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Mathématiques · Glossaire

Qu'est-ce que « Intervalle » ?

Définition 1.6 Mathématiques du lycée · Chapitre 1 — Nombres et ensembles de nombres

Soient aa et bb des nombres réels avec a<ba < b. Un intervalle est l’ensemble de tous les nombres réels compris entre deux bornes. Un crochet signifie que la borne est incluse, une parenthèse qu’elle est exclue :

notationdescription
[a, b]\intcc{a}{b}a≤x≤ba \leq x \leq b (les deux bornes incluses)
(a, b)\intoo{a}{b}a<x<ba < x < b (les deux bornes exclues)
[a, b)\intco{a}{b}a≤x<ba \leq x < b
(a, b]\intoc{a}{b}a<x≤ba < x \leq b
[a, +∞)\intco{a}{+\infty}x≥ax \geq a
(−∞, b)\intoo{-\infty}{b}x<bx < b

Les symboles −∞-\infty et +∞+\infty (« infini ») ne sont pas des nombres, seulement une façon de dire que l’intervalle se prolonge indéfiniment ; le crochet adjacent est toujours une parenthèse. Toute la droite R\R est l’intervalle (−∞, +∞)\intoo{-\infty}{+\infty}.

Intervalles sur la droite numérique : un point plein pour une borne incluse, un point creux pour une borne exclue.
Intervalles sur la droite numérique : un point plein pour une borne incluse, un point creux pour une borne exclue.

Exemples

Exemple 1.13

Résoudre ∣x−3∣≤2\abs{x - 3} \leq 2. Les solutions sont les nombres à distance au plus 22 de 33 : l’intervalle [1, 5]\intcc{1}{5}. Réciproquement, l’intervalle [−1, 7]\intcc{-1}{7} a pour centre −1+72=3\frac{-1+7}{2} = 3 et pour rayon 7−(−1)2=4\frac{7-(-1)}{2} = 4, donc il est décrit par ∣x−3∣≤4\abs{x - 3} \leq 4.

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