Qu'est-ce que « module » ? — Mathématiques

Définition 3.1 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 3 — Modules sur un anneau principal

Un $A$ -module est un groupe abélien $(M, +)$ muni d’une multiplication scalaire $A \times M \to M$ vérifiant les axiomes d’espace vectoriel : $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ , $1x = x$ . Sous-modules, quotients $M/N$ , morphismes (applications $A$ -linéaires), sommes directes $\bigoplus_i M_i$ , et théorèmes d’isomorphisme se définissent et se démontrent mot pour mot comme pour les espaces vectoriels et les groupes abéliens ; en particulier $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ pour un morphisme $f$ .

Exemples

Exemple 3.2

Les trois cas motivants.

$A = K$ un corps : les modules sont les espaces vectoriels.
$A = \Z$ : les modules sont exactement les groupes abéliens ( $nx$ est forcé à valoir $x + \dots + x$ ), les sous-modules sont les sous-groupes.
$A = K[X]$ : un module est un $K$ -espace vectoriel $V$ muni de l’application $K$ -linéaire $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — réciproquement, toute paire $(V, u)$ avec $u \in \mathcal L(V)$ devient un $K[X]$ -module par $P \cdot x = P(u)(x)$ . Les sous-modules sont précisément les sous-espaces $u$ -stables.

Un idéal de $A$ est exactement un sous-module de $A$ ; un anneau quotient $A/I$ est un $A$ -module. Contrairement aux espaces vectoriels, les modules peuvent avoir de la torsion : dans $\Z/6\Z$ , l’élément $\bar 3 \ne 0$ est tué par $2 \neq 0$ .

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