Mathématiques · Glossaire

Qu'est-ce que « Idéal » ?

Aussi appelé : anneau quotient

Définition 1.25 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 1 — Ensembles et structures

Soit $A$ un anneau commutatif. Un idéal $I \subseteq A$ est un sous-groupe additif tel que $a x \in I$ pour tout $a \in A$ , $x \in I$ . Les noyaux de morphismes d’anneaux sont des idéaux ; $I = A$ si et seulement si $1 \in I$ si et seulement si $I$ contient un inversible. L’idéal engendré par $x$ est $xA = \{xa\}$ (un idéal principal).

Exemples

Exemple 1.27 (Un pgcd de polynômes, de deux façons)

Calculons $\gcd(X^3 - 1,\ X^2 - 1)$ dans $\Q[X]$ . Par Euclide :

X^3 - 1 = X\,(X^2 - 1) + (X - 1), \qquad X^2 - 1 = (X + 1)(X - 1) + 0 ,

donc le pgcd est $X - 1$ , et la remontée donne la relation de Bézout

X - 1 = 1\cdot(X^3 - 1) - X\cdot(X^2 - 1).

Par les idéaux : l’idéal $(X^3 - 1)\Q[X] + (X^2 - 1)\Q[X]$ est principal (Théorème 1.26) ; il contient $X - 1$ (la formule affichée) et est contenu dans $(X - 1)\Q[X]$ (les deux générateurs s’annulent en $1$ , donc sont multiples de $X - 1$ ) : le générateur unitaire est $X - 1$ . L’idée à retenir : le point de vue des idéaux identifie le pgcd sans diviser — les racines communes localisent l’idéal, et Euclide ne fait que le certifier.

Exemple 1.34 (Un morphisme d’évaluation et son noyau)

Prenons $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ et l’évaluation $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$ , $P \mapsto P(A)$ . Puisque $A^2 = 0$ ,

P(A) = P(0)\,I + P'(0)\,A = \begin{pmatrix} P(0) & P'(0)\\ 0 & P(0)\end{pmatrix},

(seuls les termes constant et linéaire de $P$ subsistent). Donc $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$ : un idéal principal, exactement comme le prévoit le Théorème 1.26, engendré par le polynôme unitaire $X^2$ de plus petit degré dans le noyau — le polynôme minimal de $A$ , vedette du Chapitre 3. L’image est l’algèbre commutative de dimension deux $\{aI + bA\}$ : les morphismes d’évaluation réduisent le $\R[X]$ de dimension infinie à de petites algèbres calculables.

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Définition 2.1 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 2 — Anneaux et arithmétique

Un idéal $I$ d’un anneau $A$ est un sous-groupe additif tel que $AI \subseteq I$ . L’anneau quotient $A/I$ est le groupe quotient $(A, +)/I$ muni de la multiplication $(a + I)(b + I) = ab + I$ : bien définie, car changer $a$ en $a + x$ , $b$ en $b + y$ ( $x, y \in I$ ) change $ab$ de $ay + xb + xy \in I$ . La projection $\pi \colon A \to A/I$ est un morphisme d’anneaux surjectif de noyau $I$ , et les noyaux des morphismes d’anneaux sont exactement les idéaux.

Exemples

Exemple 2.20 (Un anneau sans factorisation unique)

Aucune des implications euclidien $\Rightarrow$ PID $\Rightarrow$ UFD n’est une équivalence, et l’échec de la dernière mérite d’être vu une fois en détail complet. Dans

A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}, \qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,

la norme est multiplicative et $N(z) = 1$ ssi $z \in A^\times = \{\pm1\}$ . Considérer

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).

Les quatre facteurs sont irréductibles : leurs normes sont $4, 9, 6, 6$ , et une factorisation propre $z = z_1z_2$ forcerait $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — or $a^2 + 5b^2$ ne vaut jamais $2$ ni $3$ ( $b = 0$ laisse les non-carrés $2, 3$ ; $\abs b \geq 1$ donne $\geq 5$ ). Pourtant $2$ n’est associé ni à $1 + \iu\sqrt5$ ni à $1 - \iu\sqrt5$ (normes $4 \neq 6$ ) : deux factorisations véritablement différentes de $6$ en irréductibles. De façon équivalente, irréductible $\neq$ premier ici : $2$ divise le produit $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ mais aucun des facteurs (normes encore). La réparation idéelliste de cet échec — factoriser les idéaux plutôt que les éléments — est la naissance de la théorie algébrique des nombres ; à notre niveau, l’exemple calibre à quel point les anneaux euclidiens $\Z$ , $K[X]$ , $\Z[\iu]$ de ce chapitre sont spéciaux.

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