Mathématiques universitaires — Licence 2 · Bachelor Year 2

20Intégrales curvilignes et intégrales multiples

Ce chapitre étend l’intégration des segments aux courbes et aux domaines du plan et de l’espace. Les intégrales curvilignes intègrent une forme différentielle $P\,\dd x + Q\,\dd y$ le long d’un arc orienté ; les intégrales doubles et triples intègrent des fonctions sur des domaines de dimension deux et trois. Les deux théories se rencontrent dans le théorème de Green-Riemann, le théorème fondamental de l’analyse en dimension deux, et l’outil de calcul principal tout au long est la formule de changement de variables, dont le facteur de distorsion est la valeur absolue du déterminant jacobien.

20.1 Intégrales curvilignes

Définition 20.1 (Forme différentielle ; intégrale curviligne)

Soit $U \subseteq \R^2$ un ouvert. Une forme différentielle de degré $1$ et de classe $\mathcal{C}^0$ sur $U$ est une expression $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ avec $P, Q \colon U \to \R$ continues — formellement, une application continue de $U$ dans le dual de $\R^2$ , $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$ . Pour un arc $\mathcal{C}^1$ $\gamma \colon [a, b] \to U$ , $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ , l’intégrale curviligne de $\omega$ le long de $\gamma$ est

\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

Les définitions s’étendent mot pour mot à $\R^3$ (formes $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$ ) et aux arcs $\mathcal{C}^1$ par morceaux (somme sur les morceaux).

Proposition 20.2 (Invariance et orientation)

L’intégrale curviligne est inchangée par un changement de paramètre $\mathcal{C}^1$ croissant, et change de signe sous un changement décroissant. Elle ne dépend donc que de l’arc géométrique orienté.

Démonstration. Si $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ est un changement de paramètre et $\tilde\gamma = \gamma \circ \theta$ , alors par la règle de la chaîne et le changement de variables à une variable $t = \theta(u)$ ,

\int_{\tilde\gamma}\omega = \int_c^d \bigl(P(\gamma(\theta(u)))\,x'(\theta(u)) + Q(\gamma(\theta(u)))\,y'(\theta(u))\bigr)\,\theta'(u)\,\dd u = \pm\int_a^b \bigl(Px' + Qy'\bigr)(t)\,\dd t ,

avec le signe $+$ si $\theta$ est croissant ( $\theta(c) = a$ ) et $-$ s’il est décroissant (les bornes s’échangent). ∎

Exemple 20.3 (Travail d’une force ; circulation)

Si $F = (P, Q)$ est un champ de forces, $\int_\gamma P\dd x + Q\dd y = \int_a^b \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle\,\dd t$ est le travail de $F$ le long de $\gamma$ . Pour $\omega = -y\,\dd x + x\,\dd y$ le long du cercle unité parcouru dans le sens direct $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ :

\int_\gamma \omega = \int_0^{2\pi}\bigl((-\sin t)(-\sin t) + \cos t\cos t\bigr)\,\dd t = 2\pi ,

deux fois l’aire délimitée — un premier indice de Green-Riemann.

Exemple 20.4 (Une intégrale, deux paramétrages, un piège de signe)

Calculons $\int_\gamma x\,\dd y$ le long du demi-cercle unité supérieur de $(1, 0)$ à $(-1, 0)$ . Avec $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ , $t \in \intcc0\pi$ :

\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

Avec le paramétrage par le graphe $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$ , $x$ allant de $1$ à $-1$ (attention au sens !) :

\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

( $x = \sin u$ le ramène à une intégrale de Wallis). Même valeur, comme le garantit la Proposition 20.2 — mais seulement parce que les deux parcours vont de $(1,0)$ à $(-1,0)$ ; inverser le sens de parcours change le signe. Refermer le chemin le long de l’axe des $x$ (où $\dd y = 0$ ) n’ajoute rien, et le total $\frac\pi2$ est l’aire du demi-disque : la première occurrence des formules aire-bord de Green-Riemann ci-dessous.

Définition 20.5 (Formes exactes et fermées)

La forme $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ de classe $\mathcal{C}^0$ est exacte sur $U$ s’il existe $f \in \mathcal{C}^1(U)$ (un potentiel) tel que $\omega = \dd f$ , c.-à-d. $P = f_x$ et $Q = f_y$ . Une forme $\mathcal{C}^1$ est fermée si $P_y = Q_x$ sur $U$ .

Théorème 20.6 (Théorème fondamental pour les intégrales curvilignes)

Si $\omega = \dd f$ est exacte et si $\gamma$ est un arc $\mathcal{C}^1$ par morceaux dans $U$ de $A$ à $B$ , alors

\int_\gamma \omega = f(B) - f(A) .

En particulier, l’intégrale d’une forme exacte le long de tout arc fermé est nulle, et toute forme $\mathcal{C}^1$ exacte est fermée.

Démonstration. $\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t)) = f_x(\gamma(t))x'(t) + f_y(\gamma(t))y'(t)$ par la règle de la chaîne (Chapitre 15), donc l’intégrande de la Définition 20.1 est la dérivée de $t \mapsto f(\gamma(t))$ , et le théorème fondamental de l’analyse donne le résultat sur chaque morceau ; les valeurs intermédiaires se télescopent. Le fait que les formes $\mathcal{C}^1$ exactes soient fermées est le théorème de Schwarz : $P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x$ . ∎

Exemple 20.7 (Reconstruction d’un potentiel)

Soit $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ sur $\R^2$ . Elle est fermée : les deux dérivées croisées valent $\eu^{xy}(1 + xy)$ . Pour trouver un potentiel, intégrons $P$ en $x$ à $y$ fixé :

f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),

puis ajustons $c$ en identifiant $f_y$ : $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ donne $c(y) = y^2$ . Donc $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$ , et pour tout arc $\mathcal C^1$ par morceaux de $(0,0)$ à $(1,1)$ ,

\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,

indépendamment du chemin — la recette en deux temps (intégrer en $x$ , corriger en $y$ ) est la réciproque pratique du Théorème 20.6 sur les domaines où les formes fermées sont exactes.

Exemple 20.8 (Fermée n’implique pas exacte)

Sur $U = \R^2 \setminus \{0\}$ , la forme angulaire

\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}

est fermée (calcul direct : $P_y$ et $Q_x$ valent tous deux $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$ ), mais son intégrale le long du cercle unité vaut $2\pi \neq 0$ (même calcul qu’à l’Exemple 20.3, divisé par $1$ ) : $\omega$ n’est pas exacte sur $U$ . Localement, $\omega = \dd\theta$ pour une détermination $\theta$ de l’angle polaire ; l’obstruction est globale — l’angle ne peut pas être défini continûment autour du point retiré. Sur les domaines sans trous, la pathologie disparaît : sur un ouvert étoilé, toute forme $\mathcal{C}^1$ fermée est exacte (lemme de Poincaré, Exercice 20.8).

20.2 Intégrales doubles

Nous admettons la théorie de l’intégrale de Riemann à une variable (volume de Licence 1, et Chapitre 9) et esquissons sa version à deux variables. Une fonction $f$ continue sur un rectangle $R = [a, b] \times [c, d]$ a une intégrale double $\iint_R f$ , définie par des sommes de Riemann sur des grilles exactement comme à une variable, et calculée par itération :

Théorème 20.9 (Fubini sur un rectangle)

Pour $f$ continue sur $R = [a,b] \times [c,d]$ ,

\iint_R f = \int_a^b \Bigl(\int_c^d f(x, y)\,\dd y\Bigr)\dd x = \int_c^d \Bigl(\int_a^b f(x, y)\,\dd x\Bigr)\dd y .

Démonstration. Posons $F(x) = \int_c^d f(x, y)\,\dd y$ . La continuité uniforme de $f$ sur le compact $R$ rend $F$ continue (majoration par domination : $\abs{F(x) - F(x')} \leq (d - c)\sup_y\abs{f(x,y) - f(x',y)}$ ). Subdivisons maintenant $[a,b]$ et $[c,d]$ en $n$ parts égales, ce qui donne une grille de cellules $R_{ij}$ d’aire $\Delta x\,\Delta y$ . Sur chaque cellule, $\inf_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y \leq \int_{x_{i-1}}^{x_i}\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x,y)\,\dd y\,\dd x \leq \sup_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y$ par croissance de l’intégrale à une variable (appliquée deux fois). En sommant sur les cellules, l’intégrale itérée $\int_a^b F$ est encadrée entre les sommes de Riemann inférieure et supérieure de la grille ; par continuité uniforme, les deux sommes convergent vers la valeur commune qui définit $\iint_R f$ lorsque $n \to \infty$ . Le même argument s’applique en échangeant les rôles de $x$ et $y$ , donc les deux intégrales itérées sont égales à $\iint_R f$ . ∎

Remarque 20.10

La continuité sur un rectangle compact joue un rôle essentiel dans la preuve de Fubini : c’est elle qui fournit la continuité uniforme encadrant les sommes de Riemann. Pour des intégrandes plus sauvages, l’énoncé est réellement en défaut — il existe des fonctions dont les deux intégrales itérées existent et diffèrent. Le théorème général honnête, avec l’intégrabilité pour seule hypothèse, est le théorème de Fubini pour l’intégrale de Lebesgue, prouvé dans le volume de Licence 3 ; tout ce chapitre reste dans le cadre continu où la preuve élémentaire ci-dessus est complète.

Définition 20.11 (Domaines élémentaires)

Un domaine $D \subseteq \R^2$ est élémentaire selon $y$ si

D = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}

avec $\varphi_1 \leq \varphi_2$ continues sur $[a,b]$ (élémentaire selon $x$ : symétriquement). Pour $f$ continue sur un domaine $D$ élémentaire selon $y$ ,

\iint_D f = \int_a^b\Bigl( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\dd y\Bigr)\dd x ,

et l’on vérifie (en prolongeant $f$ par un argument d’approximation, ou en subdivisant) que lorsque $D$ est élémentaire dans les deux directions les deux intégrales itérées coïncident. Les domaines découpés en un nombre fini de morceaux élémentaires se traitent par additivité, et l’aire de $D$ est $\operatorname {Area}(D) = \iint_D 1$ .

Exemple 20.12

Sur le triangle $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$ :

\iint_D xy \,\dd x\,\dd y = \int_0^1 x\Bigl(\int_0^x y\,\dd y\Bigr)\dd x = \int_0^1 x\cdot\frac{x^2}{2}\,\dd x = \frac18 .

En échangeant l’ordre ( $x$ allant de $y$ à $1$ ) : $\int_0^1 y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 - y^2}{2}\,\dd y = \frac18$ — même valeur, calcul différent : bien choisir l’ordre d’intégration, c’est la moitié du métier.

Exemple 20.13 (Quand un seul ordre fonctionne)

Calculons $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1 \eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$ . Telle qu’écrite, l’intégrale intérieure $\int\eu^{y^2}\dd y$ n’a pas de primitive élémentaire : le calcul est bloqué. Mais le domaine est le triangle $0 \leq x \leq y \leq 1$ , qui est élémentaire dans les deux directions ; en échangeant l’ordre,

I = \int_0^1\!\!\int_0^y \eu^{y^2}\,\dd x\,\dd y = \int_0^1 y\,\eu^{y^2}\,\dd y = \Bigl[\tfrac12\eu^{y^2}\Bigr]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2} .

La variable intérieure $x$ n’apparaissait nulle part dans l’intégrande, donc l’intégrer en premier a produit exactement le facteur $y$ qui rend l’intégrale extérieure immédiate. Morale : Fubini n’est pas seulement une autorisation d’itérer — c’est une autorisation de choisir, et le bon ordre peut transformer une intégrale impossible en une ligne. Tracez toujours le domaine et lisez-en les deux descriptions avant de commencer.

Théorème 20.14 (Changement de variables)

Soit $\Phi \colon U' \to U$ un difféomorphisme $\mathcal{C}^1$ entre ouverts de $\R^2$ , soit $K \subseteq U$ un domaine compact découpé en morceaux élémentaires avec $K' = \Phi^{-1}(K)$ , et soit $f$ continue sur $K$ . Alors

\iint_K f(x, y)\,\dd x\,\dd y = \iint_{K'} f\bigl(\Phi(u, v)\bigr)\, \abs{\det J_\Phi(u, v)}\,\dd u\,\dd v .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 20.15

La preuve complète — approcher $\Phi$ par sa différentielle sur une grille fine et contrôler les cellules du bord — est longue mais peu profonde ; elle est faite en entier dans la théorie de la mesure de Licence 3, comme conséquence de la théorie de Lebesgue. L’heuristique est l’image déjà utilisée pour l’aire d’une surface : un petit carré de côté $\dd u$ en $(u, v)$ est envoyé, au premier ordre, sur le parallélogramme engendré par $\Phi_u\,\dd u$ et $\Phi_v\,\dd v$ , dont l’aire est $\abs{\det J_\Phi}\,\dd u\,\dd v$ (Lemme 19.18).

Remarque 20.16 (Méthode : choisir le changement de variables)

Trois réflexes couvrent la plupart des cas. Symétrie de l’intégrande : $x^2 + y^2$ appelle les coordonnées polaires, une structure de produit appelle à conserver les axes cartésiens. Forme du bord : des bords $u(x,y) = c_1$ , $v(x,y) = c_2$ réclament les coordonnées $(u, v)$ elles-mêmes, comme dans l’exemple de la région hyperbolique ci-dessous — le domaine devient un rectangle, ce qui est toute la victoire. Structure linéaire : les expressions en $x + y$ et $x - y$ invitent à la rotation de $45$ degrés ou à une transvection (Exemple 20.18). Dans tous les cas, trois cases à cocher avant d’intégrer : l’application est une bijection du nouveau domaine sur l’ancien ; son jacobien est calculé dans le sens effectivement utilisé (inverser à la fin si c’est plus simple) ; et le jacobien intervient avec sa valeur absolue.

Exemple 20.17 (Coordonnées polaires)

$\Phi(\rho, \alpha) = (\rho\cos\alpha,\ \rho\sin\alpha)$ a

J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\rho\sin\alpha\\ \sin\alpha & \rho\cos\alpha \end{pmatrix}, \qquad \det J_\Phi = \rho ,

donc $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$ . Pour le disque $D_R$ de rayon $R$ :

\iint_{D_R} e^{-(x^2 + y^2)}\,\dd x\,\dd y = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R e^{-\rho^2}\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = \pi\bigl(1 - e^{-R^2}\bigr) \xrightarrow[R\to\infty]{} \pi .

La comparaison avec le carré $[-R, R]^2$ (encadré entre les disques $D_R$ et $D_{R\sqrt2}$ , tous les intégrandes étant positifs) donne $\bigl(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\dd x\bigr)^2 = \pi$ :

\boxed{\ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\dd x = \sqrt{\pi}\ }

— à nouveau l’intégrale de Gauss, cette fois par sa preuve la plus célèbre (comparer avec le calcul à une variable du Chapitre 9).

Exemple 20.18 (Changements de variables affines)

Pour une application affine $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ avec $M$ inversible, le jacobien est la matrice constante $M$ : les aires sont multipliées par le facteur constant $\abs{\det M}$ — la promesse faite au Chapitre 17 est maintenant un théorème. Deux usages immédiats. L’ellipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ est l’image du disque unité par $(u, v) \mapsto (au, bv)$ , donc son aire est $ab \cdot \pi$ — sans calcul. Et pour l’intégrale de $f(x + y)$ sur le carré $K = \intcc01^2$ , la transvection $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ (de déterminant $1$ ) la transforme en une intégrale de $f(u)$ sur un parallélogramme, que Fubini découpe à $u$ constant : avec $f = \exp$ ,

\iint_K \eu^{x+y}\,\dd x\,\dd y = \Bigl(\int_0^1 \eu^x\,\dd x\Bigr)^2 = (\eu - 1)^2,

comme le confirme la structure de produit. Choisir des coordonnées adaptées à l’intégrande — et non au domaine — est l’autre moitié du métier.

Exemple 20.19 (Coordonnées adaptées à un domaine curviligne)

Soit $D$ la région du premier quadrant délimitée par les hyperboles $xy = 1$ et $xy = 3$ et les droites $y = x$ et $y = 3x$ . Dans les coordonnées $u = xy$ , $v = y/x$ , le domaine devient le carré $\intcc13 \times \intcc13$ ; en inversant,

x = \sqrt{u/v}, \qquad y = \sqrt{uv}, \qquad \det J = x_uy_v - x_vy_u = \frac{1}{2v}

(un calcul de deux lignes avec $x = u^{1/2}v^{-1/2}$ , $y = u^{1/2}v^{1/2}$ ). D’où

\operatorname{Area}(D) = \int_1^3\!\!\int_1^3\frac{\dd u\,\dd v}{2v} = 2\cdot\frac{\ln 3}{2} = \ln 3 \approx 1.10 .

Vouloir découper $D$ en coordonnées cartésiennes revient à le couper en trois morceaux à bords hyperboliques et linéaires — faisable, sans joie, et propice aux erreurs. La morale reprend l’Exemple 20.18 dans toute sa force : lisez les équations du bord, et laissez-les choisir les coordonnées ; le jacobien convertit alors l’aire de la cellule du maillage curviligne, exactement comme $\rho$ le faisait pour les coordonnées polaires.

Exemple 20.20 (Valeurs moyennes)

La valeur moyenne de $f$ sur un domaine $D$ est $\frac1{\operatorname{Area}(D)}\iint_Df$ . Exemple : la distance moyenne au centre pour un point choisi uniformément dans le disque de rayon $R$ est

\frac{1}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R \rho\cdot\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = \frac{2\pi R^3/3}{\pi R^2} = \frac{2R}3 ,

et non $R/2$ : l’aire uniforme met plus de masse aux grands rayons (l’anneau au rayon $\rho$ a un poids proportionnel à $\rho$ ), donc la moyenne se situe au-delà de la mi-distance. Obtenir ce facteur correctement, c’est exactement le jacobien polaire à l’œuvre, et la même pondération explique que le centre de gravité $\bar z = 3R/8$ de la demi-boule, calculé plus loin dans le chapitre, ne soit pas $R/2$ .

20.3 Le théorème de Green-Riemann

Théorème 20.21 (Green-Riemann)

Soit $K \subseteq \R^2$ un domaine compact élémentaire dans les deux directions (ou une réunion finie de tels domaines recollés le long de segments), de bord $\partial K$ une courbe fermée $\mathcal{C}^1$ par morceaux orientée dans le sens direct (le domaine reste à gauche). Pour $P, Q$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un voisinage de $K$ :

\oint_{\partial K} P\,\dd x + Q\,\dd y = \iint_K \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,\dd x\,\dd y .

Démonstration. D’abord, les deux membres sont additifs lorsqu’on coupe $K$ le long d’un segment en deux morceaux $K_1, K_2$ : les intégrales doubles s’ajoutent par additivité de $\iint$ ; quant aux intégrales de bord, les bords orientés dans le sens direct de $K_1$ et $K_2$ parcourent chacun la coupe intérieure une fois, en sens opposés, de sorte que dans la somme

\oint_{\partial K_1} + \oint_{\partial K_2} = \oint_{\partial K} + (\text{coupe, dans les deux sens}) = \oint_{\partial K},

les deux passages le long de la coupe s’annulent (Proposition 20.2) et seul le bord extérieur subsiste. En itérant un nombre fini de coupes, il suffit de traiter un domaine élémentaire. Prouvons $\oint P\,\dd x = -\iint_K P_y$ sur un domaine $D = \{a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}$ élémentaire selon $y$ ; l’identité $\oint Q\,\dd y = \iint_K Q_x$ est symétrique (élémentaire selon $x$ ), et le théorème en est la somme.

Calculons l’intégrale double par Fubini et le théorème fondamental à une variable :

\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y = \int_a^b \bigl(P(x, \varphi_2(x)) - P(x, \varphi_1(x))\bigr) \,\dd x .

Maintenant le bord de $D$ , dans le sens direct, se compose de : le graphe inférieur $y = \varphi_1(x)$ parcouru de gauche à droite, le segment vertical droit $x = b$ (vers le haut), le graphe supérieur $y = \varphi_2(x)$ parcouru de droite à gauche, le segment vertical gauche $x = a$ (vers le bas). Le long des segments verticaux, $x$ est constant, donc ils contribuent $0$ à $\oint P\,\dd x$ ; les graphes, paramétrés par $x$ , donnent

\oint_{\partial D} P\,\dd x = \int_a^b P(x, \varphi_1(x))\,\dd x - \int_a^b P(x, \varphi_2(x))\,\dd x = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y . \qedhere

∎

Corollaire 20.22 (Aire par le bord)

Sous les hypothèses du Théorème 20.21,

\operatorname{Area}(K) = \oint_{\partial K} x\,\dd y = -\oint_{\partial K} y\,\dd x = \frac12\oint_{\partial K} x\,\dd y - y\,\dd x .

Démonstration. Appliquer Green-Riemann à $(P, Q) = (0, x)$ , $(-y, 0)$ et $\frac12(-y, x)$ : à chaque fois $Q_x - P_y = 1$ . ∎

Remarque 20.23 (Choisir parmi les trois formules d’aire)

Les trois formules de bord sont égales, non interchangeables en pratique. Utilisez $\oint x\,\dd y$ quand le paramétrage rend $\dd y$ simple (graphes au-dessus de l’axe des $y$ ), $-\oint y\,\dd x$ symétriquement, et la demi-somme symétrique quand le paramétrage traite $x$ et $y$ de façon équilibrée — pour l’ellipse elle a produit un intégrande constant, sans aucune linéarisation trigonométrique. Sur les bords polygonaux, la demi-somme devient la formule du lacet de l’Exercice 20.12, l’algorithme des arpenteurs. Et lorsque le bord est parcouru dans le sens horaire par le paramétrage donné, les trois formules renvoient moins l’aire : un résultat négatif n’est pas une erreur de calcul mais un rapport d’orientation — changez le signe, ou le paramétrage.

Exemple 20.24 (Aire de l’ellipse)

Pour $x = a\cos t$ , $y = b\sin t$ , $t \in [0, 2\pi]$ :

\operatorname{Area} = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(a\cos t \cdot b\cos t - b\sin t\cdot(-a\sin t)\bigr)\,\dd t = \frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}\dd t = \pi ab .

Exemple 20.25 (Green-Riemann comme vérification croisée)

Prenons $P = -y^3$ , $Q = x^3$ sur le disque unité fermé $D$ . Côté bord, avec $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ :

\oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y = \int_0^{2\pi}\bigl(\sin^4 t + \cos^4 t\bigr)\dd t = 2\pi\cdot\Bigl(\frac38 + \frac38\Bigr) = \frac{3\pi}2 ,

par linéarisation ( $\sin^4 + \cos^4 = \tfrac34 + \tfrac14\cos4t$ ). Côté intérieur :

\iint_D(Q_x - P_y)\,\dd x\,\dd y = \iint_D 3(x^2 + y^2)\,\dd x\,\dd y = 3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\rho^3\,\dd\rho\,\dd\alpha = \frac{3\pi}2 .

Même nombre, deux calculs très différents — et c’est là l’usage pratique : le membre le plus facile de l’identité de Green devient le calcul, l’autre une vérification. Pour les circulations de champs polynomiaux le long de courbes fermées, l’ intégrale double est presque toujours le membre facile.

Remarque 20.26

Green-Riemann explique l’Exemple 20.8 : pour une forme fermée ( $Q_x = P_y$ ), l’intégrale sur le bord de tout domaine contenu dans $U$ est nulle. La forme angulaire n’est pas exacte uniquement parce que le point retiré à l’origine empêche le disque bordé par le cercle unité de se trouver dans $U$ — les intégrales curvilignes des formes fermées détectent les trous du domaine. (Poussée plus loin, cette observation devient la cohomologie de de Rham.)

20.4 Intégrales triples

La théorie s’étend à trois variables sans idée nouvelle : Fubini ramène $\iiint$ à trois intégrales à une variable (soit par tranches : $\iiint_K f = \int\bigl(\iint_{K_z} f\bigr)\dd z$ sur les tranches horizontales $K_z$ , soit par empilement : en intégrant d’abord en $z$ le long de bâtonnets verticaux), et la formule de changement de variables vaut avec le jacobien $3 \times 3$ .

Exemple 20.27 (Coordonnées cylindriques et sphériques)

Cylindriques $(x, y, z) = (\rho\cos\alpha, \rho\sin\alpha, z)$ : $\dd x\,\dd y\,\dd z = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha\,\dd z$ . Sphériques $(x, y, z) = (r\cos\theta\cos\varphi,\ r\sin\theta\cos\varphi,\ r\sin\varphi)$ ( $\theta$ longitude, $\varphi \in [-\frac\pi2, \frac\pi2]$ latitude) : en développant le $3 \times 3$ déterminant selon la dernière ligne,

\det J = r^2\cos\varphi , \qquad \dd x\,\dd y\,\dd z = r^2\cos\varphi\;\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi .

Volume de la boule de rayon $R$ :

V = \int_0^R\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_{-\pi/2}^{\pi/2} r^2\cos\varphi\;\dd\varphi\,\dd\theta\,\dd r = \frac{R^3}{3}\cdot 2\pi \cdot 2 = \boxed{\frac43\pi R^3} ,

acquittant enfin la formule admise dans les chapitres de volume des livres précédents.

Exemple 20.28 (Le tétraèdre, deux fois)

Le volume de $T = \{x, y, z \geq 0,\ x + y + z \leq 1\}$ , par empilement : pour $(x, y)$ fixé dans le triangle $x + y \leq 1$ , $z$ parcourt $\intcc0{1 - x - y}$ , donc

V = \int_0^1\!\!\int_0^{1-x}(1 - x - y)\,\dd y\,\dd x = \int_0^1\frac{(1 - x)^2}{2}\,\dd x = \frac16 .

Par tranches : la section à hauteur $z$ est le triangle $\{x, y \geq 0,\ x + y \leq 1 - z\}$ , d’aire $\frac{(1-z)^2}2$ , et $V = \int_0^1\frac{(1-z)^2}2\,\dd z = \frac16$ à nouveau — les deux calculs sont les mêmes intégrales dans un ordre différent, ce qui est tout ce qu’affirme Fubini. La valeur $\frac16 = \frac13\cdot\frac12\cdot1$ est la formule du cône (Exemple 20.30) à base triangulaire, et la version en dimension $n$ , $1/n!$ , se démontre par exactement ce découpage en tranches dans le problème du week-end.

Exemple 20.29 (Centre de gravité d’une demi-boule)

Pour la demi-boule supérieure $H$ de rayon $R$ ( $z \geq 0$ ), la hauteur du centre de gravité est $\bar z = \frac1{V}\iiint_H z$ , avec $V = \frac23\pi R^3$ . En coordonnées sphériques ( $z = r\sin\varphi$ , $\varphi \in \intcc0{\pi/2}$ ) :

\iiint_H z = \int_0^R r^3\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta \int_0^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi = \frac{R^4}4\cdot2\pi\cdot\frac12 = \frac{\pi R^4}4 ,

donc

\bar z = \frac{\pi R^4/4}{2\pi R^3/3} = \frac{3R}8 :

le point d’équilibre d’un hémisphère plein se situe à trois huitièmes du rayon au-dessus de la face plate — en dessous de la mi-hauteur $R/2$ , comme il se doit, puisque le solide est plus épais près de la base. Tout calcul de centre de gravité a cette forme : une intégrale de moment, un volume, un rapport, et un contrôle de vraisemblance face à la géométrie.

Exemple 20.30 (Volume par tranches : le cône)

Un cône d’aire de base $A$ et de hauteur $h$ (sommet en haut, base à $z = 0$ ) : la tranche à hauteur $z$ est la base dilatée du facteur $(1 - z/h)$ , d’aire $A(1 - z/h)^2$ . D’où

V = \int_0^h A\Bigl(1 - \frac zh\Bigr)^2\dd z = \frac{Ah}{3} :

le un tiers des formules du lycée, valable pour n’importe quelle forme de base — le découpage en tranches la transforme en l’intégrale d’un carré.

Exemple 20.31 (Seuils d’intégrabilité dans le plan)

Pour quels $\alpha > 0$ l’intégrale $\iint_{D}\rho^{-\alpha}\,\dd x\,\dd y$ converge-t-elle sur le disque unité privé de l’origine $D$ (limite sur les anneaux $\varepsilon \leq \rho \leq 1$ ) ? En coordonnées polaires,

\int_0^{2\pi}\!\!\int_\varepsilon^1\rho^{-\alpha}\, \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\int_\varepsilon^1\rho^{1-\alpha}\,\dd\rho ,

qui converge lorsque $\varepsilon \to 0$ si et seulement si $1 - \alpha > -1$ , c.-à-d. $\alpha < 2$ : en dimension $2$ l’exposant critique de singularité est la dimension elle-même, le $\rho$ supplémentaire venu du jacobien adoucissant la singularité d’une puissance. (De même $\alpha < 3$ pour une singularité ponctuelle dans l’espace, via $r^2$ .) Une comptabilité radiale de ce type est la façon dont l’intégrabilité se décide d’un coup d’œil dans le cadre de Lebesgue de Licence 3 — et c’est la raison pour laquelle $\iiint 1/r$ convergeait sans effort à l’Exercice 20.7.

Remarque 20.32 (Pièges courants)

(i) Orientation : une intégrale curviligne change de signe avec le sens de parcours, et Green-Riemann exige le bord dans le sens direct (domaine à gauche) ; pour un domaine avec un trou, le bord intérieur est parcouru dans le sens horaire. (ii) Le jacobien intervient avec une valeur absolue : le changement de variables ne produit jamais d’aire négative, et oublier $\abs{\det}$ change généralement les signes précisément quand l’application renverse l’orientation. (iii) Le facteur polaire $\rho$ : $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$ , et non $\dd\rho\,\dd\alpha$ — l’erreur la plus fréquente de tout le chapitre ; l’analyse dimensionnelle la détecte, puisque $\dd\rho\,\dd\alpha$ a la dimension d’une longueur, non d’une aire. (iv) Intégrales doubles impropres : les limites sur des disques croissants et sur des carrés croissants coïncident ici parce que les intégrandes sont positifs (encadrement) ; pour des intégrandes changeant de signe, la limite peut dépendre de l’exhaustion, et aucune affirmation n’est faite sans convergence absolue. (v) Domaines contre intégrandes : un intégrande produit sur un domaine non produit ne factorise pas l’intégrale — la factorisation exige les deux, comme dans le carré de l’Exemple 20.17.

Remarque 20.33 (Perspectives au sein de ce volume)

L’intégrale de Gauss calculée ici est discrètement partout dans les chapitres de probabilités : la constante $\sqrt\pi$ à l’intérieur de la formule de Stirling (Théorème 6.13) est l’intégrale de ce chapitre, et via Stirling elle fixe l’asymptotique en $1/\sqrt{\pi n}$ des probabilités de retour de la marche aléatoire au Chapitre 21. Les intégrales de Wallis du problème du week-end y réapparaissent aussi, gouvernant les mêmes estimations du coefficient binomial central. Dans l’autre sens, les éléments d’aire et de volume de ce chapitre complètent la géométrie du Chapitre 19, et la formule de Green recalcule les aires des enveloppes du Chapitre 18 (l’astroïde, à l’Exercice 20.5). Un chapitre, trois services : la mesure pour la géométrie, les constantes pour les probabilités, et la discipline du changement de variables utilisée par les deux.

20.5 Exercices

Exercice 20.1 ★

Calculer $\int_\gamma y^2\,\dd x + x\,\dd y$ le long de : (a) le segment de $(0,0)$ à $(1,1)$ ; (b) l’arc de parabole $y = x^2$ de $(0,0)$ à $(1,1)$ . La forme est-elle exacte ?

Solution

Solution de Exercice 20.1.

(a) Segment $\gamma(t) = (t, t)$ , $t \in [0,1]$ :

\int_\gamma y^2\dd x + x\dd y = \int_0^1 (t^2 + t)\,\dd t = \frac13 + \frac12 = \frac56 .

(b) Parabole $\gamma(t) = (t, t^2)$ :

\int_0^1 \bigl(t^4\cdot 1 + t\cdot 2t\bigr)\dd t = \frac15 + \frac23 = \frac{13}{15} .

Les deux valeurs diffèrent, donc l’intégrale dépend du chemin : la forme n’est pas exacte — en cohérence, $P_y = 2y \neq 1 = Q_x$ , donc elle n’est même pas fermée.

Exercice 20.2 ★

Montrer que $\omega = (2xy + y^3)\,\dd x + (x^2 + 3xy^2 + 1)\,\dd y$ est fermée sur $\R^2$ , trouver un potentiel, et calculer $\int_\gamma\omega$ le long de tout arc de $(0, 0)$ à $(1, 2)$ .

Solution

Solution de Exercice 20.2.

$P = 2xy + y^3$ , $Q = x^2 + 3xy^2 + 1$ : $P_y = 2x + 3y^2 = Q_x$ , fermée sur $\R^2$ . Cherchons $f$ avec $f_x = P$ : $f = x^2y + xy^3 + g(y)$ ; puis $f_y = x^2 + 3xy^2 + g'(y) = Q$ force $g'(y) = 1$ , disons $g(y) = y$ . Donc

f(x, y) = x^2y + xy^3 + y

est un potentiel ( $\R^2$ est étoilé, donc un potentiel devait exister par le lemme de Poincaré — mais l’exhiber est plus rapide). Par le Théorème 20.6, pour tout arc de $(0,0)$ à $(1,2)$ :

\int_\gamma\omega = f(1, 2) - f(0, 0) = 2 + 8 + 2 = 12 .

Exercice 20.3 ★

Calculer $\iint_D (x + y)\,\dd x\,\dd y$ où $D$ est le domaine délimité par $y = x^2$ et $y = x$ ( $0 \leq x \leq 1$ ), dans les deux ordres d’intégration.

Solution

Solution de Exercice 20.3.

Le domaine est $\{0 \leq x \leq 1,\ x^2 \leq y \leq x\}$ . $y$ d’abord :

\int_0^1\!\int_{x^2}^{x}(x + y)\,\dd y\,\dd x = \int_0^1\Bigl(x(x - x^2) + \frac{x^2 - x^4}{2}\Bigr)\dd x = \int_0^1\Bigl(\frac{3x^2}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2}\Bigr)\dd x = \frac12 - \frac14 - \frac1{10} = \frac{3}{20} .

$x$ d’abord : la tranche à hauteur $y \in [0, 1]$ est $y \leq x \leq \sqrt y$ , donc

\int_0^1\!\int_{y}^{\sqrt y}(x + y)\,\dd x\,\dd y = \int_0^1\Bigl(\frac{y - y^2}{2} + y(\sqrt y - y)\Bigr)\dd y = \frac14 - \frac16 + \frac25 - \frac13 = \frac{3}{20} .

Exercice 20.4 ★★

En utilisant les coordonnées polaires, calculer $\iint_D \frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 + y^2)^2}$ sur le plan entier (comme limite sur des disques), et $\iint_{D'} xy\,\dd x\,\dd y$ sur le quart de disque $D' = \{x, y \geq 0,\ x^2 + y^2 \leq 1\}$ .

Solution

Solution de Exercice 20.4.

Première intégrale. Sur le disque $D_R$ , en coordonnées polaires :

\iint_{D_R}\frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 + y^2)^2} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R \frac{\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha}{(1 + \rho^2)^2} = 2\pi\Bigl[-\frac{1}{2(1 + \rho^2)}\Bigr]_0^R = \pi\Bigl(1 - \frac{1}{1 + R^2}\Bigr) \xrightarrow[R \to \infty]{} \pi .

Deuxième intégrale. Le quart de disque est $0 \leq \alpha \leq \frac\pi2$ , $0 \leq \rho \leq 1$ , et $xy = \rho^2\cos\alpha\sin\alpha$ :

\iint_{D'}xy\,\dd x\,\dd y = \int_0^{\pi/2}\!\!\cos\alpha\sin\alpha\,\dd\alpha \int_0^1 \rho^3\,\dd\rho = \frac12\cdot\frac14 = \frac18 .

Exercice 20.5 ★★

Calculer l’aire délimitée par l’astroïde $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ , $t \in [0, 2\pi]$ , en utilisant le Corollaire 20.22. (Linéariser $\sin^2 t\cos^2 t$ .)

Solution

Solution de Exercice 20.5.

Par le Corollaire 20.22 avec $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ : $x' = -3\cos^2 t\sin t$ , $y' = 3\sin^2 t\cos t$ , donc

xy' - yx' = 3\cos^4 t\sin^2 t + 3\sin^4 t\cos^2 t = 3\sin^2 t\cos^2 t = \frac{3}{4}\sin^2 2t = \frac{3}{8}(1 - \cos 4t) .

D’où

A = \frac12\int_0^{2\pi}\frac38(1 - \cos 4t)\,\dd t = \frac{3}{16}\cdot 2\pi = \frac{3\pi}{8} .

(L’astroïde tient dans le disque unité d’aire $\pi$ ; trois huitièmes de $\pi$ est plausible pour sa forme d’étoile à quatre pointes.)

Exercice 20.6 ★★

Calculer le volume du solide délimité par le bas par le paraboloïde $z = x^2 + y^2$ et par le haut par le plan $z = 1$ , par les deux méthodes : empilement (intégrer $1 - x^2 - y^2$ sur le disque unité, coordonnées polaires) et tranches (les tranches horizontales sont des disques de rayon $\sqrt z$ ).

Solution

Solution de Exercice 20.6.

Empilement : au-dessus de chaque $(x, y)$ du disque unité $D$ , $z$ va de $x^2 + y^2$ à $1$ :

V = \iint_D \bigl(1 - x^2 - y^2\bigr)\dd x\,\dd y = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 (1 - \rho^2)\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\Bigl(\frac12 - \frac14\Bigr) = \frac\pi2 .

Tranches : la tranche à hauteur $z \in [0, 1]$ est le disque $x^2 + y^2 \leq z$ , d’aire $\pi z$ :

V = \int_0^1 \pi z\,\dd z = \frac\pi2 .

Exercice 20.7 ★★

(Attraction gravitationnelle d’une boule — théorème de Newton, cas particulier) Montrer que le volume de la coquille sphérique $a \leq r \leq b$ est $\frac43\pi(b^3 - a^3)$ et calculer $\iiint_{B} \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r}$ sur la boule $B$ de rayon $R$ ( $r$ la distance à l’origine). (Coordonnées sphériques.)

Solution

Solution de Exercice 20.7.

En coordonnées sphériques, l’élément de volume est $r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$ (Exemple 20.27), et la partie angulaire s’intègre en $4\pi$ ( $2\pi$ pour $\theta$ , $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos = 2$ ). Le volume de la coquille est

\int_a^b 4\pi r^2\,\dd r = \frac43\pi\bigl(b^3 - a^3\bigr).

Pour la seconde intégrale, l’intégrande $1/r$ ne dépend que de $r$ :

\iiint_B \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r} = \int_0^R 4\pi r^2\cdot\frac1r\,\dd r = 4\pi\,\frac{R^2}{2} = 2\pi R^2 .

(L’intégrande explose à l’origine, mais sans dommage : $r^2/r = r$ est continue — l’intégrale sur les coquilles $\varepsilon \leq r \leq R$ converge lorsque $\varepsilon \to 0$ , ce qui est le sens précis de l’énoncé. Ce genre de calcul est le premier pas vers le théorème de Newton, selon lequel une boule homogène attire comme une masse ponctuelle en son centre.)

Exercice 20.8 ★★★

(Lemme de Poincaré, cas étoilé) Soit $U$ étoilé par rapport à $0$ (c.-à-d. $M \in U \Rightarrow [0, M] \subseteq U$ ) et $\omega = P\dd x + Q\dd y$ une forme $\mathcal{C}^1$ fermée sur $U$ . On pose

f(x, y) = \int_0^1 \bigl(x\,P(tx, ty) + y\,Q(tx, ty)\bigr)\dd t .

En utilisant la dérivation sous le signe intégral (Chapitre 9) et $P_y = Q_x$ , montrer que $f_x = P$ et $f_y = Q$ : toute forme fermée sur un ouvert étoilé est exacte.

Solution

Solution de Exercice 20.8.

L’intégrande $g(t; x, y) = xP(tx, ty) + yQ(tx, ty)$ est $\mathcal{C}^1$ en $(x, y)$ , continu en $t$ , avec des dérivées partielles continues sur $[0,1] \times U$ ; la dérivation sous le signe intégral (Chapitre 9, appliquée sur l’intervalle compact en $t$ $[0,1]$ , la domination y étant automatique) donne

f_x(x, y) = \int_0^1 \bigl(P(tx, ty) + tx\,P_x(tx, ty) + ty\,Q_x(tx, ty)\bigr)\dd t .

En utilisant le caractère fermé $Q_x = P_y$ :

tx\,P_x(tx, ty) + ty\,P_y(tx, ty) = t\,\frac{\dd}{\dd t}\bigl[P(tx, ty)\bigr] ,

donc l’intégrande est $P(tx, ty) + t\frac{\dd}{\dd t}P(tx, ty) = \frac{\dd}{\dd t}\bigl[t\,P(tx, ty)\bigr]$ et

f_x(x, y) = \Bigl[t\,P(tx, ty)\Bigr]_0^1 = P(x, y) .

Symétriquement $f_y = Q$ (même calcul avec $P_y = Q_x$ utilisé dans l’autre sens). Notons où l’hypothèse intervient : $f$ est définie en intégrant le long du segment $[0, M]$ , qui est inclus dans $U$ précisément parce que $U$ est étoilé.

Exercice 20.9 ★★★

(Intégrale de Dirichlet par intégration double) Justifier et exploiter

\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd y\,\dd x \quad\text{vs}\quad \int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd x\,\dd y

sur $[0, A] \times [0, \infty)$ : montrer $\int_0^A \frac{\sin x}{x}\dd x = \frac\pi2 - \int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\dd y$ et retrouver $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac\pi2$ , en comparant avec la preuve par intégrale à paramètre du Chapitre 9.

Solution

Solution de Exercice 20.9.

Sur la bande $[0, A] \times [0, \infty)$ , la fonction $(x, y) \mapsto e^{-xy}\sin x$ n’est pas absolument intégrable jusqu’à $y = \infty$ uniformément au sens naïf, mais chaque intégrale itérée converge et leur égalité découle de Fubini sur $[0, A] \times [0, B]$ plus un passage à la limite $B \to \infty$ (la queue $\int_0^A\int_B^\infty e^{-xy}\abs{\sin x}\,\dd y\,\dd x \leq \int_0^A \frac{e^{-Bx}\abs{\sin x}}{x}\dd x \leq \int_0^A e^{-Bx} \dd x\to 0$ , en utilisant $\abs{\sin x} \leq x$ ).

$y$ d’abord : $\int_0^\infty e^{-xy}\,\dd y = \frac1x$ pour $x > 0$ , donc la première intégrale est $\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x$ .

$x$ d’abord : deux intégrations par parties (ou en prenant la partie imaginaire de $\int_0^A e^{(i - y)x}\dd x$ ) donnent

\int_0^A e^{-xy}\sin x\,\dd x = \frac{1 - e^{-Ay}(y\sin A + \cos A)}{1 + y^2} .

En intégrant en $y$ sur $[0, \infty)$ , le terme $\int_0^\infty \frac{\dd y}{1 + y^2} = \frac\pi2$ se détache :

\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty e^{-Ay}\,\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\,\dd y .

Le reste est majoré par $\int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y + 1}{1 + y^2}\dd y \leq \int_0^\infty e^{-Ay}\cdot\frac{1+y}{1+y^2} \,\dd y \to 0$ lorsque $A \to \infty$ (convergence dominée, ou la majoration grossière $\frac{1 + y}{1 + y^2} \leq \frac32$ donnant $\frac{3}{2A}$ ). Donc $\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\dd x = \frac\pi2$ — la même valeur obtenue au Chapitre 9 en dérivant une intégrale à paramètre ; ici c’est Fubini qui fait le travail.

Exercice 20.10 ★★★

(Inégalité isopérimétrique via Wirtinger) Soit $\gamma$ une courbe fermée simple $\mathcal{C}^1$ de longueur $2\pi$ , paramétrée par l’abscisse curviligne sur $[0, 2\pi]$ , délimitant une aire $A$ . En utilisant le Corollaire 20.22, Parseval et l’inégalité de Wirtinger (exercices du Chapitre 14), prouver $A \leq \pi$ , avec égalité pour le cercle. (Normaliser $\int_0^{2\pi} x(s)\dd s = 0$ ; écrire $2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x$ et majorer $2A \leq \int (x^2 + y'^2)$ soigneusement via $2A = \int_0^{2\pi}(xy' - yx')\dd s$ et $x^2 + y'^2 \geq 2xy'$ .)

Solution

Solution de Exercice 20.10.

Paramétrons par l’abscisse curviligne $s \in [0, 2\pi]$ , de sorte que $x'^2 + y'^2 = 1$ , et translatons pour que $\int_0^{2\pi} x(s)\,\dd s = 0$ . Par le Corollaire 20.22,

2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x = \int_0^{2\pi}\bigl(xy' - yx'\bigr)\dd s .

En intégrant $\oint y\,\dd x$ par parties sur la période (les termes de bord s’annulent par périodicité), $-\int yx' = \int y'x$ , donc en fait $2A = 2\int_0^{2\pi}xy'\,\dd s$ . Alors $2xy' \leq x^2 + y'^2$ donne

2A \leq \int_0^{2\pi}\bigl(x^2 + y'^2\bigr)\dd s = \int_0^{2\pi} x^2 + \int_0^{2\pi}\bigl(1 - x'^2\bigr) = 2\pi - \int_0^{2\pi}\bigl(x'^2 - x^2\bigr)\dd s .

L’inégalité de Wirtinger (exercices du Chapitre 14 : pour une fonction $\mathcal{C}^1$ $2\pi$ -périodique de moyenne nulle, $\int x^2 \leq \int x'^2$ ) rend la dernière intégrale positive : $A \leq \pi$ . L’égalité requiert l’égalité dans Wirtinger ( $x(s) = a\cos s + b\sin s$ ) et dans $2xy' \leq x^2 + y'^2$ ( $y' = x$ ponctuellement), ce qui force $y = a\sin s - b\cos s + c$ : la courbe est le cercle unité (convenablement centré). Puisqu’une courbe de longueur $L$ se ramène par homothétie à la longueur $2\pi$ , l’énoncé général est $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$ : parmi toutes les courbes fermées de périmètre donné, le cercle délimite la plus grande aire.

Exercice 20.11 ★★

(Moments de la boule) Pour la boule $B$ de rayon $R$ dans $\R^3$ , calculer $\iiint_B z^2\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ en coordonnées sphériques, et en déduire $\iiint_B (x^2 + y^2 + z^2)\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ par symétrie. Vérifier ce dernier par le calcul en coquilles $\int_0^R r^2\cdot4\pi r^2\,\dd r$ .

Solution

Solution de Exercice 20.11.

En coordonnées sphériques $z = r\sin\varphi$ et $\dd x\,\dd y\,\dd z = r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$ :

\iiint_B z^2 = \int_0^R r^4\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi = \frac{R^5}5\cdot2\pi\cdot \Bigl[\frac{\sin^3\varphi}3\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{4\pi R^5}{15}.

Par la symétrie de la boule sous permutation des coordonnées, $\iiint_B x^2 = \iiint_B y^2 = \iiint_B z^2$ , donc $\iiint_B(x^2 + y^2 + z^2) = 3\cdot\frac{4\pi R^5}{15} = \frac{4\pi R^5}5$ . Vérification en coquilles : $\int_0^R r^2\cdot 4\pi r^2\,\dd r = \frac{4\pi R^5}5$ — l’intégrande $r^2$ est constant sur la sphère de rayon $r$ , d’aire $4\pi r^2$ .

Exercice 20.12 ★★

(Formule du lacet) Soit $K$ un polygone de sommets $(x_1, y_1), \dots, (x_m, y_m)$ dans le sens direct (indices modulo $m$ ). Déduire du Corollaire 20.22 que

\operatorname{Area}(K) = \frac12\sum_{i=1}^m \bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr) ,

et vérifier la formule sur le triangle $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ .

Solution

Solution de Exercice 20.12.

Paramétrons l’arête de $(x_i, y_i)$ à $(x_{i+1}, y_{i+1})$ par $\gamma(t) = \bigl((1-t)x_i + tx_{i+1},\ (1-t)y_i + ty_{i+1}\bigr)$ . Sa contribution à $\frac12\oint(x\,\dd y - y\,\dd x)$ est

\frac12\int_0^1\Bigl(\bigl((1-t)x_i + tx_{i+1}\bigr)(y_{i+1} - y_i) - \bigl((1-t)y_i + ty_{i+1}\bigr)(x_{i+1} - x_i)\Bigr)\dd t ,

et puisque $\int_0^1\bigl((1-t)u + tv\bigr)\dd t = \frac{u + v}2$ , ceci vaut

\frac14\Bigl((x_i + x_{i+1})(y_{i+1} - y_i) - (y_i + y_{i+1})(x_{i+1} - x_i)\Bigr) = \frac12\bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr),

les termes croisés s’annulant. En sommant sur les $m$ arêtes on obtient la formule du lacet, par le Corollaire 20.22. Triangle $(0,0), (1,0), (0,1)$ : $\frac12\bigl((0\cdot0 - 1\cdot0) + (1\cdot1 - 0\cdot0) + (0\cdot0 - 0\cdot1)\bigr) = \frac12$ , l’aire correcte.

20.6 Problème : le volume de la boule en dimension $n$

Problème 20.1

Problème du week-end — $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ , et l’étrangeté des grandes dimensions

Le disque a pour aire $\pi$ , la boule pour volume $\frac43\pi$ — et ensuite ? Ce problème calcule le volume de la boule unité de $\R^n$ pour tout $n$ , deux fois (par une récurrence par tranches guidée par les intégrales de Wallis, puis via la fonction $\Gamma$ et l’intégrale de Gauss de l’Exemple 20.17), puis en lit la géométrie : les volumes culminent en dimension cinq et se précipitent vers zéro, et presque toute une boule de grande dimension se cache dans une mince coquille près de son bord. Pour une fonction continue sur une boule de $\R^n$ , l’intégrale s’entend comme l’intégrale itérée $n$ fois (en tranchant une coordonnée à la fois, comme dans le chapitre pour $n \leq 3$ ) ; on note $B_n(R)$ la boule fermée de rayon $R$ centrée en $0$ , $v_n(R)$ son volume, et $V_n = v_n(1)$ , avec $V_0 = 1$ par convention.

Partie I — La récurrence par tranches.

En substituant $x_i = Ru_i$ dans chacune des $n$ intégrales itérées, montrer que $v_n(R) = V_nR^n$ .
En tranchant $B_n(1)$ selon sa dernière coordonnée, montrer que

$V_n = V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .$
Avec $t = \sin\theta$ , identifier l’intégrale à une intégrale de Wallis : $\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t = 2W_n$ , où $W_n = \int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = \int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,\dd\theta$ .
Prouver les deux identités de Wallis (intégrer par parties ; puis télescoper $nW_nW_{n-1}$ ) :

$W_n = \frac{n-1}nW_{n-2} \quad (n \geq 2), \qquad W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n} \quad (n \geq 1).$

Partie II — La récurrence résolue.

Combiner les questions 2 à 4 en la récurrence à deux pas

$V_n = \frac{2\pi}{n}\,V_{n-2} \qquad (n \geq 2).$
En déduire les expressions explicites, pour $k \geq 0$ :

$V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}, \qquad V_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots (2k+1)} .$
Tabuler $V_1, \dots, V_7$ numériquement. En utilisant le rapport $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n$ et les valeurs de $2W_5$ et $2W_6$ , prouver que la suite $(V_n)$ croît jusqu’à son maximum $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.26$ puis décroît à partir de là.
Montrer que $V_n \to 0$ plus vite que toute suite géométrique, et que $\sum_{n\geq1} V_n$ converge : toutes les boules unité ensemble ont un volume total fini.
Prouver l’identité génératrice

$\sum_{k\geq0} V_{2k}\,x^{2k} = \eu^{\pi x^2} \qquad (x \in \R),$

et en déduire $\sum_{k\geq0}V_{2k} = \eu^\pi \approx 23.14$ .

Partie III — Deuxième voie : $\Gamma$ et l’intégrale de Gauss.

Montrer par Fubini (l’intégrande est un produit) que

$I_n = \int_{\R^n}\eu^{-\norm x^2}\dd x = \Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty} \eu^{-t^2}\dd t\Bigr)^{\!n} = \pi^{n/2},$

l’intégrale de Gauss en dimension $n$ , entendue comme une limite sur les cubes $\intcc{-R}{R}^n$ .
Rappeler $\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\eu^{-t}\dd t$ (Définition 9.17). À partir de $\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s)$ (Théorème 9.18) et $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ (substituer $t = u^2$ et invoquer l’intégrale de Gauss), calculer

$\Gamma(k + 1) = k!, \qquad \Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr) = \frac{1\cdot3\cdots(2k+1)}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .$
Prouver, par récurrence via la récurrence de la question 5, la formule unique

$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\frac n2 + 1\bigr)} \qquad (n \geq 1),$

et vérifier qu’elle reproduit les deux expressions explicites de la question 6.
Montrer $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = \tfrac12\Gamma\bigl(\tfrac n2\bigr)$ et en déduire l’identité

$I_n = n\,V_n\int_0^\infty \eu^{-r^2}\,r^{n-1}\,\dd r.$

L’interpréter : la masse gaussienne de $\R^n$ se collecte le long de coquilles sphériques dont l’« aire $(n-1)$ -dimensionnelle » au rayon $r$ vaut $nV_nr^{n-1}$ — les deux membres sont désormais prouvés indépendamment, donc l’interprétation ne coûte rien.
Poser $s_{n-1} = nV_n$ (l’aire de la sphère unité $S^{n-1}$ , en cohérence avec $v_n(R) = \int_0^R s_{n-1}r^{n-1}\dd r$ ). Tabuler $s_0, \dots, s_3$ et vérifier $s_1 = 2\pi$ , $s_2 = 4\pi$ , $s_3 = 2\pi^2$ .

Partie IV — Les grandes dimensions sont étranges.

À partir de la formule de Stirling (Théorème 6.13) appliquée à $k!$ , montrer pour $n = 2k$ pair :

$V_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \Bigl(\frac{2\pi\eu}{n}\Bigr)^{n/2} \qquad (n \to \infty, \ n \text{ pair}),$

et expliquer pourquoi la même borne de décroissance super-géométrique s’étend à $n$ impair via la récurrence.
La boule unité est contenue dans le cube $\intcc{-1}1^n$ de volume $2^n$ . Calculer le taux de remplissage $V_n/2^n$ pour $n = 2, 3, 10$ , et montrer qu’il tend vers $0$ : en grande dimension, l’essentiel du cube se trouve dans ses coins.
Montrer que la fraction de $v_n(1)$ située à distance au plus $\varepsilon$ de la sphère de bord est $1 - (1 - \varepsilon)^n \to 1$ ; numériquement, quelle fraction d’une boule en dimension $100$ se trouve dans la coquille extérieure d’épaisseur $1\%$ ?
Prouver l’asymptotique de Wallis $W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ (monotonie de $(W_n)$ , le rapport $W_n/W_{n-2} \to 1$ , et $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$ ), et la minoration $W_n \geq \sqrt{\dfrac{\pi}{2(n+1)}}$ pour tout $n$ .
(Concentration sur une dalle) La fraction de la boule unité dont la première coordonnée dépasse $\delta$ est $\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x \,\big/\, (2W_n)$ . En utilisant $1 - u \leq \eu^{-u}$ et la majoration de queue $\int_\delta^\infty \eu^{-a x^2}\dd x \leq \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta}$ , montrer que cette fraction est au plus

$\frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\,\delta} \Big/ \sqrt{\frac{2\pi}{n+1}}$

et conclure : pour $\delta = s/\sqrt{n-1}$ , tout sauf une fraction $O(\eu^{-s^2/2}/s)$ de la boule se trouve dans la dalle $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$ . Une boule de grande dimension est, statistiquement, une mince crêpe dans toutes les directions à la fois.
Assembler les questions 16 à 19 en un paragraphe : où se situe le volume de $B_n(1)$ (près de la sphère de bord, tout en restant dans des dalles $O(1/\sqrt n)$ de tout hyperplan passant par le centre), et pourquoi ces deux affirmations ne se contredisent pas.

Partie V — Autres corps, et synthèse.

(Simplexe) Soit $\Delta_n = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum x_i \leq 1\}$ . Montrer par tranches et récurrence que $\operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}$ .
(Polytope croisé) En déduire que $C_n = \{x : \sum\abs{x_i} \leq 1\}$ a pour volume $\frac{2^n}{n!}$ , et vérifier l’encadrement $C_n \subseteq B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ au niveau des volumes : $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ .
Calculer $V_4$ d’une troisième façon : trancher $\R^4 = \R^2 \times \R^2$ , intégrer l’aire du disque en $(z, w)$ sur le disque en $(x, y)$ en coordonnées polaires, et retrouver $V_4 = \frac{\pi^2}2$ .
(Monte-Carlo en difficulté) Un point est tiré uniformément dans le cube $\intcc{-1}1^{20}$ . Montrer que la probabilité qu’il tombe dans la boule inscrite est $V_{20}/2^{20} \approx 2.5\cdot10^{-8}$ , de sorte qu’environ quarante millions de tirages sont nécessaires avant d’espérer le premier succès : estimer $V_n$ par échantillonnage par rejet s’effondre en grande dimension (le fléau de la dimension).
Synthèse. Deux dérivations indépendantes se sont rejointes en $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ : lister quel théorème de ce chapitre chacune a utilisé (Fubini, changement de variables, l’intégrale de Gauss polaire), et quels ingrédients à une variable (Wallis, $\Gamma$ , Stirling). Où le volume de Licence 3 refait-il ce calcul avec la théorie de Lebesgue, et qu’y ajoute-t-il ?

Solution

Solution de Problème 20.1.

1. La boule $B_n(R)$ est décrite par des bornes itérées $-R \leq x_n \leq R$ , puis $\abs{x_{n-1}} \leq \sqrt{R^2 - x_n^2}$ , et ainsi de suite ; substituer $x_i = Ru_i$ dans chacune des $n$ intégrales à une variable multiplie chacune par $R$ et envoie les bornes sur celles de $B_n(1)$ : $v_n(R) = R^n\,v_n(1) = V_nR^n$ .

2. En tranchant selon $x_n = t$ : la tranche de $B_n(1)$ est la boule $B_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)$ , donc, par la question 1,

V_n = \int_{-1}^1 v_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)\,\dd t = V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .

3. Avec $t = \sin\theta$ , $\dd t = \cos\theta\,\dd\theta$ et $(1 - t^2)^{\frac{n-1}2} = \cos^{n-1}\theta$ sur $\intcc{-\pi/2}{\pi/2}$ :

\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = 2\int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = 2W_n,

et $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$ échange les formes en sinus et en cosinus de $W_n$ .

4. Écrivons $\sin^n = \sin^{n-2}(1 - \cos^2)$ et intégrons $\int\sin^{n-2}\cos\cdot\cos$ par parties ( $v = \frac{\sin^{n-1}}{n-1}$ ) :

W_n = W_{n-2} - \frac{W_n}{n-1} \quad\Longrightarrow\quad W_n = \frac{n-1}{n}W_{n-2}.

D’où $nW_nW_{n-1} = (n-1)W_{n-1}W_{n-2}$ : la suite $(nW_nW_{n-1})$ est constante, égale à $1\cdot W_1W_0 = 1\cdot\frac\pi2$ , donc $W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n}$ .

5. Les questions 2 et 3 donnent $V_n = 2W_nV_{n-1}$ , deux fois :

V_n = 2W_n\cdot 2W_{n-1}\,V_{n-2} = 4\,\frac{\pi}{2n}\,V_{n-2} = \frac{2\pi}n\,V_{n-2}.

6. À partir de $V_0 = 1$ : $V_{2k} = \frac{2\pi}{2k}V_{2k-2} = \frac\pi kV_{2k-2}$ , donc $V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}$ par récurrence. À partir de $V_1 = 2$ : $V_{2k+1} = \frac{2\pi}{2k+1}V_{2k-1}$ , donc

V_{2k+1} = 2\prod_{j=1}^k\frac{2\pi}{2j+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots(2k+1)} .

7. $V_1 = 2$ , $V_2 = \pi \approx 3.142$ , $V_3 = \frac{4\pi}3 \approx 4.189$ , $V_4 = \frac{\pi^2}2 \approx 4.935$ , $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.264$ , $V_6 = \frac{\pi^3}6 \approx 5.168$ , $V_7 = \frac{16\pi^3}{105} \approx 4.725$ . Le rapport à un pas est $V_n/V_{n-1} = 2W_n$ , et $(W_n)$ est décroissante ( $\sin^n \leq \sin^{n-1}$ ponctuellement). Or $2W_5 = 2\cdot\frac45\cdot\frac23 = \frac{16}{15} > 1$ tandis que $2W_6 = 2\cdot\frac56\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 = \frac{5\pi}{16} < 1$ : les rapports dépassent $1$ jusqu’à $n = 5$ et sont inférieurs à $1$ à partir de $n = 6$ — $(V_n)$ croît jusqu’à son maximum $V_5$ puis décroît.

8. Pour $n \geq 13 > 4\pi$ : $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n < \tfrac12$ , donc $V_{n} \leq C\cdot 2^{-n/2}$ avec une constante fixe ; mieux, pour tout $q > 0$ , $2\pi/n < q^2$ pour $n$ grand, donc $V_n/q^n \to 0$ : la décroissance bat toute suite géométrique. La convergence de $\sum V_n$ découle du rapport $V_n/V_{n-2} \to 0$ (comparaison avec une série géométrique à partir d’un certain rang).

9. $\sum_{k\geq0}V_{2k}x^{2k} = \sum_{k\geq0}\frac{(\pi x^2)^k}{k!} = \eu^{\pi x^2}$ , la série exponentielle (Chapitre 11), convergente pour tout $x$ . En $x = 1$ : $\sum_kV_{2k} = \eu^\pi \approx 23.14$ .

10. Sur le cube $\intcc{-R}R^n$ , l’intégrande est le produit $\prod_i\eu^{-x_i^2}$ , donc l’intégrale itérée se factorise : $\bigl(\int_{-R}^R\eu^{-t^2}\dd t\bigr)^n$ . En faisant $R \to \infty$ et en utilisant $\int_\R\eu^{-t^2}\dd t = \sqrt\pi$ (Exemple 20.17) : $I_n = \pi^{n/2}$ .

11. $t = u^2$ donne $\Gamma(\tfrac12) = \int_0^\infty t^{-1/2}\eu^{-t}\dd t = 2\int_0^\infty\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$ . En itérant $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ : $\Gamma(k+1) = k!\,\Gamma(1) = k!$ , et

\Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr) = \Bigl(k + \frac12\Bigr)\Bigl(k - \frac12\Bigr)\cdots \frac12\cdot\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) = \frac{(2k+1)(2k-1)\cdots1}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .

12. Posons $F_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ . Puisque $\Gamma(\frac n2 + 1) = \frac n2\,\Gamma(\frac n2) = \frac n2\,\Gamma(\frac{n-2}2 + 1)$ , on obtient $F_n = \frac{2\pi}nF_{n-2}$ : la même récurrence que $V_n$ (question 5). Bases : $F_1 = \sqrt\pi/\Gamma(\frac32) = \sqrt\pi/(\frac{\sqrt\pi}2) = 2 = V_1$ et $F_2 = \pi/\Gamma(2) = \pi = V_2$ . Par récurrence $V_n = F_n$ pour tout $n$ ; la question 11 la retraduit en les deux expressions explicites de la question 6.

13. Avec $r = \sqrt t$ : $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = \frac12\int_0^\infty t^{\frac n2 - 1}\eu^{-t}\dd t = \frac12\Gamma(\frac n2)$ . D’où

n\,V_n\int_0^\infty\eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = V_n\cdot\frac n2\,\Gamma\Bigl(\frac n2\Bigr) = V_n\,\Gamma\Bigl(\frac n2 + 1\Bigr) = \pi^{n/2} = I_n .

Les deux membres étant prouvés, l’identité peut se lire comme la décomposition en coquilles de l’intégrale gaussienne : la sphère de rayon $r$ porte l’aire $nV_nr^{n-1}$ , et le poids gaussien $\eu^{-r^2}$ est intégré sur les coquilles.

14. $s_0 = V_1 = 2$ (la $0$ -sphère est deux points), $s_1 = 2V_2 = 2\pi$ , $s_2 = 3V_3 = 4\pi$ , $s_3 = 4V_4 = 2\pi^2$ ; et $\int_0^R s_{n-1}r^{n-1}\dd r = V_nR^n = v_n(R)$ : l’aire est la dérivée radiale du volume.

15. Pour $n = 2k$ , Stirling (Théorème 6.13) donne $k! \sim \sqrt{2\pi k}\,(k/\eu)^k$ , donc

V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!} \sim \frac{(\pi\eu/k)^k}{\sqrt{2\pi k}} = \frac1{\sqrt{\pi n}}\Bigl(\frac{2\pi\eu}n\Bigr)^{n/2} \qquad (n = 2k).

Pour $n$ impair : $V_{2k+1} = 2W_{2k+1}V_{2k} \leq 2V_{2k}$ , donc les mêmes bornes de décroissance super-géométrique valent (à un facteur $2$ et un décalage de un dans l’exposant près) — pour tout $q > 0$ , $V_n = o(q^n)$ .

16. $V_2/4 = \pi/4 \approx 0.785$ ; $V_3/8 = \pi/6 \approx 0.524$ ; $V_{10}/2^{10} = \frac{\pi^5}{120\cdot1024} \approx 0.0025$ . En général $\frac{V_n/2^n}{V_{n-2}/2^{n-2}} = \frac{2\pi}{4n} = \frac{\pi}{2n} \to 0$ : le rapport tend vers $0$ (super-géométriquement). La boule inscrite occupe une fraction négligeable : le volume du cube migre vers ses coins.

17. Par la question 1 la boule intérieure de rayon $1 - \varepsilon$ a pour volume $V_n(1-\varepsilon)^n$ , donc la coquille extérieure porte la fraction $1 - (1 - \varepsilon)^n \to 1$ . Pour $n = 100$ , $\varepsilon = 0.01$ : $(0.99)^{100} = \eu^{100\ln0.99} \approx \eu^{-1.005} \approx 0.366$ : environ $63\%$ de la boule se trouve à moins de $1\%$ de sa surface.

18. $(W_n)$ décroît, donc $W_n \leq W_{n-1} \leq W_{n-2} = \frac{n}{n-1}W_n$ : par encadrement, $W_{n-1}/W_n \to 1$ . En multipliant par $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$ : $W_n^2 \sim \frac\pi{2n}$ , c.-à-d. $W_n \sim \sqrt{\pi/(2n)}$ . Minoration : $W_n^2 \geq W_nW_{n+1} = \frac{\pi}{2(n+1)}$ , donc $W_n \geq \sqrt{\pi/(2(n+1))}$ pour tout $n$ .

19. Numérateur : $1 - x^2 \leq \eu^{-x^2}$ donne $(1 - x^2)^{\frac{n-1}2} \leq \eu^{-(n-1)x^2/2}$ , et avec $a = \frac{n-1}2$ ,

\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x \leq \int_\delta^\infty\eu^{-ax^2}\dd x \leq \int_\delta^\infty\frac x\delta\,\eu^{-ax^2}\dd x = \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta} = \frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\delta}.

Dénominateur : $2W_n \geq \sqrt{2\pi/(n+1)}$ par la question 18. En divisant, on obtient la borne affichée. Pour $\delta = s/\sqrt{n-1}$ elle devient $\sqrt{\tfrac{n+1}{2\pi(n-1)}}\;\eu^{-s^2/2}/s = O\bigl( \eu^{-s^2/2}/s\bigr)$ , uniformément en $n$ : en dehors de la dalle $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$ il n’y a presque pas de volume, pour $s$ modérément grand — et par symétrie il en va de même pour toute direction.

20. Les deux affirmations coexistent parce qu’elles décrivent des coordonnées différentes du même point. Presque tout point de $B_n(1)$ a une norme proche de $1$ (question 17 : concentration radiale près de la sphère), et pourtant chacune de ses $n$ coordonnées est petite, d’ordre $1/\sqrt n$ (question 19), ce qui est cohérent puisque $n$ coordonnées de taille $1/\sqrt n$ ont une norme d’ordre $1$ . Le volume en grande dimension se concentre là où toutes les coordonnées se partagent également le budget de norme — près de la sphère, mais loin de tout pôle d’axe de coordonnée.

21. Tranchons $\Delta_n$ en $x_n = t \in \intcc01$ : la tranche est $\{x' \in \R^{n-1} : x_i \geq 0,\ \sum x_i \leq 1 - t\} = (1-t)\Delta_{n-1}$ , de volume $(1-t)^{n-1}\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})$ par homogénéité. Donc

\operatorname{vol}(\Delta_n) = \operatorname{vol}(\Delta_{n-1})\int_0^1(1 - t)^{n-1}\dd t = \frac{\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})}{n} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}\,.

22. Les $2^n$ orthants de signes découpent $C_n$ en $2^n$ copies de $\Delta_n$ (avec des recouvrements négligeables sur les hyperplans de coordonnées) : $\operatorname{vol}(C_n) = \frac{2^n}{n!}$ . Si $\sum\abs{x_i} \leq 1$ alors $\sum x_i^2 \leq \bigl(\sum\abs{x_i}\bigr)^2 \leq 1$ : $C_n \subseteq B_n(1)$ ; et $B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ puisque $\abs{x_i} \leq \norm x$ . D’où $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ — en cohérence avec la question 15, qui place $V_n$ entre les échelles factorielle et géométrique.

23. Pour $(x, y)$ dans le disque unité, la tranche de $B_4(1)$ est le disque de rayon $\sqrt{1 - x^2 - y^2}$ dans le plan des $(z, w)$ , d’aire $\pi(1 - x^2 - y^2)$ . En polaires :

V_4 = \iint_{x^2+y^2\leq1}\pi(1 - x^2 - y^2)\,\dd x\,\dd y = \pi\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(1 - \rho^2)\rho\, \dd\rho\,\dd\alpha = \pi\cdot2\pi\cdot\frac14 = \frac{\pi^2}2 ,

en accord avec la question 6.

24. La probabilité est le rapport de volumes $\dfrac{V_{20}}{2^{20}} = \dfrac{\pi^{10}}{10!\cdot2^{20}} \approx \dfrac{0.0258}{1\,048\,576} \approx 2.5\cdot10^{-8}$ . Le nombre de tirages jusqu’au premier succès est d’ordre l’inverse, environ $4\cdot10^7$ : un échantillonneur par rejet qui fonctionnait à merveille pour le disque ( $\pi/4$ de succès) est inutile en dimension $20$ — le fléau de la dimension en une ligne.

25. La voie une (Parties I–II) a utilisé : le découpage en tranches de type Fubini de l’intégrale itérée, la substitution à une variable dans chaque coordonnée (homogénéité), et les intégrales de Wallis — pur calcul à une variable plus récurrence. La voie deux (Partie III) a utilisé : Fubini pour la structure de produit de $I_n$ , le changement de variables polaire à travers l’intégrale de Gauss de Exemple 20.17, et l’équation fonctionnelle de la fonction $\Gamma$ . Elles se rejoignent en $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ , avec Stirling (Théorème 6.13) convertissant la formule en asymptotique. Le volume de Licence 3 reconstruit tout ceci sur l’intégrale de Lebesgue : là, Fubini et le changement de variables sont des théorèmes pour des fonctions intégrables générales, les coordonnées sphériques existent en toute dimension, et les mêmes volumes de boule réapparaissent comme les dividendes travaillés des problèmes de mesure produit et de Stirling — avec la convergence dominée remplaçant nos encadrements faits main.

20.1 Intégrales curvilignes

20.2 Intégrales doubles

20.3 Le théorème de Green-Riemann

20.4 Intégrales triples

20.5 Exercices

20.6 Problème : le volume de la boule en dimension nnn

20.6 Problème : le volume de la boule en dimension $n$