Mathématiques universitaires — Licence 1 · Bachelor Year 1

13Limites et continuité

Le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème des bornes atteintes ont été utilisés au lycée sur la foi du dessin. Avec les suites (Chapitre 11) et la topologie de $\R$ (Chapitre 12) en main, ce chapitre les démontre — et complète la théorie par le théorème de la bijection monotone (qui légitime $\arcsin$ , $\operatorname{arcosh}$ et leurs semblables du Chapitre 4) et le théorème de Heine sur la continuité uniforme.

Dans tout le chapitre, $I$ est un intervalle et $f \colon I \to \R$ ; « $x_0 \in \overline I$ » autorise les limites aux extrémités.

13.1 Limites de fonctions

Définition 13.1 (Limite en un point)

Soient $x_0 \in \overline{I}$ et $\ell \in \R$ . On dit que $f(x) \to \ell$ quand $x \to x_0$ lorsque

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I, \qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon .

Les limites en $\pm\infty$ et les limites infinies se définissent sur le même modèle ( $\abs{x - x_0} \leq \delta$ devient $x \geq M$ ; $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ devient $f(x) \geq M'$ ). Les limites à droite et à gauche restreignent $x$ à $x > x_0$ (on écrit alors $x \to x_0^+$ ) ou à $x < x_0$ . La limite, lorsqu’elle existe, est unique (même démonstration que la Proposition 11.4).

Exemple 13.2 (Une limite par encadrement)

Calculons $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$ . L’encadrement de la partie entière $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$ donne, après multiplication par $x$ (attention au signe !) :

1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0), \qquad 1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),

et les deux encadrements latéraux se referment sur $1$ : la limite vaut $1$ . Observons ce qui s’est passé : $\lfloor \frac1x\rfloor$ seul fait des sauts sauvages près de $0$ , mais le facteur $x$ dompte chaque saut ( $x$ fois un saut d’amplitude $1$ est petit), et seul l’encadrement survit. L’idée à retenir : les limites de produits d’un facteur petit par un facteur à oscillation bornée relèvent de l’encadrement, jamais du théorème d’opérations — le théorème d’opérations exige que les deux facteurs convergent.

Théorème 13.3 (Caractérisation séquentielle)

$f(x) \to \ell$ quand $x \to x_0$ si et seulement si : pour toute suite $(u_n)$ de points de $I$ telle que $u_n \to x_0$ , on a $f(u_n) \to \ell$ .

Démonstration. ( $\Rightarrow$ ) Soient $u_n \to x_0$ et $\varepsilon > 0$ . Prenons $\delta$ fourni par la définition, puis $N$ tel que $\abs{u_n - x_0} \leq \delta$ pour $n \geq N$ : au-delà de $N$ , $\abs{f(u_n) - \ell} \leq \varepsilon$ .

( $\Leftarrow$ ) Par contraposée. Si $f \not\to \ell$ : un certain $\varepsilon_0 > 0$ met en défaut tout $\delta$ ; en choisissant $\delta = \frac{1}{n+1}$ , on produit $u_n \in I$ tel que $\abs{u_n - x_0} \leq \frac{1}{n+1}$ et $\abs{f(u_n) - \ell} > \varepsilon_0$ . Alors $u_n \to x_0$ mais $f(u_n) \not\to \ell$ . ∎

Corollaire 13.4 (Opérations, composition, ordre)

Sommes, produits, quotients (limite non nulle au dénominateur) de limites se comportent comme pour les suites ; si $f \to \ell$ en $x_0$ et $g \to m$ en $\ell$ , et si $g$ est définie autour de $\ell$ avec $g(\ell) = m$ , ou bien si $f \neq \ell$ au voisinage de $x_0$ , alors $g \circ f \to m$ en $x_0$ ; les limites conservent les inégalités larges, et le théorème d’encadrement est valable.

Démonstration. Chaque assertion se transporte, via le Théorème 13.3, à son analogue pour les suites (Théorèmes 11.5 et 11.7). Pour la composition, l’enchaînement direct mérite d’être écrit une fois : soit $\varepsilon > 0$ ; la limite de $g$ en $\ell$ fournit $\eta > 0$ tel que

\abs{y - \ell} \leq \eta \implies \abs{g(y) - m} \leq \varepsilon \quad (y \text{ dans le domaine de } g),

où le cas $y = \ell$ est couvert parce que $g(\ell) = m$ ; puis la limite de $f$ en $x_0$ fournit $\delta > 0$ tel que $\abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \eta$ ; en enchaînant, $\abs{x - x_0} \leq \delta$ donne $\abs{g(f(x)) - m} \leq \varepsilon$ . Dans l’hypothèse alternative ( $f \neq \ell$ au voisinage de $x_0$ ), la valeur $y = \ell$ n’est jamais présentée à $g$ et la valeur de $g$ en ce point est sans importance. ∎

Exemple 13.5 (Pourquoi la clause de composition existe)

Soit $g(y) = 0$ pour $y \neq 0$ et $g(0) = 1$ , et soit $f$ identiquement nulle. Alors $f(x) \to 0$ quand $x \to 0$ , et $g(y) \to 0$ quand $y \to 0$ ; pourtant $g(f(x)) = g(0) = 1$ pour tout $x$ , donc $g \circ f \to 1 \neq 0$ . La fonction intérieure est posée exactement sur la valeur interdite $\ell = 0$ pour toujours, et la limite de $g$ en $0$ ignore ce que $g$ fait en $0$ . La clause du Corollaire 13.4 — ou bien $g(\ell) = m$ (c’est-à-dire $g$ continue en $\ell$ ), ou bien $f \neq \ell$ au voisinage de $x_0$ — est précisément ce qui exclut cela. L’idée à retenir : en pratique on compose des fonctions continues et la clause est gratuite ; elle ne mord que lorsque les limites sont prises le long de voisinages épointés, raison pour laquelle la définition de $\lim_{x \to x_0}$ utilisée dans ce livre inclut le point lorsqu’il appartient au domaine.

13.2 Continuité

Définition 13.6

$f$ est continue en $x_0 \in I$ lorsque $f(x) \to f(x_0)$ quand $x \to x_0$ ; continue sur $I$ lorsqu’elle est continue en tout point. D’après le Théorème 13.3 : $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si $f(u_n) \to f(x_0)$ pour toute suite $u_n \to x_0$ de points de $I$ .

Exemple 13.7 (Une taxonomie des discontinuités)

Trois façons d’échouer en un point, par gravité croissante. Éliminable : $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ sur $\R^*$ a pour limite $1$ en $0$ ; poser $f(0) = 1$ répare tout — la discontinuité était un trou, pas un trait de caractère. Saut : $\lfloor x \rfloor$ en un entier a des limites latérales distinctes ( $n - 1$ et $n$ ) ; aucun choix de valeur ne peut les réconcilier, mais les deux demi-limites existent. Essentielle : $\sin\frac1x$ en $0$ n’a aucune limite latérale (Exercice 13.1) — oscillation sans apaisement. Les fonctions monotones ne peuvent produire que le type intermédiaire (leurs limites latérales existent toujours, comme bornes supérieures et inférieures), et c’est pourquoi leur ensemble de discontinuités est au plus dénombrable — un rationnel par saut. Les dérivées, d’après le théorème de Darboux (Exercice 14.10), ne peuvent produire que le dernier type : une fonction présentant une discontinuité de saut n’est jamais la dérivée de quoi que ce soit.

Proposition 13.8

Sommes, produits, quotients (là où ils sont définis) et composées de fonctions continues sont continus. Les polynômes, les fractions rationnelles (hors de leurs pôles), $\abs{\,\cdot\,}$ , $\exp$ , $\ln$ , les fonctions trigonométriques et hyperboliques et leurs réciproques (Chapitre 4) sont continus sur leurs domaines.

Démonstration. Opérations : le Corollaire 13.4. Les constantes et l’identité sont continues directement d’après la définition ( $\delta = \varepsilon$ convient pour l’identité, n’importe quel $\delta$ pour les constantes) ; les produits de fonctions continues étant continus, chaque monôme $a_k x^k$ suit par récurrence sur $k$ , et les sommes achèvent les polynômes ; une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes, continue partout où le dénominateur ne s’annule pas. $\abs{\,\cdot\,}$ : seconde inégalité triangulaire, $\bigl|\abs{f(x)} - \abs{f(x_0)}\bigr| \leq \abs{f(x) - f(x_0)}$ , donc le même $\delta$ fonctionne. Pour les fonctions classiques, nous accordons ici la continuité ; la dérivabilité (démontrée au Chapitre 14) est plus forte. ∎

Exemple 13.9 (Maximum et minimum de fonctions continues)

Si $f$ et $g$ sont continues, $\max(f, g)$ et $\min(f, g)$ le sont aussi : aucune disjonction de cas n’est nécessaire, grâce aux identités

\max(f, g) = \frac{f + g + \abs{f - g}}{2}, \qquad \min(f, g) = \frac{f + g - \abs{f - g}}{2},

et à la continuité des sommes et de $\abs{\,\cdot\,}$ (Proposition 13.8). En particulier $f^+ = \max(f, 0)$ et $f^- = \max(-f, 0)$ sont continues avec $f = f^+ - f^-$ : la décomposition selon le signe utilisée pour les séries (Chapitre 17) et, à pleine échelle, dans la théorie de l’intégration du volume de Licence 3, ne coûte rien en régularité.

Théorème 13.10 (Théorème des valeurs intermédiaires)

Soit $f$ continue sur $\intcc{a}{b}$ avec $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ . Alors $f(c) = 0$ pour un certain $c \in \intcc{a}{b}$ . Par conséquent, une fonction continue sur un intervalle prend toute valeur comprise entre deux de ses valeurs : $f(I)$ est un intervalle.

Démonstration. Dichotomie. Posons $a_0 = a$ , $b_0 = b$ . Étant donné $\intcc{a_n}{b_n}$ avec $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ , soit $m$ le milieu : si $f(m) \leq 0$ on garde $\intcc{m}{b_n}$ , sinon on garde $\intcc{a_n}{m}$ ; les conditions de signe persistent. Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes ( $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n}$ ), de limite commune $c$ (Théorème 11.11). Par continuité et par le Théorème 11.7 : $f(c) = \lim f(a_n) \leq 0$ et $f(c) = \lim f(b_n) \geq 0$ , donc $f(c) = 0$ .

Pour la conséquence : étant données des valeurs $f(u) < v < f(w)$ , on applique ce qui précède à $x \mapsto f(x) - v$ sur le segment d’extrémités $u$ et $w$ ; ainsi $f(I)$ est convexe, c’est-à-dire un intervalle (Proposition 10.19). ∎

Une fonction continue vérifiant f(a) < 0 < f(b) doit couper l’axe : la démonstration par dichotomie du piège un point d’intersection entre deux suites adjacentes. — Une fonction continue vérifiant $f(a) < 0 < f(b)$ doit couper l’axe : la démonstration par dichotomie du Théorème 13.10 piège un point d’intersection entre deux suites adjacentes.

Exemple 13.11 (Une équation, le protocole complet)

Résolvons $\eu^x = 3 - x$ sur $\R$ : existence, unicité, localisation. Posons $g(x) = \eu^x + x - 3$ , continue. Localisation et existence : $g(0) = -2 < 0$ et $g(1) = \eu - 2 > 0$ , donc le théorème des valeurs intermédiaires plante une solution dans $\intoo{0}{1}$ . Unicité : $g$ est la somme de $\eu^x$ , strictement croissante, et de $x - 3$ , donc strictement croissante sur $\R$ ; une fonction strictement monotone prend chaque valeur au plus une fois, donc la solution est unique sur $\R$ tout entier (et pas seulement sur l’intervalle sondé). Le protocole — se ramener à $g = 0$ , changement de signe pour l’existence, monotonie pour l’unicité — règle en trois lignes la plupart des questions « combien de solutions ? », et les tableaux de variations du Chapitre 14 l’étendent aux $g$ non monotones en découpant $\R$ en branches monotones.

Exemple 13.12 (La dichotomie comme algorithme)

La démonstration du Théorème 13.10 calcule. Prenons $f(x) = x^3 + x - 1$ : $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$ , donc une racine est dans $\intoo{0}{1}$ . En coupant en deux :

f(0.5) = -0.375 < 0, \qquad f(0.75) = 0.171875 > 0, \qquad f(0.625) = -0.130859375 < 0 ,

de sorte que la racine est successivement piégée dans $\intoo{0.5}{1}$ , puis $\intoo{0.5}{0.75}$ , puis $\intoo{0.625}{0.75}$ (valeur exacte : $c \approx 0.6823$ ). Après $n$ étapes l’erreur est au plus $\frac{b - a}{2^n}$ : dix étapes donnent trois décimales, vingt en donnent six. L’idée à retenir : le théorème des valeurs intermédiaires n’est pas seulement un énoncé d’existence — sa démonstration par dichotomie est un algorithme de recherche de racine garanti, quoique lent, auquel il faut comparer la méthode de Newton du Chapitre 14, rapide mais locale.

Théorème 13.13 (Théorème des bornes atteintes)

Une fonction continue sur un segment $\intcc{a}{b}$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $c, d \in \intcc{a}{b}$ tels que

f(c) = \inf_{\intcc{a}{b}} f, \qquad f(d) = \sup_{\intcc{a}{b}} f .

Combiné au Théorème 13.10 : l’image continue d’un segment est un segment $\intcc{f(c)}{f(d)}$ .

Démonstration. Majorée : sinon on choisit $u_n$ tel que $f(u_n) \geq n$ . Par compacité du segment (Théorème 12.19), une suite extraite $u_{\varphi(n)} \to x \in \intcc{a}{b}$ ; la continuité donne $f(u_{\varphi(n)}) \to f(x)$ , alors que $f(u_{\varphi(n)}) \geq \varphi(n) \to +\infty$ : contradiction.

Borne supérieure atteinte : soit $M = \sup f$ et choisissons $v_n$ tel que $f(v_n) > M - \frac{1}{n+1}$ (Proposition 10.4). Extrayons $v_{\varphi(n)} \to d \in \intcc{a}{b}$ : alors $f(d) = \lim f(v_{\varphi(n)}) = M$ par encadrement. La borne inférieure se traite avec $-f$ . ∎

Exemple 13.14 (Minimum strictement positif sur un segment)

Soit $f$ continue sur $\intcc{0}{1}$ avec $f(x) > 0$ pour tout $x$ . Alors $\inf f > 0$ : par le théorème des bornes atteintes, la borne inférieure est une valeur $f(c)$ , et $f(c) > 0$ par hypothèse. Ainsi une fonction continue strictement positive sur un segment est minorée par une constante strictement positive — un argument de deux lignes utilisé une douzaine de fois dans les chapitres à venir (dénominateurs sous contrôle, encadrements par des fonctions en escalier, majorations d’erreur). Sur un intervalle non compact, cela échoue spectaculairement : $f(x) = x$ sur $\intoc{0}{1}$ est continue et strictement positive avec $\inf f = 0$ , non atteint. L’idée à retenir : « strictement positive » se hausse en « uniformément positive » exactement lorsque le domaine est compact ; chaque hypothèse du théorème des bornes atteintes porte le toit.

Remarque 13.15 (Pièges classiques autour des trois théorèmes)

(i) Images continues : seuls les segments sont robustes. L’image continue d’un intervalle ouvert n’est pas nécessairement ouverte ( $x \mapsto x^2$ envoie $\intoo{-1}{1}$ sur $\intco{0}{1}$ ), l’image d’un fermé n’est pas nécessairement fermée ( $\arctan$ envoie le fermé $\R$ sur l’ouvert $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ ) ; mais l’image d’un segment est un segment (Théorème 13.13). (ii) Le théorème des valeurs intermédiaires exige un intervalle : la fonction $x \mapsto \frac1x$ , continue sur $\intco{-1}{0} \cup \intoc{0}{1}$ , prend les valeurs $-1$ et $1$ sans jamais s’annuler — son domaine est fait de deux morceaux disjoints, et la valeur $0$ tombe dans le trou ; nommez toujours l’intervalle sur lequel le théorème est appliqué. (iii) La continuité uniforme est une propriété du couple (fonction, ensemble) : $x^2$ est uniformément continue sur tout segment mais pas sur $\R$ (Exemple 13.20) — les mots « uniformément continue » sans domaine n’ont aucun sens. (iv) La continuité de la réciproque n’est pas formelle : elle vaut sur les intervalles grâce à la monotonie (Théorème 13.16), mais une bijection continue entre réunions d’intervalles peut avoir une réciproque discontinue — la remarque qui suit ce théorème est là parce que les étudiants le citent sans l’hypothèse d’intervalle.

13.3 Fonctions monotones et fonctions réciproques

Théorème 13.16 (Théorème de la bijection monotone)

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ . Alors

$f$ est une bijection de $I$ sur l’intervalle $J = f(I)$ ;
la réciproque $f^{-1} \colon J \to I$ est strictement monotone (de même sens) et continue.

Démonstration. Supposons $f$ strictement croissante. (1) L’injectivité est immédiate par stricte monotonie ; la surjectivité sur $f(I)$ est triviale, et $f(I)$ est un intervalle d’après le Théorème 13.10.

(2) $f^{-1}$ est strictement croissante : si $y < y'$ dans $J$ mais $f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y')$ , appliquer $f$ , croissante, donne $y \geq y'$ , absurde. Continuité de $f^{-1}$ en $y_0 = f(x_0) \in J$ : soit $\varepsilon > 0$ . Supposons d’abord $x_0$ intérieur à $I$ , et diminuons $\varepsilon$ de sorte que $x_0 \pm \varepsilon \in I$ : leurs images vérifient $f(x_0 - \varepsilon) < y_0 < f(x_0 + \varepsilon)$ . Prenons $\delta = \min\bigl(y_0 - f(x_0 - \varepsilon),\, f(x_0 + \varepsilon) - y_0\bigr) > 0$ : pour $\abs{y - y_0} \leq \delta$ , la monotonie de $f^{-1}$ coince $f^{-1}(y)$ entre $x_0 - \varepsilon$ et $x_0 + \varepsilon$ . Si $x_0$ est, disons, l’extrémité gauche de $I$ , seul $x_0 + \varepsilon$ est disponible : alors $y_0 = \min J$ (monotonie), tout $y \in J$ tel que $y - y_0 \leq f(x_0 + \varepsilon) - y_0$ vérifie $x_0 \leq f^{-1}(y) \leq x_0 + \varepsilon$ , et l’estimation unilatérale est exactement la continuité en une extrémité ; l’extrémité droite est symétrique. (Remarquons que la continuité de $f^{-1}$ n’a pas été déduite de celle de $f$ par symétrie — c’est la monotonie sur un intervalle qui fait le travail.) ∎

Remarque 13.17

Ce théorème est ce que la Définition 4.9 et la Proposition 4.21 ont utilisé en silence : $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ , $\operatorname{arsinh}$ , … sont continues. Un complément (Exercice 13.10) : une fonction continue injective sur un intervalle est automatiquement strictement monotone, de sorte que l’hypothèse de monotonie ne coûte rien.

Exemple 13.18 (Racines de tous les ordres)

Pour $n \in \N^*$ , la fonction $f(x) = x^n$ est continue et strictement croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ , avec $f(0) = 0$ et $f(x) \to +\infty$ : son image est $\intco{0}{+\infty}$ (Théorème 13.10 pour la structure d’intervalle). Le théorème de la bijection monotone livre alors, d’un seul coup, une réciproque strictement croissante et continue

x \mapsto x^{1/n} \colon \intco{0}{+\infty} \to \intco{0}{+\infty} :

existence, unicité et continuité des racines $n$ -ièmes, sans le moindre calcul. À comparer avec l’Exercice 10.12, qui construisait $\sqrt y$ à la main à partir de la borne supérieure : un chapitre de théorie a comprimé cette page de travail en deux lignes, et ces deux mêmes lignes avaient déjà légitimé $\arcsin$ , $\arctan$ et $\operatorname{arsinh}$ . L’idée à retenir : un bon théorème est du travail mis en réserve.

13.4 Continuité uniforme

Définition 13.19

$f \colon I \to \R$ est uniformément continue lorsque

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I, \qquad \abs{x - y} \leq \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon .

Le point important : $\delta$ ne dépend que de $\varepsilon$ , et pas de l’endroit où l’on se trouve dans $I$ . La continuité uniforme entraîne la continuité ; une fonction lipschitzienne ( $\abs{f(x) - f(y)} \leq k \abs{x - y}$ ) est uniformément continue ( $\delta = \varepsilon/k$ ).

Exemple 13.20

$x \mapsto x^2$ est continue sur $\R$ mais pas uniformément continue : $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ alors que les arguments sont à distance $\frac 1n \to 0$ . Sur tout intervalle borné elle est lipschitzienne, donc uniformément continue — en accord avec le théorème de Heine ci-dessous.

Exemple 13.21 (Modules d’uniformité, explicitement)

Sur un segment, Heine garantit un $\delta$ uniforme ; souvent on peut aussi le calculer. Pour $f(x) = x^2$ sur $\intcc{0}{10}$ :

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 20\,\abs{x - y},

donc $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ convient uniformément (un module lipschitzien, linéaire en $\varepsilon$ ). Pour $\sqrt x$ sur $\intcc{0}{1}$ : $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ (Exercice 13.9), donc $\delta = \varepsilon^2$ convient — uniforme mais pas linéaire : près de $0$ la racine carrée est raide, et le prix apparaît dans l’exposant de $\varepsilon$ , non dans un défaut d’uniformité. L’idée à retenir : la continuité uniforme est un dégradé, non un oui/non — la fonction $\delta(\varepsilon)$ , appelée module, mesure le coût de l’uniformité, et le caractère lipschitzien en est simplement la meilleure note.

Théorème 13.22 (Heine)

Une fonction continue sur un segment $\intcc{a}{b}$ est uniformément continue.

Démonstration. Par l’absurde : supposons qu’un certain $\varepsilon_0 > 0$ mette en défaut tout $\delta$ . Avec $\delta = \frac{1}{n+1}$ , choisissons $x_n, y_n \in \intcc{a}{b}$ tels que $\abs{x_n - y_n} \leq \frac{1}{n+1}$ et $\abs{f(x_n) - f(y_n)} > \varepsilon_0$ . La compacité (Théorème 12.19) extrait $x_{\varphi(n)} \to c \in \intcc{a}{b}$ ; alors $y_{\varphi(n)} \to c$ également (encadrement sur $\abs{x - y}$ ). La continuité en $c$ donne $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ et $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$ , donc $\abs{f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)})} \to 0 < \varepsilon_0$ : contradiction. ∎

Exemple 13.23 (Bornée, continue, et pourtant pas uniformément)

La fonction $f(x) = \sin(x^2)$ est continue et bornée sur $\R$ , mais pas uniformément continue. Prenons

x_n = \sqrt{2\pi n}, \qquad y_n = \sqrt{2\pi n + \tfrac\pi2}: \qquad y_n - x_n = \frac{\pi/2}{\sqrt{2\pi n + \frac\pi2} + \sqrt{2\pi n}} \longrightarrow 0 ,

et pourtant $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) - \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ pour tout $n$ : aucun $\delta$ unique ne peut servir $\varepsilon = \frac12$ partout. Géométriquement, les oscillations de $\sin(x^2)$ accélèrent : le graphe accomplit une onde complète sur des fenêtres de plus en plus courtes, de sorte que l’échelle horizontale exigée par un $\varepsilon$ donné tend vers zéro quand $x$ grandit. L’idée à retenir : le caractère borné n’achète pas l’uniformité (cet exemple), et le caractère non borné ne l’interdit pas ( $\sqrt x$ , Exercice 13.9) ; ce qui décide, c’est le module d’oscillation, et le théorème de Heine dit que les domaines compacts le disciplinent automatiquement.

Exemple 13.24 (L’expérience de la calculatrice, expliquée)

Tapez un nombre quelconque sur une calculatrice et appuyez plusieurs fois sur $\cos$ : l’affichage se verrouille sur $0.7390851\dots$ Pourquoi ? Après une pression la valeur est dans $\intcc{-1}{1}$ , après deux dans $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq \intcc{0.54}{1}$ , intervalle stable pour $\cos$ . Sur celui-ci, $\abs{\cos a - \cos b} \leq \sin(1)\,\abs{a - b}$ avec $\sin 1 = 0.841\dots < 1$ (la majoration par produit-somme du Problème 11.1, ou l’inégalité des accroissements finis du Chapitre 14) : l’itération est contractante, donc par l’étape de contrôle de l’erreur de la Méthode 11.23,

\abs{u_n - c} \leq (0.842)^{\,n-2}\,\abs{u_2 - c} \longrightarrow 0 ,

où $c$ est l’unique point fixe $\cos c = c$ (Exercice 13.6). Une quarantaine de pressions achètent trois décimales ( $0.842^{40} \approx 10^{-3}$ ) — une vitesse géométrique, plus douce que le $2^{-n}$ de la dichotomie, mais chaque pression coûte une touche là où chaque étape de dichotomie coûte une évaluation de signe complète. L’idée à retenir : l’image du point fixe du Chapitre 11 et les théorèmes d’existence de ce chapitre sont les deux moitiés d’une même histoire — le théorème des valeurs intermédiaires trouve $c$ , la contraction l’atteint.

Remarque 13.25 (Où ces théorèmes serviront ensuite)

Les trois piliers de ce chapitre alimentent chacun un chapitre ultérieur. Le théorème des valeurs intermédiaires nourrit tout argument d’existence de solutions ainsi que le théorème de la bijection monotone ; le théorème des bornes atteintes transforme les problèmes d’optimisation en théorèmes (Rolle et le théorème des accroissements finis du Chapitre 14 partent exactement de là) ; le théorème de Heine est la raison pour laquelle les fonctions continues sur un segment sont intégrables au Chapitre 15 — le $\delta$ uniforme est ce qui fait converger les sommes de Riemann. Dans le volume de Licence 2, le même trio reparaît dans les espaces vectoriels normés, la compacité y faisant le travail que les segments font ici.

Remarque 13.26 (Perspectives dans ce volume)

La continuité va être dépassée sans jamais être mise à la retraite. Le Chapitre 14 la renforce en dérivabilité et lui rend la politesse (dérivable entraîne continue) ; le Chapitre 15 repose deux fois sur elle, par Heine pour la construction et par le théorème fondamental, dont l’objet central $x \mapsto \int_a^x f$ hausse une $f$ simplement continue en une primitive de classe $C^1$ . Au Chapitre 25, la continuité des fonctions de deux variables recèle un piège qui mérite d’être annoncé : la fonction $\frac{xy}{x^2 + y^2}$ (prolongée par $0$ ) est continue en $x$ pour chaque $y$ fixé et en $y$ pour chaque $x$ fixé, et pourtant elle n’est pas continue à l’origine — le long de la diagonale $x = y$ elle vaut constamment $\frac12$ . La continuité séparée est strictement plus faible que la continuité : la caractérisation séquentielle survit au passage à $\R^2$ , mais il faut autoriser les suites à s’approcher depuis toutes les directions, et pas seulement le long des axes.

13.5 Exercices

Exercice 13.1 ★

À l’aide de la caractérisation séquentielle, démontrer que $x \mapsto \sin\frac 1x$ n’a pas de limite en $0^+$ (exhiber deux suites). La fonction $x \mapsto x \sin\frac 1x$ en a-t-elle une ?

Solution

Solution de Exercice 13.1.

Prenons $u_n = \frac{1}{2\pi n + \pi/2}$ et $v_n = \frac{1}{2\pi n}$ : toutes deux tendent vers $0^+$ , et pourtant $\sin\frac{1}{u_n} = 1$ et $\sin\frac{1}{v_n} = 0$ . Deux suites, deux limites différentes des images : d’après le Théorème 13.3, pas de limite en $0^+$ .

$x \sin\frac1x$ : encadrée par $\abs{x\sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$ , donc la limite en $0$ existe et vaut $0$ .

Exercice 13.2 ★

Étudier la continuité sur $\R$ de $f(x) = \lfloor x \rfloor$ , de $g(x) = x - \lfloor x \rfloor$ , et de $h(x) = \lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$ .

Solution

Solution de Exercice 13.2.

$f = \lfloor\cdot\rfloor$ est continue sur $\R \setminus \Z$ (localement constante) et discontinue en chaque $n \in \Z$ : limite à gauche $n - 1$ , valeur $n$ .

$g(x) = x - \lfloor x\rfloor$ : mêmes points de discontinuité (l’identité est continue, donc $g$ hérite des sauts de $f$ ) ; en $n \in \Z$ , la limite à gauche vaut $1 \neq 0 = g(n)$ .

$h(x) = \lfloor x\rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$ : sur $\intco{n}{n + 1}$ , $h(x) = n + (x - n)^2$ , continue ; en $x = n$ , la limite à gauche vaut $(n-1) + 1 = n = h(n)$ : les sauts se compensent. $h$ est continue sur $\R$ (et strictement croissante).

Exercice 13.3 ★

Démontrer que l’équation $x^5 - 3x + 1 = 0$ a au moins trois solutions réelles (évaluer en des points bien choisis et appliquer le Théorème 13.10 sur trois segments disjoints).

Solution

Solution de Exercice 13.3.

$P(x) = x^5 - 3x + 1$ : $P(-2) = -32 + 6 + 1 = -25 < 0$ ; $P(0) = 1 > 0$ ; $P(1) = -1 < 0$ ; $P(2) = 27 > 0$ . Trois changements de signe sur les segments disjoints $\intcc{-2}{0}$ , $\intcc{0}{1}$ , $\intcc{1}{2}$ : d’après le Théorème 13.10, au moins trois racines. (Étant de degré $5$ , $P$ en a au plus cinq ; une étude des variations montrerait qu’il y en a exactement trois.)

Exercice 13.4 ★

Démontrer que tout polynôme de degré impair a une racine réelle.

Solution

Solution de Exercice 13.4.

Soit $P = a_{2m+1}X^{2m+1} + \dots$ avec $a_{2m+1} > 0$ (sinon remplacer $P$ par $-P$ ). En factorisant le terme dominant, $P(x) = a_{2m+1} x^{2m+1}\bigl(1 + o(1)\bigr)$ quand $x \to \pm\infty$ : donc $P(x) \to +\infty$ en $+\infty$ et $-\infty$ en $-\infty$ . Choisissons $a$ tel que $P(a) < 0$ et $b$ tel que $P(b) > 0$ : le théorème des valeurs intermédiaires sur $\intcc{a}{b}$ fournit une racine.

Exercice 13.5 ★★

(Point fixe) Soit $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ continue. Démontrer que $f$ a un point fixe : $f(c) = c$ pour un certain $c$ . Illustrer qu’on ne peut renoncer ni à la continuité ni au segment.

Solution

Solution de Exercice 13.5.

Soit $g(x) = f(x) - x$ , continue sur $\intcc{0}{1}$ . Comme $f$ est à valeurs dans $\intcc{0}{1}$ : $g(0) = f(0) \geq 0$ et $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . D’après le Théorème 13.10, $g(c) = 0$ pour un certain $c$ : un point fixe.

Nécessité des hypothèses : sur $\intcc{0}{1}$ , l’application discontinue $f(x) = 1$ pour $x \leq \frac12$ , $f(x) = 0$ pour $x > \frac12$ n’a pas de point fixe ; sur l’intervalle $\intoo{0}{1}$ (qui n’est pas un segment), $f(x) = \frac x2$ est continue à valeurs dans $\intoo{0}{1}$ sans point fixe (le candidat $0$ manque) ; sur $\R$ , $f(x) = x + 1$ .

Exercice 13.6 ★★

Démontrer que l’équation $\cos x = x$ a exactement une solution réelle, et qu’elle appartient à $\intoo{0}{1}$ .

Solution

Solution de Exercice 13.6.

$g(x) = \cos x - x$ est continue, $g(0) = 1 > 0$ , $g(1) = \cos 1 - 1 < 0$ : une solution existe dans $\intoo{0}{1}$ (Théorème 13.10). Unicité : $g$ est strictement décroissante sur $\R$ — pour $x \leq 0$ , $g(x) \geq 1 - x > 0$ ne s’annule de toute façon pas ; et $g'(x) = -\sin x - 1 \leq 0$ avec égalité seulement en des points isolés ( $x \equiv -\frac\pi2 \bmod 2\pi$ ), donc $g$ est strictement décroissante (Chapitre 14 ; autrement : sur $\intcc{0}{1}$ , $\cos$ est strictement décroissante et $-x$ aussi, donc $g$ l’est). Une fonction strictement monotone s’annule au plus une fois.

Exercice 13.7 ★★

Soit $f \colon \R \to \R$ continue avec $f(x) \to +\infty$ quand $x \to \pm\infty$ . Démontrer que $f$ atteint un minimum global sur $\R$ . (Se ramener à un segment contenant un ensemble de sous-niveau.)

Solution

Solution de Exercice 13.7.

Fixons $M = f(0) + 1$ . Il existe $A > 0$ tel que $f(x) \geq M$ pour $\abs x \geq A$ (définition des deux limites infinies ; prendre le plus grand des deux seuils). Sur le segment $\intcc{-A}{A}$ , le théorème des bornes atteintes (Théorème 13.13) fournit $c$ tel que $f(c) = \inf_{\intcc{-A}{A}} f \leq f(0)$ . Pour $\abs x \geq A$ : $f(x) \geq M > f(0) \geq f(c)$ . Donc $f(c)$ est le minimum global.

Exercice 13.8 ★★

Soit $f \colon \R \to \R$ continue et périodique (de période $T > 0$ ). Démontrer que $f$ est bornée et atteint ses bornes, et qu’il existe $c$ tel que $f(c + \frac T2) = f(c)$ . (Pour le second point, étudier $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ sur une période.)

Solution

Solution de Exercice 13.8.

Sur le segment $\intcc{0}{T}$ , $f$ est bornée et atteint ses bornes (Théorème 13.13) ; par périodicité, ce sont les bornes sur $\R$ tout entier, toujours atteintes.

Soit $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ , continue. Alors

g(0) + g\bigl(\tfrac T2\bigr) = \bigl(f(\tfrac T2) - f(0)\bigr) + \bigl(f(T) - f(\tfrac T2)\bigr) = f(T) - f(0) = 0 :

$g(0)$ et $g(\frac T2)$ sont de signes opposés (ou bien l’un des deux s’annule), donc le théorème des valeurs intermédiaires sur $\intcc{0}{T/2}$ donne $c$ tel que $g(c) = 0$ , c’est-à-dire $f(c + \frac T2) = f(c)$ .

Exercice 13.9 ★★

Démontrer que $x \mapsto \sqrt x$ est uniformément continue sur $\intco{0}{+\infty}$ , bien qu’elle ne soit pas lipschitzienne près de $0$ . (Démontrer et utiliser $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ .)

Solution

Solution de Exercice 13.9.

D’abord l’inégalité : pour $0 \leq y \leq x$ ,

\bigl(\sqrt y + \sqrt{x - y}\bigr)^2 = x + 2\sqrt{y(x-y)} \geq x,

donc $\sqrt x \leq \sqrt y + \sqrt{x - y}$ , c’est-à-dire $\sqrt x - \sqrt y \leq \sqrt{x - y}$ . D’où $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ pour tous $x, y \geq 0$ .

Continuité uniforme : soit $\varepsilon > 0$ ; prenons $\delta = \varepsilon^2$ ; alors $\abs{x - y} \leq \delta$ entraîne $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt\delta = \varepsilon$ .

Pas lipschitzienne près de $0$ : $\frac{\sqrt x - \sqrt 0}{x - 0} = \frac{1}{\sqrt x} \to +\infty$ quand $x \to 0^+$ , donc aucune constante $k$ ne peut dominer tous les taux d’accroissement.

Exercice 13.10 ★★★

Soit $f$ continue et injective sur un intervalle $I$ . Démontrer que $f$ est strictement monotone. Indication : sinon, il existe $a < b < c$ avec, disons, $f(b) > f(a)$ et $f(b) > f(c)$ ; appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à une valeur comprise entre $\max(f(a), f(c))$ et $f(b)$ de part et d’autre de $b$ .

Solution

Solution de Exercice 13.10.

Supposons $f$ injective, continue, et non strictement monotone. Alors il existe $a < b < c$ dans $I$ tels que $f(b)$ ne soit pas compris entre $f(a)$ et $f(c)$ — en effet, si pour tous les triplets la valeur médiane était comprise entre les deux extrêmes, $f$ serait monotone (comparer deux paires quelconques ; brève vérification par cas). Disons $f(b) > \max(f(a), f(c))$ (l’autre cas est symétrique : remplacer $f$ par $-f$ ). Choisissons $v$ tel que $\max(f(a), f(c)) < v < f(b)$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur $\intcc{a}{b}$ puis sur $\intcc{b}{c}$ , il existe $u_1 \in \intoo{a}{b}$ et $u_2 \in \intoo{b}{c}$ tels que $f(u_1) = v = f(u_2)$ : deux points distincts de même image, ce qui contredit l’injectivité.

Exercice 13.11 ★★★

(Équation fonctionnelle de Cauchy, cas continu) Soit $f \colon \R \to \R$ continue avec $f(x + y) = f(x) + f(y)$ pour tous $x, y$ . Démontrer que $f(x) = f(1)\,x$ pour tout $x$ : d’abord sur $\N$ , $\Z$ , $\Q$ (par la seule additivité), puis sur $\R$ par continuité et densité (Théorème 10.14).

Solution

Solution de Exercice 13.11.

$f(0) = f(0+0) = 2f(0)$ donne $f(0) = 0$ ; $f(-x) = -f(x)$ vient de $0 = f(x - x)$ . Posons $\alpha = f(1)$ . Par récurrence : $f(n) = n\alpha$ pour $n \in \N$ , puis pour $n \in \Z$ par imparité. Pour $q \in \N^*$ : $q\,f(\frac pq) = f(p) = p\alpha$ (ajouter $\frac pq$ à lui-même $q$ fois), donc $f(\frac pq) = \alpha\frac pq$ : $f = \alpha\, \mathrm{id}$ sur $\Q$ .

Soient maintenant $x \in \R$ et $(r_n)$ une suite de rationnels telle que $r_n \to x$ (densité, Théorème 10.14, appliquée dans des intervalles emboîtés ; ou bien $r_n = \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}$ ). Par continuité : $f(x) = \lim f(r_n) = \lim \alpha r_n = \alpha x$ .

Exercice 13.12 ★★★

Soit $f \colon \intco{0}{+\infty} \to \R$ continue avec $f(x) \to \ell \in \R$ quand $x \to +\infty$ . Démontrer que $f$ est uniformément continue sur $\intco{0}{+\infty}$ . (Couper en un $A$ grand : Heine sur $\intcc{0}{A+1}$ , la limite au-delà de $A$ ; faire se recouvrir les deux régimes.)

Solution

Solution de Exercice 13.12.

Soit $\varepsilon > 0$ . Par la limite en $+\infty$ , il existe $A$ tel que $\abs{f(x) - \ell} \leq \frac\varepsilon2$ pour $x \geq A$ ; d’où, pour $x, y \geq A$ : $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ (aucune proximité n’est requise).

Sur le segment $\intcc{0}{A + 1}$ , le théorème de Heine (Théorème 13.22) donne $\delta_0 > 0$ pour ce $\varepsilon$ ; posons $\delta = \min(\delta_0, 1)$ .

Prenons maintenant $x, y \geq 0$ quelconques avec $\abs{x - y} \leq \delta$ , disons $x \leq y$ . Si $y \leq A + 1$ : tous deux sont dans le segment, et le $\delta_0$ de Heine s’applique. Sinon $y > A + 1$ , et alors $x \geq y - 1 > A$ : tous deux sont dans $\intco{A}{+\infty}$ , où l’argument de la limite s’applique. Dans les deux cas $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ : continuité uniforme.

13.6 Problème : l’équation fonctionnelle de Cauchy et ses sœurs

Problème 13.1

Devoir maison — $f(x + y) = f(x) + f(y)$ : la régularité force la linéarité, et le portrait des monstres

Quelles fonctions vérifient $f(x + y) = f(x) + f(y)$ pour tous réels $x, y$ ? Cauchy a posé la question en 1821 ; la réponse est un paradigme. L’Exercice 13.11 montre qu’une telle fonction additive est linéaire sur $\Q$ et que la continuité complète force $f(x) = cx$ . Ce problème affaiblit l’hypothèse de façon spectaculaire — la continuité en un seul point, ou la monotonie, ou le simple caractère borné sur un petit intervalle, chacun suffit — puis peint le portrait d’une hypothétique solution non linéaire (son graphe remplit le plan), résout les équations sœurs qui caractérisent $\eu^{cx}$ , $c\ln x$ , $x^c$ et $cx^2$ , et se termine par l’équation de Jensen et le théorème convexe au milieu $+$ continue $\implies$ convexe. Dans tout le problème, additive signifie : $f(x + y) = f(x) + f(y)$ pour tous $x, y \in \R$ .

Partie I — $\Q$ -linéarité, et un seul point de continuité.

Soit $f$ additive. D’après l’Exercice 13.11, $f(r) = f(1)\,r$ pour $r$ rationnel. Démontrer l’énoncé plus fin utilisé ci-dessous : pour tout $x \in \R$ et tout $r \in \Q$ , $f(rx) = r\,f(x)$ ( $f$ est $\Q$ -linéaire).
Supposons la fonction additive $f$ continue en un seul point $x_0$ . Montrer que $f$ est continue partout (calculer $f(x + h) - f(x)$ en fonction de $f(x_0 + h) - f(x_0)$ ), donc que $f(x) = f(1)\,x$ .
Montrer qu’une fonction additive est déterminée par sa restriction à tout sous-groupe dense : si deux fonctions additives coïncident sur $\Z + \sqrt2\,\Z$ et sont toutes deux continues, elles sont égales — alors que, sans continuité, prescrire $f(1) = 0$ et $f(\sqrt 2) = 1$ est compatible avec la $\Q$ -linéarité sur le sous-groupe. Calculer $f(m + n\sqrt2)$ pour cette prescription.
Soit $f$ additive et majorée par $M$ sur un certain intervalle $\intcc{a}{b}$ avec $a < b$ . Montrer que $f$ est majorée sur $\intcc{0}{\ell}$ , $\ell = b - a$ (translater de $a$ ).

Partie II — L’échelle de régularité.

Suite de la question 4 : en utilisant $f(\ell - t) + f(t) = f(\ell)$ , montrer que $f$ est aussi minorée sur $\intcc{0}{\ell}$ : $\abs f \leq C$ sur cet intervalle.
Montrer que $\abs{f(t)} \leq \frac{C}{n}$ pour $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ , et en déduire que $f$ est continue en $0$ (l’imparité règle le côté gauche), donc partout (question 2) : une fonction additive bornée sur un intervalle est linéaire.
En déduire le cas monotone : une fonction additive croissante sur un certain $\intcc{a}{b}$ ( $a < b$ ) est $f(x) = cx$ avec $c \geq 0$ .
Assembler l’échelle de régularité : pour $f$ additive, les assertions suivantes sont équivalentes — (a) $f(x) = cx$ ; (b) $f$ continue ; (c) $f$ continue en un point ; (d) $f$ monotone sur un intervalle non dégénéré ; (e) $f$ bornée sur un intervalle non dégénéré. Organiser les implications de sorte que chacune soit ou bien triviale, ou bien déjà démontrée.
Vérifier que les questions 4 à 6 n’ont consommé qu’une majoration par en haut : une fonction additive majorée sur un intervalle non dégénéré est déjà linéaire. En déduire l’énoncé miroir pour une minoration, et consigner la forme la plus forte ainsi obtenue du barreau (e) de l’échelle.

Partie III — Portrait d’un monstre. Supposons maintenant $f$ additive mais non linéaire.

Montrer qu’il existe des réels non nuls $u, v$ tels que $\dfrac{f(u)}{u} \neq \dfrac{f(v)}{v}$ , et que les vecteurs $(u, f(u))$ et $(v, f(v))$ engendrent le plan (leur déterminant $u f(v) - v f(u)$ est non nul).
Montrer que le graphe de $f$ contient tous les points

$r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)), \qquad r, s \in \Q ,$

et en déduire que le graphe est dense dans $\R^2$ : pour tout point $(x_0, y_0)$ du plan et tout $\varepsilon > 0$ , un certain $(x, f(x))$ en est à distance moindre que $\varepsilon$ (résoudre le système réel $2\times2$ , puis approcher les coefficients réels par des rationnels).
Déduire de la question 11 le portrait complet : une fonction additive non linéaire est non bornée sur tout intervalle non dégénéré, discontinue en tout point, monotone sur aucun intervalle, et l’image qu’elle donne de tout intervalle est dense dans $\R$ . Concilier avec la question 8.
Les monstres existent — sur un sous-groupe dense, de façon constructive : sur $G = \Z + \sqrt2\,\Z$ , posons $f(m + n\sqrt2) = n$ . Montrer que $f$ est bien définie et additive sur $G$ , et que $f$ est non bornée sur $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ pour tout $\varepsilon > 0$ (à $N$ fixé, seuls un nombre fini de $g = m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ vérifient $\abs n \leq N$ ; or $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ est infini). Expliquer en un paragraphe pourquoi prolonger un tel $f$ à $\R$ tout entier exige une base de $\R$ comme $\Q$ -espace vectoriel (une base de Hamel), dont l’existence relève de l’axiome du choix, au-delà de ce volume.

Partie IV — Les équations sœurs. Toutes les fonctions sont ici continues.

Soit $f \colon \R \to \R$ continue, non identiquement nulle, avec $f(x + y) = f(x)f(y)$ . Montrer que $f(x) = f\bigl(\frac x2\bigr)^2 \geq 0$ , puis que $f > 0$ partout, puis que $f(x) = \eu^{cx}$ pour un certain $c$ : les exponentielles sont exactement les morphismes continus de $(\R, +)$ dans $(\R^*, \times)$ .
Soit $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ continue avec $f(xy) = f(x) + f(y)$ . Montrer que $f(x) = c\ln x$ (transporter par $\exp$ ).
Soit $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \intoo{0}{+\infty}$ continue avec $f(xy) = f(x)f(y)$ . Montrer que $f(x) = x^c$ .
Trouver toutes les fonctions continues $f \colon \R \to \R$ telles que

$f(x + y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) .$

(Étudier $h = 1 + f$ ; traiter à part le cas dégénéré.)
(Parallélogramme) Trouver toutes les fonctions continues $f \colon \R \to \R$ telles que $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)$ : montrer que $f$ est paire, que $f(0) = 0$ , que $f(nx) = n^2 f(x)$ par récurrence, puis que $f(x) = f(1)\,x^2$ . (Cette équation est la signature des formes quadratiques — la loi du parallélogramme qui détecte, dans le volume de Licence 2, quelles normes proviennent d’un produit scalaire.)

Partie V — Jensen et la convexité au milieu.

(Équation de Jensen) Soit $f \colon \R \to \R$ continue avec $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ . Montrer que $g = f - f(0)$ vérifie $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ , en déduire que $g$ est additive, et conclure que $f(x) = cx + d$ .
Supposons maintenant seulement l’inégalité : $f$ continue avec

$f\Bigl(\frac{x + y}{2}\Bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2} \qquad (x, y \in \R).$

Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout poids dyadique $\lambda = \frac{k}{2^n} \in \intcc{0}{1}$ :

$f\bigl(\lambda x + (1 - \lambda)y\bigr) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y) .$
Étendre par continuité et densité des dyadiques (l’Exercice 10.8) à tout $\lambda \in \intcc{0}{1}$ : une fonction continue convexe au milieu vérifie l’inégalité de convexité complète (la notion étudiée systématiquement au Chapitre 14).
Montrer qu’on ne peut renoncer à la continuité : une fonction additive non linéaire $f$ vérifie l’égalité au milieu de la question 19 sans vérifier aucune inégalité de convexité sur un intervalle (question 12). Morale : la convexité au milieu est une propriété à étages dénombrables (les dyadiques), la convexité une propriété du continu ; la continuité est le pont — exactement comme dans les parties I et II.

Partie VI — Dernières variations et synthèse.

Trouver toutes les fonctions continues $f \colon \R \to \R$ telles que $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ (soustraire la solution particulière $\frac{x^2}{2}$ ).
Démontrer : si $f \colon \R \to \R$ est continue et additive seulement sur un sous-groupe dense $G$ (c’est-à-dire $f(g + g') = f(g) + f(g')$ pour $g, g' \in G$ ), alors $f$ est additive sur $\R$ . Plus généralement, deux fonctions continues qui coïncident sur une partie dense de $\R$ sont égales.
Synthèse, une phrase pour chaque point : (i) énoncer de mémoire l’échelle de régularité de la question 8 ; (ii) expliquer pourquoi « graphe dense dans le plan » est la bonne image mentale de l’échec de la régularité ; (iii) énumérer les cinq fonctions classiques caractérisées dans les parties IV et V et la méthode unique qui les a toutes attrapées ; (iv) nommer les deux endroits où la densité de $\Q$ (ou des dyadiques) dans $\R$ a porté l’argument, et l’endroit où elle ne l’a pas pu (question 13).

Solution

Solution de Problème 13.1.

1. Pour $n \in \N$ : $f(nx) = n f(x)$ par récurrence ( $f((n+1)x) = f(nx) + f(x)$ ). De plus $f(0) = 2f(0)$ donne $f(0) = 0$ , et $0 = f(x - x) = f(x) + f(-x)$ donne l’imparité, donc $f(nx) = nf(x)$ pour $n \in \Z$ . Pour $r = \frac pq$ : $q\,f\bigl(\tfrac pq x\bigr) = f(px) = p\,f(x)$ , donc $f(rx) = r f(x)$ : $f$ est $\Q$ -linéaire.

2. L’additivité donne, pour tous $x$ et $h$ :

f(x + h) - f(x) = f(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) .

Quand $h \to 0$ , le membre de droite tend vers $0$ par continuité en $x_0$ ; donc $f(x + h) \to f(x)$ : continuité en tout $x$ . Alors l’Exercice 13.11 donne $f(x) = f(1)\,x$ .

3. Deux fonctions additives continues sont de la forme $cx$ et $c'x$ (question 2) ; si elles coïncident sur le sous-groupe dense $\Z + \sqrt2\,\Z$ (Exercice 10.9), alors $c\,g = c'g$ pour un certain $g \neq 0$ de ce sous-groupe : $c = c'$ , les fonctions sont égales. Sans continuité : la $\Q$ -linéarité ne lie que les valeurs aux $\Q$ -combinaisons, et $1, \sqrt2$ sont $\Q$ -indépendants ( $\sqrt2 \notin \Q$ ), donc $f(1) = 0$ , $f(\sqrt2) = 1$ est cohérent et impose, sur le sous-groupe,

f(m + n\sqrt2) = m\,f(1) + n\,f(\sqrt2) = n .

4. Pour $t \in \intcc{0}{\ell}$ : $a + t \in \intcc{a}{b}$ , donc $f(t) = f(a + t) - f(a) \leq M - f(a) =: M'$ .

5. Pour $t \in \intcc{0}{\ell}$ , on a aussi $\ell - t \in \intcc{0}{\ell}$ , et l’additivité donne $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t) \geq f(\ell) - M'$ . D’où $\abs{f} \leq C$ sur $\intcc{0}{\ell}$ avec $C = \max\bigl(\abs{M'}, \abs{f(\ell) - M'}\bigr)$ .

6. Pour $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ : $nt \in \intcc{0}{\ell}$ et $f(t) = \frac{f(nt)}{n}$ (question 1), donc $\abs{f(t)} \leq \frac Cn$ . Soit $\varepsilon > 0$ ; choisissons $n > \frac C\varepsilon$ : pour $0 \leq h \leq \frac\ell n$ , $\abs{f(h)} \leq \varepsilon$ , et pour $h$ négatif on utilise $f(h) = -f(-h)$ . Ainsi $f(h) \to 0 = f(0)$ quand $h \to 0$ : continuité en $0$ , donc partout (question 2), donc $f(x) = f(1)x$ .

7. Si $f$ est croissante sur $\intcc{a}{b}$ , alors $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$ sur cet intervalle : bornée, donc linéaire par la question 6, $f(x) = cx$ ; et $c(b - a) = f(b) - f(a) \geq 0$ impose $c \geq 0$ .

8. (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) : trivial. (c) $\Rightarrow$ (a) : question 2. (a) $\Rightarrow$ (d) : une fonction linéaire est monotone partout. (d) $\Rightarrow$ (e) : une fonction monotone sur $\intcc{a}{b}$ y est bornée par ses valeurs aux extrémités. (e) $\Rightarrow$ (a) : questions 4 à 6. Les cinq assertions sont équivalentes — c’est l’échelle de régularité.

9. La question 4 n’a utilisé que la majoration $M$ ; la question 5 a déduit la minoration de la majoration via la réflexion $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t)$ ; la question 6 a ensuite tourné sur $\abs f \leq C$ . Donc : additive et majorée sur un intervalle non dégénéré entraîne déjà linéaire. Pour une minoration, appliquer ceci à $-f$ (additive, majorée). Barreau (e) le plus fort : une borne unilatérale sur un seul intervalle suffit.

10. Si $\frac{f(x)}{x}$ valait une même constante $c$ pour tout $x \neq 0$ , $f$ serait linéaire ; il existe donc $u, v$ non nuls tels que $\frac{f(u)}u \neq \frac{f(v)}v$ , c’est-à-dire $u f(v) - v f(u) \neq 0$ : le déterminant des vecteurs $(u, f(u))$ , $(v, f(v))$ est non nul, et ils engendrent $\R^2$ .

11. Pour $r, s \in \Q$ : $f(ru + sv) = r f(u) + s f(v)$ (question 1 deux fois, plus l’additivité), donc le graphe contient

\bigl(ru + sv,\; r f(u) + s f(v)\bigr) = r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)) .

Étant donnés $(x_0, y_0)$ et $\varepsilon > 0$ : le système $2 \times 2$ $a(u, f(u)) + b(v, f(v)) = (x_0, y_0)$ a une (unique) solution réelle $(a, b)$ puisque le déterminant est non nul. Choisissons des rationnels $r_n \to a$ , $s_n \to b$ : alors $r_n(u, f(u)) + s_n(v, f(v)) \to (x_0, y_0)$ coordonnée par coordonnée, et chacun de ces points est sur le graphe : le graphe est dense dans $\R^2$ .

12. Soit $I$ un intervalle non dégénéré, $x_0$ son milieu, $M$ arbitraire : la densité fournit un point du graphe à distance moindre que $\min\bigl(\frac{\abs I}{2}, 1\bigr)$ de $(x_0, M + 1)$ , c’est-à-dire $x \in I$ avec $f(x) > M$ : non bornée sur $I$ , donc (question 8) discontinue en tout point et monotone sur aucun intervalle ; et pour toute cible $y_0$ , les points du graphe proches de $(x_0, y_0)$ donnent des $f(x)$ arbitrairement proches de $y_0$ avec $x \in I$ : $f(I)$ est dense dans $\R$ . C’est la question 8 lue à l’envers : puisque tous les barreaux sont équivalents, une fonction additive non linéaire doit les mettre en défaut tous, partout.

13. Bien définie : $m + n\sqrt2 = m' + n'\sqrt2$ impose $(n - n')\sqrt2 = m' - m \in \Z$ , donc $n = n'$ (sinon $\sqrt2 \in \Q$ ) et $m = m'$ . L’additivité sur $G$ est alors claire coordonnée par coordonnée. Caractère non borné près de $0^+$ : fixons $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ et $N \in \N$ . Pour chaque $n$ fixé avec $\abs n \leq N$ , la condition $m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ enferme $m$ dans un intervalle de longueur $1$ : au plus un entier $m$ par $n$ , donc au plus $2N + 1$ éléments de $G \cap \intoo{0}{1}$ vérifient $\abs{f} \leq N$ . Or $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ est infini ( $G$ est dense, Exercice 10.9) ; il contient donc un $g$ avec $\abs{f(g)} > N$ : $f$ n’est bornée sur aucun voisinage à droite de $0$ . Prolonger $f$ en une fonction additive sur $\R$ revient à choisir des valeurs de façon cohérente sur une famille de réels $\Q$ -linéairement indépendante et engendrant $\R$ sur $\Q$ — une base de Hamel ; en produire une exige l’axiome du choix, et aucune formule explicite ne peut le faire : constructivement, nous ne possédons le monstre que sur $G$ .

14. $f(x) = f(\frac x2 + \frac x2) = f(\frac x2)^2 \geq 0$ . Si $f(x_0) = 0$ , alors $f(x) = f(x - x_0)f(x_0) = 0$ pour tout $x$ : exclu. Donc $f > 0$ et $g = \ln \circ f$ est continue (Proposition 13.8) avec $g(x + y) = g(x) + g(y)$ : d’après l’Exercice 13.11, $g(x) = cx$ , donc $f(x) = \eu^{cx}$ . Réciproquement chaque $\eu^{cx}$ convient : les morphismes continus $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ sont exactement les exponentielles.

15. $g(u) = f(\eu^u)$ est continue et $g(u + v) = f(\eu^u \eu^v) = g(u) + g(v)$ : $g(u) = cu$ , et tout $x > 0$ s’écrit $x = \eu^u$ avec $u = \ln x$ : $f(x) = c\ln x$ .

16. $h = \ln \circ f$ est continue sur $\intoo{0}{+\infty}$ avec $h(xy) = h(x) + h(y)$ : d’après la question 15, $h(x) = c\ln x$ , donc $f(x) = \eu^{c\ln x} = x^c$ .

17. $x = y = 0$ : $f(0) = 2f(0) + f(0)^2$ , donc $f(0)(1 + f(0)) = 0$ . Si $f(0) = -1$ : en posant $y = 0$ , $f(x) = f(x) + f(0) + f(x)f(0) = -1$ pour tout $x$ : la constante $f \equiv -1$ (qui vérifie effectivement l’équation). Sinon $f(0) = 0$ ; $h = 1 + f$ est continue, $h(0) = 1$ , et

h(x + y) = 1 + f(x) + f(y) + f(x)f(y) = h(x)\,h(y) :

d’après la question 14, $h(x) = \eu^{cx}$ , c’est-à-dire $f(x) = \eu^{cx} - 1$ (le cas $c = 0$ donnant $f \equiv 0$ ). Liste complète : $f \equiv -1$ et $f(x) = \eu^{cx} - 1$ , $c \in \R$ .

18. $x = y = 0$ : $2f(0) = 4f(0)$ , donc $f(0) = 0$ . $x = 0$ : $f(y) + f(-y) = 2f(y)$ , donc $f$ est paire. $y = x$ : $f(2x) = 4f(x)$ . Récurrence en utilisant $(x, y) \to (nx, x)$ :

f((n{+}1)x) = 2f(nx) + 2f(x) - f((n{-}1)x) = (2n^2 + 2 - (n-1)^2) f(x) = (n+1)^2 f(x) .

Puis $f(x) = f\bigl(q\cdot\frac xq\bigr) = q^2 f\bigl(\frac xq\bigr)$ donne $f\bigl(\frac pq x\bigr) = \frac{p^2}{q^2}f(x)$ : $f(r) = r^2 f(1)$ sur $\Q$ (la parité règle les signes). Les deux fonctions continues $f$ et $x \mapsto f(1)x^2$ coïncident sur la partie dense $\Q$ , donc partout (question 24) : $f(x) = f(1)\,x^2$ ; et tout $cx^2$ vérifie l’équation.

19. $g = f - f(0)$ est continue, $g(0) = 0$ , et vérifie l’équation de Jensen (les constantes se simplifient). En prenant $y = 0$ : $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ . Alors pour tous $x, y$ :

\frac{g(x + y)}{2} = g\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr) = \frac{g(x) + g(y)}{2} ,

donc $g$ est additive et continue : $g(x) = cx$ (question 2), et $f(x) = cx + d$ avec $d = f(0)$ . Toutes les fonctions affines vérifient Jensen : la liste est complète.

20. Récurrence sur $n$ . Pour $n = 0$ : $\lambda \in \{0, 1\}$ , trivial. Supposons l’inégalité acquise pour tous les poids $\frac{k}{2^n}$ . Un poids $\lambda = \frac{k}{2^{n+1}}$ avec $k$ pair se ramène au niveau $n$ ; pour $k = 2j + 1$ , $\lambda$ est le milieu de $\lambda_1 = \frac{j}{2^n}$ et $\lambda_2 = \frac{j+1}{2^n}$ . Avec $z_i = \lambda_i x + (1 - \lambda_i)y$ : $\lambda x + (1-\lambda)y = \frac{z_1 + z_2}{2}$ , donc

f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr) \leq \frac{f(z_1) + f(z_2)}{2} \leq \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)f(x) + (2 - \lambda_1 - \lambda_2)f(y)}{2} = \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y) .

21. Fixons $x, y$ . Les applications $\lambda \mapsto f(\lambda x + (1 - \lambda)y)$ et $\lambda \mapsto \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)$ sont continues sur $\intcc{0}{1}$ (composition et algèbre, Proposition 13.8). L’inégalité vaut sur les poids dyadiques, denses dans $\intcc{0}{1}$ (Exercice 10.8) ; pour $\lambda$ quelconque, prenons des dyadiques $\lambda_n \to \lambda$ et passons à la limite (Théorème 13.3 et Théorème 11.7) : l’inégalité de convexité vaut pour tout $\lambda \in \intcc{0}{1}$ — convexité au milieu plus continuité égale convexité (la notion du Chapitre 14).

22. Une fonction additive non linéaire $f$ vérifie $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ exactement (question 1 avec $r = \frac12$ , puis additivité) : elle est convexe au milieu, et même affine au milieu. Si elle vérifiait l’inégalité de convexité complète sur un intervalle $\intcc{x}{y}$ , alors pour $\lambda \in \intcc{0}{1}$ : $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \max(f(x), f(y))$ — majorée sur un intervalle non dégénéré, donc linéaire d’après la question 9 : contradiction. La continuité de la question 21 n’est donc pas un luxe : sans elle, la convexité au milieu ne contrôle que le squelette dyadique dénombrable, et le continu qui s’étend entre ses points part en vrille.

23. $p(x) = \frac{x^2}{2}$ vérifie $p(x+y) = p(x) + p(y) + xy$ . Si $f$ est une solution continue quelconque, $g = f - p$ est continue et additive, donc $g(x) = cx$ :

f(x) = \frac{x^2}{2} + cx , \qquad c \in \R ,

et chacune de ces fonctions est solution : la liste est complète.

24. Principe général : si $u, v$ sont continues et coïncident sur une partie dense $D \subseteq \R$ , alors pour $x \in \R$ on choisit $d_n \in D$ avec $d_n \to x$ (Proposition 12.11) ; $u(x) = \lim u(d_n) = \lim v(d_n) = v(x)$ . Soit maintenant $f$ continue et additive sur le sous-groupe dense $G$ . Fixons $x, y \in \R$ et prenons $g_n \to x$ , $g'_n \to y$ avec $g_n, g'_n \in G$ ; alors $g_n + g'_n \to x + y$ et, par continuité séquentielle en $x + y$ , en $x$ et en $y$ :

f(x + y) = \lim f(g_n + g'_n) = \lim\bigl(f(g_n) + f(g'_n)\bigr) = f(x) + f(y) :

$f$ est additive sur $\R$ tout entier (donc linéaire, par la question 2).

25. (i) Pour $f$ additive : linéaire $\iff$ continue $\iff$ continue en un point $\iff$ monotone sur un intervalle $\iff$ bornée (même d’un seul côté) sur un intervalle. (ii) La densité du graphe dans le plan montre que l’échec n’est pas un défaut local mais une explosion globale : au-dessus de tout sous-intervalle, les valeurs s’étalent sur $\R$ tout entier, de sorte que toute propriété de régularité échoue partout à la fois. (iii) Le butin : $cx$ , $\eu^{cx}$ , $c\ln x$ , $x^c$ , $cx^2$ , et $cx + d$ — six caractérisations, une seule méthode : transporter l’équation vers celle de Cauchy, démontrer le squelette sur $\Q$ par récurrence, remonter à $\R$ par densité et continuité. (iv) La densité de $\Q$ (ou des dyadiques) a porté les remontées de l’Exercice 13.11 et de la question 21 ; elle n’a rien porté à la question 13, car sans continuité les valeurs ne se propagent pas d’une partie dense à son adhérence — la densité ne transfère l’information que le long de la continuité.