Qu'est-ce que « espace connexe » ?

Exemple 4.28

$GL_n(\R)$ n’est pas connexe : $\det$ est continu (un polynôme en les coefficients) sur $\R^*$, qui n’est pas connexe ; les images réciproques de $\R_+^*$ et $\R_-^*$ scindent $GL_n(\R)$. (Chaque morceau est en fait connexe par arcs — un exercice agréable au-delà de nos besoins.) Par contraste $GL_n(\C)$ est connexe par arcs : Exercice 4.10.

Exemple 4.29 (Un point fixe par la connexité seule)

Toute application continue $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ a un point fixe — pas d’hypothèse de contraction, pas d’itération. Considérer $g(x) = f(x) - x$, continue sur le connexe $\intcc01$ :

et le théorème des valeurs intermédiaires (Théorème 4.27 (2)) livre un zéro de $g$, c’est-à-dire un point fixe de $f$. À comparer avec Banach (Théorème 4.12) : ici l’existence est topologique et gratuite, mais l’unicité et l’algorithme sont perdus — $f = \mathrm{id}$ a tout point fixe, et l’itération d’un $f$ non contractant peut boucler à jamais. Les deux théorèmes de point fixe de ce chapitre répondent à des questions différentes avec des monnaies différentes.

Exemple 4.30 ($\R$ et $\R^2$ ne sont pas homéomorphes)

La connexité est une empreinte topologique. Supposons que $h \colon \R^2 \to \R$ soit un homéomorphisme (une bijection continue de réciproque continue). Retirer un point $a \in \R^2$ : la restriction $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to \R\setminus\{h(a)\}$ est encore un homéomorphisme. Mais $\R^2$ privé d’un point est connexe par arcs — joindre deux points quelconques par un segment, en faisant un détour par un second segment via un point auxiliaire si $a$ bloque le chemin direct — donc connexe (Théorème 4.27 (3)) ; tandis que $\R$ privé d’un point se scinde en deux demi-droites ouvertes non vides : non connexe. La connexité est préservée par les applications continues : contradiction. Le plan et la droite sont véritablement différents en tant qu’espaces topologiques — un fait que la cardinalité seule (des bijections de type Exercice 1.3 existent bien !) est trop grossière pour voir.

Exemple 6.22 (La sinusoïde du topologue)

Soit $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ et $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (tout point $(0, y)$, $\abs y \leq 1$, est limite de points de $\Gamma$ : résoudre $\sin\frac1x = y$ près de $0$). Alors $S$ est connexe — adhérence de la connexe $\Gamma$, image continue de $(0, 1]$ (Théorème 6.20(3)) — mais pas connexe par arcs : un chemin de $(1, \sin 1)$ à $(0,0)$ devrait parcourir des abscisses $\to 0$ tandis que l’ordonnée oscille entre $\pm1$ ; Exercice 6.9 rend cela rigoureux. Connexité et connexité par arcs diffèrent vraiment.