Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

3Mecánica de medios continuos y elasticidad

Péguese el oído a un largo raíl de acero mientras un operario lo golpea a lo lejos: oirá dos golpes — uno por el acero y otro por el aire — separados por un segundo o más. La roca, el acero, el hueso y el caucho transmiten fuerzas y ondas como un fluido transmite la presión, pero con algo que ningún fluido tiene: se resisten a los cambios de forma, y no solo a los de volumen. El volumen del Año 2 construyó la mecánica de fluidos sobre dos ideas, la partícula material y el campo de presión; este capítulo las extiende a los sólidos. El desplazamiento de cada partícula pasa a ser un campo, su distorsión local una deformación, las fuerzas internas una tensión, y entre ambas se sitúa el carné de identidad del sólido: la ley de Hooke con sus dos constantes elásticas. El provecho va desde lo cotidiano — por qué se alargan los cables, por qué revientan las botellas, cómo se dobla un trampolín — hasta lo planetario: los terremotos envían a través de la Tierra exactamente las dos clases de onda elástica que este capítulo predice, y sus tiempos de llegada fueron la primera escucha del interior de nuestro planeta.

3.1 La deformación: describir el cambio de forma

Definición 3.1 (Campo de desplazamientos y tensor de deformaciones)

Cuando un sólido se deforma, la partícula que estaba inicialmente en $\vect r$ pasa a $\vect r + \vect u(\vect r)$ : $\vect u$ es el campo de desplazamientos. Para deformaciones pequeñas, la distorsión local se mide con el tensor de deformaciones, la matriz simétrica

\varepsilon_{ij} = \frac12\Big( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \Big) , \qquad i, j \in \{x, y, z\} .

Una componente diagonal $\varepsilon_{xx}$ es el alargamiento relativo del material en la dirección $x$ (adimensional; por ejemplo $10^{-3}$ para un cable de acero en servicio); una componente no diagonal $\varepsilon_{xy}$ es la mitad del cierre del ángulo entre las direcciones materiales $x$ e $y$ — una cizalladura. La traza es la variación relativa de volumen, la dilatación cúbica:

\frac{\delta V}{V} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} = \operatorname{div}\vect u .

Ejemplo 3.2 (Tres deformaciones elementales)

Dilatación uniforme $\vect u = \alpha\vect r$ : $\varepsilon_{ij} = \alpha\,\delta_{ij}$ , variación de volumen $3\alpha$ , sin cizalladura. Cizalladura simple $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$ : $\varepsilon_{xy} = \gamma/2$ y todas las componentes diagonales nulas — la forma cambia, el volumen no. Rotación rígida $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ : $\varepsilon_{ij} = 0$ idénticamente — la parte antisimétrica de $\partial u_i/\partial x_j$ , que la simetrización descarta, es precisamente la que gira sin deformar. La deformación mide solo el cambio de forma.

El tensor de deformaciones solo ve la deformación verdadera: el estiramiento (componentes diagonales), la cizalladura (componentes no diagonales) — y una rotación rígida, en absoluto.

3.2 La tensión: describir las fuerzas internas

Definición 3.3 (Vector tensión y tensor de tensiones)

Córtese el sólido, mentalmente, a lo largo de una pequeña superficie $\dd S$ de normal $\vect n$ : el material del lado $+\vect n$ tira del otro lado con una fuerza $\dd\vect F = \boldsymbol\sigma(\vect n)\,\dd S$ — el vector tensión. Esta fuerza depende linealmente de $\vect n$ (Cauchy), de modo que la codifica el tensor de tensiones $\sigma_{ij}$ :

\dd F_i = \sum_j \sigma_{ij}\,n_j\,\dd S ,

en pascales. $\sigma_{xx}$ es una tracción ( $> 0$ ) o una compresión ( $< 0$ ) a través de una cara normal a $x$ ; $\sigma_{xy}$ es una fuerza dirigida según $x$ soportada por una cara normal a $y$ — una tensión cortante. Un fluido en reposo es el caso particular $\sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij}$ : la presión empuja por igual sobre cada cara y no cizalla ninguna, y por eso los fluidos fluyen — no pueden soportar una cizalladura estática.

Proposición 3.4 (Equilibrio y simetría)

En un sólido en equilibrio bajo una fuerza másica $\vect f$ por unidad de volumen (por ejemplo $\rho\vect g$ ),

\sum_j\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i = 0

en todo punto interior; y el tensor de tensiones es simétrico, $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ .

Demostración parcial. Equilibremos las fuerzas sobre un pequeño cubo de arista $a$ : los vectores tensión sobre las dos caras normales a $x$ difieren en $a\,\partial_x\sigma_{ix}$ por unidad de área, y lo mismo para las demás parejas; la fuerza superficial neta por unidad de volumen es $\sum_j\partial_j\sigma_{ij}$ , que debe cancelar $f_i$ — la misma contabilidad que dio $-\vect\nabla p + \rho\vect g = \vect 0$ en la estática de fluidos del volumen del Año 1. La simetría: el momento de las tensiones cortantes respecto del centro del cubo es $(\sigma_{xy} - \sigma_{yx})a^3$ en el orden dominante, mientras que su momento de inercia va como $a^5$ ; una tensión asimétrica haría girar los cubos pequeños infinitamente deprisa. El argumento continuo completo se admite. ∎

Las tres componentes del vector tensión sobre una cara de un cubo material: una normal (tracción o compresión) y dos tangenciales (cortantes). Las nueve componentes sobre las tres caras forman el tensor de tensiones.

3.3 La ley de Hooke y las constantes elásticas

Teorema 3.5 (Elasticidad lineal isótropa)

Para deformaciones pequeñas, un sólido isótropo responde linealmente: la tensión es proporcional a la deformación,

\sigma_{ij} = \lambda\,(\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz})\,\delta_{ij} + 2\mu\,\varepsilon_{ij} ,

con dos constantes del material, los coeficientes de Lamé $\lambda$ y $\mu$ ( $\mu$ se escribe también $G$ , el módulo de cizalladura). En el ensayo de tracción simple — una barra estirada según $x$ y libre por sus costados — la misma ley toma la forma del ingeniero

\varepsilon_{xx} = \frac{\sigma_{xx}}{E} , \qquad \varepsilon_{yy} = \varepsilon_{zz} = -\nu\,\varepsilon_{xx} ,

que define el módulo de Young $E$ (rigidez frente al estiramiento) y el coeficiente de Poisson $\nu$ (contracción lateral), con

\mu = \frac{E}{2(1 + \nu)} , \qquad \lambda = \frac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} .

Es el “cuanto el alargamiento, tanta la fuerza” de Hooke (1678), elevado a tensor. Vale hasta un límite elástico propio de cada material.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 3.6 (Órdenes de magnitud)

$E \approx 200\,\mathrm{GPa}$ para el acero, $70\,\mathrm{GPa}$ para el aluminio y el vidrio de ventana, $50\,\mathrm{GPa}$ para el granito, $15\,\mathrm{GPa}$ para el hueso y el hormigón, $10\,\mathrm{GPa}$ para la madera en la dirección de la fibra y solo unos pocos MPa para el caucho — cinco órdenes de magnitud, la distancia entre un puente y una goma elástica. $\nu$ está comprendido entre $0$ (el corcho, casi) y $1/2$ (el caucho): $\nu = 1/2$ significa deformación a volumen constante, y $\nu \approx 0.3$ es lo típico de los metales. Una deformación de $10^{-3}$ en acero significa ya $\sigma = 200\,\mathrm{MPa}$ , cerca del límite de fluencia de las calidades ordinarias: la elasticidad cotidiana vive por debajo de una milésima.

Ejemplo 3.7 (El cable de un ascensor)

Un cable de acero de $60\,\mathrm{m}$ y sección $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ sostiene una cabina de $1000\,\mathrm{kg}$ : $\sigma = mg/S = 49\,\mathrm{MPa}$ , $\varepsilon = \sigma/E = 2.5 \times 10^{-4}$ , alargamiento $\varepsilon L = 15\,\mathrm{mm}$ — y el cable se comporta como un resorte de rigidez $k = ES/L = 6.7 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ : la fórmula $k = ES/L$ es la manera en que un medio continuo devuelve los resortes del volumen del Año 1.

Proposición 3.8 (Energía elástica)

Un sólido deformado almacena, por unidad de volumen, la densidad de energía

w = \frac12\sum_{i,j}\sigma_{ij}\,\varepsilon_{ij} \qquad\text{(tracción simple: } w = \tfrac12 E\varepsilon^2 = \sigma^2/2E\text{)} ,

el $\tfrac12 kx^2$ tridimensional.

Demostración parcial. En tracción simple, llevar la tensión de $0$ a $\sigma$ realiza el trabajo por unidad de volumen $\int_0^\varepsilon\sigma'\,\dd\varepsilon' = \int_0^\varepsilon E\varepsilon'\,\dd\varepsilon' = \tfrac12 E\varepsilon^2$ — el área bajo la recta tensión–deformación, exactamente como para un resorte. La forma cuadrática general se sigue superponiendo las componentes; se admite. ∎

Izquierda: el ensayo de tracción define E (alargamiento relativo) y (afinamiento lateral, exagerado). Derecha: la curva tensión–deformación de un metal — elasticidad lineal hasta el límite elástico, luego flujo plástico irreversible, luego fractura. Este capítulo vive en el tramo recto. — Izquierda: el ensayo de tracción define $E$ (alargamiento relativo) y $\nu$ (afinamiento lateral, exagerado). Derecha: la curva tensión–deformación de un metal — elasticidad lineal hasta el límite elástico, luego flujo plástico irreversible, luego fractura. Este capítulo vive en el tramo recto.

Método 3.9 (Resolver problemas de elasticidad pequeña)

(1) Identificar la geometría y la carga; conjeturar qué componentes de la tensión no son nulas (una barra traccionada: solo $\sigma_{xx}$ ; un hilo retorcido: cizalladura; una envolvente a presión: tracciones tangenciales). (2) Escribir el equilibrio de fuerzas sobre una porción bien elegida — un semicilindro, una rodaja, un cubo. (3) Pasar de la tensión a la deformación por la ley de Hooke, y de la deformación al desplazamiento integrando. (4) Las energías, mediante $w = \sigma^2/2E$ (o $\sigma^2/2G$ en cizalladura). (5) Comprobar siempre que la deformación sigue siendo pequeña y la tensión por debajo del límite elástico — si no, la respuesta describe un sólido que ya no existe.

3.4 Ondas elásticas

Proposición 3.10 (Los dos sonidos de un sólido)

En un sólido elástico ilimitado de densidad $\rho$ , las perturbaciones pequeñas se propagan como dos tipos independientes de onda: las ondas longitudinales (P), en las que la materia oscila a lo largo de la dirección de propagación por compresión y dilatación, con velocidad

c_{\text{P}} = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}} ,

y las ondas transversales (S), en las que la materia se cizalla lateralmente, con

c_{\text{S}} = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}} < c_{\text{P}} .

Un fluido tiene $\mu = 0$ : no hay ondas S — la cizalladura no puede transmitirse — y la velocidad P se reduce a la velocidad del sonido del volumen del Año 2. Para $\nu = 1/4$ (roca típica), $\lambda = \mu$ y $c_{\text{P}} = \sqrt3\,c_{\text{S}}$ .

Demostración parcial. Tomemos una perturbación plana $\vect u = \vect u(x, t)$ . La ley de Newton por unidad de volumen es $\rho\,\partial_t^2u_i = \sum_j\partial_j\sigma_{ij}$ (la ecuación de equilibrio con la inercia restituida). Para la componente longitudinal, la ley de Hooke da $\sigma_{xx} = (\lambda + 2\mu)\,\partial_xu_x$ (las deformaciones laterales se anulan en una onda plana, pues la materia vecina impide el alivio lateral), de modo que $\rho\,\partial_t^2u_x = (\lambda + 2\mu)\,\partial_x^2u_x$ : d’Alembert con velocidad $c_{\text{P}}$ . Para la componente transversal, $\sigma_{yx} = 2\mu\varepsilon_{yx} = \mu\,\partial_xu_y$ , de donde $\rho\,\partial_t^2u_y = \mu\,\partial_x^2u_y$ : velocidad $c_{\text{S}}$ . Que una perturbación general se descomponga en esas dos familias se admite. ∎

Las dos ondas elásticas. P: los planos de materia se aprietan y se separan a lo largo de la dirección de avance (onda de compresión — existe en sólidos, líquidos y gases). S: la materia se cizalla lateralmente (existe solo donde se resiste la cizalladura: en los sólidos).

Ejemplo 3.11 (El raíl y el terremoto)

Acero: $c_{\text{P}} \approx 5.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — un golpe dado en un raíl a $2\,\mathrm{km}$ llega por el acero en $0.34\,\mathrm{s}$ y por el aire ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) en $5.9\,\mathrm{s}$ : dos golpes. Granito ( $E = 75\,\mathrm{GPa}$ , $\nu = 1/4$ , $\rho = 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): $c_{\text{P}} \approx 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $c_{\text{S}} \approx 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Un terremoto se anuncia, pues, dos veces: una sacudida P seca y, segundos después, el temblor S más lento y más fuerte — y el retardo mide la distancia (Problema 3.1). Los sistemas de alerta temprana de terremotos viven dentro de ese retardo: la onda P, y el mensaje de radio que dispara, adelantan a la onda S que causa los daños.

Observación 3.12 (Cuerdas, barras y sonido recuperados)

Las ondas del volumen del Año 2 son todas límites de este capítulo. Una barra delgada, libre de afinarse lateralmente, transmite ondas de compresión a $\sqrt{E/\rho}$ (más lentas que $c_{\text{P}}$ : el alivio lateral ablanda la respuesta); una cuerda tensa transmite ondas transversales a $\sqrt{T/\rho_\ell}$ , con la tensión haciendo las veces de rigidez; un fluido conserva solo $\lambda$ — su módulo de compresibilidad — y la única velocidad del sonido $\sqrt{\lambda/\rho}$ .

Un trampolín cargado: tensiones y deformaciones repartidas por un medio continuo, doblado según el perfil cúbico de flexión de la ménsula — y un resorte a punto de devolver su energía elástica.

3.5 Ejercicios

Ejercicio 3.1 ★

(a) Compruébense las unidades: ¿qué es un pascal en términos de kg, m y s, y cuál es la unidad de la deformación? (b) Un cable de acero trabaja a $\sigma = 200\,\mathrm{MPa}$ : calcúlese su deformación. (c) Una goma elástica ( $E \approx 2\,\mathrm{MPa}$ ) se estira hasta el doble de su longitud: ¿qué “deformación” es esa y por qué no se aplica realmente el marco de este capítulo? (d) Ordénese por densidad de energía elástica almacenada a su tensión de trabajo: el acero a $200\,\mathrm{MPa}$ y el caucho a $1\,\mathrm{MPa}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.1.

(a) $\mathrm{Pa} = \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; la deformación es un número puro. (b) $\varepsilon = \sigma/E = 10^{-3}$ . (c) Duplicar la longitud es $\varepsilon = 1$ : mil veces más allá de lo “pequeño”, y la respuesta del caucho allí es fuertemente no lineal (y de origen distinto, entrópico) — la ley de Hooke solo abre la curva. (d) $w = \sigma^2/2E$ : acero $(2 \times 10^{8})^2/2(2 \times 10^{11}) = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; caucho $(10^{6})^2/2(2 \times 10^{6}) = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ — el material blando almacena más por unidad de volumen a su tensión de trabajo, y por eso los tirachinas son de caucho y no de acero.

Ejercicio 3.2 ★

Calcúlese el tensor de deformaciones de cada campo de desplazamientos y descríbase la deformación: (a) $\vect u = \alpha(x, y, z)$ ; (b) $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$ ; (c) $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ ; (d) $\vect u = (\varepsilon x, -\nu\varepsilon y, -\nu\varepsilon z)$ — ¿qué experimento lo realiza?

Solución

Solución de Ejercicio 3.2.

(a) $\varepsilon_{ij} = \alpha\delta_{ij}$ : dilatación isótropa, $\delta V/V = 3\alpha$ . (b) $\varepsilon_{xy} = \varepsilon_{yx} = \gamma/2$ y el resto nulas: cizalladura pura, volumen invariable. (c) $\varepsilon_{ij} = 0$ : rotación rígida, sin deformación. (d) $\operatorname{diag}(\varepsilon, -\nu\varepsilon, -\nu\varepsilon)$ : el ensayo de tracción — estiramiento según $x$ y contracción de Poisson transversal.

Ejercicio 3.3 ★

La base de una columna de granito de altura $h$ soporta la tensión $\sigma = \rho gh$ . (a) Dedúzcase de la ecuación de equilibrio con gravedad. (b) El granito se aplasta hacia los $200\,\mathrm{MPa}$ : ¿cuál es la columna más alta posible? (c) El Everest tiene $8.8\,\mathrm{km}$ de altura: coméntese. (d) ¿Por qué puede una montaña ser algo más alta que una columna de su propia roca (piénsese en la forma)?

Solución

Solución de Ejercicio 3.3.

(a) Con solo $\sigma_{zz}(z)$ y el peso: $\partial_z\sigma_{zz} = \rho g$ (tomando la compresión positiva hacia abajo), $\sigma_{zz} = \rho gh$ en la base. (b) $h_{\max} = \sigma_{\text{c}}/\rho g = 2 \times 10^{8}/(2700 \times 9.81) \approx 7.6\,\mathrm{km}$ . (c) El Everest está en el límite de aplastamiento de su propia base — las montañas de la Tierra son tan altas como permite la resistencia de la roca, y no más. (d) Un cono de altura $h$ carga su base con solo $\rho gh/3$ (un tercio de la columna: la masa crece con la sección), de modo que un montón con forma de montaña puede alzarse unas tres veces más que una columna.

Ejercicio 3.4 ★

Una barra de acero ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\nu = 0.30$ ) se estira hasta $\varepsilon = 10^{-3}$ . (a) ¿Deformación lateral? (b) ¿Variación relativa de volumen? (c) ¿Para qué $\nu$ no cambiaría el volumen en absoluto, y qué material corriente se le acerca? (d) ¿Por qué es imposible $\nu > 1/2$ (considérese una compresión hidrostática)?

Solución

Solución de Ejercicio 3.4.

(a) $-\nu\varepsilon = -3 \times 10^{-4}$ . (b) $\delta V/V = (1 - 2\nu)\varepsilon = 4 \times 10^{-4}$ . (c) $\nu = 1/2$ : deformación incompresible — el caucho. (d) Para $\nu > 1/2$ el módulo de compresibilidad $K = E/3(1 - 2\nu)$ sería negativo: comprimir por todos lados aumentaría el volumen y el material liberaría energía al colapsar — ningún sólido estable puede hacerlo.

Ejercicio 3.5 ★★

Tensión circunferencial. Un cilindro de pared delgada (radio $R$ , espesor de pared $t \ll R$ ) contiene una presión $p$ . (a) Equilibrando las fuerzas sobre un semicilindro de longitud unidad, muéstrese que la pared soporta la tensión tangencial $\sigma_\theta = pR/t$ . (b) Muéstrese que la tensión longitudinal (equilibrio sobre una sección recta) vale $pR/2t$ : un cilindro está tensionado el doble en dirección circunferencial que a lo largo — ¿por dónde se abren las salchichas? (c) Una botella de buceo: $p = 200\,\mathrm{bar}$ , $R = 9\,\mathrm{cm}$ , $t = 5\,\mathrm{mm}$ : calcúlense $\sigma_\theta$ y compárese con un límite de fluencia del acero de $700\,\mathrm{MPa}$ . (d) ¿Por qué tienen los depósitos de alta presión fondos hemisféricos?

Solución

Solución de Ejercicio 3.5.

(a) Sobre un semicilindro de longitud unidad, la presión empuja con $p \times 2R$ (área proyectada) y las dos paredes cortadas tiran en sentido contrario con $2\sigma_\theta t$ : $\sigma_\theta = pR/t$ . (b) Sobre una sección recta, $p\pi R^2 = \sigma_z\,2\pi Rt$ : $\sigma_z = pR/2t$ — la mitad. Una salchicha se abre longitudinalmente: la mayor tensión circunferencial rasga la piel a lo largo del eje. (c) $\sigma_\theta = 2 \times 10^{7} \times 0.09/0.005 = 360\,\mathrm{MPa}$ : un factor $2$ por debajo del límite de fluencia — de ahí que las botellas se prueben a presión y se inspeccionen. (d) Una esfera soporta $pR/2t$ en todas las direcciones: los fondos hemisféricos reducen la tensión a la mitad y evitan las esquinas donde unos fondos planos la concentrarían.

Ejercicio 3.6 ★★

Un bloque de caucho ( $E = 3.0\,\mathrm{MPa}$ , $\nu \approx 0.5$ ), de base $10 \times 10\,\mathrm{cm}$ y altura $2\,\mathrm{cm}$ , está pegado entre dos placas; la placa superior se empuja lateralmente con $150\,\mathrm{N}$ . (a) Calcúlese $G$ . (b) La tensión cortante y el ángulo de cizalladura $\gamma = \sigma_{xy}/G$ ; el desplazamiento lateral de la placa superior. (c) ¿Por qué vale $\nu \approx 1/2$ para el caucho (qué es difícil y qué es fácil para una maraña de cadenas poliméricas)? (d) Estos bloques de caucho sostienen edificios enteros en zonas sísmicas: ¿qué propiedad de este apoyo protege al edificio, su rigidez en compresión o su blandura en cizalladura?

Solución

Solución de Ejercicio 3.6.

(a) $G = E/2(1 + \nu) = 1.0\,\mathrm{MPa}$ . (b) $\sigma_{xy} = F/S = 150/10^{-2} = 15\,\mathrm{kPa}$ ; $\gamma = \sigma_{xy}/G = 0.015$ ; desplazamiento $\gamma h = 0.3\,\mathrm{mm}$ . (c) Una red de caucho cambia de forma por simple reorientación de sus cadenas (fácil), pero cambiar de volumen exige empaquetarlas más juntas, tan difícil como comprimir un líquido: $G \ll K$ , de donde $\nu \to 1/2$ . (d) La blandura en cizalladura: el apoyo deja que el suelo tiemble horizontalmente por debajo transmitiendo poca fuerza, y sigue siendo lo bastante rígido en compresión para sostener el peso del edificio.

Ejercicio 3.7 ★★

Una cuerda de escalada de longitud $L = 20\,\mathrm{m}$ , sección $S = 80\,\mathrm{mm}^{2}$ y módulo efectivo $E = 1.2\,\mathrm{GPa}$ . (a) Su rigidez $k = ES/L$ . (b) Un escalador de $80\,\mathrm{kg}$ cae libremente $4\,\mathrm{m}$ antes de que la cuerda entre en juego: igualando energías, hállese el alargamiento máximo de la cuerda (resuélvase la ecuación de segundo grado; despréciese en una primera pasada la caída que continúa durante el frenado). (c) Dedúzcanse la fuerza máxima y la deceleración máxima en unidades de $g$ . (d) ¿Por qué debe retirarse una cuerda que ha detenido una caída dura (adónde fue la energía y qué dice la curva tensión–deformación)?

Solución

Solución de Ejercicio 3.7.

(a) $k = ES/L = 1.2 \times 10^{9} \times 8 \times 10^{-5}/20 = 4.8\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ . (b) $mg(h + x) = \tfrac12 kx^2$ : $2400x^2 - 785x - 3140 = 0$ , $x = 1.3\,\mathrm{m}$ . (c) $F = kx \approx 6.3\,\mathrm{kN}$ ; deceleración $F/m \approx 79\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 8g$ — la razón de que las cuerdas se fabriquen deliberadamente elásticas. (d) Parte de la energía absorbida se empleó en romper fibras y en reordenamientos plásticos: la cuerda vive ahora sobre una curva tensión–deformación degradada, más rígida y más débil, y la caída siguiente sería más dura en ambos sentidos.

Ejercicio 3.8 ★★

Torsión. Un hilo de radio $a$ , longitud $L$ y módulo de cizalladura $G$ se retuerce un ángulo $\theta$ . (a) Muéstrese que un tubo de radio $r$ situado en su interior sufre el ángulo de cizalladura $\gamma(r) = r\theta/L$ . (b) Su tensión cortante es $G\gamma$ : intégrese $r \times$ tensión sobre la sección para obtener el par recuperador $\Gamma = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$ . (c) El $a^4$ : si se reduce el radio a la mitad, ¿en qué factor cae la rigidez de torsión? (d) Esta blandura extrema es la razón por la que Cavendish (1798) colgó su balanza de un hilo fino: para $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $L = 1\,\mathrm{m}$ , $G = 40\,\mathrm{GPa}$ , calcúlense $C = \pi Ga^4/2L$ y el periodo con una barra de momento de inercia $I = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.8.

(a) Lo alto de un tubo de radio $r$ gira el arco $r\theta$ a lo largo de la longitud $L$ : $\gamma = r\theta/L$ . (b) $\Gamma = \int_0^a r\,(G r\theta/L)\, 2\pi r\,\dd r = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$ . (c) En $2^4 = 16$ . (d) $C = \pi \times 4 \times 10^{10} \times (2.5 \times 10^{-5})^4/2 = 2.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ ; $T = 2\pi\sqrt{I/C} = 2\pi\sqrt{5 \times 10^{-4}/ 2.5 \times 10^{-8}} \approx 900\,\mathrm{s}$ — un cuarto de hora por oscilación: sensibilidad suficiente para notar la gravedad de unas esferas de plomo.

Ejercicio 3.9 ★★

(a) A partir de la deducción con ondas planas de la Proposición 3.10, calcúlense $c_{\text{P}}$ y $c_{\text{S}}$ para el acero ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\nu = 0.29$ , $\rho = 7.85 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). (b) Compárese $c_{\text{P}}$ con la velocidad en barra delgada $\sqrt{E/\rho}$ y explíquese la diferencia en una frase. (c) Para el agua ( $\mu = 0$ , módulo de compresibilidad $2.2\,\mathrm{GPa}$ ): la velocidad S y la velocidad P. (d) ¿En qué ángulo difiere el movimiento de la materia de una onda P del de una onda S, y cómo las distingue un sismómetro de tres componentes?

Solución

Solución de Ejercicio 3.9.

(a) $\mu = E/2(1+\nu) = 78\,\mathrm{GPa}$ , $\lambda = E\nu/(1+\nu)(1-2\nu) = 107\,\mathrm{GPa}$ : $c_{\text{P}} = \sqrt{262\times10^9/7850} = 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $c_{\text{S}} = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (b) La barra delgada da $\sqrt{E/\rho} = 5.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : en la barra, los costados se abomban libremente (alivio de Poisson) y ablandan la respuesta; en el seno del material, la materia circundante lo impide. (c) $c_{\text{S}} = 0$ ; $c_{\text{P}} = \sqrt{2.2 \times 10^{9}/1000} = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — la velocidad del sonido en el agua. (d) La P mueve el suelo a lo largo del rayo (casi vertical para un foco profundo) y la S transversalmente: las tres componentes de un sismómetro separan las polarizaciones, y el retardo P/S data entonces la distancia.

Ejercicio 3.10 ★★★

Flexión. Una viga se dobla hasta un radio de curvatura $R$ ; sus fibras interiores se acortan, las exteriores se alargan y una superficie neutra intermedia conserva su longitud. (a) Muéstrese que la fibra situada a una distancia $y$ de la superficie neutra tiene deformación $\varepsilon = y/R$ y, por tanto, tensión $Ey/R$ . (b) Sumando momentos sobre la sección recta, muéstrese que el momento flector es $M = EI/R$ con $I = \int y^2\,\dd S$ (el momento de segundo orden); calcúlese $I$ para un rectángulo de anchura $b$ y altura $h$ . (c) El $h^3$ : ¿por qué un tablón doblado de plano se comba a ojos vistas mientras el mismo tablón de canto resulta rígido? Calcúlese la razón para $b/h = 5$ . (d) Para una ménsula de longitud $L$ cargada con $F$ en su extremo, la flecha es $\delta = FL^3/3EI$ (admitido): estímese $\delta$ para un trampolín ( $L = 1.8\,\mathrm{m}$ , $b = 50\,\mathrm{cm}$ , $h = 3.5\,\mathrm{cm}$ , madera de $E = 12\,\mathrm{GPa}$ ) bajo un saltador de $75\,\mathrm{kg}$ , y coméntese.

Solución

Solución de Ejercicio 3.10.

(a) Un arco de radio $R + y$ tiene longitud $(R + y)\alpha$ frente a $R\alpha$ en la superficie neutra: $\varepsilon = y/R$ , $\sigma = Ey/R$ . (b) $M = \int y\sigma\,\dd S = (E/R)\int y^2\,\dd S = EI/R$ ; para el rectángulo, $I = bh^3/12$ . (c) De plano: $I = bh^3/12$ ; de canto: $hb^3/12$ — razón $(b/h)^2 = 25$ para $b/h = 5$ : la misma madera, veinticinco veces más rígida, por pura geometría. (d) $I = 0.50 \times 0.035^3/12 = 1.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{4}$ , $EI = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $\delta = FL^3/3EI = 736 \times 1.8^3/(3 \times 2.1 \times 10^{4}) \approx 7\,\mathrm{cm}$ : exactamente la agradable flexión de un trampolín.

Ejercicio 3.11 ★★★

Pandeo. Una columna esbelta (longitud $L$ , rigidez a flexión $EI$ ), articulada en ambos extremos, soporta una carga axial $P$ . Supóngase que se arquea lateralmente según $y(x)$ . (a) Muéstrese que la carga ejerce entonces el momento flector $M(x) = -Py(x)$ respecto del eje desplazado, de modo que $EI\,y'' = -Py$ . (b) Con $y(0) = y(L) = 0$ , muéstrese que un arqueo no nulo se hace posible por primera vez en la carga crítica de Euler $P_{\text{c}} = \pi^2EI/L^2$ . (c) Calcúlese $P_{\text{c}}$ para una regla de un metro ( $b = 3\,\mathrm{cm}$ , $h = 1.5\,\mathrm{mm}$ , $E = 12\,\mathrm{GPa}$ ) y compárese con el empuje de su mano. (d) Explíquese a partir de $I$ por qué los huesos, el bambú y los cuadros de bicicleta son tubos.

Solución

Solución de Ejercicio 3.11.

(a) En la configuración arqueada, la carga axial $P$ actúa con el brazo $y(x)$ respecto de la sección situada en $x$ : $M = -Py$ , y $M = EIy''$ da $EIy'' = -Py$ . (b) $y = A\sin(x\sqrt{P/EI})$ con $y(L) = 0$ : un $A$ no nulo aparece por primera vez en $\sqrt{P/EI}\,L = \pi$ , o sea $P_{\text{c}} = \pi^2EI/L^2$ ; por debajo, la columna recta es la única solución; por encima, arquearse no cuesta fuerza alguna. (c) $I = 0.03 \times 0.0015^3/12 = 8.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{4}$ : $P_{\text{c}} = \pi^2 \times 12\times10^9 \times 8.4 \times 10^{-12}/1^2 \approx 1\,\mathrm{N}$ — el peso de una manzana: una regla de un metro pandea con un dedo. (d) $I$ crece a medida que el material se aleja del eje: un tubo sitúa toda su sección a $y$ grande y maximiza $I$ (y por tanto $P_{\text{c}}$ ) para un peso dado de material — el diseño de los huesos, el bambú y los cuadros de bicicleta.

Ejercicio 3.12 ★★★

La velocidad del sonido en un sólido, a partir de los átomos. Modelícese un sólido como cadenas de átomos de separación $a$ unidos por “resortes” de rigidez $\kappa$ ; masa atómica $m$ . (a) Muéstrese que estirar la cadena se corresponde con la tracción del medio continuo con $E = \kappa/a$ (cuéntense resortes por unidad de área y alargamiento por resorte). (b) Muéstrese que $\rho = m/a^3$ y conclúyase que $c = \sqrt{E/\rho} = a\sqrt{\kappa/m}$ . (c) Estímese $\kappa$ a partir de la profundidad de un enlace interatómico ( $\sim3\,\mathrm{eV}$ sobre $\sim 0.1\,\mathrm{nm}$ ): $\kappa \sim 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; con $a = 2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ y $m = 1 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ , estímese $c$ . (d) Compárese con las velocidades del sonido medidas en metales y conclúyase de qué está hecha la elasticidad cotidiana.

Solución

Solución de Ejercicio 3.12.

(a) Una cadena por cada área $a^2$ ; al estirar con deformación $\varepsilon$ , cada resorte se alarga $\delta = \varepsilon a$ , con fuerza $\kappa \varepsilon a$ por cadena y tensión $\kappa\varepsilon/a$ : $E = \kappa/a$ . (b) $\rho = m/a^3$ , luego $E/\rho = \kappa a^2/m$ y $c = a\sqrt{\kappa/m}$ . (c) $c = 2.5 \times 10^{-10}\sqrt{50/10^{-25}} \approx 5.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (d) Justo en los pocos km/s medidos en los metales: la rigidez de todo lo sólido — y la velocidad de toda onda sísmica — es la rigidez del enlace químico.

3.6 Problema: escuchar la Tierra

Problema 3.1

Problema de fin de semana — cómo revelaron los terremotos el núcleo líquido

Un solo terremoto hace sonar el planeta entero, y las dos ondas elásticas de este capítulo, al atravesarlo, lo radiografían. Este problema sigue la física desde la ley de Hooke en el granito hasta el descubrimiento por Oldham, en 1906, de que la Tierra tiene un núcleo — con la estimación de su tamaño mediante rayos rectos. Tómese para la roca de la corteza y el manto $E = 75\,\mathrm{GPa}$ , $\nu = 1/4$ , $\rho = 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; radio terrestre $R_{\text{E}} = 6371\,\mathrm{km}$ .

Parte I — La roca como sólido elástico.

Calcúlense los coeficientes de Lamé $\mu$ y $\lambda$ de esta roca y obsérvese que $\nu = 1/4$ los hace iguales.
Calcúlense $c_{\text{P}}$ y $c_{\text{S}}$ , y verifíquese que $c_{\text{P}} = \sqrt3\,c_{\text{S}}$ .
Un terremoto desliza dos caras de roca varios metros en unos segundos: estímese la deformación liberada si un deslizamiento de $2\,\mathrm{m}$ relaja la roca a lo largo de una escala de $50\,\mathrm{km}$ , y la tensión que se había acumulado.
A partir de la densidad de energía $w = \tfrac12 E\varepsilon^2$ , estímese la energía elástica por metro cúbico y luego la energía contenida en un volumen de $50 \times 50 \times 20\,\mathrm{km}^{3}$ ; compárese con un megatón ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
¿Por qué sacude la onda S los edificios con más fuerza que la onda P (piénsese en la dirección del movimiento del suelo para una onda que llega desde abajo)?
¿En cuál de las dos ondas cambia de volumen el terreno?

Parte II — Las dos llegadas del sismómetro.

Una estación registra la llegada de la P y, un tiempo $\Delta t$ después, la de la S. Para un foco a distancia $d$ (bastante corta como para admitir rayos rectos), muéstrese que

$d = \frac{\Delta t}{\dfrac{1}{c_{\text{S}}} - \dfrac{1}{c_{\text{P}}}} .$
Evalúese el coeficiente: ¿cuántos kilómetros por segundo de retardo S–P?
Una estación mide $\Delta t = 28\,\mathrm{s}$ : ¿a qué distancia está el terremoto?
Una sola estación da una distancia, no un lugar: ¿cuántas estaciones determinan el epicentro y cómo, geométricamente?
Las sirenas de alerta temprana de Japón suenan segundos antes del temblor fuerte: para un seísmo a $80\,\mathrm{km}$ bajo una ciudad, ¿cuánto aviso proporciona el propio retardo P–S?
Las alertas modernas añaden la velocidad de la luz: la onda P detectada cerca del foco se radia por delante de ambas ondas. Para una ciudad situada a $200\,\mathrm{km}$ del epicentro, ¿cuánto tarda en llegar la onda S tras la ruptura, y qué aviso puede dar un mensaje de radio emitido en la primera llegada de la P a $20\,\mathrm{km}$ del foco?

Parte III — Ondas que cruzan el planeta.

A las presiones del manto profundo los módulos crecen: las velocidades P alcanzan $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en la base del manto. Tomando una media aproximada $c_{\text{P}} \approx 10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , ¿cuánto tarda una onda P en cruzar la Tierra por un diámetro?
Las estaciones registran seísmos del otro lado del globo: ¿qué dice la mera existencia de esas llegadas sobre la Tierra profunda (¿es elástica?, ¿está fundida de parte a parte?)?
Defínase el ángulo epicentral $\Delta$ (ángulo en el centro de la Tierra entre el foco y la estación). Para rayos rectos, muéstrese que la longitud de la cuerda es $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$ .
Evalúense la cuerda y su tiempo de recorrido con rayos rectos para $\Delta = 60^\circ$ a la velocidad media $c_{\text{P}} \approx 10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
Hacia 1900, Oldham advirtió que las ondas S se registran hasta $\Delta \approx 103^\circ$ y luego desaparecen: no hay S directa más allá. ¿Qué propiedad de una región profunda del interior terrestre mata las ondas S, y qué estado de la materia tiene esa propiedad?
Las ondas P más allá de $103^\circ$ no faltan, pero se debilitan, se retrasan y se desplazan (una “zona de sombra” hasta $\approx 142^\circ$ ): ¿por qué una región líquida retrasa y refracta las ondas P sin detenerlas?
Conclúyase en una frase qué hay en el centro de la Tierra.

Parte IV — Pesar el núcleo con una regla.

Un rayo S recto que sale del foco roza el núcleo si su máxima aproximación al centro iguala el radio del núcleo $R_{\text{c}}$ . Muéstrese que ese rayo rasante alcanza la superficie con el ángulo epicentral $\Delta^* = 2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$ .
A partir de $\Delta^* = 103^\circ$ , calcúlese $R_{\text{c}}$ .
El valor moderno es $3480\,\mathrm{km}$ : calcúlese su error y explíquese su signo: los rayos reales se curvan de vuelta hacia la superficie a medida que la velocidad crece con la profundidad — arguméntese si los rayos rectos sobrestiman o subestiman el núcleo.
En 1936 Inge Lehmann halló llegadas P débiles dentro de la zona de sombra: ¿qué concluyó que había dentro del núcleo líquido?
El radio del núcleo interno es de $1220\,\mathrm{km}$ y es sólido: propóngase la observación de ondas que podría confirmar esa solidez (¿qué onda existe allí que el núcleo externo prohíbe?).
Resúmase el resultado con nombre propio: dos velocidades de onda elástica en la roca ( $5.8$ y $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), una onda ausente más allá de $103^\circ$ y una regla dan un núcleo líquido de radio $\approx 4000\,\mathrm{km}$ — dentro de un $15\%$ de los $3480\,\mathrm{km}$ modernos, medidos a través de $6000\,\mathrm{km}$ de roca sólida.

Solución

Solución de Problema 3.1.

1. $\mu = E/2(1+\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$ ; $\lambda = E\nu/(1+\nu)(1-2\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$ : para $\nu = 1/4$ , $\lambda = \mu$ . 2. $c_{\text{P}} = \sqrt{3\mu/\rho} = \sqrt{9 \times 10^{10}/2700} = 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $c_{\text{S}} = \sqrt{\mu/\rho} = 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; razón $\sqrt3$ . 3. $\varepsilon \sim 2/5 \times 10^{4} = 4 \times 10^{-5}$ ; $\sigma = E\varepsilon \approx 3\,\mathrm{MPa}$ — la “caída de tensión” medida en los terremotos reales es, en efecto, de unos pocos MPa. 4. $w = \tfrac12 E\varepsilon^2 \approx 60\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; sobre $5 \times 10^{13}{}\,\mathrm{m}^{3}$ : $\sim3 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ , unos tres cuartos de megatón — un terremoto grande. 5. Desde abajo, la P mueve el suelo verticalmente — los edificios están construidos para soportar cargas verticales; la S lo mueve horizontalmente, la dirección en la que son más débiles. 6. Solo en la onda P: es una onda de compresión; la onda S es cizalladura pura, a volumen constante. 7. $t_{\text{P}} = d/c_{\text{P}}$ , $t_{\text{S}} = d/c_{\text{S}}$ : $\Delta t = d(1/c_{\text{S}} - 1/c_{\text{P}})$ , que se invierte como se enuncia. 8. $1/(1/3.33 - 1/5.77)\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \approx 7.9\,\mathrm{km}$ por segundo de retardo — los “ocho kilómetros por segundo” del sismólogo de campo. 9. $d \approx 7.9 \times 28 \approx 220\,\mathrm{km}$ . 10. Tres (en general): cada estación conoce una circunferencia de epicentros posibles; dos circunferencias se cortan en dos puntos y la tercera decide. 11. $t_{\text{P}} = 80/5.8 = 14\,\mathrm{s}$ , $t_{\text{S}} = 80/3.3 = 24\,\mathrm{s}$ : unos $10\,\mathrm{s}$ de aviso entre la sacudida y el temblor destructivo. 12. La S llega a los $200/3.3 = 60\,\mathrm{s}$ . La P alcanza los $20\,\mathrm{km}$ a los $3.5\,\mathrm{s}$ ; un mensaje de radio es prácticamente instantáneo, de modo que la ciudad puede disponer de casi un minuto de aviso — los sistemas actuales logran decenas de segundos. 13. $2R_{\text{E}}/c \approx 12742/10 \approx 1270\,\mathrm{s}$ , unos veinte minutos. 14. Que las ondas elásticas la crucen: la Tierra profunda no está fundida de parte a parte — transmite y, según muestran las ondas S que cruzan el manto, incluso se cizalla, como un sólido. 15. Dos radios y el ángulo $\Delta$ que forman: la cuerda vale $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$ . 16. $2 \times 6371 \times \sin30^\circ = 6371\,\mathrm{km}$ ; $t \approx 640\,\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{min}$ . 17. Más allá de $103^\circ$ , todo rayo debe atravesar una región central profunda; si esa región es fluida ( $\mu = 0$ ), no transmite onda de cizalladura: allí mueren las ondas S. Los fluidos son el estado de la materia incapaz de resistir la cizalladura. 18. Un fluido sí transmite la compresión: las ondas P atraviesan el núcleo, pero más despacio — de modo que se refractan bruscamente en su frontera, y los rayos desviados dejan una sombra anular en lugar de un corte limpio. 19. En el centro de la Tierra hay un núcleo líquido. 20. La máxima aproximación de la cuerda al centro es $R_{\text{E}}\cos(\Delta/2)$ ; rozar significa $R_{\text{E}}\cos(\Delta^*/2) = R_{\text{c}}$ , es decir, $\Delta^* = 2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$ . 21. $R_{\text{c}} = 6371\cos(51.5^\circ) \approx 3970\,\mathrm{km}$ . 22. Un $+14\%$ de más. La velocidad crece con la profundidad, así que los rayos reales se curvan de vuelta hacia la superficie: un rayo cuyo punto más profundo apenas toca el núcleo emerge con un ángulo menor que el de la cuerda recta a esa misma profundidad — de modo que, partiendo de los $103^\circ$ observados, la inversión con rayos rectos sitúa el punto de tangencia demasiado alto y sobrestima el núcleo. 23. Que llegue energía P débil dentro de la sombra significa que algo situado dentro del núcleo líquido devuelve los rayos hacia fuera: un núcleo interno diferenciado (Lehmann, 1936). 24. Las ondas de cizalladura solo existen en los sólidos: una onda P que se convierta en onda de cizalladura dentro del núcleo interno y vuelva a convertirse (la fase llamada PKJKP) probaría que es sólido — su detección, largamente buscada, es la prueba aceptada. 25. Dos velocidades en la roca ( $5.8$ y $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), una onda ausente más allá de $103^\circ$ y la geometría de la cuerda dan un núcleo líquido de $\approx4000\,\mathrm{km}$ — dentro de un $15\%$ de los $3480\,\mathrm{km}$ modernos: la ley de Hooke, leída a escala planetaria.

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