Mathématiques universitaires — Licence 3 · Bachelor Year 3

7Espaces complets : Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

La complétude — toute suite de Cauchy converge — est la propriété qui permet à l’analyse de produire des objets : points fixes de contractions, sommes de séries, solutions d’équations obtenues comme limites. Ce chapitre assemble les trois grandes machines d’existence de la théorie métrique. Le théorème de Baire montre qu’un espace complet ne peut être réunion dénombrable de morceaux négligeables, et fait apparaître des objets (fonctions continues nulle part dérivables !) par un pur raisonnement de cardinalité. Arzelà–Ascoli identifie les parties compactes de $\mathcal C(K)$ et est le cheval de bataille de la compacité en analyse — le problème de fin de semaine s’en sert pour prouver le théorème d’existence de Peano pour les équations différentielles. Stone–Weierstrass montre que les polynômes, et bien d’autres, sont denses dans $\mathcal C(K)$ : l’approximation devient une vérification algébrique. En chemin on construit les complétés et on prouve le théorème d’extension des applications uniformément continues, le pain quotidien des Chapitres 12, 13 et 14.

7.1 Espaces complets, complétés, extensions

Définition 7.1

Un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy converge (deuxième année : $\R^n$ est complet ; $\mathcal C(\intcc01)$ muni de $\norm\cdot_\infty$ est complet). Une partie fermée d’un espace complet est complète ; une partie complète d’un espace métrique quelconque est fermée.

Démonstration. Pour les deux énoncés : une suite de Cauchy du fermé $F$ converge dans $X$ , et sa limite, adhérente à $F$ , est dans $F$ ; une suite convergente-dans- $X$ d’une partie complète $A$ est de Cauchy, donc converge dans $A$ , et les limites sont uniques. ∎

Théorème 7.2 (Extension des applications uniformément continues)

Soit $D \subseteq X$ dense, $Y$ complet, et $f \colon D \to Y$ uniformément continue. Alors $f$ s’étend uniquement en une $\bar f \colon X \to Y$ continue, et $\bar f$ est uniformément continue.

Démonstration. Unicité : deux extensions continues coïncident sur le dense $D$ , donc partout (l’ensemble d’accord $\{g = h\}$ est fermé : image réciproque de la diagonale fermée sous $x\mapsto(g(x), h(x))$ ). Existence : pour $x \in X$ choisir $d_n \to x$ , $d_n \in D$ . La suite $(f(d_n))$ est de Cauchy : étant donné $\varepsilon$ , la continuité uniforme fournit $\delta$ avec $d(u,v) < \delta \Rightarrow d(f(u), f(v)) < \varepsilon$ , et $(d_n)$ est de Cauchy. Définir $\bar f(x) = \lim f(d_n)$ ; la limite ne dépend pas de la suite choisie (entrelacer deux d’entre elles). $\bar f$ prolonge $f$ (suites constantes) et hérite du module de continuité : si $d(x, x') < \delta$ , en approximant les deux par des points de $D$ à distance $< \frac{\delta - d(x,x')}2$ on obtient $d(\bar f(x), \bar f(x')) \leq \varepsilon$ à la limite — $\bar f$ est uniformément continue. ∎

Théorème 7.3 (Complété)

Tout espace métrique $X$ s’immerge isométriquement comme partie dense d’un espace métrique complet $\hat X$ , unique à isométrie près fixant $X$ point par point : son complété.

Démonstration. Existence. Soit $\mathcal X$ l’ensemble des suites de Cauchy de $X$ , muni de la pseudo-distance

D\bigl((x_n), (y_n)\bigr) = \lim_n d(x_n, y_n),

la limite existant car $\abs{d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)} \leq d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m)$ rend la suite réelle de Cauchy. Soit $\hat X = \mathcal X/{\sim}$ , en identifiant les suites à $D$ -distance $0$ ; $D$ descend en une distance. Immerger $X$ par les suites constantes : une isométrie, d’image dense (une suite de Cauchy est $D$ -approximée par les constantes construites sur ses propres termes : $D\bigl((x_n), (x_k)_{\rm const}\bigr) = \lim_n d(x_n, x_k) \to 0$ quand $k \to \infty$ par Cauchy). Complétude de $\hat X$ : soit $(\xi^k)$ de Cauchy dans $\hat X$ ; par densité choisir $x_k \in X$ avec $D(\xi^k, x_k) \leq 2^{-k}$ ; alors $(x_k)$ est de Cauchy dans $X$ (inégalité triangulaire via les $\xi$ ), définit un point $\xi \in \hat X$ , et $D(\xi^k, \xi) \leq 2^{-k} + D(x_k, \xi) \to 0$ (la distance de la constante $x_k$ à la classe de $(x_j)_j$ est $\lim_j d(x_k, x_j)$ , petite pour $k$ grand).

Unicité : deux complétés $\hat X_1, \hat X_2$ contiennent $X$ densément ; l’identité de $X$ , une isométrie, est uniformément continue, donc s’étend en $\hat X_1 \to \hat X_2$ (Théorème 7.2), encore une isométrie sur un ensemble dense donc partout ; symétriquement dans l’autre sens, et les composées fixent le dense $X$ : ce sont les identités. ∎

Théorème 7.4 (Point fixe de Banach)

Soit $X$ complet, non vide, et $f \colon X \to X$ une contraction : $d(f(x), f(y)) \leq k\,d(x,y)$ avec $k < 1$ . Alors $f$ a un unique point fixe $x^*$ , et toute orbite converge vers lui, avec le taux explicite $d(x_n, x^*) \leq \frac{k^n}{1-k}\,d(x_1, x_0)$ .

Démonstration. (La deuxième année l’a prouvé ; on réenregistre l’argument en deux lignes pour l’autonomie.) L’orbite $x_{n+1} = f(x_n)$ vérifie $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^nd(x_1, x_0)$ , donc est de Cauchy (série géométrique) ; sa limite $x^*$ est fixe (continuité de $f$ ), unique car deux points fixes satisfont $d \leq k\,d$ . Le taux : sommer la queue géométrique. ∎

Exemple 7.5 (Perturber l’identité)

Soit $g \colon \R^d \to \R^d$ $k$ -lipschitzienne avec $k < 1$ . Alors $\varphi = \mathrm{id} + g$ est un homéomorphisme de $\R^d$ sur $\R^d$ . Injectivité, avec un module quantitatif :

\norm{\varphi(x) - \varphi(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} .

La surjectivité est le théorème du point fixe : résoudre $\varphi(x) = y$ signifie $x = y - g(x)$ , et $x \mapsto y - g(x)$ est une $k$ -contraction du complet $\R^d$ — une solution unique $x = \psi(y)$ existe pour tout $y$ . L’inégalité affichée rend l’inverse $\psi$ lipschitzien de constante $\frac1{1-k}$ : un homéomorphisme, avec bornes explicites sur les deux modules. Cet énoncé d’apparence innocente est le moteur du théorème d’inversion locale (Chapitre 20) : près d’un point où $Df$ est inversible, $f$ est une application linéaire inversible plus une petite perturbation lipschitzienne, et l’exemple d’aujourd’hui fait le reste. Il quantifie aussi la robustesse numérique : un système perturbé de moins que la marge de l’inverse reste solvable, la solution se déplaçant d’au plus $\frac{1}{1-k}$ fois la perturbation.

7.2 Le théorème de Baire

Théorème 7.6 (Baire)

Dans un espace métrique complet, une intersection dénombrable d’ouverts denses est dense. De façon équivalente : si $X = \bigcup_{n}F_n$ avec chaque $F_n$ fermé, alors quelque $F_n$ a un intérieur non vide.

Démonstration. Soit $(U_n)$ des ouverts denses et $B_0 = B(x_0, r_0)$ une boule ouverte quelconque ; on trouve un point de $\bigcap U_n$ dans $B_0$ . Inductivement : $U_{n}$ étant dense et ouvert, il rencontre la boule ouverte $B_{n-1}$ en un ouvert, qui contient une boule fermée $\bar B(x_n, r_n)$ avec $0 < r_n \leq r_{n-1}/2$ et $\bar B(x_n, r_n) \subseteq B_{n-1}\cap U_n$ . Les centres forment une suite de Cauchy ( $x_m \in B_n$ pour $m \geq n$ , rayons $\to 0$ ) ; la limite $x$ est dans chaque $\bar B(x_n, r_n)$ (fermeture), donc dans chaque $U_n$ et dans $B_0$ . Pour la seconde forme : si aucun $F_n$ n’a d’intérieur, les $U_n = X \setminus F_n$ sont ouverts et denses, et un point de $\bigcap U_n$ échappe à $\bigcup F_n = X$ : absurde. ∎

Remarque 7.7

Vocabulaire : un ensemble est nulle part dense si son adhérence a un intérieur vide, maigre (première catégorie) s’il est réunion dénombrable d’ensembles nulle part denses. Baire : un espace métrique complet n’est pas maigre en lui-même, et le complémentaire d’un ensemble maigre est dense. « Maigre » est une notion de petitesse orthogonale à la mesure (le Chapitre 9 produira des ensembles maigres de mesure pleine), et les arguments de Baire prouvent l’existence par abondance : pour exhiber un objet sans la propriété P, montrer que les objets-P forment un ensemble maigre.

Corollaire 7.8

(a) $\R$ est non dénombrable. (b) $\Q$ n’est pas une intersection dénombrable d’ouverts de $\R$ , et un espace métrique complet non vide sans points isolés est non dénombrable.

Démonstration. (a) $\R = \bigcup_{x}\{x\}$ sur un ensemble dénombrable rendrait quelque singleton d’intérieur non vide. (b) Si $\Q = \bigcap_n V_n$ avec $V_n$ ouverts (nécessairement denses, car $\supseteq \Q$ ), alors les $V_n$ et les complémentaires $\R\setminus\{q\}$ , $q \in \Q$ , forment une famille dénombrable d’ouverts denses d’intersection vide — contredisant Baire. Si $X$ est complet sans points isolés et dénombrable, $X = \bigcup_{x \in X}\{x\}$ l’exhibe comme réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide (pas de points isolés) : Baire encore. ∎

Théorème 7.9 (Les monstres de Weierstrass existent)

Il existe des fonctions continues sur $\intcc01$ dérivables en aucun point. Mieux : l’ensemble des $f \in \mathcal C(\intcc01)$ ayant une dérivée (finie) en au moins un point est maigre dans $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_\infty)$ .

Démonstration. Pour $n \geq 1$ soit

F_n = \Bigl\{f : \exists x \in \intcc01,\ \forall h \neq 0 \text{ avec } x + h \in \intcc01,\ \abs{f(x+h) - f(x)} \leq n\abs h \Bigr\}.

Si $f$ est dérivable en $x$ , alors $f \in F_n$ pour quelque $n$ : le quotient $\abs{f(x+h)-f(x)}/\abs h$ est borné pour $\abs h \leq \delta$ (dérivabilité : il tend vers $\abs{f'(x)}$ ) et borné par $2\norm f_\infty/\delta$ pour $\abs h \geq \delta$ . Donc $\bigcup F_n$ contient toutes les fonctions quelque part dérivables, et il suffit de montrer chaque $F_n$ fermé d’intérieur vide.

Fermé : soit $f_k \to f$ uniformément, $f_k \in F_n$ avec témoins $x_k \to x$ (compacité, après extraction). Pour $h$ avec $x + h \in \intcc01$ : choisir $h_k \to h$ avec $x_k + h_k \in \intcc01$ (p. ex. $h_k = h + x - x_k$ tronqué) ; alors $\abs{f(x + h) - f(x)} = \lim \abs{f_k(x_k + h_k) - f_k(x_k)} \leq \lim n\abs{h_k} = n\abs h$ , en utilisant la convergence uniforme et la continuité de $f$ aux points pertinents : $f \in F_n$ .

Intérieur vide : étant donné $f \in F_n$ et $\varepsilon > 0$ , on trouve $g$ avec $\norm{g - f}_\infty \leq \varepsilon$ et $g \notin F_n$ . D’abord approximer $f$ à $\varepsilon/2$ près par une $\varphi$ affine par morceaux (continuité uniforme : interpoler sur une grille fine), de pentes bornées par quelque $M$ . Ajouter une petite dent de scie : $g = \varphi + \frac\varepsilon2\,s_N$ , où $s_N(x)$ est le zigzag $\frac1N$ -périodique d’amplitude $1$ et de pente $\pm 2N$ . En tout $x$ , d’un côté il y a $h$ arbitrairement petit avec la dent de scie contribuant une pente $\pm 2N\cdot\frac\varepsilon2 = \pm\varepsilon N$ sur $[x, x+h]$ : le quotient différentiel de $g$ dépasse $\varepsilon N - M > n$ pour $N$ grand. Donc $g \notin F_n$ , à toute distance uniforme $\leq \varepsilon$ de $f$ . Conclusion : $\bigcup F_n$ est maigre ; par Baire son complémentaire — formé de fonctions nulle part dérivables — est dense dans $\mathcal C(\intcc01)$ : de telles fonctions existent en abondance. ∎

7.3 Arzelà–Ascoli

Tout au long, $K$ est un espace métrique compact et $\mathcal C(K) = \mathcal C(K, \R^d)$ , avec $\norm f_\infty = \sup_K \norm{f(x)}$ : un espace complet (les limites uniformes de continues sont continues — deuxième année).

Définition 7.10

Une famille $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ est équicontinue si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que

d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon \quad\text{pour \emph{toutes} les } f \in \mathcal F

(un seul $\delta$ pour toute la famille — p. ex. toute famille avec une constante de Lipschitz commune, ou un module de Hölder commun), et bornée ponctuellement si $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ pour chaque $x$ .

Théorème 7.11 (Arzelà–Ascoli)

Une partie $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ est relativement compacte (d’adhérence compacte) ssi elle est équicontinue et bornée ponctuellement. En particulier, toute suite équicontinue et bornée ponctuellement a une sous-suite uniformément convergente.

Démonstration. ( $\Leftarrow$ ) Soit $(f_k)$ une suite de $\mathcal F$ . $K$ métrique compact est séparable : pour chaque $n$ , un nombre fini de boules de rayon $\frac1n$ recouvrent $K$ (Théorème 6.16) ; leurs centres forment un ensemble dense dénombrable $D = \{x_1, x_2, \dots\}$ . Par bornitude ponctuelle et Bolzano–Weierstrass, extraire successivement des sous-suites convergeant en $x_1$ , puis aussi en $x_2$ , etc., et prendre la sous-suite diagonale $(g_j)$ : elle converge en tout point de $D$ . L’équicontinuité promouvoit cela en Cauchy uniforme : étant donné $\varepsilon$ , prendre $\delta$ comme dans la définition, recouvrir $K$ par un nombre fini de boules $B(x_i, \delta)$ avec $x_i \in D$ ( $i \leq m$ ), et choisir $J$ assez grand pour que $\norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} < \varepsilon$ pour $j, j' \geq J$ , $i \leq m$ . Pour $x \in B(x_i, \delta)$ arbitraire :

\norm{g_j(x) - g_{j'}(x)} \leq \norm{g_j(x) - g_j(x_i)} + \norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} + \norm{g_{j'}(x_i) - g_{j'}(x)} < 3\varepsilon .

Donc $(g_j)$ est uniformément de Cauchy, et converge dans le complet $\mathcal C(K)$ . Ainsi toute suite de $\mathcal F$ a une sous-suite convergente : $\bar{\mathcal F}$ est (séquentiellement, donc par Théorème 6.16) compacte.

( $\Rightarrow$ ) Si $\bar{\mathcal F}$ est compacte : la bornitude ponctuelle est claire (l’évaluation est continue). Pour l’équicontinuité, recouvrir $\mathcal F$ par un nombre fini de boules $B(f_i, \varepsilon)$ de $\mathcal C(K)$ ; chaque $f_i$ est uniformément continue (Heine, Corollaire 6.17), donnant un $\delta$ commun pour $i \leq m$ ; alors pour $f \in B(f_i, \varepsilon)$ et $d(x,y) < \delta$ : $\norm{f(x)-f(y)} \leq 2\varepsilon + \norm{f_i(x)-f_i(y)} < 3\varepsilon$ . ∎

Exemple 7.12

La boule unité fermée de $\mathcal C(\intcc01)$ n’est pas compacte ( $f_n(x) = x^n$ n’a pas de sous-suite uniformément convergente : la limite ponctuelle est discontinue), et en effet $(x^n)$ n’est pas équicontinue en $1$ . En revanche $\{f : \norm f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ est compacte : bornée et $1$ -lipschitz-équicontinue, et fermée. Ascoli explique pourquoi la compacité échoue en dimension infinie (Riesz, deuxième année) et quoi ajouter pour la restaurer : un module de continuité uniforme.

7.4 Stone–Weierstrass

Lemme 7.13 (Dini)

Soit $K$ compact et $(f_n)$ une suite monotone de fonctions réelles continues convergeant ponctuellement vers une $f$ continue. Alors la convergence est uniforme.

Démonstration. Disons $f_n \uparrow f$ ; soit $g_n = f - f_n \downarrow 0$ , continues. Étant donné $\varepsilon$ , les ouverts $U_n = \{g_n < \varepsilon\}$ croissent et recouvrent $K$ (convergence ponctuelle) ; extraire un sous-recouvrement fini : $K = U_{n_0}$ pour quelque $n_0$ (famille croissante), c’est-à-dire $0 \leq g_n < \varepsilon$ partout pour $n \geq n_0$ . ∎

Lemme 7.14

Il existe une suite de polynômes $u_n$ avec $u_n(t) \to \sqrt t$ uniformément sur $\intcc01$ .

Démonstration. Définir $u_0 = 0$ , $u_{n+1}(t) = u_n(t) + \frac12\bigl(t - u_n(t)^2\bigr)$ : des polynômes. Par induction $0 \leq u_n(t) \leq \sqrt t$ sur $\intcc01$ : en l’accordant pour $n$ ,

\sqrt t - u_{n+1}(t) = \bigl(\sqrt t - u_n(t)\bigr) \Bigl(1 - \tfrac12\bigl(\sqrt t + u_n(t)\bigr)\Bigr) \geq 0,

puisque $\sqrt t + u_n \leq 2$ ; et $u_{n+1} \geq u_n \geq 0$ . Donc $(u_n(t))$ est croissante, bornée par $\sqrt t$ : elle converge ponctuellement, et la limite $\ell(t)$ satisfait $\ell = \ell + \frac12(t - \ell^2)$ : $\ell(t) = \sqrt t$ , continue. Dini (Lemme 7.13) promeut en uniforme. ∎

Théorème 7.15 (Stone–Weierstrass, version réelle)

Soit $K$ un espace compact (séparé) et $\mathcal A \subseteq \mathcal C(K, \R)$ une sous-algèbre (stable par sommes, produits, multiplications scalaires) qui contient les constantes et sépare les points (pour $x \neq y$ , quelque $f \in \mathcal A$ a $f(x) \neq f(y)$ ). Alors $\mathcal A$ est dense dans $(\mathcal C(K,\R), \norm\cdot_\infty)$ .

Démonstration. Soit $\bar{\mathcal A}$ l’adhérence, encore une algèbre (les produits de limites uniformes sur des ensembles bornés convergent).

Étape 1 : $\bar{\mathcal A}$ est un treillis, c’est-à-dire stable par $\max$ et $\min$ . Comme $\max(f,g) = \frac{f + g + \abs{f-g}}2$ et $\min$ de même, il suffit que $f \in \bar{\mathcal A} \Rightarrow \abs f \in \bar{\mathcal A}$ : avec $M = \norm f_\infty > 0$ , $\abs f = M\sqrt{(f/M)^2}$ , et Lemme 7.14 donne des polynômes $u_n$ avec $u_n\bigl((f/M)^2\bigr) \to \abs f/M$ uniformément ; les polynômes en des membres de l’algèbre (avec terme constant : les constantes y sont) restent dans $\bar{\mathcal A}$ .

Étape 2 : interpolation en deux points. Pour $x \neq y$ et $a, b \in \R$ , quelque $g \in \mathcal A$ a $g(x) = a$ , $g(y) = b$ : prendre $h$ séparant $x, y$ et poser $g = a + (b - a)\frac{h - h(x)}{h(y) - h(x)}$ .

Étape 3. Soit $f \in \mathcal C(K)$ , $\varepsilon > 0$ . Pour chaque paire $x, y$ choisir $g_{x,y} \in \mathcal A$ avec $g_{x,y}(x) = f(x)$ , $g_{x,y}(y) = f(y)$ (étape 2 ; pour $x = y$ prendre la constante $g_{x,x} = f(x)$ ). Fixer $x$ : pour chaque $y$ , l’ouvert $V_y = \{g_{x,y} < f + \varepsilon\}$ contient $y$ ; la compacité extrait $y_1, \dots, y_m$ avec $K = \bigcup V_{y_j}$ , et $h_x = \min_j g_{x, y_j} \in \bar{\mathcal A}$ (étape 1) vérifie $h_x < f + \varepsilon$ partout, $h_x(x) = f(x)$ . Faire varier $x$ : $W_x = \{h_x > f - \varepsilon\}$ est ouvert, contient $x$ ; extraire $x_1, \dots, x_l$ recouvrant $K$ , et $h = \max_i h_{x_i} \in \bar{\mathcal A}$ vérifie $f - \varepsilon < h < f + \varepsilon$ : $\norm{f - h}_\infty \leq \varepsilon$ . Donc $f \in \bar{\mathcal A}$ . ∎

Corollaire 7.16

(a) (Weierstrass) Les polynômes sont denses dans $\mathcal C(\intcc ab, \R)$ ; les polynômes en $n$ variables sont denses dans $\mathcal C(K, \R)$ pour $K \subseteq \R^n$ compact. (b) (Version complexe) Si $\mathcal A \subseteq \mathcal C(K, \C)$ est une sous-algèbre contenant les constantes, séparant les points, et stable par conjugaison, elle est dense. (c) (Version trigonométrique) Les polynômes trigonométriques $\sum_{\abs n \leq N}c_n\eu^{\iu n t}$ sont denses dans l’espace des fonctions continues $2\pi$ -périodiques muni de $\norm\cdot_\infty$ .

Démonstration. (a) Les polynômes forment une algèbre avec constantes ; les fonctions coordonnées séparent les points de $\R^n$ . (b) Les parties réelle et imaginaire $\frac{f + \bar f}2$ , $\frac{f - \bar f}{2\iu}$ des membres de $\mathcal A$ forment une algèbre réelle $\mathcal A_\R \subseteq \mathcal C(K, \R)$ avec constantes ; elle sépare les points ( $f(x) \ne f(y)$ force $\operatorname{Re}f$ ou $\operatorname{Im}f$ à séparer). Appliquer le théorème réel et recombiner. (c) Voir les fonctions $2\pi$ -périodiques comme $\mathcal C(S^1, \C)$ ( $S^1 = \R/2\pi\Z$ , compact : Exercice 6.5) ; l’algèbre engendrée par $\eu^{\iu t}, \eu^{-\iu t}$ et les constantes est stable par conjugaison et sépare les points du cercle ( $\eu^{\iu t}$ est injective dessus). Appliquer (b). ∎

Remarque 7.17

La version trigonométrique répare, et généralise largement, le trou laissé dans le chapitre Fourier de deuxième année : la densité des polynômes trigonométriques dans $(\mathcal C(S^1), \norm\cdot_2)$ suit a fortiori ( $\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ à la constante de normalisation près), ce qui fera du système de Fourier une base orthonormée dans le Chapitre 13, prouvant enfin Parseval en toute généralité.

7.5 Exercices

Exercice 7.1 ★

(a) Montrer que $\mathcal C(\intcc01, \R)$ muni de $\norm f_1 = \int_0^1\abs f$ n’est pas complet : les fonctions $f_n$ égales à $0$ sur $\intcc0{\frac12}$ , $1$ sur $\intcc{\frac12 + \frac1n}1$ , affines entre, sont $\norm\cdot_1$ -Cauchy sans limite continue. (b) Montrer qu’un espace normé dans lequel toute série absolument convergente converge est complet. (Extraire d’une suite de Cauchy une sous-suite avec $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$ .)

Solution

Solution de Exercice 7.1.

(a) Pour $m \geq n$ , $f_n - f_m$ s’annule hors d’un intervalle de longueur $\frac1n$ et est bornée par $1$ : $\norm{f_n - f_m}_1 \leq \frac1n \to 0$ : de Cauchy. Si $f_n \to f$ en $\norm\cdot_1$ avec $f$ continue : pour $\alpha < \frac12$ fixé, $\int_0^{\alpha}\abs f = \lim \int_0^\alpha\abs{f - f_n + f_n} \leq \lim\bigl(\norm{f - f_n}_1 + 0\bigr) = 0$ ( $f_n \equiv 0$ là pour $n$ grand), donc $f \equiv 0$ sur $[0, \frac12)$ (continuité) ; de même $f \equiv 1$ sur $(\frac12, 1]$ : aucune fonction continue ne fait les deux. Donc l’espace est incomplet — le complété est $L^1$ , construit dans le Chapitre 12.

(b) Soit $(x_n)$ de Cauchy ; choisir $n_1 < n_2 < \cdots$ avec $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$ . La série $\sum_k (x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ converge absolument, donc converge ; ses sommes partielles sont $x_{n_{k+1}} - x_{n_1}$ , donc $(x_{n_k})$ converge, et une suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente converge.

Exercice 7.2 ★

En utilisant Baire : (a) montrer qu’un espace normé complet n’a pas de base (algébrique) dénombrable — en déduire que l’espace des polynômes n’est complet pour aucune norme ; (b) montrer que si une suite de $f_n \colon \R \to \R$ continues converge ponctuellement vers $f$ , l’ensemble des points de continuité de $f$ est dense. (Pour (b) : admettre ou prouver que $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_x f < \delta\}$ est ouvert, et montrer qu’il est dense en utilisant $F_{N} = \{x: \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \delta/3\ \forall n,m \geq N\}$ , fermés recouvrant $\R$ ; travailler dans une boule fermée arbitraire pour appliquer Baire.)

Solution

Solution de Exercice 7.2.

(a) Supposer $E$ complet avec base algébrique $(e_n)_{n\in\N}$ et soit $F_n = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$ : fermé (les sous-espaces de dimension finie sont complets, donc fermés — deuxième année), d’intérieur vide : si $B(x, r) \subseteq F_n$ , prendre $v \notin F_n$ ; alors $x + \frac{r}{2\norm v}v \in B(x,r) \setminus F_n$ , absurde. Or $E = \bigcup F_n$ (tout vecteur est combinaison finie) : contredit Baire (Théorème 7.6). L’espace $\R[X]$ a la base dénombrable $(X^n)$ , donc aucune norme ne le rend complet.

(b) Fixer $\delta > 0$ et une boule ouverte non vide $B$ ; on trouve dans $B$ un point de $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_xf < \delta\}$ , où $\operatorname{osc}_xf = \inf_{V \ni x}\operatorname{diam} f(V)$ . ( $\Omega_\delta$ est ouvert : si $\operatorname{diam}f(V) < \delta$ pour un ouvert $V \ni x$ , tout $y \in V$ a une oscillation $< \delta$ .) Les ensembles

F_N = \bigl\{x : \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \tfrac\delta3\ \ \forall\, n, m \geq N \bigr\}

sont fermés (intersections d’images réciproques de fermés) et recouvrent $\R$ (la convergence ponctuelle rend $(f_n(x))$ de Cauchy). Appliquer Baire dans le complet $\bar B$ : quelque $F_N \cap \bar B$ contient une boule $B' = B(x_0, \rho)$ . En faisant $m \to \infty$ : $\abs{f_N - f} \leq \frac\delta3$ sur $B'$ . Par continuité de $f_N$ en $x_0$ , rétrécir en $B'' \ni x_0$ où $\abs{f_N - f_N(x_0)} \leq \frac\delta3$ ; alors pour $x \in B''$ ,

\abs{f(x) - f(x_0)} \leq \abs{f - f_N}(x) + \abs{f_N(x) - f_N(x_0)} + \abs{f_N - f}(x_0) \leq \delta:

$\operatorname{diam} f(B'') \leq 2\delta$ , donc $x_0 \in \Omega_{3\delta} \cap B$ . Ainsi chaque $\Omega_\delta$ est ouvert et dense ; $\bigcap_k\Omega_{1/k}$ — l’ensemble des points de continuité — est dense par Baire.

Exercice 7.3 ★★

(a) Montrer que $f(x) = \frac12\bigl(x + \frac ax\bigr)$ ( $a > 1$ ) est une contraction de $[\sqrt a, +\infty)$ et identifier son point fixe — méthode d’Héron. Estimer le nombre d’itérations pour une précision $10^{-12}$ partant de $x_0 = a$ , pour $a = 2$ . (b) (Équation de Kepler) Pour $0 \leq e < 1$ et $m \in \R$ , montrer que $x = m + e\sin x$ a une unique solution, dépendant continûment de $m$ .

Solution

Solution de Exercice 7.3.

(a) $f(x) = \frac12(x + \frac ax)$ envoie $[\sqrt a, \infty)$ dans lui-même (AM–GM : $f(x) \geq \sqrt{x \cdot \frac ax} = \sqrt a$ ), et $f'(x) = \frac12(1 - \frac a{x^2}) \in [0, \frac12)$ là : une $\frac12$ -contraction lipschitzienne d’un ensemble fermé (complet). Point fixe : $x = f(x) \iff x^2 = a$ : $x^* = \sqrt a$ . Taux (Théorème 7.4) : $d(x_n, \sqrt a) \leq 2^{-n+1}\,d(x_1, x_0)$ . Pour $a = 2$ , $x_0 = 2$ : $d(x_1, x_0) = \frac12$ , donc $n = 40$ garantit $2^{-40} < 10^{-12}$ . (En réalité la méthode de Newton converge quadratiquement : une poignée d’itérations suffisent ; l’estimation de contraction est pessimiste mais gratuite.)

(b) $f_m(x) = m + e\sin x$ est $e$ -lipschitzienne avec $e < 1$ sur le complet $\R$ : unique point fixe $x(m)$ . Pour deux paramètres :

\abs{x(m) - x(m')} = \abs{f_m(x(m)) - f_{m'}(x(m'))} \leq \abs{m - m'} + e\abs{x(m) - x(m')},

donc $\abs{x(m) - x(m')} \leq \frac{\abs{m - m'}}{1 - e}$ : même lipschitzienne en $m$ .

Exercice 7.4 ★★

(a) Soit $X$ complet et $f \colon X \to X$ telle qu’une itérée $f^p$ est une contraction. Montrer que $f$ a un unique point fixe. Application : l’opérateur intégral $T$ sur $\mathcal C(\intcc0a)$ , $Tf(x) = \int_0^x f$ , satisfait $\norm{T^p} \leq a^p/p!$ — en déduire que $u = g + \lambda Tu$ est solvable pour tout $\lambda$ . (b) (Edelstein) Soit $K$ compact et $f\colon K \to K$ avec $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$ pour $x \neq y$ . Montrer que $f$ a un unique point fixe, mais que le taux de contraction peut se perdre : sur $X = [1, +\infty)$ (complet, non compact), $f(x) = x + \frac1x$ n’a pas de point fixe malgré des distances strictement décroissantes.

Solution

Solution de Exercice 7.4.

(a) Soit $x^*$ l’unique point fixe de $f^p$ . Alors $f^p(f(x^*)) = f(f^p(x^*)) = f(x^*)$ : $f(x^*)$ est un point fixe de $f^p$ , donc $f(x^*) = x^*$ . Un point fixe de $f$ en est un de $f^p$ : l’unicité se transfère. Pour $T$ : par induction $\abs{T^pf(x)} \leq \norm f_\infty x^p/p!$ (chaque intégration ajoute un facteur $\frac xk$ ), donc $\norm{T^p} \leq a^p/p!$ . L’application $S(u) = g + \lambda Tu$ satisfait $S^p(u) - S^p(v) = \lambda^pT^p(u - v)$ , de norme $\leq \abs\lambda^pa^p/p!\,\norm{u - v} \to 0$ : quelque $S^p$ est une contraction, et $S$ a un unique point fixe : l’équation de Volterra $u = g + \lambda Tu$ est uniquement solvable pour tout $\lambda$ .

(b) $\varphi(x) = d(x, f(x))$ est continue sur le compact $K$ : elle atteint son minimum en quelque $x_0$ . Si $f(x_0) \neq x_0$ , alors $\varphi(f(x_0)) = d(f(x_0), f^2(x_0)) < d(x_0, f(x_0)) = \min\varphi$ : absurde. Unicité : deux points fixes $x \ne y$ donneraient $d(x,y) = d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ . Sans compacité : $f(x) = x + \frac1x$ sur $[1, \infty)$ satisfait, pour $x < y$ , $f(y) - f(x) = (y - x)\bigl(1 - \frac1{xy}\bigr) < y - x$ , pourtant $f(x) > x$ toujours : pas de point fixe — la décroissance stricte des distances est plus faible qu’un facteur de contraction uniforme.

Exercice 7.5 ★★

(a) Deux applications continues vers un espace séparé coïncidant sur une partie dense coïncident partout ; où cela a-t-il été utilisé dans le chapitre (b) Soit $D \subseteq X$ dense et $f \colon D \to Y$ une bijection isométrique sur une partie dense d’un $Y$ complet, avec $X$ complet. Montrer que $f$ s’étend en une bijection isométrique $X \to Y$ . En déduire à nouveau l’unicité des complétés.

Solution

Solution de Exercice 7.5.

(a) L’ensemble $A = \{g = h\}$ est l’image réciproque de la diagonale $\Delta_Y$ sous $x \mapsto (g(x), h(x))$ , continue ; $\Delta_Y$ est fermée car $Y$ est séparé (pour $y_1 \neq y_2$ , des voisinages ouverts disjoints donnent un pavé ouvert autour de $(y_1, y_2)$ disjoint de la diagonale, donc le complémentaire de $\Delta_Y$ est ouvert) : donc $A$ est fermé, contient un dense, égale $X$ . Utilisé : unicité dans Théorème 7.2, donc dans l’unicité des complétés.

(b) $f$ , une isométrie, est uniformément continue : elle s’étend en $F\colon X \to Y$ (Théorème 7.2), encore isométrique (la relation $d(F(x), F(x')) = d(x, x')$ tient sur un dense de paires et les deux côtés sont continus). De même $f^{-1}\colon f(D) \to X$ s’étend en $G \colon Y \to X$ . Le composé $G \circ F$ est continu et fixe le dense $D$ : c’est $\mathrm{id}_X$ (partie (a)) ; symétriquement $F \circ G = \mathrm{id}_Y$ . Donc $F$ est une bijection isométrique. Unicité des complétés : appliquer ceci à $D = X$ densément assis dans deux complétés.

Exercice 7.6 ★★

Lesquelles des familles suivantes sont équicontinues, bornées ponctuellement, relativement compactes dans $\mathcal C(\intcc01)$

\{x \mapsto \sin(nx)\}_{n},\qquad \{x \mapsto x^n\}_n,

\Bigl\{f \in \mathcal C^1 : \norm f_\infty \leq 1,\ \norm{f'}_\infty \leq 1\Bigr\},\qquad \{f : \operatorname{Lip}(f)\leq 1,\ f(0) = 0\}.

Justifier chaque réponse par Ascoli ou une suite contre-exemple.

Solution

Solution de Exercice 7.6.

$\{\sin(nx)\}$ : bornée ponctuellement par $1$ ; pas équicontinue : en $x = 0$ , $\sin(n\cdot\frac{\pi}{2n}) = 1$ avec $\frac\pi{2n} \to 0$ , violant tout $\delta$ commun pour $\varepsilon = \frac12$ . Pas relativement compacte (nécessité d’Ascoli, Théorème 7.11).

$\{x^n\}$ : bornée ; pas équicontinue en $1$ : $1 - (1 - \delta)^n \to 1$ quand $n \to \infty$ pour $\delta$ fixé. Pas relativement compacte — cohérent, sa limite ponctuelle est discontinue, donc aucune sous-suite ne converge uniformément.

$\{\norm f_\infty \leq 1, \norm{f'}_\infty \leq 1\}$ : l’inégalité des accroissements finis rend la famille $1$ -lipschitzienne, donc équicontinue ; bornée : relativement compacte par Ascoli. (Pas compacte : elle n’est pas fermée — les limites uniformes n’ont pas besoin d’être $\mathcal C^1$ ; son adhérence est les fonctions $1$ -lipschitziennes de norme $\leq 1$ .)

$\{\operatorname{Lip}(f) \leq 1, f(0) = 0\}$ : équicontinue ; bornée ponctuellement ( $\abs{f(x)} \leq x \leq 1$ ) ; et fermée sous les limites uniformes (l’inégalité de Lipschitz et la valeur en $0$ passent aux limites) : compacte.

Exercice 7.7 ★★★

(Opérateurs intégraux compacts) Soit $k \in \mathcal C(\intcc01^2)$ et, pour $f \in \mathcal C(\intcc01)$ , $Tf(x) = \int_0^1k(x,y)f(y)\,\dd y$ . (a) Montrer que $T$ envoie la boule unité de $\mathcal C(\intcc01)$ sur un ensemble équicontinu et uniformément borné ; conclure que $T$ est un opérateur compact : les images d’ensembles bornés sont relativement compactes. (b) En déduire que si $(f_n)$ est bornée, $(Tf_n)$ a une sous-suite uniformément convergente, et que $T$ ne peut être une bijection d’inverse continue. (L’image de la boule unité serait un voisinage compact de $0$ dans $\mathcal C(\intcc01)$ : interdit par le théorème de Riesz de deuxième année.)

Solution

Solution de Exercice 7.7.

(a) Pour $\norm f_\infty \leq 1$ : $\abs{Tf(x)} \leq \norm k_\infty$ , et

\abs{Tf(x) - Tf(x')} \leq \int_0^1\abs{k(x,y) - k(x',y)}\,\dd y \leq \omega_k\bigl(\abs{x - x'}\bigr),

où $\omega_k$ est un module de continuité uniforme de $k$ sur le carré compact (Heine) : l’image de la boule unité est uniformément bornée et équicontinue, donc relativement compacte (Ascoli). Par linéarité tout ensemble borné a une image relativement compacte : $T$ est un opérateur compact.

(b) L’énoncé de sous-suite est la définition de compacité relative appliquée à $\{Tf_n\}$ . Si $T$ était bijective d’inverse continue, alors $T(B(0,1)) \supseteq B(0, \varepsilon)$ pour quelque $\varepsilon > 0$ ( $T^{-1}$ continue en $0$ ) ; la boule fermée $\bar B(0,\varepsilon)$ , partie fermée du compact $\overline{T(B(0,1))}$ , serait compacte — impossible dans le $\mathcal C(\intcc01)$ de dimension infinie par le théorème de Riesz (deuxième année).

Exercice 7.8 ★★

Prouver ou infirmer, pour $f_n \colon \intcc01 \to \R$ continues : (a) $f_n \downarrow 0$ ponctuellement $\Rightarrow$ uniformément (Dini — le reprouver) ; (b) même chose sans monotonie ; (c) même chose avec monotonie mais $f$ discontinue ; (d) même chose avec monotonie, limite continue, mais sur $\intoo01$ .

Solution

Solution de Exercice 7.8.

(a) Dini : voir Lemme 7.13 — l’argument de recouvrement. (b) Faux : la bosse mobile $f_n(x) = \max(0, 1 - \abs{nx - 1})$ tend vers $0$ ponctuellement (pour $x > 0$ , $f_n(x) = 0$ dès que $n > 2/x$ ; $f_n(0) = 0$ ) mais $\norm{f_n}_\infty = 1$ . (c) Faux : $f_n(x) = x^n$ décroît vers la discontinue $\mathbf 1_{\{1\}}$ ; $\sup_{[0,1]}\abs{f_n - f} = \sup_{[0,1)} x^n = 1$ . (d) Faux : $x^n \downarrow 0$ ponctuellement sur le non-compact $\intoo01$ , avec $\sup_{(0,1)}x^n = 1$ . Chaque hypothèse de Dini est nécessaire.

Exercice 7.9 ★★

(a) (Les moments déterminent) Soit $f \in \mathcal C(\intcc01)$ avec $\int_0^1 f(x)\,x^n\,\dd x = 0$ pour tout $n \in \N$ . Montrer $f = 0$ . (Approximer $f$ uniformément par des polynômes et calculer $\int f^2$ .) (b) Montrer que les polynômes pairs sont denses dans $\mathcal C(\intcc01)$ mais pas dans $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ ; où l’hypothèse de Stone–Weierstrass échoue-t-elle (c) L’algèbre engendrée par $x \mapsto \eu^{\iu x}$ seule (sans $\eu^{-\iu x}$ ) est-elle dense dans $\mathcal C(S^1, \C)$ (Considérer $\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\dd t$ .)

Solution

Solution de Exercice 7.9.

(a) Par linéarité $\int_0^1 fP = 0$ pour tout polynôme $P$ . Choisir $P_n \to f$ uniformément (Corollaire 7.16) : $\int_0^1 f^2 = \lim\int_0^1 fP_n = 0$ , et la continue $f^2 \geq 0$ d’intégrale nulle s’annule identiquement.

(b) Sur $\intcc01$ : les polynômes en $x^2$ forment une algèbre avec constantes, séparant les points ( $x \mapsto x^2$ est injective sur $\intcc01$ ) : dense par Stone–Weierstrass. Sur $\intcc{-1}1$ : $x^2$ prend des valeurs égales en $\pm x$ , et de même tout polynôme en $x^2$ : une limite uniforme d’une telle suite est une fonction paire. Si des fonctions paires $g_n$ convergeaient uniformément vers l’identité, alors $x = \lim g_n(x) = \lim g_n(-x) = -x$ pour tout $x$ : absurde — pas dense. L’hypothèse de séparation échoue sur les paires $\{x, -x\}$ .

(c) Non. Pour $f$ dans l’algèbre $\mathcal A$ engendrée par les constantes et $\eu^{\iu t}$ — combinaisons linéaires de $\eu^{\iu nt}$ , $n \geq 0$ — on a $\Lambda(f) = \int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\,\dd t = 0$ (chaque $\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = 0$ ). $\Lambda$ est continue pour $\norm\cdot_\infty$ ( $\abs{\Lambda(f)}\leq 2\pi\norm f_\infty$ ), donc $\Lambda$ s’annule sur $\bar{\mathcal A}$ ; mais $\Lambda(\eu^{-\iu t}) = 2\pi \neq 0$ : $\eu^{-\iu t} \notin \bar{\mathcal A}$ . (Stone–Weierstrass ne s’applique pas : $\mathcal A$ n’est pas stable par conjugaison — et l’obstruction est précisément celle que la théorie des fonctions holomorphes systématisera dans le Chapitre 16.)

Exercice 7.10 ★★★

(Bornitude uniforme, version métrique) Soit $X$ un espace métrique complet et $\mathcal F \subseteq \mathcal C(X, \R)$ une famille ponctuellement bornée : $\sup_{f \in \mathcal F}\abs{f(x)} < \infty$ pour chaque $x$ . Montrer qu’il existe un ouvert non vide $U \subseteq X$ sur lequel $\mathcal F$ est uniformément bornée : $\sup_{f}\sup_U \abs f < \infty$ . (Considérer $F_n = \{x : \abs{f(x)} \leq n\ \forall f\}$ .) C’est le moteur de Banach–Steinhaus dans le Chapitre 8.

Solution

Solution de Exercice 7.10.

$F_n = \bigcap_{f \in \mathcal F}\{x : \abs{f(x)} \leq n\}$ est une intersection de fermés : fermé. La bornitude ponctuelle donne $X = \bigcup_n F_n$ . Baire (Théorème 7.6) fournit $n_0$ avec $U = \mathring F_{n_0} \neq \varnothing$ : sur $U$ , $\abs f \leq n_0$ pour toute $f \in \mathcal F$ simultanément.

Exercice 7.11 ★★

( $\mathcal C^1$ a besoin de sa propre norme) Sur $E = \mathcal C^1(\intcc01, \R)$ considérer $\norm f_{\mathcal C^1} = \norm f_\infty + \norm{f'}_\infty$ . (a) Montrer que $(E, \norm\cdot_{\mathcal C^1})$ est complet (une suite $\mathcal C^1$ -Cauchy a $f_n \to f$ et $f_n' \to g$ uniformément ; identifier $g = f'$ en passant à la limite dans $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'$ ). (b) Montrer que $(E, \norm\cdot_\infty)$ n’est pas complet : exhiber une limite uniforme de fonctions $\mathcal C^1$ qui n’est pas dérivable (p. ex. des approximations lisses de $\abs{x - \tfrac12}$ ). (c) Déduire de (a), (b) et du cercle d’idées de l’application ouverte — ou directement — qu’aucune constante $C$ ne satisfait $\norm{f'}_\infty \leq C\,\norm f_\infty$ sur $E$ : exhiber une suite le prouvant. La dérivation est non bornée ; c’est la falaise derrière Théorème 7.9.

Solution

Solution de Exercice 7.11.

(a) Une suite de Cauchy pour $\norm\cdot_{\mathcal C^1}$ est uniformément de Cauchy avec ses dérivées : $f_n \to f$ et $f_n' \to g$ uniformément, avec $f, g$ continues. En passant à la limite (la convergence uniforme le permet sous l’intégrale) dans $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'(t)\,\dd t$ on obtient $f(x) = f(0) + \int_0^xg$ : $f$ est $\mathcal C^1$ avec $f' = g$ , et $\norm{f_n - f}_{\mathcal C^1} \to 0$ . Complet.

(b) $h(x) = \abs{x - \frac12}$ est une limite uniforme de fonctions $\mathcal C^1$ , p. ex. $h_n(x) = \sqrt{(x - \frac12)^2 + \frac1n}$ ( $\abs{h_n - h} \leq \frac1{\sqrt n}$ par la borne de quantité conjuguée), pourtant $h \notin E$ : la norme sup sur $E$ n’est pas complète — son complété est $\mathcal C(\intcc01)$ .

(c) $f_n(x) = \sin(2\pi nx)$ a $\norm{f_n}_\infty = 1$ et $\norm{f_n'}_\infty = 2\pi n \to \infty$ : aucun $C$ n’existe. (Conceptuellement : si la dérivation était bornée pour la norme sup, les deux normes de (a)–(b) seraient équivalentes, rendant $(E, \norm\cdot_\infty)$ complet — contredisant (b). Cette non-bornitude est exactement pourquoi les fonctions continues génériques peuvent n’être dérivables nulle part, Théorème 7.9.)

Exercice 7.12 ★★★

(Lemme de Croft) Soit $f\colon\intoo0\infty\to\R$ continue et supposons que pour tout $x > 0$ , $f(nx) \to 0$ quand l’entier $n \to \infty$ . Montrer que $f(t) \to 0$ quand $t \to +\infty$ . (Fixer $\varepsilon > 0$ ; les ensembles $F_N = \{x > 0 : \abs{f(nx)} \leq \varepsilon\ \ \forall n \geq N\}$ sont fermés et recouvrent $\intoo0\infty$ ; Baire dans quelque intervalle $\intcc ab$ donne $N$ et un sous-intervalle $\intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$ ; alors les dilatés $\bigl[na', nb'\bigr]$ , $n \geq N$ , recouvrent tout un voisinage de $+\infty$ une fois $n(b' - a') \geq a'$ .) Où l’hypothèse « pour tout $x$ » (pas seulement $x$ rationnel) est-elle utilisée

Solution

Solution de Exercice 7.12.

Fixer $\varepsilon > 0$ . Chaque $F_N$ est une intersection sur $n \geq N$ d’images réciproques du fermé $\intcc{-\varepsilon}\varepsilon$ sous la continue $x \mapsto f(nx)$ : fermé. L’hypothèse dit que tout $x > 0$ est dans quelque $F_N$ . Par Baire appliqué dans le complet $\intcc ab$ (n’importe quels $0 < a < b$ ), quelque $F_N$ est dense dans un sous-intervalle ; étant fermé, il contient un intervalle $\intcc{a'}{b'}$ avec $0 < a' < b'$ . Alors pour tout $n \geq \max(N, \frac{a'}{b' - a'})$ , les intervalles $\intcc{na'}{nb'}$ et $\intcc{(n+1)a'}{(n+1)b'}$ se chevauchent ( $nb' \geq (n+1)a'$ ), donc

\bigcup_{n \geq n_0}\intcc{na'}{nb'} \supseteq \intco{n_0a'}{+\infty},

et tout $t \geq n_0a'$ s’écrit $t = nx$ avec $n \geq N$ , $x \in \intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$ : $\abs{f(t)} \leq \varepsilon$ . Donc $\limsup_{t\to\infty}\abs f \leq \varepsilon$ pour tout $\varepsilon$ : $f \to 0$ . L’hypothèse complète est nécessaire car $F_N$ doit recouvrir une valeur d’intervalle de $x$ — avec seulement les $x$ rationnels la réunion des $F_N$ est dénombrable et Baire ne donne rien ; il existe d’ailleurs des contre-exemples continus s’annulant le long de tous les rayons rationnels mais pas à l’infini.

7.6 Problème : le théorème d’existence de Peano

Problème 7.1

Problème de fin de semaine — existence de solutions de $x' = f(t, x)$ sans Lipschitz

Cauchy–Lipschitz (deuxième année ; reprouvé dans le Chapitre 19) exige $f$ lipschitzienne en $x$ . Peano (1890) : la continuité de $f$ suffit déjà pour l’existence — mais pas l’unicité. On le prouve avec les polygones d’Euler et Ascoli. Cadre : $f \colon R \to \R^d$ continue sur le rectangle $R = \intcc{t_0 - a}{t_0 + a}\times \bar B(x_0, b) \subseteq \R\times\R^d$ , $M = \sup_R\norm f$ , et

T = \min\bigl(a,\ b/M\bigr) \qquad (\text{si } M = 0 \text{ le problème est trivial}).

Partie I — Polygones d’Euler. Pour $n \geq 1$ , subdiviser $[t_0, t_0 + T]$ par $t_k = t_0 + kT/n$ ( $0 \leq k \leq n$ ) et définir $\varphi_n$ affine par morceaux : $\varphi_n(t_0) = x_0$ et, sur $[t_k, t_{k+1}]$ ,

\varphi_n(t) = \varphi_n(t_k) + (t - t_k)\,f\bigl(t_k, \varphi_n(t_k)\bigr).

Montrer par induction que $\varphi_n$ est bien définie, avec $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq M(t - t_0) \leq b$ sur $[t_0, t_0 + T]$ — donc les points d’évaluation restent dans $R$ . (C’est là qu’entre $T \leq b/M$ .)
Montrer que chaque $\varphi_n$ est $M$ -lipschitzienne.
Déduire d’Arzelà–Ascoli (Théorème 7.11) qu’une sous-suite $(\varphi_{n_j})$ converge uniformément sur $[t_0, t_0 + T]$ vers quelque $\varphi$ , elle-même $M$ -lipschitzienne avec $\varphi(t_0) = x_0$ .

Partie II — La limite résout l’équation. Définir le défaut $\Delta_n(t) = \varphi_n'(t) - f\bigl(t, \varphi_n(t)\bigr)$ hors des nœuds de grille.

Montrer que $f$ est uniformément continue sur $R$ , et en déduire : pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $n_0$ tel que pour $n \geq n_0$ et tout $t$ non nœud, $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ . (Sur $(t_k, t_{k+1})$ , $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$ , et $(t, \varphi_n(t))$ est à distance $(1 + M)\,T/n$ de $(t_k, \varphi_n(t_k))$ .)
Établir la forme intégrale : pour tout $t$ ,

$\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, \varphi_n(s)\bigr)\dd s + \int_{t_0}^t \Delta_n(s)\,\dd s,$

l’intégrande du milieu étant continue par morceaux.
Passer à la limite le long de $(n_j)$ : montrer $f(s, \varphi_{n_j}(s)) \to f(s, \varphi(s))$ uniformément (continuité uniforme de $f$ encore), et conclure

$\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f\bigl(s, \varphi(s)\bigr)\dd s .$
En déduire que $\varphi$ est $\mathcal C^1$ sur $[t_0, t_0 + T]$ et résout $x' = f(t, x)$ , $x(t_0) = x_0$ ; étendre la construction à $[t_0 - T, t_0]$ (renversement du temps). C’est le théorème de Peano.

Partie III — L’unicité échoue vraiment. Considérer $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ , sur $\R$ .

Vérifier que $f(x) = 2\sqrt{\abs x}$ est continue mais pas lipschitzienne sur aucun voisinage de $0$ .
Vérifier que $x \equiv 0$ et, pour tout $c \geq 0$ ,

$x_c(t) = \begin{cases} 0 & t \leq c,\\ (t - c)^2 & t \geq c,\end{cases}$

sont toutes solutions passant par $(0,0)$ : un continuum de solutions distinctes.
Où l’argument d’itération de Picard (point fixe de Banach) casse-t-il pour cette $f$

Partie IV — Limites de la méthode.

Montrer que le théorème de Peano échoue en dimension infinie : on admet (ou on peut prendre sur foi) l’exemple classique de Dieudonné dans l’espace $c_0$ des suites nulles ; à la place, prouver l’ingrédient de dimension finie qui y échoue : la boule unité fermée de $c_0$ (norme sup) n’est pas compacte — exhiber une suite bornée sans sous-suite convergente, et expliquer quelle étape de la partie I casse.
Résumer : quelles hypothèses donnent l’existence l’existence et l’unicité ? Énoncer précisément les deux théorèmes (Peano ; Cauchy–Lipschitz) côte à côte.

Partie V — Osgood : unicité au-delà de Lipschitz. Soit $\omega\colon\intoo0\infty\to\intoo0\infty$ continue, croissante, avec

\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} = +\infty \qquad(\text{divergence en } 0),

et supposons que $f$ satisfait $\norm{f(t, x) - f(t, y)} \leq \omega\bigl(\norm{x - y}\bigr)$ sur $R$ .

Vérifier que $\omega(r) = Lr$ qualifie (Lipschitz), que $\omega(r) = r\log\frac1r$ (étendue par continuité, pour $r$ petit) qualifie bien qu’elle ne soit pas $O(r)$ , et que $\omega(r) = 2\sqrt r$ ne qualifie pas. Calculer l’intégrale dans chaque cas.
Soient $x_1, x_2$ solutions de l’équation sur $[t_0, t_0 + T]$ avec $x_1(t_0) = x_2(t_0)$ , et $\delta(t) = \norm{x_1(t) - x_2(t)}$ . Montrer, à partir des formes intégrales seules, que pour $t_0 \leq s \leq t$ :

$\delta(t) \leq \delta(s) + \int_s^t\omega\bigl(\delta(v)\bigr)\dd v .$
(Théorème d’Osgood) Supposer $\delta(t_1) > 0$ pour quelque $t_1$ , et soit $\tau = \sup\{t \leq t_1 : \delta(t) = 0\}$ . Pour $s \in \intoo\tau{t_1}$ , poser $u(t) = \delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$ . Montrer $\delta \leq u$ , $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$ , et en déduire

$\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)} \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .$

Faire $s \downarrow \tau$ et dériver une contradiction avec la divergence de l’intégrale. Conclure : les solutions passant par une condition initiale commune coïncident — unicité sous la condition d’Osgood.
Tirer les conséquences : l’unicité Cauchy–Lipschitz est le cas $\omega(r) = Lr$ ; l’équation $x' = x\log\frac1{\abs x}$ (étendue par $0$ en $0$ ) a des solutions uniques bien que son second membre ne soit pas lipschitzien en $0$ ; et pour $x' = 2\sqrt{\abs x}$ la convergence de $\int_0\frac{\dd r}{2\sqrt r}$ est exactement ce qui laisse une solution quitter $0$ en temps fini — apparier la valeur de l’intégrale $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ avec le comportement d’échappement de $x_c$ .

Partie VI — Taux, schémas, entonnoirs.

(Lemme de Grönwall intégral) Soient $e, \eta \geq 0$ continues sur $[t_0, t_0+T]$ avec $e(t) \leq \int_{t_0}^t\bigl(L\,e(s) + \eta(s)\bigr)\dd s$ pour tout $t$ . Montrer

$e(t) \leq \frac{\sup\eta}{L}\bigl(\eu^{L(t - t_0)} - 1\bigr)$

(poser $G(t) = \int_{t_0}^t(Le + \eta)$ , noter $G' \leq LG + \sup\eta$ , et dériver $\eu^{-Lt}G(t)$ ).
(Euler converge avec un taux) Supposer maintenant $f$ $L$ -lipschitzienne en $x$ et $L'$ -lipschitzienne en $t$ sur $R$ . Combinant la borne de défaut de la question 4 (rendue quantitative : $\norm{\Delta_n} \leq (L' + LM)T/n$ ) avec la question 17, prouver

$\sup_{[t_0, t_0+T]}\norm{\varphi_n - \varphi} \;\leq\; \frac{(L' + LM)\,T}{n}\cdot \frac{\eu^{LT} - 1}{L} = O\Bigl(\frac1n\Bigr),$

où $\varphi$ est la solution : avec des données lipschitziennes toute la suite converge, avec un taux explicite — pas besoin de sous-suites. Pourquoi l’unicité promeut-elle la convergence sous-séquentielle en convergence pleine même sans ce calcul
(Le schéma choisit) Pour $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ : montrer que tout polygone d’Euler est identiquement zéro, donc le schéma converge vers la solution $x \equiv 0$ ; mais démarré en $x(0) = \varepsilon > 0$ il converge (quand $n \to \infty$ , puis $\varepsilon \to 0$ ) vers $t \mapsto t^2$ , une solution différente passant par l’origine. La non-unicité resurgit comme sensibilité du schéma numérique aux perturbations.
Montrer que l’ensemble $\mathcal S$ de toutes les solutions de $x' = f(t,x)$ , $x(t_0) = x_0$ sur $[t_0, t_0+T]$ (valeurs dans $\bar B(x_0, b)$ ) est non vide (partie II), uniformément $M$ -lipschitzien, et fermé dans $\bigl(\mathcal C([t_0, t_0+T], \R^d), \norm\cdot_\infty\bigr)$ ; conclure par Ascoli que $\mathcal S$ est compact. (Le théorème de Kneser ajoute que $\mathcal S$ est connexe ; on ne le prouvera pas.)
Vérifier le phénomène de Kneser sur l’exemple : pour $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ , sur $[0, 1]$ , montrer $\mathcal S = \{x_c : c \in \intcc0\infty\}$ avec $x_\infty \equiv 0$ (pour toute solution, poser $c = \sup\{t : x(t) = 0\}$ et intégrer $(\sqrt x)' = 1$ sur $\{x > 0\}$ ), que $c \mapsto x_c$ est continue de $\intcc0\infty$ (compactification d’Alexandroff, c’est-à-dire $c = \infty$ collé comme limite) vers $\mathcal C([0,1])$ , et conclure que $\mathcal S$ est bien compact et connexe — un entonnoir en forme de segment.
(Ensembles atteignables) Déduire de la question 20 que pour chaque $t$ fixé, l’ensemble atteignable $\mathcal S(t) = \{x(t) : x \in \mathcal S\}$ est compact ; le calculer pour l’exemple de la question 21 et vérifier qu’il est aussi connexe : $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ — tout état intermédiaire est atteint par quelque solution.

Partie VII — Compléments : dépendance, optimalité, et un schéma calculé à la main.

(Dépendance continue) Supposer $f$ $L$ -lipschitzienne en $x$ sur $R$ , et soient $x, y$ deux solutions de valeurs initiales $x_0, y_0$ en $t_0$ . En adaptant la preuve de la question 17 à l’inégalité $e(t) \leq \norm{x_0 - y_0} + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s$ , montrer

$\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x_0 - y_0}\, \eu^{L(t - t_0)},$

et vérifier sur $x' = Lx$ que la borne est atteinte : Grönwall est optimal. En déduire à nouveau l’unicité ( $x_0 = y_0$ ), et que le flot $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ est lipschitzien, de constante $\eu^{LT}$ , là où il est défini.
(Osgood est optimal) Réciproquement, soit $\omega$ continue, croissante, positive sur $\intoo0\infty$ , avec $\omega(r) \to 0$ quand $r \to 0^+$ mais

$\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} < +\infty,$

et étendre $f(x) = \omega(\abs x)$ par $f(0) = 0$ . Montrer que $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{\omega(r)}$ est une bijection croissante de $\intoc0{1}$ sur $\intoc0{\Omega(1)}$ , que son inverse $g$ résout $g' = \omega(g)$ avec $g(0^+) = 0$ , et que $g$ , étendue par $0$ pour $t \leq 0$ , est une solution $\mathcal C^1$ de $x' = f(x)$ passant par $(0, 0)$ distincte de $x \equiv 0$ (pour $g'(0) = 0$ , borner $\frac{g(t)}t$ par $\omega(g(t))$ ). Conclure : l’hypothèse de divergence de la question 15 n’est pas une commodité mais la frontière exacte de l’unicité ; retrouver la partie III depuis $\omega(r) = 2\sqrt r$ , $\Omega(x) = \sqrt x$ .
(Euler calculé à la main) Pour $x' = x$ , $x(0) = 1$ sur $[0, 1]$ : montrer que le polygone d’Euler satisfait $\varphi_n(1) = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ . Prouver le développement

$\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n} = \eu\Bigl(1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr) \Bigr),$

donc l’erreur en $t = 1$ est $\frac{\eu}{2n} + O(n^{-2})$ : le taux $O(\frac1n)$ de la question 18, avec la constante exacte. Vérifier numériquement pour $n = 10$ : $1.1^{10} = 2.59374$ contre $\eu \approx 2.71828$ , une erreur $0.12454$ à comparer avec $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$ .

Solution

Solution de Problème 7.1.

1. Induction sur $k$ : si $\norm{\varphi_n(t_k) - x_0} \leq M(t_k - t_0) \leq MT \leq b$ , le point $(t_k, \varphi_n(t_k))$ est dans $R$ , donc la pente $f(t_k, \varphi_n(t_k))$ est définie, de norme $\leq M$ ; alors pour $t \in [t_k, t_{k+1}]$ , $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq \norm{\varphi_n(t_k) - x_0} + M(t - t_k) \leq M(t - t_0) \leq MT \leq b$ .

2. Chaque morceau affine a une pente de norme $\leq M$ ; une fonction affine par morceaux à pentes bornées par $M$ est $M$ -lipschitzienne (chaîner via les nœuds).

3. La famille $(\varphi_n)$ est bornée ponctuellement (valeurs dans $\bar B(x_0, b)$ ) et équicontinue (constante de Lipschitz commune $M$ ) : Ascoli (Théorème 7.11) extrait $\varphi_{n_j} \to \varphi$ uniformément sur $[t_0, t_0 + T]$ . Les bornes passent à la limite : $\varphi$ est $M$ -lipschitzienne, $\varphi(t_0) = x_0$ .

4. $R$ est compact et $f$ continue : uniformément continue (Heine, Corollaire 6.17) ; soit $\delta(\varepsilon)$ un module. Pour $t$ non nœud $\in (t_k, t_{k+1})$ : $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$ , et les deux points d’évaluation de $f$ diffèrent de $\abs{t - t_k} \leq T/n$ en temps et $\norm{\varphi_n(t) - \varphi_n(t_k)} \leq MT/n$ en espace. Pour $n \geq n_0$ avec $(1 + M)T/n_0 < \delta(\varepsilon)$ : $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ .

5. Sur chaque $[t_k, t_{k+1}]$ , $\varphi_n$ est affine, donc $\varphi_n(t_{k+1}) - \varphi_n(t_k) = \int_{t_k}^{t_{k+1}} \varphi_n'(s)\dd s$ , la dérivée étant la pente constante ; en sommant sur les morceaux (et en coupant le dernier en $t$ ) : $\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^t\varphi_n'(s)\,\dd s$ . En écrivant $\varphi_n' = f(s, \varphi_n(s)) + \Delta_n(s)$ (intégrandes continues par morceaux, un nombre fini de sauts) on obtient l’affichage.

6. Étant donné $\varepsilon$ : pour $j$ grand, $\norm{\varphi_{n_j} - \varphi}_\infty < \delta(\varepsilon)$ , donc $\norm{f(s, \varphi_{n_j}(s)) - f(s, \varphi(s))} \leq \varepsilon$ pour tout $s$ : convergence uniforme des intégrandes, et $\int_{t_0}^t f(s,\varphi_{n_j}(s))\dd s \to \int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\dd s$ uniformément en $t$ . Aussi $\norm{\int_{t_0}^t\Delta_{n_j}} \leq T\sup\norm{\Delta_{n_j}} \to 0$ (question 4). En passant à la limite dans l’identité de la question 5 : $\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\,\dd s$ .

7. L’intégrande $s \mapsto f(s, \varphi(s))$ est continue, donc le second membre est $\mathcal C^1$ en $t$ de dérivée $f(t, \varphi(t))$ : $\varphi$ résout le problème de Cauchy sur $[t_0, t_0 + T]$ . Pour la moitié gauche, poser $g(t, x) = -f(2t_0 - t, x)$ , continue sur le rectangle réfléchi avec la même borne $M$ ; une solution $\psi$ de $y' = g(t,y)$ , $y(t_0) = x_0$ sur $[t_0, t_0 + T]$ donne $\varphi(t) = \psi(2t_0 - t)$ résolvant l’équation originale sur $[t_0 - T, t_0]$ ; les deux moitiés se recollent en une solution $\mathcal C^1$ (les deux dérivées unilatérales en $t_0$ valent $f(t_0, x_0)$ ). — Théorème de Peano : une $f$ continue admet une solution locale par toute condition initiale.

8. La continuité est claire. Lipschitz près de $0$ échoue : $\abs{f(h) - f(0)} = 2\sqrt h$ , et $2\sqrt h \leq L h$ est faux pour $h < 4/L^2$ .

9. Pour $t \leq c$ : $x_c \equiv 0$ résout. Pour $t \geq c$ : $x_c'(t) = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{x_c}}$ . En $t = c$ les dérivées unilatérales valent toutes deux $0$ : $x_c$ est $\mathcal C^1$ et résout globalement, avec $x_c(0) = 0$ pour tout $c \geq 0$ — avec $x \equiv 0$ , un continuum de solutions par l’origine.

10. L’itération de Picard pose $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_0^t f(x(s))\dd s$ et a besoin de $\norm{\Phi(x) - \Phi(y)} \leq k\norm{x - y}$ avec $k < 1$ sur une boule convenable — ce qui suit d’une borne de Lipschitz sur $f$ , transférée sous l’intégrale. Ici $\sqrt\cdot$ n’admet aucune borne de Lipschitz près de $0$ , et aucun choix d’intervalle ou de boule ne le répare. Et en effet aucune preuve d’unicité ne pourrait réussir : l’unicité est fausse (question 9).

11. Dans $c_0$ , les vecteurs unitaires $e_n$ satisfont $\norm{e_n - e_m}_\infty = 1$ pour $n \neq m$ : aucune sous-suite n’est de Cauchy, donc la boule unité fermée n’est pas compacte. L’étape qui casse est l’extraction (question 3) : Ascoli pour $\mathcal C([t_0, t_0+T], E)$ exige que les valeurs vivent dans un espace où les ensembles bornés sont relativement compacts — vrai dans $\R^d$ (Bolzano–Weierstrass), faux dans $c_0$ .

12. Peano : $f$ continue au voisinage de $(t_0, x_0)$ dans $\R\times\R^d$ $\Rightarrow$ il existe une solution $\mathcal C^1$ de $x' = f(t,x)$ , $x(t_0) = x_0$ , sur quelque $[t_0 - T, t_0 + T]$ . Cauchy–Lipschitz (Chapitre 19) : si de plus $f$ est localement lipschitzienne en la variable $x$ , la solution est unique. La paire $(x' = 2\sqrt{\abs x},\ x(0) = 0)$ sépare les deux théorèmes.

13. $\omega(r) = Lr$ : $\int_0^1\frac{\dd r}{Lr} = +\infty$ : qualifie. $\omega(r) = r\log\frac1r$ : $\int\frac{\dd r}{r\log(1/r)} = \bigl[-\log\log\frac1r\bigr] \to +\infty$ : qualifie — pourtant $\omega(r)/r = \log\frac1r \to \infty$ : pas lipschitzien. $\omega(r) = 2\sqrt r$ : $\int_0^1\frac{\dd r}{2\sqrt r} = 1 < \infty$ : échoue.

14. Soustraire les deux formes intégrales et prendre les normes avec le module d’Osgood : $\delta(t) \leq \delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$ .

15. $\tau$ est bien défini ( $\delta(t_0) = 0$ ) avec $\delta(\tau) = 0$ et $\delta > 0$ sur $\intoc\tau{t_1}$ . Fixer $s \in \intoo\tau{t_1}$ . Alors $u$ est $\mathcal C^1$ , $u(s) = \delta(s) > 0$ , $u \geq \delta$ sur $[s, t_1]$ , et $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$ . Diviser et intégrer :

\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)} \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .

Le second membre est borné, tandis que le premier $\to +\infty$ quand $s \downarrow \tau$ (divergence en $0$ ) : contradiction. Donc $\delta \equiv 0$ : unicité.

16. Lipschitz est $\omega = Lr$ : unicité retrouvée. Pour $x' = x\log\frac1{\abs x}$ : le second membre satisfait le module d’Osgood $\omega(r) = r\log\frac1r$ près de $0$ : solutions uniques. Pour $\omega(r) = 2\sqrt r$ : $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ — le « budget d’Osgood » pour grimper de $0$ à la hauteur $h^2$ est exactement le temps $h$ , et en effet $x_c(c + h) = h^2$ .

17. $G(t) = \int_{t_0}^t(Le(s) + \eta(s))\dd s$ vérifie $G' \leq LG + \sup\eta$ . Alors $\bigl(\eu^{-Lt}(G + \tfrac{\sup\eta}L)\bigr)' \leq 0$ : $e(t) \leq G(t) \leq \frac{\sup\eta}L(\eu^{L(t-t_0)} - 1)$ .

18. Défaut quantitatif : $\norm{\Delta_n} \leq L'T/n + LMT/n$ . Soustraire les identités intégrales et utiliser la borne de Lipschitz avec la question 17 : la borne $O(1/n)$ énoncée. Même sans taux : toute sous-suite de $(\varphi_n)$ a une sous-sous-suite convergeant (Ascoli + partie II) vers une solution, que l’unicité force à être $\varphi$ : une suite dont toutes les sous-suites ont des sous-sous-suites de même limite converge.

19. Depuis $\varphi_n(t_k) = 0$ : la pente $0$ donne $\varphi_n \equiv 0$ . Depuis $\varepsilon > 0$ : sur $[\varepsilon', \infty)$ la fonction $2\sqrt x$ est lipschitzienne, donc Euler converge vers $(t + \sqrt\varepsilon)^2$ ; faire $\varepsilon \to 0$ atterrit sur $t^2$ , pas sur $0$ .

20. Non vide : partie II. Toute solution satisfait $\norm{x'} \leq M$ : $\mathcal S$ est uniformément $M$ -lipschitzienne et bornée. Fermée : passer à la limite dans la forme intégrale. Ascoli : $\mathcal S$ est compacte.

21. Toute solution est croissante avec $x(0) = 0$ . Soit $c = \sup\{t : x(t) = 0\}$ ; pour $t > c$ , $(\sqrt x)' = 1$ , donc $x = x_c$ . La famille se réduit à $\{x_c : c \in [0,1]\}$ (avec $x_1 = 0$ ), image continue du compact connexe $[0,1]$ : compacte et connexe.

22. L’évaluation $\operatorname{ev}_t$ est continue, donc $\mathcal S(t)$ est compacte et connexe. Pour l’exemple : $x_c(t) = (t - c)_+^2$ balaye $\intcc0{t^2}$ .

23. Soustraire les formes intégrales : $e(t) \leq d + \int_{t_0}^t L\,e$ ; Grönwall donne $e(t) \leq d\,\eu^{L(t-t_0)}$ . Optimalité sur $x' = Lx$ . Unicité pour $d = 0$ . Le flot est $\eu^{LT}$ -lipschitzien en la condition initiale.

24. $\Omega$ est une bijection croissante ; son inverse $g$ résout $g' = \omega(g)$ avec $g(0^+) = 0$ . Étendue par $0$ pour $t \leq 0$ , $g$ est une solution $\mathcal C^1$ distincte de $0$ : quand l’intégrale converge, l’unicité échoue. Pour $\omega(r) = 2\sqrt r$ : $g(t) = t^2$ , et les translations donnent la famille $x_c$ .

25. Avec pas $h = \frac1n$ : $\varphi_n(1) = (1 + \frac1n)^n$ . Le développement $n\log(1+\frac1n) = 1 - \frac1{2n} + O(n^{-2})$ donne $(1+\frac1n)^n = \eu(1-\frac1{2n}+O(n^{-2}))$ : erreur $\frac{\eu}{2n} + O(n^{-2})$ . Numériquement $n = 10$ : $1.1^{10} \approx 2.59374$ contre $\eu \approx 2.71828$ , erreur $0.12454$ vs $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$ .

En détail pour Osgood et les taux (questions 13–18) : le module $\omega(r) = Lr$ donne l’intégrale divergente $\int_0\frac{\dd r}{Lr} = +\infty$ , tandis que $2\sqrt r$ donne $\int_0^1\frac{\dd r}{2\sqrt r} = 1 < \infty$ , ce qui explique exactement pourquoi $x_c$ peut quitter $0$ en temps fini $h$ pour atteindre la hauteur $h^2$ . La preuve d’Osgood construit une majorante $u \geq \delta$ d’équation différentielle $u' \leq \omega(u)$ ; diviser par $\omega(u)$ et intégrer produit une borne inférieure de l’intégrale de $\frac{\dd r}{\omega(r)}$ par $t_1 - \tau$ , qui explose quand le bord inférieur $\delta(s)$ tend vers $0$ . Grönwall intégral suit en dérivant $\eu^{-Lt}G$ : le facteur exponentiel est optimal, atteint par $x' = Lx$ . Avec des données lipschitziennes, le défaut d’Euler est $O(\frac1n)$ , et Grönwall le convertit en erreur $O(\frac1n)$ sur la solution ; l’unicité promeut en outre la convergence sous-séquentielle (Ascoli) en convergence de toute la suite.

Pour l’entonnoir de solutions (questions 19–22) : le schéma d’Euler, démarré exactement en $0$ , reste en $0$ (pente nulle) ; démarré en $\varepsilon > 0$ , il converge vers $(t + \sqrt\varepsilon)^2$ , qui tend vers $t^2$ quand $\varepsilon \to 0$ — sensibilité numérique de la non-unicité. L’ensemble $\mathcal S$ de toutes les solutions est fermé (passage à la limite dans la forme intégrale), borné et équicontinu (borne $M$ ), donc compact par Ascoli. Pour $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $\mathcal S = \{x_c : c \in [0,1]\}$ est l’image continue d’un segment, donc compacte et connexe ; la section $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ montre que tout état intermédiaire est réalisé.

Pour l’optimalité et le calcul explicite (questions 23–25) : la dépendance lipschitzienne en la condition initiale suit de Grönwall avec terme constant $\norm{x_0 - y_0}$ . Quand $\int_0\frac{\dd r}{\omega(r)}$ converge, l’inverse de $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{\omega(r)}$ fournit une solution non nulle partant de $0$ : la divergence est la frontière exacte. Enfin $(1+\frac1n)^n = \eu(1-\frac1{2n}+O(n^{-2}))$ confirme le taux $O(\frac1n)$ avec constante exacte $\frac\eu2$ , vérifiée numériquement pour $n = 10$ .

Termes définis dans ce chapitre

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