Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

2Mecánica hamiltoniana

Fotografíese un péndulo mil veces y represéntese, para cada instantánea, su ángulo frente a su momento angular: los puntos caen sobre una curva cerrada, y todo movimiento posible del péndulo es una de esas curvas — las oscilaciones pequeñas sobre óvalos encajados, las vueltas completas sobre líneas onduladas por encima y por debajo, y entre ambas una única curva cruzada que separa los dos regímenes. Esta imagen, el retrato de fases, es el corazón de la reformulación que Hamilton dio a la mecánica en 1833: el estado de un sistema es un punto del espacio de las coordenadas y de los momentos, su evolución es un flujo en ese espacio, y ese flujo lo genera una sola función, la energía, mediante dos ecuaciones de primer orden bellamente simétricas. La recompensa no son cálculos más fáciles — ahí suele ganar Lagrange —, sino la geometría correcta: el flujo conserva el volumen del espacio de fases, lo que fundará la física estadística; y su esqueleto algebraico, el corchete de Poisson, es justamente lo que la mecánica cuántica promoverá a conmutador. Este capítulo es la bisagra entre la mecánica de las cosas y la física del siglo XX.

2.1 De Lagrange a Hamilton

Definición 2.1 (Hamiltoniano y ecuaciones canónicas)

Para un sistema de lagrangiano $L(q, \dot q, t)$ , exprésense las velocidades en función de los momentos $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ y defínase el hamiltoniano como la transformada de Legendre

H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,

una función de las coordenadas y de los momentos. El espacio de dimensión $2n$ de los $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ es el espacio de fases; un punto suyo — un estado — determina todo el futuro y todo el pasado del sistema a través de las ecuaciones canónicas del Teorema 2.2.

Teorema 2.2 (Ecuaciones de Hamilton)

Las ecuaciones de Euler–Lagrange equivalen a las $2n$ ecuaciones de primer orden

\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} , \qquad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} .

Demostración. Derívese $H = \sum p_i\dot q_i - L$ como función de $(q, p, t)$ : $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i + p_i\,\dd\dot q_i) - \sum( \partial_{q_i}L\,\dd q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\dd\dot q_i) - \partial_tL\,\dd t$ . Los términos en $\dd\dot q_i$ se cancelan por la definición de $p_i$ — todo el sentido de la transformada de Legendre —, lo que deja $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i - \partial_{q_i}L\,\dd q_i) - \partial_tL\,\dd t$ . Leyendo las derivadas parciales: $\partial H/\partial p_i = \dot q_i$ y $\partial H/\partial q_i = -\partial L/\partial q_i$ , que por Euler–Lagrange vale $-\dot p_i$ . (Además, $\partial_tH = -\partial_tL$ ). ∎

Proposición 2.3 (Qué es $H$ )

$H$ coincide con la función energía $h$ del capítulo anterior: a lo largo de un movimiento, $\dd H/\dd t = \partial H/\partial t$ , de modo que $H$ se conserva siempre que no dependa explícitamente del tiempo; y cuando la energía cinética es cuadrática en las velocidades con ligaduras independientes del tiempo, $H = E_k + E_p$ , la energía mecánica — escrita ahora en las variables $(q, p)$ .

Demostración. $\dd H/\dd t = \sum(\partial_{q_i}H\,\dot q_i + \partial_{p_i}H\,\dot p_i) + \partial_tH = \sum(\partial_{q_i}H\,\partial_{p_i}H - \partial_{p_i}H\,\partial_{q_i}H) + \partial_tH = \partial_tH$ : la simetría de las ecuaciones canónicas hace que la suma se cancele idénticamente. La identificación con $E_k + E_p$ es la Proposición 1.14. ∎

Ejemplo 2.4 (Dos hamiltonianos)

Masa sujeta a un resorte: $p = m\dot x$ , luego

H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;

las ecuaciones canónicas $\dot x = p/m$ , $\dot p = -kx$ son la pareja conocida. Péndulo: $p = m\ell^2\dot\theta$ y

H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .

En ambos casos $H$ es la energía, constante en cada movimiento: los movimientos son las curvas de nivel de $H$ en el plano $(q,p)$ .

Método 2.5 (La receta hamiltoniana)

(1) A partir de $L$ , calcular los momentos $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ e invertir para obtener las $\dot q_i$ . (2) $H = \sum p_i\dot q_i - L$ , expresado solo en $(q, p)$ — para un sistema natural, simplemente $E_k + E_p$ con $E_k$ reescrita en los momentos. (3) Escribir las ecuaciones canónicas. (4) Dibujar las curvas de nivel de $H$ : para un grado de libertad son las trayectorias, y todo el movimiento cualitativo — oscilaciones, rotaciones, equilibrios, separatrices — se lee sin resolver nada.

2.2 El espacio de fases

Definición 2.6 (Retrato de fases, puntos fijos, separatriz)

El retrato de fases de un sistema es la familia de sus trayectorias en el espacio de fases. Un punto fijo es un estado en el que se anulan las dos ecuaciones canónicas — un equilibrio: un mínimo del potencial aparece como un centro rodeado de curvas cerradas, y un máximo como un punto de silla por el que pasa una separatriz, la trayectoria que divide el espacio de fases en regiones de movimiento cualitativamente distinto.

Ejemplo 2.7 (El retrato de fases del péndulo)

Para $H = p^2/2m\ell^2 - mg\ell\cos\theta$ : óvalos cerrados alrededor de $(0, 0)$ — las libraciones, las oscilaciones ordinarias; curvas onduladas con $|p|$ grande — las rotaciones, el péndulo dando vueltas por arriba; y por los puntos de silla situados en $\theta = \pm\pi$ pasa la separatriz, de energía $E = +mg\ell$ , sobre la cual el péndulo tarda un tiempo infinito en alcanzar lo alto. Un estado sobre la separatriz es el impulso lanzado exactamente con la fuerza justa para llegar a la posición invertida sin nada de sobra.

El retrato de fases del péndulo: las curvas de nivel de H. Los óvalos cerrados (oscilaciones) circulan en sentido horario en torno al centro; por encima y por debajo de la separatriz, el péndulo rota. Los puntos de silla en ± 180 son el equilibrio invertido. — El retrato de fases del péndulo: las curvas de nivel de $H$ . Los óvalos cerrados (oscilaciones) circulan en sentido horario en torno al centro; por encima y por debajo de la separatriz, el péndulo rota. Los puntos de silla en $\pm 180^\circ$ son el equilibrio invertido.

Teorema 2.8 (Teorema de Liouville)

El flujo hamiltoniano conserva el volumen del espacio de fases: si las ecuaciones canónicas arrastran consigo una región de estados iniciales, su volumen (su área, para un grado de libertad) no cambia jamás — sea cual sea la forma que llegue a adoptar.

Demostración. El flujo en el espacio de fases tiene el campo de velocidades $(\dot q_i, \dot p_i) = (\partial_{p_i}H, -\partial_{q_i}H)$ . Su divergencia es

\sum_i\Big(\frac{\partial\dot q_i}{\partial q_i} + \frac{\partial\dot p_i}{\partial p_i}\Big) = \sum_i\Big(\frac{\partial^2H}{\partial q_i\partial p_i} - \frac{\partial^2H}{\partial p_i\partial q_i}\Big) = 0 :

el flujo es incompresible, y un flujo incompresible transporta los volúmenes sin alterarlos, como para los fluidos del volumen del Año 2. (El paso formal de la divergencia nula al volumen conservado es el teorema de transporte que allí se demuestra). ∎

Observación 2.9 (Por qué importa Liouville)

Nada en la formulación de Newton sugiere que algo sea incompresible. En la imagen hamiltoniana resulta automático — y es la licencia para la física estadística: cuando describimos un gas de $10^{23}$ moléculas mediante una nube de puntos en el espacio de fases, el teorema de Liouville dice que la nube fluye como un fluido incompresible, de modo que el “número de estados contenidos en un volumen del espacio de fases” es una magnitud que la dinámica misma no puede crear ni destruir. El postulado microcanónico de la física estadística, más adelante en este volumen, se apoya exactamente en esto.

El teorema de Liouville: el flujo deforma una región de estados iniciales — la cizalla, la hace girar — pero su área se conserva exactamente.

2.3 Corchetes de Poisson

Definición 2.10 (Corchete de Poisson)

El corchete de Poisson de dos funciones $f(q, p, t)$ y $g(q, p, t)$ del espacio de fases es

\{f, g\} = \sum_i\Big( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .

Es antisimétrico, lineal en cada argumento, cumple la regla del producto $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$ y satisface, para las propias coordenadas, las relaciones canónicas

\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad \{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .

Teorema 2.11 (La evolución como corchete)

A lo largo de todo movimiento,

\frac{\dd f}{\dd t} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} .

En particular, una magnitud sin dependencia temporal explícita se conserva si y solo si su corchete con el hamiltoniano se anula; y las propias ecuaciones canónicas son $\dot q_i = \{q_i, H\}$ , $\dot p_i = \{p_i, H\}$ : el hamiltoniano genera la evolución temporal.

Demostración. Regla de la cadena más las ecuaciones canónicas: $\dd f/\dd t = \sum( \partial_{q_i}f\,\dot q_i + \partial_{p_i}f\,\dot p_i) + \partial_tf = \sum(\partial_{q_i}f\,\partial_{p_i}H - \partial_{p_i}f\, \partial_{q_i}H) + \partial_tf$ . ∎

Ejemplo 2.12 (Corchetes del momento angular)

Para una partícula, $L_z = xp_y - yp_x$ y sus compañeras cíclicas. Un cálculo directo a partir de las relaciones canónicas da

\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad \{L_y, L_z\} = L_x , \qquad \{L_z, L_x\} = L_y ,

y $\{L^2, L_z\} = 0$ : las componentes del momento angular no “conmutan” entre sí, pero cada una conmuta con el cuadrado total. Recuérdese la forma de estas relaciones — volverán, literalmente, como conmutadores en mecánica cuántica, donde dictan todo lo relativo a la estructura atómica.

Observación 2.13 (La puerta a la mecánica cuántica)

Dirac observó en 1925 que toda la mecánica cuántica se obtiene conservando el álgebra de la mecánica hamiltoniana y sustituyendo el corchete de Poisson por el conmutador de operadores dividido por $\iu\hbar$ : $\{q, p\} = 1$ pasa a ser $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ , la conservación sigue siendo “que el corchete con $H$ se anule” y la evolución temporal sigue generada por el hamiltoniano. La teoría clásica lleva en los huesos el esqueleto de la cuántica; los capítulos de mecánica cuántica harán explícita esta correspondencia.

2.4 Acción e invariantes adiabáticos

Definición 2.14 (Variable de acción)

Para un sistema de un grado de libertad que oscila sobre una trayectoria de fase cerrada, la variable de acción es el área encerrada dividida por $2\pi$ :

I = \frac{1}{2\pi}\oint p\,\dd q .

Proposición 2.15 (Acción del oscilador armónico)

Para $H = p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2q^2$ con energía $E$ , la trayectoria es una elipse de semiejes $\sqrt{2E/m\omega^2}$ y $\sqrt{2mE}$ , que encierra el área $2\pi E/\omega$ ; de ahí

I = \frac{E}{\omega} , \qquad E = \omega I ,

y la frecuencia de oscilación es $\partial E/\partial I = \omega$ , como debe ser.

Demostración. Área de una elipse, $\pi ab = \pi\sqrt{2E/m\omega^2}\sqrt{2mE} = 2\pi E/\omega$ . ∎

Proposición 2.16 (Invariancia adiabática)

Si un parámetro del sistema (una longitud, una rigidez, un campo) se hace variar lentamente — a lo largo de muchos periodos de oscilación —, la energía cambia y la frecuencia cambia, pero la acción $I$ permanece constante con excelente aproximación: $I$ es un invariante adiabático. Para el oscilador modificado lentamente se conserva, pues, $E/\omega$ : endurézcase despacio el resorte hasta duplicar $\omega$ y la energía se duplicará con él.

Demostración parcial. Para el oscilador con $\omega(t)$ lentamente variable: a lo largo de un periodo, el trabajo realizado por el parámetro que cambia puede calcularse promediando; el cálculo (guiado en el Ejercicio 2.11) da $\dot E/E = \dot\omega/\omega$ , es decir, $\dd(E/\omega)/\dd t = 0$ en el orden dominante. El enunciado general, para cualquier sistema oscilante deformado lentamente, se admite — es la razón por la que las órbitas planetarias sobreviven a perturbaciones lentas, y el punto de partida de la “vieja teoría cuántica” de más abajo. ∎

Invariancia adiabática. Izquierda: al duplicar lentamente , la elipse de fase cambia de forma a área constante, de modo que E = I se duplica. Derecha: izar la cuerda de un péndulo que oscila inyecta energía en la oscilación justo en la proporción que mantiene fijo I = E/. — Invariancia adiabática. Izquierda: al duplicar lentamente $\omega$ , la elipse de fase cambia de forma a área constante, de modo que $E = \omega I$ se duplica. Derecha: izar la cuerda de un péndulo que oscila inyecta energía en la oscilación justo en la proporción que mantiene fijo $I = E/\omega$ .

Observación 2.17 (La vieja teoría cuántica)

¿Por qué tienen los átomos energías discretas? La primera respuesta cuantitativa (Bohr, 1913; Sommerfeld, 1915) se escribió en el lenguaje de este capítulo: de entre todos los movimientos clásicos, la naturaleza conserva aquellos cuya integral de acción es un número entero de constantes de Planck,

\oint p\,\dd q = nh .

Aplicada al oscilador armónico, esto da $E_n = n\hbar\omega$ (al que solo le falta el medio del verdadero $\big(n + \tfrac12\big)\hbar \omega$ ); aplicada a una partícula en una caja da exactamente los niveles del volumen del Año 2; aplicada al átomo de hidrógeno (Problema 2.1) da el espectro medido con cuatro cifras. La regla era cuantitativamente acertada y conceptualmente provisional — y, como la acción es un invariante adiabático, el número cuántico $n$ no cambia frente a perturbaciones lentas, que es la razón por la que semejante regla podía funcionar. La teoría verdadera empieza cinco capítulos más adelante.

Un péndulo fotografiado con luz estroboscópica: las posiciones se apiñan cerca de los puntos de retorno, donde la lenteja se demora, y se separan abajo, donde se apresura — una fotografía del retrato en el espacio de fases que este capítulo dibuja con ecuaciones.

2.5 Ejercicios

Ejercicio 2.1 ★

Para la masa sujeta al resorte: (a) constrúyase $H$ a partir de $L$ y compruébese que $H = E_k + E_p$ ; (b) escríbanse las ecuaciones canónicas y verifíquese que reproducen $\ddot x = -\omega^2x$ ; (c) muéstrese que las trayectorias son elipses en el plano $(x, p)$ y dense sus semiejes a la energía $E$ ; (d) ¿en qué sentido recorre el punto representativo su trayectoria?

Solución

Solución de Ejercicio 2.1.

(a) $p = m\dot x$ , $H = p\dot x - L = p^2/2m + \tfrac12 kx^2 = E_k + E_p$ . (b) $\dot x = p/m$ , $\dot p = -kx$ , de donde $\ddot x = -(k/m)x$ . (c) $H = E$ es la elipse $x^2/(2E/k) + p^2/(2mE) = 1$ : semiejes $\sqrt{2E/k}$ y $\sqrt{2mE}$ . (d) En el punto más a la derecha ( $x > 0$ , $p = 0$ ), $\dot p = -kx < 0$ : el punto baja — en sentido horario, siempre.

Ejercicio 2.2 ★

La cuenta sobre el aro que gira del capítulo anterior tiene $L = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta + mgR\cos\theta$ . (a) Calcúlense $p$ y $H$ . (b) ¿Se conserva $H$ ? ¿Es la energía mecánica? (c) Esbócense las curvas de nivel de $H$ para $\omega^2 < g/R$ y $\omega^2 > g/R$ , usando el potencial efectivo de aquel capítulo. (d) Identifíquense los centros, los puntos de silla y las separatrices en el caso rápido.

Solución

Solución de Ejercicio 2.2.

(a) $p = mR^2\dot\theta$ ; $H = p^2/2mR^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2 \sin^2\theta - mgR\cos\theta = p^2/2mR^2 + U_{\text{ef}}(\theta)$ . (b) Se conserva ( $H$ no depende explícitamente de $t$ ), pero es $h$ , no la energía mecánica: le falta el trabajo del motor. (c) Las curvas de nivel son $p = \pm\sqrt{2mR^2(H - U_{\text{ef}})}$ : para rotación lenta, óvalos alrededor de $(0, 0)$ y una separatriz que pasa por el punto de silla en $\theta = \pi$ ; para rotación rápida, dos familias de óvalos alrededor de $(\pm\theta_{\text{eq}}, 0)$ . (d) Caso rápido: centros en $\pm\theta_{\text{eq}}$ ; puntos de silla en $\theta = 0$ y en $\theta = \pi$ ; por $\theta = 0$ pasa una separatriz en forma de ocho que encierra los dos centros (las oscilaciones pequeñas saltan el fondo), y por $\pi$ la separatriz exterior, más allá de la cual la cuenta circula por arriba.

Ejercicio 2.3 ★

Una pelota rebota elásticamente en el suelo, $H = p^2/2m + mgz$ ( $z > 0$ ). (a) Dibújense la trayectoria de fase de un vuelo y la del movimiento completo de rebotes. (b) ¿Qué le hace el rebote elástico al punto representativo? (c) Calcúlense el área encerrada para una altura máxima $z_{\max}$ y la acción $I$ . (d) La regla de Bohr–Sommerfeld $\oint p\,\dd z = nh$ aplicada a un neutrón que rebota ( $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) da alturas de rebote cuantizadas: estímese la menor y compárese con los $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ medidos en el experimento de estados cuánticos gravitatorios de 2002.

Solución

Solución de Ejercicio 2.3.

(a) Un vuelo es el arco $p = \pm\sqrt{2m^2g(z_{\max} - z)}$ — una parábola tumbada de lado, recorrida desde $(0, +p_0)$ hasta $(z_{\max}, 0)$ y de vuelta hasta $(0, -p_0)$ . (b) El rebote lleva $(0, -p_0)$ a $(0, +p_0)$ : un segmento vertical que cierra el lazo. (c) $\oint p\,\dd z = 2\int_0^{z_{\max}}m\sqrt{2g(z_{\max} - z)}\,\dd z = \tfrac43 m\sqrt{2g}\,z_{\max}^{3/2}$ , e $I$ es eso dividido por $2\pi$ . (d) $z_n = \big[3nh/(4m\sqrt{2g})\big]^{2/3}$ : para un neutrón, $z_1 = (6.7 \times 10^{-8})^{2/3} = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ — el orden correcto: el experimento de Grenoble halló el estado cuántico gravitatorio más bajo cerca de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (el tratamiento exacto, con las funciones de onda verdaderas, da $14\,\text{µ}\mathrm{m}$ ).

Ejercicio 2.4 ★

Solo a partir de las relaciones canónicas, calcúlese (a) $\{x^2, p\}$ ; (b) $\{xp, H\}$ para $H = p^2/2m + E_p(x)$ , e interprétense los dos términos (este corchete rige el teorema del virial); (c) $\{L_z, x\}$ y $\{L_z, p_x\}$ ; (d) muéstrese que si $\{f, H\} = 0$ y $\{g, H\} = 0$ entonces $\{f, g\}$ también se conserva (úsese la identidad de Jacobi, que se admite: $\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 2.4.

(a) $\{x^2, p\} = 2x$ . (b) $\{xp, H\} = p^2/m - x\,E_p'(x) = 2E_k - x\,E_p'$ : en un movimiento ligado, el promedio temporal de $\dd(xp)/\dd t$ se anula, de modo que $\langle 2E_k\rangle = \langle x\,E_p'\rangle$ — el teorema del virial (para $E_p \propto x^2$ : $\langle E_k\rangle = \langle E_p\rangle$ ; para $\propto -1/r$ : $2\langle E_k\rangle = -\langle E_p\rangle$ ). (c) $\{L_z, x\} = y$ , $\{L_z, p_x\} = p_y$ : $L_z$ genera rotaciones tanto de las posiciones como de los momentos. (d) Jacobi con $h = H$ : $\{\{f, g\}, H\} = -\{\{g, H\}, f\} - \{\{H, f\}, g\} = 0$ .

Ejercicio 2.5 ★★

El péndulo cerca de su separatriz. (a) Dese la energía de la separatriz y el $|p|$ máximo sobre ella. (b) Muéstrese que sobre la separatriz $p = \pm 2m\ell^2\omega_0\cos(\theta/2)$ con $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$ . (c) Usando $\dot\theta = p/m\ell^2$ , muéstrese que el tiempo de ir de $\theta$ a lo alto diverge logarítmicamente. (d) Un péndulo real soltado justo por debajo de la separatriz permanece cerca de la posición invertida durante un largo instante antes de volver — relaciónese con (c) y con la ralentización que se observa cerca de todo punto de silla.

Solución

Solución de Ejercicio 2.5.

(a) $E_{\text{sep}} = mg\ell$ (la energía de la posición invertida en reposo); $|p| = 2m\ell^2\omega_0$ máximo en el punto más bajo. (b) A partir de $p^2/2m\ell^2 = mg\ell(1 + \cos\theta) = 2mg\ell\cos^2(\theta/2)$ . (c) $\dot\theta = 2\omega_0\cos(\theta/2)$ se separa: $\omega_0t = \ln\tan(\theta/4 + \pi/4)$ , que diverge cuando $\theta \to \pi$ : se llega hasta lo alto sin alcanzarlo nunca. (d) Justo por debajo de la separatriz el movimiento la sigue de cerca: el péndulo se desliza hasta las inmediaciones del punto de silla, se demora allí — el logaritmo — y por fin cae; todo punto de silla frena logarítmicamente las trayectorias, y por eso un palo que no está en equilibrio perfecto parece dudar antes de caer.

Ejercicio 2.6 ★★

Una partícula cargada en un campo magnético tiene $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m$ , con $\vect p$ el momento canónico del capítulo anterior. (a) Escríbanse las ecuaciones canónicas para $\vect A = \tfrac12 B(-y, x, 0)$ y compruébese que dan el movimiento ciclotrónico. (b) Muéstrese que $H = \tfrac12 m\vect v^{\,2}$ : el campo magnético no realiza trabajo. (c) Calcúlese el corchete de las dos magnitudes conservadas $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy$ y $\pi_y = p_y + \tfrac12 qBx$ (compruébese antes que cada una se conserva) y muéstrese que $\{\pi_x, \pi_y\} = -qB$ : dos magnitudes conservadas cuyo corchete es una constante. (d) Úsese el Ejercicio 2.4(d) para explicar por qué no cabía esperar de ellas una tercera magnitud conservada independiente.

Solución

Solución de Ejercicio 2.6.

(a) $\dot{\vect r} = (\vect p - q\vect A)/m$ y $\dot p_x = -\partial H/\partial x = (q/m)(\vect p - q\vect A)\cdot\partial_x\vect A$ , etc.; al eliminar $\vect p$ se reproducen $m\ddot x = qB\dot y$ y $m\ddot y = -qB\dot x$ . (b) $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m = \tfrac12 m\vect v^{\,2}$ : solo energía cinética — constante, porque la fuerza magnética es perpendicular a $\vect v$ . (c) Con $m\dot x = p_x + \tfrac12 qBy$ : $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy = m\dot x - qBy$ , cuya conservación es la primera ecuación del movimiento (y análogamente $\pi_y$ ); en el corchete solo sobreviven dos términos: $\{p_x, \tfrac12 qBx\} = -\tfrac12 qB$ y $\{-\tfrac12 qBy, p_y\} = -\tfrac12 qB$ , en total $-qB$ . ( $\pi_x/qB$ y $\pi_y/qB$ son, salvo signos, las coordenadas del centro guía de la circunferencia). (d) Por el Ejercicio 2.4(d), el corchete de dos magnitudes conservadas se conserva — aquí es la constante $-qB$ , que se conserva trivialmente y no enseña nada nuevo: no aparece ninguna tercera magnitud.

Ejercicio 2.7 ★★

Liouville, a mano. (a) Para la partícula libre, el flujo es $q \to q + pt/m$ , $p \to p$ : muéstrese que un rectángulo se convierte en un paralelogramo de la misma área. (b) Para el oscilador armónico, muéstrese que el flujo es una rotación (en unidades adecuadas) y conclúyase. (c) Para el oscilador amortiguado $\ddot x = -\omega^2x - \gamma\dot x$ , escríbase la divergencia del flujo en el plano $(x, v)$ y muéstrese que las áreas se contraen como $\eu^{-\gamma t}$ : el amortiguamiento no es hamiltoniano. (d) ¿Adónde “va” físicamente el área perdida?

Solución

Solución de Ejercicio 2.7.

(a) La aplicación $(q, p) \mapsto (q + pt/m, p)$ es una cizalla: la base y la altura del rectángulo no cambian, y el área tampoco (determinante $1$ ). (b) En las variables $(x\sqrt{m\omega}, p/\sqrt{m\omega})$ el flujo es una rotación rígida de velocidad $\omega$ ; las rotaciones conservan el área, y el cambio de variables tiene determinante $1$ . (c) El campo de velocidades $(v, -\omega^2x - \gamma v)$ tiene divergencia $-\gamma$ : toda área se contrae como $\eu^{-\gamma t}$ y espirala hacia el origen — imposible para un flujo hamiltoniano. (d) Va a parar a los grados de libertad ignorados: las moléculas del aire y los fonones del hilo, cuyo volumen en el espacio de fases crece al menos otro tanto — la semilla del segundo principio.

Ejercicio 2.8 ★★

Movimiento plano en un potencial central, $H = (p_r^2 + p_\varphi^2/r^2)/2m + E_p(r)$ . (a) Escríbanse las cuatro ecuaciones canónicas. (b) Muéstrese que $\{ p_\varphi, H\} = 0$ e identifíquese la ley de conservación. (c) Redúzcase a un hamiltoniano radial unidimensional con un potencial efectivo. (d) Para $E_p = -k/r$ , localícese la órbita circular con $p_\varphi$ dado y dese su energía — que se cuantizará en el Problema 2.1.

Solución

Solución de Ejercicio 2.8.

(a) $\dot r = p_r/m$ , $\dot\varphi = p_\varphi/mr^2$ , $\dot p_r = p_\varphi^2/mr^3 - E_p'(r)$ , $\dot p_\varphi = 0$ . (b) $H$ no contiene $\varphi$ : $\{p_\varphi, H\} = -\partial H/\partial\varphi = 0$ ; conservación del momento angular. (c) $H_{\text{rad}} = p_r^2/2m + U_{\text{ef}}(r)$ con $U_{\text{ef}} = p_\varphi^2/2mr^2 + E_p(r)$ . (d) $U_{\text{ef}}' = 0$ : $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/mk$ , y $E = U_{\text{ef}}(r_{\text{c}}) = -mk^2/2p_\varphi^2$ .

Ejercicio 2.9 ★★

(a) Verifíquese $\{L_x, L_y\} = L_z$ a partir de las relaciones canónicas. (b) Dedúzcanse los otros dos corchetes por permutación cíclica. (c) Muéstrese que $\{L^2, L_z\} = 0$ . (d) Un sólido rígido gira libremente: tomando $H = L^2/2J$ (inercia de simetría esférica), muéstrese que los tres $L_i$ se conservan; ¿y para un cuerpo con momentos de inercia distintos (respóndase cualitativamente a partir de los corchetes)?

Solución

Solución de Ejercicio 2.9.

(a) $\{L_x, L_y\} = \{yp_z - zp_y,\ zp_x - xp_z\}$ : los únicos corchetes canónicos no nulos dan $yp_x\{p_z, z\} + xp_y\{z, p_z\} = -yp_x + xp_y = L_z$ . (b) La renombración cíclica $x \to y \to z \to x$ da los otros dos. (c) $\{L^2, L_z\} = 2L_x\{L_x, L_z\} + 2L_y\{L_y, L_z\} = -2L_xL_y + 2L_yL_x = 0$ . (d) Para $H = L^2/2J$ , cada $\{L_i, H\} = 0$ : $\vect L$ es fijo. Con $H = \sum L_i^2/2J_i$ y $J_i$ distintos: $\{L_x, H\} = L_yL_z(1/J_y - 1/J_z) \neq 0$ — solo sobreviven $L^2$ y $H$ , y el cuerpo voltea (el teorema de la raqueta de tenis del capítulo del sólido rígido del volumen del Año 2 vive aquí).

Ejercicio 2.10 ★★★

Niveles de la vieja teoría cuántica. (a) Muéstrese que $\oint p\,\dd q = nh$ aplicada al oscilador armónico da $E_n = n\hbar\omega$ , usando la Proposición 2.15. (b) Aplíquese a la partícula en una caja de longitud $a$ y recupérese exactamente $E_n = n^2h^2/8ma^2$ . (c) Para una molécula diatómica modelizada como un oscilador de rigidez $k = 1.9 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y masa reducida $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ (monóxido de carbono), calcúlese $\hbar\omega$ en eV y la longitud de onda de la emisión $n = 1 \to 0$ ; ¿en qué rango espectral cae? (d) Los niveles verdaderos son $(n + \tfrac12)\hbar\omega$ : ¿cambia ese medio que falta las longitudes de onda emitidas? ¿Qué experimento sí detecta el medio del punto cero?

Solución

Solución de Ejercicio 2.10.

(a) $\oint p\,\dd q = 2\pi I = 2\pi E/\omega = nh$ da $E_n = n\hbar\omega$ . (b) Ida y vuelta con $|p|$ constante: $2pa = nh$ , $p = nh/2a$ , $E = p^2/2m = n^2h^2/8ma^2$ — exactamente el pozo infinito del volumen del Año 2. (c) $\omega = \sqrt{k/\mu} = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\hbar\omega = 4.3 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = hc/ \hbar\omega = 4.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ : infrarrojo medio (la banda fundamental del CO, usada para trazar el gas en el espacio). (d) No: las diferencias entre niveles no cambian por el medio común. La energía del punto cero se manifiesta en comparaciones que dependen del nivel absoluto — los desplazamientos isotópicos de las energías de disociación (H $_2$ frente a D $_2$ ) o las vibraciones que persisten en los cristales en el cero absoluto.

Ejercicio 2.11 ★★★

Invariancia adiabática de $E/\omega$ , deducida. Una masa sujeta a un resorte cuya rigidez $k(t)$ crece lentamente. (a) Muéstrese que $\dot E = \tfrac12\dot k\, x^2$ a lo largo del movimiento exacto. (b) Promédiese sobre un periodo con $k$ fija: usando $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$ , muéstrese que $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$ . (c) Conclúyase que $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k = \dd\ln \omega$ , luego $E/\omega$ es constante. (d) Un péndulo que oscila con amplitud $\theta_0 = 5^\circ$ ve su cuerda acortada lentamente de $1.0\,\mathrm{m}$ a $0.5\,\mathrm{m}$ : hállense la nueva amplitud y el factor en que creció su energía, y dígase de dónde salió esa energía.

Solución

Solución de Ejercicio 2.11.

(a) $E = p^2/2m + \tfrac12 k(t)x^2$ , luego a lo largo de un movimiento $\dot E = \partial E/\partial t = \tfrac12\dot kx^2$ . (b) A lo largo de un periodo con $k$ prácticamente fija, $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$ , de modo que $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$ . (c) $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k$ ; y, como $\omega = \sqrt{k/m}$ , también $\dd\ln\omega = \tfrac12\dd\ln k$ : $E/\omega$ es invariante. (d) $\omega \propto \ell^{-1/2}$ crece en $\sqrt2$ , luego $E$ crece en $\sqrt2 \approx 1.41$ . Con $E = \tfrac12 mg\ell\theta_0^2$ , $\theta_0 \propto \ell^{-3/4}$ : $\theta_0' = 5^\circ \times 2^{3/4} = 8.4^\circ$ . La energía la aporta quien tira de la cuerda: la tensión supera en promedio a $mg\cos\theta$ (término centrífugo), de modo que izarla realiza trabajo neto positivo sobre la oscilación.

Ejercicio 2.12 ★★★

El área encerrada por la separatriz del péndulo es un número de estados cuánticos. (a) Muéstrese que $\oint p\,\dd\theta$ a lo largo de la separatriz vale $16m\ell^2\omega_0$ . (b) Por la regla de Bohr–Sommerfeld, el número de estados cuánticos con energía por debajo de la separatriz es $N \approx 16m\ell^2\omega_0/h$ : evalúese para una masa de un gramo con una cuerda de $10\,\mathrm{cm}$ . (c) Evalúese para un oscilador molecular tipo amoniaco: $m \sim 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , $\ell \sim 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ , $\omega_0 \sim 1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . (d) Conclúyase: ¿dónde está la frontera entre la mecánica que necesita $\hbar$ y la que no lo necesita?

Solución

Solución de Ejercicio 2.12.

(a) $\oint p\,\dd\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}2m\ell^2\omega_0 \cos(\theta/2)\,\dd\theta = 4m\ell^2\omega_0\big[2\sin(\theta/2) \big]_{-\pi}^{\pi} = 16m\ell^2\omega_0$ . (b) $\omega_0 = 9.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $16 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 9.9 = 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , es decir, $N \approx 2.4 \times 10^{30}$ estados: el grano cuántico de un péndulo de laboratorio está treinta órdenes de magnitud por debajo de lo observable. (c) $16 \times 10^{-26} \times 10^{-20} \times 10^{14} = 1.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , es decir, $N \approx 240$ : una libración molecular alberga solo unos centenares de estados cuánticos, y la espectroscopia resuelve uno a uno sus niveles bajos. (d) La frontera está donde las áreas del movimiento en el espacio de fases son un múltiplo modesto de $h$ : de las moléculas hacia abajo todo es cuántico; todo lo visible es clásico.

2.6 Problema: la vieja teoría cuántica y el átomo de hidrógeno

Problema 2.1

Problema de fin de semana — cuantizar el espacio de fases, pesar el Rydberg

En 1913 Bohr calculó el espectro del hidrógeno a partir de la mecánica planetaria más una regla cuántica; Sommerfeld reconoció en esa regla un enunciado sobre el área del espacio de fases. Este problema reconstruye su cálculo con las herramientas de este capítulo. Datos: $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Escribimos $k = e^2/4\pi\varepsilon_0$ .

Parte I — El hamiltoniano de Kepler. Un electrón se mueve en el plano alrededor de un protón fijo.

Justifíquese que se trate el protón como fijo (razón de masas) y escríbase el hamiltoniano $H = \dfrac{p_r^2}{2m_{\text{e}}} + \dfrac{p_\varphi^2}{2m_{\text{e}}r^2} - \dfrac{k}{r}$ .
Escríbanse las cuatro ecuaciones canónicas.
Muéstrese que $p_\varphi$ se conserva y dese nombre.
Redúzcase el movimiento radial al potencial efectivo $U_{\text{ef}}(r) = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$ y esbócese.
Localícese la órbita circular: $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$ .
Muéstrese que su energía es $E = -k/2r_{\text{c}} = -m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$ y compruébese que es la mitad de la energía potencial (la razón del virial de las órbitas gravitatorias del volumen del Año 1).

Parte II — La órbita clásica.

Para una órbita circular de radio $r$ , hállese la velocidad $v$ y la frecuencia orbital $f_{\text{orb}}$ en función de $r$ .
Una órbita de tamaño atómico, $r = 0.05\,\mathrm{nm}$ : calcúlese $v$ (y $v/c$ ), $f_{\text{orb}}$ y la energía en eV.
Calcúlese el momento angular $p_\varphi$ de esa órbita y compárese con $\hbar = h/2\pi$ : ¿qué sugiere la coincidencia?
Clásicamente, un electrón en órbita es un dipolo oscilante y radia (volumen del Año 2) a $f_{\text{orb}}$ ; su energía decae en unos $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ . Enúnciense las dos predicciones fatales que esto hace para los átomos y qué se observa en su lugar.
¿Qué rasgo de los espectros observados (líneas discretas, regla de combinación $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ ) sugirió niveles discretos de energía?
Explíquese por qué un invariante adiabático es el candidato natural a magnitud que toma valores universales fijos (recuérdese la Proposición 2.16).

Parte III — Cuantización. Impóngase la regla de Sommerfeld al movimiento angular de la órbita circular: $\oint p_\varphi\,\dd\varphi = nh$ , $n = 1, 2, 3, \dots$

Muéstrese que la regla se lee $p_\varphi = n\hbar$ .
Dedúzcanse los radios permitidos $r_n = n^2a_0$ con $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k$ , y calcúlese $a_0$ .
Dedúzcanse las energías permitidas $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ con $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2$ , y calcúlese $E_{\text{I}}$ en julios y en eV.
Calcúlese la velocidad en la primera órbita y compruébese que $v_1/c = k/\hbar c \approx 1/137$ (la constante de estructura fina).
Un fotón se lleva la energía de una transición: dedúzcanse la fórmula de Rydberg y el valor de $R_H = E_{\text{I}}/hc$ ; compárese con los $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ medidos.
Calcúlense las longitudes de onda de las transiciones $2 \to 1$ , $3 \to 2$ e $\infty \to 2$ ; ¿cuál es visible y de qué color?
El ion de helio ionizado He $^+$ es un hidrógeno con carga nuclear $2e$ : ¿cómo escalan $a_0$ y $E_{\text{I}}$ , y dónde cae su línea $2 \to 1$ ?

Parte IV — Confrontación.

Calcúlese la frecuencia orbital $f_{\text{orb}}(n)$ y la frecuencia de transición $\nu_{n \to n-1}$ para $n = 2$ , $10$ , $100$ , y muéstrese que su cociente tiende a $1$ al crecer $n$ .
Este es el principio de correspondencia de Bohr: enúnciese en una frase.
La regla $p_\varphi = n\hbar$ empieza en $n = 1$ : ¿qué absurdo significaría $n = 0$ para una órbita circular?
La mecánica cuántica conservará exactamente $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ , pero descartará las órbitas: nómbrense dos hechos medibles que la imagen orbital predice mal (el valor del momento angular del estado fundamental y la existencia de estados con el mismo $n$ y formas distintas).
El muon es un electrón $207$ veces más pesado: para el hidrógeno muónico, calcúlense $a_0^\mu$ y $E_{\text{I}}^\mu$ , y explíquese por qué los átomos muónicos sondean el núcleo.
Resúmase el resultado con nombre propio: un invariante adiabático, igualado a números enteros de $h$ , produce $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ y el espectro del hidrógeno con cuatro cifras — y entrega a la teoría verdadera sus dos constantes centrales.

Solución

Solución de Problema 2.1.

1. $m_{\text{p}}/m_{\text{e}} = 1836$ : el protón se mueve 1836 veces menos; $H$ como se enuncia, en el plano de la órbita. 2. $\dot r = p_r/m_{\text{e}}$ , $\dot\varphi = p_\varphi/m_{\text{e}}r^2$ , $\dot p_r = p_\varphi^2/m_{\text{e}}r^3 - k/r^2$ , $\dot p_\varphi = 0$ . 3. $\varphi$ no aparece en $H$ : se conserva $p_\varphi$ , el momento angular. 4. $U_{\text{ef}} = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$ : barrera repulsiva para $r$ pequeño, cola de Coulomb para $r$ grande y un único mínimo intermedio. 5. $U_{\text{ef}}' = 0$ en $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$ . 6. $E = k/2r_{\text{c}} - k/r_{\text{c}} = -k/2r_{\text{c}} = -m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$ ; $E_p = -k/r_{\text{c}} = 2E$ : la razón del virial de toda órbita circular en $1/r$ . 7. $m_{\text{e}}v^2/r = k/r^2$ : $v = \sqrt{k/m_{\text{e}}r}$ , $f_{\text{orb}} = v/2\pi r = (1/2\pi)\sqrt{k/m_{\text{e}}r^3}$ . 8. $k = 2.30 \times 10^{-28}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ : $v = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $v/c = 0.0075$ ), $f_{\text{orb}} = 7.2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ , $E = -k/2r = -2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -14\,\mathrm{eV}$ . 9. $p_\varphi = m_{\text{e}}vr = 1.0 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s} \approx \hbar$ : una órbita atómica lleva un momento angular del orden de $\hbar$ — la constante de Planck está inscrita en los tamaños atómicos. 10. Todo átomo debería colapsar en $\sim10^{-11}\,\mathrm{s}$ , con su luz barriendo de forma continua hacia longitudes de onda más cortas. Lo observado: los átomos son eternos y emiten líneas nítidas y fijas. 11. $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ escribe toda frecuencia observada como una diferencia de términos: la energía se intercambia entre niveles fijos $-hcR_H/n^2$ . 12. Una magnitud fijada a valores universales no debe derivar cuando el átomo se perturba suavemente (campos, colisiones, cambios lentos); un invariante adiabático es justamente lo que permanece fijo bajo una perturbación lenta — de modo que se cuantiza la acción. 13. $p_\varphi$ es constante sobre la órbita: $\oint p_\varphi\,\dd\varphi = 2\pi p_\varphi = nh$ , es decir, $p_\varphi = n\hbar$ . 14. $r_n = (n\hbar)^2/m_{\text{e}}k = n^2a_0$ , $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k = 5.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 52.9\,\mathrm{pm}$ . 15. $E_n = -m_{\text{e}}k^2/2n^2\hbar^2 = -E_{\text{I}}/n^2$ , $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2 = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = 13.6\,\mathrm{eV}$ . 16. $v_1 = k/\hbar = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_1/c = k/\hbar c = 1/137$ : la constante de estructura fina $\alpha$ , que mide cuán poco relativista es el átomo. 17. $h\nu = E_{n'} - E_n$ da $1/\lambda = (E_{\text{I}}/hc)(1/n^2 - 1/n'^2)$ : $R_H = E_{\text{I}}/hc = 1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ , que coincide con los $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ medidos dentro de la precisión de nuestras constantes. 18. $2 \to 1$ : $122\,\mathrm{nm}$ (ultravioleta lejano, Lyman $\alpha$ ); $3 \to 2$ : $656\,\mathrm{nm}$ , la línea roja visible que colorea las nebulosas de emisión; $\infty \to 2$ : $365\,\mathrm{nm}$ , el borde ultravioleta cercano de la serie de Balmer. 19. $k \to 2k$ : los radios se reducen en un factor $2$ , $E_{\text{I}} \to 4 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 54.4\,\mathrm{eV}$ ; la línea $2 \to 1$ cae en $122\,\mathrm{nm}/4 \approx 30\,\mathrm{nm}$ , en el ultravioleta extremo. 20. $f_{\text{orb}}(n) = 2E_{\text{I}}/hn^3$ ; $\nu_{n \to n-1} = (E_{\text{I}}/h)(2n - 1)/n^2(n-1)^2$ . Cociente $\nu/f_{\text{orb}} = n^3(2n-1)/2n^2(n-1)^2$ : $3$ para $n = 2$ , $1.17$ para $n = 10$ y $1.015$ para $n = 100$ . 21. En el límite de números cuánticos grandes, las predicciones cuánticas deben fundirse con las clásicas — aquí, la frecuencia radiada con la frecuencia orbital. 22. $n = 0$ significa $p_\varphi = 0$ : una “órbita circular” de radio nulo, el electrón sobre el protón — no existe tal movimiento. 23. El hidrógeno medido tiene un estado fundamental de momento angular nulo (no $\hbar$ ) y varios estados distintos que comparten el mismo $n$ (las formas $s$ , $p$ , $d$ de la química) — ambas cosas imposibles para una única órbita circular. 24. $a_0 \propto 1/m$ : $a_0^\mu = 256\,\mathrm{fm}$ ; $E_{\text{I}}^\mu = 207 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 2.8\,\mathrm{keV}$ (rayos X). El muon orbita doscientas veces más cerca — en parte dentro de la carga nuclear para los elementos pesados —, de manera que sus niveles miden radios nucleares (y agudizaron el enigma moderno del tamaño del protón). 25. Un solo invariante adiabático igualado a $nh$ entrega $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ y $R_H = 1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ — números que la teoría cuántica completa del Capítulo 11 mantendrá intactos, aun sustituyendo las órbitas que los produjeron.

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