Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

7Estructuras algebraicas

Las mismas reglas de cálculo reaparecen una y otra vez: enteros, números reales, números complejos, clases de congruencia y, pronto, polinomios (Capítulo 8), vectores y matrices (Capítulos 18 y 21). El álgebra extrae los patrones comunes y les pone nombre: grupo, anillo, cuerpo. Demostrar un hecho una sola vez, al nivel de la estructura, lo demuestra de golpe para todos los ejemplos.

7.1 Leyes de composición

Definición 7.1

Una ley de composición en un conjunto $E$ es una aplicación $E \times E \to E$ , escrita $(x, y) \mapsto x * y$ . Es asociativa cuando $(x*y)*z = x*(y*z)$ siempre, y conmutativa cuando $x * y = y * x$ siempre. Un elemento $e$ es neutro cuando $e * x = x * e = x$ para todo $x$ ; entonces $x'$ es un inverso de $x$ cuando $x * x' = x' * x = e$ .

Proposición 7.2 (Unicidad)

Una ley tiene a lo sumo un elemento neutro; para una ley asociativa con neutro, cada elemento tiene a lo sumo un inverso.

Demostración. Si $e$ y $e'$ son neutros: $e = e * e' = e'$ . Si $x'$ y $x''$ invierten $x$ : $x' = x' * e = x' * (x * x'') = (x' * x) * x'' = e * x'' = x''$ . ∎

7.2 Grupos

Definición 7.3 (Grupo)

Un grupo $(G, *)$ es un conjunto con una ley asociativa que admite neutro y en la que todo elemento tiene inverso. El grupo es abeliano cuando la ley es conmutativa.

Ejemplo 7.4

$(\Z, +)$ , $(\Q, +)$ , $(\R, +)$ , $(\C, +)$ ; $(\Q^*, \times)$ , $(\R^*, \times)$ , $(\C^*, \times)$ , $(\mathbb{U}_n, \times)$ (raíces de la unidad, Definición 3.17); el conjunto $\mathfrak{S}(E)$ de las biyecciones de un conjunto $E$ en sí mismo, con la composición — el grupo simétrico de $E$ , no abeliano en cuanto $\abs E \geq 3$ . No son grupos: $(\N, +)$ (faltan inversos), $(\Z, \times)$ (solo $\pm 1$ es invertible).

Proposición 7.5 (Reglas de cálculo)

En un grupo $G$ (escrito multiplicativamente, con neutro $e$ ):

simplificación: $ax = ay \implies x = y$ y $xa = ya \implies x = y$ ;
$(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ y $(a^{-1})^{-1} = a$ ;
para $a, b \in G$ , cada una de las ecuaciones $ax = b$ y $xa = b$ tiene solución única ( $x = a^{-1}b$ , resp. $x = b a^{-1}$ ).

Demostración. (1) Multiplíquese por $a^{-1}$ por el lado adecuado, usando la asociatividad. (2) $(b^{-1}a^{-1})(ab) = b^{-1}(a^{-1}a)b = b^{-1}b = e$ y simétricamente; la unicidad del inverso concluye; el segundo punto es la Proposición 7.2 aplicada a $a^{-1}$ . (3) Sustitúyase y úsese (1) para la unicidad. ∎

Ejemplo 7.6 (Las simetrías de un rectángulo)

Un rectángulo (no cuadrado) admite exactamente cuatro isometrías en sí mismo: la identidad $e$ , la simetría respecto del eje horizontal $h$ , la simetría respecto del eje vertical $v$ y el giro de media vuelta $r$ alrededor del centro. La composición hace de este conjunto de cuatro elementos un grupo: cada elemento es su propio inverso ( $h^2 = v^2 = r^2 = e$ ) y el producto de dos elementos distintos y distintos del neutro es el tercero ( $hv = vh = r$ : reflejar en los dos ejes es el giro de media vuelta). La tabla completa es simétrica, luego el grupo es abeliano — y, sin embargo, no es el mismo grupo que las rotaciones $\mathbb U_4$ del Ejemplo 7.15: allí $\iu$ tiene orden $4$ , mientras que aquí todo elemento tiene orden $\leq 2$ . Dos grupos del mismo tamaño pueden, pues, tener estructuras multiplicativas genuinamente distintas — la figura de más abajo muestra las dos tablas una al lado de la otra. Este grupo de cuatro elementos vuelve como $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$ , y el Ejercicio 7.7 explica por qué todo grupo con todos los cuadrados triviales debe ser, como este, abeliano.

Dos grupos de cuatro elementos: U_4 = \e, , -1, - \ (izquierda) y el grupo del rectángulo (derecha), con las posiciones del neutro sombreadas. A la izquierda, el neutro serpentea (un elemento de orden 4 lo genera todo); a la derecha, llena la diagonal (todo elemento eleva al cuadrado a e). Ningún reetiquetado puede convertir una tabla en la otra: los grupos no son isomorfos. — Dos grupos de cuatro elementos: $\mathbb U_4 = \{e, \iu, -1, -\iu\}$ (izquierda) y el grupo del rectángulo (derecha), con las posiciones del neutro sombreadas. A la izquierda, el neutro serpentea (un elemento de orden $4$ lo genera todo); a la derecha, llena la diagonal (todo elemento eleva al cuadrado a $e$ ). Ningún reetiquetado puede convertir una tabla en la otra: los grupos no son isomorfos.

Definición 7.7 (Subgrupo)

Un subconjunto $H$ de un grupo $G$ es un subgrupo (se escribe $H \leq G$ ) cuando contiene $e$ y es estable por la ley y por la inversión. Entonces $H$ es a su vez un grupo.

Criterio: un $H \subseteq G$ no vacío es un subgrupo si y solo si

\forall x, y \in H, \quad x y^{-1} \in H .

Demostración del criterio. Un subgrupo lo cumple obviamente. Recíprocamente, sea $H \neq \emptyset$ que lo cumpla y tómese $x_0 \in H$ . Entonces $e = x_0 x_0^{-1} \in H$ ; para $y \in H$ , $y^{-1} = e\,y^{-1} \in H$ ; y para $x, y \in H$ , $xy = x (y^{-1})^{-1} \in H$ . ∎

Ejemplo 7.8

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$ : es no vacío y, para $z, w \in \mathbb{U}_n$ , $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$ . Los subgrupos de $(\Z, +)$ son exactamente los $n\Z$ (demostrado en el Teorema 6.4). Una intersección de subgrupos es siempre un subgrupo, pero una unión casi nunca lo es (Ejercicio 7.6).

Observación 7.9 (Errores frecuentes con las estructuras)

No basta con la estabilidad por la ley. $\N$ es estable por la suma dentro de $\Z$ y contiene $0$ y, sin embargo, no es subgrupo: faltan los inversos. El criterio $xy^{-1} \in H$ lo comprueba todo de una vez — pero solo después de verificar que $H \neq \emptyset$ .
Reflejos no abelianos. En un grupo general, $(ab)^2 = abab$ , que es $a^2b^2$ solo cuando $a$ y $b$ conmutan; del mismo modo, $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ , con el orden invertido. Toda identidad importada del álgebra escolar hay que rededucirla de los axiomas o marcarla como conmutativa.
Núcleo frente a imagen. $\ker f$ vive en el espacio de partida; $\operatorname{im} f$ , en el de llegada; « $f$ es inyectiva si y solo si $\ker f$ es trivial» (Proposición 7.11) no tiene análogo con la imagen ( $\operatorname{im} f = G'$ es la sobreyectividad).
Los anillos no son grupos para $\times$ . En un anillo, la mayoría de los elementos no tienen por qué ser invertibles, y simplificar por $a$ exige que $a$ sea una unidad o que el anillo sea un dominio de integridad: en $\Z/12\Z$ , $\overline3\,\overline2 = \overline3\,\overline6$ yet $\overline2 \neq \overline6$ (Ejemplo 7.27).

Definición 7.10 (Morfismo de grupos)

Sean $(G, *)$ y $(G', \star)$ grupos. Una aplicación $f \colon G \to G'$ es un morfismo cuando

\forall x, y \in G, \qquad f(x * y) = f(x) \star f(y).

Entonces $f(e_G) = e_{G'}$ y $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$ . El núcleo y la imagen de $f$ son

\ker f = f^{-1}(\{e_{G'}\}) \leq G, \qquad \operatorname{im} f = f(G) \leq G' .

Un morfismo biyectivo es un isomorfismo; su aplicación inversa es entonces automáticamente un morfismo.

Demostración de las afirmaciones. $f(e) = f(e * e) = f(e)\star f(e)$ y, simplificando $f(e)$ , se obtiene $e_{G'} = f(e)$ . Después, $f(x)\star f(x^{-1}) = f(x x^{-1}) = e_{G'}$ identifica $f(x^{-1})$ como el inverso. Núcleo: $e \in \ker f$ ; si $x, y \in \ker f$ , $f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = e$ ; se aplica el criterio. Imagen: el mismo criterio con $f(x)f(y)^{-1} = f(xy^{-1})$ . Inversa de un isomorfismo: para $u, v \in G'$ , escríbanse $u = f(x)$ , $v = f(y)$ ; entonces $f^{-1}(u \star v) = f^{-1}(f(xy)) = xy = f^{-1}(u) f^{-1}(v)$ . ∎

Proposición 7.11 (Inyectividad mediante el núcleo)

Un morfismo de grupos $f$ es inyectivo si y solo si $\ker f = \{e\}$ .

Demostración. Si $f$ es inyectivo, $\ker f$ solo puede contener la única imagen recíproca de $e_{G'}$ , que es $e$ . Recíprocamente, si $\ker f = \{e\}$ y $f(x) = f(y)$ , entonces $f(xy^{-1}) = f(x) f(y)^{-1} = e_{G'}$ , luego $xy^{-1} = e$ , i.e. $x = y$ . ∎

Ejemplo 7.12

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ es un morfismo ( $\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$ ) y es biyectivo (Proposición 4.1): las estructuras aditiva y multiplicativa son isomorfas — la razón de ser histórica de los logaritmos. Otro morfismo: $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ de $(\R, +)$ sobre la circunferencia unidad $(\mathbb{U}, \times)$ , con núcleo $2\pi\Z$ .

Ejemplo 7.13 (El morfismo del signo)

La aplicación $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ que envía $x$ a su signo es un morfismo: el signo de un producto es el producto de los signos. Su núcleo es $\intoo0{+\infty}$ (un subgrupo, como promete la Definición 7.10) y su imagen es todo $\{\pm1\}$ : sobreyectivo y masivamente no inyectivo. Dos lecciones generales en miniatura. Primera: un morfismo puede aplastar información; $s$ no recuerda nada de $x$ salvo un bit, y esa es su virtud — los argumentos de signo son exactamente los cálculos que pasan por $s$ . Segunda: los morfismos en $\{\pm1\}$ son los «invariantes» más simples; la signatura de las permutaciones, construida en el problema del fin de semana de este capítulo, es el mismo fenómeno sobre el grupo $\mathfrak S_n$ , y todos los argumentos de paridad que mueve descienden por un morfismo bivaluado así.

Definición 7.14 (Potencias, orden de un elemento)

En un grupo $G$ (notación multiplicativa), póngase $x^0 = e$ , $x^{k+1} = x^k x$ and $x^{-k} = (x^k)^{-1}$ for $k \in \N$ ; then $x^{k+l} = x^k x^l$ for all $k, l \in \Z$ , so $k \mapsto x^k$ is a morphism $(\Z, +) \to G$ cuya imagen $\langle x \rangle = \{x^k : k \in \Z\}$ es un subgrupo, el subgrupo generado por $x$ . El orden de $x$ es el menor $m \geq 1$ with $x^m = e$ if one exists (then $\langle x\rangle = \{e, x, \dots, x^{m-1}\}$ has exactly $m$ elements, and $x^k = e \iff m \mid k$ ), y $\infty$ en caso contrario.

Ejemplo 7.15

En $(\C^*, \times)$ : $\iu$ tiene orden $4$ , con $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$ ; more generally $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ has order $n$ and $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$ . En $(\Z, +)$ , todo $x \neq 0$ tiene orden infinito. Por qué valen las afirmaciones de la definición: si $x$ tiene orden $m$ , divídase cualquier $k$ entre $m$ ( $k = mq + r$ , $0 \leq r < m$ , Teorema 6.2): $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$ , de modo que las potencias se repiten con período $m$ , los elementos enumerados son distintos dos a dos por minimalidad de $m$ , y $x^k = e$ obliga a $r = 0$ . Los órdenes de las permutaciones se calculan en el problema del fin de semana.

Ejemplo 7.16 (Órdenes dentro de $\mathbb U_{12}$ )

¿Cuál es el orden de $\omega^k$ en $\mathbb U_n$ , para $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ ? Se tiene $(\omega^k)^m = 1$ si y solo si $n \mid km$ y, escribiendo $d = \gcd(n, k)$ , $n = dn'$ , $k = dk'$ con $\gcd(n', k') = 1$ : $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (lema de Gauss, Teorema 6.8). El menor $m \geq 1$ así es $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$ . En $\mathbb U_{12}$ , por ejemplo, $\omega^8$ tiene orden $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (en efecto, $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$ ), mientras que $\omega^5$ tiene orden $12$ : genera todo el grupo, aunque no sea el generador «estándar». Contar los generadores — los $k$ con $\gcd(k, n) = 1$ — recupera los recuentos de coprimos del Ejemplo 2.25: la teoría de grupos y la combinatoria se encuentran.

7.3 Anillos y cuerpos

Definición 7.17 (Anillo)

Un anillo $(A, +, \times)$ es un conjunto con dos leyes tales que: $(A, +)$ es un grupo abeliano (con neutro $0$ ); $\times$ es asociativa con elemento neutro $1$ ; y $\times$ es distributiva respecto de $+$ por los dos lados. El anillo es conmutativo cuando lo es $\times$ . Un elemento $a$ es invertible (una unidad) cuando $ab = ba = 1$ para algún $b$ ; las unidades forman un grupo $(A^\times, \times)$ .

Demostración de que las unidades forman un grupo. Estabilidad: si $a, a'$ son unidades con inversos $b, b'$ , entonces

(aa')(b'b) = a(a'b')b = a\,1\,b = ab = 1, \qquad (b'b)(aa') = 1

y simétricamente, luego $aa'$ es una unidad. El elemento $1$ es una unidad (su propio inverso), la asociatividad se hereda de $A$ , y el inverso $b$ de una unidad $a$ es a su vez una unidad (con inverso $a$ ). Así pues, $(A^\times, \times)$ cumple todos los axiomas de grupo. Todo grupo de este libro que no esté construido con permutaciones surge así: $\Q^* = \Q^\times$ , $\R^*$ , $\C^*$ , las unidades de $\Z/n\Z$ de más abajo y, más adelante, las matrices invertibles (Capítulo 21). ∎

Ejemplo 7.18

$\Z, \Q, \R, \C$ son anillos conmutativos; $\Z^\times = \{1, -1\}$ , $\Q^\times = \Q^*$ . Más adelante: anillos de polinomios $K[X]$ (Capítulo 8), anillos de matrices (no conmutativos, Capítulo 21) y $\Z/n\Z$ más abajo. En todo anillo, $0 \times a = 0$ (por distributividad: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$ ), y $(-1)a = -a$ .

Ejemplo 7.19 (Idempotentes: fenómenos nuevos en anillos nuevos)

En $\Z$ , la ecuación $x^2 = x$ , es decir, $x(x - 1) = 0$ , solo tiene las soluciones $0$ y $1$ . En $\Z/6\Z$ , probando todas las clases: $\overline0^2 = \overline0$ , $\overline1^2 = \overline1$ , $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ y $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — cuatro idempotentes. Los dos exóticos vienen de los divisores de cero: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$ sin que ninguno de los factores sea cero. Cálculos así calibran la intuición: los hechos familiares sobre ecuaciones sobreviven en los dominios de integridad y en los cuerpos, pero un anillo general puede comportarse de otro modo, y lo hace — véanse también los anillos booleanos del Ejercicio 7.10, donde todo elemento es idempotente.

Proposición 7.20 (Teorema del binomio en un anillo conmutativo)

Si $a, b$ son elementos de un anillo conmutativo (más en general, si $ab = ba$ ), entonces, para $n \in \N$ :

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k}, \qquad a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{\,n-1-k} .

Demostración. Las demostraciones del Teorema 2.16 y de la identidad geométrica solo usan la asociatividad, la conmutatividad de los dos elementos y la distributividad — se aplican literalmente. ∎

Ejemplo 7.21 (El teorema del binomio en un anillo poco familiar)

Dos réditos rápidos de la generalidad. En $\Z/p\Z$ ( $p$ primo), los coeficientes binomiales intermedios se anulan (primer paso del Teorema 6.23), de modo que el teorema se reduce al sueño del novato

(a + b)^p = a^p + b^p \qquad \text{en } \Z/p\Z ,

identidad genuina allí, por criminal que parezca sobre $\R$ . Y en cualquier anillo conmutativo que contenga un elemento $\varepsilon$ con $\varepsilon^2 = 0$ , el teorema se trunca: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$ , pues todos los términos superiores llevan un factor $\varepsilon^2 = 0$ . El coeficiente $n\,a^{n-1}$ de $\varepsilon$ es la derivada de $x^n$ — no es casualidad, y es un primer indicio de que las derivadas son álgebra tanto como análisis (compárese con la derivada formal de Capítulo 8).

Definición 7.22 (Dominio de integridad, cuerpo)

Un anillo conmutativo $A \neq \{0\}$ es un dominio de integridad cuando no tiene divisores de cero: $ab = 0 \implies a = 0$ o $b = 0$ . Es un cuerpo cuando todo elemento no nulo es invertible. Todo cuerpo es un dominio de integridad ( $ab = 0$ y $a \neq 0$ dan $b = a^{-1}ab = 0$ ).

Ejemplo 7.23

$\Q$ , $\R$ , $\C$ son cuerpos; $\Z$ es un dominio de integridad pero no un cuerpo. En un dominio de integridad vale la simplificación para $\times$ : $ab = ac$ y $a \neq 0$ implican $b = c$ .

7.4 El anillo $\Z/n\Z$

Definición 7.24

Fíjese $n \in \N^*$ . Las clases de congruencia módulo $n$ (Ejemplo 1.32) forman un conjunto $\Z/n\Z$ de $n$ elementos, escritas $\overline 0, \overline 1, \dots, \overline{n-1}$ . Las operaciones

\overline a + \overline b = \overline{a + b}, \qquad \overline a \times \overline b = \overline{ab}

están bien definidas — las clases de los resultados no dependen de los representantes, precisamente porque la congruencia es compatible con $+$ y $\times$ (Definición 6.18) — y hacen de $\Z/n\Z$ un anillo conmutativo.

Teorema 7.25 (Unidades de $\Z/n\Z$ ; los cuerpos $\Z/p\Z$ )

$\overline a$ es invertible en $\Z/n\Z$ si y solo si $\gcd(a, n) = 1$ .
$\Z/n\Z$ es un cuerpo si y solo si $n$ es primo.

Demostración. (1) es la Proposición 6.20 reescrita con clases.

(2) Si $n = p$ es primo, todo $\overline a \neq \overline 0$ tiene $p \nmid a$ , so $\gcd(a, p) = 1$ : invertible by (1) — a field. If $n = ab$ con $1 < a, b < n$ , entonces $\overline a\, \overline b = \overline n = \overline 0$ with $\overline a, \overline b \neq \overline 0$ : divisores de cero, así que ni siquiera es un dominio de integridad; y $n = 1$ da el anillo nulo, excluido. ∎

Ejemplo 7.26 (¿Cuántas raíces cuadradas de $1$ ?)

Resuélvase $x^2 = \overline 1$ en $\Z/8\Z$ y en $\Z/7\Z$ . Probando las ocho clases módulo $8$ : $1^2 = 1$ , $3^2 = 9 \equiv 1$ , $5^2 = 25 \equiv 1$ , $7^2 = 49 \equiv 1$ — cuatro soluciones $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$ , aunque el polinomio $X^2 - 1$ tenga grado $2$ . En el cuerpo $\Z/7\Z$ , en cambio, $x^2 = \overline1$ significa $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$ , and a field has no zero divisors: $x = \pm\overline1$ , solo dos soluciones. El fallo módulo $8$ es rastreable: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ sin que se anule ninguno de los factores. Moraleja: la regla familiar «una ecuación de grado $d$ tiene a lo sumo $d$ raíces» es un teorema sobre dominios de integridad (el Corolario 8.8 lo demuestra sobre cuerpos); en los anillos con divisores de cero falla en silencio — que es exactamente por lo que la demostración por emparejamiento del teorema de Wilson (Ejercicio 6.11) necesitaba $p$ primo.

Ejemplo 7.27 (Calcular en $\Z/n\Z$ )

En $\Z/12\Z$ : las unidades son $\overline 1, \overline 5, \overline 7, \overline{11}$ (las clases coprimas con $12$ ), y cada una es su propio inverso ( $5^2 = 25 \equiv 1$ , $7^2 = 49 \equiv 1$ , $11^2 = 121 \equiv 1$ ). La ecuación $\overline 3\, x = \overline 6$ tiene tres soluciones ( $x \in \{\overline 2, \overline 6, \overline{10}\}$ ): sin invertibilidad no hay simplificación. En $\Z/11\Z$ , en cambio, toda ecuación $\overline a x = \overline b$ con $\overline a \neq \overline 0$ tiene exactamente una solución.

Ejemplo 7.28 (Los axiomas de grupo como licencia para resolver)

En el grupo $\bigl((\Z/7\Z)^*, \times\bigr)$ , resuélvase $\overline 3\,x = \overline 5$ . Por la Proposición 7.5 (3), la solución existe, es única y vale $\overline3^{-1}\, \overline5$ ; since $\overline3 \times \overline5 = \overline{15} = \overline1$ , el inverso de $\overline 3$ es $\overline 5$ , luego

x = \overline5 \times \overline5 = \overline{25} = \overline4, \qquad\text{comprobación: } \overline3 \times \overline4 = \overline{12} = \overline5 .

Lo importante no es tanto la respuesta como la garantía: en un grupo, toda ecuación así tiene solución única antes de cualquier cálculo, de modo que un procedimiento de resolución nunca puede toparse con «no hay solución» o «hay varias». Compárese con $\overline3\,x = \overline6$ en $\Z/12\Z$ de más arriba, donde la garantía falla — saber en qué estructura se está es saber qué se puede dar por supuesto.

Ejemplo 7.29 (Productos directos)

Si $G$ y $H$ son grupos, el conjunto producto $G \times H$ con la ley componente a componente $(g, h)(g', h') = (gg', hh')$ es un grupo: los axiomas se comprueban coordenada a coordenada, con neutro $(e_G, e_H)$ e inversos $(g^{-1}, h^{-1})$ . Los órdenes se combinan por el mcm: $(g, h)^m = (g^m, h^m)$ es el neutro si y solo si el orden de $g$ y el de $h$ dividen los dos a $m$ . Así, en $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ (additive) every nonzero element has order $2$ — que es exactamente el grupo del rectángulo del Ejemplo 7.6 en coordenadas —, mientras que $\Z/4\Z$ tiene un elemento de orden $4$ : una segunda demostración, sin cálculo alguno, de que los dos grupos de tamaño $4$ no son isomorfos (un isomorfismo conserva los órdenes). Los productos son la manera más fácil de fabricar grupos nuevos a partir de otros viejos, y el plano $\R^2 = \R \times \R$ del Capítulo 18 es la instancia más importante de esta construcción.

Observación 7.30 (Fermat, estructuralmente)

En el cuerpo $\Z/p\Z$ , las clases no nulas forman un grupo multiplicativo de $p - 1$ elementos, y el pequeño teorema de Fermat (Teorema 6.23) dice: todo elemento $x$ de ese grupo cumple $x^{p-1} = \overline 1$ . Es un caso particular de un hecho general sobre grupos finitos (el teorema de Lagrange), demostrado en el segundo año; la demostración por emparejamiento del teorema de Wilson (Ejercicio 6.11) ya tenía este sabor de teoría de grupos.

Observación 7.31 (Interludio: qué compra la abstracción)

Es legítimo preguntarse qué se ha ganado demostrando, por ejemplo, la Proposición 7.2 para una ley abstracta en lugar de para números. La respuesta es apalancamiento. Ese argumento de dos líneas cubre ya, de golpe: los inversos de funciones para la composición (Teorema 1.24, cuya demostración de unicidad repite palabra por palabra), los inversos módulo $n$ (Proposición 6.20), los inversos de los reales no nulos, los de las unidades de cualquier anillo y — sin haberlas visto todavía — los de las matrices invertibles del Capítulo 21, donde la unicidad de $A^{-1}$ no necesitará ni una línea de demostración. La misma economía vale para la Proposición 7.11 (un solo criterio de inyectividad, reutilizado para las aplicaciones lineales en el Capítulo 20) y para el criterio de subgrupo. La abstracción no es aquí generalidad porque sí: es la negativa a demostrar cinco veces el mismo lema con cinco nombres distintos. El precio — llevar la cuenta de qué axiomas usa realmente cada enunciado — es exactamente lo que entrenan los ejercicios de este capítulo.

Observación 7.32 (Dónde se usa este capítulo)

El vocabulario de este capítulo es la gramática del resto del volumen. Los anillos y los cuerpos organizan el Capítulo 8 ( $K[X]$ es un anillo que imita a $\Z$ ) y el Capítulo 9 ( $K(X)$ es su cuerpo de fracciones); los espacios vectoriales (Capítulo 18) son grupos abelianos sobre los que actúa un cuerpo; las matrices (Capítulo 21) forman el primer anillo seriamente no conmutativo del volumen, y sus elementos invertibles un grupo cuyo estudio es el álgebra lineal misma. Los morfismos y los núcleos vuelven como aplicaciones lineales y núcleos en el Capítulo 20 — la Proposición 7.11 es el criterio de inyectividad de aquel capítulo, demostrado aquí de una vez por todas. El grupo simétrico, protagonista del problema del fin de semana, suministra la signatura sobre la que se construyen los determinantes en el Capítulo 22.

7.5 Ejercicios

Ejercicio 7.1 ★

En $E = \R \setminus \{1\}$ se define $x * y = x + y - xy$ . Demuéstrese que $(E, *)$ es un grupo abeliano. (Identifíquense el neutro y el inverso de $x$ ; compruébese la estabilidad: ¿por qué $x * y \neq 1$ ?)

Solución

Solución de Ejercicio 7.1.

Estabilidad: $x * y = 1 \iff x + y - xy = 1 \iff (1-x)(1-y) = 0$ , imposible para $x, y \neq 1$ . De hecho, la identidad clave es

1 - x * y = (1 - x)(1 - y):

la aplicación $\varphi(x) = 1 - x$ envía $(E, *)$ en $(\R^*, \times)$ con $\varphi(x * y) = \varphi(x)\varphi(y)$ — un morfismo biyectivo. Todos los axiomas se transportan ahora: la asociatividad y la conmutatividad se siguen de las de $\times$ ; el neutro es $\varphi^{-1}(1) = 0$ (compruébese: $x * 0 = x$ ); el inverso de $x$ es $\varphi^{-1}\bigl((1-x)^{-1}\bigr) = 1 - \frac{1}{1-x} = \frac{x}{x - 1}$ (que es $\neq 1$ ). Así pues, $(E, *)$ es un grupo abeliano.

Ejercicio 7.2 ★

¿Cuáles de los siguientes son grupos?

$(\intoo{0}{+\infty}, \times)$ ;
$(\{-1, 0, 1\}, +)$ ;
$(\Q^*, \times)$ ;
el conjunto de los enteros impares con la suma.

Solución

Solución de Ejercicio 7.2.

Sí: el producto de positivos es positivo, neutro $1$ , inverso $\frac 1x$ , asociatividad heredada de $\R^*$ .
No: no es estable ( $1 + 1 = 2 \notin \{-1,0,1\}$ ).
Sí: el ejemplo estándar.
No: no es estable (impar $+$ impar $=$ par) y no hay neutro ( $0$ es par).

Ejercicio 7.3 ★

Escríbase la tabla de composición del grupo simétrico $\mathfrak{S}_3$ de $\{1,2,3\}$ (seis biyecciones: la identidad, tres transposiciones y dos $3$ -ciclos), y exhíbanse dos elementos que no conmuten.

Solución

Solución de Ejercicio 7.3.

Escríbanse $\mathrm{id}$ , las transposiciones $\tau_{12}, \tau_{13}, \tau_{23}$ (que intercambian los dos puntos indicados) y los ciclos $c = (1\,2\,3)$ (es decir, $1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 1$ ) y $c^2 = (1\,3\,2)$ . La tabla de $\sigma\rho$ (fila $\sigma$ , columna $\rho$ , aplicando primero $\rho$ ):

$\sigma\backslash\rho$	$\mathrm{id}$	$c$	$c^2$	$\tau_{12}$	$\tau_{13}$	$\tau_{23}$
$\mathrm{id}$	$\mathrm{id}$	$c$	$c^2$	$\tau_{12}$	$\tau_{13}$	$\tau_{23}$
$c$	$c$	$c^2$	$\mathrm{id}$	$\tau_{13}$	$\tau_{23}$	$\tau_{12}$
$c^2$	$c^2$	$\mathrm{id}$	$c$	$\tau_{23}$	$\tau_{12}$	$\tau_{13}$
$\tau_{12}$	$\tau_{12}$	$\tau_{23}$	$\tau_{13}$	$\mathrm{id}$	$c^2$	$c$
$\tau_{13}$	$\tau_{13}$	$\tau_{12}$	$\tau_{23}$	$c$	$\mathrm{id}$	$c^2$
$\tau_{23}$	$\tau_{23}$	$\tau_{13}$	$\tau_{12}$	$c^2$	$c$	$\mathrm{id}$

Par que no conmuta: $\tau_{12}\tau_{13} = c^2$ mientras que $\tau_{13}\tau_{12} = c$ . (Para comprobar una entrada: $\tau_{12}\tau_{13}$ envía $1 \xmapsto{\tau_{13}} 3 \xmapsto{\tau_{12}} 3$ , $3 \mapsto 1 \mapsto 2$ , $2 \mapsto 2 \mapsto 1$ : es decir, $1 \mapsto 3 \mapsto 2 \mapsto 1$ , el ciclo $c^2 = (1\,3\,2)$ .)

Ejercicio 7.4 ★

Demuéstrese que $H = \{z \in \C^* : \abs z = 1\}$ es un subgrupo de $(\C^*, \times)$ , y que $\R_+^*$ es otro; ¿es $H \cup \R_+^*$ un subgrupo?

Solución

Solución de Ejercicio 7.4.

$H$ : $1 \in H$ ; para $z, w \in H$ , $\abs{zw^{-1}} = \abs z / \abs w = 1$ : se aplica el criterio. $\R_+^*$ : igual, con $\abs{xy^{-1}}$ sustituido por la positividad. Unión: $\iu \in H$ y $2 \in \R_+^*$ , pero $2\iu$ tiene módulo $2 \neq 1$ y no es un real positivo: $2\iu \notin H \cup \R_+^*$ , luego la unión no es estable — no es un subgrupo (como predice el Ejercicio 7.6, pues ninguno de los dos subgrupos contiene al otro).

Ejercicio 7.5 ★★

Sea $f \colon (\R, +) \to (\C^*, \times)$ , $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ . Demuéstrese que $f$ es un morfismo, calcúlense $\ker f$ e $\operatorname{im} f$ y dedúzcase de la Proposición 7.11 que $f$ no es inyectivo. Restrínjase el dominio para hacerlo inyectivo en un intervalo lo mayor posible.

Solución

Solución de Ejercicio 7.5.

Morfismo: $\eu^{\iu(\theta + \varphi)} = \eu^{\iu\theta}\eu^{\iu\varphi}$ (Teorema 3.7). Núcleo: $\eu^{\iu\theta} = 1 \iff \theta \in 2\pi\Z$ , luego $\ker f = 2\pi\Z \neq \{0\}$ : no es inyectivo. Imagen: todo complejo unimodular es $\eu^{\iu\theta}$ para algún $\theta$ (forma polar), luego $\operatorname{im} f = \mathbb{U}$ , la circunferencia unidad. La restricción de $f$ a un intervalo semiabierto de longitud $2\pi$ , como $\intco{0}{2\pi}$ o $\intoc{-\pi}{\pi}$ , es inyectiva (dos ángulos con la misma imagen difieren en un múltiplo de $2\pi$ , y solo un representante de cada clase cabe en el intervalo); ningún intervalo de longitud mayor sirve, pues contiene dos puntos a distancia $2\pi$ .

Ejercicio 7.6 ★★

Sean $H, K$ subgrupos de $G$ . Demuéstrese que $H \cap K$ es un subgrupo y que $H \cup K$ es un subgrupo solo cuando $H \subseteq K$ o $K \subseteq H$ . (Si $h \in H \setminus K$ y $k \in K \setminus H$ , ¿dónde puede vivir $hk$ ?)

Solución

Solución de Ejercicio 7.6.

Intersección: $e \in H \cap K$ , y $x, y \in H \cap K$ da $xy^{-1}$ tanto en $H$ como en $K$ . Unión: si $H \subseteq K$ , la unión es $K$ , un subgrupo (y simétricamente). Recíprocamente, supóngase que no se da ninguna de las dos inclusiones: tómense $h \in H \setminus K$ y $k \in K \setminus H$ , y supóngase que $H \cup K$ fuese un subgrupo; entonces $hk \in H \cup K$ . Si $hk \in H$ , entonces $k = h^{-1}(hk) \in H$ : contradicción. Si $hk \in K$ , entonces $h = (hk)k^{-1} \in K$ : contradicción. Luego $H \cup K$ no es un subgrupo.

Ejercicio 7.7 ★★

Un grupo $G$ cumple $x^2 = e$ para todo $x \in G$ . Demuéstrese que $G$ es abeliano. (Desarróllese $(xy)^2$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 7.7.

Obsérvese primero que $x^2 = e$ significa $x^{-1} = x$ para todo $x$ . Entonces, para $x, y \in G$ :

xy = (xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1} = yx ,

usando la Proposición 7.5 (2). Luego $G$ es abeliano.

Ejercicio 7.8 ★★

En $\Z/18\Z$ : enumérense las unidades y hállese el inverso de $\overline 5$ ; resuélvase $\overline 5\, x = \overline 7$ ; resuélvase $\overline 6\, x = \overline 3$ and $\overline 6\, x = \overline{12}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.8.

Unidades de $\Z/18\Z$ : las clases coprimas con $18 = 2 \times 3^2$ : $\overline 1, \overline 5, \overline 7, \overline{11}, \overline{13}, \overline{17}$ . Inverso de $\overline 5$ : $5 \times 11 = 55 = 3\times 18 + 1$ , luego $\overline 5^{-1} = \overline{11}$ .

$\overline 5 x = \overline 7$ : multiplíquese por $\overline{11}$ : $x = \overline{77} = \overline 5$ (pues $77 = 4\times 18 + 5$ ). Solución única.

$\overline 6 x = \overline 3$ : la ecuación $6x \equiv 3 \pmod{18}$ significa $18 \mid 6x - 3$ . Pero $6x - 3 = 3(2x - 1)$ es impar, mientras que $18$ es par: un número par no puede dividir a uno impar. No hay solución.

$\overline 6 x = \overline{12}$ : $6x \equiv 12 \pmod{18} \iff x \equiv 2 \pmod 3$ : soluciones $x \in \{\overline 2, \overline 5, \overline 8, \overline{11}, \overline{14}, \overline{17}\}$ — seis en total.

Ejercicio 7.9 ★★

Demuéstrese que el conjunto $\Z[\sqrt 2] = \{a + b\sqrt 2 : a, b \in \Z\}$ es un anillo (un subanillo de $\R$ ), y que $1 + \sqrt 2$ es una unidad suya con infinitas potencias distintas — de modo que $\Z[\sqrt 2]^\times$ es infinito, a diferencia de $\Z^\times$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.9.

$\Z[\sqrt 2]$ contiene $0$ y $1$ , y es estable por resta y por producto:

(a + b\sqrt 2)(c + d\sqrt 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt 2 ,

luego es un subanillo de $\R$ (la conmutatividad, la asociatividad y la distributividad se heredan). Unidad: $(1 + \sqrt 2)(-1 + \sqrt 2) = 2 - 1 = 1$ , así que $1 + \sqrt 2$ es invertible con inverso $\sqrt 2 - 1 \in \Z[\sqrt 2]$ . Sus potencias $(1 + \sqrt 2)^n$ son estrictamente crecientes (la base es $> 1$ ), luego distintas dos a dos, y cada una es una unidad ( $\bigl((1+\sqrt2)^n\bigr)^{-1} = (\sqrt 2 - 1)^n$ ): el grupo de unidades es infinito.

Ejercicio 7.10 ★★★

(Anillos booleanos) Sea $A$ un anillo en el que $x^2 = x$ para todo $x$ . Demuéstrese que $x + x = 0$ para todo $x$ y que $A$ es conmutativo. (Desarróllense $(x+x)^2$ y $(x+y)^2$ .) Dese un ejemplo de un anillo así con $\mathcal{P}(E)$ , tomando la diferencia simétrica como suma y la intersección como producto.

Solución

Solución de Ejercicio 7.10.

$x + x = (x + x)^2 = x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = 4x^2 = 4x$ — luego $2x = 4x$ , de donde $2x = 0$ , es decir, $x + x = 0$ (cada elemento es su propio inverso aditivo). Entonces

x + y = (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x + xy + yx + y ,

luego $xy + yx = 0$ , es decir, $xy = -yx = yx$ (usando $-z = z$ ). Por tanto, $A$ es conmutativo.

Ejemplo: en $\mathcal{P}(E)$ , defínanse $A + B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ (diferencia simétrica) y $A \times B = A \cap B$ . Se comprueba que $(\mathcal{P}(E), +)$ es un grupo abeliano con neutro $\emptyset$ y cada conjunto como su propio inverso; que $\cap$ es asociativa y conmutativa, con neutro $E$ ; y que vale la distributividad $A \cap (B + C) = (A \cap B) + (A \cap C)$ (un elemento está en el miembro izquierdo si y solo si está en $A$ y en exactamente uno de $B, C$ ). Y $A \cap A = A$ : todo elemento es idempotente, como se pedía.

Ejercicio 7.11 ★★★

Sea $G$ un grupo en el que, para cierto $n \geq 1$ fijo, $(xy)^n = x^n y^n$ , $(xy)^{n+1} = x^{n+1}y^{n+1}$ y $(xy)^{n+2} = x^{n+2}y^{n+2}$ para todos $x, y$ . Demuéstrese que $G$ es abeliano. (De las tres identidades dedúzcase primero $y^n x = x y^n$ , después $y^{n+1} x = x y^{n+1}$ , y conclúyase.)

Solución

Solución de Ejercicio 7.11.

Escríbase la hipótesis para $n$ y para $n+1$ :

(xy)^{n+1} = x^{n+1} y^{n+1} \quad\text{and}\quad (xy)^{n+1} = (xy)(xy)^n = xy\,x^n y^n .

Igualando: $x^{n+1} y^{n+1} = x\,y\,x^n\,y^n$ ; simplifíquese $x$ por la izquierda e $y^n$ por la derecha: $x^n y = y x^n$ . El mismo cálculo un grado más arriba ( $n+1$ y $n+2$ ) da $x^{n+1} y = y x^{n+1}$ . Entonces

y\,x^{n+1} = x^{n+1} y = x\,(x^n y) = x\,y\,x^n ,

y, simplificando $x^n$ por la derecha en $y x \cdot x^n = x y \cdot x^n$ : $yx = xy$ . Luego $G$ es abeliano.

Ejercicio 7.12 ★★

Determínense todos los morfismos de grupos de $(\Z, +)$ en $(\Z, +)$ .
Demuéstrese que el único morfismo de grupos de $(\Q, +)$ en $(\Z, +)$ es el morfismo nulo. (Para $x \in \Q$ y $n \in \N^*$ , compárense $f(x)$ y $n\,f(x/n)$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 7.12.

Sea $f \colon \Z \to \Z$ aditiva y $a = f(1)$ . Por inducción, $f(k) = ka$ para $k \in \N$ , y $f(-k) = -f(k) = -ka$ : así pues, $f$ es la multiplicación por $a$ . Recíprocamente, toda aplicación $k \mapsto ak$ es un morfismo: los morfismos $(\Z,+) \to (\Z,+)$ son exactamente las multiplicaciones por un entero fijo.
Sea $f \colon \Q \to \Z$ un morfismo, $x \in \Q$ y $n \in \N^*$ . Entonces

$f(x) = f\Bigl(\underbrace{\tfrac xn + \dots + \tfrac xn}_{n}\Bigr) = n\,f\Bigl(\frac xn\Bigr) ,$

de modo que el entero $f(x)$ es divisible por todo $n \geq 1$ . El único entero así es $0$ : $f \equiv 0$ .

7.6 Problema: el grupo simétrico y el rompecabezas del 8

Problema 7.1

El grupo $\mathfrak S_n$ de las permutaciones de $\intint1n$ es el grupo más antiguo de las matemáticas y sigue siendo el más instructivo. Este problema construye su teoría de estructura desde cero — ciclos, generación por transposiciones, el morfismo signatura $\varepsilon \colon \mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ (cuya existencia no es en absoluto trivial) y el grupo alternado $\mathfrak A_n$ generado por los $3$ -ciclos — y lo rentabiliza después en un rompecabezas clásico: en el juego de fichas deslizantes $3 \times 3$ , ninguna sucesión de movimientos puede intercambiar dos fichas y dejar todo lo demás en su sitio. Las permutaciones actúan sobre $\intint1n$ ; los productos $\sigma\tau$ significan «aplíquese primero $\tau$ »; $[\,v_1, \dots, v_n]$ denota la permutación que envía $i$ a $v_i$ .

Parte I — Ciclos y transposiciones.

Justifíquese $\abs{\mathfrak S_n} = n!$ (Teorema 2.12). En $\mathfrak S_3$ , calcúlense los dos productos de $\sigma = [2, 3, 1]$ y $\tau = [1, 3, 2]$ , y conclúyase que $\mathfrak S_3$ no es abeliano.
Un $k$ -ciclo $(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)$ ( $k \geq 2$ , con los $a_i$ distintos dos a dos) envía $a_1 \mapsto a_2 \mapsto \dots \mapsto a_k \mapsto a_1$ y deja fijo todo lo demás; su soporte es $\{a_1, \dots, a_k\}$ . Demuéstrese que dos ciclos de soportes disjuntos conmutan.
Demuéstrese que toda $\sigma \in \mathfrak S_n$ es producto de ciclos de soportes disjuntos dos a dos, y que esa descomposición es única salvo el orden de los factores. (Considérese, para cada $i$ , la sucesión $i, \sigma(i), \sigma^2(i), \dots$ : tiene que volver a $i$ ; las órbitas resultantes parten $\intint1n$ , y $\sigma$ actúa sobre cada una como un ciclo.)
Descompóngase $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6] \in \mathfrak S_8$ en ciclos disjuntos. Definiendo el orden de $\sigma$ como en el Definición 7.14, demuéstrese que el orden de un producto de ciclos disjuntos es el mcm de sus longitudes, y calcúlese el orden de esta $\sigma$ .
Demuéstrese la identidad telescópica

$(a_1\ a_2\ \dots\ a_k) = (a_1\ a_k)(a_1\ a_{k-1})\cdots(a_1\ a_2) ,$

y conclúyase que toda permutación es producto de transposiciones. Escríbase la $\sigma$ de la pregunta 4 como un producto así.
Véase además que bastan las transposiciones contiguas $(i\ \ i{+}1)$ : para $a < b$ ,

$(a\ b) = (a\ \ a{+}1)(a{+}1\ \ a{+}2)\cdots(b{-}1\ \ b) \cdots(a{+}1\ \ a{+}2)(a\ \ a{+}1),$

un producto de $2(b - a) - 1$ transposiciones contiguas — un número impar (esta paridad importará dos veces más abajo).

Parte II — La signatura existe. Para $\sigma \in \mathfrak S_n$ , sea

N(\sigma) = \#\bigl\{(i, j) : i < j,\ \sigma(i) > \sigma(j)\bigr\}

su número de inversiones, y póngase $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{N(\sigma)}$ .

Calcúlense $N$ y $\varepsilon$ para la identidad, para una transposición $(i\ \ i{+}1)$ y para $[2, 3, 1]$ .
Demuéstrese que, para toda $\sigma$ y toda transposición contigua $\tau = (i\ \ i{+}1)$ : $N(\sigma\tau) = N(\sigma) \pm 1$ . (Componer con $\tau$ por la derecha intercambia los valores de las posiciones $i$ e $i + 1$ ; exactamente un par cambia su condición de inversión.)
Dedúzcase, usando la pregunta 6, que para cualquier transposición $\tau$ se tiene $\varepsilon(\sigma\tau) = -\varepsilon(\sigma)$ ; conclúyase que si $\sigma$ es producto de $p$ transposiciones, entonces $\varepsilon(\sigma) = (-1)^p$ — en particular, la paridad de $p$ solo depende de $\sigma$ y no de la factorización elegida — y que $\varepsilon \colon \mathfrak S_n \to \{\pm 1\}$ es un morfismo de grupos.
Véase que un $k$ -ciclo tiene signatura $(-1)^{k-1}$ y que, en general, $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{n - c(\sigma)}$ , donde $c(\sigma)$ es el número de órbitas de $\sigma$ (incluidos los puntos fijos).
El grupo alternado es $\mathfrak A_n = \ker\varepsilon$ . Justifíquese que es un subgrupo y demuéstrese que $\abs{\mathfrak A_n} = \frac{n!}2$ para $n \geq 2$ . (Fíjese una transposición $\tau_0$ y considérese $\sigma \mapsto \sigma\tau_0$ .)
Comprobación de coherencia sobre $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$ : calcúlese $\varepsilon(\sigma)$ de tres maneras — contando inversiones, a partir del tipo cíclico con la pregunta 10, y con el recuento de transposiciones de la pregunta 5.

Parte III — $\mathfrak A_n$ está generado por $3$ -ciclos.

Sean $a, b, c, d$ distintos dos a dos. Compruébense las dos identidades

$(a\ b)(a\ c) = (a\ c\ b), \qquad (a\ b)(c\ d) = (a\ c\ b)(a\ c\ d) .$
Demuéstrese que, para $n \geq 3$ , todo elemento de $\mathfrak A_n$ es producto de $3$ -ciclos. (Una permutación par es producto de un número par de transposiciones; absórbanse de dos en dos.)
Escríbanse $(1\ 2)(3\ 4)$ y el $5$ -ciclo $(1\ 2\ 3\ 4\ 5)$ explícitamente como productos de $3$ -ciclos.
Demuéstrese la fórmula de conjugación: para toda $\sigma \in \mathfrak S_n$ ,

$\sigma\,(a_1\ \dots\ a_k)\,\sigma^{-1} = \bigl(\sigma(a_1)\ \dots\ \sigma(a_k)\bigr) .$

Parte IV — El rompecabezas del 8. Las fichas $1, \dots, 8$ se deslizan en un marco $3 \times 3$ con una casilla vacía; un movimiento desliza a la casilla vacía una ficha contigua a ella. Numérense las casillas $1, \dots, 9$ (fila a fila; la posición resuelta tiene la ficha $i$ en la casilla $i$ y la casilla vacía en la casilla $9$ ). Trátese la casilla vacía como una novena ficha, de modo que una posición es una permutación $\sigma \in \mathfrak S_9$ (tile $\sigma(i)$ sits in cell $i$ ).

Véase que un movimiento sustituye $\sigma$ por $\sigma \circ \tau$ , donde $\tau$ es la transposición de las dos casillas implicadas; dedúzcase que cada movimiento cambia el signo de $\varepsilon(\sigma)$ .
Sea $d(\sigma)$ la distancia de taxi (filas más columnas) entre la casilla que ocupa el hueco y su casilla de destino $9$ . Véase que cada movimiento cambia $d$ en $\pm1$ , de modo que cada movimiento también cambia el signo de $(-1)^{d(\sigma)}$ . Conclúyase que

$I(\sigma) = \varepsilon(\sigma)\cdot(-1)^{d(\sigma)}$

es invariante bajo todo movimiento.
Demuéstrese la imposibilidad clásica del rompecabezas: la posición que intercambia las fichas $7$ y $8$ y deja todo lo demás (incluida la casilla vacía) en su sitio no se puede alcanzar desde la posición resuelta.
Admitimos el recíproco (su demostración es una inducción instructiva pero larga): toda posición con $I = +1$ es alcanzable. Dedúzcase que exactamente la mitad de las $8!$ posiciones con la casilla vacía en su sitio son resolubles, es decir, $\frac{8!}2 = 20\,160$ .
Dedúzcase de la pregunta 20 que las disposiciones de fichas alcanzables con la casilla vacía en su sitio forman exactamente el subgrupo $\mathfrak A_8 \leq \mathfrak S_8$ .
Aplicaciones del invariante: ¿se puede alcanzar (a) la posición en la que las fichas $1, 2, 3$ están permutadas cíclicamente y todo lo demás, incluida la casilla vacía, está en su sitio? ¿(b) la posición en la que la ficha $5$ y la casilla vacía han intercambiado sus lugares y todas las demás fichas están en su sitio? Justifíquense las dos respuestas con $I$ .

Parte V — Síntesis.

Demuéstrese que, para $n \geq 3$ , los únicos morfismos de grupos $f \colon \mathfrak S_n \to \{\pm 1\}$ son el morfismo constante y $\varepsilon$ . (Usando la pregunta 16 y la conmutatividad de $\{\pm1\}$ , véase que $f$ toma el mismo valor en todas las transposiciones.)
¿Dónde ha usado exactamente el problema: (i) el concepto de morfismo y la Proposición 7.11; (ii) los principios de recuento del Capítulo 2; (iii) la cuestión de la buena definición que resuelven las preguntas 8–9? Una frase para cada uno.
Síntesis, en un párrafo breve: una sola función de paridad, demostrada bien definida una única vez, organiza a la vez la estructura interna de $\mathfrak S_n$ (el subgrupo $\mathfrak A_n$ ), decide un rompecabezas físico y — mediante la fórmula $\det = \sum_\sigma \varepsilon(\sigma)\cdots$ — definirá los determinantes en el Capítulo 22. Coméntese el patrón recurrente: los invariantes convierten «pruébense todas las sucesiones de movimientos» en un único cálculo.

Solución

Solución de Problema 7.1.

1. Una permutación es una biyección de $\intint1n$ , es decir, una $n$ -variación de $n$ objetos: hay $n!$ (Teorema 2.12). Con $\sigma = [2,3,1]$ , $\tau = [1,3,2]$ : $\sigma\tau$ envía $1 \mapsto 1 \mapsto 2$ , $2 \mapsto 3 \mapsto 1$ , $3 \mapsto 2 \mapsto 3$ : $\sigma\tau = [2,1,3]$ ; y $\tau\sigma$ envía $1 \mapsto 2 \mapsto 3$ , $2 \mapsto 3 \mapsto 2$ , $3 \mapsto 1 \mapsto 1$ : $\tau\sigma = [3,2,1] \neq \sigma\tau$ .

2. Sean $\gamma, \gamma'$ de soportes disjuntos $S, S'$ . Para $x \in S$ : $\gamma'(x) = x$ y $\gamma(x) \in S$ , luego $\gamma\gamma'(x) = \gamma(x) = \gamma'\gamma(x)$ . Simétricamente para $x \in S'$ ; y los dos miembros dejan fijo todo $x \notin S \cup S'$ . Luego $\gamma\gamma' = \gamma'\gamma$ .

3. Para $i \in \intint1n$ , los valores $i, \sigma(i), \sigma^2(i), \dots$ viven en un conjunto finito, luego $\sigma^a(i) = \sigma^b(i)$ para ciertos $a < b$ ; la inyectividad da $\sigma^{b-a}(i) = i$ : la sucesión vuelve a $i$ . Llámese órbita de $i$ al conjunto $\{i, \sigma(i), \dots, \sigma^{k-1}(i)\}$ con $k \geq 1$ mínimo tal que $\sigma^k(i) = i$ . Dos órbitas que se cortan en un punto coinciden (las dos son las imágenes sucesivas de ese punto por $\sigma$ ), de modo que las órbitas parten $\intint1n$ ; $\sigma$ actúa sobre cada órbita de tamaño $k \geq 2$ como el $k$ -ciclo $(i\ \sigma(i)\ \cdots\ \sigma^{k-1}(i))$ y deja fijos los conjuntos unitarios. El producto de esos ciclos disjuntos coincide con $\sigma$ en todas partes. Unicidad: en cualquier descomposición en ciclos disjuntos, el ciclo que pasa por $i$ tiene que ser $(i\ \sigma(i)\ \cdots)$ — los ciclos están forzados a ser las órbitas con su acción inducida.

4. Siguiendo las órbitas: $1 \to 4 \to 2 \to 1$ , $3 \to 5 \to 3$ , $6 \to 7 \to 8 \to 6$ :

\sigma = (1\ 4\ 2)(3\ 5)(6\ 7\ 8) .

Si $\sigma = \gamma_1\cdots\gamma_r$ con ciclos disjuntos de longitudes $k_1, \dots, k_r$ , la conmutación (pregunta 2) da $\sigma^m = \gamma_1^m\cdots\gamma_r^m$ y, como los soportes son disjuntos, $\sigma^m = \mathrm{id}$ si y solo si cada $\gamma_i^m = \mathrm{id}$ , si y solo si $k_i \mid m$ para todo $i$ (un $k$ -ciclo tiene orden $k$ : $\gamma^m$ envía $a_1$ a $a_{1 + (m \bmod k)}$ ). El menor $m$ así es $\operatorname{lcm}(k_1, \dots, k_r)$ . Aquí: $\operatorname{lcm}(3, 2, 3) = 6$ .

5. Aplíquese el miembro derecho a cada punto, empezando por el factor de más a la derecha. $a_1 \mapsto a_2$ por $(a_1\ a_2)$ , y después todos los factores posteriores dejan fijo $a_2$ : en total, $a_1 \mapsto a_2$ . Para $2 \leq i < k$ : $a_i$ queda intacto hasta que $(a_1\ a_i)$ lo envía a $a_1$ , y el factor inmediatamente siguiente $(a_1\ a_{i+1})$ envía $a_1$ a $a_{i+1}$ , después de lo cual nada lo mueve: en total, $a_i \mapsto a_{i+1}$ . Por último, $a_k$ queda fijo por todos los factores salvo por el de más a la izquierda, que lo envía a $a_1$ . Eso es exactamente el ciclo. Como toda permutación es producto de ciclos (pregunta 3), es producto de transposiciones. Para la $\sigma$ de la pregunta 4:

\sigma = (1\ 2)(1\ 4)\;(3\ 5)\;(6\ 8)(6\ 7),

cinco transposiciones.

6. Inducción sobre $b - a$ . Para $b = a + 1$ la identidad es trivial ( $1 = 2\cdot1 - 1$ factor). Para $b > a + 1$ , compruébese directamente que $(a\ b) = (a\ \ a{+}1)\,(a{+}1\ \ b)\,(a\ \ a{+}1)$ : el miembro derecho envía $a \mapsto a{+}1 \mapsto b \mapsto b$ , $b \mapsto b \mapsto a{+}1 \mapsto a$ , $a{+}1 \mapsto a \mapsto a \mapsto a{+}1$ , y deja fijo el resto. Por inducción, $(a{+}1\ \ b)$ es un producto palindrómico de $2(b - a - 1) - 1$ transposiciones contiguas, luego $(a\ b)$ lo es de $2(b - a) - 1$ : un número impar.

7. $N(\mathrm{id}) = 0$ , $\varepsilon = +1$ . Para $(i\ \ i{+}1)$ , el único par invertido es $(i, i+1)$ : $N = 1$ , $\varepsilon = -1$ . Para $[2, 3, 1]$ : los pares invertidos son $(1, 3)$ (valores $2 > 1$ ) y $(2, 3)$ (valores $3 > 1$ ): $N = 2$ , $\varepsilon = +1$ .

8. Las listas de valores de $\sigma$ y de $\sigma\tau$ solo difieren en el intercambio de las posiciones $i$ e $i + 1$ . Para un par de posiciones que no involucre a $i, i+1$ , nada cambia. Para $k < i$ , los dos pares $(k, i)$ y $(k, i+1)$ intercambian su condición de inversión (se comparan los mismos dos valores con $\sigma(k)$ , en el otro orden de posiciones): su contribución total no varía; lo mismo para $k > i + 1$ . El único par restante, $(i, i+1)$ , cambia de condición. Por tanto, $N(\sigma\tau) = N(\sigma) \pm 1$ .

9. Sea $\tau = (a\ b)$ una transposición cualquiera: por la pregunta 6 es producto de un número impar de transposiciones contiguas, de modo que multiplicar por $\tau$ por la derecha cambia $N$ en un total impar (pregunta 8, aplicada repetidamente): $\varepsilon(\sigma \tau) = -\varepsilon(\sigma)$ . Ahora bien, si $\sigma = \tau_1\cdots \tau_p$ (transposiciones), constrúyase desde la identidad mediante $p$ multiplicaciones por la derecha: $\varepsilon(\sigma) = (-1)^p\varepsilon(\mathrm{id}) = (-1)^p$ . Como $\varepsilon(\sigma)$ se define por inversiones — independientemente de toda factorización —, la paridad de $p$ es un invariante de $\sigma$ . Morfismo: escribiendo $\sigma$ con $p$ y $\sigma'$ con $q$ transposiciones, $\sigma\sigma'$ usa $p + q$ : $\varepsilon(\sigma\sigma') = (-1)^{p+q} = \varepsilon(\sigma)\varepsilon(\sigma')$ .

10. Un $k$ -ciclo es producto de $k - 1$ transposiciones (pregunta 5): $\varepsilon = (-1)^{k-1}$ . Para $\sigma$ general con órbitas de tamaños $k_1, \dots, k_r$ ( $k_i \geq 2$ ) más $f$ puntos fijos, $c(\sigma) = r + f$ y $n = k_1 + \dots + k_r + f$ , luego

\varepsilon(\sigma) = \prod_{i=1}^r (-1)^{k_i - 1} = (-1)^{\sum_i k_i - r} = (-1)^{n - f - r} = (-1)^{n - c(\sigma)} .

11. $\mathfrak A_n = \ker\varepsilon$ es un subgrupo por ser el núcleo de un morfismo (Definición 7.10). Fíjese una transposición $\tau_0$ (existe para $n \geq 2$ ). La aplicación $\sigma \mapsto \sigma\tau_0$ es una biyección de $\mathfrak S_n$ (su propia inversa) que intercambia $\mathfrak A_n$ con el conjunto de las permutaciones impares (pregunta 9). Los dos conjuntos parten $\mathfrak S_n$ y tienen el mismo tamaño: $\abs{\mathfrak A_n} = \frac{n!}2$ .

12. Inversiones de $[4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$ : del valor $4$ , sobre $1, 2, 3$ : tres; de $5$ , sobre $2, 3$ : dos; de $7$ , sobre $6$ : una; de $8$ , sobre $6$ : una. $N = 7$ , $\varepsilon = -1$ . Tipo cíclico: $c = 3$ órbitas, $n = 8$ : $\varepsilon = (-1)^{8-3} = -1$ . Recuento de transposiciones: cinco en la pregunta 5: $(-1)^5 = -1$ . Las tres coinciden.

13. $(a\ b)(a\ c)$ (empezando por la derecha): $a \mapsto c \mapsto c$ ; $c \mapsto a \mapsto b$ ; $b \mapsto b \mapsto a$ : el $3$ -ciclo $(a\ c\ b)$ . Y $(a\ c\ b)(a\ c\ d)$ : $a \mapsto c \mapsto b$ ; $b \mapsto b \mapsto a$ ; $c \mapsto d \mapsto d$ ; $d \mapsto a \mapsto c$ : es decir, $(a\ b)(c\ d)$ , como se afirmaba.

14. Sea $\sigma \in \mathfrak A_n$ : por la pregunta 9, $\sigma = \tau_1\cdots\tau_{2m}$ con un número par de transposiciones. Agrúpense en parejas consecutivas $\tau_{2i-1}\tau_{2i}$ : si las dos son iguales, la pareja es la identidad y desaparece; si comparten exactamente un punto, la primera identidad de la pregunta 13 escribe la pareja como un $3$ -ciclo; si son disjuntas, la segunda identidad la escribe como dos $3$ -ciclos. Por tanto, $\sigma$ es producto de $3$ -ciclos (o la identidad, un producto vacío — y, para $n \geq 3$ , también $(1\ 2\ 3)^3$ ).

15. $(1\ 2)(3\ 4) = (1\ 3\ 2)(1\ 3\ 4)$ (pregunta 13 con $a{=}1, b{=}2, c{=}3, d{=}4$ ). Para el $5$ -ciclo: por la pregunta 5, $(1\ 2\ 3\ 4\ 5) = (1\ 5)(1\ 4)(1\ 3)(1\ 2)$ y, emparejando: $(1\ 5)(1\ 4) = (1\ 4\ 5)$ , $(1\ 3)(1\ 2) = (1\ 2\ 3)$ :

(1\ 2\ 3\ 4\ 5) = (1\ 4\ 5)(1\ 2\ 3) .

(Compruébese en $3$ : $(1\ 2\ 3)$ envía $3 \to 1$ , y después $(1\ 4\ 5)$ envía $1 \to 4$ : en total $3 \to 4$ , correcto.)

16. Aplíquense los dos miembros a un punto cualquiera. Para $i = \sigma(a_j)$ : el miembro izquierdo da $\sigma\bigl((a_1\ \dots\ a_k)(a_j)\bigr) = \sigma(a_{j+1})$ (índices módulo $k$ ), que es lo que el miembro derecho hace con $\sigma(a_j)$ . Para $i$ que no sea de esa forma: $\sigma^{-1}(i)$ queda fuera del soporte, luego el miembro izquierdo deja fijo $i$ , y el derecho también. Coinciden en todas partes.

17. Deslizar la ficha de la casilla $c'$ al hueco $c$ intercambia los contenidos de las casillas $c$ y $c'$ (la ficha $9$ , el hueco, pasa a $c'$ ). Si la ficha $\sigma(i)$ estaba en la casilla $i$ , la nueva posición es $\sigma' = \sigma \circ (c\ c')$ : los mismos contenidos salvo que las casillas $c, c'$ leen cada una el contenido anterior de la otra. Por la pregunta 9, $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$ .

18. Un movimiento lleva el hueco a una casilla contigua: su fila o su columna cambia en exactamente $1$ , luego la distancia de taxi $d$ a la casilla $9$ cambia en $\pm1$ y $(-1)^d$ cambia de signo. Como cada movimiento cambia el signo tanto de $\varepsilon(\sigma)$ como de $(-1)^{d(\sigma)}$ , su producto $I(\sigma)$ no varía con ningún movimiento: es un invariante.

19. La posición resuelta tiene $\varepsilon = +1$ , $d = 0$ : $I = +1$ . La posición objetivo (fichas $7, 8$ intercambiadas, hueco en su sitio) es la transposición de los contenidos de las casillas $7$ y $8$ : $\varepsilon = -1$ , $d = 0$ : $I = -1$ . Como $I$ es invariante y los dos valores difieren, ninguna sucesión de movimientos las une.

20. Una posición con el hueco en su sitio es una permutación de las $8$ fichas entre las casillas $1, \dots, 8$ , es decir, un elemento de $\mathfrak S_8$ ; tiene $d = 0$ , luego $I = \varepsilon(\sigma)$ . Ser alcanzable obliga a $I = +1$ , es decir, $\sigma \in \mathfrak A_8$ ; y el recíproco admitido dice que se alcanza todo $\mathfrak A_8$ . Recuento: $\abs{\mathfrak A_8} = \frac{8!}2 = 20\,160$ (pregunta 11).

21. Por la pregunta 20, las disposiciones alcanzables con el hueco en su sitio forman exactamente $\mathfrak A_8$ — en particular, un subgrupo de $\mathfrak S_8$ : componer dos revueltos resolubles, o invertir uno, sigue siendo resoluble, algo nada evidente razonando solo sobre el rompecabezas.

22. (a) Un $3$ -ciclo de fichas con el hueco en su sitio: $\varepsilon = +1$ (pregunta 10), $d = 0$ , luego $I = +1$ : alcanzable (por el recíproco admitido) — sí se pueden ciclar tres fichas. (b) Ficha $5$ y hueco intercambiados: la posición es la transposición de los contenidos de las casillas $5$ y $9$ , luego $\varepsilon = -1$ ; el hueco queda en el centro, a distancia de taxi $d = 2$ de su sitio, luego $(-1)^d = +1$ e $I = -1$ : inalcanzable. No se puede simplemente «aparcar el hueco en el centro» dejando las fichas por lo demás ordenadas.

23. Sea $f \colon \mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ un morfismo. Para dos transposiciones cualesquiera $\tau, \tau'$ , la pregunta 16 proporciona una $\sigma$ con $\sigma\tau\sigma^{-1} = \tau'$ (envíense los dos puntos movidos sobre los otros dos; $n \geq 3$ garantiza espacio para hacerlo, aunque incluso $n = 2$ es trivial aquí). Entonces $f(\tau') = f(\sigma)f(\tau)f(\sigma)^{-1} = f(\tau)$ , pues $\{\pm1\}$ es abeliano: $f$ es constante sobre las transposiciones. Si esa constante es $+1$ , entonces $f = 1$ sobre todos los productos de transposiciones, es decir, en todas partes (pregunta 5). Si es $-1$ , entonces $f(\sigma) = (-1)^p = \varepsilon(\sigma)$ sobre un producto de $p$ transposiciones. Luego $f \in \{1, \varepsilon\}$ .

24. (i) La condición de morfismo de $\varepsilon$ y la maquinaria del núcleo dieron a $\mathfrak A_n$ su estructura de subgrupo y su tamaño, y los razonamientos al estilo de la Proposición 7.11 recorren las preguntas 11 y 21. (ii) Recuentos: $\abs{\mathfrak S_n} = n!$ , el argumento de la mitad de la pregunta 11 y el recuento $20\,160$ de la pregunta 20 son el Capítulo 2 en acción. (iii) Las preguntas 8–9 resuelven un genuino problema de buena definición — «la paridad del número de transposiciones» presupone que esa paridad no depende de la factorización, exactamente igual que las operaciones de $\Z/n\Z$ exigían independencia del representante en Definición 7.24.

25. La signatura es un único cálculo con valores en $\{\pm1\}$ , demostrado bien definido una sola vez, y hace tres trabajos a la vez: internamente, corta $\mathfrak S_n$ por la mitad y aísla $\mathfrak A_n$ con sus generadores $3$ -ciclos; externamente, decide en una línea una pregunta («¿se pueden intercambiar estas dos fichas?») que ninguna búsqueda ingenua podría zanjar, pues ninguna lista finita de secuencias fallidas demuestra la imposibilidad; y estructuralmente, es el motor de signos alternados que hay dentro de la fórmula $\det A = \sum_\sigma \varepsilon(\sigma)\, a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$ del Capítulo 22. El patrón — búsquese una magnitud conservada por todo movimiento elemental, calcúlese al principio y en el objetivo — es el arma estándar del matemático contra las preguntas de tipo «¿es posible?», y volverá siempre que un grupo actúe sobre un conjunto de estados.

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7.1 Leyes de composición

7.2 Grupos

7.3 Anillos y cuerpos

7.4 El anillo Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ

7.5 Ejercicios

7.6 Problema: el grupo simétrico y el rompecabezas del 8

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7.4 El anillo $\Z/n\Z$