7Estructuras algebraicas

Ejemplo 7.4

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ (raíces de la unidad, Definición 3.17); el conjunto $\mathfrak{S}(E)$ de las biyecciones de un conjunto $E$ en sí mismo, con la composición — el grupo simétrico de $E$, no abeliano en cuanto $\abs E \geq 3$. No son grupos: $(\N, +)$ (faltan inversos), $(\Z, \times)$ (solo $\pm 1$ es invertible).

Ejemplo 7.6 (Las simetrías de un rectángulo)

Un rectángulo (no cuadrado) admite exactamente cuatro isometrías en sí mismo: la identidad $e$, la simetría respecto del eje horizontal $h$, la simetría respecto del eje vertical $v$ y el giro de media vuelta $r$ alrededor del centro. La composición hace de este conjunto de cuatro elementos un grupo: cada elemento es su propio inverso ($h^2 = v^2 = r^2 = e$) y el producto de dos elementos distintos y distintos del neutro es el tercero ($hv = vh = r$: reflejar en los dos ejes es el giro de media vuelta). La tabla completa es simétrica, luego el grupo es abeliano — y, sin embargo, no es el mismo grupo que las rotaciones $\mathbb U_4$ del Ejemplo 7.15: allí $\iu$ tiene orden $4$, mientras que aquí todo elemento tiene orden $\leq 2$. Dos grupos del mismo tamaño pueden, pues, tener estructuras multiplicativas genuinamente distintas — la figura de más abajo muestra las dos tablas una al lado de la otra. Este grupo de cuatro elementos vuelve como $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, y el Ejercicio 7.7 explica por qué todo grupo con todos los cuadrados triviales debe ser, como este, abeliano.

Ejemplo 7.8

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: es no vacío y, para $z, w \in \mathbb{U}_n$, $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. Los subgrupos de $(\Z, +)$ son exactamente los $n\Z$ (demostrado en el Teorema 6.4). Una intersección de subgrupos es siempre un subgrupo, pero una unión casi nunca lo es (Ejercicio 7.6).

Ejemplo 7.12

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ es un morfismo ($\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$) y es biyectivo (Proposición 4.1): las estructuras aditiva y multiplicativa son isomorfas — la razón de ser histórica de los logaritmos. Otro morfismo: $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ de $(\R, +)$ sobre la circunferencia unidad $(\mathbb{U}, \times)$, con núcleo $2\pi\Z$.

Ejemplo 7.13 (El morfismo del signo)

La aplicación $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ que envía $x$ a su signo es un morfismo: el signo de un producto es el producto de los signos. Su núcleo es $\intoo0{+\infty}$ (un subgrupo, como promete la Definición 7.10) y su imagen es todo $\{\pm1\}$: sobreyectivo y masivamente no inyectivo. Dos lecciones generales en miniatura. Primera: un morfismo puede aplastar información; $s$ no recuerda nada de $x$ salvo un bit, y esa es su virtud — los argumentos de signo son exactamente los cálculos que pasan por $s$. Segunda: los morfismos en $\{\pm1\}$ son los «invariantes» más simples; la signatura de las permutaciones, construida en el problema del fin de semana de este capítulo, es el mismo fenómeno sobre el grupo $\mathfrak S_n$, y todos los argumentos de paridad que mueve descienden por un morfismo bivaluado así.

Ejemplo 7.15

En $(\C^*, \times)$: $\iu$ tiene orden $4$, con $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; more generally $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ has order $n$ and $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$. En $(\Z, +)$, todo $x \neq 0$ tiene orden infinito. Por qué valen las afirmaciones de la definición: si $x$ tiene orden $m$, divídase cualquier $k$ entre $m$ ($k = mq + r$, $0 \leq r < m$, Teorema 6.2): $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, de modo que las potencias se repiten con período $m$, los elementos enumerados son distintos dos a dos por minimalidad de $m$, y $x^k = e$ obliga a $r = 0$. Los órdenes de las permutaciones se calculan en el problema del fin de semana.

Ejemplo 7.16 (Órdenes dentro de $\mathbb U_{12}$)

¿Cuál es el orden de $\omega^k$ en $\mathbb U_n$, para $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$? Se tiene $(\omega^k)^m = 1$ si y solo si $n \mid km$ y, escribiendo $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ con $\gcd(n', k') = 1$: $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (lema de Gauss, Teorema 6.8). El menor $m \geq 1$ así es $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. En $\mathbb U_{12}$, por ejemplo, $\omega^8$ tiene orden $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (en efecto, $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), mientras que $\omega^5$ tiene orden $12$: genera todo el grupo, aunque no sea el generador «estándar». Contar los generadores — los $k$ con $\gcd(k, n) = 1$ — recupera los recuentos de coprimos del Ejemplo 2.25: la teoría de grupos y la combinatoria se encuentran.

Ejemplo 7.18

$\Z, \Q, \R, \C$ son anillos conmutativos; $\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times = \Q^*$. Más adelante: anillos de polinomios $K[X]$ (Capítulo 8), anillos de matrices (no conmutativos, Capítulo 21) y $\Z/n\Z$ más abajo. En todo anillo, $0 \times a = 0$ (por distributividad: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$), y $(-1)a = -a$.

Ejemplo 7.19 (Idempotentes: fenómenos nuevos en anillos nuevos)

En $\Z$, la ecuación $x^2 = x$, es decir, $x(x - 1) = 0$, solo tiene las soluciones $0$ y $1$. En $\Z/6\Z$, probando todas las clases: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ y $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — cuatro idempotentes. Los dos exóticos vienen de los divisores de cero: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$ sin que ninguno de los factores sea cero. Cálculos así calibran la intuición: los hechos familiares sobre ecuaciones sobreviven en los dominios de integridad y en los cuerpos, pero un anillo general puede comportarse de otro modo, y lo hace — véanse también los anillos booleanos del Ejercicio 7.10, donde todo elemento es idempotente.

Ejemplo 7.21 (El teorema del binomio en un anillo poco familiar)

Dos réditos rápidos de la generalidad. En $\Z/p\Z$ ($p$ primo), los coeficientes binomiales intermedios se anulan (primer paso del Teorema 6.23), de modo que el teorema se reduce al sueño del novato

identidad genuina allí, por criminal que parezca sobre $\R$. Y en cualquier anillo conmutativo que contenga un elemento $\varepsilon$ con $\varepsilon^2 = 0$, el teorema se trunca: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, pues todos los términos superiores llevan un factor $\varepsilon^2 = 0$. El coeficiente $n\,a^{n-1}$ de $\varepsilon$ es la derivada de $x^n$ — no es casualidad, y es un primer indicio de que las derivadas son álgebra tanto como análisis (compárese con la derivada formal de Capítulo 8).

Ejemplo 7.23

$\Q$, $\R$, $\C$ son cuerpos; $\Z$ es un dominio de integridad pero no un cuerpo. En un dominio de integridad vale la simplificación para $\times$: $ab = ac$ y $a \neq 0$ implican $b = c$.

Ejemplo 7.26 (¿Cuántas raíces cuadradas de $1$?)

Resuélvase $x^2 = \overline 1$ en $\Z/8\Z$ y en $\Z/7\Z$. Probando las ocho clases módulo $8$: $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — cuatro soluciones $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, aunque el polinomio $X^2 - 1$ tenga grado $2$. En el cuerpo $\Z/7\Z$, en cambio, $x^2 = \overline1$ significa $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$, and a field has no zero divisors: $x = \pm\overline1$, solo dos soluciones. El fallo módulo $8$ es rastreable: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ sin que se anule ninguno de los factores. Moraleja: la regla familiar «una ecuación de grado $d$ tiene a lo sumo $d$ raíces» es un teorema sobre dominios de integridad (el Corolario 8.8 lo demuestra sobre cuerpos); en los anillos con divisores de cero falla en silencio — que es exactamente por lo que la demostración por emparejamiento del teorema de Wilson (Ejercicio 6.11) necesitaba $p$ primo.

Ejemplo 7.27 (Calcular en $\Z/n\Z$)

En $\Z/12\Z$: las unidades son $\overline 1, \overline 5, \overline 7, \overline{11}$ (las clases coprimas con $12$), y cada una es su propio inverso ($5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$, $11^2 = 121 \equiv 1$). La ecuación $\overline 3\, x = \overline 6$ tiene tres soluciones ($x \in \{\overline 2, \overline 6, \overline{10}\}$): sin invertibilidad no hay simplificación. En $\Z/11\Z$, en cambio, toda ecuación $\overline a x = \overline b$ con $\overline a \neq \overline 0$ tiene exactamente una solución.

Ejemplo 7.28 (Los axiomas de grupo como licencia para resolver)

En el grupo $\bigl((\Z/7\Z)^*, \times\bigr)$, resuélvase $\overline 3\,x = \overline 5$. Por la Proposición 7.5 (3), la solución existe, es única y vale $\overline3^{-1}\, \overline5$; since $\overline3 \times \overline5 = \overline{15} = \overline1$, el inverso de $\overline 3$ es $\overline 5$, luego

Lo importante no es tanto la respuesta como la garantía: en un grupo, toda ecuación así tiene solución única antes de cualquier cálculo, de modo que un procedimiento de resolución nunca puede toparse con «no hay solución» o «hay varias». Compárese con $\overline3\,x = \overline6$ en $\Z/12\Z$ de más arriba, donde la garantía falla — saber en qué estructura se está es saber qué se puede dar por supuesto.

Ejemplo 7.29 (Productos directos)

Si $G$ y $H$ son grupos, el conjunto producto $G \times H$ con la ley componente a componente $(g, h)(g', h') = (gg', hh')$ es un grupo: los axiomas se comprueban coordenada a coordenada, con neutro $(e_G, e_H)$ e inversos $(g^{-1}, h^{-1})$. Los órdenes se combinan por el mcm: $(g, h)^m = (g^m, h^m)$ es el neutro si y solo si el orden de $g$ y el de $h$ dividen los dos a $m$. Así, en $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ (additive) every nonzero element has order $2$ — que es exactamente el grupo del rectángulo del Ejemplo 7.6 en coordenadas —, mientras que $\Z/4\Z$ tiene un elemento de orden $4$: una segunda demostración, sin cálculo alguno, de que los dos grupos de tamaño $4$ no son isomorfos (un isomorfismo conserva los órdenes). Los productos son la manera más fácil de fabricar grupos nuevos a partir de otros viejos, y el plano $\R^2 = \R \times \R$ del Capítulo 18 es la instancia más importante de esta construcción.