Qu'est-ce que « Équation, solution » ? — Mathématiques

Définition 2.7 Mathématiques du lycée · Chapitre 2 — Algèbre : équations et inéquations

Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu $x$ ; une solution est une valeur de $x$ qui rend l’égalité vraie. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes ses solutions.

Exemples

Exemple 2.8 (Équation du premier degré)

Résoudre $5x - 7 = 2x + 8$ , une opération à la fois :

\begin{align*} 5x - 7 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(ajouter $7 - 2x$ aux deux membres)} \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 && \text{(diviser les deux membres par $3$).} \end{align*}

L’unique solution est $5$ . Vérification : $5 \times 5 - 7 = 18$ et $2 \times 5 + 8 = 18$ .

Exemple 2.11

Résoudre $(x - 2)(3x + 6) = 0$ : soit $x - 2 = 0$ , d’où $x = 2$ , soit $3x + 6 = 0$ , d’où $x = -2$ . Solutions : $-2$ et $2$ .

Résoudre $x^2 = 9x$ . Ne pas diviser par $x$ (il pourrait être nul !) ; tout ramener d’un côté et factoriser :

x^2 - 9x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 9) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \ \text{ ou } \ x = 9 .

Exemple 2.12 (Équation quotient)

Résoudre $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$ . Un quotient est nul exactement lorsque son numérateur est nul et son dénominateur ne l’est pas. Ici $x - 1 = 0$ donne $x = 1$ , et $1 + 2 = 3 \neq 0$ : l’unique solution est $1$ . La valeur $x = -2$ est interdite (division par zéro) et doit toujours être exclue en premier.

Lire dans le chapitre →