Mathématiques du lycée · Grades 10–12

1Nombres et ensembles de nombres

Les mathématiques commencent avec les nombres, et tous les nombres ne sont pas de même nature : nombres pour compter, nombres négatifs, fractions, et nombres comme $\sqrt 2$ ou $\pi$ qu’aucune fraction ne peut exprimer. Ce chapitre les organise en familles emboîtées, introduit les intervalles pour décrire des portions de la droite numérique, et utilise la valeur absolue pour mesurer des distances entre nombres.

1.1 Les familles de nombres

Définition 1.1 (Ensembles de nombres)

$\N$ est l’ensemble des nombres naturels : $0, 1, 2, 3, \dots$
$\Z$ est l’ensemble des entiers relatifs : $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
$\Q$ est l’ensemble des nombres rationnels : tous les quotients $\frac{p}{q}$ avec $p \in \Z$ , $q \in \N$ et $q \neq 0$ .
$\R$ est l’ensemble des nombres réels : tous les nombres que l’on peut placer sur la droite numérique.

Notation 1.2

Le symbole $\in$ se lit « appartient à » : $3 \in \N$ , $-5 \in \Z$ , $\frac23 \in \Q$ . Le symbole $\subset$ se lit « est inclus dans » : tout nombre naturel est un entier, tout entier est un rationnel (par exemple $-5 = \frac{-5}{1}$ ), et tout rationnel est réel, donc

\N \subset \Z \subset \Q \subset \R .

Une barre traverse un symbole pour le nier : $\frac12 \notin \Z$ .

Les familles emboîtées de nombres : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Chaque anneau contient des nombres qui n’appartiennent pas aux plus petits. — Les familles emboîtées de nombres : $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$ . Chaque anneau contient des nombres qui n’appartiennent pas aux plus petits.

Exemple 1.3

Plaçons quelques nombres dans la plus petite famille qui les contient.

$\frac{28}{4} = 7$ , donc $\frac{28}{4} \in \N$ même s’il est écrit comme une fraction : toujours simplifier d’abord.
$-3.5 = -\frac{35}{10} = -\frac72$ est rationnel mais pas entier.
$0.333\dots$ (le chiffre $3$ qui se répète indéfiniment) égale $\frac13$ , un nombre rationnel.
$\sqrt 2$ et $\pi$ sont réels mais non rationnels, comme nous allons le voir pour $\sqrt 2$ ; de tels nombres sont dits irrationnels.

Théorème 1.4 (Irrationalité de $\sqrt 2$ )

Le nombre $\sqrt 2$ n’est pas rationnel : aucune fraction d’entiers n’a pour carré $2$ .

Démonstration. On raisonne par l’absurde, en petites étapes.

Supposons $\sqrt 2 = \frac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers positifs, et la fraction est irréductible, donc $p$ et $q$ ne sont pas tous les deux pairs.
En élevant au carré : $2 = \frac{p^2}{q^2}$ , c’est-à-dire $p^2 = 2q^2$ . Donc $p^2$ est pair.
Si $p$ était impair, disons $p = 2k+1$ , alors $p^2 = 4k^2 + 4k + 1$ serait impair. Comme $p^2$ est pair, $p$ doit être pair : $p = 2k$ pour un certain entier $k$ .
En substituant : $(2k)^2 = 2q^2$ , donc $4k^2 = 2q^2$ , donc $q^2 = 2k^2$ . Par le même argument qu’à l’étape 3, $q$ est pair.
À présent $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, ce qui contredit l’étape 1. L’hypothèse était impossible : $\sqrt 2$ est irrationnel.

∎

Remarque 1.5

Les nombres rationnels sont exactement les nombres dont le développement décimal soit s’arrête (comme $\frac72 = 3.5$ ), soit finit par répéter indéfiniment le même bloc (comme $\frac13 = 0.333\dots$ ou $\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\dots$ ). Les irrationnels comme $\sqrt2 = 1.41421356\dots$ ont des décimales qui ne tombent jamais dans un motif répétitif. On admet cette caractérisation à ce niveau.

1.2 La droite numérique et les intervalles

Les nombres réels remplissent une droite : en choisissant une origine $0$ et une unité de longueur, tout nombre réel correspond à exactement un point.

Définition 1.6 (Intervalle)

Soient $a$ et $b$ des nombres réels avec $a < b$ . Un intervalle est l’ensemble de tous les nombres réels compris entre deux bornes. Un crochet signifie que la borne est incluse, une parenthèse qu’elle est exclue :

notation	description
$\intcc{a}{b}$	$a \leq x \leq b$ (les deux bornes incluses)
$\intoo{a}{b}$	$a < x < b$ (les deux bornes exclues)
$\intco{a}{b}$	$a \leq x < b$
$\intoc{a}{b}$	$a < x \leq b$
$\intco{a}{+\infty}$	$x \geq a$
$\intoo{-\infty}{b}$	$x < b$

Les symboles $-\infty$ et $+\infty$ (« infini ») ne sont pas des nombres, seulement une façon de dire que l’intervalle se prolonge indéfiniment ; le crochet adjacent est toujours une parenthèse. Toute la droite $\R$ est l’intervalle $\intoo{-\infty}{+\infty}$ .

Intervalles sur la droite numérique : un point plein pour une borne incluse, un point creux pour une borne exclue.

Définition 1.7 (Intersection et réunion)

Soient $I$ et $J$ deux ensembles de nombres réels. L’intersection $I \cap J$ (« $I$ et $J$ ») est l’ensemble des nombres appartenant aux deux ; la réunion $I \cup J$ (« $I$ ou $J$ ») est l’ensemble des nombres appartenant à l’un au moins des deux.

Exemple 1.8

Prenons $I = \intcc{-1}{3}$ et $J = \intoo{1}{5}$ . En les dessinant sur la même droite : ils se chevauchent entre $1$ et $3$ . Donc

I \cap J = \intoc{1}{3}, \qquad I \cup J = \intco{-1}{5}.

Attention aux crochets : $1 \notin J$ donc $1 \notin I \cap J$ , mais $3 \in I$ et $3 \in J$ , donc $3 \in I \cap J$ .

Méthode 1.9 (Travailler avec les intervalles)

Pour trouver l’intersection ou la réunion de deux intervalles :

dessiner la droite numérique et marquer les quatre bornes ;
hachurer le premier intervalle au-dessus de la droite et le second en dessous ;
l’intersection est là où les hachures se superposent, la réunion là où au moins une hachure est présente ;
décider chaque crochet en testant si la borne elle-même appartient aux deux ensembles (intersection) ou à l’un au moins (réunion).

1.3 Valeur absolue et distance

Définition 1.10 (Valeur absolue)

La valeur absolue d’un nombre réel $x$ est

\abs{x} = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases}

Par exemple $\abs{7} = 7$ et $\abs{-4} = 4$ . Dans tous les cas $\abs{x} \geq 0$ .

Proposition 1.11 (Distance sur la droite)

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ , la distance entre les points $a$ et $b$ sur la droite numérique est $\abs{b - a}$ . En particulier $\abs{x}$ est la distance de $x$ à $0$ .

Démonstration. Si $b \geq a$ , la distance de $a$ à $b$ est $b - a \geq 0$ , qui égale $\abs{b-a}$ . Si $b < a$ , la distance est $a - b = -(b - a) > 0$ , qui est encore $\abs{b - a}$ par définition de la valeur absolue. ∎

Proposition 1.12 (Valeur absolue et intervalles)

Soit $a$ un nombre réel et $r > 0$ . Alors

\abs{x - a} \leq r \quad\text{exactement lorsque}\quad x \in \intcc{a - r}{a + r}.

Démonstration. $\abs{x-a} \leq r$ dit que la distance de $x$ à $a$ est au plus $r$ , c’est-à-dire que $x$ ne s’éloigne pas de plus de $r$ de $a$ de part et d’autre. Les nombres qui satisfont cela sont exactement ceux entre $a - r$ et $a + r$ , bornes incluses. ∎

L’inégalité |x - a| ≤ r décrit l’intervalle des nombres à distance au plus r de a. — L’inégalité $\abs{x - a} \leq r$ décrit l’intervalle des nombres à distance au plus $r$ de $a$ .

Exemple 1.13

Résoudre $\abs{x - 3} \leq 2$ . Les solutions sont les nombres à distance au plus $2$ de $3$ : l’intervalle $\intcc{1}{5}$ . Réciproquement, l’intervalle $\intcc{-1}{7}$ a pour centre $\frac{-1+7}{2} = 3$ et pour rayon $\frac{7-(-1)}{2} = 4$ , donc il est décrit par $\abs{x - 3} \leq 4$ .

1.4 Approximations

Les nombres irrationnels, et même la plupart des fractions, ne peuvent pas s’écrire exactement avec un nombre fini de décimales, donc en pratique on les approxime.

Définition 1.14 (Approximation à une précision donnée)

Un nombre $d$ est une approximation de $x$ à $10^{-n}$ près lorsque $\abs{x - d} \leq 10^{-n}$ . Tronquer ou arrondir le développement décimal après le $n$ -ième chiffre donnent toutes deux de telles approximations.

Exemple 1.15

D’après $\pi = 3.14159\,26\dots$ : la troncature $3.141$ et l’arrondi $3.142$ sont toutes deux des approximations de $\pi$ à $10^{-3}$ près. L’arrondi est à distance inférieure à $\frac12 \times 10^{-3}$ , la troncature ne garantit que $10^{-3}$ . Écrire $3.141 \leq \pi \leq 3.142$ encadre $\pi$ entre deux bornes décimales.

1.5 Exercices

Exercice 1.1 ★

Pour chaque nombre, indiquer le plus petit des ensembles $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ auquel il appartient :

\frac{15}{3}, \qquad -7, \qquad \frac{22}{7}, \qquad \sqrt{9}, \qquad \sqrt{10}, \qquad -2.4, \qquad 0 .

Solution

Solution de Exercice 1.1.

$\frac{15}{3} = 5 \in \N$ . $-7 \in \Z$ . $\frac{22}{7} \in \Q$ (ce n’est pas un entier : $22 = 7 \times 3 + 1$ ). $\sqrt 9 = 3 \in \N$ . $\sqrt{10} \in \R$ (irrationnel, puisque $10$ n’est pas le carré d’un rationnel — admis ici, dans l’esprit du Théorème 1.4). $-2.4 = -\frac{24}{10} \in \Q$ . $0 \in \N$ .

Exercice 1.2 ★

Écrire chaque énoncé avec la notation des intervalles, puis le dessiner sur une droite numérique : (a) $-2 \leq x < 5$ ; (b) $x > 3$ ; (c) $x \leq -1$ ; (d) la distance de $x$ à $2$ est au plus $3$ .

Solution

Solution de Exercice 1.2.

(a) $\intco{-2}{5}$ : point plein en $-2$ , point creux en $5$ . (b) $\intoo{3}{+\infty}$ : point creux en $3$ , hachures vers la droite. (c) $\intoc{-\infty}{-1}$ : hachures depuis la gauche jusqu’à un point plein en $-1$ . (d) « distance de $x$ à $2$ au plus $3$ » signifie $\abs{x - 2} \leq 3$ , c’est-à-dire $x \in \intcc{-1}{5}$ : points pleins en $-1$ et $5$ .

Exercice 1.3 ★

Calculer $I \cap J$ et $I \cup J$ pour

\text{(a) } I = \intcc{-3}{2},\ J = \intco{0}{4}; \qquad \text{(b) } I = \intoo{-\infty}{1},\ J = \intco{-2}{+\infty}.

Solution

Solution de Exercice 1.3.

(a) Les deux intervalles se chevauchent entre $0$ et $2$ : $I \cap J = \intcc{0}{2}$ ( $0 \in J$ et $2 \in I$ , et chacun appartient aussi à l’autre ensemble), et $I \cup J = \intco{-3}{4}$ .

(b) $I \cap J$ est l’ensemble des $x$ tels que $-2 \leq x$ et $x < 1$ : $\intco{-2}{1}$ . La réunion couvre tout : $I \cup J = \R$ .

Exercice 1.4 ★

Calculer sans calculatrice :

\abs{-6}, \qquad \abs{4 - 9}, \qquad \abs{-3 - 5}, \qquad \abs{\sqrt 2 - 1}, \qquad \abs{1 - \sqrt 2}.

Solution

Solution de Exercice 1.4.

$\abs{-6} = 6$ ; $\abs{4 - 9} = \abs{-5} = 5$ ; $\abs{-3 - 5} = \abs{-8} = 8$ ; $\sqrt 2 > 1$ donc $\abs{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 - 1$ ; $1 - \sqrt2 < 0$ donc $\abs{1 - \sqrt2} = \sqrt2 - 1$ aussi (un nombre et son opposé ont la même valeur absolue).

Exercice 1.5 ★

Résoudre les équations et inégalités et donner les ensembles de solutions :

\abs{x} = 5, \qquad \abs{x - 1} = 3, \qquad \abs{x - 4} \leq 1, \qquad \abs{x + 2} < 3 .

(Noter que $\abs{x+2} = \abs{x - (-2)}$ est une distance à $-2$ .)

Solution

Solution de Exercice 1.5.

$\abs{x} = 5$ : distance $5$ à $0$ , donc $x = 5$ ou $x = -5$ .

$\abs{x - 1} = 3$ : distance $3$ à $1$ , donc $x = 4$ ou $x = -2$ .

$\abs{x - 4} \leq 1$ : distance au plus $1$ à $4$ , donc $x \in \intcc{3}{5}$ .

$\abs{x + 2} < 3$ : distance strictement inférieure à $3$ à $-2$ , donc $x \in \intoo{-5}{1}$ .

Exercice 1.6 ★★

Décrire chaque intervalle par une inégalité de la forme $\abs{x - a} \leq r$ ou $\abs{x - a} < r$ :

\intcc{2}{8}, \qquad \intoo{-5}{1}, \qquad \intcc{-7}{-3}.

Solution

Solution de Exercice 1.6.

Chaque intervalle est décrit par son centre $a$ (milieu des bornes) et son rayon $r$ (moitié de la longueur).

$\intcc{2}{8}$ : $a = 5$ , $r = 3$ , donc $\abs{x - 5} \leq 3$ .

$\intoo{-5}{1}$ : $a = -2$ , $r = 3$ , bornes ouvertes, donc $\abs{x + 2} < 3$ .

$\intcc{-7}{-3}$ : $a = -5$ , $r = 2$ , donc $\abs{x + 5} \leq 2$ .

Exercice 1.7 ★★

Montrer que $0.272727\dots$ (le bloc $27$ qui se répète indéfiniment) est rationnel. (Indication : l’appeler $x$ et calculer $100x - x$ .)

Solution

Solution de Exercice 1.7.

Soit $x = 0.272727\dots$ . Alors $100x = 27.2727\dots$ , et en soustrayant :

100x - x = 27.2727\dots - 0.2727\dots = 27,

donc $99x = 27$ et $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ , un quotient d’entiers : $x$ est rationnel.

Exercice 1.8 ★★

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par un argument ou un contre-exemple.

La somme de deux entiers est un entier.
Le quotient de deux entiers est un entier.
La somme de deux rationnels est rationnelle.
La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est irrationnelle.

Solution

Solution de Exercice 1.8.

1. Vrai : ajouter des entiers (nombres entiers positifs ou négatifs) produit toujours un entier.

2. Faux : $\frac{1}{2}$ est un quotient des entiers $1$ et $2$ et n’est pas un entier.

3. Vrai : $\frac pq + \frac{p'}{q'} = \frac{pq' + p'q}{qq'}$ est encore un quotient d’entiers (avec dénominateur non nul).

4. Vrai : supposons $r$ rationnel, $t$ irrationnel, et $r + t = s$ rationnel. Alors $t = s - r$ serait une différence de deux rationnels, donc rationnel (par le 3, appliqué avec $-r$ ) — contradiction. Donc $r + t$ est irrationnel.

Exercice 1.9 ★★

En utilisant $1.414 \leq \sqrt 2 \leq 1.415$ , encadrer les nombres $2\sqrt2$ , $\sqrt2 + 3$ et $-\sqrt2$ entre deux bornes décimales.

Solution

Solution de Exercice 1.9.

En multipliant $1.414 \leq \sqrt2 \leq 1.415$ par $2 > 0$ : $2.828 \leq 2\sqrt2 \leq 2.830$ .

En ajoutant $3$ : $4.414 \leq \sqrt2 + 3 \leq 4.415$ .

En multipliant par $-1 < 0$ , les inégalités s’inversent : $-1.415 \leq -\sqrt2 \leq -1.414$ .

Exercice 1.10 ★★★

Adapter la démonstration du Théorème 1.4 pour montrer que $\sqrt 3$ est irrationnel. (Remplacer « pair » par « multiple de $3$ » : vérifier d’abord que si $p^2$ est multiple de $3$ , alors $p$ l’est aussi, en examinant les restes $0$ , $1$ , $2$ de $p$ dans la division par $3$ .)

Solution

Solution de Exercice 1.10.

D’abord le fait auxiliaire. Divisons $p$ par $3$ : le reste est $0$ , $1$ ou $2$ , c’est-à-dire $p = 3k$ , $p = 3k+1$ ou $p = 3k+2$ . En élevant au carré :

(3k)^2 = 3(3k^2), \quad (3k+1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1, \quad (3k+2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 .

Seul le premier est multiple de $3$ : si $p^2$ est multiple de $3$ , alors $p$ l’est aussi.

Supposons maintenant $\sqrt3 = \frac pq$ irréductible. En élevant au carré : $p^2 = 3q^2$ , donc $p^2$ est multiple de $3$ , donc $p = 3k$ . Alors $9k^2 = 3q^2$ , donc $q^2 = 3k^2$ et $q$ est aussi multiple de $3$ — mais alors la fraction $\frac pq$ n’était pas irréductible : contradiction. Donc $\sqrt3$ est irrationnel.