Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

5Representaciones de los grupos finitos

Para entender un grupo abstracto, hágase actuar sobre un espacio vectorial y aplíquese el álgebra lineal — valores propios, trazas, productos escalares — a la acción. Este programa, la teoría de representaciones, resulta asombrosamente eficaz para los grupos finitos sobre $\C$ : toda representación se descompone en irreducibles (Maschke), las irreducibles quedan determinadas por sus caracteres (las trazas), y los caracteres cumplen relaciones de ortogonalidad que vuelven mecánicos los cálculos. El capítulo construye este cálculo y sus primeras obras maestras — las tablas de caracteres de los grupos pequeños —, y el problema de fin de semana cosecha un teorema que está muy lejos del alcance de la teoría de grupos desnuda: el teorema $p^aq^b$ de Burnside. En todo el capítulo, $G$ es un grupo finito y todos los espacios vectoriales son de dimensión finita sobre $\C$ .

5.1 Representaciones, Maschke, Schur

Definición 5.1

Una representación de $G$ es un morfismo $\rho \colon G \to GL(V)$ para cierto $\C$ -espacio vectorial $V$ ; $\dim V$ es su grado. Un subespacio $W \subseteq V$ es invariante si $\rho(g)W \subseteq W$ para todo $g$ ; la restricción hace de $W$ una subrepresentación. $\rho$ es irreducible si $V \neq 0$ y sus únicos subespacios invariantes son $0$ y $V$ . Un morfismo entre $(\rho, V)$ y $(\sigma, W)$ es una aplicación lineal $f\colon V \to W$ con $f\rho(g) = \sigma(g)f$ para todo $g$ (equivarianza); los $f$ biyectivos son isomorfismos.

Ejemplo 5.2

(a) Grado $1$ : los morfismos $G \to \C^\times$ . (b) La representación regular: $V = \C^G$ con base $(e_h)_{h \in G}$ , $\rho(g)e_h = e_{gh}$ ; grado $\abs G$ . (c) Una acción por permutaciones de $G$ sobre un conjunto finito $X$ da la representación de permutación sobre $\C^X$ : $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$ . (d) $S_n$ actúa sobre $\C^n$ permutando las coordenadas; el hiperplano $\{\sum x_i = 0\}$ es invariante: la representación estándar, de grado $n - 1$ .

Teorema 5.3 (Maschke)

Todo subespacio invariante $W$ de una representación $(V, \rho)$ admite un complemento invariante. En consecuencia, toda representación es suma directa de irreducibles (semisimplicidad).

Demostración. Sea $p \colon V \to V$ una proyección cualquiera de imagen $W$ (tómese un complemento cualquiera). Promediémosla sobre el grupo:

\tilde p = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \rho(g)\,p\,\rho(g)^{-1}.

Cada término lleva $V$ dentro de $W$ ( $W$ es invariante) y fija $W$ punto a punto: para $w \in W$ , $\rho(g)^{-1}w \in W$ , $p$ lo fija y $\rho(g)$ lo devuelve — de modo que $\tilde p$ es de nuevo una proyección sobre $W$ . Es equivariante: para $h \in G$ , $\rho(h)\tilde p\rho(h)^{-1}$ reindexa la misma suma. Por tanto, $\ker \tilde p$ es un complemento invariante de $W$ . Iterando sobre los sumandos (dimensión finita) se descompone $V$ en irreducibles. ∎

Teorema 5.4 (Lema de Schur)

Sea $f \colon V \to W$ un morfismo de representaciones irreducibles. Entonces $f = 0$ o bien $f$ es un isomorfismo; y si $(V,\rho) = (W,\sigma)$ , entonces $f = \lambda\,\mathrm{id}$ para cierto $\lambda \in \C$ . Por tanto, $\dim\operatorname{Hom}_G(V, W)$ vale $1$ si $V \cong W$ y $0$ en caso contrario.

Demostración. $\ker f$ y $\operatorname{im} f$ son invariantes (equivarianza), luego cada uno es $0$ o el total: o bien $f = 0$ , o bien $f$ es inyectivo y con imagen total. Si $V = W$ : $f$ tiene un valor propio $\lambda$ ( $\C$ es algebraicamente cerrado); $f - \lambda\,\mathrm{id}$ es un morfismo no inyectivo $V \to V$ , luego $0$ . Para el recuento de dimensiones cuando $V \cong W$ : fijado un isomorfismo $u$ , todo morfismo $f$ da el endomorfismo $u^{-1}f = \lambda\,\mathrm{id}$ : $f = \lambda u$ . ∎

5.2 Caracteres y ortogonalidad

Definición 5.5

El carácter de $(V, \rho)$ es $\chi_\rho(g) = \operatorname{tr}\rho(g)$ . Cumple $\chi_\rho(e) = \dim V$ , $\chi_\rho(hgh^{-1}) = \chi_\rho(g)$ (las trazas son invariantes por conjugación): los caracteres son funciones de clase — elementos del espacio $\mathcal{CF}(G)$ de las funciones constantes sobre las clases de conjugación, dotado del producto escalar hermítico

\langle \varphi, \psi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \overline{\varphi(g)}\,\psi(g).

Proposición 5.6

$\rho(g)$ es diagonalizable con valores propios raíces de la unidad; $\chi_\rho(g^{-1}) = \overline{\chi_\rho(g)}$ , y $\abs{\chi_\rho(g)} \leq \chi_\rho(e)$ con igualdad si y solo si $\rho(g)$ es un escalar. Los caracteres se suman sobre las sumas directas: $\chi_{V \oplus W} = \chi_V + \chi_W$ .

Demostración. $\rho(g)^N = \mathrm{id}$ para $N = \abs G$ (Lagrange): $\rho(g)$ anula a $X^N - 1$ y se descompone con raíces simples, luego es diagonalizable con valores propios $\lambda_i \in \mu_N$ . Entonces $\chi(g^{-1}) = \sum \lambda_i^{-1} = \sum\bar\lambda_i = \overline{\chi(g)}$ y $\abs{\chi(g)} = \abs{\sum\lambda_i} \leq \dim V$ , con igualdad en la desigualdad triangular si y solo si todos los $\lambda_i$ son iguales, es decir, $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ . Aditividad sobre las sumas directas: trazas por bloques. ∎

Lema 5.7

Sean $(V, \rho)$ , $(W, \sigma)$ dos representaciones. El operador de promedio sobre $\operatorname{Hom}(W, V)$ ,

c(A) = \frac1{\abs G}\sum_{g}\rho(g)\,A\,\sigma(g)^{-1},

es una proyección sobre $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ , y para la aplicación $\Phi_g \colon A \mapsto \rho(g)A\sigma(g)^{-1}$ se tiene $\operatorname{tr}\Phi_g = \chi_\rho(g)\,\overline{\chi_\sigma(g)}$ .

Demostración. $c(A)$ es equivariante (reindéxese la suma como en Maschke) y $c$ fija las aplicaciones equivariantes (cada término vale $A$ ): $c$ es una proyección de imagen $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ . Traza: en bases, $\Phi_g(A) = BAC$ con $B = \rho(g)$ , $C = \sigma(g)^{-1}$ ; sobre la base $(E_{kl})$ de matrices, $BE_{kl}C = \sum_{m,n} b_{mk}c_{ln}E_{mn}$ , de modo que el coeficiente de $E_{kl}$ en $\Phi_g(E_{kl})$ es $b_{kk}c_{ll}$ : $\operatorname{tr}\Phi_g = \sum_{k,l}b_{kk}c_{ll} = \operatorname{tr}(B) \operatorname{tr}(C) = \chi_\rho(g)\chi_\sigma(g^{-1})$ , y $\chi_\sigma(g^{-1}) = \overline{\chi_\sigma(g)}$ . ∎

Teorema 5.8 (Primeras relaciones de ortogonalidad)

Sean $\rho, \sigma$ irreducibles. Entonces

\langle\chi_\sigma, \chi_\rho\rangle = \begin{cases} 1 & \text{si } \rho \cong \sigma,\\ 0 & \text{en caso contrario:} \end{cases}

los caracteres irreducibles forman una familia ortonormal en $\mathcal{CF}(G)$ .

Demostración. La traza de una proyección es la dimensión de su imagen:

\dim\operatorname{Hom}_G(W, V) = \operatorname{tr} c = \frac1{\abs G}\sum_g \operatorname{tr}\Phi_g = \frac1{\abs G}\sum_g \chi_\rho(g)\overline{\chi_\sigma(g)} = \langle \chi_\sigma, \chi_\rho\rangle,

y el lema de Schur evalúa el miembro de la izquierda como $\delta_{\rho \cong \sigma}$ . ∎

Corolario 5.9

Descompóngase $V \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus m_i}$ en irreducibles distintas ( $V_i \not\cong V_j$ ). Entonces $m_i = \langle \chi_{V_i}, \chi_V\rangle$ : las multiplicidades — y por tanto la representación salvo isomorfismo — quedan determinadas por el carácter. Además, $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = \sum_i m_i^2$ ; en particular, $V$ es irreducible si y solo si $\langle\chi_V, \chi_V\rangle = 1$ .

Demostración. $\chi_V = \sum m_i\chi_{V_i}$ (la Proposición 5.6); tómense productos escalares con cada $\chi_{V_i}$ y úsese la ortonormalidad. Dos representaciones con el mismo carácter tienen las mismas multiplicidades y, por tanto, son isomorfas. ∎

Teorema 5.10 (La representación regular)

Sean $\chi_1, \dots, \chi_r$ los caracteres irreducibles distintos, de grados $n_i = \chi_i(e)$ . La representación regular se descompone con multiplicidades $m_i = n_i$ ; en consecuencia,

\sum_{i=1}^{r} n_i^2 = \abs G, \qquad \sum_i n_i\chi_i(g) = 0 \quad (g \neq e).

Demostración. El carácter regular: $\chi_{\mathrm{reg}}(g) = \#\{h : gh = h\}$ , que vale $\abs G$ para $g = e$ y $0$ en los demás casos. Luego $m_i = \langle \chi_i,\chi_{\mathrm{reg}}\rangle = \frac1{\abs G}\overline{\chi_i(e)}\,\abs G = n_i$ . Evaluando $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum n_i\chi_i$ en $e$ y en $g \neq e$ se obtienen las dos identidades mostradas. ∎

Teorema 5.11

Los caracteres irreducibles forman una base ortonormal de $\mathcal{CF}(G)$ : el número de representaciones irreducibles es igual al número de clases de conjugación de $G$ .

Demostración. Solo queda la completitud: sea $f \in \mathcal{CF}(G)$ ortogonal a todo $\chi_i$ ; veamos que $f = 0$ . Para una representación $(V,\rho)$ , póngase $T_{f,\rho} = \frac{1}{\abs G} \sum_g \overline{f(g)}\,\rho(g)$ . Es equivariante: para $h \in G$ ,

\rho(h)T_{f,\rho}\rho(h)^{-1} = \frac1{\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\rho(hgh^{-1}) = \frac1{\abs G}\sum_{g'}\overline{f(h^{-1}g'h)}\rho(g') = T_{f,\rho}

( $f$ es una función de clase). Si $\rho$ es irreducible de grado $n$ , Schur da $T_{f,\rho} = \lambda\,\mathrm{id}$ con

\lambda = \frac{\operatorname{tr}T_{f,\rho}}{n} = \frac{1}{n\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\,\chi_\rho(g) = \frac1n\,\langle f, \chi_\rho\rangle = 0 .

Así pues, $T_{f,\rho} = 0$ sobre toda irreducible y, por tanto (sumas directas), sobre toda representación — en particular sobre la regular. Aplíquese al vector de la base $e_e$ : $0 = T_{f,\mathrm{reg}}e_e = \frac1{\abs G}\sum_g\overline{f(g)}e_g$ , lo que obliga a que todo $\overline{f(g)} = 0$ . Así, la familia ortonormal $(\chi_i)$ genera $\mathcal{CF}(G)$ , cuya dimensión es el número de clases de conjugación. ∎

Corolario 5.12 (Ortogonalidad por columnas)

Para $g, h \in G$ :

\sum_{i=1}^{r}\overline{\chi_i(g)}\,\chi_i(h) = \begin{cases} \abs{Z_G(g)} & \text{si } g, h \text{ son conjugados},\\ 0 & \text{en caso contrario.} \end{cases}

Demostración. Sean $g_1, \dots, g_r$ representantes de las clases y $c_j$ los cardinales de las clases. La matriz $U_{ij} = \sqrt{c_j/\abs G}\;\chi_i(g_j)$ de tamaño $r \times r$ tiene las filas ortonormales (el Teorema 5.8 escrito por clases: $\sum_j \frac{c_j}{\abs G}\chi_i(g_j)\overline{\chi_{i'}(g_j)} = \delta_{ii'}$ ), es decir, $UU^* = I$ ; y una matriz cuadrada con $UU^* = I$ cumple también $U^*U = I$ : las columnas son ortonormales, lo que se traduce en la identidad mostrada ( $\abs G/c_j = \abs{Z_G(g_j)}$ , la relación órbita–estabilizador para la conjugación). ∎

Proposición 5.13 (Caracteres de grado uno; elevación)

(a) $G$ es abeliano si y solo si todas sus representaciones irreducibles tienen grado $1$ ; el número de caracteres de grado $1$ de un $G$ cualquiera es $[G : D(G)]$ (son los caracteres de la abelianización). (b) Si $N \trianglelefteq G$ , las representaciones irreducibles de $G/N$ se elevan (componiendo con $G \to G/N$ ) exactamente a aquellas representaciones irreducibles de $G$ cuyo núcleo contiene $N$ .

Demostración. (a) Si $G$ es abeliano, cada clase es un punto: $r = \abs G$ , y $\sum n_i^2 = \abs G$ obliga a que todos los $n_i = 1$ ; recíprocamente, si todos los $n_i = 1$ , la representación regular es suma de representaciones de dimensión uno, luego $\rho_{\mathrm{reg}}(G)$ es simultáneamente diagonalizable y, por tanto, conmutativa, y $\rho_{\mathrm{reg}}$ es fiel: $G$ es abeliano. Las representaciones de grado $1$ son morfismos $G \to \C^\times$ con destino abeliano: se factorizan a través de $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ (el Ejercicio 1.9), y los caracteres distintos del abeliano $G^{\mathrm{ab}}$ son $\abs{G^{\mathrm{ab}}}$ (tiene ese número de clases, todas de grado $1$ ). (b) Componer con la proyección conserva la irreducibilidad (los subespacios invariantes se corresponden), y una representación trivial sobre $N$ se factoriza a través del cociente (el Teorema 1.3). ∎

5.3 Tablas de caracteres

Definición 5.14

La tabla de caracteres de $G$ es la matriz $\bigl(\chi_i(g_j)\bigr)$ de tamaño $r \times r$ : las filas están indexadas por los caracteres irreducibles y las columnas por las clases de conjugación (con sus cardinales indicados). Las filas son ortonormales para el producto ponderado y las columnas son ortogonales (el Corolario 5.12): la tabla está enormemente sobredeterminada, y eso es lo que la hace calculable.

Ejemplo 5.15 (La tabla de $S_3$ )

Clases: $e$ (tamaño 1), las trasposiciones (3) y los $3$ -ciclos (2); luego hay $r = 3$ irreducibles, de grados $n_i$ con $\sum n_i^2 = 6$ : $1, 1, 2$ . Grado $1$ : la trivial $\mathbf 1$ y la signatura $\varepsilon$ . La última fila se sigue de la ortogonalidad por columnas (o de $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$ ):

\begin{array}{c|ccc} S_3 & e & (1\,2)\ [3] & (1\,2\,3)\ [2]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1\\ \chi_{\mathrm{std}} & 2 & 0 & -1 \end{array}

Comprobación: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$ : irreducible.

Ejemplo 5.16 (La tabla de $S_4$ )

Clases: $e$ [1], trasposiciones [6], dobles trasposiciones [3], $3$ -ciclos [8], $4$ -ciclos [6]: cinco irreducibles, $\sum n_i^2 = 24$ con dos de grado $1$ ( $\mathbf 1, \varepsilon$ ; $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$ ): grados $1, 1, 2, 3, 3$ . La de grado $2$ se eleva desde $S_4/V \cong S_3$ (la Proposición 5.13(b), con $V$ el grupo de Klein); grado $3$ : la representación estándar y su torsión por $\varepsilon$ :

\begin{array}{c|ccccc} S_4 & e\,[1] & (1\,2)\,[6] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[8] & (1\,2\,3\,4)\,[6]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\ \chi_2 & 2 & 0 & 2 & -1 & 0\\ \chi_{\mathrm{std}} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1\\ \varepsilon\chi_{\mathrm{std}} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}

( $\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$ ; $\chi_2$ evalúa la tabla de $S_3$ sobre la imagen de cada clase módulo $V$ .) Todas las comprobaciones de ortogonalidad por filas y columnas salen bien — ejecutar dos de ellas es el calentamiento del Ejercicio 5.3.

Método 5.17

Para construir una tabla de caracteres: (1) lístense las clases de conjugación y sus cardinales; (2) cuéntense los caracteres de grado $1$ mediante $G/D(G)$ y escríbanse; (3) hállense los grados restantes a partir de $\sum n_i^2 = \abs G$ (combinatoria de enteros pequeños); (4) obténganse irreducibles baratas: elévense desde cocientes, réstese $\mathbf 1$ de los caracteres de permutación (compruébese $\langle\chi,\chi\rangle = 1$ ) y multiplíquense los caracteres conocidos por los de grado $1$ ; (5) complétense las filas desconocidas por ortogonalidad de columnas — cada columna es ortogonal a las columnas ya completas, y la columna $e$ contiene los grados. Verifíquese todo con un barrido completo de ortogonalidad.

La representación regular de S_3, diagonalizada por bloques: ℂ[S_3] ℂ × ℂ × M_2(ℂ), dimensiones 1 + 1 + 4 = 6 = |S_3|. En general ℂ[G] _i M_n_i(ℂ): la identidad n_i2 = G es un enunciado sobre bloques matriciales. — La representación regular de $S_3$ , diagonalizada por bloques: $\C[S_3] \cong \C \times \C \times M_2(\C)$ , dimensiones $1 + 1 + 4 = 6 = \abs{S_3}$ . En general $\C[G] \cong \prod_i M_{n_i}(\C)$ : la identidad $\sum n_i^2 = \abs G$ es un enunciado sobre bloques matriciales.

5.4 Ejercicios

Ejercicio 5.1 ★

(a) Demostrar que los caracteres irreducibles de $\Z/n\Z$ son los $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ , $k = 0, \dots, n-1$ , y escribir la tabla de caracteres de $\Z/4\Z$ . (b) Verificar en ella las dos relaciones de ortogonalidad — y reconocer la matriz: ¿dónde la ha visto antes este libro?

Solución

Solución de Ejercicio 5.1.

(a) $\Z/n\Z$ es abeliano: todas las irreducibles tienen grado $1$ (la Proposición 5.13), es decir, son morfismos $\chi \colon \Z/n\Z \to \C^\times$ , determinados por $\chi(\bar 1) = \omega$ con $\omega^n = 1$ : los $n$ caracteres $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ . Para $n = 4$ (clases de $=$ elementos $\bar0,\bar1,\bar2,\bar3$ ):

\begin{array}{c|cccc} & \bar0 & \bar1 & \bar2 & \bar3\\ \hline \chi_0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_1 & 1 & \iu & -1 & -\iu\\ \chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi_3 & 1 & -\iu & -1 & \iu \end{array}

(b) Filas: $\langle\chi_k,\chi_l\rangle = \frac14\sum_m \eu^{2\iu\pi(l-k)m/4} = \delta_{kl}$ (suma geométrica); las columnas, análogamente. La matriz $(\eu^{2\iu\pi km/n})_{k,m}$ es la matriz de la transformada de Fourier discreta — el mismo filtro de raíces de la unidad que se usó en el capítulo de funciones generatrices de segundo año; la ortogonalidad de los caracteres generaliza la fórmula de inversión de la TFD.

Ejercicio 5.2 ★

Sea $G$ un grupo que actúa sobre un conjunto finito $X$ y sea $\chi$ el carácter de la representación de permutación $\C^X$ . (a) Demostrar que $\chi(g) = \abs{\operatorname{Fix}_X(g)}$ y $\langle \mathbf 1, \chi\rangle = \#\{\text{órbitas}\}$ — El lema de recuento de Burnside (el Ejercicio 1.5) es un cálculo de caracteres. (b) Supóngase la acción transitiva, de modo que $\chi = \mathbf 1 + \psi$ . Demostrar que $\psi$ es irreducible si y solo si la acción es $2$ -transitiva (transitiva sobre los pares ordenados de puntos distintos). (Calcúlese $\langle\chi,\chi\rangle$ como el número de órbitas sobre $X \times X$ .) (c) Concluir que la representación estándar de $S_n$ ( $n \geq 2$ ) es irreducible.

Solución

Solución de Ejercicio 5.2.

(a) La matriz de $\rho(g)$ en la base $(e_x)$ es una matriz de permutación, cuya traza es el número de $x$ con $g\cdot x = x$ . Entonces

\langle\mathbf 1, \chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_g \abs{\operatorname{Fix}(g)} = \#\{\text{órbitas}\}

por el lema de recuento de Burnside (el Ejercicio 1.5) — equivalentemente, esto calcula la multiplicidad de la representación trivial, cuyo espacio isotípico es el espacio de los vectores $G$ -invariantes, de dimensión igual al número de órbitas (un indicador por órbita).

(b) Como $\operatorname{Fix}_{X\times X}(g) = \operatorname{Fix}_X(g)^2$ , el apartado (a) aplicado a $X \times X$ da $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum\abs{\operatorname{Fix}(g)}^2 = \#\{\text{órbitas en } X\times X\}$ ( $\chi$ es real). Escribiendo $\chi = \mathbf 1 + \psi$ : $\langle\mathbf1,\chi\rangle = 1$ (transitividad), luego $\langle\psi,\psi\rangle = \langle\chi,\chi\rangle - 1$ . La acción sobre $X\times X$ tiene la diagonal como una órbita; hay exactamente otra órbita si y solo si $G$ es transitiva sobre los pares de puntos distintos: $\langle\psi,\psi\rangle = 1$ si y solo si es $2$ -transitiva (Corolario 5.9).

(c) $S_n$ es $2$ -transitivo sobre $\{1,\dots,n\}$ (todo par de puntos distintos puede ir a cualquier otro): $\psi = \chi_{\mathrm{std}}$ es irreducible.

Ejercicio 5.3 ★

Reconstruir desde cero la tabla de $S_3$ siguiendo el Método 5.17 y verificar después dos relaciones de ortogonalidad por filas y dos por columnas en la tabla de $S_4$ del Ejemplo 5.16. Descomponer en irreducibles el carácter de permutación de $S_4$ actuando sobre $\{1,2,3,4\}$ y el carácter $\chi_{\mathrm{std}}^2$ (cuadrado puntual).

Solución

Solución de Ejercicio 5.3.

$S_3$ : tres clases, $\sum n_i^2 = 6 = 1 + 1 + 4$ ; los dos caracteres de grado $1$ son $\mathbf 1, \varepsilon$ ( $[S_3 : A_3] = 2$ ); la tercera fila $(2, a, b)$ se sigue de la ortogonalidad de columnas con la columna de $e$ : $1 - 1 + 2a = 0$ y $1 + 1 + 2b = 0$ : $a = 0$ , $b = -1$ — la tabla de Ejemplo 5.15.

$S_4$ comprobaciones (filas): $\langle\chi_{\mathrm{std}}, \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac1{24}(9 - 6 + 3 + 0 - 6) = 0$ ; $\langle\chi_2,\chi_2\rangle = \frac1{24}(4 + 0 + 12 + 8 + 0) = 1$ . Columnas: $e$ contra $(1\,2)$ : $1 - 1 + 0 + 3 - 3 = 0$ ; $(1\,2)$ consigo misma: $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 = \abs{Z_{S_4}((1\,2))} = 24/6$ .

Carácter de permutación sobre $4$ puntos: $(4, 2, 0, 1, 0) = \mathbf 1 + \chi_{\mathrm{std}}$ (recuentos de puntos fijos; réstese la fila superior). Para $\chi_{\mathrm{std}}^2 = (9, 1, 1, 0, 1)$ :

\langle\mathbf1,\cdot\rangle = \tfrac{9 + 6 + 3 + 0 + 6}{24} = 1,\quad \langle\varepsilon,\cdot\rangle = 0,\quad \langle\chi_2,\cdot\rangle = \tfrac{18 + 6}{24} = 1,\quad \langle\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1,\quad \langle\varepsilon\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1:

$\chi_{\mathrm{std}}^2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_{\mathrm{std}} + \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}$ (dimensiones: $9 = 1 + 2 + 3 + 3$ ).

Ejercicio 5.4 ★★

Calcular las tablas de caracteres de $D_4$ y de $Q_8$ . Concluir que dos grupos no isomorfos pueden tener tablas de caracteres idénticas — ¿qué datos de teoría de grupos captura pese a todo la tabla en esta pareja (órdenes de los centros, abelianizaciones, número de involuciones)? ¿Cuáles de ellos no logra captar?

Solución

Solución de Ejercicio 5.4.

Ambos grupos tienen cinco clases y patrón de grados $(1,1,1,1,2)$ (cuatro de grado $1$ procedentes de la abelianización $\cong (\Z/2\Z)^2$ , y después $\sum n_i^2 = 8$ ). Ordenando las clases $e$ , $z$ (la involución central: $r^2$ y $-1$ , respectivamente) y las tres clases de dos elementos:

\begin{array}{c|ccccc} & e & z & C_1 & C_2 & C_3\\ \hline \chi^{(1)} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi^{(2)} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ \chi^{(3)} & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi^{(4)} & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ \chi^{(5)} & 2 & -2 & 0 & 0 & 0 \end{array}

(la última fila, por ortogonalidad de columnas). Tablas idénticas para $D_4$ y $Q_8$ , que no son isomorfos (el Problema 1.1). La tabla sí capta: $\abs G$ , los cardinales de las clases, el centro ( $\{g : \abs{\chi_i(g)} = n_i\ \forall i\}$ : orden $2$ en ambos), la abelianización y todo el retículo de subgrupos normales (núcleos e intersecciones, el Ejercicio 5.6). No capta los órdenes de los elementos: $D_4$ tiene cinco involuciones y $Q_8$ solo una — de modo que el tipo de isomorfía es genuinamente más fino que la tabla de caracteres.

Ejercicio 5.5 ★★

Tabla de caracteres de $A_4$ : clases $e$ [1], dobles trasposiciones [3] y dos clases de $3$ -ciclos [4], [4]. (a) Explicar el desdoblamiento de los $3$ -ciclos (compárense los centralizadores en $S_4$ y en $A_4$ , como en el Ejercicio 1.11). (b) Hallar los tres caracteres de grado $1$ (mediante $A_4/V \cong \Z/3\Z$ ) y el carácter de grado $3$ (restrínjase $\chi_{\mathrm{std}}$ desde $S_4$ ), y montar la tabla. (c) Leer en la tabla los subgrupos normales de $A_4$ (los núcleos $\{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ y sus intersecciones).

Solución

Solución de Ejercicio 5.5.

(a) En $S_4$ , el centralizador de $(1\,2\,3)$ tiene orden $24/8 = 3$ : es $\langle(1\,2\,3)\rangle \subseteq A_4$ . Luego $Z_{A_4}((1\,2\,3))$ tiene orden $3$ y la $A_4$ -clase tiene $12/3 = 4$ elementos: los ocho $3$ -ciclos se desdoblan en dos $A_4$ -clases (representadas por $(1\,2\,3)$ y su inverso).

(b) $A_4/V \cong \Z/3\Z$ da tres caracteres de grado $1$ ( $\omega = \eu^{2\iu\pi/3}$ ; las clases de $3$ -ciclos van a $\bar1, \bar2$ ); la restricción de $\chi_{\mathrm{std}}$ sigue siendo irreducible ( $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{12}(9 + 3 \cdot 1 + 0 + 0) = 1$ ):

\begin{array}{c|cccc} A_4 & e\,[1] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[4] & (1\,3\,2)\,[4]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_\omega & 1 & 1 & \omega & \omega^2\\ \chi_{\bar\omega} & 1 & 1 & \omega^2 & \omega\\ \chi_3 & 3 & -1 & 0 & 0 \end{array}

(c) Núcleos: $\ker\chi_\omega = \ker\chi_{\bar\omega} = V$ ; $\ker\chi_3 = \{e\}$ (ninguna otra entrada tiene módulo $3$ ). Los subgrupos normales son las intersecciones de núcleos (el Ejercicio 5.6): $\{e\}$ , $V$ , $A_4$ — en particular, $A_4$ no tiene subgrupo normal de orden $2$ ni de índice $2$ .

Ejercicio 5.6 ★★

(a) Demostrar que $\ker\chi = \{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ es el núcleo de la representación subyacente (la Proposición 5.6, caso de igualdad). (b) Demostrar que todo subgrupo normal de $G$ es una intersección de núcleos de caracteres irreducibles. (Represéntese $G/N$ fielmente: su representación regular.) (c) Deducir: $G$ es simple si y solo si $\ker\chi_i = \{e\}$ para todo $\chi_i$ irreducible no trivial — la simplicidad se lee en la tabla de caracteres.

Solución

Solución de Ejercicio 5.6.

(a) Si $\chi(g) = \chi(e) = n$ : la igualdad en $\abs{\chi(g)} \leq n$ obliga a $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ (la Proposición 5.6) con $n\lambda = n$ : $\rho(g) = \mathrm{id}$ . El recíproco es claro.

(b) Sea $N \trianglelefteq G$ . La representación regular de $G/N$ es fiel; descompóngase en irreducibles de $G/N$ y elévense a $G$ (la Proposición 5.13(b)): se obtienen caracteres irreducibles $\chi_{i_1}, \dots$ de $G$ cuyos núcleos contienen $N$ y cuyo núcleo común es exactamente la preimagen de $\{e\}$ , es decir, $N$ (fidelidad sobre el cociente). Luego $N = \bigcap_j \ker\chi_{i_j}$ .

(c) Si $G$ es simple: para un irreducible no trivial $\chi$ , $\ker\chi \trianglelefteq G$ no es $G$ (una representación irreducible trivial sobre todo $G$ es el carácter trivial), luego $\ker\chi = \{e\}$ . Recíprocamente, supóngase que todos los núcleos no triviales son triviales y sea $N \trianglelefteq G$ con $N \neq G$ . En la expresión de $N$ como intersección de núcleos de (b), alguno de los caracteres implicados es no trivial (si todos fueran triviales, la intersección sería $G$ ), y su núcleo es $\{e\}$ : $N = \{e\}$ . Así pues, los únicos subgrupos normales son $\{e\}$ y $G$ .

Ejercicio 5.7 ★★

Grados de $\abs G = 8$ : demostrar que un grupo no abeliano de orden $8$ tiene el patrón de grados $(1,1,1,1,2)$ y que su representación de grado $2$ es fiel. Más en general, demostrar que un grupo no abeliano de orden $p^3$ tiene patrón $(1^{\,p^2}, p, \dots, p)$ con $p^2$ unos y $p - 1$ caracteres de grado $p$ . (Úsense $[G : D(G)]$ y $\sum n_i^2 = \abs G$ ; aquí $D(G) = Z(G)$ tiene orden $p$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 5.7.

Orden $8$ no abeliano: el número de caracteres de grado $1$ es $[G : D(G)]$ , un divisor propio de $8$ (no abeliano: $D(G) \neq \{e\}$ ), y $\sum n_i^2 = 8$ . Con $k$ unos y los grados restantes $\geq 2$ : $8 - k \equiv 0$ con cuadrados $\geq 4$ , y $k \mid 8$ , $k < 8$ . $k = 4$ : un grado $2$ — coherente. $k = 2$ : quedan $6$ , que no es suma de cuadrados $\geq 4$ . $k = 1$ : imposible, pues $k = [G : D(G)] \geq 2$ — $G/D(G)$ es un $2$ -grupo abeliano no trivial, ya que $G$ es un $2$ -grupo con $D(G) \neq G$ por la resolubilidad de los $p$ -grupos (el Ejemplo 1.30). Así pues, el patrón es $(1,1,1,1,2)$ . Fidelidad de $\chi_5$ : los cuatro caracteres de grado $1$ contienen todos $D(G)$ en sus núcleos; si $\ker\chi_5 \supseteq N \neq \{e\}$ para algún normal minimal $N$ ( $N \subseteq D(G)$ o no — tómese $N \subseteq \ker\chi_5$ no trivial), entonces $N$ estaría en los cinco núcleos, cuya intersección es trivial (la representación regular es fiel): contradicción. Orden $p^3$ no abeliano: $Z(G)$ tiene orden $p$ (el orden $p^2$ haría $G/Z$ cíclico y $G$ abeliano), $G/Z(G)$ , de orden $p^2$ , es abeliano, luego $D(G) \subseteq Z(G)$ y $D(G) \ne \{e\}$ : $D(G) = Z(G)$ , lo que da $p^2$ caracteres de grado $1$ . Los grados restantes cumplen $\sum n_i^2 = p^3 - p^2$ con cada $n_i > 1$ divisor de $\abs G$ (el Problema 5.1, pregunta 8), luego $n_i \in \{p\}$ ( $n_i = p^2$ se pasaría: $p^4 > p^3 - p^2$ ): exactamente $p - 1$ caracteres de grado $p$ .

Ejercicio 5.8 ★★★

Para grupos finitos $G, H$ : demostrar que las funciones de clase $\chi(g)\psi(h)$ sobre $G \times H$ , con $\chi, \psi$ caracteres irreducibles de $G, H$ , son exactamente los caracteres irreducibles de $G \times H$ . (La ortonormalidad es un cálculo directo; la completitud, un recuento de clases.) Deducir la tabla de caracteres de $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ y volver a obtener la Proposición 5.13(a) para los grupos abelianos finitos mediante el teorema de estructura.

Solución

Solución de Ejercicio 5.8.

Defínase, para representaciones $\rho, \sigma$ de $G, H$ sobre $V, W$ , la representación $\rho \boxtimes \sigma$ de $G \times H$ sobre $V \otimes W$ — concretamente, sobre matrices: $(\rho\boxtimes \sigma)(g,h)$ es el producto de Kronecker $\rho(g)\otimes \sigma(h)$ , cuya traza es $\operatorname{tr}\rho(g)\operatorname{tr}\sigma(h) = \chi(g)\psi(h)$ (el producto de Kronecker de las matrices $A \otimes B$ tiene traza $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ : su diagonal es $a_{kk}b_{ll}$ ). Luego $\chi\psi$ es un carácter, y

\langle\chi\psi, \chi'\psi'\rangle_{G\times H} = \frac{1}{\abs G\abs H}\sum_{g,h} \overline{\chi(g)\psi(h)}\,\chi'(g)\psi'(h) = \langle\chi,\chi'\rangle_G\,\langle\psi,\psi'\rangle_H = \delta_{\chi\chi'}\delta_{\psi\psi'}.

En particular $\langle\chi\psi,\chi\psi\rangle = 1$ : cada $\chi\psi$ es irreducible (el Corolario 5.9). Estos son $r_Gr_H$ caracteres irreducibles distintos; las clases de $G\times H$ son los productos de clases ( $(g,h) \sim (g',h')$ componente a componente), de modo que hay $r_Gr_H$ : la lista es completa (el Teorema 5.11). Para $(\Z/2\Z)^2$ : los cuatro caracteres de signos $(\pm1)\otimes(\pm1)$ — el bloque superior izquierdo de la tabla del Ejercicio 5.4. Un grupo abeliano finito es producto de grupos cíclicos (el Corolario 3.13); sus caracteres irreducibles son productos de los cíclicos (el Ejercicio 5.1): todos de grado $1$ .

Ejercicio 5.9 ★★★

La tabla de caracteres de $A_5$ (clases de cardinales $1, 15, 20, 12, 12$ , del Ejercicio 1.11): (a) Demostrar que los grados son $1, 3, 3, 4, 5$ (la única solución de $\sum n_i^2 = 60$ con $n_1 = 1$ y, usando el Ejercicio 5.6(c) junto con la simplicidad, sin ninguna otra $n_i = 1$ ). (b) Construir el carácter de grado $4$ (acción por permutaciones sobre $5$ puntos) y el carácter de grado $5$ (la acción sobre los seis $5$ -subgrupos de Sylow da grado $6 = 1 + 5$ ; compruébese la irreducibilidad), y completar las dos filas de grado $3$ por ortogonalidad de columnas: en las clases de $5$ -ciclos aparecen entradas $\frac{1\pm\sqrt5}2$ con la razón áurea. (c) Verificar en la tabla terminada que $A_5$ es simple (Ejercicio 5.6(c)).

Solución

Solución de Ejercicio 5.9.

(a) $D(A_5) = A_5$ (simple no abeliano), de modo que el único carácter de grado $1$ es $\mathbf 1$ (la Proposición 5.13). Necesitamos $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2 = 59$ con cada $n_i \geq 2$ ; probando los cuadrados $4, 9, 16, 25, 36, 49$ : el único multiconjunto que funciona es $\{9, 9, 16, 25\}$ ; con mayor cuadrado $49$ , el resto $10$ no es suma de tres cuadrados $\geq 4$ ; con $36$ , el resto $23$ tampoco lo es ( $16 + 4 + 4 = 24$ , $9 + 9 + 4 = 22$ ); con mayor $25$ se comprueba que $25 + 16 + 9 + 9 = 59$ funciona y que las variantes $25 + 25$ , $25 + 16 + 16$ , $25 + 16 + 4$ fallan; con mayor $16$ : $16\cdot3 = 48 < 59 - 4$ . Grados: $1, 3, 3, 4, 5$ .

(b) Permutación sobre $5$ puntos: puntos fijos $(5, 1, 2, 0, 0)$ , luego $\chi_4 = (4, 0, 1, -1, -1)$ con $\langle\chi_4,\chi_4\rangle = \frac{16 + 0 + 20 + 12 + 12}{60} = 1$ : irreducible. Acción sobre los seis $5$ -subgrupos de Sylow: una involución fija exactamente $2$ (los normalizadores son diédricos de orden $10$ y cada uno contiene $5$ involuciones: $30$ incidencias para $15$ involuciones), un elemento de orden $3$ fija $0$ (no hay orden $3$ en $D_5$ ) y un elemento de orden $5$ fija exactamente $1$ (está en un único Sylow): carácter de permutación $(6, 2, 0, 1, 1)$ , y $\chi_5 = (5, 1, -1, 0, 0)$ con norma $\frac{25 + 15 + 20 + 0 + 0}{60} = 1$ : irreducible. Quedan dos filas $(3, a, b, c, d)$ , $(3, a', b', c', d')$ . Normas de columnas (el Corolario 5.12): en la clase de $(1\,2)(3\,4)$ , $\abs{Z} = 4$ : $1 + 0 + 1 + a^2 + a'^2 = 4$ ; columna contra $e$ : $1\cdot1 + 4\cdot 0 + 5\cdot1 + 3(a + a') = 0$ : $a + a' = -2$ , $a^2 + a'^2 = 2$ : $a = a' = -1$ . Sobre los $3$ -ciclos, $\abs Z = 3$ : $1 + 1 + 1 + b^2 + b'^2 = 3$ : $b = b' = 0$ . En cada $5$ -clase, $\abs Z = 5$ : la columna contra $e$ da $1\cdot 1 + 4\cdot(-1) + 5\cdot 0 + 3(c + c') = 0$ , luego $c + c' = 1$ ; y $c^2 + c'^2 = 3$ : $\{c, c'\} = \bigl\{\frac{1+\sqrt5}2, \frac{1-\sqrt5}2\bigr\}$ — la razón áurea y su conjugada; la segunda $5$ -clase lleva los valores intercambiados (las dos filas han de ser ortogonales).

(c) En la tabla terminada, ninguna entrada de una fila no trivial coincide con su grado fuera de la primera columna: todo núcleo $\{g : \chi_i(g) = n_i\}$ es trivial. Por el Ejercicio 5.6(c), $A_5$ es simple.

Ejercicio 5.10 ★★

Sea $\rho$ una representación irreducible de grado $n$ y sea $z \in Z(G)$ . Demostrar que $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ con $\lambda \colon Z(G) \to \C^\times$ un morfismo (el carácter central), y deducir $\abs{\chi(z)} = n$ para $z$ central. Aplicación: si $G$ tiene una representación irreducible fiel, entonces $Z(G)$ es cíclico.

Solución

Solución de Ejercicio 5.10.

$\rho(z)$ conmuta con todo $\rho(g)$ ( $z$ es central), es decir, $\rho(z) \in \operatorname{End}_G(V) = \C\,\mathrm{id}$ (Schur): $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ , y $z \mapsto \lambda_z$ es multiplicativa: un morfismo $Z(G) \to \C^\times$ . Entonces $\chi(z) = n\lambda_z$ con $\abs{\lambda_z} = 1$ (raíz de la unidad): $\abs{\chi(z)} = n$ . Si $\rho$ es fiel, $\lambda$ es inyectivo sobre $Z(G)$ ( $\rho(z) = \mathrm{id} \iff \lambda_z = 1$ ), luego $Z(G)$ se sumerge en $\C^\times$ ; y un subgrupo finito del grupo multiplicativo de un cuerpo es cíclico (Teorema 4.12).

Ejercicio 5.11 ★★

(Proyecciones isotípicas) Sea $(V, \rho)$ una representación de $G$ y sea $\chi_i$ un carácter irreducible de grado $n_i$ . Defínase

p_i = \frac{n_i}{\abs G}\sum_{g\in G} \overline{\chi_i(g)}\,\rho(g) \;\in\; \mathcal L(V).

(a) Demostrar que $p_i$ es $G$ -equivariante y calcular su restricción a una subrepresentación irreducible $W \subseteq V$ de carácter $\chi_j$ : vale $\delta_{ij}\, \mathrm{id}_W$ (Schur; tómense trazas para identificar el escalar). (b) Deducir que $p_i$ es una proyección sobre la suma $V_i$ de todas las subrepresentaciones irreducibles de carácter $\chi_i$ (la componente isotípica), que $\sum_ip_i = \mathrm{id}_V$ , y que la descomposición $V = \bigoplus_iV_i$ es canónica — a diferencia de la descomposición más fina de cada $V_i$ en irreducibles. (c) Para la representación regular de $S_3$ y el carácter signatura $\varepsilon$ , escribir $p_\varepsilon$ explícitamente como elemento del álgebra del grupo y comprobar $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ a mano.

Solución

Solución de Ejercicio 5.11.

(a) Equivarianza: $\rho(h)p_i\rho(h)^{-1}$ reindexa la suma ( $g \mapsto hgh^{-1}$ , y $\chi_i$ es una función de clase): $p_i$ conmuta con la acción. Sobre una irreducible $W$ de carácter $\chi_j$ , Schur hace de la restricción un escalar $\lambda\,\mathrm{id}_W$ ; tomando trazas,

\lambda\,n_j = \frac{n_i}{\abs G}\sum_g \overline{\chi_i(g)}\,\chi_j(g) = n_i\,\langle\chi_i, \chi_j\rangle = n_i\,\delta_{ij}

(primera ortogonalidad): $\lambda = \delta_{ij}$ .

(b) Descompóngase $V$ en irreducibles (Maschke): $p_i$ actúa como la identidad sobre los sumandos de carácter $\chi_i$ y como $0$ sobre los demás, de modo que $p_i$ es la proyección sobre su suma $V_i$ a lo largo de la suma de los restantes; la imagen $V_i$ no depende de la descomposición elegida (es el conjunto de vectores fijados por $p_i$ , definido sin elecciones). $\sum_ip_i$ actúa como la identidad sobre todo sumando irreducible: es $\mathrm{id}_V$ . La descomposición más fina de $V_i \cong W_i^{\oplus m_i}$ exige elegir una base de $\operatorname{Hom}_G(W_i, V)$ : canónica no es.

(c) Para $\varepsilon$ (grado $1$ ): $p_\varepsilon = \frac1{6}\sum_{g}\varepsilon(g)\,\rho(g)$ , es decir, en el álgebra del grupo,

p_\varepsilon = \tfrac16\bigl(e - (1\,2) - (1\,3) - (2\,3) + (1\,2\,3) + (1\,3\,2)\bigr) .

Elevando al cuadrado: el coeficiente de $g$ en $p_\varepsilon^2$ es $\frac1{36}\sum_{h}\varepsilon(h)\varepsilon(h^{-1}g) = \frac1{36}\,\varepsilon(g)\sum_h\varepsilon(h)^2 = \frac{6}{36}\varepsilon(g)$ : $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ . (Su imagen en la representación regular es la recta generada por $\sum_g\varepsilon(g)e_g$ : la representación signatura aparece con multiplicidad $1$ , como exige la teoría general.)

Ejercicio 5.12 ★★

(Leer una tabla) La tabla de caracteres de cierto grupo $G$ de orden $24$ se conoce en parte: tiene $5$ clases, de cardinales $1, 6, 8, 6, 3$ , y grados $1, 1, 2, 3, 3$ . (a) Recuperar la tabla completa: los dos caracteres lineales (uno trivial; el otro toma el valor $-1$ exactamente en las clases de cardinales $6$ y $6$ ), después el carácter de grado $2$ por ortogonalidad de columnas con la columna de la identidad, y después los dos caracteres de grado $3$ del mismo modo (uno de ellos es $\chi_2\chi_4$ ). (b) Identificar $G$ ( $\cong S_4$ : compárense las clases con los tipos de ciclo) y extraer de la tabla los subgrupos normales mediante el Ejercicio 5.6: los núcleos de $\chi_2$ (índice $2$ : $A_4$ ) y de $\chi_3$ (el grupo de Klein $V_4$ ), y nada más aparte de $\{e\}, G$ . (c) Explicar cómo muestra la tabla que $G/V_4 \cong S_3$ (¿qué caracteres se factorizan a través del cociente?).

Solución

Solución de Ejercicio 5.12.

(a) Ordénense las clases $e$ [1], trasposiciones [6], $3$ -ciclos [8], $4$ -ciclos [6], dobles trasposiciones [3]. El segundo carácter lineal es $\chi_2 = \varepsilon$ , con valores $1, -1, 1, -1, 1$ . Para el carácter $\chi_3$ de grado $2$ , la ortogonalidad de cada columna con la columna de la identidad ( $\sum_in_i\chi_i(g) = 0$ para $g \neq e$ ) da, sobre las trasposiciones: $1 - 1 + 2\chi_3 + 3(\chi_4 + \chi_5) = 0$ ; el truco del signo $\chi_5 = \varepsilon\chi_4$ (un carácter de grado $3$ por uno lineal vuelve a ser irreducible — misma norma) hace que $\chi_4 + \chi_5$ se anule en las clases impares: $\chi_3 = 0$ allí. Sobre los $3$ -ciclos: $1 + 1 + 2\chi_3(c_3) + 3(\chi_4 + \chi_5)(c_3) = 0$ con $\chi_5 = \chi_4$ en las clases pares; la columna de $c_3$ consigo misma da $\abs{\chi_3}^2$ datos; resolviendo el pequeño sistema (úsese también la ortogonalidad de filas de $\chi_3$ con $\mathbf 1$ y $\varepsilon$ ): $\chi_3 = (2, 0, -1, 0, 2)$ , y después $\chi_4 = (3, 1, 0, -1, -1)$ y $\chi_5 = \varepsilon\chi_4 = (3, -1, 0, 1, -1)$ . La tabla completa:

	$e$	$6\,t$	$8\,c_3$	$6\,c_4$	$3\,v$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$1$
$\chi_3$	$2$	$0$	$-1$	$0$	$2$
$\chi_4$	$3$	$1$	$0$	$-1$	$-1$
$\chi_5$	$3$	$-1$	$0$	$1$	$-1$

(Todas las filas tienen norma $1$ y todas las columnas son ortogonales: las comprobaciones salen bien.)

(b) Los datos de clases $1, 6, 8, 6, 3$ con esos grados son los de $S_4$ (tipos de ciclo $e$ , $2$ , $3$ , $4$ , $2{+}2$ ). Núcleos: $\ker\chi_2 = \{g : \varepsilon(g) = 1\} = A_4$ (clases $e, c_3, v$ : $1 + 8 + 3 = 12$ , de índice $2$ ); $\ker\chi_3 = \{g : \chi_3(g) = 2\}$ = clases $e, v$ : el grupo de Klein $V_4$ , de orden $4$ , normal. $\chi_4, \chi_5$ son fieles ( $\chi_i(g) = n_i$ solo en $e$ ). Intersecciones de núcleos: $\{e\}$ , $V_4$ , $A_4$ , $G$ — por el Ejercicio 5.6(b), estos son todos los subgrupos normales de $S_4$ .

(c) Los caracteres con $V_4 \subseteq \ker$ son $\chi_1, \chi_2, \chi_3$ : se factorizan a través de $G/V_4$ , un grupo de orden $6$ con grados irreducibles $1, 1, 2$ — la tabla de $S_3$ . Como la tabla del cociente es un invariante completo entre los dos grupos de orden $6$ ( $\Z/6\Z$ tendría seis caracteres lineales), $G/V_4 \cong S_3$ : el cociente se ve dentro de la tabla como el bloque de filas que contienen $V_4$ en su núcleo.

5.5 Problema: el teorema $p^aq^b$ de Burnside

Problema 5.1

Problema de fin de semana — resolubilidad de los grupos de orden $p^aq^b$

Burnside demostró en 1904 que todo grupo cuyo orden tiene a lo sumo dos factores primos es resoluble — un enunciado sobre grupos abstractos cuyas únicas demostraciones conocidas durante medio siglo pasaban por la teoría de caracteres. Este problema construye la demostración completa, reuniendo el Capítulo 1 (resolubilidad), el Capítulo 3 ( $\Z$ -módulos finitamente generados) y el presente capítulo. En todo él, $\chi_1, \dots, \chi_r$ son los caracteres irreducibles de $G$ , $n_i = \chi_i(e)$ .

Parte I — Enteros algebraicos. Un entero algebraico es una raíz de un polinomio mónico de $\Z[X]$ .

Demostrar que $\alpha$ es un entero algebraico si y solo si el anillo $\Z[\alpha]$ es un $\Z$ -módulo finitamente generado.
Deducir que los enteros algebraicos forman un subanillo de $\C$ . (Si $\Z[\alpha], \Z[\beta]$ son finitamente generados, también lo es $\Z[\alpha, \beta]$ , y los submódulos de los $\Z$ -módulos finitamente generados son finitamente generados, por el Teorema 3.5 y un argumento de presentación — o directamente: un submódulo de $\Z^n$ es libre de rango $\leq n$ .)
Demostrar que un entero algebraico racional es un entero. (Teorema de la raíz racional.)
Demostrar que todo valor carácter $\chi(g)$ es un entero algebraico.

Parte II — Las relaciones de sumas de clases. Fíjense una $(V, \rho)$ irreducible de grado $n$ y carácter $\chi$ . Para una clase de conjugación $C$ , sea $S_C = \sum_{g \in C}\rho(g) \in \mathcal L(V)$ .

Demostrar que $S_C$ es equivariante y, por tanto, $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ con

$\omega_C = \frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} \qquad (g_C \in C \text{ un representante cualquiera}).$
Demostrar que $S_CS_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,S_{C''}$ , donde $a_{CC'C''} \in \N$ cuenta, para un $z \in C''$ fijo, los pares $(x, y) \in C \times C'$ con $xy = z$ . Deducir que los $\omega_C$ cumplen $\omega_C\,\omega_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .
Concluir que cada $\omega_C$ es un entero algebraico. (El $\Z$ -módulo generado por $1$ y los $\omega_C$ es un anillo finitamente generado; aplíquese el criterio de la pregunta 1 — con más precisión, demuéstrese que $M = \Z\text{-gen} (1, (\omega_C)_C)$ cumple $\omega_{C_0} M \subseteq M$ y úsese un truco de determinantes o de Cayley–Hamilton, o bien el argumento de subanillo de la pregunta 2.)
Deducir la divisibilidad de Frobenius: $n_i$ divide a $\abs G$ para todo grado irreducible. (Calcúlese $\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n} \langle\chi,\chi\rangle = \sum_C \omega_C\, \overline{\chi(g_C)}$ : un entero algebraico que es racional.)

Parte III — El criterio de simplicidad de Burnside.

Sea $\chi$ irreducible de grado $n$ y sea $C$ una clase con $\gcd(\abs C, n) = 1$ . Usando Bézout y las preguntas 4–7, demostrar que $\frac{\chi(g_C)}{n}$ es un entero algebraico.
Supóngase además $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ . Demostrar que esto es imposible: el entero algebraico $\alpha = \chi(g_C)/n$ tiene todos sus conjugados — los números $\alpha_\sigma = \frac1n\sigma(\chi(g_C))$ para $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_{\abs G})/\Q)$ , cada uno de ellos promedio de $n$ raíces de la unidad — de módulo $\leq 1$ , de modo que el producto $N = \prod_\sigma\alpha_\sigma$ es un entero algebraico racional con $0 < \abs N < 1$ — justifíquese cada afirmación, citando el Teorema 4.23 para el grupo de Galois y el hecho de que $\sigma$ permuta las raíces de la unidad. Concluir: o bien $\chi(g_C) = 0$ , o bien $\rho(g_C)$ es escalar (la Proposición 5.6).
(Criterio de Burnside) Sea $C \neq \{e\}$ una clase de conjugación de cardinal potencia de primo $p^k > 1$ , y supóngase que $G$ es simple no abeliano. La ortogonalidad de columnas entre la columna de $C$ y la de $e$ da $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\chi_i(g_C) = 0$ . Demostrar que algún $\chi_i$ no trivial con $p \nmid n_i$ cumple $\chi_i(g_C) \neq 0$ (en caso contrario, $\frac1p$ sería un entero algebraico); por la pregunta 10, $\rho_i(g_C)$ es escalar; obténgase una contradicción con la simplicidad (el conjunto de los $g$ con $\rho_i(g)$ escalar es un subgrupo normal; úsese la fidelidad del Ejercicio 5.6). Concluir: ningún grupo simple no abeliano tiene una clase de conjugación de cardinal potencia de primo $> 1$ .

Parte IV — El teorema.

Sea $\abs G = p^aq^b$ con $a + b \geq 1$ . Si $G$ es simple, demostrar que es abeliano: tómese $z \neq e$ en el centro de un $q$ -subgrupo de Sylow (el Teorema 1.12) y considérese el cardinal de su clase de conjugación $[G : Z_G(z)]$ , potencia de $p$ (¿por qué?); aplíquese la pregunta 11.
Concluir por inducción sobre $\abs G$ : todo grupo de orden $p^aq^b$ es resoluble (Burnside). ¿Por qué se rompe el argumento con tres primos — y por qué tiene que romperse, dado $\abs{A_5} = 2^2\cdot3\cdot5$ ?

Parte V — La tabla de caracteres de $A_5$ . El grupo más pequeño al que el teorema de Burnside no llega merece su retrato completo; todo lo que sigue usa solo este capítulo más Ejercicio 1.11.

Recuérdense del Ejercicio 1.11 las cinco clases de conjugación de $A_5$ : $\{e\}$ , las $15$ dobles trasposiciones, los $20$ ciclos de longitud tres y dos clases de $12$ ciclos de longitud cinco cada una, representadas por $c = (1\,2\,3\,4\,5)$ y $c^2$ . Explicar por qué los ciclos de longitud cinco se desdoblan en dos $A_5$ -clases aunque formen una sola $S_5$ -clase.
Demostrar que los grados irreducibles de $A_5$ son exactamente $1, 3, 3, 4, 5$ : úsese $\sum_in_i^2 = 60$ con $r = 5$ clases, junto con el hecho de que $A_5$ es perfecto ( $D(A_5) = A_5$ ), de modo que el carácter trivial es su único carácter lineal; elimínese después cualquier otro multiconjunto (escríbase $59$ como suma de cuatro cuadrados de enteros $\geq 2$ : compruébese que solo ocurre de una manera con todos los sumandos grados plausibles).
Sea $\pi$ el carácter de permutación de $A_5$ sobre $\{1, \dots, 5\}$ : $\pi(g) = \#\operatorname{Fix}(g)$ , con valores $5, 1, 2, 0, 0$ en las cinco clases. Calcular $\langle\pi, \mathbf 1\rangle$ y $\langle\pi, \pi\rangle$ , y deducir que $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ es irreducible de grado $4$ , con valores $4, 0, 1, -1, -1$ .
El mismo juego sobre los $10$ pares no ordenados $\{i, j\}$ : los recuentos de puntos fijos son $10, 2, 1, 0, 0$ . Calcular $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle$ , $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle$ y $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle$ , deducir la descomposición $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 + \chi_5$ y obtener la irreducible $\chi_5$ de grado $5$ con valores $5, 1, -1, 0, 0$ .
Las dos irreducibles restantes $\chi_2, \chi_3$ tienen grado $3$ . La ortogonalidad de columnas (cada columna distinta de la identidad contra la columna de la identidad, y cada columna consigo misma) determina sus valores fuera de los ciclos de longitud cinco: demuéstrese que $\chi_2(g) = \chi_3(g) = -1$ sobre las dobles trasposiciones y $0$ sobre los ciclos de longitud tres.
Sobre las clases de ciclos de longitud cinco, póngase $x = \chi_2(c)$ y $y = \chi_2(c^2)$ ; la simetría permite tomar $\chi_3(c) = y$ , $\chi_3(c^2) = x$ . A partir de la columna de $c$ emparejada con la columna de la identidad y con la columna de $c^2$ , dedúzcanse $x + y = 1$ y $xy = -1$ (y compruébese el valor $x^2 + y^2 = 3$ que da la columna de $c$ consigo misma), de donde

$\{x, y\} = \Bigl\{\frac{1 + \sqrt5}2,\ \frac{1 - \sqrt5}2\Bigr\} :$

la razón áurea y su conjugada. Montar la tabla de caracteres completa de $A_5$ .
Ejecutar las comprobaciones: la norma de la fila $\chi_2$ es $1$ (úsese $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = 3$ ), $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = 0$ , y la divisibilidad de Frobenius (pregunta 8) para los cinco grados. ¿Dónde se ve en la tabla una diferencia con $S_5$ , cuyos valores carácter son todos enteros racionales?
Deducir solo de la tabla que $A_5$ es simple: un subgrupo normal es una unión de clases de conjugación que contiene $e$ y cuyo cardinal divide a $60$ — compruébese que ninguna subsuma propia de $1 + 15 + 20 + 12 + 12$ que contenga el término $1$ divide a $60$ . Contrástese con el criterio de la pregunta 11: verifíquese que ninguna clase de $A_5$ tiene cardinal potencia de primo $> 1$ .
(Coda icosaédrica) $A_5$ es el grupo de rotaciones del icosaedro, y las representaciones de grado $3$ son las dos acciones geométricas sobre $\R^3$ . Verificar la identidad de trazas: una rotación de ángulo $\theta$ tiene traza $1 + 2\cos\theta$ , y $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . Explicar sin cálculo alguno por qué el otro carácter de grado $3$ ha de llevar el valor conjugado: el grupo de Galois de $\Q(\sqrt5)/\Q$ actúa sobre toda la tabla de caracteres (entrada a entrada), permutando los caracteres irreducibles.

Parte VI — Complementos: una cota central y el cuadrado tensorial.

(Más fino que una divisibilidad) Sea $\chi$ irreducible de grado $n$ . Demostrar que $\abs{\chi(z)} = n$ para todo $z \in Z(G)$ (lema de Schur: $\rho(z)$ es un escalar, de orden finito) y deducir de $\langle\chi, \chi\rangle = 1$ la cota

$n^2 \leq [G : Z(G)] .$

Demostrar que los grupos no abelianos de orden $8$ tienen grados irreducibles $1, 1, 1, 1, 2$ (cinco clases de conjugación; escríbase $8$ como suma de cinco cuadrados) y alcanzan la igualdad $4 = [G : Z(G)]$ ; compruébese la cota en $A_5$ , cuyo centro es trivial.
(Cuadrado tensorial de $\chi_2$ ) Para $g$ de orden finito, $\rho(g)$ es diagonalizable con valores propios raíces de la unidad; dedúzcanse las fórmulas de caracteres

$\chi_{\operatorname{Sym}^2 V}(g) = \frac{\chi(g)^2 + \chi(g^2)}2, \qquad \chi_{\Lambda^2 V}(g) = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2 .$

Aplíquense a $\chi_2$ de $A_5$ (obsérvese que $g^2$ recorre la clase de $c^2$ cuando $g$ recorre la de $c$ , y recíprocamente): demuéstrese que $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ y $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ , de donde

$\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5 .$

Interprétese $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ geométricamente mediante el producto vectorial en $\R^3$ .
(Auditoría final de la tabla) Verificar numéricamente: la ortogonalidad de columnas entre las dos columnas de ciclos de longitud cinco ( $\varphi\bar\varphi = -1$ ), el valor $5 = \abs{Z_{A_5}(c)}$ para la columna de $c$ consigo misma, y la anulación del carácter regular $\sum_i n_i\chi_i(g) = 0$ en cada una de las cuatro columnas distintas de la identidad de la tabla.

Solución

Solución de Problema 5.1.

1. Si $\alpha^n + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + c_0 = 0$ ( $c_i \in \Z$ ), entonces $\alpha^n \in \Z\text{-gen}(1, \dots, \alpha^{n-1})$ y, por inducción, toda potencia lo es: $\Z[\alpha]$ está generado por $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ . Recíprocamente, sea $\Z[\alpha] = \Z g_1 + \dots + \Z g_m$ . Escríbase $\alpha g_i = \sum_j m_{ij}g_j$ con $M = (m_{ij}) \in M_m(\Z)$ : el vector $g = (g_i)$ cumple $(\alpha I - M)g = 0$ ; multiplicando por la matriz adjunta, $\det(\alpha I - M)\,g_i = 0$ para todo $i$ y, como $1 \in \Z[\alpha]$ es una $\Z$ -combinación de los $g_i$ , $\det(\alpha I - M) = 0$ : $\alpha$ es raíz del mónico $\det(XI - M) \in \Z[X]$ .

2. Si $\Z[\alpha]$ está generado por las potencias de $\alpha$ hasta $n-1$ y $\Z[\beta]$ por las de $\beta$ hasta $m - 1$ , entonces $\Z[\alpha,\beta]$ está generado por los $nm$ productos $\alpha^i\beta^j$ (redúzcase cualquier monomio). Los subanillos $\Z[\alpha + \beta]$ y $\Z[\alpha\beta]$ son $\Z$ -submódulos del $\Z$ -módulo finitamente generado $\Z[\alpha, \beta]$ y, por tanto, finitamente generados ( $\Z[\alpha,\beta]$ , generado por $nm$ elementos, es imagen de $\Z^{nm}$ ; un submódulo se levanta a un submódulo de $\Z^{nm}$ , libre de rango $\leq nm$ por el Teorema 3.5, y su imagen genera). Por la pregunta 1, $\alpha + \beta$ y $\alpha\beta$ son enteros algebraicos.

3. Si $\frac pq$ (en forma irreducible) es raíz de un polinomio entero mónico de grado $n$ , el teorema de la raíz racional (quítense denominadores: $p^n = -q(\cdots)$ ) da $q \mid p^n$ , luego $q = \pm1$ .

4. $\chi(g)$ es suma de raíces de la unidad (la Proposición 5.6), cada una de ellas entero algebraico (raíz de $X^N - 1$ ); concluir con la pregunta 2.

5. Para $h \in G$ : $\rho(h)S_C\rho(h)^{-1} = \sum_{g\in C}\rho(hgh^{-1}) = S_C$ ( $C$ es una clase). Por Schur, $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ ; tomando trazas, $\abs C\,\chi(g_C) = \omega_C\, n$ .

6. $S_CS_{C'} = \sum_{x \in C, y \in C'}\rho(xy) = \sum_{z \in G} a(z)\rho(z)$ con $a(z) = \#\{(x,y) \in C\times C' : xy = z\}$ . La conjugación por $h$ biyecta las soluciones para $z$ con las de $hzh^{-1}$ : $a$ es una función de clase con valores en $\N$ , luego $S_CS_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}S_{C''}$ . Sustituyendo $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ en todo e identificando los escalares: $\omega_C\omega_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .

7. Sea $M$ el $\Z$ -módulo generado por $1$ y por todos los productos $\omega_{C_1}\cdots\omega_{C_k}$ ; por la pregunta 6, todo producto de ese tipo se reduce a una $\Z$ -combinación de $1$ y de los $\omega_C$ : $M$ es finitamente generado, y $\omega_C M \subseteq M$ para cada $C$ . En particular, $\Z[\omega_C] \subseteq M$ es finitamente generado (submódulo, como en la pregunta 2), y la pregunta 1 hace de $\omega_C$ un entero algebraico.

8. Para una $\chi$ irreducible de grado $n$ :

\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}\langle\chi,\chi\rangle = \frac1n \sum_{g}\chi(g)\overline{\chi(g)} = \sum_{C}\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}\,\overline{\chi(g_C)} = \sum_C \omega_C\,\overline{\chi(g_C)} .

Cada $\overline{\chi(g_C)} = \chi(g_C^{-1})$ es un entero algebraico (pregunta 4), luego el miembro de la derecha lo es (preguntas 2 y 7); y es racional, luego entero (pregunta 3): $n \mid \abs G$ .

9. Bézout: $u\abs C + vn = 1$ con $u, v \in \Z$ . Entonces

\frac{\chi(g_C)}{n} = u\,\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} + v\,\chi(g_C) = u\,\omega_C + v\,\chi(g_C),

un entero algebraico.

10. Supongamos $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ y sea $\alpha = \chi(g_C)/n$ . Todos los valores $\chi(g)$ están en $\Q(\zeta_N)$ , $N = \abs G$ (sumas de raíces $N$ -ésimas de la unidad). Para $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_N)/\Q)$ : $\sigma$ lleva raíces de la unidad a raíces de la unidad ( $\sigma(\zeta^k) = \zeta^{ak}$ , el Teorema 4.23), de modo que $\sigma(\chi(g_C))$ vuelve a ser suma de $n$ raíces de la unidad: $\abs{\sigma(\alpha)} \leq 1$ ; además, $\sigma(\alpha)$ es un entero algebraico (tiene el mismo polinomio mínimo que $\alpha$ ). El producto $P = \prod_\sigma \sigma(\alpha)$ queda fijado por todo el grupo de Galois, luego es racional (el Teorema 4.21(1)), y es un entero algebraico con

0 < \abs P \leq \abs\alpha < 1

(ningún factor se anula: $\sigma(\alpha) = 0$ obligaría a $\alpha = 0$ ). Esto contradice la pregunta 3. Por tanto, $\chi(g_C) = 0$ o $\abs{\chi(g_C)} = n$ y, en el segundo caso, $\rho(g_C)$ es escalar (la Proposición 5.6).

11. Ortogonalidad de columnas ( $C \neq \{e\}$ ): $\sum_i \chi_i(e)\overline{\chi_i(g_C)} = 0$ , es decir, $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\overline{\chi_i(g_C)} = 0$ . Si todo $\chi_i$ no trivial con $p \nmid n_i$ se anulara en $g_C$ , agrupando el resto por su factor $p$ :

-\frac1p = \sum_{i \geq 2,\ p \mid n_i} \frac{n_i}{p}\,\overline{\chi_i(g_C)},

un entero algebraico — en contra de la pregunta 3. Luego algún $\chi_i$ no trivial cumple $p \nmid n_i$ y $\chi_i(g_C) \neq 0$ ; como $\abs C = p^k$ , $\gcd(\abs C, n_i) = 1$ , y la pregunta 10 hace de $\rho_i(g_C)$ un escalar. Ahora bien, $G$ es simple no abeliano: $\chi_i$ es fiel (el Ejercicio 5.6(c)) y $Z_i = \{g : \rho_i(g) \text{ escalar}\}$ es un subgrupo normal (la preimagen por $\rho_i$ de los escalares, que forman un subgrupo normal — de hecho central — de la imagen) que contiene $g_C \neq e$ : $Z_i = G$ . Entonces $\rho_i(G)$ es abeliano y fiel, lo que hace $G$ abeliano: contradicción. Ningún grupo simple no abeliano tiene una clase de conjugación de cardinal potencia de primo $> 1$ .

12. Sea $G$ simple de orden $p^aq^b$ . Si $b = 0$ ( $G$ es un $p$ -grupo): $Z(G) \neq \{e\}$ (el Teorema 1.12) es normal, luego $Z(G) = G$ : abeliano. En caso contrario, tómense $Q$ un $q$ -subgrupo de Sylow y $z \in Z(Q) \setminus\{e\}$ (de nuevo el Teorema 1.12). Entonces $Q \subseteq Z_G(z)$ , de modo que la clase de $z$ tiene cardinal $[G : Z_G(z)]$ divisor de $[G : Q] = p^a$ : una potencia de $p$ . Si el cardinal es $1$ , $z \in Z(G)$ : el centro es un subgrupo normal no trivial, luego $Z(G) = G$ , abeliano. Si el cardinal es $p^k > 1$ : la pregunta 11 lo prohíbe para $G$ simple no abeliano. En cualquier caso, un grupo simple de orden $p^aq^b$ es abeliano ( $\cong \Z/p\Z$ ).

13. Inducción sobre $\abs G$ ( $\abs G = 1$ : resoluble). Si $G$ es simple, la pregunta 12 lo hace abeliano y, por tanto, resoluble. En caso contrario, tómese $N$ un subgrupo normal propio no trivial: $\abs N$ y $\abs{G/N}$ son de nuevo de la forma $p^{a'}q^{b'}$ y más pequeños, de modo que $N$ y $G/N$ son resolubles por inducción, y $G$ es resoluble (la Proposición 1.29). — Con tres primos falla el paso clave: el índice de un subgrupo de Sylow ya no es una potencia de primo, de modo que la clase de un elemento central de un Sylow no tiene por qué tener cardinal potencia de primo. Y algún fallo es inevitable: $A_5$ , de orden $2^2\cdot3\cdot5$ , es simple y no resoluble.

14. Las clases y sus cardinales son los del Ejercicio 1.11(a). La $S_5$ -clase de $c$ tiene cardinal $24$ ; si siguiera siendo una sola $A_5$ -clase, el recuento órbita–estabilizador daría $\abs{Z_{A_5}(c)} = 60/24$ , que no es entero — concretamente, $Z_{S_5}(c) = \langle c\rangle$ tiene orden $5$ y está dentro de $A_5$ , de modo que la $A_5$ -clase de $c$ tiene cardinal $60/5 = 12$ : la $S_5$ -clase se desdobla en dos ( $c$ y $c^2$ solo son conjugados en $S_5$ mediante una permutación impar).

15. Un solo carácter lineal: una representación de grado $1$ se factoriza a través de $G/D(G)$ , y $D(A_5) = A_5$ ( $A_5$ es simple no abeliano y $D(A_5)$ es normal y no trivial — $A_5$ no es abeliano). Luego $n_1 = 1$ y $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2 = 59$ con cada $n_i \geq 2$ . Cuadrados disponibles: $4, 9, 16, 25, 36, 49$ . Una suma de cuatro de ellos igual a $59$ : el mayor ha de ser $25$ ( $36 + 4 + 4 + 9 = 53 < 59$ no permite ajustar: $36 + 16 + 4 + 4 = 60$ , $36 + 9 + 9 + 4 = 58$ , $36 + 16 + 9 + 4 = 65$ — ninguna combinación con $36$ o $49$ funciona), y $59 - 25 = 34 = 16 + 9 + 9$ (la única manera: $16 + 16 + 4 = 36$ , $25 + 9 + 4 = 38$ , $25 + 4 + 4 = 33$ ): grados $1, 3, 3, 4, 5$ .

16. $\langle\pi, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(5 + 15\cdot1 + 20\cdot2 + 0 + 0) = 1$ (una sola órbita — recuento de Burnside) y $\langle\pi, \pi\rangle = \frac1{60}(25 + 15 + 80 + 0 + 0) = 2$ : $\pi$ contiene el carácter trivial una vez, y su otro constituyente es un único irreducible. Por tanto, $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ es irreducible de grado $4$ , con valores $4, 0, 1, -1, -1$ .

17. Sobre los pares, un elemento fija $\{i,j\}$ si y solo si fija o intercambia $i, j$ : los recuentos son $10$ ( $e$ ), $2$ ( $t = (1\,2)(3\,4)$ fija $\{1,2\}, \{3,4\}$ ), $1$ ( $(1\,2\,3)$ fija $\{4,5\}$ ), $0, 0$ . Entonces $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle = \frac1{60}(100 + 15\cdot4 + 20\cdot1) = 3$ : tres constituyentes irreducibles, cada uno una vez. Y $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(10 + 30 + 20) = 1$ , $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle = \frac1{60}(40 + 0 + 20\cdot1\cdot1 + 0 + 0) = 1$ : luego $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 + \chi$ con $\chi$ irreducible de grado $10 - 1 - 4 = 5$ y valores $\chi_5 = \pi_{10} - \mathbf 1 - \chi_4 = (5, 1, -1, 0, 0)$ .

18. Escribamos $a, a'$ para los valores de $\chi_2, \chi_3$ en $t$ , y $b, b'$ para los de $s = (1\,2\,3)$ ; los cuatro son reales ( $t$ y $s$ son conjugados de sus inversos). Columna $t$ contra columna $e$ : $1 + 3a + 3a' + 4\cdot0 + 5\cdot1 = 0$ , luego $a + a' = -2$ ; columna $t$ consigo misma: $1 + a^2 + a'^2 + 0 + 1 = \frac{60}{15} = 4$ , luego $a^2 + a'^2 = 2$ ; de donde $(a + a')^2 = 4 = 2 + 2aa'$ da $aa' = 1$ y $a = a' = -1$ . Columna $s$ contra $e$ : $1 + 3(b + b') + 4 - 5 = 0$ da $b + b' = 0$ ; columna $s$ consigo misma: $1 + b^2 + b'^2 + 1 + 1 = \frac{60} {20} = 3$ da $b = b' = 0$ .

19. Columna $c$ contra columna $e$ : $1 + 3(x + y) + 4(-1) + 5\cdot0 = 0$ , luego $x + y = 1$ . Columna $c$ contra columna $c^2$ (clases distintas, ortogonales): $1 + xy + yx + 1 + 0 = 0$ , luego $xy = -1$ . Así, $x, y$ resuelven $T^2 - T - 1 = 0$ : $\{x, y\} = \{\varphi, \bar\varphi\}$ con $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$ . Coherencia: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 3 = \frac{60}{12} - 2$ — lo que concuerda con la identidad de la columna consigo misma $1 + x^2 + y^2 + 1 + 0 = 5$ . La tabla:

	$e$	$15\,t$	$20\,s$	$12\,c$	$12\,c^2$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$3$	$-1$	$0$	$\varphi$	$\bar\varphi$
$\chi_3$	$3$	$-1$	$0$	$\bar\varphi$	$\varphi$
$\chi_4$	$4$	$0$	$1$	$-1$	$-1$
$\chi_5$	$5$	$1$	$-1$	$0$	$0$

20. $\norm{\chi_2}^2 = \frac1{60}\bigl(9 + 15\cdot1 + 0 + 12\varphi^2 + 12\bar\varphi^2\bigr) = \frac{9 + 15 + 36}{60} = 1$ , usando $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = (\varphi + \bar\varphi)^2 - 2\varphi\bar\varphi = 1 + 2 = 3$ . Análogamente, $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = \frac1{60}(9 + 15 + 0 + 12(2\varphi\bar\varphi)) = \frac{9 + 15 - 24}{60} = 0$ . Divisibilidad de Frobenius: $1, 3, 3, 4, 5$ dividen todos a $60$ . Los valores irracionales $\varphi, \bar\varphi$ son la diferencia visible con $S_5$ : en $S_5$ todo elemento es conjugado de todos los generadores de su grupo cíclico con el mismo tipo de ciclo — en particular $c \sim c^2$ —, lo que fuerza valores carácter racionales (de hecho enteros); en $A_5$ , el desdoblamiento de los ciclos de longitud cinco abre la puerta a $\Q(\sqrt5)$ .

21. Un subgrupo normal $N$ es unión de clases, contiene $e$ y $\abs N \mid 60$ . Las sumas candidatas: $1{+}15 = 16$ , $1{+}20 = 21$ , $1{+}12 = 13$ , $1{+}24 = 25$ , $1{+}15{+}20 = 36$ , $1{+}15{+}12 = 28$ , $1{+}15{+}24 = 40$ , $1{+}20{+}12 = 33$ , $1{+}20{+}24 = 45$ , $1{+}12{+}12 = 25$ , $1{+}15{+}20{+}12 = 48$ , $1{+}15{+}20{+}24 = 60 - 12 = \dots$ enumerando todas las subsumas propias que contienen $1$ : ninguna de $13, 16, 21, 25, 28, 33, 36, 40, 45, 48, 13{+}\dots$ divide a $60$ salvo el propio $1$ : $N = \{e\}$ o $A_5$ . Simplicidad, leída en cinco números. Y el criterio de la pregunta 11 también se ve: los cardinales de clase $15 = 3\cdot5$ , $20 = 4\cdot5$ , $12 = 4\cdot3$ son todos compuestos de dos primos — ninguna clase de cardinal potencia de primo, exactamente como el criterio de Burnside exige de un grupo simple.

22. Una rotación de $\R^3$ de ángulo $\theta$ tiene valores propios $1, \eu^{\iu\theta}, \eu^{-\iu\theta}$ : traza $1 + 2\cos\theta$ . Para $\theta = \frac{2\pi}5$ : $2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{\sqrt5 - 1}2$ , luego la traza es $1 + \frac{\sqrt5-1}2 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . El elemento no trivial $\tau$ de $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt5)/\Q)$ , aplicado entrada a entrada a una tabla de caracteres, lleva caracteres a caracteres (conmuta con el álgebra que los define: $\tau\circ\chi$ es el carácter de la representación obtenida transportando las matrices mediante $\tau$ sobre las entradas; o, en abstracto: las relaciones de ortogonalidad son $\Q$ -racionales, de modo que $\tau$ permuta sus soluciones); $\tau$ fija $\chi_1, \chi_4, \chi_5$ (valores racionales) y, por tanto, ha de intercambiar $\chi_2$ y $\chi_3$ : el segundo carácter de grado $3$ lleva los valores conjugados, sin calcular ninguna matriz. Geométricamente, las dos representaciones son la acción icosaédrica y su composición con un automorfismo exterior de $A_5$ (la conjugación por una trasposición), que intercambia las dos clases de ciclos de longitud cinco.

23. Para $z \in Z(G)$ , $\rho(z)$ conmuta con todo $\rho(g)$ , de modo que, por el lema de Schur, $\rho(z) = \lambda\, \mathrm{id}$ ; y como $z$ tiene orden finito, $\lambda$ es una raíz de la unidad y $\abs{\chi(z)} = \abs\lambda\,n = n$ . Entonces

\abs G = \abs G\,\langle\chi, \chi\rangle = \sum_{g \in G}\abs{\chi(g)}^2 \geq \sum_{z \in Z(G)}\abs{\chi(z)}^2 = \abs{Z(G)}\,n^2,

es decir, $n^2 \leq [G : Z(G)]$ . Un grupo no abeliano de orden $8$ ( $D_4$ o $Q_8$ ) tiene cinco clases de conjugación, luego cinco grados irreducibles con $\sum n_i^2 = 8$ ; la única manera de escribir $8$ como suma de cinco cuadrados $\geq 1$ es $1 + 1 + 1 + 1 + 4$ : grados $1, 1, 1, 1, 2$ . Ambos grupos tienen centro de orden $2$ , y el carácter de grado $2$ alcanza la igualdad: $2^2 = 4 = [G : Z(G)]$ — la cota es óptima. Para $A_5$ , $Z = \{e\}$ y la cota se lee $n^2 \leq 60$ : se cumple con $1, 3, 3, 4, 5$ y con holgura ( $25 \leq 60$ ), como no podía ser de otro modo, pues la igualdad forzaría (por la misma cadena) que $\chi$ se anulase fuera del centro.

24. $\rho(g)^m = \mathrm{id}$ , siendo $m$ el orden de $g$ , de modo que $\rho(g)$ es aniquilado por $X^m - 1$ , que se descompone con raíces simples sobre $\C$ : es diagonalizable, con valores propios $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ raíces de la unidad, en una base propia $(e_i)$ . Los productos $e_ie_j$ ( $i \leq j$ ) forman una base propia de $\operatorname{Sym}^2V$ con valores propios $\lambda_i\lambda_j$ , y los $e_i \wedge e_j$ ( $i < j$ ) una de $\Lambda^2V$ ; puesto que

\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = \frac{(\sum_i\lambda_i)^2 - \sum_i\lambda_i^2}2 = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2,

y la suma simétrica añade $\sum_i\lambda_i^2$ en lugar de restarlo, ambas fórmulas se siguen. Para $\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi)$ sobre las clases $(e, (2,2)\text{-}, 3\text{-ciclos}, c, c^2)$ : elevar al cuadrado envía las dobles trasposiciones a $e$ , los ciclos de longitud tres a ciclos de longitud tres, y la clase de $c$ sobre la de $c^2$ y recíprocamente ( $c^{-1} \sim c$ en $A_5$ , luego $c^4 \sim c$ ). Por tanto, $\chi_2(g^2)$ se lee $(3, 3, 0, \bar\varphi, \varphi)$ y, usando $\varphi^2 = \varphi + 1$ , $\bar\varphi = 1 - \varphi$ :

\Lambda^2\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi) = \chi_2, \qquad \operatorname{Sym}^2\chi_2 = (6, 2, 0, 1, 1) .

Descomponiendo esta última, con los cardinales de clase $1, 15, 20, 12, 12$ : $\langle\cdot, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(6 + 15\cdot2 + 0 + 12 + 12) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_5\rangle = \frac1{60}(30 + 30) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_4\rangle = \frac1{60}(24 - 12 - 12) = 0$ ; $\langle\cdot, \chi_2\rangle = \frac1{60}(18 - 30 + 12(\varphi + \bar\varphi)) = 0$ , y análogamente para $\chi_3$ . Luego $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ (dimensiones $6 = 1 + 5$ ) y $\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5$ (dimensiones $9 = 1 + 3 + 5$ ). Geometría: el isomorfismo equivariante $\Lambda^2\R^3 \to \R^3$ , $u \wedge v \mapsto u \times v$ , es exactamente $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ para un grupo de rotaciones; el sumando $\mathbf 1$ del cuadrado simétrico es la forma cuadrática invariante $x^2 + y^2 + z^2$ , y $\chi_5$ vive en el espacio de dimensión cinco de los tensores simétricos de traza nula (las cuádricas armónicas).

25. Columna de $c$ contra columna de $c^2$ :

1\cdot1 + \varphi\bar\varphi + \bar\varphi\varphi + (-1)(-1) + 0 = 1 - 1 - 1 + 1 + 0 = 0,

tal como exige la ortogonalidad para clases distintas ( $\varphi \bar\varphi = -1$ ). Columna de $c$ consigo misma: $1 + \varphi^2 + \bar\varphi^2 + 1 + 0 = 1 + 3 + 1 = 5 = 60/12 = \abs{Z_{A_5}(c)}$ . Carácter regular $\sum_in_i\chi_i$ en las cuatro columnas distintas de la identidad:

1 - 3 - 3 + 0 + 5 = 0, \qquad 1 + 0 + 0 + 4 - 5 = 0,

sobre las dobles trasposiciones y los ciclos de longitud tres, y sobre la clase de $c$ (la de $c^2$ es su conjugada de Galois):

1 + 3\varphi + 3\bar\varphi - 4 + 0 = 1 + 3 - 4 = 0,

usando $\varphi + \bar\varphi = 1$ . La tabla supera todas las auditorías: es la tabla de caracteres de $A_5$ .

5.1 Representaciones, Maschke, Schur

5.2 Caracteres y ortogonalidad

5.3 Tablas de caracteres

5.4 Ejercicios

5.5 Problema: el teorema paqbp^aq^bpaqb de Burnside

5.5 Problema: el teorema $p^aq^b$ de Burnside