Mathematics · Book 2 · Grades 10–12

Matemáticas de secundaria

Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

16El producto escalar en el plano

El producto escalar conecta un número a un par de vectores, y eso el número ve la geometría: desaparece exactamente en direcciones perpendiculares, y mide ángulos y longitudes. Es el motor detrás de la ley de cosenos, ecuaciones de círculos y cálculos de perpendicularidad. lo mismo herramienta, en el espacio, es el tema de Capítulo 31.

16.1 Definición y primeros cálculos.

Definición 16.1 (Escalar producto)

El producto escalar de dos vectores u⃗\vec u y v⃗\vec v es el número

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

donde ∥u⃗∥\norm{\vec u} indica la longitud (norma) de u⃗\vec u.

Teorema 16.2 (Las cuatro caras del producto escalar)

Sean u⃗ (x,y)\vec u\,(x, y) y v⃗ (x′,y′)\vec v\,(x', y') distintos de cero vectores, y θ\theta el ángulo entre ellos. entonces

  1. (coordenadas) u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u \cdot \vec v = xx' + yy';
  2. (coseno) u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta;
  3. (proyección) u⃗⋅v⃗=u⃗⋅v⃗′\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v', donde v⃗′\vec v' es la proyección ortogonal de v⃗\vec v en el dirección de u⃗\vec u; si u⃗=OA→\vec u = \vect{OA} y v⃗=OB→\vec v = \vect{OB}, entonces u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, un producto de longitudes firmadas, donde HH es el pie del perpendicular desde BB a la línea (OA)(OA);
  4. (normas) la fórmula que define Definición 16.1.

Prueba de 1 y 2. 1. En coordenadas, ∥u⃗∥2=x2+y2\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2 (Pitágoras) y u⃗+v⃗\vec u + \vec v tiene coordenadas (x+x′,y+y′)(x + x', y + y'), entonces

2 u⃗⋅v⃗=(x+x′)2+(y+y′)2−(x2+y2)−(x′2+y′2)=2xx′+2yy′,\begin{align*} 2\,\vec u \cdot \vec v &= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\ &= 2xx' + 2yy', \end{align*}

después de en expansión los cuadrados y cancelando.

2. Elija sistema de coordenadas para que u⃗\vec u apunte a lo largo del positivo xx-eje: u⃗ (∥u⃗∥,0)\vec u\,(\norm{\vec u}, 0) y v⃗ (∥v⃗∥cos⁡θ, ∥v⃗∥sin⁡θ)\vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta) (Capítulo 14). La Fórmula 1 entonces da u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ+0\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0. La Fórmula 3 muestra el mismo cálculo: la proyección de v⃗\vec v en el eje xx tiene una longitud con signo ∥v⃗∥cos⁡θ=OH‾\norm{\vec v}\cos\theta = \overline{OH}. ∎

La vista de proyección: u v = OA × OH, donde H es el pie de la perpendicular desde la punta de v. El segmento naranja OH tiene una longitud con signo. v.
La vista de proyección: u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, donde HH es el pie de la perpendicular desde la punta de v⃗\vec v. El segmento naranja OHOH tiene una longitud con signo. ∥v⃗∥cos⁡θ\norm{\vec v}\cos\theta.

Ejemplo 16.3

u⃗ (3,1)\vec u\,(3, 1) y v⃗ (2,−4)\vec v\,(2, -4): u⃗⋅v⃗=6−4=2\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2. Los normas son ∥u⃗∥=10\norm{\vec u} = \sqrt{10} y ∥v⃗∥=20\norm{\vec v} = \sqrt{20}, entonces cos⁡θ=21020=2102=210\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{10}: el ángulo es un poco menor que 82∘82^\circ.

Proposición 16.4 (reglas algebraicas)

Para todos los vectores y todos los λ∈R\lambda \in \R:

u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗,u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗,(λu⃗)⋅v⃗=λ (u⃗⋅v⃗),\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w, \qquad (\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2,∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2.\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2, \qquad \norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 .

Demostración. Todos se derivan de la fórmula de coordenadas: por ejemplo u⃗⋅(v⃗+w⃗)=x(x′+x′′)+y(y′+y′′)=(xx′+yy′)+(xx′′+yy′′)\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') = (xx' + yy') + (xx'' + yy''). La última identidad se expande. ∥u⃗+v⃗∥2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v) usando las primeras tres reglas — el producto escalar se comporta exactamente como un producto ordinario, por lo que las identidades algebraicas habituales se aplican a vectores. ∎

16.2 Ortogonalidad

Definición 16.5 (Vectores ortogonales)

Dos vectores son ortogonal, escritos u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v, si u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0.

Observación 16.6

Para vectores distinto de cero, se muestra la fórmula 2 de Teorema 16.2 u⃗⋅v⃗=0  ⟺  cos⁡θ=0  ⟺  \vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff las direcciones son perpendicular. El cero vector es ortogonal para todo.

Ejemplo 16.7

u⃗ (3,2)\vec u\,(3, 2) y v⃗ (−4,6)\vec v\,(-4, 6): u⃗⋅v⃗=−12+12=0\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 = 0: ortogonal. En general, u⃗ (a,b)\vec u\,(a, b) es siempre ortogonal para v⃗ (−b,a)\vec v\,(-b, a) — una rotación de un cuarto de vuelta.

16.3 La ley de los cosenos

Teorema 16.8 (Ley de los Coseños)

En un triángulo ABCABC con lados a=BCa = BC, b=CAb = CA, c=ABc = AB y ángulo A^\widehat A en el vértice AA:

a2=b2+c2−2bc cos⁡A^.a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .

Demostración. Escribe BC→=BA→+AC→=AC→−AB→\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB} y ampliar con Proposición 16.4:

a2=∥BC→∥2=∥AC→∥2−2 AC→⋅AB→+∥AB→∥2=b2+c2−2 AB→⋅AC→.a^2 = \norm{\vect{BC}}^2 = \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2 = b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.

Según la fórmula coseno, AB→⋅AC→=c b cos⁡A^\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A. ∎

Observación 16.9

Cuando A^\widehat A es un ángulo recto, cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 y la ley de cosenos se reduce al teorema de Pitágoras a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2: es Pitágoras con un término de corrección para ángulos no rectos.

La ley de cosenos: conociendo dos lados b, c y el ángulo entre ellos determina el tercer lado a.
La ley de cosenos: conociendo dos lados bb, cc y el ángulo entre ellos determina el tercer lado aa.

Ejemplo 16.10

Dos lados de un triángulo miden b=5b = 5 y c=8c = 8 y encierran un ángulo. A^=π3\widehat A = \frac\pi3. entonces

a2=25+64−2×5×8×12=89−40=49,a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,

entonces a=7a = 7.

16.4 Aplicaciones: círculos y líneas perpendiculares.

Proposición 16.11 (Círculo con un diámetro determinado)

Un punto MM se encuentra en el círculo de diámetro [AB][AB] si y sólo si

MA→⋅MB→=0.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .

Demostración. Si M≠A,BM \neq A, B, la condición dice el ángulo en MM en el triángulo AMBAMB tiene razón y los puntos que ven un segmento bajo un ángulo recto son exactamente los del círculo con ese diámetro. Aquí hay una prueba directa: sea OO el punto medio de [AB][AB] y r=AB2r = \frac{AB}{2}. entonces MA→=MO→+OA→\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA} y MB→=MO→+OB→=MO→−OA→\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}, entonces

MA→⋅MB→=∥MO→∥2−∥OA→∥2=MO2−r2,\vect{MA}\cdot\vect{MB} = \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,

que desaparece exactamente cuando MO=rMO = r, es decir, cuando MM está en el círculo de centro OO y radio rr. ∎

Proposición 16.12 (Vector normal de una recta)

El vector n⃗ (a,b)\vec n\,(a, b) es ortogonal para cada vector de direccion del línea d:ax+by+c=0d : ax + by + c = 0; uno dice n⃗\vec n es un normales vector de dd. Dos rectas son exactamente perpendiculares cuando su normal (o dirección) vectores es ortogonal.

Demostración. Un vector de direccion de dd es u⃗ (−b,a)\vec u\,(-b, a) (Teorema 15.9), y n⃗⋅u⃗=a(−b)+b(a)=0\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0. ∎

Método 16.13 (Usando vectores normales)

  • Línea a través de AA con n⃗ (a,b)\vec n\,(a,b) normal: escribir AM→⋅n⃗=0\vect{AM} \cdot \vec n = 0, que se expande a ax+by+c=0ax + by + c = 0 con cc determinado por AA.
  • Perpendicularidad de d:ax+by+c=0d: ax+by+c = 0 y d′:a′x+b′y+c′=0d': a'x+b'y+c' = 0: marque aa′+bb′=0aa' + bb' = 0.

Ejemplo 16.14

La línea que pasa por P(2,−1)P(2, -1) perpendicular a d:3x−y+4=0d : 3x - y + 4 = 0: a vector de direccion de dd es (1,3)(1, 3), que sirve como normal vector de la perpendicular. Ecuación: x+3y+c=0x + 3y + c = 0 con 2−3+c=02 - 3 + c = 0, entonces c=1c = 1: la línea es x+3y+1=0x + 3y + 1 = 0.

Ejemplo 16.15 (Ecuación de un círculo)

La circunferencia de centro Ω(1,2)\Omega(1, 2) y radio 33 es el conjunto de puntos M(x,y)M(x,y) con ΩM2=9\Omega M^2 = 9:

(x−1)2+(y−2)2=9.(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .

Por el contrario, x2+y2−2x−4y−4=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0 reescribe, completando el cuadrados (Capítulo 10), como (x−1)2+(y−2)2=9(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9: lo mismo círculo.

16.5 Ceremonias

Ejercicio 16.1 ★

Calcular u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v para

u⃗ (2,5), v⃗ (3,−1);u⃗ (1,−4), v⃗ (8,2);∥u⃗∥=3, ∥v⃗∥=4, θ=π3.\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad \vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad \norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
Solución

Solución de Ejercicio 16.1.

(2,5)⋅(3,−1)=6−5=1(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1.

(1,−4)⋅(8,2)=8−8=0(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0 (vectores ortogonales).

u⃗⋅v⃗=3×4×cos⁡π3=12×12=6\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12 = 6.

Ejercicio 16.2 ★

ABCABC es un triángulo equilátero de lado 66. calcular AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC} y AB→⋅BC→\vect{AB} \cdot \vect{BC}.

Solución

Solución de Ejercicio 16.2.

AB→⋅AC→=6×6×cos⁡60∘=18\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18.

El vectores AB→\vect{AB} y BC→\vect{BC} forman un ángulo de 180∘−60∘=120∘180^\circ - 60^\circ = 120^\circ (colóquelos cola con cola en BB), de modo que AB→⋅BC→=36cos⁡120∘=−18\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18.

Ejercicio 16.3 ★

Para qué valor de tt son u⃗ (3,t)\vec u\,(3, t) y v⃗ (t−8,1)\vec v\,(t - 8, 1) ortogonal? Y para qué valor(es) de tt es u⃗ (t,2)\vec u\,(t, 2) ortogonal a sí mismo menos v⃗ (4,2)\vec v\,(4, 2), es decir, u⃗⊥(u⃗−v⃗)\vec u \perp (\vec u - \vec v)?

Solución

Solución de Ejercicio 16.3.

u⃗⋅v⃗=3(t−8)+t=4t−24=0\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0 da t=6t = 6.

u⃗−v⃗=(t−4, 0)\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0), entonces u⃗⋅(u⃗−v⃗)=t(t−4)+0=t2−4t\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t, que desaparece para t=0t = 0 o t=4t = 4.

Ejercicio 16.4 ★

Calcular el ángulo θ\theta entre u⃗ (1,2)\vec u\,(1, 2) y v⃗ (3,1)\vec v\,(3, 1) (ingrese cos⁡θ\cos\theta exactamente, luego θ\theta al grado más cercano).

Solución

Solución de Ejercicio 16.4.

u⃗⋅v⃗=3+2=5\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5, ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = \sqrt5, ∥v⃗∥=10\norm{\vec v} = \sqrt{10}, entonces

cos⁡θ=55 10=552=22,\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2},

por lo tanto θ=45∘\theta = 45^\circ exactamente.

Ejercicio 16.5 ★★

Un triángulo tiene lados b=4b = 4, c=6c = 6 y ángulo A^=2π3\widehat A = \frac{2\pi}{3} entre ellos. Calcule el tercer lado aa. Luego, en un triángulo con lados a=7a = 7, b=5b = 5, c=4c = 4, calcula cos⁡A^\cos\widehat A y decide si A^\widehat A es agudo u obtuso.

Solución

Solución de Ejercicio 16.5.

a2=16+36−2×4×6×cos⁡2π3=52−48×(−12)=76a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3} = 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76, so a=76=219≈8.7a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8.7.

Para el segundo triángulo, la ley de cosenos resuelta para el ángulo da

cos⁡A^=b2+c2−a22bc=25+16−492×5×4=−840=−15,\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,

negativo: A^\widehat A es obtuso.

Ejercicio 16.6 ★★

Sean A(1,1)A(1, 1), B(5,−1)B(5, -1) y C(3,5)C(3, 5). calcular AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC}; ¿Es correcto el ángulo A^\widehat A? Calcular el longitudes de tres lados y verifica tu respuesta con la ley de cosenos.

Solución

Solución de Ejercicio 16.6.

AB→ (4,−2)\vect{AB}\,(4, -2) y AC→ (2,4)\vect{AC}\,(2, 4): AB→⋅AC→=8−8=0\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0, entonces el ángulo en AA es correcto. Lados: AB=16+4=20AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}, AC=4+16=20AC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} y BC→ (−2,6)\vect{BC}\,(-2, 6) dan BC=40BC = \sqrt{40}. Consistencia: BC2=40=20+20=AB2+AC2BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2, la ley de cosenos con cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 (Pitágoras).

Ejercicio 16.7 ★★

Da un ecuación del círculo de centro Ω(−2,3)\Omega(-2, 3) y radio 55. Luego determina el centro y el radio del círculo.

x2+y2−6x+2y−6=0.x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
Solución

Solución de Ejercicio 16.7.

Forma centro-radio: (x+2)2+(y−3)2=25(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25.

Para el segundo círculo, completa los cuadrados:

x2−6x+y2+2y=6  ⟺  (x−3)2−9+(y+1)2−1=6  ⟺  (x−3)2+(y+1)2=16:x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6 \iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6 \iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :

centro (3,−1)(3, -1), radio 44.

Ejercicio 16.8 ★★

Sean A(−3,0)A(-3, 0) y B(0,2)B(0, 2). Usando Proposición 16.11, encuentre un ecuación del círculo de diámetro [AB][AB], y comprobar que el origen O(0,0)O(0,0) yace sobre él.

Solución

Solución de Ejercicio 16.8.

M(x,y)M(x,y) está en el círculo cuando MA→⋅MB→=0\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0 con MA→ (−3−x, −y)\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y) y MB→ (−x, 2−y)\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y):

(−3−x)(−x)+(−y)(2−y)=x2+3x+y2−2y=0.(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .

Para el origen: 0+0+0−0=00 + 0 + 0 - 0 = 0, entonces OO se encuentra en el círculo — geométricamente, OA→ (−3,0)\vect{OA}\,(-3,0) y OB→ (0,2)\vect{OB}\,(0,2) son ortogonal, entonces OO ve [AB][AB] en ángulo recto. (Completando los cuadrados: centro (−32,1)\left(-\frac32, 1\right), radio 132\frac{\sqrt{13}}{2}.)

Ejercicio 16.9 ★★

Encuentre un ecuación de la línea que pasa por P(1,3)P(1, 3) perpendicular a d:2x+y−7=0d : 2x + y - 7 = 0, y el coordenadas del pie HH del perpendicular (la intersección de las dos rectas). deducir la distancia de PP a dd.

Solución

Solución de Ejercicio 16.9.

La perpendicular que pasa por PP tiene el vector de direccion de dd, es decir (−1,2)(-1, 2), como de costumbre vector: ecuación −x+2y+c=0-x + 2y + c = 0; a través de P(1,3)P(1,3): −1+6+c=0-1 + 6 + c = 0, c=−5c = -5, entonces x−2y+5=0x - 2y + 5 = 0.

Intersección con dd: de 2x+y=72x + y = 7, y=7−2xy = 7 - 2x; sustituyendo, x−2(7−2x)+5=5x−9=0x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0, entonces x=95x = \frac95, y=175y = \frac{17}5: H(95,175)H\left(\frac95, \frac{17}5\right). entonces PH→(45,25)\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right) y

PH=1625+425=205=255≈0.89.PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5} = \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .

Ejercicio 16.10 ★★

Utilizando ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 y su análogo para u⃗−v⃗\vec u - \vec v, demuestre la identidad del paralelogramo:

∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,

e interpretarlo en un paralelogramo (diagonales versus lados).

Solución

Solución de Ejercicio 16.10.

Añadiendo

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2and∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 \quad\text{and}\quad \norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2,

los términos cruzados se cancelan y ∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2. En un paralelogramo con lados u⃗\vec u y v⃗\vec v, las diagonales son u⃗+v⃗\vec u + \vec v y u⃗−v⃗\vec u - \vec v: la suma de las los cuadrados de las dos diagonales son iguales a la suma de los cuadrados de las cuatro lados.

Ejercicio 16.11 ★★★

Sean AA y BB dos puntos con AB=4AB = 4, y II el punto medio de [AB][AB].

  1. Muestre que para cada punto MM: MA→⋅MB→=MI2−4\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4. (Inserte II: MA→=MI→+IA→\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}.)
  2. Deduzca el conjunto de puntos MM tal que MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12.
Solución

Solución de Ejercicio 16.11.

1. Dado que II es punto medio, IB→=−IA→\vect{IB} = -\vect{IA} y IA=2IA = 2. entonces

MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→−IA→)=∥MI→∥2−∥IA→∥2=MI2−4.\vect{MA}\cdot\vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA}) = \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2 = MI^2 - 4 .

2. La condición MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12 se convierte en MI2=16MI^2 = 16, es decirMI=4MI = 4: el conjunto es el círculo de centro II y radio 44.

16.6 Problema: Dos regalos del producto escalar

Problema 16.1

Problema de fin de semana — las fórmulas de suma caen de un producto escalar, la distancia a una línea de otra, y las tres altitudes se encuentran como un bono

El producto escalar parece contabilidad — multiplicar, sumar — sin embargo, entrega, casi gratuitamente, dos tesoros que resistió siglos de persecución de ángulos: el fórmulas de suma de trigonometría (¡calcule cos⁡15∘\cos 15^\circ exactamente!) y el distancia de un punto a una recta en una fracción limpia. como un regalo de despedida demuestra que las tres altitudes de cada El triángulo pasa por un punto. Las cuatro caras de Teorema 16.2 se presentará a trabajar.

Parte I — Fluency.

  1. Para u⃗(3,4)\vec u(3, 4) y v⃗(−1,2)\vec v(-1, 2): calcular u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v, los dos normas y el ángulo entre el vectores (hasta la décima de grado).
  2. Encuentre kk para que (2,k)(2, k) y (3,−4)(3, -4) sean ortogonal (Definición 16.5).
  3. Cara de física: un trineo es arrastrado 1010 m por una fuerza 5050 N en 60∘60^\circ al suelo. calcular el trabajo W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d.
  4. Ley de cosenos (Teorema 16.8): dos lados de 55 y 77 encierran un ángulo de 60∘60^\circ; encontrar el tercer lado exactamente.
  5. Inversa: un triángulo tiene lados 44, 66, 88. Calcular el coseno del ángulo opuesto al lado 88, clasifica el ángulo y dale a la décima de grado.

Parte II — First gift: the addition formulas. Sean u⃗=(cos⁡a,sin⁡a)\vec u = (\cos a, \sin a) y v⃗=(cos⁡b,sin⁡b)\vec v = (\cos b, \sin b): dos unidades vectores en los ángulos aa y bb.

  1. Calcular u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v dos veces — una vez con coordenadas, una vez con normas y el ángulo entre los vectores — y concluir la fórmula madre:

    cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b.\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b .
  2. Sustituya −b-b por bb (¡paridades de seno y coseno!) para obtener cos⁡(a+b)\cos(a + b).
  3. Obtener sin⁡(a+b)\sin(a + b) de la identidad complementaria sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right) aplicado a x=a+bx = a + b.
  4. Por fin valores exactos: calcular cos⁡15∘\cos 15^\circ (como cos⁡(45∘−30∘)\cos(45^\circ - 30^\circ)) y sin⁡75∘\sin 75^\circ. comprobar ambos numéricamente.
  5. Configure b=ab = a para derivar las fórmulas de doble ángulo: cos⁡2a\cos 2a (en sus tres formas) y sin⁡2a\sin 2a.
  6. Desde cos⁡2a=1−2sin⁡2a\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a, calcule sin⁡215∘\sin^2 15^\circ, luego sin⁡15∘\sin 15^\circ como anidado radical — y verificar que su cuadrado concuerde con el valor 6−24\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} esa pregunta 9’s método da.

Parte III — Second gift: the distance to a line.

  1. Sea dd la línea ax+by+c=0ax + by + c = 0, con normal vector n⃗(a,b)\vec n(a, b) (Proposición 16.12), y P(x0,y0)P(x_0, y_0) un punto. Tomando cualquier punto AA en dd, explique por qué la distancia de PP a dd es ∣AP→⋅n⃗∣∥n⃗∥\dfrac{\abs{\vect{AP} \cdot \vec n}}{\norm{\vec n}}, y deducir la fórmula

    dist⁡(P,d)=∣ax0+by0+c∣a2+b2.\operatorname{dist}(P, d) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .

    Calcula la distancia desde P(5,6)P(5, 6) hasta 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0.

  2. Escribe el ecuación del círculo centrado en (5,6)(5, 6) tangente a esa línea.
  3. Verifique la fórmula: calcule la distancia desde el origen a 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0, luego verifíquelo mediante calcular el pie de la perpendicular desde el origen explícitamente.
  4. Triángulo A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0), C(2,5)C(2,5): calcula su área utilizando la base [AB][AB]; luego calcula la distancia desde BB a la línea (AC)(AC) y comprueba que reproduce lo mismo zona.
  5. El círculo de centro (2,1)(2, 1) y radio 22, contra la línea x+y−6=0x + y - 6 = 0: calcula la distancia del centro a la línea y clasificar su posición (secante, tangente, disjunto).

Parte IV — The bonus: altitudes concur.

  1. Generalizar Ejercicio 16.11: para dos puntos cualesquiera AA, BB con punto medio II, probar

    MA→⋅MB→=MI2−AB24for every point M.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4} \quad\text{for every point } M .
  2. Deduce Proposición 16.11 en una línea: el conjunto de puntos MM con MA→⋅MB→=0\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 es el círculo de diámetro [AB][AB].

  3. Las altitudes: sea HH el intersección del altitudes desde AA y desde BB en un triángulo ABCABC (entonces HA→⋅BC→=0\vect{HA} \cdot \vect{BC} = 0 y HB→⋅CA→=0\vect{HB} \cdot \vect{CA} = 0). demostrar la identidad

    HA→⋅BC→+HB→⋅CA→+HC→⋅AB→=0\vect{HA} \cdot \vect{BC} + \vect{HB} \cdot \vect{CA} + \vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0

    — ampliar todo desde HH con Chasles — y concluya que HH también se encuentra en la altitud de CC: las tres altitudes son concurrentes (en el ortocentro).

  4. Final: cuatro caras, tres trofeos. ¿Qué cara de Teorema 16.2 llevaba las fórmulas de suma, cuál la fórmula de distancia, cuál el ortocentro — ¿Y por qué el lema es "calcular la misma cantidad dos veces"? de todo el capitulo?
Solución

Solución de Problema 16.1.

1. u⃗⋅v⃗=−3+8=5\vec u \cdot \vec v = -3 + 8 = 5; ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = 5, ∥v⃗∥=5\norm{\vec v} = \sqrt5; cos⁡θ=555=15\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5}: θ≈63.4∘\theta \approx 63.4^\circ.

2. 6−4k=06 - 4k = 0: k=32k = \frac32.

3.W=50×10×cos⁡60∘=250W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250 Julios: sólo funciona el componente a lo largo del movimiento.

4. c2=25+49−2×35×12=39c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times \frac12 = 39: c=39c = \sqrt{39}.

5. cos⁡γ=16+36−642×4×6=−14\cos\gamma = \frac{16 + 36 - 64}{2 \times 4 \times 6} = -\frac14: negativo, el ángulo es obtuso: γ≈104.5∘\gamma \approx 104.5^\circ.

6. Coordenadas: u⃗⋅v⃗=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\vec u \cdot \vec v = \cos a \cos b + \sin a \sin b. Geometría: dos unidades vectores, u⃗⋅v⃗=1×1×cos⁡(a−b)\vec u \cdot \vec v = 1 \times 1 \times \cos(a - b). Igualando los dos cálculos del mismo número: cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b.

7. cos⁡(a+b)=cos⁡(a−(−b))=cos⁡acos⁡(−b)+sin⁡asin⁡(−b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) + \sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b.

8. sin⁡(a+b)=cos⁡(π2−a−b)=cos⁡((π2−a)−b)=cos⁡(π2−a)cos⁡b+sin⁡(π2−a)sin⁡b=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \cos\left(\frac\pi2 - a - b\right) = \cos\left(\left(\frac\pi2 - a\right) - b\right) = \cos\left(\frac\pi2 - a\right)\cos b + \sin\left(\frac\pi2 - a\right)\sin b = \sin a \cos b + \cos a \sin b.

9.cos⁡15∘=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12=6+24≈0.966\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966. y sin⁡75∘=cos⁡15∘\sin 75^\circ = \cos 15^\circ: mismo valor.

10. b=ab = a en las preguntas 7 y 8: cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a (usando cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1), y sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2 \sin a \cos a.

11. sin⁡215∘=1−cos⁡30∘2=2−34\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} = \frac{2 - \sqrt3}{4}, entonces sin⁡15∘=2−32\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}. cuadratura 6−24\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}: 6−212+216=8−4316=2−34\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt3}{16} = \frac{2 - \sqrt3}{4}: el mismo número con dos disfraces.

12. AP→\vect{AP} se descompone en una parte a lo largo de dd (invisible para n⃗\vec n) y una parte perpendicular a dd, cuyo longitud es la distancia buscada; salpicando con la unidad normal n⃗∥n⃗∥\frac{\vec n}{\norm{\vec n}} mata la primera parte y mide el segundo. Con AA en dd: AP→⋅n⃗=ax0+by0−(axA+byA)=ax0+by0+c\vect{AP} \cdot \vec n = a x_0 + b y_0 - (a x_A + b y_A) = a x_0 + b y_0 + c, de ahí la fórmula. Ejemplo: ∣15+24−12∣5=275=5.4\frac{\abs{15 + 24 - 12}}{5} = \frac{27}{5} = 5.4.

13. Radio =5.4= 5.4: (x−5)2+(y−6)2=29.16(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 29.16.

14. Distancia =∣−12∣5=2.4= \frac{\abs{-12}}{5} = 2.4. Pie: el perpendicular a través del origen es (3t,4t)(3t, 4t); en la linea: 9t+16t=129t + 16t = 12, t=1225t = \frac{12}{25}: pie (3625,4825)\left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right), a distancia 5t=6025=2.45t = \frac{60}{25} = 2.4. La fórmula y lo honesto. el cálculo está de acuerdo.

15. Base AB=6AB = 6, altura == distancia de CC a (AB)(AB) (el eje y=0y = 0): 55; área 1515. Línea (AC)(AC): 5x−2y=05x - 2y = 0, y dist⁡(B,(AC))=∣30∣29\operatorname{dist}(B, (AC)) = \frac{\abs{30}}{\sqrt{29}}; entonces 12×AC×3029=12×29×3029=15\frac12 \times AC \times \frac{30}{\sqrt{29}} = \frac12 \times \sqrt{29} \times \frac{30}{\sqrt{29}} = 15: misma zona, ya sea altitud.

16. dist⁡=∣2+1−6∣2=32≈2.12>2\operatorname{dist} = \frac{\abs{2 + 1 - 6}} {\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2.12 > 2: la línea pasa claro del círculo — disjunto.

17. Insertar II: MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→+IB→)=MI2+MI→⋅(IA→+IB→)+IA→⋅IB→\vect{MA} \cdot \vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA}) \cdot (\vect{MI} + \vect{IB}) = MI^2 + \vect{MI} \cdot (\vect{IA} + \vect{IB}) + \vect{IA} \cdot \vect{IB}. El término medio muere (IA→+IB→=0⃗\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0), y IA→⋅IB→=−IA2=−AB24\vect{IA} \cdot \vect{IB} = -IA^2 = -\frac{AB^2}{4} (frente a vectores de longitud AB2\frac{AB}2).

18. MA→⋅MB→=0  ⟺  MI2=AB24  ⟺  MI=AB2\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 \iff MI^2 = \frac{AB^2}{4} \iff MI = \frac{AB}{2}: el círculo del centro II y radio AB2\frac{AB}2 — el círculo con diámetro [AB][AB].

19. En expansión cada par de HH (BC→=HC→−HB→\vect{BC} = \vect{HC} - \vect{HB}, etc.):

HA→⋅HC→−HA→⋅HB→+HB→⋅HA→−HB→⋅HC→+HC→⋅HB→−HC→⋅HA→=0:\vect{HA} \cdot \vect{HC} - \vect{HA} \cdot \vect{HB} + \vect{HB} \cdot \vect{HA} - \vect{HB} \cdot \vect{HC} + \vect{HC} \cdot \vect{HB} - \vect{HC} \cdot \vect{HA} = 0 :

todo se cancela en pares — la identidad se mantiene para cualquier cuatro puntos. Para nuestro HH, los dos primeros puntos Los productos desaparecen por hipótesis, por lo que HC→⋅AB→=0\vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0: HH se encuentra en la altitud desde CC. Tres altitudes, un punto.

20. Las fórmulas de suma provienen de calcular un punto. producto con la cara coordinar y el normas y ángulos cara; la fórmula de la distancia desde el proyección cara; el ortocentro del Cara bilinealidad (Chasles-and-expand). Calcular lo mismo cantidad dos veces, se iguala y se cae un teorema: todo el comercio del escalar producto.