Mathématiques du lycée · Grades 10–12

1Nombres et ensembles de nombres

Les mathématiques commencent avec les nombres, et tous les nombres ne sont pas de même nature : nombres pour compter, nombres négatifs, fractions, et nombres comme $\sqrt 2$ ou $\pi$ qu’aucune fraction ne peut exprimer. Ce chapitre les organise en familles emboîtées, introduit les intervalles pour décrire des portions de la droite numérique, et utilise la valeur absolue pour mesurer des distances entre nombres.

1.1 Les familles de nombres

Définition 1.1 (Ensembles de nombres)

$\N$ est l’ensemble des nombres naturels : $0, 1, 2, 3, \dots$
$\Z$ est l’ensemble des entiers relatifs : $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
$\Q$ est l’ensemble des nombres rationnels : tous les quotients $\frac{p}{q}$ avec $p \in \Z$ , $q \in \N$ et $q \neq 0$ .
$\R$ est l’ensemble des nombres réels : tous les nombres que l’on peut placer sur la droite numérique.

Notation 1.2

Le symbole $\in$ se lit « appartient à » : $3 \in \N$ , $-5 \in \Z$ , $\frac23 \in \Q$ . Le symbole $\subset$ se lit « est inclus dans » : tout nombre naturel est un entier, tout entier est un rationnel (par exemple $-5 = \frac{-5}{1}$ ), et tout rationnel est réel, donc

\N \subset \Z \subset \Q \subset \R .

Une barre traverse un symbole pour le nier : $\frac12 \notin \Z$ .

Les familles emboîtées de nombres : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Chaque anneau contient des nombres qui n’appartiennent pas aux plus petits. — Les familles emboîtées de nombres : $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$ . Chaque anneau contient des nombres qui n’appartiennent pas aux plus petits.

Exemple 1.3

Plaçons quelques nombres dans la plus petite famille qui les contient.

$\frac{28}{4} = 7$ , donc $\frac{28}{4} \in \N$ même s’il est écrit comme une fraction : toujours simplifier d’abord.
$-3.5 = -\frac{35}{10} = -\frac72$ est rationnel mais pas entier.
$0.333\dots$ (le chiffre $3$ qui se répète indéfiniment) égale $\frac13$ , un nombre rationnel.
$\sqrt 2$ et $\pi$ sont réels mais non rationnels, comme nous allons le voir pour $\sqrt 2$ ; de tels nombres sont dits irrationnels.

Théorème 1.4 (Irrationalité de $\sqrt 2$ )

Le nombre $\sqrt 2$ n’est pas rationnel : aucune fraction d’entiers n’a pour carré $2$ .

Démonstration. On raisonne par l’absurde, en petites étapes.

Supposons $\sqrt 2 = \frac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers positifs, et la fraction est irréductible, donc $p$ et $q$ ne sont pas tous les deux pairs.
En élevant au carré : $2 = \frac{p^2}{q^2}$ , c’est-à-dire $p^2 = 2q^2$ . Donc $p^2$ est pair.
Si $p$ était impair, disons $p = 2k+1$ , alors $p^2 = 4k^2 + 4k + 1$ serait impair. Comme $p^2$ est pair, $p$ doit être pair : $p = 2k$ pour un certain entier $k$ .
En substituant : $(2k)^2 = 2q^2$ , donc $4k^2 = 2q^2$ , donc $q^2 = 2k^2$ . Par le même argument qu’à l’étape 3, $q$ est pair.
À présent $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, ce qui contredit l’étape 1. L’hypothèse était impossible : $\sqrt 2$ est irrationnel.

∎

Remarque 1.5

Les nombres rationnels sont exactement les nombres dont le développement décimal soit s’arrête (comme $\frac72 = 3.5$ ), soit finit par répéter indéfiniment le même bloc (comme $\frac13 = 0.333\dots$ ou $\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\dots$ ). Les irrationnels comme $\sqrt2 = 1.41421356\dots$ ont des décimales qui ne tombent jamais dans un motif répétitif. On admet cette caractérisation à ce niveau.

1.2 La droite numérique et les intervalles

Les nombres réels remplissent une droite : en choisissant une origine $0$ et une unité de longueur, tout nombre réel correspond à exactement un point.

Définition 1.6 (Intervalle)

Soient $a$ et $b$ des nombres réels avec $a < b$ . Un intervalle est l’ensemble de tous les nombres réels compris entre deux bornes. Un crochet signifie que la borne est incluse, une parenthèse qu’elle est exclue :

notation	description
$\intcc{a}{b}$	$a \leq x \leq b$ (les deux bornes incluses)
$\intoo{a}{b}$	$a < x < b$ (les deux bornes exclues)
$\intco{a}{b}$	$a \leq x < b$
$\intoc{a}{b}$	$a < x \leq b$
$\intco{a}{+\infty}$	$x \geq a$
$\intoo{-\infty}{b}$	$x < b$

Les symboles $-\infty$ et $+\infty$ (« infini ») ne sont pas des nombres, seulement une façon de dire que l’intervalle se prolonge indéfiniment ; le crochet adjacent est toujours une parenthèse. Toute la droite $\R$ est l’intervalle $\intoo{-\infty}{+\infty}$ .

Intervalles sur la droite numérique : un point plein pour une borne incluse, un point creux pour une borne exclue.

Définition 1.7 (Intersection et réunion)

Soient $I$ et $J$ deux ensembles de nombres réels. L’intersection $I \cap J$ (« $I$ et $J$ ») est l’ensemble des nombres appartenant aux deux ; la réunion $I \cup J$ (« $I$ ou $J$ ») est l’ensemble des nombres appartenant à l’un au moins des deux.

Exemple 1.8

Prenons $I = \intcc{-1}{3}$ et $J = \intoo{1}{5}$ . En les dessinant sur la même droite : ils se chevauchent entre $1$ et $3$ . Donc

I \cap J = \intoc{1}{3}, \qquad I \cup J = \intco{-1}{5}.

Attention aux crochets : $1 \notin J$ donc $1 \notin I \cap J$ , mais $3 \in I$ et $3 \in J$ , donc $3 \in I \cap J$ .

Méthode 1.9 (Travailler avec les intervalles)

Pour trouver l’intersection ou la réunion de deux intervalles :

dessiner la droite numérique et marquer les quatre bornes ;
hachurer le premier intervalle au-dessus de la droite et le second en dessous ;
l’intersection est là où les hachures se superposent, la réunion là où au moins une hachure est présente ;
décider chaque crochet en testant si la borne elle-même appartient aux deux ensembles (intersection) ou à l’un au moins (réunion).

1.3 Valeur absolue et distance

Définition 1.10 (Valeur absolue)

La valeur absolue d’un nombre réel $x$ est

\abs{x} = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases}

Par exemple $\abs{7} = 7$ et $\abs{-4} = 4$ . Dans tous les cas $\abs{x} \geq 0$ .

Proposition 1.11 (Distance sur la droite)

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ , la distance entre les points $a$ et $b$ sur la droite numérique est $\abs{b - a}$ . En particulier $\abs{x}$ est la distance de $x$ à $0$ .

Démonstration. Si $b \geq a$ , la distance de $a$ à $b$ est $b - a \geq 0$ , qui égale $\abs{b-a}$ . Si $b < a$ , la distance est $a - b = -(b - a) > 0$ , qui est encore $\abs{b - a}$ par définition de la valeur absolue. ∎

Proposition 1.12 (Valeur absolue et intervalles)

Soit $a$ un nombre réel et $r > 0$ . Alors

\abs{x - a} \leq r \quad\text{exactement lorsque}\quad x \in \intcc{a - r}{a + r}.

Démonstration. $\abs{x-a} \leq r$ dit que la distance de $x$ à $a$ est au plus $r$ , c’est-à-dire que $x$ ne s’éloigne pas de plus de $r$ de $a$ de part et d’autre. Les nombres qui satisfont cela sont exactement ceux entre $a - r$ et $a + r$ , bornes incluses. ∎

L’inégalité |x - a| ≤ r décrit l’intervalle des nombres à distance au plus r de a. — L’inégalité $\abs{x - a} \leq r$ décrit l’intervalle des nombres à distance au plus $r$ de $a$ .

Exemple 1.13

Résoudre $\abs{x - 3} \leq 2$ . Les solutions sont les nombres à distance au plus $2$ de $3$ : l’intervalle $\intcc{1}{5}$ . Réciproquement, l’intervalle $\intcc{-1}{7}$ a pour centre $\frac{-1+7}{2} = 3$ et pour rayon $\frac{7-(-1)}{2} = 4$ , donc il est décrit par $\abs{x - 3} \leq 4$ .

1.4 Approximations

Les nombres irrationnels, et même la plupart des fractions, ne peuvent pas s’écrire exactement avec un nombre fini de décimales, donc en pratique on les approxime.

Définition 1.14 (Approximation à une précision donnée)

Un nombre $d$ est une approximation de $x$ à $10^{-n}$ près lorsque $\abs{x - d} \leq 10^{-n}$ . Tronquer ou arrondir le développement décimal après le $n$ -ième chiffre donnent toutes deux de telles approximations.

Exemple 1.15

D’après $\pi = 3.14159\,26\dots$ : la troncature $3.141$ et l’arrondi $3.142$ sont toutes deux des approximations de $\pi$ à $10^{-3}$ près. L’arrondi est à distance inférieure à $\frac12 \times 10^{-3}$ , la troncature ne garantit que $10^{-3}$ . Écrire $3.141 \leq \pi \leq 3.142$ encadre $\pi$ entre deux bornes décimales.

1.5 Exercices

Exercice 1.1 ★

Pour chaque nombre, indiquer le plus petit des ensembles $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ auquel il appartient :

\frac{15}{3}, \qquad -7, \qquad \frac{22}{7}, \qquad \sqrt{9}, \qquad \sqrt{10}, \qquad -2.4, \qquad 0 .

Solution

Solution de Exercice 1.1.

$\frac{15}{3} = 5 \in \N$ . $-7 \in \Z$ . $\frac{22}{7} \in \Q$ (ce n’est pas un entier : $22 = 7 \times 3 + 1$ ). $\sqrt 9 = 3 \in \N$ . $\sqrt{10} \in \R$ (irrationnel, puisque $10$ n’est pas le carré d’un rationnel — admis ici, dans l’esprit du Théorème 1.4). $-2.4 = -\frac{24}{10} \in \Q$ . $0 \in \N$ .

Exercice 1.2 ★

Écrire chaque énoncé avec la notation des intervalles, puis le dessiner sur une droite numérique : (a) $-2 \leq x < 5$ ; (b) $x > 3$ ; (c) $x \leq -1$ ; (d) la distance de $x$ à $2$ est au plus $3$ .

Solution

Solution de Exercice 1.2.

(a) $\intco{-2}{5}$ : point plein en $-2$ , point creux en $5$ . (b) $\intoo{3}{+\infty}$ : point creux en $3$ , hachures vers la droite. (c) $\intoc{-\infty}{-1}$ : hachures depuis la gauche jusqu’à un point plein en $-1$ . (d) « distance de $x$ à $2$ au plus $3$ » signifie $\abs{x - 2} \leq 3$ , c’est-à-dire $x \in \intcc{-1}{5}$ : points pleins en $-1$ et $5$ .

Exercice 1.3 ★

Calculer $I \cap J$ et $I \cup J$ pour

\text{(a) } I = \intcc{-3}{2},\ J = \intco{0}{4}; \qquad \text{(b) } I = \intoo{-\infty}{1},\ J = \intco{-2}{+\infty}.

Solution

Solution de Exercice 1.3.

(a) Les deux intervalles se chevauchent entre $0$ et $2$ : $I \cap J = \intcc{0}{2}$ ( $0 \in J$ et $2 \in I$ , et chacun appartient aussi à l’autre ensemble), et $I \cup J = \intco{-3}{4}$ .

(b) $I \cap J$ est l’ensemble des $x$ tels que $-2 \leq x$ et $x < 1$ : $\intco{-2}{1}$ . La réunion couvre tout : $I \cup J = \R$ .

Exercice 1.4 ★

Calculer sans calculatrice :

\abs{-6}, \qquad \abs{4 - 9}, \qquad \abs{-3 - 5}, \qquad \abs{\sqrt 2 - 1}, \qquad \abs{1 - \sqrt 2}.

Solution

Solution de Exercice 1.4.

$\abs{-6} = 6$ ; $\abs{4 - 9} = \abs{-5} = 5$ ; $\abs{-3 - 5} = \abs{-8} = 8$ ; $\sqrt 2 > 1$ donc $\abs{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 - 1$ ; $1 - \sqrt2 < 0$ donc $\abs{1 - \sqrt2} = \sqrt2 - 1$ aussi (un nombre et son opposé ont la même valeur absolue).

Exercice 1.5 ★

Résoudre les équations et inégalités et donner les ensembles de solutions :

\abs{x} = 5, \qquad \abs{x - 1} = 3, \qquad \abs{x - 4} \leq 1, \qquad \abs{x + 2} < 3 .

(Noter que $\abs{x+2} = \abs{x - (-2)}$ est une distance à $-2$ .)

Solution

Solution de Exercice 1.5.

$\abs{x} = 5$ : distance $5$ à $0$ , donc $x = 5$ ou $x = -5$ .

$\abs{x - 1} = 3$ : distance $3$ à $1$ , donc $x = 4$ ou $x = -2$ .

$\abs{x - 4} \leq 1$ : distance au plus $1$ à $4$ , donc $x \in \intcc{3}{5}$ .

$\abs{x + 2} < 3$ : distance strictement inférieure à $3$ à $-2$ , donc $x \in \intoo{-5}{1}$ .

Exercice 1.6 ★★

Décrire chaque intervalle par une inégalité de la forme $\abs{x - a} \leq r$ ou $\abs{x - a} < r$ :

\intcc{2}{8}, \qquad \intoo{-5}{1}, \qquad \intcc{-7}{-3}.

Solution

Solution de Exercice 1.6.

Chaque intervalle est décrit par son centre $a$ (milieu des bornes) et son rayon $r$ (moitié de la longueur).

$\intcc{2}{8}$ : $a = 5$ , $r = 3$ , donc $\abs{x - 5} \leq 3$ .

$\intoo{-5}{1}$ : $a = -2$ , $r = 3$ , bornes ouvertes, donc $\abs{x + 2} < 3$ .

$\intcc{-7}{-3}$ : $a = -5$ , $r = 2$ , donc $\abs{x + 5} \leq 2$ .

Exercice 1.7 ★★

Montrer que $0.272727\dots$ (le bloc $27$ qui se répète indéfiniment) est rationnel. (Indication : l’appeler $x$ et calculer $100x - x$ .)

Solution

Solution de Exercice 1.7.

Soit $x = 0.272727\dots$ . Alors $100x = 27.2727\dots$ , et en soustrayant :

100x - x = 27.2727\dots - 0.2727\dots = 27,

donc $99x = 27$ et $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ , un quotient d’entiers : $x$ est rationnel.

Exercice 1.8 ★★

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par un argument ou un contre-exemple.

La somme de deux entiers est un entier.
Le quotient de deux entiers est un entier.
La somme de deux rationnels est rationnelle.
La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est irrationnelle.

Solution

Solution de Exercice 1.8.

1. Vrai : ajouter des entiers (nombres entiers positifs ou négatifs) produit toujours un entier.

2. Faux : $\frac{1}{2}$ est un quotient des entiers $1$ et $2$ et n’est pas un entier.

3. Vrai : $\frac pq + \frac{p'}{q'} = \frac{pq' + p'q}{qq'}$ est encore un quotient d’entiers (avec dénominateur non nul).

4. Vrai : supposons $r$ rationnel, $t$ irrationnel, et $r + t = s$ rationnel. Alors $t = s - r$ serait une différence de deux rationnels, donc rationnel (par le 3, appliqué avec $-r$ ) — contradiction. Donc $r + t$ est irrationnel.

Exercice 1.9 ★★

En utilisant $1.414 \leq \sqrt 2 \leq 1.415$ , encadrer les nombres $2\sqrt2$ , $\sqrt2 + 3$ et $-\sqrt2$ entre deux bornes décimales.

Solution

Solution de Exercice 1.9.

En multipliant $1.414 \leq \sqrt2 \leq 1.415$ par $2 > 0$ : $2.828 \leq 2\sqrt2 \leq 2.830$ .

En ajoutant $3$ : $4.414 \leq \sqrt2 + 3 \leq 4.415$ .

En multipliant par $-1 < 0$ , les inégalités s’inversent : $-1.415 \leq -\sqrt2 \leq -1.414$ .

Exercice 1.10 ★★★

Adapter la démonstration du Théorème 1.4 pour montrer que $\sqrt 3$ est irrationnel. (Remplacer « pair » par « multiple de $3$ » : vérifier d’abord que si $p^2$ est multiple de $3$ , alors $p$ l’est aussi, en examinant les restes $0$ , $1$ , $2$ de $p$ dans la division par $3$ .)

Solution

Solution de Exercice 1.10.

D’abord le fait auxiliaire. Divisons $p$ par $3$ : le reste est $0$ , $1$ ou $2$ , c’est-à-dire $p = 3k$ , $p = 3k+1$ ou $p = 3k+2$ . En élevant au carré :

(3k)^2 = 3(3k^2), \quad (3k+1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1, \quad (3k+2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 .

Seul le premier est multiple de $3$ : si $p^2$ est multiple de $3$ , alors $p$ l’est aussi.

Supposons maintenant $\sqrt3 = \frac pq$ irréductible. En élevant au carré : $p^2 = 3q^2$ , donc $p^2$ est multiple de $3$ , donc $p = 3k$ . Alors $9k^2 = 3q^2$ , donc $q^2 = 3k^2$ et $q$ est aussi multiple de $3$ — mais alors la fraction $\frac pq$ n’était pas irréductible : contradiction. Donc $\sqrt3$ est irrationnel.

1.6 Problème : entre deux nombres quelconques

Problème 1.1

Devoir du week-end — rationnels et irrationnels s’entrelacent : tout intervalle, si petit soit-il, en contient une infinité de chaque sorte, et aucune mesure ne saura jamais les distinguer

Les rationnels ressemblent à une foule (toutes les fractions !) et les irrationnels à des exceptions exotiques ( $\sqrt2$ , $\pi$ ). Ce problème en révèle la véritable image : les deux familles s’entrelacent si finement que tout intervalle de la droite numérique, si microscopique soit-il, en contient une infinité de chaque — avec des conséquences étranges, comme celle-ci : aucune mesure physique, si précise soit-elle, ne peut décider si une longueur est rationnelle.

Partie I — Les quatre royaumes.

Pour chaque nombre, nommer le plus petit des ensembles $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ qui le contient (Définition 1.1) : $-7$ ; $\frac{13}{4}$ ; $\sqrt{16}$ ; $0.121212\ldots$ (se rappeler le devoir du week-end sur les décimales périodiques du volume précédent) ; $\sqrt8$ ; $\pi$ (dont on admettra l’irrationalité — démontrée seulement dans les volumes universitaires).
Démontrer que $\Q$ est stable par addition et par multiplication : si $x = \frac pq$ et $y = \frac rs$ sont rationnels, écrire $x + y$ et $xy$ sous forme d’une seule fraction.
En déduire, par l’absurde : (a) la somme d’un rationnel et d’un irrationnel est irrationnelle ; (b) le produit d’un rationnel non nul et d’un irrationnel est irrationnel.
Montrer que l’ensemble des irrationnels n’est stable ni par l’une ni par l’autre opération : exhiber deux irrationnels dont la somme est rationnelle, et deux dont le produit est rationnel.
Situer $\sqrt2 + \sqrt8$ et $\sqrt2 \times \sqrt8$ dans les quatre royaumes (simplifier d’abord $\sqrt8$ , selon la méthode du volume précédent).

Partie II — Les rationnels sont denses.

Trouver un rationnel strictement compris entre $3.47$ et $3.48$ ; puis un deuxième ; puis décrire comment en produire autant que l’on veut (le zoom du devoir du week-end sur l’absence de nombre suivant, du volume précédent, mais cette fois avec une démonstration en vue).
Le théorème général. Soient $a < b$ deux réels quelconques, d’écart $g = b - a > 0$ . Choisir $n$ tel que $10^{-n} < g$ , et considérer les multiples de $10^{-n}$ (la grille décimale de pas $10^{-n}$ ). Expliquer pourquoi au moins un point de la grille tombe strictement entre $a$ et $b$ , et conclure : tout intervalle de longueur strictement positive contient un nombre rationnel.
Renforcer la conclusion : un tel intervalle contient une infinité de rationnels. (Appliquer de nouveau la question 7, dans un intervalle plus petit.)
Passons aux irrationnels : étant donné $a < b$ , prendre un rationnel $r$ strictement à l’intérieur (question 7) et considérer les nombres $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ . À l’aide de la question 3, montrer qu’ils sont irrationnels, et que pour $k$ assez grand ils restent dans l’intervalle : tout intervalle contient aussi une infinité d’irrationnels.
Deux énigmes classiques réglées : existe-t-il un plus petit nombre réel strictement positif ? Un nombre réel « juste après $3$ » ? Répondre aux deux avec le théorème de la question 7, et saluer au passage la version enfantine (le devoir du week-end sur l’absence de nombre suivant, du volume précédent).

Partie III — La valeur absolue, géométrie de $\R$ .

Résoudre, et exprimer les solutions à l’aide d’intervalles ou de réunions d’intervalles (Proposition 1.12) : $\abs{x - 5} = 2$ ; $\abs{x - 5} < 2$ ; $\abs{x + 1} \geq 3$ .
Un piston doit être usiné à $80$ mm avec une tolérance de $0.05$ mm. Écrire cette exigence avec une valeur absolue, puis sous forme d’intervalle. Deux pistons mesurent $79.97$ et $80.06$ mm : quels verdicts ?
L’inégalité triangulaire sur la droite : $\abs{a + b} \leq \abs a + \abs b$ . La vérifier sur $(a, b) = (3, -5)$ et $(-2, -7)$ , la démontrer lorsque $a$ et $b$ sont de même signe puis lorsqu’ils sont de signes contraires, et préciser exactement le cas d’égalité.
Résoudre $\abs{x - 2} = \abs{x + 4}$ en lisant l’équation comme une égalité de distances sur la droite. Quel point du devoir du week-end sur les deux miroirs, du volume précédent, vient-on de calculer, une dimension plus bas ?
Simplifier $\sqrt{x^2}$ — avec précaution. Tester la formule obtenue sur $x = 3$ et $x = -3$ , puis s’en servir pour résoudre $x^2 < 9$ à l’aide d’une valeur absolue.

Partie IV — Ce qu’aucune mesure ne peut trancher.

Un physicien mesure une tige : $1.41421 \pm 0.00001$ m. Une telle mesure — celle-ci ou une autre, future et plus précise — pourra-t-elle jamais prouver que la longueur de la tige est irrationnelle ? Ou qu’elle est rationnelle ? Utiliser les questions 7 et 9 sur l’intervalle de tolérance, et expliquer pourquoi seule une démonstration (comme celle de la diagonale, dans le devoir du week-end sur l’irrationalité du volume précédent) peut trancher.
Les troncatures $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ , $1.4142,\dots$ de $\sqrt2$ sont toutes rationnelles. Que montrent-elles sur la façon dont $\Q$ se presse contre chaque irrationnel ? Formuler le fait général.
Arithmétique des intervalles : on a mesuré $a = 2.5 \pm 0.1$ et $b = 1.2 \pm 0.1$ . Encadrer $a + b$ et $a \times b$ entre des bornes sûres. Quelle opération dégrade le plus la précision ?
Une règle d’ingénieur affirme que les erreurs de mesures indépendantes « s’ajoutent » pour une somme : exprimer avec l’inégalité triangulaire (question 13) pourquoi l’erreur sur $a + b$ est au plus la somme des erreurs — l’inégalité est la règle de l’ingénieur.
Pour finir, en un court paragraphe : rassembler l’image de la droite réelle établie par ce problème et par ses ancêtres — pas de nombre suivant (devoir du week-end correspondant du volume précédent), rationnels $=$ décimales périodiques (idem), les deux familles denses (questions 8 et 9), mesure à jamais indécise (question 16). Terminer par l’annonce que ce chapitre ne peut pas encore démontrer : en un sens précis, il y a beaucoup plus d’irrationnels que de rationnels — les volumes universitaires comptent les infinis.

Solution

Solution de Problème 1.1.

1. $-7 \in \Z$ ; $\frac{13}{4} \in \Q$ ; $\sqrt{16} = 4 \in \N$ ; $0.121212\ldots = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} \in \Q$ (devoir du week-end sur les décimales périodiques du volume précédent) ; $\sqrt8 = 2\sqrt2$ est irrationnel : plus petit ensemble $\R$ ; $\pi$ : $\R$ .

2. $\frac pq + \frac rs = \frac{ps + qr}{qs}$ et $\frac pq \times \frac rs = \frac{pr}{qs}$ : des quotients d’entiers de dénominateur non nul — donc des rationnels.

3. (a) Si $r$ est rationnel, $x$ irrationnel et si $r + x = q$ était rationnel, alors $x = q - r$ serait une différence de rationnels, donc rationnel (question 2) : contradiction. (b) Si $r \neq 0$ et $r x = q$ rationnel, alors $x = \frac qr$ est rationnel : contradiction.

4. $\sqrt2$ et $-\sqrt2$ sont irrationnels et de somme $0$ ; $\sqrt2$ et $\sqrt2$ ont pour produit $2$ . Des résultats rationnels à partir d’ingrédients irrationnels : les irrationnels ne forment aucun royaume stable.

5. $\sqrt8 = 2\sqrt2$ , donc $\sqrt2 + \sqrt8 = 3\sqrt2$ : irrationnel (question 3b, multiplicateur $3$ ). Et $\sqrt2 \times \sqrt8 = \sqrt{16} = 4 \in \N$ : le produit de deux irrationnels atterrit dans le plus petit royaume de tous.

6. $3.475$ , puis $3.471$ (ou $3.4701$ , $3.47001$ , …) : ajouter des décimales produit indéfiniment de nouveaux rationnels entre les deux.

7. Les multiples de $10^{-n}$ jalonnent la droite avec un pas $10^{-n} < g$ . Le premier multiple strictement supérieur à $a$ — il existe, puisque les multiples finissent par dépasser $a$ — se trouve à un pas au plus au-delà de $a$ , donc avant $a + g = b$ : il est strictement compris entre $a$ et $b$ . Or un point de la grille est un décimal, donc un rationnel : tout intervalle de longueur strictement positive en contient un.

8. Entre $a$ et le rationnel $r_1$ trouvé à la question 7 se trouve (question 7 de nouveau) un rationnel $r_2$ ; entre $a$ et $r_2$ un rationnel $r_3$ ; et ainsi de suite : une infinité, tous distincts, tous dans l’intervalle de départ.

9. $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ est la somme d’un rationnel et d’un irrationnel ( $\frac{\sqrt2}{10^k}$ est irrationnel par la question 3b), donc est irrationnel. Comme $\frac{\sqrt2}{10^k} < \frac{2}{10^k}$ devient plus petit que toute borne, pour $k$ assez grand $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ reste avant $b$ : voilà un irrationnel dans l’intervalle — et faire varier $k$ en donne une infinité.

10. Pas de plus petit réel strictement positif : si $s > 0$ l’était, l’intervalle $(0, s)$ contiendrait encore un rationnel (question 7), positif et plus petit que $s$ . Pas de nombre juste après $3$ : tout candidat $c > 3$ laisse l’intervalle $(3, c)$ , qui n’est pas vide — le jeu du devoir du week-end sur l’absence de nombre suivant, devenu théorème sur $\R$ .

11. $\abs{x - 5} = 2$ : $x = 3$ ou $x = 7$ . $\abs{x - 5} < 2$ : $x \in \intoo{3}{7}$ . $\abs{x + 1} \geq 3$ : distance à $-1$ au moins égale à $3$ , d’où $x \in \intoc{-\infty}{-4} \cup \intco{2}{+\infty}$ .

12. $\abs{d - 80} \leq 0.05$ , c’est-à-dire $d \in \intcc{79.95}{80.05}$ . Le piston à $79.97$ est accepté ; celui à $80.06$ est refusé, à un centième de millimètre près.

13. $(3, -5)$ : $\abs{-2} = 2 \leq 8$ . $(-2, -7)$ : $\abs{-9} = 9 = 2 + 7$ , il y a égalité. Même signe : $\abs{a + b}$ est la somme des distances, égale à $\abs a + \abs b$ . Signes contraires : le trajet revient sur ses pas, $\abs{a + b}$ est la différence des distances, strictement plus petite que leur somme (sauf si l’un des deux est nul). Il y a égalité exactement lorsque $a$ et $b$ sont de même signe ou que l’un est nul.

14. Les solutions sont les points équidistants de $2$ et de $-4$ : le milieu, $x = -1$ . C’est la médiatrice du devoir du week-end sur les deux miroirs, réduite à une dimension : un point unique.

15. $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ , et non $x$ : pour $x = -3$ , $\sqrt{9} = 3 = \abs{-3} \neq -3$ . Alors $x^2 < 9$ se lit $\sqrt{x^2} < 3$ , c’est-à-dire $\abs x < 3$ : $x \in \intoo{-3}{3}$ .

16. La mesure affirme seulement que la longueur est dans l’intervalle $\intcc{1.41420}{1.41422}$ — et d’après les questions 7 et 9, cet intervalle contient une infinité de rationnels et une infinité d’irrationnels. Il en va de même pour toute tolérance future, si petite soit-elle. Aucune mesure ne pourra jamais séparer les deux familles ; seule une démonstration portant sur la longueur exacte — comme celle de la diagonale du carré unité (devoir du week-end sur l’irrationalité du volume précédent) — le peut.

17. Elles approchent $\sqrt2$ avec des erreurs inférieures à $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, \dots$ : les rationnels se pressent contre $\sqrt2$ à toutes les échelles. Le fait général : tout nombre réel est approché d’aussi près que l’on veut par des rationnels (ses troncatures décimales) — la densité encore une fois, vue du côté de la cible.

18. $a + b \in \intcc{2.4 + 1.1}{2.6 + 1.3} = \intcc{3.5}{3.9}$ : incertitude $\pm 0.2$ (les erreurs s’ajoutent). $a \times b \in \intcc{2.4 \times 1.1}{2.6 \times 1.3} = \intcc{2.64}{3.38}$ : une incertitude d’environ $\pm 0.37$ autour de $3$ — pour un produit ce sont les erreurs relatives qui s’ajoutent, et la précision se dégrade donc plus vite.

19. Écrivons les valeurs exactes $a = 2.5 + e_1$ et $b = 1.2 + e_2$ , avec $\abs{e_1}, \abs{e_2} \leq 0.1$ . L’erreur sur la somme vaut alors $\abs{e_1 + e_2} \leq \abs{e_1} + \abs{e_2} \leq 0.2$ : la règle de l’ingénieur est l’inégalité triangulaire de la question 13.

20. La droite réelle n’a ni trous ni voisins : après un nombre, pas de « suivant » (question 10). Ses points se répartissent entre les rationnels — exactement les décimales finies ou périodiques (devoir du week-end correspondant du volume précédent) — et les irrationnels, et les deux familles sont si étroitement entrelacées que tout intervalle en contient une infinité de chaque (questions 8 et 9) ; c’est pourquoi aucune mesure, mais seulement une démonstration, ne peut les distinguer (question 16). Et la surprise finale, laissée en promesse : les irrationnels sont plus nombreux que les rationnels — non pas en les comptant un à un, mais au sens précis d’une comparaison entre infinis, théorie construite dans les volumes universitaires.

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