Qu'est-ce que « valeur propre » ? — Mathématiques

Définition 3.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 3 — Réduction des endomorphismes

$\lambda \in K$ est une valeur propre de $u$ lorsque $u(x) = \lambda x$ pour un certain $x \neq 0$ (un vecteur propre) ; le sous-espace propre est $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$ . L’ensemble des valeurs propres est le spectre $\operatorname{Sp}(u)$ . Un sous-espace $F$ est stable lorsque $u(F) \subseteq F$ ; les sous-espaces propres sont stables, et les sous-espaces stables permettent de définir des endomorphismes induits $u|_F$ .

La matrice A = psmallmatrix2 & 1\\ 1 & 2 psmallmatrix agissant sur le plan : le vecteur générique e_1 est dévié de sa droite, mais les directions propres v_1 = (1,1) et v_2 = (1,-1) sont simplement étirées — par 3 et par 1 (donc Av_2 = v_2 : l’image en pointillés coïncide avec v_2). La diagonalisation est le changement vers la base (v_1, v_2), où A devient diag(3, 1). — La matrice $A = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ agissant sur le plan : le vecteur générique $e_1$ est dévié de sa droite, mais les directions propres $v_1 = (1,1)$ et $v_2 = (1,-1)$ sont simplement étirées — par $3$ et par $1$ (donc $Av_2 = v_2$ : l’image en pointillés coïncide avec $v_2$ ). La diagonalisation est le changement vers la base $(v_1, v_2)$ , où $A$ devient $\operatorname{diag}(3, 1)$ .

Exemples

Exemple 3.4 (Même $\chi$ , géométrie différente)

Les matrices

\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

partagent le polynôme caractéristique $(X - 2)^2$ , la trace, le déterminant, le spectre — pourtant elles ne sont pas semblables : la première a $E_2$ de dimension $2$ (multiplicité géométrique $2$ ), la seconde de dimension $1$ . Le polynôme caractéristique ne voit que les multiplicités algébriques ; les dimensions des sous-espaces propres sont l’invariant plus fin, et le polynôme minimal tranche ( $X - 2$ contre $(X - 2)^2$ ). Morale pour toute discussion de diagonalisabilité : $\chi$ présélectionne les candidats, mais ce sont les noyaux qui votent.

Exemple 3.8 (La diagonalisation mise à l’œuvre)

$A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ , avec $J$ la matrice remplie de $1$ : de $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ (Exemple 2.19), on tire $\operatorname{Sp}(A) = \{4, 1\}$ , avec sous-espaces propres $\R(1,1,1)$ et le plan $\{x + y + z = 0\}$ : dimensions $1 + 2 = 3$ , diagonalisable (Théorème 3.6 (2)). Puissances sans aucune matrice de changement de base : avec $\Pi = J/3$ le projecteur sur $\R(1,1,1)$ ,

A = 4\,\Pi + 1\cdot(I - \Pi) \quad\Longrightarrow\quad A^k = 4^k\,\Pi + (I - \Pi) = \frac{4^k - 1}{3}\,J + I .

(Vérification en $k = 1$ : $\frac{4-1}3 J + I = A$ .) L’idée finale : lorsque les sous-espaces propres sont visibles, les projecteurs spectraux calculent les puissances plus vite que $PDP^{-1}$ ne le fera jamais — et la formule affiche la dynamique : $A^k$ croît comme $4^k$ le long de $(1,1,1)$ et reste fixe sur le plan orthogonal.

Exemple 3.10 (Trigonaliser à la main)

$B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ : $\chi_B = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$ , et $\ker(B - 2I) = \ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ est la droite engendrée par $e_1' = (1, 1)$ : une seule valeur propre, un sous-espace propre de dimension $1$ — non diagonalisable, mais trigonalisable (Théorème 3.9). On complète la base avec $e_2' = (1, 0)$ et on calcule :

u(e_1') = (2, 2) = 2e_1', \qquad u(e_2') = (3, 1) = 1\cdot e_1' + 2\, e_2' ,

donc dans la base $(e_1', e_2')$ la matrice est $T = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$ . L’idée finale : la diagonale de $T$ était forcée (les deux entrées doivent être la valeur propre double $2$ ) ; seule l’entrée du coin dépendait du choix de $e_2'$ , et remettre $e_2'$ à l’échelle peut lui donner n’importe quelle valeur non nulle — le « $1$ » récalcitrant est l’ombre de la partie nilpotente que Dunford isolera.

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