiones de grados $n_1 \leq \dots \leq n_s$ posibles de los factores invariantes, con suma $4$ , son $(4)$ , $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(1, 1, 2)$ , $(1, 1, 1, 1)$ ; todas se realizan, por ejemplo con el nilpotente de $P_i = X^{n_i}$ (la cadena de divisibilidad se cumple automáticamente). La fórmula da, respectivamente,

1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad 5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 .

Así pues, el conjunto de valores es $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ : números pares de la paridad correcta, pero $12$ y $14$ no aparecen nunca — entre las sucesiones casi cíclicas y el $n^2$ de la escalar hay un salto.

25. $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) = 8 \cdot 6 = 48$ . Tipo central: $I$ y $2I$ , dos clases de tamaño $1$ . En los otros tres tipos, $M$ es cíclica (pregunta 20), luego su centralizador en $GL_2$ es el grupo de los elementos invertibles de $\mathcal C(M) = K[M]$ (pregunta 11), y el tamaño de la clase es $=48/\abs{K[M]^\times}$ por órbita–estabilizador. Valores propios distintos y descompuestos: solo el par $\{1, 2\}$ , una clase; $K[M] \cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ (teorema chino del resto sobre $\chi = (X-1) (X-2)$ ), unidades $2 \cdot 2 = 4$ , tamaño $48/4 = 12$ . Polinomio mínimo $(X - a)^2$ , $a \in \{1, 2\}$ : dos clases; $K[M] \cong \mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$ , unidades $q^2 - q = 6$ (término independiente de la unidad $\neq 0$ tras centrar), tamaño $48/6 = 8$ . $\chi$ irreducible: las cuadráticas mónicas irreducibles sobre $\mathbb F_3$ son $(9 - 3)/2 = 3$ , a saber,

X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2,

(sin raíces en $\mathbb F_3$ : compruébese $0, 1, 2$ ); tres clases, $K[M] \cong \mathbb F_9$ , unidades $q^2 - 1 = 8$ , tamaño $48/8 = 6$ . Ecuación de clases: $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 = 2 + 12 + 16 + 18 = 48$ ; y $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ clases, en concordancia con la pregunta 21.