Mathematics · Libro 2 · Grades 10–12

Matemáticas de secundaria

Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

16El producto escalar en el plano

El producto escalar asocia un número a una pareja de vectores, y ese número ve geometría: se anula exactamente para direcciones perpendiculares y mide ángulos y longitudes. Es el motor del teorema del coseno, de las ecuaciones de circunferencias y de los cálculos de perpendicularidad. La misma herramienta, en el espacio, es el tema del Capítulo 31.

16.1 Definición y primeros cálculos

Definición 16.1 (Producto escalar)

El producto escalar de dos vectores u⃗\vec u y v⃗\vec v es el número

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

donde ∥u⃗∥\norm{\vec u} designa la longitud (o norma) de u⃗\vec u.

Teorema 16.2 (Las cuatro caras del producto escalar)

Sean u⃗ (x,y)\vec u\,(x, y) y v⃗ (x′,y′)\vec v\,(x', y') vectores no nulos y sea θ\theta el ángulo que forman. Entonces

  1. (coordenadas) u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u \cdot \vec v = xx' + yy';
  2. (coseno) u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta;
  3. (proyección) u⃗⋅v⃗=u⃗⋅v⃗′\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v', donde v⃗′\vec v' es la proyección ortogonal de v⃗\vec v sobre la dirección de u⃗\vec u; si u⃗=OA→\vec u = \vect{OA} y v⃗=OB→\vec v = \vect{OB}, entonces u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, un producto de longitudes con signo, donde HH es el pie de la perpendicular trazada desde BB a la recta (OA)(OA);
  4. (normas) la fórmula de la Definición 16.1 que lo define.

Demostración de 1 y 2. 1. En coordenadas, ∥u⃗∥2=x2+y2\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2 (Pitágoras) y u⃗+v⃗\vec u + \vec v tiene coordenadas (x+x′,y+y′)(x + x', y + y'), luego

2 u⃗⋅v⃗=(x+x′)2+(y+y′)2−(x2+y2)−(x′2+y′2)=2xx′+2yy′,\begin{align*} 2\,\vec u \cdot \vec v &= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\ &= 2xx' + 2yy', \end{align*}

tras desarrollar los cuadrados y cancelar.

2. Elegimos el sistema de coordenadas de modo que u⃗\vec u apunte en el sentido positivo del eje xx: u⃗ (∥u⃗∥,0)\vec u\,(\norm{\vec u}, 0) y v⃗ (∥v⃗∥cos⁡θ, ∥v⃗∥sin⁡θ)\vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta) (Capítulo 14). La fórmula 1 da entonces u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ+0\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0. La fórmula 3 se lee en el mismo cálculo: la proyección de v⃗\vec v sobre el eje xx tiene longitud con signo ∥v⃗∥cos⁡θ=OH‾\norm{\vec v}\cos\theta = \overline{OH}. ∎

La vista de la proyección: u v = OA × OH, donde H es el pie de la perpendicular trazada desde la punta de v. El segmento naranja OH tiene longitud con signo v.
La vista de la proyección: u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, donde HH es el pie de la perpendicular trazada desde la punta de v⃗\vec v. El segmento naranja OHOH tiene longitud con signo ∥v⃗∥cos⁡θ\norm{\vec v}\cos\theta.

Ejemplo 16.3

u⃗ (3,1)\vec u\,(3, 1) y v⃗ (2,−4)\vec v\,(2, -4): u⃗⋅v⃗=6−4=2\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2. Las normas son ∥u⃗∥=10\norm{\vec u} = \sqrt{10} y ∥v⃗∥=20\norm{\vec v} = \sqrt{20}, así que cos⁡θ=21020=2102=210\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{10}: el ángulo es algo menor que 82∘82^\circ.

Proposición 16.4 (Reglas algebraicas)

Para todos los vectores y todo λ∈R\lambda \in \R:

u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗,u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗,(λu⃗)⋅v⃗=λ (u⃗⋅v⃗),\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w, \qquad (\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2,∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2.\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2, \qquad \norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 .

Demostración. Todas se siguen de la fórmula en coordenadas: por ejemplo, u⃗⋅(v⃗+w⃗)=x(x′+x′′)+y(y′+y′′)=(xx′+yy′)+(xx′′+yy′′)\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') = (xx' + yy') + (xx'' + yy''). La última identidad desarrolla ∥u⃗+v⃗∥2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v) con las tres primeras reglas: el producto escalar se comporta exactamente como un producto ordinario, así que las identidades algebraicas de siempre valen también para vectores. ∎

16.2 Ortogonalidad

Definición 16.5 (Vectores ortogonales)

Dos vectores son ortogonales, y se escribe u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v, si u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0.

Observación 16.6

Para vectores no nulos, la fórmula 2 del Teorema 16.2 muestra que u⃗⋅v⃗=0  ⟺  cos⁡θ=0  ⟺  \vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff las direcciones son perpendiculares. El vector nulo es ortogonal a todo.

Ejemplo 16.7

u⃗ (3,2)\vec u\,(3, 2) y v⃗ (−4,6)\vec v\,(-4, 6): u⃗⋅v⃗=−12+12=0\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 = 0: ortogonales. En general, u⃗ (a,b)\vec u\,(a, b) es siempre ortogonal a v⃗ (−b,a)\vec v\,(-b, a): un giro de un cuarto de vuelta.

16.3 El teorema del coseno

Teorema 16.8 (Teorema del coseno)

En un triángulo ABCABC de lados a=BCa = BC, b=CAb = CA, c=ABc = AB y ángulo A^\widehat A en el vértice AA:

a2=b2+c2−2bc cos⁡A^.a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .

Demostración. Escribimos BC→=BA→+AC→=AC→−AB→\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB} y desarrollamos con la Proposición 16.4:

a2=∥BC→∥2=∥AC→∥2−2 AC→⋅AB→+∥AB→∥2=b2+c2−2 AB→⋅AC→.a^2 = \norm{\vect{BC}}^2 = \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2 = b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.

Por la fórmula del coseno, AB→⋅AC→=c b cos⁡A^\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A. ∎

Observación 16.9

Cuando A^\widehat A es recto, cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 y el teorema del coseno se reduce al teorema de Pitágoras a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2: es Pitágoras con un término corrector para los ángulos no rectos.

El teorema del coseno: conocer dos lados b y c y el ángulo que forman determina el tercer lado a.
El teorema del coseno: conocer dos lados bb y cc y el ángulo que forman determina el tercer lado aa.

Ejemplo 16.10

Dos lados de un triángulo miden b=5b = 5 y c=8c = 8 y forman un ángulo A^=π3\widehat A = \frac\pi3. Entonces

a2=25+64−2×5×8×12=89−40=49,a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,

luego a=7a = 7.

16.4 Aplicaciones: circunferencias y rectas perpendiculares

Proposición 16.11 (Circunferencia de diámetro dado)

Un punto MM está en la circunferencia de diámetro [AB][AB] si y solo si

MA→⋅MB→=0.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .

Demostración. Si M≠A,BM \neq A, B, la condición dice que el ángulo en MM del triángulo AMBAMB es recto, y los puntos que ven un segmento bajo ángulo recto son exactamente los de la circunferencia que lo tiene por diámetro. He aquí una demostración directa: sea OO el punto medio de [AB][AB] y r=AB2r = \frac{AB}{2}. Entonces MA→=MO→+OA→\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA} y MB→=MO→+OB→=MO→−OA→\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}, luego

MA→⋅MB→=∥MO→∥2−∥OA→∥2=MO2−r2,\vect{MA}\cdot\vect{MB} = \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,

que se anula exactamente cuando MO=rMO = r, es decir, cuando MM está en la circunferencia de centro OO y radio rr. ∎

Proposición 16.12 (Vector normal de una recta)

El vector n⃗ (a,b)\vec n\,(a, b) es ortogonal a todos los vectores directores de la recta d:ax+by+c=0d : ax + by + c = 0; se dice que n⃗\vec n es un vector normal de dd. Dos rectas son perpendiculares exactamente cuando sus vectores normales (o sus vectores directores) son ortogonales.

Demostración. Un vector director de dd es u⃗ (−b,a)\vec u\,(-b, a) (Teorema 15.9), y n⃗⋅u⃗=a(−b)+b(a)=0\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0. ∎

Método 16.13 (Uso de los vectores normales)

  • Recta que pasa por AA con normal n⃗ (a,b)\vec n\,(a,b): escribe AM→⋅n⃗=0\vect{AM} \cdot \vec n = 0, que se desarrolla como ax+by+c=0ax + by + c = 0 con cc determinado por AA.
  • Perpendicularidad de d:ax+by+c=0d: ax+by+c = 0 y d′:a′x+b′y+c′=0d': a'x+b'y+c' = 0: comprueba que aa′+bb′=0aa' + bb' = 0.

Ejemplo 16.14

La recta que pasa por P(2,−1)P(2, -1) y es perpendicular a d:3x−y+4=0d : 3x - y + 4 = 0: un vector director de dd es (1,3)(1, 3), que sirve de vector normal de la perpendicular. Ecuación: x+3y+c=0x + 3y + c = 0 con 2−3+c=02 - 3 + c = 0, luego c=1c = 1: la recta es x+3y+1=0x + 3y + 1 = 0.

Ejemplo 16.15 (Ecuación de una circunferencia)

La circunferencia de centro Ω(1,2)\Omega(1, 2) y radio 33 es el conjunto de los puntos M(x,y)M(x,y) con ΩM2=9\Omega M^2 = 9:

(x−1)2+(y−2)2=9.(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .

Recíprocamente, x2+y2−2x−4y−4=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0 se reescribe, completando cuadrados (Capítulo 10), como (x−1)2+(y−2)2=9(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9: la misma circunferencia.

16.5 Ejercicios

Ejercicio 16.1 ★

Calcula u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v para

u⃗ (2,5), v⃗ (3,−1);u⃗ (1,−4), v⃗ (8,2);∥u⃗∥=3, ∥v⃗∥=4, θ=π3.\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad \vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad \norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
Solución

Solución de Ejercicio 16.1.

(2,5)⋅(3,−1)=6−5=1(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1.

(1,−4)⋅(8,2)=8−8=0(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0 (vectores ortogonales).

u⃗⋅v⃗=3×4×cos⁡π3=12×12=6\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12 = 6.

Ejercicio 16.2 ★

ABCABC es un triángulo equilátero de lado 66. Calcula AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC} y AB→⋅BC→\vect{AB} \cdot \vect{BC}.

Solución

Solución de Ejercicio 16.2.

AB→⋅AC→=6×6×cos⁡60∘=18\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18.

Los vectores AB→\vect{AB} y BC→\vect{BC} forman un ángulo de 180∘−60∘=120∘180^\circ - 60^\circ = 120^\circ (colócalos con el mismo origen en BB), así que AB→⋅BC→=36cos⁡120∘=−18\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18.

Ejercicio 16.3 ★

¿Para qué valor de tt son ortogonales u⃗ (3,t)\vec u\,(3, t) y v⃗ (t−8,1)\vec v\,(t - 8, 1)? ¿Y para qué valor o valores de tt es u⃗ (t,2)\vec u\,(t, 2) ortogonal a sí mismo menos v⃗ (4,2)\vec v\,(4, 2), es decir, u⃗⊥(u⃗−v⃗)\vec u \perp (\vec u - \vec v)?

Solución

Solución de Ejercicio 16.3.

u⃗⋅v⃗=3(t−8)+t=4t−24=0\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0 da t=6t = 6.

u⃗−v⃗=(t−4, 0)\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0), luego u⃗⋅(u⃗−v⃗)=t(t−4)+0=t2−4t\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t, que se anula para t=0t = 0 o t=4t = 4.

Ejercicio 16.4 ★

Calcula el ángulo θ\theta que forman u⃗ (1,2)\vec u\,(1, 2) y v⃗ (3,1)\vec v\,(3, 1) (da cos⁡θ\cos\theta de forma exacta y después θ\theta redondeado al grado).

Solución

Solución de Ejercicio 16.4.

u⃗⋅v⃗=3+2=5\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5, ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = \sqrt5, ∥v⃗∥=10\norm{\vec v} = \sqrt{10}, luego

cos⁡θ=55 10=552=22,\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2},

así que θ=45∘\theta = 45^\circ exactamente.

Ejercicio 16.5 ★★

Un triángulo tiene lados b=4b = 4 y c=6c = 6 que forman un ángulo A^=2π3\widehat A = \frac{2\pi}{3}. Calcula el tercer lado aa. Después, en un triángulo de lados a=7a = 7, b=5b = 5, c=4c = 4, calcula cos⁡A^\cos\widehat A y decide si A^\widehat A es agudo u obtuso.

Solución

Solución de Ejercicio 16.5.

a2=16+36−2×4×6×cos⁡2π3=52−48×(−12)=76a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3} = 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76, luego a=76=219≈8.7a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8.7.

Para el segundo triángulo, el teorema del coseno despejado en el ángulo da

cos⁡A^=b2+c2−a22bc=25+16−492×5×4=−840=−15,\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,

negativo: A^\widehat A es obtuso.

Ejercicio 16.6 ★★

Sean A(1,1)A(1, 1), B(5,−1)B(5, -1) y C(3,5)C(3, 5). Calcula AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC}; ¿es recto el ángulo A^\widehat A? Calcula las tres longitudes de los lados y comprueba tu respuesta con el teorema del coseno.

Solución

Solución de Ejercicio 16.6.

AB→ (4,−2)\vect{AB}\,(4, -2) y AC→ (2,4)\vect{AC}\,(2, 4): AB→⋅AC→=8−8=0\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0, así que el ángulo en AA es recto. Lados: AB=16+4=20AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}, AC=4+16=20AC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} y, con BC→ (−2,6)\vect{BC}\,(-2, 6), BC=40BC = \sqrt{40}. Coherencia: BC2=40=20+20=AB2+AC2BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2, el teorema del coseno con cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 (Pitágoras).

Ejercicio 16.7 ★★

Da una ecuación de la circunferencia de centro Ω(−2,3)\Omega(-2, 3) y radio 55. Determina después el centro y el radio de la circunferencia

x2+y2−6x+2y−6=0.x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
Solución

Solución de Ejercicio 16.7.

Forma centro–radio: (x+2)2+(y−3)2=25(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25.

Para la segunda circunferencia, completamos cuadrados:

x2−6x+y2+2y=6  ⟺  (x−3)2−9+(y+1)2−1=6  ⟺  (x−3)2+(y+1)2=16:x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6 \iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6 \iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :

centro (3,−1)(3, -1), radio 44.

Ejercicio 16.8 ★★

Sean A(−3,0)A(-3, 0) y B(0,2)B(0, 2). Usando la Proposición 16.11, halla una ecuación de la circunferencia de diámetro [AB][AB] y comprueba que el origen O(0,0)O(0,0) está en ella.

Solución

Solución de Ejercicio 16.8.

M(x,y)M(x,y) está en la circunferencia cuando MA→⋅MB→=0\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0 con MA→ (−3−x, −y)\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y) y MB→ (−x, 2−y)\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y):

(−3−x)(−x)+(−y)(2−y)=x2+3x+y2−2y=0.(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .

Para el origen: 0+0+0−0=00 + 0 + 0 - 0 = 0, así que OO está en la circunferencia; geométricamente, OA→ (−3,0)\vect{OA}\,(-3,0) y OB→ (0,2)\vect{OB}\,(0,2) son ortogonales, luego OO ve [AB][AB] bajo un ángulo recto. (Completando cuadrados: centro (−32,1)\left(-\frac32, 1\right), radio 132\frac{\sqrt{13}}{2}.)

Ejercicio 16.9 ★★

Halla una ecuación de la recta que pasa por P(1,3)P(1, 3) y es perpendicular a d:2x+y−7=0d : 2x + y - 7 = 0, y las coordenadas del pie HH de la perpendicular (el corte de las dos rectas). Deduce la distancia de PP a dd.

Solución

Solución de Ejercicio 16.9.

La perpendicular por PP tiene como vector normal el vector director de dd, es decir, (−1,2)(-1, 2): ecuación −x+2y+c=0-x + 2y + c = 0; pasando por P(1,3)P(1,3): −1+6+c=0-1 + 6 + c = 0, c=−5c = -5, luego x−2y+5=0x - 2y + 5 = 0.

Corte con dd: de 2x+y=72x + y = 7, y=7−2xy = 7 - 2x; sustituyendo, x−2(7−2x)+5=5x−9=0x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0, luego x=95x = \frac95 e y=175y = \frac{17}5: H(95,175)H\left(\frac95, \frac{17}5\right). Entonces PH→(45,25)\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right) y

PH=1625+425=205=255≈0.89.PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5} = \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .

Ejercicio 16.10 ★★

Usando ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 y su análoga para u⃗−v⃗\vec u - \vec v, demuestra la identidad del paralelogramo:

∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,

e interprétala en un paralelogramo (diagonales frente a lados).

Solución

Solución de Ejercicio 16.10.

Sumando

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2y∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 \quad\text{y}\quad \norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2,

los términos cruzados se cancelan y ∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2. En un paralelogramo de lados u⃗\vec u y v⃗\vec v, las diagonales son u⃗+v⃗\vec u + \vec v y u⃗−v⃗\vec u - \vec v: la suma de los cuadrados de las dos diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los cuatro lados.

Ejercicio 16.11 ★★★

Sean AA y BB dos puntos con AB=4AB = 4 y sea II el punto medio de [AB][AB].

  1. Demuestra que para todo punto MM se cumple MA→⋅MB→=MI2−4\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4. (Intercala II: MA→=MI→+IA→\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}.)
  2. Deduce el conjunto de los puntos MM tales que MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12.
Solución

Solución de Ejercicio 16.11.

1. Como II es el punto medio, IB→=−IA→\vect{IB} = -\vect{IA} y IA=2IA = 2. Entonces

MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→−IA→)=∥MI→∥2−∥IA→∥2=MI2−4.\vect{MA}\cdot\vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA}) = \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2 = MI^2 - 4 .

2. La condición MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12 se convierte en MI2=16MI^2 = 16, es decir, MI=4MI = 4: el conjunto es la circunferencia de centro II y radio 44.

16.6 Problema: Dos regalos del producto escalar

Problema 16.1

Problema de fin de semana — las fórmulas de adición salen de un producto escalar, la distancia a una recta de otro, y de propina las tres alturas se cortan en un punto

El producto escalar parece contabilidad (multiplicar y sumar) y, sin embargo, entrega casi de balde dos tesoros que resistieron siglos de persecución de ángulos: las fórmulas de adición de la trigonometría (¡calcular cos⁡15∘\cos 15^\circ de forma exacta!) y la distancia de un punto a una recta en una fracción limpia. Como regalo de despedida demuestra que las tres alturas de cualquier triángulo pasan por un mismo punto. Las cuatro caras del Teorema 16.2 pasarán lista.

Parte I — Soltura.

  1. Para u⃗(3,4)\vec u(3, 4) y v⃗(−1,2)\vec v(-1, 2): calcula u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v, las dos normas y el ángulo que forman los vectores (con una décima de grado).
  2. Halla kk para que (2,k)(2, k) y (3,−4)(3, -4) sean ortogonales (Definición 16.5).
  3. Cara física: se arrastra un trineo 1010 m con una fuerza de 5050 N que forma 60∘60^\circ con el suelo. Calcula el trabajo W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d.
  4. Teorema del coseno (Teorema 16.8): dos lados de 55 y 77 forman un ángulo de 60∘60^\circ; halla el tercer lado de forma exacta.
  5. Al revés: un triángulo tiene lados 44, 66 y 88. Calcula el coseno del ángulo opuesto al lado 88, clasifica el ángulo y dalo con una décima de grado.

Parte II — Primer regalo: las fórmulas de adición. Sean u⃗=(cos⁡a,sin⁡a)\vec u = (\cos a, \sin a) y v⃗=(cos⁡b,sin⁡b)\vec v = (\cos b, \sin b): dos vectores unitarios de ángulos aa y bb.

  1. Calcula u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v dos veces, una con coordenadas y otra con las normas y el ángulo que forman los vectores, y concluye la fórmula madre:

    cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b.\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b .
  2. Sustituye bb por −b-b (¡paridad del seno y del coseno!) para obtener cos⁡(a+b)\cos(a + b).
  3. Obtén sin⁡(a+b)\sin(a + b) a partir de la identidad de los ángulos complementarios sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right) aplicada a x=a+bx = a + b.
  4. Por fin valores exactos: calcula cos⁡15∘\cos 15^\circ (como cos⁡(45∘−30∘)\cos(45^\circ - 30^\circ)) y sin⁡75∘\sin 75^\circ. Comprueba los dos numéricamente.
  5. Toma b=ab = a para deducir las fórmulas del ángulo doble: cos⁡2a\cos 2a (en sus tres formas) y sin⁡2a\sin 2a.
  6. A partir de cos⁡2a=1−2sin⁡2a\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a, calcula sin⁡215∘\sin^2 15^\circ y después sin⁡15∘\sin 15^\circ como un radical anidado, y comprueba que su cuadrado coincide con el valor 6−24\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} que da el método de la pregunta 9.

Parte III — Segundo regalo: la distancia a una recta.

  1. Sea dd la recta ax+by+c=0ax + by + c = 0, con vector normal n⃗(a,b)\vec n(a, b) (Proposición 16.12), y sea P(x0,y0)P(x_0, y_0) un punto. Tomando un punto AA cualquiera de dd, explica por qué la distancia de PP a dd es ∣AP→⋅n⃗∣∥n⃗∥\dfrac{\abs{\vect{AP} \cdot \vec n}}{\norm{\vec n}} y deduce la fórmula

    dist⁡(P,d)=∣ax0+by0+c∣a2+b2.\operatorname{dist}(P, d) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .

    Calcula la distancia de P(5,6)P(5, 6) a 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0.

  2. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro (5,6)(5, 6) tangente a esa recta.
  3. Contrasta la fórmula: calcula la distancia del origen a 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0 y verifícala calculando explícitamente el pie de la perpendicular desde el origen.
  4. Triángulo A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0), C(2,5)C(2,5): calcula su área tomando como base [AB][AB]; calcula después la distancia de BB a la recta (AC)(AC) y comprueba que reproduce la misma área.
  5. La circunferencia de centro (2,1)(2, 1) y radio 22, frente a la recta x+y−6=0x + y - 6 = 0: calcula la distancia del centro a la recta y clasifica su posición relativa (secante, tangente o exterior).

Parte IV — La propina: las alturas concurren.

  1. Generaliza el Ejercicio 16.11: para dos puntos cualesquiera AA y BB de punto medio II, demuestra que

    MA→⋅MB→=MI2−AB24para todo punto M.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4} \quad\text{para todo punto } M .
  2. Deduce la Proposición 16.11 en una línea: el conjunto de los puntos MM con MA→⋅MB→=0\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 es la circunferencia de diámetro [AB][AB].

  3. Las alturas: sea HH el corte de las alturas desde AA y desde BB en un triángulo ABCABC (de modo que HA→⋅BC→=0\vect{HA} \cdot \vect{BC} = 0 y HB→⋅CA→=0\vect{HB} \cdot \vect{CA} = 0). Demuestra la identidad

    HA→⋅BC→+HB→⋅CA→+HC→⋅AB→=0\vect{HA} \cdot \vect{BC} + \vect{HB} \cdot \vect{CA} + \vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0

    desarrollándolo todo desde HH con Chasles, y concluye que HH está también sobre la altura desde CC: las tres alturas son concurrentes (en el ortocentro).

  4. Final: cuatro caras, tres trofeos. ¿Qué cara del Teorema 16.2 llevó las fórmulas de adición, cuál la fórmula de la distancia y cuál el ortocentro? ¿Y por qué “calcular dos veces la misma cantidad” es el lema de todo el capítulo?
Solución

Solución de Problema 16.1.

1. u⃗⋅v⃗=−3+8=5\vec u \cdot \vec v = -3 + 8 = 5; ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = 5, ∥v⃗∥=5\norm{\vec v} = \sqrt5; cos⁡θ=555=15\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5}: θ≈63.4∘\theta \approx 63.4^\circ.

2. 6−4k=06 - 4k = 0: k=32k = \frac32.

3. W=50×10×cos⁡60∘=250W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250 julios: solo trabaja la componente en la dirección del movimiento.

4. c2=25+49−2×35×12=39c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times \frac12 = 39: c=39c = \sqrt{39}.

5. cos⁡γ=16+36−642×4×6=−14\cos\gamma = \frac{16 + 36 - 64}{2 \times 4 \times 6} = -\frac14: negativo, el ángulo es obtuso: γ≈104.5∘\gamma \approx 104.5^\circ.

6. Con coordenadas: u⃗⋅v⃗=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\vec u \cdot \vec v = \cos a \cos b + \sin a \sin b. Con geometría: son dos vectores unitarios, luego u⃗⋅v⃗=1×1×cos⁡(a−b)\vec u \cdot \vec v = 1 \times 1 \times \cos(a - b). Igualando los dos cálculos del mismo número: cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b.

7. cos⁡(a+b)=cos⁡(a−(−b))=cos⁡acos⁡(−b)+sin⁡asin⁡(−b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) + \sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b.

8. sin⁡(a+b)=cos⁡(π2−a−b)=cos⁡((π2−a)−b)=cos⁡(π2−a)cos⁡b+sin⁡(π2−a)sin⁡b=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \cos\left(\frac\pi2 - a - b\right) = \cos\left(\left(\frac\pi2 - a\right) - b\right) = \cos\left(\frac\pi2 - a\right)\cos b + \sin\left(\frac\pi2 - a\right)\sin b = \sin a \cos b + \cos a \sin b.

9. cos⁡15∘=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12=6+24≈0.966\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966. Y sin⁡75∘=cos⁡15∘\sin 75^\circ = \cos 15^\circ: el mismo valor.

10. Con b=ab = a en las preguntas 7 y 8: cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a (usando cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1), y sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2 \sin a \cos a.

11. sin⁡215∘=1−cos⁡30∘2=2−34\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} = \frac{2 - \sqrt3}{4}, luego sin⁡15∘=2−32\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}. Elevando al cuadrado 6−24\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}: 6−212+216=8−4316=2−34\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt3}{16} = \frac{2 - \sqrt3}{4}: el mismo número con dos disfraces.

12. AP→\vect{AP} se descompone en una parte paralela a dd (invisible para n⃗\vec n) y otra perpendicular a dd, cuya longitud es la distancia buscada; multiplicar escalarmente por la normal unitaria n⃗∥n⃗∥\frac{\vec n}{\norm{\vec n}} mata la primera parte y mide la segunda. Con AA en dd: AP→⋅n⃗=ax0+by0−(axA+byA)=ax0+by0+c\vect{AP} \cdot \vec n = a x_0 + b y_0 - (a x_A + b y_A) = a x_0 + b y_0 + c, de donde la fórmula. Ejemplo: ∣15+24−12∣5=275=5.4\frac{\abs{15 + 24 - 12}}{5} = \frac{27}{5} = 5.4.

13. Radio =5.4= 5.4: (x−5)2+(y−6)2=29.16(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 29.16.

14. Distancia =∣−12∣5=2.4= \frac{\abs{-12}}{5} = 2.4. Pie: la perpendicular por el origen es (3t,4t)(3t, 4t); sobre la recta: 9t+16t=129t + 16t = 12, t=1225t = \frac{12}{25}: el pie es (3625,4825)\left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right), a distancia 5t=6025=2.45t = \frac{60}{25} = 2.4. La fórmula y el cálculo honrado coinciden.

15. Base AB=6AB = 6 y altura == distancia de CC a (AB)(AB) (el eje y=0y = 0): 55; área 1515. Recta (AC)(AC): 5x−2y=05x - 2y = 0, y dist⁡(B,(AC))=∣30∣29\operatorname{dist}(B, (AC)) = \frac{\abs{30}}{\sqrt{29}}; entonces 12×AC×3029=12×29×3029=15\frac12 \times AC \times \frac{30}{\sqrt{29}} = \frac12 \times \sqrt{29} \times \frac{30}{\sqrt{29}} = 15: la misma área, con cualquiera de las dos alturas.

16. dist⁡=∣2+1−6∣2=32≈2.12>2\operatorname{dist} = \frac{\abs{2 + 1 - 6}}{\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2.12 > 2: la recta pasa de largo sin tocar la circunferencia; son exteriores.

17. Intercalamos II: MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→+IB→)=MI2+MI→⋅(IA→+IB→)+IA→⋅IB→\vect{MA} \cdot \vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA}) \cdot (\vect{MI} + \vect{IB}) = MI^2 + \vect{MI} \cdot (\vect{IA} + \vect{IB}) + \vect{IA} \cdot \vect{IB}. El término central muere (IA→+IB→=0⃗\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0) y IA→⋅IB→=−IA2=−AB24\vect{IA} \cdot \vect{IB} = -IA^2 = -\frac{AB^2}{4} (vectores opuestos de longitud AB2\frac{AB}2).

18. MA→⋅MB→=0  ⟺  MI2=AB24  ⟺  MI=AB2\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 \iff MI^2 = \frac{AB^2}{4} \iff MI = \frac{AB}{2}: la circunferencia de centro II y radio AB2\frac{AB}2, o sea, la de diámetro [AB][AB].

19. Desarrollando cada pareja desde HH (BC→=HC→−HB→\vect{BC} = \vect{HC} - \vect{HB}, etc.):

HA→⋅HC→−HA→⋅HB→+HB→⋅HA→−HB→⋅HC→+HC→⋅HB→−HC→⋅HA→=0:\vect{HA} \cdot \vect{HC} - \vect{HA} \cdot \vect{HB} + \vect{HB} \cdot \vect{HA} - \vect{HB} \cdot \vect{HC} + \vect{HC} \cdot \vect{HB} - \vect{HC} \cdot \vect{HA} = 0 :

todo se cancela por parejas; la identidad vale para cuatro puntos cualesquiera. Para nuestro HH, los dos primeros productos escalares se anulan por hipótesis, luego HC→⋅AB→=0\vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0: HH está sobre la altura desde CC. Tres alturas, un punto.

20. Las fórmulas de adición salieron de calcular un mismo producto escalar con la cara de las coordenadas y con la de las normas y el ángulo; la fórmula de la distancia, de la cara de la proyección; el ortocentro, de la cara de la bilinealidad (Chasles y desarrollar). Calcula dos veces la misma cantidad, iguala y cae un teorema: ese es todo el oficio del producto escalar.

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