Mathématiques universitaires — Licence 3 · Bachelor Year 3

2Anneaux et arithmétique

Les entiers ordinaires se factorisent de façon unique en premiers ; de même les polynômes sur un corps. Ces deux faits n’en font-ils qu’un ? Ce chapitre répond oui, et trouve les hypothèses exactes qui rendent une « arithmétique » possible dans un anneau commutatif : la chaîne

\text{euclidien} \;\Longrightarrow\; \text{principal} \;\Longrightarrow\; \text{factoriel (UFD)},

avec toutes les implications démontrées et toutes les réciproques réfutées. La théorie est ensuite mise à l’épreuve là où elle gagne sa vie : les entiers de Gauss $\Z[\iu]$ (qui creveront le théorème des deux carrés de Fermat dans le problème du week-end), les anneaux de polynômes en plusieurs variables (lemme de Gauss, critère d’Eisenstein), et les anneaux noethériens, culminant dans le théorème de la base de Hilbert. Tout au long, anneau signifie anneau commutatif unitaire avec $1 \neq 0$ ; les idéaux de $\Z$ et $K[X]$ du volume de L2 sont nos deux exemples guides.

2.1 Idéaux, quotients et théorème d’isomorphisme

Définition 2.1

Un idéal $I$ d’un anneau $A$ est un sous-groupe additif tel que $AI \subseteq I$ . L’anneau quotient $A/I$ est le groupe quotient $(A, +)/I$ muni de la multiplication $(a + I)(b + I) = ab + I$ : bien définie, car changer $a$ en $a + x$ , $b$ en $b + y$ ( $x, y \in I$ ) change $ab$ de $ay + xb + xy \in I$ . La projection $\pi \colon A \to A/I$ est un morphisme d’anneaux surjectif de noyau $I$ , et les noyaux des morphismes d’anneaux sont exactement les idéaux.

Théorème 2.2 (Premier théorème d’isomorphisme)

Si $f \colon A \to B$ est un morphisme d’anneaux, alors $\bar f\colon A/\ker f \to \operatorname{im} f$ , $a + \ker f \mapsto f(a)$ , est un isomorphisme d’anneaux. Plus généralement $f$ se factorise à travers $A/I$ pour tout idéal $I \subseteq \ker f$ . Les idéaux de $A/I$ sont les $J/I$ pour $J \supseteq I$ un idéal de $A$ (théorème de correspondance).

Démonstration. Comme pour les groupes (Théorèmes 1.3 et 1.5), en notant que toutes les applications en vue respectent aussi les produits : $\bar f$ est bien définie, bijective sur l’image, et multiplicative ; la correspondance $J \mapsto J/I$ , $\bar J \mapsto \pi^{-1}(\bar J)$ préserve les idéaux dans les deux sens car $\pi$ est un morphisme d’anneaux surjectif. ∎

Définition 2.3

Soit $I \subsetneq A$ un idéal propre. $I$ est premier si $ab \in I \Rightarrow a \in I$ ou $b \in I$ ; $I$ est maximal si aucun idéal ne se place strictement entre $I$ et $A$ .

Proposition 2.4

$I$ est premier $\iff$ $A/I$ est un anneau intègre ; $I$ est maximal $\iff$ $A/I$ est un corps. En particulier les idéaux maximaux sont premiers.

Démonstration. Noter $\bar a$ les classes dans $A/I$ . « $I$ premier » se traduit verbatim en « $\bar a\bar b = 0 \Rightarrow \bar a = 0$ ou $\bar b = 0$ », et $A/I \neq 0$ en $I \neq A$ : c’est la définition d’un anneau intègre. Pour la maximalité, utiliser le théorème de correspondance : aucun idéal strictement entre $I$ et $A$ $\iff$ $A/I$ n’a d’idéal autre que $0$ et lui-même $\iff$ $A/I$ est un corps — pour la dernière étape : dans un corps les seuls idéaux sont $0$ et le tout (un idéal contenant $x \ne 0$ contient $x^{-1}x = 1$ ) ; réciproquement si tout $x$ non nul engendre l’idéal unité, alors $xy = 1$ pour un certain $y$ . Les corps sont intègres, donc les idéaux maximaux sont premiers. ∎

Exemple 2.5

Dans $\Z$ : les idéaux premiers sont $(0)$ et les $(p)$ , $p$ premier ; les maximaux sont les $(p)$ ( $\Z/p\Z = \mathbb F_p$ est un corps, $\Z/(0) = \Z$ ne l’est pas). Dans $K[X, Y]$ : $(X) \subsetneq (X, Y)$ sont tous deux premiers ( $K[X,Y]/(X) \cong K[Y]$ , intègre ; $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$ , un corps), donc $(X)$ est premier mais non maximal.

Pour garantir que des idéaux maximaux existent en toute généralité, on a besoin d’un principe ensembliste. Un ensemble partiellement ordonné est inductif si toute partie totalement ordonnée (chaîne) a un majorant.

Théorème 2.6 (Lemme de Zorn)

Tout ensemble partiellement ordonné inductif non vide a un élément maximal.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 2.7

Ce n’est pas un théorème des mathématiques ordinaires mais un axiome : il est équivalent, sur les axiomes de base de Zermelo–Fraenkel de la théorie des ensembles, à l’axiome du choix (« tout produit d’ensembles non vides est non vide »), que nous acceptons tout au long de ce livre. Nous signalons chaque usage. L’analyse l’invoquera de nouveau (Hahn–Banach, Chapitre 8).

Théorème 2.8 (Krull)

Tout idéal propre $I \subsetneq A$ est contenu dans un idéal maximal.

Démonstration. Ordonner par inclusion l’ensemble $\mathcal E$ des idéaux propres contenant $I$ ; il est non vide ( $I \in \mathcal E$ ). Une chaîne $(J_\lambda)$ dans $\mathcal E$ a pour majorant $J = \bigcup J_\lambda$ : un idéal (tout $a, b \in J$ vivent dans un même $J_\lambda$ par totalité), propre ( $1 \notin J_\lambda$ pour tout $\lambda$ ), contenant $I$ . Le lemme de Zorn fournit un élément maximal de $\mathcal E$ , qui est un idéal maximal contenant $I$ (un idéal strictement au-dessus et propre appartiendrait à $\mathcal E$ ). ∎

Théorème 2.9 (Théorème des restes chinois)

Soient $I_1, \dots, I_n$ des idéaux deux à deux comaximaux de $A$ ( $I_k + I_l = A$ pour $k \neq l$ ). Alors

A\Big/\bigcap_{k=1}^n I_k \;\xrightarrow{\;\sim\;}\; \prod_{k=1}^n A/I_k, \qquad a \longmapsto (a + I_1, \dots, a + I_n),

et de plus $\bigcap_k I_k = I_1 I_2 \cdots I_n$ (l’idéal engendré par les produits).

Démonstration. L’application $f(a) = (a + I_k)_k$ est un morphisme d’anneaux de noyau $\bigcap I_k$ ; par le Théorème 2.2 il suffit de prouver la surjectivité. Fixer $k$ ; pour chaque $l \neq k$ écrire $1 = u_l + v_l$ avec $u_l \in I_k$ , $v_l \in I_l$ (comaximalité). Alors

e_k = \prod_{l \neq k} v_l = \prod_{l\neq k}(1 - u_l) \equiv 1 \pmod{I_k}, \qquad e_k \in I_l \ (l \neq k),

donc $f(e_k) = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ; étant donné une cible $(a_k + I_k)_k$ , l’élément $\sum_k a_k e_k$ s’y envoie.

Produits contre intersection : $I_1\cdots I_n \subseteq \bigcap I_k$ toujours. Réciproquement, par récurrence il suffit de traiter $n = 2$ (on vérifie que $I_1$ et $I_2\cdots I_n$ sont comaximaux : en multipliant $1 = u_l + v_l$ sur $l \geq 2$ on obtient $1 \in I_1 + I_2\cdots I_n$ ). Pour $n = 2$ : écrire $1 = u + v$ , $u \in I_1$ , $v \in I_2$ ; pour $x \in I_1 \cap I_2$ , $x = xu + xv \in I_2I_1 + I_1I_2 = I_1I_2$ . ∎

Exemple 2.10

Dans $\Z$ avec $I_k = (m_k)$ , $m_k$ deux à deux premiers entre eux : $\Z/(m_1\cdots m_n)\Z \cong \prod \Z/m_k\Z$ — le théorème des restes chinois du volume de L2. En restreignant aux unités : $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ pour $\gcd(m,n)=1$ , d’où la multiplicitivité de l’indicatrice d’Euler $\varphi$ (Exercice 2.8).

2.2 Divisibilité : euclidien, principal, factoriel

Définition 2.11

Soit $A$ un anneau intègre, $a, b \in A$ . On dit que $a$ divise $b$ ( $a \mid b$ ) si $b \in (a) = aA$ . Des éléments $a, b$ sont associés si $a = ub$ avec $u \in A^\times$ (de façon équivalente $(a) = (b)$ ). Un élément non nul non inversible $p$ est :

irréductible si $p = ab$ force $a \in A^\times$ ou $b \in A^\times$ ;
premier si $p \mid ab$ force $p \mid a$ ou $p \mid b$ (i.e. l’idéal $(p)$ est premier).

Proposition 2.12

Dans tout anneau intègre, premier $\Rightarrow$ irréductible. La réciproque est fausse en général : dans $\Z[\iu\sqrt 5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}$ , l’élément $2$ est irréductible mais non premier.

Démonstration. Soit $p$ premier et $p = ab$ . Alors $p \mid ab$ , disons $p \mid a$ : $a = pc$ , donc $p = pcb$ , et en simplifiant par $p$ (anneau intègre !) on obtient $cb = 1$ : $b \in A^\times$ .

Dans $\Z[\iu\sqrt5]$ , utiliser la norme $N(x + \iu y\sqrt 5) = x^2 + 5y^2$ , multiplicative (c’est $\abs z^2$ ). Si $2 = ab$ avec $a, b$ non inversibles, alors $4 = N(a)N(b)$ avec $N(a), N(b) \neq 1$ (les éléments de norme $1$ sont $\pm1$ , les unités), donc $N(a) = 2$ : impossible, $x^2 + 5y^2 = 2$ n’a pas de solution entière. Donc $2$ est irréductible. Mais $2 \mid 6 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5)$ tandis que $2$ ne divise aucun des facteurs ( $\frac12 \pm \frac{\iu\sqrt5}2 \notin \Z[\iu\sqrt5]$ ) : non premier. ∎

Définition 2.13

Un anneau intègre $A$ est :

euclidien s’il existe une application $\nu \colon A \setminus \{0\} \to \N$ (une fonction euclidienne) telle que pour tous $a, b$ avec $b \ne 0$ il existe $q, r$ avec $a = bq + r$ et ( $r = 0$ ou $\nu(r) < \nu(b)$ ) ;
principal (un PID) si tout idéal est de la forme $(a)$ ;
factoriel (un UFD) si tout non nul non inversible est un produit d’irréductibles, unique à l’ordre et aux associés près.

Théorème 2.14

Euclidien $\Rightarrow$ principal.

Démonstration. Soit $I \neq (0)$ un idéal et $b \in I \setminus\{0\}$ avec $\nu(b)$ minimal. Pour $a \in I$ , diviser : $a = bq + r$ ; alors $r = a - bq \in I$ , et $\nu(r) < \nu(b)$ contredirait la minimalité, donc $r = 0$ et $a \in (b)$ : $I = (b)$ . ∎

Exemple 2.15

$\Z$ (avec $\nu = \abs\cdot$ ) et $K[X]$ (avec $\nu = \deg$ ) sont euclidiens — le volume de L2 a démontré les deux divisions. De même $\Z[\iu]$ , avec $\nu = N$ la norme carrée (Exercice 2.4) ; la géométrie de la démonstration est dans la figure ci-dessous. Un PID non euclidien existe mais est délicat à certifier (l’exemple standard est $\Z\bigl[\frac{1+\iu\sqrt{19}}2\bigr]$ ) ; un UFD qui n’est pas un PID est facile : $K[X, Y]$ (Exercice 2.6), ou $\Z[X]$ .

Division dans les entiers de Gauss : le quotient exact a/b ∈ ℂ se trouve à distance ≤ √2/2 < 1 d’un certain point de réseau q ∈ ℤ[ ] ; alors r = a - bq a N(r) = N(b)\,|a/b - q|2 < N(b). Une division euclidienne, donc toute une arithmétique. — Division dans les entiers de Gauss : le quotient exact $a/b \in \C$ se trouve à distance $\leq \frac{\sqrt2}{2} < 1$ d’un certain point de réseau $q \in \Z[\iu]$ ; alors $r = a - bq$ a $N(r) = N(b)\,\abs{a/b - q}^2 < N(b)$ . Une division euclidienne, donc toute une arithmétique.

Lemme 2.16 (Chaînes croissantes d’idéaux principaux)

Dans un PID, toute suite croissante d’idéaux $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ est éventuellement constante.

Démonstration. $I = \bigcup_n I_n$ est un idéal (l’union est croissante), donc $I = (a)$ ; l’élément $a$ vit dans un certain $I_N$ , et alors $I = (a) \subseteq I_N \subseteq I_n \subseteq I$ pour $n \geq N$ . ∎

Lemme 2.17 (Bézout ; lemme d’Euclide)

Soit $A$ un PID et $a, b \in A$ . Alors $(a) + (b) = (d)$ pour un certain $d$ , un plus grand commun diviseur : $d \mid a$ , $d \mid b$ , et tout diviseur commun de $a, b$ divise $d$ ; de plus $d = au + bv$ pour certains $u, v$ (Bézout). Par conséquent tout élément irréductible d’un PID est premier.

Démonstration. $(a) + (b)$ est un idéal, donc $(d)$ ; $a, b \in (d)$ donnent $d \mid a, b$ ; et $d = au + bv \in (a) + (b)$ . Un diviseur commun $c$ de $a, b$ divise $au + bv = d$ .

Euclide : soit $p$ irréductible, $p \mid ab$ , $p \nmid a$ . Un pgcd $d$ de $p$ et $a$ divise $p$ , donc $d$ est une unité ou un associé de $p$ (irréductibilité) ; associé est exclu par $p \nmid a$ . Donc $1 = pu + av$ , d’où $b = pub + abv$ , et $p$ divise les deux termes : $p \mid b$ . ∎

Théorème 2.18

Principal $\Rightarrow$ factoriel.

Démonstration. Existence. Supposons qu’un certain non nul non inversible $a$ n’a pas de factorisation en irréductibles. Alors $a$ n’est pas irréductible : $a = a_1b_1$ avec les deux facteurs non inversibles ; l’un d’eux au moins, disons $a_1$ , n’a encore pas de factorisation (un produit de deux éléments factorisables est factorisable). En itérant, on obtient $a = a_0, a_1, a_2, \dots$ , chacun diviseur propre du précédent sans factorisation, donc $(a_0) \subsetneq (a_1) \subsetneq (a_2) \subsetneq \cdots$ — les inclusions sont strictes car $a_n = a_{n+1}c$ avec $c$ non inversible signifie que $(a_n) = (a_{n+1})$ forcerait $c \in A^\times$ (simplifier dans un anneau intègre). Cela contredit le Lemme 2.16.

Unicité. Soit $p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s$ avec tous les facteurs irréductibles, $r \leq s$ , par récurrence sur $r$ . Le premier (Lemme 2.17) $p_1$ divise le membre de droite, donc divise un certain $q_j$ ; renuméroter $j = 1$ . Comme $q_1$ est irréductible et $p_1$ n’est pas une unité, $q_1 = u p_1$ avec $u \in A^\times$ : $p_1, q_1$ sont associés. Simplifier par $p_1$ : $p_2 \cdots p_r = (u q_2) q_3\cdots q_s$ et conclure par récurrence ( $r = 1$ force $s = 1$ : une unité fois des irréductibles ne peut valoir $1$ ). ∎

Remarque 2.19

Dans un UFD, les pgcd existent (prendre les exposants minimaux dans les factorisations) et le lemme d’Euclide vaut — irréductible $=$ premier (Exercice 2.2) — mais Bézout peut échouer : dans $\Z[X]$ , $\gcd(2, X) = 1$ pourtant $1 \neq 2U + XV$ (évaluer en $X = 0$ : $1 = 2U(0)$ , impossible). Les identités de Bézout sont la propriété exclusive des PID.

Exemple 2.20 (Un anneau sans factorisation unique)

Aucune des implications euclidien $\Rightarrow$ PID $\Rightarrow$ UFD n’est une équivalence, et l’échec de la dernière mérite d’être vu une fois en détail complet. Dans

A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}, \qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,

la norme est multiplicative et $N(z) = 1$ ssi $z \in A^\times = \{\pm1\}$ . Considérer

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).

Les quatre facteurs sont irréductibles : leurs normes sont $4, 9, 6, 6$ , et une factorisation propre $z = z_1z_2$ forcerait $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — or $a^2 + 5b^2$ ne vaut jamais $2$ ni $3$ ( $b = 0$ laisse les non-carrés $2, 3$ ; $\abs b \geq 1$ donne $\geq 5$ ). Pourtant $2$ n’est associé ni à $1 + \iu\sqrt5$ ni à $1 - \iu\sqrt5$ (normes $4 \neq 6$ ) : deux factorisations véritablement différentes de $6$ en irréductibles. De façon équivalente, irréductible $\neq$ premier ici : $2$ divise le produit $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ mais aucun des facteurs (normes encore). La réparation idéelliste de cet échec — factoriser les idéaux plutôt que les éléments — est la naissance de la théorie algébrique des nombres ; à notre niveau, l’exemple calibre à quel point les anneaux euclidiens $\Z$ , $K[X]$ , $\Z[\iu]$ de ce chapitre sont spéciaux.

Méthode 2.21

Pour identifier un anneau quotient $A/I$ , chercher un morphisme surjectif $f \colon A \to B$ de noyau $I$ et invoquer le Théorème 2.2 ; quand $A = C[X]$ est un anneau de polynômes, $f$ est en général une évaluation. Ainsi $\Z[X]/(X^2+1) \cong \Z[\iu]$ (évaluer en $\iu$ ), $K[X,Y]/(Y - X^2) \cong K[X]$ (évaluer $Y$ en $X^2$ ), $\R[X]/(X^2+1) \cong \C$ . Pour montrer que $I$ est premier ou maximal, montrer que le quotient est intègre ou un corps (la Proposition 2.4).

2.3 Polynômes sur un UFD : Gauss et Eisenstein

Tout au long de cette section $A$ est un UFD de corps des fractions $K$ (construit comme le corps des quotients formels $a/b$ , $b \neq 0$ , exactement comme $\Q$ à partir de $\Z$ ; le volume de L2 a fait cette construction pour $\Q$ , et elle se transfère verbatim). Notre but : la factorialité passe de $A$ à $A[X]$ , et l’irréductibilité sur $A$ est essentiellement l’irréductibilité sur le corps plus grand $K$ .

Définition 2.22

Le contenu $c(P)$ d’un $P \neq 0$ de $A[X]$ est un pgcd de ses coefficients (défini à une unité près) ; $P$ est primitif si $c(P) \in A^\times$ . Tout $P \in A[X]$ s’écrit $P = c(P)\,P_1$ avec $P_1$ primitif, et tout $P \in K[X]\setminus\{0\}$ s’écrit $P = \lambda P_1$ avec $\lambda \in K^\times$ et $P_1 \in A[X]$ primitif (chasser les dénominateurs, puis extraire le contenu).

Lemme 2.23 (Gauss)

Le produit de deux polynômes primitifs de $A[X]$ est primitif ; par conséquent $c(PQ) = c(P)c(Q)$ à unités près.

Démonstration. Soient $P, Q$ primitifs et supposons qu’un certain irréductible ( $=$ premier, UFD) $p$ divise tous les coefficients de $PQ$ . Réduire modulo $p$ : dans $(A/(p))[X]$ , $\bar P \bar Q = 0$ . Mais $A/(p)$ est intègre ( $(p)$ premier), donc $(A/(p))[X]$ est intègre (les coefficients dominants se multiplient), forçant $\bar P = 0$ ou $\bar Q = 0$ : $p$ divise tous les coefficients de $P$ ou tous ceux de $Q$ , contredisant la primitivité. Pour la conséquence, écrire $P = c(P)P_1$ , $Q = c(Q)Q_1$ : $PQ = c(P)c(Q) P_1Q_1$ avec $P_1Q_1$ primitif. ∎

Théorème 2.24

Soit $A$ un UFD de corps des fractions $K$ .

Un $P \in A[X]$ primitif de degré $\geq 1$ est irréductible dans $A[X]$ ssi il est irréductible dans $K[X]$ .
$A[X]$ est un UFD ; ses irréductibles sont les irréductibles de $A$ et les polynômes primitifs irréductibles sur $K$ . En particulier $\Z[X]$ , et par récurrence $K[X_1, \dots, X_n]$ et $\Z[X_1, \dots, X_n]$ , sont des UFD.

Démonstration. (1) ( $\Leftarrow$ ) Si $P = QR$ dans $A[X]$ avec $Q, R$ non inversibles, alors aucun des facteurs n’est constant (un facteur constant d’un polynôme primitif est une unité), donc la factorisation est propre dans $K[X]$ . ( $\Rightarrow$ ) Supposons $P = QR$ avec $Q, R \in K[X]$ de degrés $\geq 1$ . Écrire $Q = \lambda Q_1$ , $R = \mu R_1$ avec $Q_1, R_1 \in A[X]$ primitifs : $P = \lambda\mu\, Q_1R_1$ , et $Q_1R_1$ est primitif par Gauss. En prenant les contenus, $\lambda\mu \in A^\times$ (les deux côtés ont un contenu unité ; formellement, $\lambda\mu = c(P) \in A^\times$ à unités près, et en particulier $\lambda \mu \in A$ ) : $P = (\lambda\mu Q_1) R_1$ est une factorisation propre dans $A[X]$ .

(2) Existence : étant donné $P \neq 0$ non inversible, factoriser $P = c(P)P_1$ , factoriser $c(P)$ en irréductibles de $A$ , et factoriser $P_1$ dans l’UFD $K[X]$ en $\prod Q_i$ avec $Q_i \in K[X]$ irréductibles ; en écrivant $Q_i = \lambda_i R_i$ avec $R_i \in A[X]$ primitifs (donc irréductibles sur $K$ , donc dans $A[X]$ par (1)), le produit $\prod \lambda_i$ est une unité de $A$ comme ci-dessus, et $P_1 = u\prod R_i$ . Unicité : comparer la partie constante et la partie polynomiale d’une factorisation ; les constantes multiplient en $c(P)$ (Gauss), unique par factorialité de $A$ ; les parties polynomiales donnent deux factorisations dans $K[X]$ du même polynôme, donc elles s’apparient à des constantes de $K^\times$ près (factorialité de $K[X]$ , Théorème 2.18), et des polynômes primitifs associés dans $K[X]$ sont associés dans $A[X]$ : si $R = \lambda R'$ avec $R, R'$ primitifs et $\lambda \in K^\times$ , alors prendre les contenus force $\lambda \in A^\times$ . ∎

Théorème 2.25 (Critères d’irréductibilité)

Soit $A$ un UFD, $K$ son corps des fractions, et $P = a_nX^n + \dots + a_0 \in A[X]$ primitif de degré $n \geq 1$ .

(Réduction) Si $p \in A$ est premier, $p \nmid a_n$ , et la réduction $\bar P$ est irréductible dans $(A/(p))[X]$ , alors $P$ est irréductible dans $K[X]$ (donc dans $A[X]$ ).
(Eisenstein) Si un certain premier $p$ vérifie $p \nmid a_n$ , $p \mid a_i$ pour $0 \leq i < n$ , et $p^2 \nmid a_0$ , alors $P$ est irréductible dans $K[X]$ (donc dans $A[X]$ ).

Démonstration. Par le Théorème 2.24(1), une factorisation propre sur $K$ donne $P = QR$ avec $Q, R \in A[X]$ , $\deg Q, \deg R \geq 1$ (les constantes sont exclues : elles seraient des unités ou gâcheraient la primitivité).

(1) Réduire mod $p$ : $\bar P = \bar Q\bar R$ dans $(A/(p))[X]$ . Comme $p \nmid a_n$ et $\deg$ ne peut que baisser sous réduction, $\deg \bar Q = \deg Q \geq 1$ et $\deg\bar R = \deg R \geq 1$ (leurs coefficients dominants multiplient en $\bar a_n \neq 0$ , donc aucun ne baisse) : $\bar P$ se factorise proprement — contradiction.

(2) Réduire mod $p$ : $\bar Q \bar R = \bar P = \bar a_n X^n$ (tous les coefficients inférieurs meurent). Dans l’anneau intègre $(A/(p))[X]$ , les factorisations de $cX^n$ ( $c \ne 0$ ) sont en constantes et puissances pures $c'X^k$ : en effet si $\bar Q\bar R = \bar a_nX^n$ , et disons $\bar Q$ avait un coefficient non nul en degré $< \deg\bar Q$ , prendre les termes non nuls de plus bas degré : $\operatorname{val}(\bar Q\bar R) = \operatorname{val}\bar Q + \operatorname{val}\bar R$ (anneau intègre), qui doit valoir $n = \deg\bar Q + \deg\bar R$ , forçant $\operatorname{val} = \deg$ pour les deux : tous deux sont monômes. Comme ci-dessus, les degrés ne baissent pas, donc $Q$ et $R$ ont leurs termes constants $Q(0), R(0)$ divisibles par $p$ — les deux, car les deux réductions sont des monômes de degré $\geq 1$ . Alors $p^2 \mid Q(0)R(0) = a_0$ : contradiction. ∎

Exemple 2.26

$X^n - p$ est irréductible sur $\Q$ pour tout premier $p$ et $n \geq 1$ (Eisenstein en $p$ ) : il existe des polynômes irréductibles de tout degré sur $\Q$ — en contraste frappant avec $\C$ (degré $1$ , d’Alembert–Gauss, démontré dans le Chapitre 16) et $\R$ (degrés $1, 2$ ). Le tour du décalage élargit la portée d’Eisenstein : le $p$ -ième polynôme cyclotomique $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ a

\Phi_p(X + 1) = \frac{(X+1)^p - 1}{X} = X^{p-1} + \binom{p}{1}X^{p-2} + \dots + \binom{p}{p-1},

Eisenstein en $p$ ( $p \mid \binom pk$ pour $0 < k < p$ , et $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$ ) : $\Phi_p(X+1)$ , donc $\Phi_p$ , est irréductible sur $\Q$ . C’est le cœur algébrique de l’histoire du $17$ -gone racontée dans le Chapitre 4.

Méthode 2.27

Pour prouver qu’un $P \in \Z[X]$ est irréductible sur $\Q$ : (i) rendre $P$ primitif ; (ii) essayer Eisenstein, sur $P(X)$ et sur les décalages $P(X \pm 1)$ ; (iii) essayer la réduction modulo de petits premiers ne divisant pas le coefficient dominant — l’irréductibilité mod un $p$ suffit, et sur $\mathbb F_p$ l’irréductibilité est un contrôle fini (pas de racines exclut les facteurs de degré $1$ ; puis tester les finiement nombreux facteurs de chaque degré $\leq \deg P/2$ ) ; (iv) si tout le reste échoue, coefficients indéterminés. Attention : la réductibilité mod tout $p$ n’implique pas la réductibilité sur $\Q$ (Exercice 2.11).

2.4 Anneaux noethériens

Définition 2.28

Un anneau $A$ est noethérien si tout idéal de $A$ est de type fini.

Proposition 2.29

$A$ est noethérien ssi toute suite croissante d’idéaux est éventuellement constante (condition de chaîne ascendante), ssi toute famille non vide d’idéaux a un élément maximal (pour l’inclusion).

Démonstration. (TF $\Rightarrow$ CCA) : pour une chaîne $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ , l’union $I$ est un idéal, engendré par $x_1, \dots, x_r$ ; tous les $x_i$ vivent dans un certain $I_N$ , donc $I = I_N = I_n$ pour $n \geq N$ . (CCA $\Rightarrow$ éléments maximaux) : si une famille non vide $\mathcal F$ n’avait pas d’élément maximal, choisir $I_1 \in \mathcal F$ , puis inductivement $I_{n+1} \supsetneq I_n$ dans $\mathcal F$ (possible car $I_n$ n’est pas maximal) : une chaîne strictement croissante infinie. (Cela utilise l’axiome des choix dépendants, une forme faible du choix dont nous ne faisons pas d’histoire.) (Éléments maximaux $\Rightarrow$ TF) : étant donné un idéal $I$ , la famille des idéaux de type fini contenus dans $I$ est non vide ( $(0)$ ) ; un élément maximal $J = (x_1, \dots, x_r)$ doit valoir $I$ : sinon, ajouter $x \in I \setminus J$ aux générateurs produit un membre strictement plus grand de la famille. ∎

Théorème 2.30 (Théorème de la base de Hilbert)

Si $A$ est noethérien, alors $A[X]$ l’est aussi. D’où aussi $A[X_1, \dots, X_n]$ , et tout quotient de ceux-ci.

Démonstration. Soit $I$ un idéal de $A[X]$ , et supposons $I$ non de type fini. Construire une suite : $f_1 \in I \setminus \{0\}$ de degré minimal, et inductivement $f_{k+1} \in I \setminus (f_1, \dots, f_k)$ de degré minimal (l’ensemble est non vide par hypothèse). Les degrés $d_k = \deg f_k$ sont non décroissants (par minimalité de chaque choix : $f_{k+1}$ était disponible à l’étape $k+1$ ... précisément, $f_{k+1} \notin (f_1,\dots,f_k) \supseteq (f_1, \dots, f_{k-1})$ , donc $f_{k+1}$ a concouru à l’étape $k$ et a perdu ou fait match nul : $d_{k+1} \geq d_k$ ). Soit $a_k \in A$ le coefficient dominant de $f_k$ . La chaîne d’idéaux $(a_1) \subseteq (a_1, a_2) \subseteq \cdots$ se stabilise : $a_{n+1} \in (a_1, \dots, a_n)$ pour un certain $n$ , disons $a_{n+1} = \sum_{k\leq n} u_k a_k$ . Considérer

g = f_{n+1} - \sum_{k=1}^{n} u_k X^{\,d_{n+1} - d_k} f_k .

Alors $g \in I \setminus (f_1, \dots, f_n)$ (la somme vit dans l’idéal, $f_{n+1}$ non), pourtant le coefficient de degré $d_{n+1}$ s’annule : $\deg g < d_{n+1}$ , contredisant la minimalité de $d_{n+1} = \deg f_{n+1}$ .

En itérant, $A[X_1, \dots, X_n] = (A[X_1, \dots, X_{n-1}])[X_n]$ est noethérien ; un quotient $A/I$ est noethérien car ses idéaux $J/I$ se relèvent en idéaux de $A$ (correspondance), où un nombre fini de générateurs se projettent sur des générateurs. ∎

Remarque 2.31

La noethérianité est l’axiome de finitude de la géométrie algébrique : tout système d’équations polynomiales en $n$ variables, si infini soit-il, est équivalent à un nombre fini d’entre elles — son ensemble de solutions est découpé par un nombre fini de polynômes. Les PID sont noethériens (trivialement) ; $\Z[X_1, X_2, \dots]$ en une infinité de variables ne l’est pas ( $(X_1) \subsetneq (X_1, X_2) \subsetneq \cdots$ ). Les anneaux non noethériens apparaissent aussi naturellement en analyse : les fonctions continues sur $\intcc01$ en forment un (Exercice 2.10).

2.5 Exercices

Exercice 2.1 ★

Identifier les quotients : (a) $\Z[X]/(X^2 + 1) \cong \Z[\iu]$ ; (b) $\R[X]/(X^2+1) \cong \C$ ; (c) $\mathbb F_2[X]/(X^2 + X + 1)$ est un corps à $4$ éléments — écrire sa table de multiplication.

Solution

Solution de Exercice 2.1.

(a) L’évaluation $f \colon \Z[X] \to \Z[\iu]$ , $P \mapsto P(\iu)$ , est un morphisme d’anneaux surjectif ( $a + bX \mapsto a + b\iu$ ). Noyau : diviser $P$ par le polynôme unitaire $X^2 + 1$ dans $\Z[X]$ : $P = (X^2 + 1)Q + (bX + a)$ avec $a, b \in \Z$ ; alors $P(\iu) = a + b\iu = 0$ ssi $a = b = 0$ . Donc $\ker f = (X^2+1)$ et le Théorème 2.2 conclut.

(b) Le même calcul à coefficients dans $\R$ : $\R[X]/(X^2+1) \cong \C$ — c’est la construction la plus propre de $\C$ .

(c) $X^2 + X + 1$ n’a pas de racine dans $\mathbb F_2$ ( $0, 1 \mapsto 1$ ), donc, de degré $2$ , il est irréductible : le quotient $\mathbb F_4 = \mathbb F_2[X]/(X^2+X+1)$ est un corps (Proposition 2.4 ; $(P)$ maximal dans $K[X]$ quand $P$ est irréductible, car $K[X]$ est un PID : un idéal $(D) \supseteq (P)$ signifie $D \mid P$ ). Ses quatre éléments sont $0, 1, \omega, \omega + 1$ où $\omega = \bar X$ , avec $\omega^2 = \omega + 1$ . Table de multiplication (éléments non nuls) :

\omega \cdot \omega = \omega + 1, \qquad \omega(\omega + 1) = \omega^2 + \omega = 1, \qquad (\omega+1)^2 = \omega^2 + 1 = \omega .

Les éléments non nuls forment un groupe cyclique d’ordre $3$ engendré par $\omega$ .

Exercice 2.2 ★

(a) Montrer que dans un UFD, tout élément irréductible est premier. (b) Montrer qu’un anneau intègre fini est un corps. (c) En déduire que dans un anneau fini, tout idéal premier est maximal.

Solution

Solution de Exercice 2.2.

(a) Soit $p$ irréductible dans un UFD et $p \mid ab$ , disons $ab = pc$ , avec $a, b \neq 0$ (sinon trivial). Si $a$ ou $b$ est une unité, $p$ divise l’autre. Sinon factoriser $a$ , $b$ et $c$ en irréductibles : les deux factorisations de $ab$ ,

(\text{facteurs de } a)(\text{facteurs de } b) = p \cdot (\text{facteurs de } c),

doivent s’accorder à l’ordre et aux associés près : $p$ est associé d’un certain facteur irréductible de $a$ ou de $b$ , donc le divise.

(b) Soit $A$ un anneau intègre fini et $x \neq 0$ . L’application $y \mapsto xy$ est injective ( $xy = xy' \Rightarrow x(y - y') = 0 \Rightarrow y = y'$ ), donc surjective ( $A$ fini) : $1 = xy$ pour un certain $y$ .

(c) Si $\mathfrak p$ est premier dans un anneau fini $A$ , alors $A/\mathfrak p$ est un anneau intègre fini, donc un corps par (b), d’où $\mathfrak p$ est maximal (Proposition 2.4).

Exercice 2.3 ★

Dans $\Z[\iu\sqrt5]$ : vérifier que $3$ , $1 + \iu\sqrt5$ et $1 - \iu\sqrt5$ sont irréductibles, que $9 = 3\cdot 3 = (2 + \iu\sqrt5)(2 - \iu\sqrt5)$ , et conclure à nouveau (après la Proposition 2.12) que $\Z[\iu\sqrt5]$ n’est pas un UFD. Où exactement l’unicité échoue-t-elle ?

Solution

Solution de Exercice 2.3.

Normes : $N(3) = 9$ , $N(1 \pm \iu\sqrt5) = 6$ , $N(2 \pm \iu\sqrt5) = 9$ . Les équations $x^2 + 5y^2 = 2$ et $x^2 + 5y^2 = 3$ n’ont pas de solutions entières, donc aucun élément n’a norme $2$ ou $3$ . Une factorisation propre de $3$ demanderait deux facteurs de norme $3$ : impossible — $3$ est irréductible. Une factorisation propre de $1 \pm \iu\sqrt5$ (norme $6$ ) demanderait des facteurs de normes $2, 3$ : impossible. De même pour $2 \pm \iu\sqrt5$ (norme $9$ : les facteurs auraient norme $3$ ). Maintenant

9 = 3 \cdot 3 = (2 + \iu\sqrt5)(2 - \iu\sqrt5),

deux factorisations en irréductibles. Elles sont véritablement différentes : les unités sont $\pm 1$ (norme $1$ ), et $2 \pm \iu\sqrt5 \neq \pm 3$ . Donc l’unicité échoue — tandis que l’existence des factorisations vaut dans $\Z[\iu\sqrt5]$ (Exercice 2.10(c)) : la non-factorialité ici est purement un échec d’unicité. (De façon cohérente, Proposition 2.12 : ces irréductibles ne sont pas premiers.)

Exercice 2.4 ★★

(a) Montrer que $\Z[\iu]$ est euclidien pour la norme $N(x + \iu y) = x^2 + y^2$ : étant donnés $a, b \neq 0$ , choisir $q \in \Z[\iu]$ le plus proche de $a/b \in \C$ . (b) Déterminer $\Z[\iu]^\times$ . (c) Mêmes questions pour $\Z[\iu\sqrt2]$ et $N(x + \iu y\sqrt2) = x^2 + 2y^2$ . Pourquoi le même argument échoue-t-il pour $\Z[\iu\sqrt5]$ ?

Solution

Solution de Exercice 2.4.

(a) Soient $a, b \in \Z[\iu]$ , $b \neq 0$ , et $a/b = x + \iu y \in \C$ . Choisir des entiers $m, n$ avec $\abs{x - m} \leq \frac12$ , $\abs{y - n} \leq \frac12$ , et poser $q = m + \iu n$ , $r = a - bq$ . Alors

N(r) = N(b)\,\abs*{\tfrac ab - q}^2 \leq N(b)\Bigl(\tfrac14 + \tfrac14\Bigr) = \tfrac{N(b)}2 < N(b).

Donc $N$ est une fonction euclidienne ( $N(r) < N(b)$ ou $r = 0$ ).

(b) Si $uv = 1$ alors $N(u)N(v) = 1$ avec $N(u) \in \N$ : $N(u) = 1$ , i.e. $x^2 + y^2 = 1$ : $u \in \{\pm 1, \pm\iu\}$ ; réciproquement ce sont des unités.

(c) Pour $\Z[\iu\sqrt2]$ : le même arrondi donne $\abs{a/b - q}^2 \leq \frac14 + \frac{2}4 = \frac34 < 1$ : euclidien ; unités : $x^2 + 2y^2 = 1$ donne $\pm 1$ . Pour $\Z[\iu\sqrt5]$ la borne devient $\frac14 + \frac54 = \frac32 > 1$ : l’argument d’arrondi échoue — et doit échouer, car $\Z[\iu\sqrt5]$ n’est même pas un UFD (Exercice 2.3), tandis qu’euclidien impliquerait UFD (Théorèmes 2.14 et 2.18).

Exercice 2.5 ★★

Soit $A$ un anneau. (a) Montrer que si $x$ est nilpotent ( $x^n = 0$ pour un certain $n$ ) alors $1 + x \in A^\times$ . (b) Montrer que si $A$ est intègre, $A[X]^\times = A^\times$ ; donner un contre-exemple sur $\Z/4\Z$ . (c) Montrer qu’un anneau intègre n’a pas d’idempotents ( $e^2 = e$ ) autres que $0, 1$ , et aucun nilpotent autre que $0$ .

Solution

Solution de Exercice 2.5.

(a) Si $x^n = 0$ :

(1 + x)\bigl(1 - x + x^2 - \dots + (-1)^{n-1}x^{n-1}\bigr) = 1 + (-1)^{n-1}x^n = 1 .

(b) Dans un anneau intègre, $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ ; $PQ = 1$ force $\deg P = \deg Q = 0$ et $P, Q \in A^\times$ : $A[X]^\times = A^\times$ . Sur $\Z/4\Z$ : $(1 + 2X)^2 = 1 + 4X + 4X^2 = 1$ , donc $1 + 2X$ est une unité de degré $1$ (ici $2$ est nilpotent ; comparer (a)).

(c) $e^2 = e$ donne $e(e - 1) = 0$ , donc $e \in \{0, 1\}$ dans un anneau intègre. Si $x^n = 0$ avec $n \geq 1$ minimal et $x \ne 0$ , alors $n \geq 2$ et $x \cdot x^{n-1} = 0$ avec les deux facteurs non nuls : contradiction.

Exercice 2.6 ★★

Dans $A = K[X, Y]$ : (a) montrer que l’idéal $(X, Y)$ est maximal mais non principal — donc $K[X,Y]$ est un UFD (Théorème 2.24) qui n’est pas un PID ; (b) identifier $K[X, Y]/(Y - X^2)$ et $K[X,Y]/(XY - 1)$ comme sous-anneaux de fonctions rationnelles ; (c) $(Y - X^2)$ est-il premier ? maximal ?

Solution

Solution de Exercice 2.6.

(a) $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$ (évaluer en $(0,0)$ ) : un corps, donc $(X,Y)$ est maximal. Si $(X, Y) = (P)$ : $P \mid X$ force (degrés en $Y$ ) $P \in K[X]$ , et $P \mid Y$ force alors $P \in K$ ; $P = 0$ est absurde et $P \in K^\times$ donnerait $(P) = K[X,Y]$ , contredisant le caractère propre ( $K[X,Y]/(X,Y) \cong K \neq 0$ ). Donc $(X,Y)$ n’est pas principal.

(b) L’évaluation $P(X, Y) \mapsto P(X, X^2)$ envoie $K[X,Y]$ sur $K[X]$ ; son noyau est $(Y - X^2)$ : en divisant par le polynôme unitaire en $Y$ $Y - X^2$ , $P = (Y - X^2)Q + R(X)$ , et $P(X, X^2) = R(X)$ . Donc $K[X,Y]/(Y - X^2) \cong K[X]$ — l’anneau des coordonnées d’une parabole, isomorphe à celui d’une droite.

L’évaluation $P(X, Y) \mapsto P(X, X^{-1})$ envoie $K[X, Y]$ sur l’anneau $K[X, X^{-1}]$ des polynômes de Laurent. Son noyau contient $(XY - 1)$ ; réciproquement, modulo $XY - 1$ toute classe a un représentant $R = \sum_{n \geq 0} a_nX^n + \sum_{m \geq 1} b_m Y^m$ (remplacer chaque produit $XY$ par $1$ répétitivement), et $R(X, X^{-1}) = \sum a_n X^n + \sum b_m X^{-m} = 0$ force tous les $a_n = b_m = 0$ . D’où $K[X, Y]/(XY - 1) \cong K[X, X^{-1}]$ — l’anneau des coordonnées d’une hyperbole : la droite privée d’un point.

(c) $(Y - X^2)$ est premier (le quotient $K[X]$ est intègre) mais non maximal ( $K[X]$ n’est pas un corps ; concrètement $(Y - X^2) \subsetneq (Y - X^2,\, X) \subsetneq K[X,Y]$ ).

Exercice 2.7 ★★

Irréductible ou non sur $\Q$ : $X^5 - 12X^3 + 36X - 12$ ; $X^4 + X + 1$ (réduire mod $2$ ) ; $X^4 + 4$ ; $\Phi_8 = X^4 + 1$ (décaler de $1$ ) ; $X^3 - X - 1$ .

Solution

Solution de Exercice 2.7.

$X^5 - 12X^3 + 36X - 12$ : Eisenstein en $p = 3$ ( $3 \mid 12, 36, 12$ ; $9 \nmid 12$ ; $3 \nmid 1$ ) : irréductible. (En $p = 2$ Eisenstein échoue : $4 \mid 12$ .)

$X^4 + X + 1$ : réduire mod $2$ . Pas de racine dans $\mathbb F_2$ ; le seul quadratique irréductible sur $\mathbb F_2$ est $X^2 + X + 1$ , et $(X^2+X+1)^2 = X^4 + X^2 + 1 \neq X^4 + X + 1$ . Donc $X^4 + X + 1$ est irréductible sur $\mathbb F_2$ , d’où sur $\Q$ (Théorème 2.25(1) ; il est unitaire).

$X^4 + 4$ : réductible — l’identité de Sophie Germain, $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$ .

$X^4 + 1$ : décaler, $(X+1)^4 + 1 = X^4 + 4X^3 + 6X^2 + 4X + 2$ : Eisenstein en $2$ . Une factorisation de $X^4+1$ se décalerait en une de $(X+1)^4 + 1$ : irréductible.

$X^3 - X - 1$ : un cubique est réductible sur $\Q$ ssi il a une racine rationnelle ; une racine rationnelle d’un polynôme entier unitaire est un entier divisant le terme constant (théorème des racines rationnelles : si $(p/q)$ en termes réduits est une racine, $q \mid 1$ , $p \mid -1$ ), et $\pm 1$ ne sont pas racines ( $-1$ et $-1$ ) : irréductible.

Exercice 2.8 ★★

(a) À partir du Théorème 2.9, démontrer que la fonction d’Euler est multiplicative sur les arguments premiers entre eux et que $\varphi(p^k) = p^{k-1}(p-1)$ ; retrouver $\varphi(n) = n\prod_{p \mid n}(1 - \frac1p)$ . (b) Résoudre : $x \equiv 2 \pmod 7$ , $x \equiv 5 \pmod{11}$ , $x \equiv 1 \pmod{13}$ , en exhibant les idempotents $e_k$ de la démonstration du Théorème 2.9.

Solution

Solution de Exercice 2.8.

(a) Pour $\gcd(m, n) = 1$ , le Théorème 2.9 donne un isomorphisme d’anneaux $\Z/mn\Z \cong \Z/m\Z \times \Z/n\Z$ . Un élément d’un anneau produit est une unité ssi les deux coordonnées le sont, donc $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ et $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ . Pour une puissance de premier, les non unités de $\Z/p^k\Z$ sont les classes des multiples de $p$ : $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}$ . D’où

\varphi(n) = \prod_i \bigl(p_i^{\alpha_i} - p_i^{\alpha_i-1}\bigr) = n \prod_{p \mid n}\Bigl(1 - \frac1p\Bigr).

(b) $M = 7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$ . Idempotents : $e_1 \equiv (1, 0, 0)$ : $143 = 11\cdot13 \equiv 3 \pmod 7$ et $3 \cdot 5 \equiv 1$ : $e_1 = 143 \cdot 5 = 715$ . $e_2$ : $91 \equiv 3 \pmod{11}$ , $3 \cdot 4 \equiv 1$ : $e_2 = 91\cdot4 = 364$ . $e_3$ : $77 \equiv -1 \pmod{13}$ : $e_3 = 77 \cdot 12 = 924$ . Alors

x \equiv 2\,e_1 + 5\,e_2 + 1\,e_3 = 1430 + 1820 + 924 = 4174 \equiv 170 \pmod{1001},

et en effet $170 = 24\cdot7 + 2 = 15\cdot11 + 5 = 13\cdot13 + 1$ .

Exercice 2.9 ★★★

(Le nilradical) Soit $\operatorname{Nil}(A)$ l’ensemble des éléments nilpotents. (a) Montrer que $\operatorname{Nil}(A)$ est un idéal contenu dans tout idéal premier. (b) Réciproquement, soit $a$ non nilpotent ; en utilisant le lemme de Zorn sur les idéaux évitant $S = \{a^n : n \in \N\}$ , produire un idéal premier ne contenant pas $a$ . Conclure :

\operatorname{Nil}(A) = \bigcap_{\mathfrak p \text{ premier}} \mathfrak p .

Solution

Solution de Exercice 2.9.

(a) Si $x^n = 0$ et $y^m = 0$ , le développement binomial de $(x+y)^{n+m}$ a tout terme $x^iy^j$ avec $i + j = n + m$ , donc $i \geq n$ ou $j \geq m$ : chaque terme s’annule, et $x + y$ est nilpotent ; $(ax)^n = a^nx^n = 0$ : $\operatorname{Nil}(A)$ est un idéal. Si $\mathfrak p$ est premier et $x^n = 0 \in \mathfrak p$ , une récurrence sur $n$ donne $x \in \mathfrak p$ ( $x \cdot x^{n-1} \in \mathfrak p$ ).

(b) Soit $a \notin \operatorname{Nil}(A)$ et $S = \{a^n : n \geq 1\}$ , donc $0 \notin S$ . L’ensemble $\mathcal E$ des idéaux disjoints de $S$ contient $(0)$ et est inductif (l’union d’une chaîne d’idéaux disjoints de $S$ est un idéal disjoint de $S$ ) : Zorn fournit $\mathfrak p \in \mathcal E$ maximal. $\mathfrak p$ est propre ( $a \notin \mathfrak p$ , car $a \in S$ ). Primalité : soient $x, y \notin \mathfrak p$ . Par maximalité, $\mathfrak p + (x)$ et $\mathfrak p + (y)$ rencontrent $S$ : $a^m \in \mathfrak p + (x)$ , $a^n \in \mathfrak p + (y)$ . En multipliant, $a^{m+n} \in \mathfrak p + (xy)$ . Si $xy \in \mathfrak p$ , alors $a^{m+n} \in \mathfrak p \cap S$ : absurde. Donc $xy \notin \mathfrak p$ — contraposée de la primalité. D’où tout élément non nilpotent évite un certain idéal premier ; avec (a), $\operatorname{Nil}(A) = \bigcap_{\mathfrak p} \mathfrak p$ .

Exercice 2.10 ★★★

(a) Soit $A$ noethérien et $f \colon A \to A$ un morphisme d’anneaux surjectif. Montrer que $f$ est injectif. (Considérer $\ker f \subseteq \ker f^2 \subseteq \cdots$ .) (b) Montrer que l’anneau $\mathcal C(\intcc01, \R)$ des fonctions continues n’est pas noethérien. (Considérer $I_n = \{f : f = 0 \text{ sur } \intcc0{1/n}\}$ .) (c) Montrer que dans un anneau intègre noethérien, tout non nul non inversible est un produit (fini) d’irréductibles — donc la non-factorialité de $\Z[\iu\sqrt 5]$ est un échec de l’unicité seulement.

Solution

Solution de Exercice 2.10.

(a) La chaîne $\ker f \subseteq \ker f^2 \subseteq \cdots$ se stabilise (Proposition 2.29) : $\ker f^n = \ker f^{n+1}$ pour un certain $n$ . Soit $x \in \ker f$ . Comme $f$ , donc $f^n$ , est surjective, $x = f^n(y)$ pour un certain $y$ ; alors $f^{n+1}(y) = f(x) = 0$ , donc $y \in \ker f^{n+1} = \ker f^n$ , i.e. $x = f^n(y) = 0$ .

(b) $I_n = \{f \in \mathcal C(\intcc01, \R) : f\restriction_{ \intcc0{1/n}} = 0\}$ est un idéal, et $I_n \subseteq I_{n+1}$ . L’inclusion est stricte : $x \mapsto \max\bigl(0, x - \frac1{n+1}\bigr)$ s’annule sur $\intcc0{\frac1{n+1}}$ mais pas sur $\intcc0{\frac1n}$ . Une chaîne strictement croissante infinie contredit la Proposition 2.29.

(c) Supposer que l’ensemble des non nuls non inversibles n’admettant pas de factorisation en irréductibles est non vide. La famille correspondante d’idéaux $\{(a)\}$ a un élément maximal $(a)$ (Proposition 2.29). L’élément $a$ n’est pas irréductible (un irréductible est sa propre factorisation), donc $a = bc$ avec $b, c$ non inversibles ; $(a) \subseteq (b)$ est strict (car $(a) = (b)$ donnerait $b = ad$ , $a = adc$ , donc $dc = 1$ : $c$ une unité), de même $(a) \subsetneq (c)$ . Par maximalité, $b$ et $c$ se factorisent tous deux en irréductibles ; en concaténant les facteurs de $a$ : contradiction. Appliqué à $\Z[\iu\sqrt5]$ — noethérien comme quotient de $\Z[X]$ (Théorème 2.30, $\Z[\iu\sqrt5] \cong \Z[X]/(X^2+5)$ ) — cela montre que les factorisations existent là ; Exercice 2.3 montrait que c’est l’unicité qui échoue.

Exercice 2.11 ★★★

Soit $P = X^4 + 1$ . (a) Montrer que $P$ est irréductible sur $\Q$ (Exercice 2.7). (b) Montrer que $P$ est réductible modulo tout premier $p$ : traiter $p = 2$ ; puis, pour $p$ impair, montrer que $8 \mid p^2 - 1$ et admettre pour l’instant (démontré dans le Chapitre 4) que le groupe multiplicatif du corps à $p^2$ éléments est cyclique, pour conclure que $P$ se scinde en deux facteurs quadratiques mod $p$ ; les rendre explicites quand l’un de $-1$ , $2$ , $-2$ est un carré mod $p$ , et montrer que l’un d’eux l’est toujours.

Solution

Solution de Exercice 2.11.

(a) Exercice 2.7 : décalage et Eisenstein en $2$ .

(b) Mod $2$ : $X^4 + 1 = (X + 1)^4$ . Soit maintenant $p$ impair. Les carrés forment un sous-groupe d’indice $2$ dans $(\Z/p\Z)^\times$ : le morphisme $x \mapsto x^2$ a pour noyau $\{\pm 1\}$ (deux éléments : $X^2 - 1$ a au plus $2$ racines dans un corps, et $1 \neq -1$ pour $p$ impair), donc son image a $\frac{p-1}2$ éléments. Par conséquent, le produit de deux non carrés est un carré (dans le groupe quotient d’ordre $2$ , $\overline{xy} = \bar x\bar y$ ). D’où au moins l’un de $-1$ , $2$ , $-2$ est un carré mod $p$ (si $-1$ et $2$ ne le sont pas, $-2 = (-1)\cdot 2$ l’est). Dans chaque cas $X^4 + 1$ se factorise mod $p$ :

$-1 = c^2$ : $X^4 + 1 = X^4 - c^2 = (X^2 - c)(X^2 + c)$ ;
$2 = c^2$ : $(X^2 + cX + 1)(X^2 - cX + 1) = X^4 + (2 - c^2)X^2 + 1 = X^4 + 1$ ;
$-2 = c^2$ : $(X^2 + cX - 1)(X^2 - cX - 1) = X^4 - (c^2 + 2)X^2 + 1 = X^4 + 1$ .

Donc $X^4+1$ est réductible modulo tout premier, pourtant irréductible sur $\Q$ : le critère de réduction (Théorème 2.25(1)) détecte l’irréductibilité mais son échec ne prouve rien.

(Pour la raison structurelle : $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$ est un produit de deux nombres pairs consécutifs, donc $8 \mid p^2 - 1$ ; le groupe cyclique $\mathbb F_{p^2}^\times$ (cyclicité démontrée dans le Chapitre 4) contient alors un élément $\zeta$ d’ordre $8$ , racine de $X^4 + 1$ ; son polynôme minimal sur $\mathbb F_p$ divise $X^4+1$ et a degré $\leq 2$ — $X^4+1$ ne peut jamais être irréductible mod $p$ .)

Exercice 2.12 ★★

(Les idempotents scindent les anneaux) Un élément $e$ d’un anneau commutatif $A$ est idempotent si $e^2 = e$ . (a) Montrer que si $e$ est idempotent, $1 - e$ l’est aussi, et que l’application $x \mapsto (ex, (1-e)x)$ est un isomorphisme d’anneaux $A \cong Ae \times A(1-e)$ , où $Ae$ est un anneau d’unité $e$ . (b) Trouver tous les idempotents d’un anneau intègre, et de $\Z/12\Z$ ; exhiber l’isomorphisme $\Z/12\Z \cong \Z/4\Z \times \Z/3\Z$ en nommant ses deux idempotents non triviaux. (c) Montrer que la décomposition CRT de $\Z/n\Z$ (Exemple 2.10) correspond exactement aux idempotents $e_i \equiv 1 \bmod p_i^{a_i}$ , $e_i \equiv 0$ modulo les autres puissances de premiers : les anneaux se décomposent le long de leurs idempotents comme les espaces le long des projections.

Solution

Solution de Exercice 2.12.

(a) $(1-e)^2 = 1 - 2e + e^2 = 1 - e$ . L’application $\varphi(x) = (ex, (1-e)x)$ est additive et multiplicative vers le produit des deux idéaux : $exey = e^2xy = e(xy)$ , et $Ae$ est un anneau commutatif d’unité $e$ ( $e\cdot ex = ex$ ). Injectif : $ex = 0$ et $(1-e)x = 0$ s’additionnent en $x = 0$ . Surjectif : $(ea, (1-e)b)$ est l’image de $ea + (1-e)b$ (calculer les deux composantes en utilisant $e(1-e) = 0$ ). Les unités s’envoient correctement en paires de style $(1, 0)$ : $\varphi(1) = (e, 1-e)$ , l’unité du produit.

(b) Dans un anneau intègre, $e(e - 1) = 0$ force $e \in \{0, 1\}$ : seulement des idempotents triviaux. Dans $\Z/12\Z$ , résoudre $e^2 \equiv e$ : $e \in \{0, 1, 4, 9\}$ . La paire non triviale $\{4, 9\}$ : $4 + 9 = 13 \equiv 1$ , $4\cdot9 = 36 \equiv 0$ , et $\Z/12\Z\cdot4 = \{0, 4, 8\} \cong \Z/3\Z$ (unité $4$ ), $\Z/12\Z\cdot9 = \{0, 3, 6, 9\} \cong \Z/4\Z$ (unité $9$ ) : le scindage CRT $\Z/12\Z \cong \Z/4\Z\times\Z/3\Z$ , avec $9 \leftrightarrow (1, 0)$ et $4 \leftrightarrow (0, 1)$ .

(c) Sous l’isomorphisme CRT $\Z/n\Z \cong \prod_i \Z/p_i^{a_i}\Z$ , l’élément $e_i$ aux congruences énoncées correspond au $n$ -uplet avec $1$ dans la case $i$ et $0$ ailleurs : les idempotents élémentaires du produit. Réciproquement une famille complète d’idempotents orthogonaux ( $e_ie_j = 0$ pour $i \neq j$ , $\sum e_i = 1$ ) réassemble la décomposition en produit par (a), par récurrence. Les idempotents sont aux anneaux ce que les projections orthogonales sont aux espaces de Hilbert (Chapitre 13) : les coordonnées d’une décomposition directe interne.

2.6 Problème : le théorème des deux carrés de Fermat

Problème 2.1

Problème du week-end — sommes de deux carrés, via $\Z[\iu]$

Quels entiers sont sommes de deux carrés ? La réponse de Fermat (1640) est l’un des joyaux de l’arithmétique ; les entiers de Gauss transforment sa démonstration en théorie des anneaux. Tout au long, $N(x + \iu y) = x^2 + y^2$ désigne la norme, $\Z[\iu]$ est euclidien (Exercice 2.4), donc un PID et un UFD, et premier de Gauss signifie élément premier ( $=$ irréductible) de $\Z[\iu]$ .

Partie I — Normes et premiers de Gauss.

Vérifier $N(zw) = N(z)N(w)$ , en déduire à nouveau $\Z[\iu]^\times = \{\pm1, \pm\iu\}$ , et démontrer l’identité de Brahmagupta : un produit de deux sommes de deux carrés est une somme de deux carrés.
Montrer que si $N(z)$ est un nombre premier, alors $z$ est un premier de Gauss.
Montrer que tout premier de Gauss $\pi$ divise exactement un nombre premier $p$ (considérer $N(\pi) = \pi\bar\pi$ ), et qu’alors $N(\pi) \in \{p, p^2\}$ .
En déduire la dichotomie : pour chaque premier $p$ , soit $p$ reste premier dans $\Z[\iu]$ (et aucun premier de Gauss de norme $p$ n’existe), soit $p = \pi\bar\pi$ avec $\pi$ un premier de Gauss de norme $p$ — et alors $p = a^2 + b^2$ .

Partie II — Théorème de Wilson et $-1$ modulo $p$ .

Démontrer le théorème de Wilson : pour $p$ premier, $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ . (Apparier chaque résidu avec son inverse ; lesquels sont auto-appariés ?)
Soit $p$ un premier impair et $m = \frac{p-1}2$ . Montrer que $(m!)^2 \equiv (-1)^{m+1} \pmod p$ (dans $(p-1)!$ , remplacer chaque facteur $k > m$ par $-(p - k)$ ).
Conclure : $-1$ est un carré modulo $p$ ssi $p = 2$ ou $p \equiv 1 \pmod 4$ . (Pour le « seulement si » : si $x^2 \equiv -1$ , quel est l’ordre de $x$ dans $(\Z/p\Z)^\times$ , et que dit Lagrange ?)

Partie III — La loi de scindage.

Soit $p \equiv 1 \pmod 4$ , et $x$ avec $p \mid x^2 + 1 = (x + \iu)(x - \iu)$ . Montrer que $p$ n’est pas un premier de Gauss, et conclure avec la partie I : $p = a^2 + b^2$ .
Soit $p \equiv 3 \pmod 4$ . Montrer directement que $p$ n’est pas une somme de deux carrés (carrés mod $4$ ), et en déduire que $p$ reste un premier de Gauss.
Régler $p = 2$ : exhiber la factorisation $2 = -\iu(1+\iu)^2$ et vérifier que $1 + \iu$ est un premier de Gauss. ( $2$ est l’unique premier ramifié : divisible par le carré d’un premier de Gauss à une unité près.)
Assembler la classification des premiers de Gauss, à unités près : $1 + \iu$ ; les entiers $p \equiv 3 \pmod 4$ ; les paires conjuguées $\pi, \bar\pi$ de norme $p \equiv 1 \pmod 4$ . La vérifier sur $5 = (2+\iu)(2-\iu)$ et sur $3$ .

Partie IV — Le théorème des deux carrés.

Démontrer le sens direct : si dans la factorisation $n = \prod p_i^{\alpha_i}$ tout premier $\equiv 3 \pmod 4$ apparaît avec un exposant pair, alors $n$ est une somme de deux carrés. (Brahmagupta + parties II–III.)
Démontrer la réciproque : si $n = a^2 + b^2 = N(a + \iu b)$ et $q \equiv 3 \pmod 4$ divise $n$ , montrer que $q$ , un premier de Gauss, divise $a + \iu b$ ou $a - \iu b$ , qu’il divise en fait $a$ et $b$ , et conclure par récurrence sur $n$ que l’exposant de $q$ dans $n$ est pair.
Énoncer le théorème final. Parmi $2025$ , $2026$ , $2027$ , lesquels sont sommes de deux carrés ? ( $2025 = 81 \cdot 25$ ; $2026 = 2 \cdot 1013$ , $1013$ premier ; $2027$ premier.)
(Épilogue) Montrer qu’un premier $p \equiv 1 \pmod 4$ est une somme de deux carrés de façon essentiellement unique : si $p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2$ (entiers positifs), alors $\{a, b\} = \{c, d\}$ . (Unicité de la factorisation dans $\Z[\iu]$ .)

Partie V — Compter les représentations : formule de Jacobi et série de Leibniz. Noter $r_2(n) = \#\{(a, b) \in \Z^2 : a^2 + b^2 = n\}$ (couples ordonnés, signes et zéros inclus), et soit $\chi$ le caractère non trivial mod $4$ : $\chi(d) = +1$ si $d \equiv 1$ , $-1$ si $d \equiv 3 \pmod4$ , $0$ si $d$ pair.

(Échauffement, par contraste) Quels entiers sont des différences de deux carrés ? Montrer : $n = a^2 - b^2$ avec $a, b \in \Z$ ssi $n \not\equiv 2 \pmod 4$ — pas de théorie des anneaux nécessaire, et aucune structure comparable à ce qui suit.
Montrer que $r_2(n)$ est le nombre de $z \in \Z[\iu]$ avec $N(z) = n$ . En écrivant $n = 2^{a}\prod_jp_j^{b_j} \prod_kq_k^{c_k}$ avec $p_j \equiv 1$ , $q_k \equiv 3 \pmod4$ , utiliser la classification de la question 11 et la factorisation unique pour montrer : de tels $z$ existent ssi tous les $c_k$ sont pairs, et dans ce cas

$r_2(n) = 4\prod_j\,(b_j + 1) .$

(Compter : $z = u\,(1+\iu)^{a}\prod_j\pi_j^{s_j} \bar\pi_j^{\,b_j - s_j}\prod_kq_k^{c_k/2}$ avec $u$ une unité et $0 \leq s_j \leq b_j$ ; pourquoi cette liste est-elle exhaustive et sans répétition ?)
Montrer que $d \mapsto \chi(d)$ est complètement multiplicative, en déduire que $n \mapsto \sum_{d \mid n}\chi(d)$ est multiplicative, et la calculer sur les puissances de premiers : elle vaut $1$ sur $2^a$ ; $b + 1$ sur $p^b$ ( $p \equiv 1$ ) ; $1$ ou $0$ sur $q^c$ ( $q \equiv 3$ ) selon que $c$ est pair ou impair.
Conclure le théorème de Jacobi :

$r_2(n) = 4\sum_{d \mid n}\chi(d) = 4\bigl(d_1(n) - d_3(n)\bigr),$

où $d_i(n)$ compte les diviseurs $\equiv i \pmod 4$ . Vérifier sur $n = 3, 5, 9, 25$ , et lister les $16$ représentations de $65$ .
(Le cercle) Montrer que $\sum_{n \leq x}r_2(n)$ est le nombre de points de réseau de $\Z^2$ dans le disque fermé de rayon $\sqrt x$ , et démontrer

$\sum_{n\leq x}r_2(n) = \pi x + O(\sqrt x)$

(chaque point de réseau possède un carré unité ; comparer les aires, l’erreur vivant dans un anneau de largeur $O(1)$ ).
(Leibniz, lu arithmétiquement) Combiner les questions 19–20 :

$\sum_{d \leq x}\chi(d)\Bigl\lfloor\frac xd\Bigr\rfloor = \frac{\pi x}4 + O(\sqrt x),$

et en déduire — en enlevant les parties entières avec soin — la série de Leibniz

$1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \dots = \frac\pi4 .$

La série alternée des inverses impairs est l’excès moyen de diviseurs $\equiv 1$ sur les diviseurs $\equiv 3$ : de l’analyse calculée par l’arithmétique.
(Quelle rareté les sommes de deux carrés ?) Montrer qu’aucun entier $\equiv 3 \pmod 4$ n’est une somme de deux carrés (deux façons : carrés mod $4$ , ou le critère de parité de la question 17), donc au moins un quart de tous les entiers sont manqués ; et montrer que la moyenne $\frac1x\sum_{n\leq x}r_2(n) \to \pi$ de la question 20 est compatible avec des entiers représentables de densité $0$ — exhiber des entiers avec un nombre anormalement grand de représentations (prendre des produits de nombreux premiers $\equiv 1 \bmod 4$ ) pour expliquer comment une proportion s’évanouissant peut encore porter une moyenne positive. (Landau a démontré que la vraie densité décroît comme $1/\sqrt{\log x}$ ; cela dépasse nos outils, mais le mécanisme est désormais visible.)

Partie VI — Compléments : représentations primitives et Pythagore.

Appeler une représentation $n = a^2 + b^2$ primitive si $\gcd(a, b) = 1$ . Montrer que $n \geq 1$ admet une représentation primitive ssi $4 \nmid n$ et aucun premier $q \equiv 3 \pmod 4$ ne divise $n$ . (Pour la nécessité, réutiliser la descente de la question 13 et les carrés mod $4$ ; pour la suffisance, construire $z$ à partir de $1 + \iu$ et des $\pi_j$ seulement — pas de conjugués — et expliquer pourquoi un facteur premier commun de $a$ et $b$ forcerait à la fois $\pi_j$ et $\bar\pi_j$ , ou $(1+\iu)^2$ , dans $z$ .)
(Triplets pythagoriciens) Soit $a^2 + b^2 = c^2$ avec $a, b, c$ positifs, $\gcd(a, b) = 1$ et $b$ pair. Montrer que $a + \iu b$ et $a - \iu b$ sont premiers entre eux dans $\Z[\iu]$ (un diviseur premier de Gauss commun diviserait $2a$ et $2b$ , et $c$ est impair), en déduire de la factorisation unique que $a + \iu b = u(m + \iu n)^2$ pour une unité $u$ , et conclure la paramétrisation classique : quitte à échanger $a$ et $b$ ,

$a = m^2 - n^2, \qquad b = 2mn, \qquad c = m^2 + n^2,$

avec $m > n \geq 1$ premiers entre eux de parités opposées. Retrouver $(3, 4, 5)$ et $(21, 20, 29)$ à partir de $(m, n) = (2, 1)$ et $(5, 2)$ .
(Vérification numérique) Prendre $x = 25$ . Calculer $r_2(n)$ pour $1 \leq n \leq 25$ à partir de la formule de Jacobi, vérifier que les valeurs non nulles apparaissent exactement en $n = 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25$ , et que

$\sum_{n \leq 25} r_2(n) = 80 = 4\sum_{d \leq 25}\chi(d) \Bigl\lfloor\frac{25}d\Bigr\rfloor .$

Vérifier que le disque fermé de rayon $5$ contient $81$ points de réseau, et comparer avec $\pi x \approx 78{,}5$ : l’erreur est bien dans le $O(\sqrt x)$ de la question 20.

Solution

Solution de Problème 2.1.

1. $N(z) = z\bar z$ , donc $N(zw) = zw\overline{zw} = z\bar z\, w \bar w = N(z)N(w)$ . Si $uv = 1$ : $N(u)N(v) = 1$ dans $\N$ , donc $N(u) = 1$ , i.e. $u \in \{\pm 1, \pm \iu\}$ ; les quatre sont des unités. Brahmagupta : $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = N\bigl((a + \iu b)(c + \iu d)\bigr) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2$ .

2. Si $z = ab$ , alors $N(z) = N(a)N(b)$ est premier, donc $N(a) = 1$ ou $N(b) = 1$ : un facteur est une unité. Comme $N(z) > 1$ , $z$ n’est ni zéro ni une unité : irréductible — et premier, car $\Z[\iu]$ est un UFD (Théorème 2.14, Théorème 2.18 et Lemme 2.17).

3. $\pi$ divise $N(\pi) = \pi\bar\pi \geq 2$ , un entier ; en factorisant $N(\pi)$ en nombres premiers et en utilisant que $\pi$ est premier, $\pi \mid p$ pour un certain nombre premier $p$ . Si aussi $\pi \mid q \neq p$ : Bézout dans $\Z$ donne $1 = up + vq$ , donc $\pi \mid 1$ — absurde : $p$ est unique. De $p = \pi\gamma$ : $p^2 = N(p) = N(\pi)N(\gamma)$ avec $N(\pi) \neq 1$ , donc $N(\pi) \in \{p, p^2\}$ .

4. Soit $\pi$ un premier de Gauss divisant $p$ , $p = \pi\gamma$ . Si $N(\pi) = p^2$ : $N(\gamma) = 1$ , donc $p$ est associé de $\pi$ , lui-même un premier de Gauss ; et aucun premier de Gauss n’a norme $p$ (si $N(\rho) = p$ alors $\rho \mid \rho\bar\rho = p$ , et $p$ premier dans $\Z[\iu]$ forcerait $\rho$ associé à $p$ , donnant $N(\rho) = N(p) = p^2 \neq p$ ). Si $N(\pi) = p$ : en écrivant $\pi = a + \iu b$ , $p = \pi\bar\pi = a^2 + b^2$ .

5. Dans le groupe abélien $(\Z/p\Z)^\times$ , apparier chaque élément avec son inverse. Les éléments auto-inverses sont les racines de $X^2 - 1$ : exactement $\pm 1$ (au plus deux racines dans un corps). Le produit de tous les éléments est alors $1 \cdot (-1) \cdot \prod (\text{paires } k k^{-1}) = -1$ : $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ . (Pour $p = 2$ : $1! \equiv -1$ .)

6. Écrire $(p-1)! = \prod_{k=1}^m k \cdot \prod_{k=m+1}^{p-1}k$ avec $m = \frac{p-1}2$ . Dans le second produit substituer $k = p - j$ , $j = 1, \dots, m$ : modulo $p$ , $\prod_{j=1}^m (p - j) \equiv (-1)^m m!$ . D’où $-1 \equiv (-1)^m (m!)^2$ , i.e. $(m!)^2 \equiv (-1)^{m+1} \pmod p$ .

7. Si $p \equiv 1 \pmod 4$ , $m$ est pair et la question 6 donne $(m!)^2 \equiv -1$ : une racine carrée de $-1$ . Réciproquement, si $x^2 \equiv -1 \pmod p$ ( $p$ impair), alors $x^4 = 1 \neq x^2$ : $x$ a ordre $4$ dans $(\Z/p\Z)^\times$ , donc $4 \mid p - 1$ (Lagrange). Et $p = 2$ : $1^2 = 1 \equiv -1$ . Conclusion : $-1$ est un carré mod $p$ ssi $p = 2$ ou $p \equiv 1 \pmod 4$ .

8. Avec $x^2 \equiv -1$ : $p \mid x^2 + 1 = (x + \iu)(x - \iu)$ . Si $p$ était un premier de Gauss il diviserait un facteur ; mais $\frac xp \pm \frac \iu p \notin \Z[\iu]$ . Donc $p$ n’est pas un premier de Gauss ; par la dichotomie (question 4) — $p$ non premier signifie la seconde branche — $p = a^2 + b^2$ .

9. Les carrés sont $\equiv 0$ ou $1 \pmod 4$ , donc $a^2 + b^2 \in \{0, 1, 2\} \pmod 4$ : un premier $p \equiv 3 \pmod 4$ n’est pas une somme de deux carrés. Par la question 4, la branche $N(\pi) = p$ ( $p = a^2+b^2$ ) est impossible : $p$ reste un premier de Gauss.

10. $(1 + \iu)^2 = 2\iu$ , donc $2 = -\iu(1 + \iu)^2$ ; et $N(1 + \iu) = 2$ est premier, donc $1 + \iu$ est un premier de Gauss (question 2).

11. Tout premier de Gauss divise exactement un nombre premier $p$ (question 3) ; listage par cas : $p = 2$ donne les associés de $1 + \iu$ ; $p \equiv 3 \pmod 4$ donne $p$ lui-même (question 9) ; $p \equiv 1 \pmod 4$ donne la paire $\pi, \bar\pi$ de norme $p$ (questions 4 et 8). La paire est authentique : $\bar\pi \in \{\pm\pi, \pm\iu\pi\}$ forcerait, en écrivant $\pi = a + \iu b$ , soit $b = 0$ , $a = 0$ , soit $a = \pm b$ , donnant $p = a^2 + b^2 \in \{a^2, 2a^2\}$ — impossible pour un premier impair. Vérification : $5 = (2 + \iu)(2 - \iu)$ , $N(2\pm\iu) = 5$ ; $3$ : premier de norme $9$ .

12. Écrire $n = 2^{\alpha}\prod_i p_i^{\beta_i} \prod_j q_j^{2\gamma_j}$ avec $p_i \equiv 1$ , $q_j \equiv 3 \pmod 4$ . Chaque facteur est une somme de deux carrés : $2 = 1^2 + 1^2$ ; $p_i = a^2 + b^2$ (question 8) ; $q_j^{2\gamma_j} = (q_j^{\gamma_j})^2 + 0^2$ . L’identité de Brahmagupta (question 1) propage la propriété au produit $n$ .

13. Soit $n = a^2 + b^2 = N(a + \iu b)$ et $q \equiv 3 \pmod 4$ , $q \mid n$ . Le premier de Gauss $q$ (question 9) divise $(a + \iu b)(a - \iu b)$ , donc l’un des deux facteurs — disons $q \mid a + \iu b$ (l’autre cas est identique). Mais alors $\frac{a + \iu b}{q} = \frac aq + \iu \frac bq \in \Z[\iu]$ se lit comme $q \mid a$ et $q \mid b$ dans $\Z$ . D’où $q^2 \mid n$ et $\frac n{q^2} = \bigl(\frac aq\bigr)^2 + \bigl(\frac bq\bigr)^2$ . Par récurrence forte sur $n$ , l’exposant de $q$ dans $n/q^2$ est pair ; celui de $n$ l’est aussi.

14. Théorème (Fermat). Un entier positif est une somme de deux carrés si et seulement si tout premier $\equiv 3 \pmod 4$ y apparaît avec un exposant pair. — $2025 = 3^4 \cdot 5^2$ : exposant de $3$ pair, oui ( $2025 = 45^2 + 0^2 = 27^2 + 36^2$ ). $2026 = 2 \cdot 1013$ avec $1013 \equiv 1 \pmod 4$ premier : oui ( $1013 = 22^2 + 23^2$ , et Brahmagupta avec $2 = 1^2+1^2$ : $2026 = (22 - 23)^2 + (22 + 23)^2 = 1^2 + 45^2$ ). $2027$ est un premier $\equiv 3 \pmod 4$ : non.

15. Soit $p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2$ avec entiers positifs, $p \equiv 1 \pmod 4$ , et $\pi$ un premier de Gauss avec $p = \pi\bar\pi$ (question 4). $a + \iu b$ et $c + \iu d$ ont tous deux norme $p$ , donc sont des premiers de Gauss (question 2) divisant $p = (a+\iu b)(a - \iu b)$ ; par unicité de la factorisation, $c + \iu d$ est associé de $a + \iu b$ ou de $a - \iu b$ :

c + \iu d \in \{\pm(a \pm \iu b),\ \pm\iu(a \pm \iu b)\} = \{\pm a \pm \iu b,\ \pm b \pm \iu a\}.

La positivité de $c, d$ laisse $c + \iu d \in \{a + \iu b, b + \iu a\}$ : $\{c, d\} = \{a, b\}$ .

16. Si $n = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ : les deux facteurs ont la même parité, donc $n$ est impair (tous deux impairs) ou divisible par $4$ (tous deux pairs) — jamais $\equiv 2 \pmod 4$ . Réciproquement, $n$ impair : $n = \bigl(\frac{n+1}2\bigr)^2 - \bigl(\frac{n-1}2\bigr)^2$ ; $n = 4m$ : $n = (m+1)^2 - (m-1)^2$ . La réponse est une bare condition de congruence, avec une identité d’une ligne derrière : les différences de carrés ne portent aucune profondeur arithmétique, et le contraste avec les sommes est tout le point de ce problème.

17. $(a, b) \mapsto z = a + \iu b$ est une bijection entre représentations et $\{z : N(z) = n\}$ . Factoriser $z$ dans l’UFD $\Z[\iu]$ en utilisant la classification (question 11) : à une unité près, $z = (1+\iu)^{a'}\prod_j\pi_j^{s_j}\bar\pi_j^{t_j} \prod_kq_k^{u_k}$ , et en prenant les normes ( $N(1+\iu) = 2$ , $N(\pi_j) = N(\bar\pi_j) = p_j$ , $N(q_k) = q_k^2$ ) :

n = 2^{a'}\prod_jp_j^{s_j + t_j}\prod_kq_k^{2u_k} .

Appariement des exposants : $a' = a$ , $s_j + t_j = b_j$ , $2u_k = c_k$ — solvable ssi tout $c_k$ est pair, et alors $u_k = c_k/2$ est forcé tandis que $s_j \in \intint0{b_j}$ est libre. Des données distinctes $(u, (s_j))$ donnent des $z$ non associés de même norme ; l’unité $u \in \{\pm1, \pm\iu\}$ ( $4$ choix) énumère ensuite chaque classe d’associés sans répétition (deux produits égaux violeraient l’unicité de la factorisation — $\pi_j$ et $\bar\pi_j$ sont non associés car $p_j = \pi_j\bar\pi_j$ n’est pas ramifié). Total : $r_2(n) = 4\prod_j(b_j + 1)$ , et $0$ si un certain $c_k$ est impair.

18. $\chi(dd') = \chi(d)\chi(d')$ se vérifie mod $4$ (impair $\times$ impair couvre les quatre cas de signe ; tout pair donne $0 = 0$ ). Pour $m, n$ premiers entre eux, les diviseurs de $mn$ sont de façon unique $d = d_1d_2$ avec $d_1 \mid m$ , $d_2 \mid n$ : $\sum_{d \mid mn}\chi(d) = \bigl(\sum_{d_1\mid m}\chi(d_1)\bigr)\bigl(\sum_{d_2\mid n}\chi(d_2)\bigr)$ : multiplicatif. Puissances de premiers : sur $2^a$ , seul $d = 1$ est impair : somme $= 1$ . Sur $p^b$ avec $p \equiv 1$ : tous les $\chi(p^i) = 1$ , somme $= b + 1$ . Sur $q^c$ avec $q \equiv 3$ : $\chi(q^i) = (-1)^i$ , somme alternée $= 1$ ( $c$ pair) ou $0$ ( $c$ impair).

19. Les deux fonctions multiplicatives $\frac14r_2$ (question 17) et $\sum_{d\mid n}\chi(d)$ (question 18) s’accordent sur toutes les puissances de premiers — $1$ sur $2^a$ ; $b + 1$ sur $p^b$ ; $\mathbf 1_{c\ \mathrm{pair}}$ sur $q^c$ — donc s’accordent partout : formule de Jacobi, avec $\sum_{d\mid n}\chi(d) = d_1(n) - d_3(n)$ en triant les diviseurs. Vérifications : $r_2(3) = 0 = 4(1 - 1)$ ; $r_2(5) = 8 = 4(2 - 0)$ ( $(\pm1,\pm2), (\pm2,\pm1)$ ) ; $r_2(9) = 4 = 4(2 - 1)$ (diviseurs $1, 9 \equiv 1$ ; $3 \equiv 3$ ; représentations $(\pm3, 0), (0, \pm3)$ ) ; $r_2(25) = 12 = 4(3 - 0)$ . Pour $65 = 5\cdot13$ : $r_2 = 4\cdot2\cdot2 = 16$ , de $65 = 1 + 64 = 16 + 49$ : les seize paires $(\pm1, \pm8), (\pm8, \pm1), (\pm4, \pm7), (\pm7, \pm4)$ .

20. $\sum_{n \leq x}r_2(n)$ compte les paires $(a, b)$ avec $0 < a^2 + b^2 \leq x$ , i.e. les points de réseau du disque fermé $D_{\sqrt x}$ moins l’origine. Assigner à chaque point de réseau $P$ le carré unité $P + \intco01^2$ : ces carrés pavent le plan. Tout carré attaché à un point de $D_{\sqrt x}$ vit dans $D_{\sqrt x + \sqrt2}$ , et tout carré rencontrant $D_{\sqrt x - \sqrt 2}$ est attaché à un point de $D_{\sqrt x}$ (le carré a diamètre $\sqrt 2$ ) : en comparant les aires,

\pi(\sqrt x - \sqrt2)^2 \leq \#\{\text{points de réseau dans } D_{\sqrt x}\} \leq \pi(\sqrt x + \sqrt 2)^2,

et les deux bornes sont $\pi x + O(\sqrt x)$ . Soustraire l’origine ne change rien à cette précision.

21. Par Jacobi (question 19) et en échangeant l’ordre de sommation ( $n = dm$ ) :

\frac14\sum_{n\leq x}r_2(n) = \sum_{n \leq x}\sum_{d \mid n}\chi(d) = \sum_{d \leq x}\chi(d)\,\#\{m : dm \leq x\} = \sum_{d\leq x}\chi(d)\Bigl\lfloor\frac xd\Bigr\rfloor,

qui vaut $\frac{\pi x}4 + O(\sqrt x)$ par la question 20. Enlever les parties entières : $\lfloor x/d\rfloor = x/d + O(1)$ , mais sommer $O(1)$ sur $d \leq x$ est trop grossier ; à la place utiliser que les sommes partielles de $\chi$ sont bornées ( $0, 1, 1, 0$ cycliquement), donc par sommation d’Abel $\sum_{d\leq x}\chi(d)\{x/d\}$ , dont les termes se groupent en paires $d \equiv 1, 3$ , est $O(\sqrt x)$ — alternativement et plus simplement : scinder en $\sqrt x$ . Pour $d \leq \sqrt x$ , remplacer $\lfloor x/d\rfloor$ par $x/d + O(1)$ : erreur $O(\sqrt x)$ . Pour $d > \sqrt x$ , $\lfloor x/d\rfloor$ prend chaque valeur $v < \sqrt x$ sur un intervalle de $d$ consécutifs, sur lequel la somme en $\chi$ est $O(1)$ : erreur totale $O(\sqrt x)$ en sommant sur les $\leq \sqrt x$ valeurs de $v$ , tandis que $\sum_{d > \sqrt x}\chi(d)\frac xd = O(\sqrt x)$ par les queues de séries alternées ( $x\sum_{d>\sqrt x}\chi(d)/d = x\,O(1/\sqrt x)$ ). D’où

x\sum_{d \leq x}\frac{\chi(d)}d = \frac{\pi x}4 + O(\sqrt x), \qquad\text{i.e.}\qquad \sum_{d\leq x}\frac{\chi(d)}d = \frac\pi4 + O\Bigl(\frac1{\sqrt x}\Bigr),

et en laissant $x \to \infty$ : $1 - \frac13 + \frac15 - \dots = \frac\pi4$ .

22. Si $n \equiv 3 \pmod4$ était $a^2 + b^2$ : les carrés sont $\equiv 0, 1 \pmod 4$ , et $a^2 + b^2 \in \{0, 1, 2\}$ mod $4$ — impossible. (Le critère de la question 17 dit la même chose : $n \equiv 3 \pmod 4$ force un certain premier $\equiv 3$ à exposant impair.) Donc les entiers représentables évitent une classe de résidus pleine : densité $\leq \frac34$ . La moyenne $\pi$ de $r_2$ se concentre sur peu d’entiers : $n = \prod_{j\leq k}p_j$ (premiers distincts $\equiv 1 \bmod 4$ ) a $r_2(n) = 4\cdot2^k$ représentations — un nombre non borné — donc un ensemble creux de $n$ peut porter toute la moyenne, exactement comme le gain moyen d’une loterie coexiste avec une perte presque sûre. Le résultat de Landau $\#\{n \leq x \text{ représentable}\} \sim Cx/\sqrt{\log x}$ le confirme : densité $0$ , moyenne $\pi$ .

23. Nécessité. Soit $n = a^2 + b^2$ avec $\gcd(a, b) = 1$ . Si un premier $q \equiv 3 \pmod 4$ divisait $n$ , la question 13 montre $q \mid a$ et $q \mid b$ : contradiction. Si $4 \mid n$ : les carrés sont $\equiv 0, 1 \pmod 4$ , donc $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod 4$ force $a^2 \equiv b^2 \equiv 0$ , i.e. $a, b$ tous deux pairs : contradiction. Suffisance. Écrire $n = 2^{\alpha}\prod_jp_j^{b_j}$ avec $\alpha \leq 1$ et $p_j \equiv 1 \pmod 4$ , et poser $z = (1+\iu)^{\alpha}\prod_j \pi_j^{b_j} = a + \iu b$ , de norme $n$ . Supposer qu’un premier $t$ divise $\gcd(a, b)$ ; alors $t \mid z$ dans $\Z[\iu]$ . Si $t \equiv 3 \pmod 4$ : $t \mid N(z) = n$ , exclu. Si $t \equiv 1 \pmod 4$ : $t = \pi_t\bar\pi_t$ , donc $\bar\pi_t \mid z$ ; mais la factorisation de $z$ ne contient pas de premier conjugué ( $\pi_j$ et $\bar\pi_j$ sont non associés, question 17), contredisant l’unicité de la factorisation. Si $t = 2 = -\iu(1+\iu)^2$ : alors $(1+\iu)^2 \mid z$ , forçant $\alpha \geq 2$ , exclu. D’où $\gcd(a, b) = 1$ : la représentation est primitive.

24. $a$ est impair ( $\gcd(a, b) = 1$ , $b$ pair), donc $c^2 = a^2 + b^2$ est impair et $c$ est impair. Soit $\delta$ un diviseur premier de Gauss commun de $a + \iu b$ et $a - \iu b$ : il divise leur somme $2a$ et leur différence $2\iu b$ , donc $2a$ et $2b$ ; une relation de Bézout $ua + vb = 1$ donne alors $\delta \mid 2$ , donc $\delta$ est associé à $1 + \iu$ et $N(\delta) = 2$ divise $N(a + \iu b) = c^2$ , qui est impair : contradiction. Donc $a + \iu b$ et $a - \iu b$ sont premiers entre eux de produit $c^2$ ; dans l’UFD $\Z[\iu]$ , chaque premier de Gauss de $c^2$ apparaît à exposant pair et se scinde entièrement dans l’un des deux facteurs premiers entre eux, d’où $a + \iu b = u(m + \iu n)^2 = u\bigl(m^2 - n^2 + 2\iu mn\bigr)$ avec $u$ une unité. Les choix $u = \pm\iu$ rendent la partie réelle $\mp 2mn$ paire — impossible, $a$ est impair. Les choix $u = \pm1$ donnent, après ajustement des signes de $m, n$ et échange de leurs noms pour tout rendre positif, $a = m^2 - n^2$ , $b = 2mn$ avec $m > n \geq 1$ ; et $c^2 = N(m + \iu n)^2$ donne $c = m^2 + n^2$ . Un diviseur commun de $m$ et $n$ diviserait $a$ et $b$ : $\gcd(m, n) = 1$ ; et $m \equiv n \pmod 2$ rendrait $a$ pair : parités opposées. Vérifications : $(m, n) = (2, 1)$ donne $(3, 4, 5)$ ; $(m, n) = (5, 2)$ donne $(25 - 4, 20, 25 + 4) = (21, 20, 29)$ , et $441 + 400 = 841 = 29^2$ .

25. La formule de Jacobi $r_2(n) = 4(d_1(n) - d_3(n))$ donne, pour $n = 1, \dots, 25$ :

4,\ 4,\ 0,\ 4,\ 8,\ 0,\ 0,\ 4,\ 4,\ 8,\ 0,\ 0,\ 8,\ 0,\ 0,\ 4,\ 8,\ 4,\ 0,\ 8,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 12,

non nuls exactement en $n = 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25$ (par exemple $r_2(15) = 0$ : les diviseurs $1, 5 \equiv 1$ et $3, 15 \equiv 3$ s’équilibrent ; $r_2(20) = 8$ : diviseurs $1, 5 \equiv 1$ , aucun $\equiv 3$ ). Le total est $4 + 4 + 4 + 8 + 4 + 4 + 8 + 8 + 4 + 8 + 4 + 8 + 12 = 80$ . Le côté diviseurs : les $d$ impairs $\leq 25$ contribuent

25 - 8 + 5 - 3 + 2 - 2 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 20,

en lisant $\chi(d)\lfloor 25/d\rfloor$ pour $d = 1, 3, 5, \dots, 25$ ; et $4 \cdot 20 = 80$ , comme prédit par l’identité de la question 21. Points de réseau du disque fermé de rayon $5$ : les $80$ points avec $1 \leq a^2 + b^2 \leq 25$ plus l’origine, i.e. $81$ ; et $\pi x = 25\pi \approx 78{,}54$ , une erreur d’environ $2{,}46$ , confortablement dans la bande $O(\sqrt x)$ de la question 20 ( $\sqrt x = 5$ ).