7Estructuras algebraicas

Ejemplo 7.4

$(\Z, +)$,$(\Q, +)$,$(\R, +)$,$(\C, +)$;$(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$,$(\C^*, \times)$,$(\mathbb{U}_n, \times)$(raíces de unidad, Definición 3.17); el conjunto $\mathfrak{S}(E)$ de biyecciones de un conjunto $E$ sobre sí mismo, bajo composición — el grupo simétrico de $E$, no abeliano como tan pronto como $\abs E \geq 3$. No grupos:$(\N, +)$(sin inversos), $(\Z, \times)$(solo $\pm 1$ invertible).

Ejemplo 7.6 (Las simetrias de un rectangulo)

Un rectángulo (no cuadrado) admite exactamente cuatro isometrías sobre en sí: la identidad $e$, la reflexión del eje horizontal $h$, la reflexión del eje vertical $v$, y la media vuelta $r$ sobre el centro. La composición hace que este conjunto de cuatro elementos sea un grupo: cada uno elemento es su propia inversa ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), y el producto de dos elementos distintos de no identidad es el tercero ($hv = vh = r$: reflejando en ambos ejes es la media vuelta). el la tabla completa es simétrica, por lo que grupo es abeliano — sin embargo, es no el mismo grupo que las rotaciones $\mathbb U_4$ de Ejemplo 7.15: allí, $\iu$ tiene orden$4$, mientras aquí cada elemento tiene orden $\leq 2$. Dos grupos del mismo Por lo tanto, el tamaño puede tener estructuras de multiplicación realmente diferentes. — la siguiente figura muestra ambas tablas una al lado de la otra. esto grupo de cuatro elementos regresa como $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, y Ejercicio 7.7 explica por qué cualquier grupo con todos Los cuadrados triviales deben, como éste, ser abeliano.

Ejemplo 7.8

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: no vacío y para $z, w \in \mathbb{U}_n$,$(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. El subgrupos de $(\Z, +)$ son exactamente los $n\Z$(probados en Teorema 6.4). Una intersección de subgrupos es siempre una subgrupo, pero un sindicato casi nunca lo es (Ejercicio 7.6).

Ejemplo 7.12

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ es un morfismo ($\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$), biyectivo (Proposición 4.1): el aditivo y multiplicativo Las estructuras son isomórficas — la razón de ser histórica de logaritmos. Otro morfismo: $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ de $(\R, +)$ en el círculo unitario $(\mathbb{U}, \times)$, con núcleo $2\pi\Z$.

Ejemplo 7.13 (El morfismo de signo)

El envío aplicación $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ $x$ a su signo es un morfismo: el signo de un producto es el producto de los signos. Su núcleo es $\intoo0{+\infty}$(un subgrupo, como promete Definición 7.10), es imagen completa de $\{\pm1\}$: sobreyectivo, masivamente no inyectivo. Dos lecciones generales en miniatura. En primer lugar, un morfismo puede aplastar información: $s$ no recuerda nada de $x$ excepto un bit, y eso es su virtud — los argumentos de signos son exactamente los cálculos ese factor hasta $s$. En segundo lugar, morfismos a$\{\pm1\}$ son los “invariantes” más simples: la firma de permutaciones, incorporada El problema del fin de semana de este capítulo, es el mismo fenómeno en el grupo $\mathfrak S_n$, y los argumentos de paridad que impulsa a todos descender a través de un morfismo de dos valores.

Ejemplo 7.15

En $(\C^*, \times)$:$\iu$ tiene orden$4$, con $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; de manera más general,$\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ tiene orden$n$ y $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$. En $(\Z, +)$, cada $x \neq 0$ tiene orden infinito. Por qué se mantienen las afirmaciones en la definición: si $x$ tiene orden$m$, divida cualquier $k$ por $m$($k = mq + r$,$0 \leq r < m$, Teorema 6.2): $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, por lo que el ciclo de energía con período $m$, los elementos enumerados están en pares distinto por la minimalidad de $m$, y $x^k = e$ fuerza a$r = 0$. Órdenes de permutaciones se calculan en el siguiente problema de fin de semana.

Ejemplo 7.16 (Pedidos dentro de $\mathbb U_{12}$)

¿Qué es el orden de $\omega^k$ en $\mathbb U_n$, para $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$? Uno tiene $(\omega^k)^m = 1$ si $n \mid km$, y escribiendo $d = \gcd(n, k)$,$n = dn'$,$k = dk'$ con $\gcd(n', k') = 1$:$n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$(Gauss lema, Teorema 6.8). Lo mínimo como $m \geq 1$ es $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. En$\mathbb U_{12}$ por ejemplo, $\omega^8$ tiene orden$\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$(de hecho $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), mientras que $\omega^5$ tiene orden $12$: genera el grupo completo, aunque no es el generador "estándar". Contando los generadores — el $k$ con $\gcd(k, n) = 1$ — recupera los conteos coprimo de Ejemplo 2.25: grupo encuentro de teoría y conteo.

Ejemplo 7.18

$\Z, \Q, \R, \C$ son conmutativos anillos;$\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times = \Q^*$. Posteriormente: polinomio anillos$K[X]$ (Capítulo 8), matriz anillos (no conmutativa, Capítulo 21) y $\Z/n\Z$a continuación. En cada anillo,$0 \times a = 0$(de distributividad:$0a = (0+0)a = 0a + 0a$), y $(-1)a = -a$.

Ejemplo 7.19 (Idempotentes: nuevos fenómenos en nuevos anillos)

En $\Z$, la ecuación $x^2 = x$, es decir $x(x - 1) = 0$, sólo tiene las soluciones $0$ y $1$. En$\Z/6\Z$, probando todas las clases: $\overline0^2 = \overline0$,$\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ y $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — cuatro idempotentes. los dos los exóticos provienen de divisores cero: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$ sin factor cero. Tales cálculos calibran los instintos: hechos familiares sobre las ecuaciones sobreviven en dominios integrales y campos, pero un anillo general puede y lo hace comportarse de manera diferente — consulte también el booleano anillos de Ejercicio 7.10, donde el elemento cada es idempotente.

Ejemplo 7.21 (El teorema del binomio en un anillo desconocido)

Dos pagos rápidos de la generalidad. En $\Z/p\Z$($p$primo), el medio coeficientes binomiales desaparecer (El primer paso de Teorema 6.23), por lo que el teorema colapsa al el sueño del estudiante de primer año

una identidad genuina allí, por criminal que parezca $\R$. Y en cualquier anillo conmutativo que contenga un elemento $\varepsilon$ con $\varepsilon^2 = 0$, el teorema se trunca: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, todos superiores términos que llevan un factor $\varepsilon^2 = 0$. el coeficiente $n\,a^{n-1}$ de $\varepsilon$ es el derivado de $x^n$ — no es casualidad, y un primer indicio de que las derivadas son álgebra como tanto como análisis (compárese con la derivada formal de Capítulo 8).

Ejemplo 7.23

$\Q$,$\R$,$\C$ son campos;$\Z$ es un dominio integral pero no un campo. En un dominio integral, la cancelación se mantiene para $\times$:$ab = ac$ y $a \neq 0$ implican $b = c$.

Ejemplo 7.26 (¿Cuántas raíces cuadradas de $1$?)

Resuelva $x^2 = \overline 1$ en $\Z/8\Z$ y en $\Z/7\Z$. Probando el ocho clases mod $8$:$1^2 = 1$,$3^2 = 9 \equiv 1$,$5^2 = 25 \equiv 1$,$7^2 = 49 \equiv 1$ — Soluciones cuatro $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, aunque el polinomio $X^2 - 1$ tiene grado $2$. En el campo$\Z/7\Z$, por el contrario, $x^2 = \overline1$ significa $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$ y campo no tiene divisores de cero:$x = \pm\overline1$, solo dos soluciones. El mod de falla $8$ es rastreable: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ sin ninguno de los dos factor que desaparece. Moraleja: la regla familiar “un grado-$d$ La ecuación tiene como máximo raíces $d$ ” es un teorema sobre dominios integrales (Corolario 8.8 lo demuestra) campos); en anillos con cero divisores falla silenciosamente — lo cual es exactamente por qué la prueba de emparejamiento del teorema de Wilson (Ejercicio 6.11) necesario $p$primo.

Ejemplo 7.27 (Computación en $\Z/n\Z$)

En $\Z/12\Z$: las unidades son $\overline 1, \overline 5, \overline 7, \overline{11}$(las clases coprimo a$12$), y cada una es su propia inversa ($5^2 = 25 \equiv 1$,$7^2 = 49 \equiv 1$,$11^2 = 121 \equiv 1$). La ecuación $\overline 3\, x = \overline 6$ tiene tres soluciones ($x \in \{\overline 2, \overline 6, \overline{10}\}$): sin invertibilidad, sin cancelación. En $\Z/11\Z$, por el contrario, cada ecuación $\overline a x = \overline b$ con $\overline a \neq \overline 0$ tiene exactamente una solución.

Ejemplo 7.28 (Axiomas de grupo como licencia de resolución)

En grupo $\bigl((\Z/7\Z)^*, \times\bigr)$, resuelva $\overline 3\,x = \overline 5$. Por Proposición 7.5 (3) el la solución existe, es única y es igual a $\overline3^{-1}\, \overline5$; desde $\overline3 \times \overline5 = \overline{15} = \overline1$, el inverso de $\overline 3$ es $\overline 5$, entonces

El punto es menos la respuesta que la garantía: en un grupo, cada una de estas ecuaciones tiene solución única antes cualquiera cálculo, por lo que un procedimiento de resolución nunca puede encontrarse con "no solución” o “varias”. Comparar $\overline3\,x = \overline6$ en $\Z/12\Z$ arriba, donde la garantía falla — sabiendo qué La estructura en la que uno se encuentra es saber lo que uno puede dar por sentado.

Ejemplo 7.29 (Productos directos)

Si $G$ y $H$ son grupos, el producto conjunto$G \times H$ con el La ley de componentes $(g, h)(g', h') = (gg', hh')$ es una grupo: Los axiomas se verifican coordenada por coordenada, con identidad. $(e_G, e_H)$ e inversas $(g^{-1}, h^{-1})$. Órdenes combinar por el mcm: $(g, h)^m = (g^m, h^m)$ es la identidad si el orden de $g$ y orden de $h$ dividen $m$. Así, en $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$(aditivo) cada elemento distinto de cero tiene orden$2$ — este es exactamente el rectángulo grupo de Ejemplo 7.6 en coordenadas — mientras que $\Z/4\Z$ tiene un elemento de orden $4$: una segunda prueba sin cálculo que los dos grupos de tamaño $4$ no son isomorfos (un el isomorfismo conserva pedidos). Los productos son la forma más fácil de Fabricar grupos nuevo a partir del viejo, y el plano $\R^2 = \R \times \R$ de Capítulo 18 es el más importante de la construcción. instancia.