Qu'est-ce que « Continuité » ?

Exemple 21.17

L’équation $x^3 + x = 1$ a une unique solution réelle. En effet $f(x) = x^3 + x$ est continue et strictement croissante sur $\R$ (somme de fonctions strictement croissantes), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ et $\lim_{+\infty} f = +\infty$, donc le théorème de la bijection s’applique avec $k = 1$. Comme $f(0.6) = 0.816 < 1$ et $f(0.7) = 1.043 > 1$, la solution est dans $\intoo{0.6}{0.7}$.

Exemple 13.7 (Une taxonomie des discontinuités)

Trois façons d’échouer en un point, par gravité croissante. Éliminable : $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ sur $\R^*$ a pour limite $1$ en $0$ ; poser $f(0) = 1$ répare tout — la discontinuité était un trou, pas un trait de caractère. Saut : $\lfloor x \rfloor$ en un entier a des limites latérales distinctes ($n - 1$ et $n$) ; aucun choix de valeur ne peut les réconcilier, mais les deux demi-limites existent. Essentielle : $\sin\frac1x$ en $0$ n’a aucune limite latérale (Exercice 13.1) — oscillation sans apaisement. Les fonctions monotones ne peuvent produire que le type intermédiaire (leurs limites latérales existent toujours, comme bornes supérieures et inférieures), et c’est pourquoi leur ensemble de discontinuités est au plus dénombrable — un rationnel par saut. Les dérivées, d’après le théorème de Darboux (Exercice 14.10), ne peuvent produire que le dernier type : une fonction présentant une discontinuité de saut n’est jamais la dérivée de quoi que ce soit.

Exemple 13.9 (Maximum et minimum de fonctions continues)

Si $f$ et $g$ sont continues, $\max(f, g)$ et $\min(f, g)$ le sont aussi : aucune disjonction de cas n’est nécessaire, grâce aux identités

et à la continuité des sommes et de $\abs{\,\cdot\,}$ (Proposition 13.8). En particulier $f^+ = \max(f, 0)$ et $f^- = \max(-f, 0)$ sont continues avec $f = f^+ - f^-$ : la décomposition selon le signe utilisée pour les séries (Chapitre 17) et, à pleine échelle, dans la théorie de l’intégration du volume de Licence 3, ne coûte rien en régularité.

Exemple 13.11 (Une équation, le protocole complet)

Résolvons $\eu^x = 3 - x$ sur $\R$ : existence, unicité, localisation. Posons $g(x) = \eu^x + x - 3$, continue. Localisation et existence : $g(0) = -2 < 0$ et $g(1) = \eu - 2 > 0$, donc le théorème des valeurs intermédiaires plante une solution dans $\intoo{0}{1}$. Unicité : $g$ est la somme de $\eu^x$, strictement croissante, et de $x - 3$, donc strictement croissante sur $\R$ ; une fonction strictement monotone prend chaque valeur au plus une fois, donc la solution est unique sur $\R$ tout entier (et pas seulement sur l’intervalle sondé). Le protocole — se ramener à $g = 0$, changement de signe pour l’existence, monotonie pour l’unicité — règle en trois lignes la plupart des questions « combien de solutions ? », et les tableaux de variations du Chapitre 14 l’étendent aux $g$ non monotones en découpant $\R$ en branches monotones.