Mathématiques universitaires — Licence 3 · Bachelor Year 3

3Modules sur un anneau principal

L’algèbre linéaire sur un anneau au lieu d’un corps : ce petit changement d’hypothèse produit l’un des grands théorèmes d’unification de l’algèbre. Un module sur $\Z$ est un groupe abélien ; un module sur $K[X]$ est un espace vectoriel muni d’un endomorphisme. Le théorème de structure des modules de type fini sur un PID classifie donc, d’un seul coup, tous les groupes abéliens de type fini et tous les endomorphismes à similitude près — la réduction de Jordan, que le volume de L2 obtenait par d’indélicates récurrences, tombe en corollaire, avec son frère plus subtil, la forme canonique rationnelle, valable sur tout corps. Le moteur calculatoire est la forme normale de Smith, une arithmétique des matrices digne d’Euclide.

Tout au long, $A$ est un anneau commutatif, bientôt un PID ; « module » signifie $A$ -module.

3.1 Modules, modules libres

Définition 3.1

Un $A$ -module est un groupe abélien $(M, +)$ muni d’une multiplication scalaire $A \times M \to M$ vérifiant les axiomes d’espace vectoriel : $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ , $1x = x$ . Sous-modules, quotients $M/N$ , morphismes (applications $A$ -linéaires), sommes directes $\bigoplus_i M_i$ , et théorèmes d’isomorphisme se définissent et se démontrent mot pour mot comme pour les espaces vectoriels et les groupes abéliens ; en particulier $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ pour un morphisme $f$ .

Exemple 3.2

Les trois cas motivants.

$A = K$ un corps : les modules sont les espaces vectoriels.
$A = \Z$ : les modules sont exactement les groupes abéliens ( $nx$ est forcé à valoir $x + \dots + x$ ), les sous-modules sont les sous-groupes.
$A = K[X]$ : un module est un $K$ -espace vectoriel $V$ muni de l’application $K$ -linéaire $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — réciproquement, toute paire $(V, u)$ avec $u \in \mathcal L(V)$ devient un $K[X]$ -module par $P \cdot x = P(u)(x)$ . Les sous-modules sont précisément les sous-espaces $u$ -stables.

Un idéal de $A$ est exactement un sous-module de $A$ ; un anneau quotient $A/I$ est un $A$ -module. Contrairement aux espaces vectoriels, les modules peuvent avoir de la torsion : dans $\Z/6\Z$ , l’élément $\bar 3 \ne 0$ est tué par $2 \neq 0$ .

Définition 3.3

$M$ est de type fini si $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ pour certains $x_i$ . $M$ est libre de rang $n$ si $M \cong A^n$ , i.e. s’il a une base (une famille génératrice $A$ -linéairement indépendante). Tout $M$ de type fini est un quotient d’un module libre : $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ envoie $A^n$ sur $M$ .

Proposition 3.4 (Invariance du rang)

Si $A \neq 0$ et $A^m \cong A^n$ , alors $m = n$ .

Démonstration. Choisir un idéal maximal $\mathfrak m$ de $A$ (Théorème 2.8) et poser $k = A/\mathfrak m$ , un corps. Un isomorphisme $f \colon A^m \to A^n$ envoie $\mathfrak m A^m$ dans $\mathfrak m A^n$ (linéarité), donc induit un isomorphisme de quotients

A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n, \qquad\text{i.e.}\qquad k^m \cong k^n

comme $k$ -espaces vectoriels (le quotient $A^m/\mathfrak m A^m$ est tué par $\mathfrak m$ , donc l’action de $A$ se factorise à travers $k$ ; les images de la base standard forment une $k$ -base). La théorie de la dimension sur le corps $k$ donne $m = n$ . ∎

Théorème 3.5 (Sous-modules des modules libres)

Soit $A$ un PID et $M \subseteq A^n$ un sous-module. Alors $M$ est libre de rang $\leq n$ .

Démonstration. Récurrence sur $n$ . Pour $n = 1$ : $M$ est un idéal, donc $M = (0)$ (libre de rang $0$ ) ou $M = dA \cong A$ ( $x \mapsto dx$ est injectif : anneau intègre). Pour $n > 1$ : soit $\pi \colon A^n \to A$ la dernière coordonnée. Alors $\pi(M)$ est un idéal, $(0)$ ou $dA$ . Si $(0)$ : $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ et la récurrence s’applique. Sinon choisir $x_0 \in M$ avec $\pi(x_0) = d$ . Tout $x \in M$ s’écrit de façon unique

x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 + \Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr), \qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi

( $\pi(x) \in dA$ , donc le coefficient est dans $A$ ). Ainsi $M = Ax_0 \oplus (M \cap \ker \pi)$ : la somme est directe car $\pi(ax_0) = ad = 0$ force $a = 0$ . Par récurrence $M \cap \ker\pi \subseteq \ker \pi \cong A^{n-1}$ est libre de rang $\leq n - 1$ ; adjoindre $x_0$ (indépendant de $\ker\pi$ comme on vient de le voir) donne une base de $M$ de cardinal $\leq n$ . ∎

Remarque 3.6

Par conséquent, sur un PID tout module $M$ de type fini a une présentation finie : une surjection $\varphi\colon A^n \to M$ a un noyau libre de base $c_1, \dots, c_k$ ( $k \leq n$ ), et $M \cong A^n / \operatorname{im}(C)$ où $C \in M_{n,k}(A)$ est la matrice dont les colonnes sont les $c_j$ . Comprendre $M$ signifie comprendre une matrice sur $A$ à changement de bases près en source et but — le sujet de la section suivante.

3.2 Forme normale de Smith

Définition 3.7

Deux matrices $B, C \in M_{n,k}(A)$ sont équivalentes si $C = QBP$ avec $Q \in GL_n(A)$ , $P \in GL_k(A)$ (inversibles sur $A$ : déterminant dans $A^\times$ ). Des matrices de présentation équivalentes définissent des modules isomorphes $A^n/\operatorname{im}$ (changer de bases dans $A^n$ et $A^k$ ).

Théorème 3.8 (Forme normale de Smith)

Soit $A$ un PID et $B \in M_{n,k}(A)$ . Alors $B$ est équivalente à une matrice diagonale

\operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0), \qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 ,

et les $d_i$ sont uniques à associés près : $d_1 \cdots d_i$ est un pgcd des mineurs $i \times i$ de $B$ (en particulier ce pgcd est un invariant d’équivalence). Les $d_i$ sont les facteurs invariants de $B$ .

Démonstration. Existence. Si $B = 0$ , terminé. Sinon, considérer l’ensemble des idéaux $(b)$ engendrés par les entrées de matrices équivalentes à $B$ ; comme $A$ est noethérien, choisir une matrice $B'$ équivalente à $B$ et une entrée $d$ de $B'$ avec $(d)$ maximal dans cet ensemble. Amener $d$ en position $(1,1)$ par échanges de lignes et de colonnes.

Affirmation : $d$ divise toute entrée de $B'$ . D’abord, colonne 1 : si $b_{i1}$ n’est pas multiple de $d$ , soit $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud + vb_{i1}$ (Bézout), donc $(e) \supsetneq (d)$ . Le tour de la matrice $2 \times 2$ : en agissant sur les lignes $1$ et $i$ par

\begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de \end{pmatrix} \in GL_2(A) \qquad \Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr)

on produit une matrice équivalente avec entrée $e$ en position $(1,1)$ : cela contredit la maximalité de $(d)$ . Donc $d$ divise la colonne 1, et symétriquement la ligne 1. En soustrayant des multiples de la ligne 1 et de la colonne 1 on les nettoie : $B'$ est équivalente à $\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$ . Ensuite, $d$ divise toute entrée $b$ de $B''$ : ajouter la ligne de $b$ à la ligne 1 (opération élémentaire ; la nouvelle première ligne contient $d$ et des entrées en $b$ ), et répéter l’argument de nettoyage de colonne : un non-multiple améliorerait encore $(d)$ . Maintenant récurrence sur la taille : $B''$ , dont toutes les entrées sont divisibles par $d$ , a une forme de Smith $\operatorname{diag}(d_2, \dots)$ dont les entrées restent divisibles par $d$ (toute entrée d’un $QB''P$ est une $A$ -combinaison d’entrées de $B''$ ) ; poser $d_1 = d$ .

Unicité. Soit $D_i(B)$ un pgcd de tous les mineurs $i \times i$ . Les opérations sur les lignes et colonnes, et plus généralement la multiplication par toute matrice, ne peuvent pas rétrécir le pgcd : les mineurs $i \times i$ de $QB$ sont des $A$ -combinaisons de ceux de $B$ (développement de Cauchy–Binet ; ou directement : chaque ligne de $QB$ est une combinaison de lignes de $B$ , et les mineurs sont multilinéaires en les lignes). Donc $D_i(QBP)$ et $D_i(B)$ se divisent l’un l’autre : $D_i$ est un invariant d’équivalence. Sur la forme diagonale, les mineurs $i \times i$ non nuls sont les produits de $i$ des $d_j$ , et la divisibilité $d_1 \mid \dots \mid d_r$ fait de $d_1 \cdots d_i$ le pgcd. D’où $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ à unités près, et $d_i = D_i/D_{i-1}$ est déterminé. ∎

Méthode 3.9

Sur un anneau euclidien ( $\Z$ , $K[X]$ ), la réduction de Smith est un algorithme — aucun argument de maximalité n’est nécessaire : amener l’entrée de plus petite taille euclidienne en position $(1,1)$ ; si elle ne divise pas une entrée de sa ligne ou colonne, une division euclidienne laisse un reste strictement plus petit là — l’y échanger et recommencer (terminaison : les tailles décroissent) ; quand elle divise toute sa ligne et colonne, les nettoyer ; si elle ne divise pas une entrée intérieure, ajouter cette ligne à la ligne $1$ et recommencer ; récurrence sur le bloc intérieur. En pratique sur des matrices entières : calculer $D_1 = \gcd$ des entrées, $D_2$ , … via les mineurs pour les petites tailles, ou lancer l’algorithme.

Exemple 3.10 (Une réduction de Smith, en entier)

Réduire $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ sur $\Z$ . Le coin $1$ divise tout : nettoyer sa ligne et sa colonne ( $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ , puis $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ , $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$ ) :

M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} .

Dans le bloc intérieur, le coin $-3$ divise toutes les entrées : $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ et $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ le nettoient en $\operatorname{diag}(-3, 0)$ . En ajustant les signes (multiplier une ligne par $-1$ , opération légale) :

M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .

Contrôle croisé par diviseurs déterminantaux : $D_1 = \gcd(\text{entrées}) = 1$ ; tout mineur $2\times2$ de $M$ est multiple de $3$ (p.ex. $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$ ) et l’un vaut $-3$ : $D_2 = 3$ ; $D_3 = \det M = 0$ . D’où $d_1 = 1$ , $d_2 = 3$ , $d_3 = 0$ : même réponse. Deux leçons : un facteur invariant nul enregistre la chute de rang (le conoyau ramasse un facteur libre $\Z$ ), et la chaîne de divisibilité $1 \mid 3 \mid 0$ est le certificat de Smith — une réduction diagonale qui viole la chaîne (disons $\operatorname{diag}(2, 3)$ , que l’imprudent peut produire de $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ en s’arrêtant trop tôt : forme de Smith correcte $\operatorname{diag}(1, 6)$ , car $D_1 = 1$ ici !) n’est pas terminée.

Le sous-réseau L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) de ℤ2 (points rouges). La forme normale de Smith de ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) est diag(1, 6) : dans la base adaptée f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) de ℤ2, on a L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2, donc ℤ2/L ℤ/6ℤ — l’indice égale | | = 6, l’aire du domaine fondamental grisé. — Le sous-réseau $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ de $\Z^2$ (points rouges). La forme normale de Smith de $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ est $\operatorname{diag}(1, 6)$ : dans la base adaptée $f_1 = (1,3)$ , $f_2 = (0,1)$ de $\Z^2$ , on a $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$ , donc $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — l’indice égale $\abs{\det} = 6$ , l’aire du domaine fondamental grisé.

3.3 Le théorème de structure

Définition 3.11

Soit $A$ un anneau intègre et $M$ un $A$ -module. Le sous-module de torsion est

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ pour un certain } a \neq 0\}

(un sous-module : si $ax = by = 0$ alors $ab(x + y) = 0$ , $ab \ne 0$ ). $M$ est sans torsion si $T(M) = 0$ , un module de torsion si $T(M) = M$ .

Théorème 3.12 (Structure des modules de type fini sur un PID)

Soit $A$ un PID et $M$ un $A$ -module de type fini. Il existe un unique $r \in \N$ et des non nuls non inversibles $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$ , uniques à associés près, avec

M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s).

De plus $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ et $M/T(M) \cong A^r$ : un module de type fini sans torsion sur un PID est libre.

Démonstration. Existence. Présenter $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ (Remarque 3.6) et mettre $C$ sous forme de Smith : après les deux changements de base, $M \cong A^n / (d_1A \times \dots \times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus \dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$ . Écarter les facteurs où $d_i$ est une unité ( $A/(d_i) = 0$ ) ; la chaîne de divisibilité survit.

L’identification de la torsion. Dans la décomposition, $A^r$ est sans torsion (un anneau intègre n’a pas de diviseurs de zéro) et chaque $A/(d_i)$ est de torsion (tué par $d_i \ne 0$ ) ; une somme directe scinde la torsion en conséquence : $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ et $M/T(M) \cong A^r$ .

Unicité de $r$ : $M/T(M) \cong A^r$ ne dépend que de $M$ , et la Proposition 3.4 fixe $r$ .

Unicité des $d_i$ : il suffit de traiter le module de torsion $T = T(M)$ . Décomposer chaque $d_i$ en premiers et scinder par le théorème des restes chinois (Théorème 2.9 ; des premiers distincts engendrent des idéaux comaximaux) :

A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr): \qquad T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr),

les diviseurs élémentaires $p^{k_{p,j}}$ . Réciproquement les $d_i$ se reconstruisent à partir du multiensemble des diviseurs élémentaires ( $d_s =$ produit de la plus haute puissance de chaque premier, etc.), donc il suffit de prouver que le multiensemble $\{k_{p,j}\}_j$ est déterminé par $T$ , pour chaque premier $p$ . Fixer $p$ ; pour $j \geq 1$ considérer les $A/(p)$ -espaces vectoriels $p^{j-1}T/p^jT$ . Sur un facteur cyclique $A/(p^k)$ :

p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr) \cong \begin{cases} A/(p) & \text{si } j \leq k,\\ 0 & \text{si } j > k, \end{cases}

et sur un facteur $A/(q^k)$ , $q \neq p$ : la multiplication par $p$ y est bijective ( $p$ inversible mod $q^k$ : Bézout), donc le quotient est $0$ . Les sommes directes passent : $\dim_{A/(p)} p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$ . Ces dimensions intrinsèques déterminent le multiensemble des exposants. ∎

Corollaire 3.13 (Groupes abéliens de type fini)

Tout groupe abélien de type fini est $\Z^r \times \Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ avec $d_1 \mid \dots \mid d_s$ , de façon unique. Tout groupe abélien fini est un produit de groupes cycliques d’ordre puissance de premier, unique comme multiensemble.

Exemple 3.14

Les groupes abéliens d’ordre $p^n$ correspondent aux partitions de $n$ : pour $p^4$ : $\Z/p^4$ , $\Z/p^3\times\Z/p$ , $(\Z/p^2)^2$ , $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$ , $(\Z/p)^4$ — cinq groupes, car $4$ a cinq partitions. Les ordres mixtes multiplient les comptes premier par premier (CRT) : il y a $5 \times 2$ groupes abéliens d’ordre $2^4 \cdot 3^2 = 144$ .

3.4 Application : formes canoniques des endomorphismes

Soit $K$ un corps, $V$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ , et $u \in \mathcal L(V)$ ; faire de $V$ un $K[X]$ -module via $P \cdot x = P(u)(x)$ (Exemple 3.2). Ce module est de type fini (une $K$ -base engendre) et de torsion : pour chaque $x$ , les $n+1$ vecteurs $x, u(x), \dots, u^n(x)$ sont $K$ -liés, fournissant un polynôme annulateur non nul.

Définition 3.15

Pour $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ unitaire, la matrice compagnon est

C_P = \begin{pmatrix} 0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} :

la matrice de la « multiplication par $X$ » sur $K[X]/(P)$ dans la base $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$ .

Théorème 3.16 (Frobenius : forme canonique rationnelle)

Il existe une unique suite de polynômes unitaires non constants $P_1 \mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (les invariants de similitude de $u$ ) telle que, comme $K[X]$ -modules,

V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s):

dans une base convenable, $u$ a pour matrice diagonale par blocs $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$ . De plus :

$P_s = \mu_u$ (polynôme minimal) et $P_1\cdots P_s = \chi_u$ (polynôme caractéristique) ; en particulier $\mu_u \mid \chi_u$ (Cayley–Hamilton redémontré) et $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , donc $\chi_u$ et $\mu_u$ ont les mêmes facteurs irréductibles.
Deux endomorphismes (ou matrices carrées) sont semblables ssi ils ont les mêmes invariants de similitude.

Démonstration. Le théorème de structure (Théorème 3.12) appliqué au PID $K[X]$ : le module de torsion $V$ se décompose avec facteurs invariants $P_i$ , normalisés unitaires (les unités de $K[X]$ sont $K^\times$ ) ; aucune partie libre n’apparaît ( $V$ est de torsion). Sur chaque facteur cyclique $K[X]/(P_i)$ , la multiplication par $X$ a pour matrice $C_{P_i}$ dans la base des puissances de $\bar X$ : en concaténant les bases on obtient la forme par blocs.

(1) L’annulateur de $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ est $(P_1)\cap \dots\cap(P_s) = (P_s)$ (chaîne de divisibilité : $P_s$ est un multiple commun, et la classe de $1$ dans le dernier facteur est tuée exactement par $(P_s)$ ) : $\mu_u = P_s$ . Pour $\chi_u$ : sur un facteur cyclique, $\chi_{C_P} = P$ , par récurrence sur $m = \deg P$ . En développant $\det(XI_m - C_P)$ suivant la première ligne (dont les entrées sont $X$ , puis des zéros, puis $a_0$ en dernière colonne) :

\det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr) + (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L ,

où $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (même forme, une taille en moins) et $L$ est triangulaire de diagonale $(-1, \dots, -1)$ , donc $\det L = (-1)^{m-1}$ . Par récurrence le premier terme est $X\tilde P$ , et le second est $a_0$ : le total est $X\tilde P + a_0 = P$ (cas de base $m=1$ : $\det(X + a_0) = P$ ). Les déterminants multiplient sur les blocs : $\chi_u = \prod P_i$ . Cayley–Hamilton : $\chi_u \in (\mu_u)$ car $P_s \mid$ chaque… réciproquement chaque $P_i \mid P_s$ , donc $\chi_u = \prod P_i$ divise $P_s^{\,s} = \mu_u^s$ ; et $\mu_u = P_s$ divise $\chi_u$ comme l’un de ses facteurs.

(2) Des endomorphismes semblables sont des structures de modules conjuguées, donc ont des invariants égaux (unicité dans le Théorème 3.12) ; réciproquement des invariants égaux donnent des $K[X]$ -modules isomorphes, et un isomorphisme de modules est exactement une bijection linéaire entrelaçant les deux endomorphismes : une similitude. ∎

Corollaire 3.17 (La similitude est insensible à l’extension de corps)

Soient $K \subseteq L$ des corps et $M, N \in M_n(K)$ . Si $M$ et $N$ sont semblables sur $L$ , elles le sont sur $K$ .

Démonstration. Les invariants de similitude de $M$ se calculent par la formule des mineurs de Smith (Théorème 3.8) appliquée à la matrice de présentation $XI_n - M$ sur $K[X]$ — en effet le $K[X]$ -module $V_M = K^n$ a pour présentation $XI_n - M$ : l’application $K[X]^n \to V_M$ , $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$ , est surjective de noyau engendré par les colonnes de $XI_n - M$ (vérification directe : modulo ces colonnes, tout élément de $K[X]^n$ se réduit à un vecteur constant, et les vecteurs constants s’envoient bijectivement ; le problème du week-end le détaille). Les pgcd de polynômes ne changent pas sous extension de corps : si $d$ est le pgcd unitaire dans $K[X]$ d’une famille $(f_j)$ , Bézout donne $d = \sum u_jf_j$ avec $u_j \in K[X]$ , donc tout diviseur commun des $f_j$ dans $L[X]$ divise $d$ ; comme $d$ est lui-même un diviseur commun, c’est le pgcd dans $L[X]$ aussi. D’où les facteurs invariants de $XI_n - M$ , quotients de pgcd de mineurs successifs, sont les mêmes sur $K$ et sur $L$ : $M, N$ ont les mêmes invariants de similitude sur $L$ ssi sur $K$ ; conclure par le Théorème 3.16(2). ∎

Théorème 3.18 (Forme de Jordan, redérivée)

Supposer que $\chi_u$ se scinde sur $K$ (p.ex. $K = \C$ ). En appliquant à $V$ la décomposition en diviseurs élémentaires (démonstration du Théorème 3.12) au lieu des facteurs invariants :

V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X - \lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr),

et dans la base $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots, \overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ de chaque facteur, $u$ agit comme le bloc de Jordan $J_k(\lambda)$ : tout endomorphisme à polynôme caractéristique scindé a une base de Jordan, et le multiensemble de blocs $(\lambda, k)$ est unique.

Démonstration. Les diviseurs élémentaires du module de torsion $V$ sont les $(X - \lambda)^k$ avec $X - \lambda$ parcourant les facteurs irréductibles de $\mu_u$ (qui se scinde, car $\chi_u$ le fait et les deux ont les mêmes facteurs irréductibles, Théorème 3.16). Dans $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$ , poser $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ pour $j = 1, \dots, k$ : alors $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (avec $f_0 = 0$ ), i.e. $u(f_j) = \lambda f_j + f_{j-1}$ : la matrice de $u$ sur $(f_1, \dots, f_k)$ est exactement $J_k(\lambda)$ (des uns au-dessus de la diagonale). L’unicité du multiensemble des diviseurs élémentaires est le Théorème 3.12. ∎

Remarque 3.19

La hiérarchie des formes canoniques est désormais transparente : la forme rationnelle existe sur tout corps et détecte la similitude de façon absolue (Corollaire 3.17) ; la forme de Jordan en est le raffinement quand $\chi_u$ se scinde. Les démonstrations par dénombrement de dimensions du théorème de Jordan du volume de L2 sont absorbées : toute la combinatoire était l’arithmétique du PID $K[X]$ .

3.5 Exercices

Exercice 3.1 ★

(a) Montrer que $\Q$ n’est pas de type fini comme $\Z$ -module. (b) Montrer que $\Q$ est sans torsion mais non libre. (c) Pourquoi aucun des deux énoncés ne contredit-il le Théorème 3.12 ?

Solution

Solution de Exercice 3.1.

(a) Si $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$ , soit $d$ un dénominateur commun des $q_i$ : toute combinaison vit dans $\frac1d\Z$ , mais $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$ . Contradiction.

(b) Sans torsion : $nq = 0$ avec $n \neq 0$ force $q = 0$ dans $\Q$ . Non libre : deux rationnels non nuls $\frac ab, \frac cd$ satisfont la relation non triviale $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd = 0$ , donc une base a au plus un élément ; $\Q \cong \Z$ rendrait $\Q = \Z q$ cyclique, mais $\frac q2 \notin \Z q$ . (Et $\Q \neq 0$ .)

(c) Le Théorème 3.12 suppose la génération finie, que (a) nie : pas de contradiction — plutôt, $\Q$ montre que l’hypothèse est nécessaire dans l’énoncé « sans torsion $\Rightarrow$ libre ».

Exercice 3.2 ★

Lister les groupes abéliens d’ordre $360$ à isomorphisme près, sous les deux formes diviseurs élémentaires et facteurs invariants. Combien y a-t-il de groupes abéliens d’ordre $p^5$ ?

Solution

Solution de Exercice 3.2.

$360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$ . Partitions : de $3$ : $(3), (2,1), (1,1,1)$ ; de $2$ : $(2), (1,1)$ ; de $1$ : $(1)$ . D’où $3 \times 2 \times 1 = 6$ groupes. Diviseurs élémentaires $\to$ facteurs invariants :

$\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/360$
$\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/3 \times \Z/120$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/180$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/6 \times \Z/60$
$(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$
$(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$

(Pour passer aux facteurs invariants : le plus grand $d_s$ collecte la plus haute puissance de chaque premier, et ainsi de suite.) D’ordre $p^5$ : autant que de partitions de $5$ , à savoir $7$ .

Exercice 3.3 ★

Calculer la forme normale de Smith sur $\Z$ de

B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix},

et identifier les groupes abéliens $\Z^2/B\Z^2$ et $\Z^3/C\Z^3$ .

Solution

Solution de Exercice 3.3.

$B$ : $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$ ; $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 - 24} = 8$ . Facteurs invariants $d_1 = 2$ , $d_2 = 8/2 = 4$ : forme de Smith $\operatorname{diag}(2, 4)$ , et $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$ .

$C$ : diagonale mais pas de Smith ( $2 \nmid 3$ ). $D_1 = \gcd(2,3,12) = 1$ ; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) = \gcd(6, 24, 36) = 6$ ; $D_3 = 72$ . Donc $d = (1, 6, 12)$ et $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — de façon cohérente avec le CRT : $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$ .

Exercice 3.4 ★★

Soit $L \subseteq \Z^n$ un sous-groupe de rang $n$ de base les colonnes de $B \in M_n(\Z)$ , $\det B \neq 0$ . Montrer que $\Z^n/L$ est fini de cardinal $\abs{\det B}$ , et que $\Z^n/L \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ pour les facteurs invariants $d_i$ de $B$ . Illustrer avec $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ .

Solution

Solution de Exercice 3.4.

Écrire $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ avec $Q, P \in GL_n(\Z)$ (Théorème 3.8 ; aucun $d_i$ nul car $\det B \neq 0$ ). Alors $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/ \operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (l’isomorphisme composé $x \mapsto Q^{-1}x$ de $\Z^n$ envoie $B\Z^n$ sur $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$ ). Son cardinal est $\prod \abs{d_i} = \abs{\det \operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$ , car $\det Q, \det P = \pm 1$ . Pour $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ : $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ , $D_1 = 1$ , $D_2 = 6$ : $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ , de cardinal $\abs{\det B} = 6$ .

Exercice 3.5 ★★

Soit $A$ un anneau intègre. (a) Vérifier que $T(M)$ est un sous-module et que $M/T(M)$ est sans torsion. (b) Montrer que l’idéal $(X, Y)$ de $K[X,Y]$ , comme $K[X,Y]$ -module, est sans torsion mais non libre : le théorème de structure a vraiment besoin de l’hypothèse PID.

Solution

Solution de Exercice 3.5.

(a) Sous-module : fait dans la Définition 3.11. Si $a(x + T(M)) = 0$ dans $M/T(M)$ avec $a \neq 0$ , alors $ax \in T(M)$ : $bax = 0$ pour un certain $b \neq 0$ , et $ba \neq 0$ (anneau intègre), donc $x \in T(M)$ : la classe est nulle. $M/T(M)$ est sans torsion.

(b) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ est sans torsion (un sous-module de l’anneau intègre $K[X,Y]$ agissant sur lui-même). Supposons qu’il soit libre ; deux éléments $P, Q$ satisfont $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$ , une relation non triviale quand $P \ne Q$ sont non nuls, donc une base a un élément : $(X, Y) = (P)$ principal — contredisant Exercice 2.6(a). Sans torsion et de type fini ( $X, Y$ engendrent), pourtant non libre : sur le non-PID $K[X,Y]$ , le théorème de structure échoue.

Exercice 3.6 ★★

(a) Montrer que $2\Z$ n’a pas de supplémentaire direct dans le $\Z$ -module $\Z$ : les sous-modules des modules libres sont libres (Théorème 3.5), mais ils n’ont pas besoin d’être des facteurs directs. (b) Montrer que si $M \subseteq A^n$ ( $A$ un PID) vérifie : $A^n/M$ est sans torsion, alors $M$ est un facteur direct.

Solution

Solution de Exercice 3.6.

(a) Si $\Z = 2\Z \oplus C$ , la projection $\Z \to \Z/2\Z$ se restreint en un isomorphisme $C \cong \Z/2\Z$ : $C$ serait un sous-groupe de $\Z$ dont l’élément non nul $x$ vérifie $2x \in C \cap 2\Z = 0$ . Mais $\Z$ est sans torsion : $C = 0$ , forçant $\Z = 2\Z$ — faux.

(b) $A^n/M$ est de type fini et sans torsion, donc libre (Théorème 3.12) : $A^n/M \cong A^r$ de base $f_1, \dots, f_r$ . Choisir des antécédents $y_i \in A^n$ des $f_i$ et poser $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$ . Tout $x \in A^n$ a $\pi(x) = \sum a_if_i$ , donc $x - \sum a_iy_i \in M$ : $A^n = M + F$ . Si $\sum a_iy_i \in M$ , appliquer $\pi$ donne $\sum a_if_i = 0$ , d’où tous les $a_i = 0$ (base) : $M \cap F = 0$ . Donc $A^n = M \oplus F$ .

Exercice 3.7 ★★

Résoudre dans $\Z^2$ le système

\begin{cases} 2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\ 6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20}, \end{cases}

pour quelles paires $(b_1, b_2)$ des solutions existent, en utilisant la forme de Smith de Exercice 3.3 (changements de variables inversibles des deux côtés).

Solution

Solution de Exercice 3.7.

La réduction de Exercice 3.3 était effective : avec

L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}

(opération de ligne $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ , opérations de colonne $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ puis $C_2 \leftarrow -C_2$ ). En posant $y = R^{-1}x$ (une bijection de $(\Z/20\Z)^2$ , $R$ étant inversible sur $\Z$ ), le système $Bx \equiv b \pmod{20}$ est équivalent à

2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}.

La congruence $ky \equiv c \pmod{20}$ est résoluble ssi $\gcd(k, 20) \mid c$ : des solutions existent ssi $2 \mid b_1$ et $4 \mid b_2 - 3b_1$ , i.e. $b_1$ pair et $b_2 \equiv 3b_1 \pmod 4$ . Quand c’est résoluble il y a $2 \times 4 = 8$ solutions modulo $20$ .

Exercice 3.8 ★★

(a) Déterminer tous les invariants de similitude et formes de Jordan possibles d’une matrice nilpotente $4 \times 4$ , triés par la partition de $4$ qu’ils réalisent. (b) Exhiber deux matrices $4\times4$ complexes de mêmes polynômes caractéristique et minimal qui ne sont pas semblables, et prouver que pour $n \leq 3$ cela ne peut arriver.

Solution

Solution de Exercice 3.8.

(a) Un $u$ nilpotent a $\mu_u = X^k$ ; les diviseurs élémentaires sont $X^{k_1} \geq \dots$ , un bloc de Jordan $J_{k_i}(0)$ par part d’une partition de $4$ :

partition	forme de Jordan	facteurs invariants
$(4)$	$J_4$	$X^4$
$(3,1)$	$J_3 \oplus J_1$	$X,\ X^3$
$(2,2)$	$J_2 \oplus J_2$	$X^2,\ X^2$
$(2,1,1)$	$J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$	$X,\ X,\ X^2$
$(1,1,1,1)$	$0$	$X, X, X, X$

(b) Prendre $u = J_2\oplus J_2$ et $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ : tous deux ont $\chi = X^4$ , $\mu = X^2$ , mais des facteurs invariants différents — non semblables (Théorème 3.16) ; on peut aussi comparer les rangs : $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 = \operatorname{rk} v$ . Pour $n \leq 3$ : $\chi$ et $\mu$ déterminent, pour chaque valeur propre $\lambda$ (sur un corps de scindage), la taille totale $m_\lambda \leq 3$ des blocs $\lambda$ et le plus grand bloc $r_\lambda$ ; une partition de $m \leq 3$ est déterminée par sa plus grande part ( $m = 3, r = 2$ force $(2,1)$ , etc.). Donc les diviseurs élémentaires coïncident, et le Corollaire 3.17 descend la similitude au corps de base.

Exercice 3.9 ★★★

Soit $u \in \mathcal L(V)$ , $\dim V = n$ . Montrer que les énoncés suivants sont équivalents : (i) $V$ est un $K[X]$ -module cyclique (il existe $x$ avec $V = K[u]x$ , un vecteur cyclique) ; (ii) $\mu_u = \chi_u$ ; (iii) $s = 1$ dans le Théorème 3.16. En déduire qu’une matrice compagnon a un vecteur cyclique, et déterminer quand une matrice diagonale en a un.

Solution

Solution de Exercice 3.9.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : si $V = K[u]x$ , alors $V \cong K[X]/\operatorname{Ann}(x)$ , et $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (un polynôme tue $x$ ssi il tue tout $V = K[u]x$ , car $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$ ). Donc $n = \dim V = \deg \mu_u$ ; comme $\mu_u \mid \chi_u$ et $\deg\chi_u = n$ , l’unitarité donne $\mu_u = \chi_u$ .

(ii) $\Rightarrow$ (iii) : $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ et $\mu_u = P_s$ (Théorème 3.16) ; l’égalité des degrés force $s = 1$ .

(iii) $\Rightarrow$ (i) : $V \cong K[X]/(P_1)$ est cyclique, engendré par l’antécédent de $\bar 1$ .

Une matrice compagnon est le cas $V = K[X]/(P)$ lui-même : $x = \bar 1$ , i.e. $e_1$ , est cyclique. Pour une matrice diagonale $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ : $\chi = \prod (X - \lambda_i)$ , $\mu = \prod_{\lambda \text{ distincts}} (X - \lambda)$ ; ils s’accordent ssi les $\lambda_i$ sont deux à deux distincts : une matrice diagonale a un vecteur cyclique ssi ses entrées diagonales sont deux à deux distinctes (alors $x = (1, \dots, 1)$ marche : Vandermonde).

Exercice 3.10 ★★★

Pour $M \in M_n(\Z)$ vue comme endomorphisme de $\Z^n$ , démontrer la formule d’indice : si $\det M \ne 0$ , alors $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$ , et en déduire que $M \in GL_n(\Z)$ ssi $\det M = \pm 1$ . Application : le groupe $\Z^2$ a exactement $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ sous-groupes d’indice $m$ . (Compter les matrices sous forme de Hermite $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ , $ad = m$ , $0 \leq b < d$ .)

Solution

Solution de Exercice 3.10.

Smith : $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$ ; Exercice 3.4 donne $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} = \abs{\det M}$ . Si $\det M = \pm 1$ : la formule d’adjointe $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ a des entrées entières, donc $M \in GL_n(\Z)$ ; réciproquement $MM^{-1} = I$ donne $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ dans $\Z$ , donc $\det M = \pm1$ .

Sous-groupes d’indice $m$ dans $\Z^2$ : un tel sous-groupe $L$ a rang $2$ (indice fini) et une base unique sous forme normale de Hermite $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ : $d$ est caractérisé par $L \cap (\{0\} \times \Z) = \{0\} \times d\Z$ , $a$ par $\pi_1(L) = a\Z$ (premières coordonnées), et $b$ est alors unique modulo $d$ ; normaliser $a, d > 0$ et $0 \leq b < d$ . L’indice est $ad = m$ . Dénombrement : pour chaque diviseur $d \mid m$ ( $a = m/d$ ), il y a $d$ choix de $b$ : total $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$ .

Exercice 3.11 ★★

(Équations $x^k = e$ dans les groupes abéliens) Soit $G$ un groupe abélien fini de facteurs invariants $d_1 \mid d_2 \mid \dots \mid d_s$ . (a) Montrer que pour tout $k \geq 1$ ,

\#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) .

(b) En déduire : un groupe abélien fini est cyclique si et seulement si pour tout $k$ , l’équation $x^k = e$ a au plus $k$ solutions. (c) Retrouver la cyclicité des sous-groupes finis de $K^\times$ ( $K$ un corps, Chapitre 4) : pourquoi le polynôme $X^k - 1$ garantit-il le critère de (b) ?

Solution

Solution de Exercice 3.11.

(a) Par le théorème de structure, $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$ , et $x^k = e$ se découple coordonnée par coordonnée. Dans $\Z/d\Z$ : $kx \equiv 0 \pmod d$ a exactement $\gcd(k, d)$ solutions ( $x$ doit être un multiple de $d/\gcd(k,d)$ , et il y en a $\gcd(k, d)$ ). Multiplier sur les facteurs.

(b) Si $G = \Z/d_s\Z$ est cyclique ( $s = 1$ ), le compte est $\gcd(k, d_s) \leq k$ . Si $s \geq 2$ : prendre $k = d_1$ ; le compte est $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ (chaque $\gcd$ égale $d_1$ par la chaîne de divisibilité) : l’équation $x^{d_1} = e$ a plus de $d_1$ solutions.

(c) Dans un corps, $X^k - 1$ a au plus $k$ racines (Chapitre 2 : un polynôme non nul de degré $k$ sur un anneau intègre), donc tout sous-groupe fini $G \leq K^\times$ satisfait le critère de (b) : $G$ est cyclique — la démonstration structurelle en une ligne de la cyclicité de $\mathbb F_q^\times$ , complétant la démonstration par dénombrement du Chapitre 4.

Exercice 3.12 ★★★

(Les matrices élémentaires engendrent) (a) Montrer que $M \in M_n(\Z)$ est inversible dans $M_n(\Z)$ ssi $\det M = \pm1$ . (b) Montrer que $SL_2(\Z)$ est engendré par les deux matrices élémentaires $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ et $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . (Lancer l’algorithme d’Euclide sur la première colonne de $M \in SL_2(\Z)$ par multiplications à gauche par des puissances de $E, F$ , en atteignant $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ ; finir à la main — noter $-I = (EF^{-1}E)^2$ .) (c) Expliquer le lien avec la réduction de Smith : sur $\Z$ , des opérations sur les lignes et colonnes de déterminant $1$ suffisent à diagonaliser, aux signes près.

Solution

Solution de Exercice 3.12.

(a) Si $MN = I$ avec $N$ entière : $\det M\det N = 1$ avec les deux entiers, donc $\det M = \pm1$ . Réciproquement si $\det M = \pm1$ , la formule des cofacteurs $M^{-1} = \frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ a des entrées entières.

(b) La multiplication à gauche par $E^{-k}$ soustrait $k$ fois la ligne $2$ de la ligne $1$ ; par $F^{-k}$ , $k$ fois la ligne $1$ de la ligne $2$ . Étant donné $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c & *\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$ , la première colonne $(a, c)$ est un vecteur unimodulaire ( $\gcd(a, c) = 1$ : il divise $\det M = 1$ ). Lancer Euclide sur $(a, c)$ par ces opérations de lignes : après un nombre fini d’étapes la colonne devient $(\pm1, 0)$ . La matrice est maintenant $\pm \bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr) = \pm E^{b}$ (le déterminant est resté $1$ ). Il reste à écrire $-I$ dans les générateurs : $(EF^{-1}E)^2 = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (vérifier le carré de la matrice de rotation). En déroulant, $M$ est un mot en $E^{\pm1}, F^{\pm1}$ .

(c) L’algorithme de Smith (Méthode 3.9) utilise exactement de telles opérations de lignes et de colonnes (plus échanges et changements de signe, eux-mêmes produits d’opérations élémentaires à signes près) : sur $\Z$ , on diagonalise par des matrices de $SL_n(\Z)$ (à signes près).

3.6 Problème : le commutant et le bicommutant

Problème 3.1

Problème du week-end — forme rationnelle, commutant, bicommutant

Soit $K$ un corps, $V$ un $K$ -espace vectoriel de dimension $n \geq 1$ , et $u \in \mathcal L(V)$ . On étudie le commutant

\mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\},

une sous-algèbre de $\mathcal L(V)$ contenant $K[u] = \{P(u) : P \in K[X]\}$ , et l’on démontre la formule de dimension de Frobenius et le théorème du bicommutant : $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ . Tout au long, $V$ est le $K[X]$ -module défini par $u$ , de facteurs invariants $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ et de décomposition cyclique $V = \bigoplus_{i=1}^s V_i$ , $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$ , $n_i = \deg P_i$ (Théorème 3.16).

Partie I — La matrice de présentation $XI - M$ , et échauffements.

Soit $M \in M_n(K)$ et soit $\varphi \colon K[X]^n \to V_M = K^n$ l’application envoyant $(Q_1, \dots, Q_n)$ sur $\sum_i Q_i(M)e_i$ . Montrer que $\varphi$ est un morphisme surjectif de $K[X]$ -modules et que toute colonne de $XI_n - M$ vit dans $\ker\varphi$ .
Montrer que, modulo les colonnes de $XI_n - M$ , tout élément de $K[X]^n$ est congruent à un vecteur constant (réduire les degrés en utilisant $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$ ), et en déduire $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : le module $V_M$ a pour matrice de présentation $XI_n - M$ . Retrouver le point de départ du Corollaire 3.17 : les invariants de similitude de $M$ sont les facteurs invariants non unités de $XI_n - M$ .
Calculer les invariants de similitude de : une matrice scalaire $\lambda I_n$ ; une matrice diagonale à entrées diagonales distinctes ; le bloc de Jordan $n \times n$ $J_n(0)$ ; $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ pour $n = 3$ .
Montrer que $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ .

Partie II — Morphismes entre modules cycliques.

Soient $P, Q$ unitaires non constants. Montrer qu’un $K[X]$ -morphisme $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ est déterminé par $f(\bar 1)$ , et que $\bar c \in K[X]/(Q)$ peut servir de $f(\bar 1)$ ssi $P\bar c = 0$ dans $K[X]/(Q)$ .
En déduire

$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr) \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$

de dimension $\deg \gcd(P, Q)$ sur $K$ . (Montrer que les solutions $\bar c$ de $P\bar c = 0$ dans $K[X]/(Q)$ forment le sous-module cyclique engendré par $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$ .)
Démontrer la formule de Frobenius :

$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$

(Un $v$ qui commute est exactement un $K[X]$ -endomorphisme de $V$ ; décomposer $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ en matrices de morphismes $V_j \to V_i$ et utiliser la chaîne de divisibilité.)
En déduire $\dim \mathcal C(u) \geq n$ , avec égalité ssi $u$ est cyclique ( $s = 1$ ), et calculer $\dim\mathcal C(u)$ pour $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : les deux extrêmes de la formule.
Vérifier la formule de Frobenius directement pour $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ en calculant le commutant explicitement comme matrices $3\times3$ .

Partie III — Le théorème du bicommutant. Soit $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ ; on prouve $w \in K[u]$ .

Montrer $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ , et que tout $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ commute avec $u$ — donc l’inclusion à prouver, $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , est un véritable affûtage de $w \in \mathcal C(u)$ .
Supposer d’abord que $u$ est cyclique, $V = K[u]x$ . Montrer directement que $\mathcal C(u) = K[u]$ (évaluer un $v$ qui commute sur $x$ : $v(x) = P(u)x$ pour un certain $P$ , et comparer $v$ avec $P(u)$ sur la base $u^k x$ ), et conclure le théorème dans ce cas.
Retour au cas général. Pour chaque $i$ , soit $\pi_i \colon V \to V_i$ la projection le long des autres facteurs. Montrer $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , et en déduire que $w$ préserve chaque $V_i$ et commute avec $u_i = u\restriction_{V_i}$ ; conclure via la question 11 appliquée au $u_i$ cyclique : il existe des polynômes $Q_i$ avec $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ .
Il reste à coller les $Q_i$ en un seul polynôme. Pour $i \leq j$ (donc $P_i \mid P_j$ ), montrer que $\eta_{ij} \colon V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , est un $K[X]$ -morphisme bien défini (ce qu’il faut vérifier est que $R(u)x_j = 0$ implique $R(u)x_i = 0$ ), et que $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , étendu par $0$ sur les autres facteurs, vit dans $\mathcal C(u)$ .
En utilisant $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ , montrer $Q_i \equiv Q_j \pmod{P_i}$ pour $i \leq j$ . En déduire que $Q = Q_s$ vérifie $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ pour tout $i$ , donc $w = Q(u)$ sur chaque $V_i$ , donc sur $V$ :

$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$
(Coda) En déduire du théorème : si $v$ commute avec toute matrice qui commute avec $u$ , et $u$ est cyclique, alors $v$ est un polynôme en $u$ ; et donner un exemple montrant que $\mathcal C(u) = K[u]$ échoue pour $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ — où exactement la cyclicité entre-t-elle ?

Partie IV — Dividendes des invariants de similitude. La forme canonique rationnelle est une machine ; voici cinq de ses sorties classiques.

(Transposée) Montrer que toute $M \in M_n(K)$ est semblable à sa transposée ${}^tM$ . (Les opérations qui amènent $XI - M$ sous forme de Smith, transposées, amènent $XI - {}^tM$ à la même forme de Smith : invariants de similitude égaux.)
(Descente de la similitude) Soient $K \subseteq L$ une extension de corps et $M, N \in M_n(K)$ . Montrer que si $M$ et $N$ sont semblables sur $L$ , elles le sont sur $K$ . (La forme de Smith de $XI - M$ calculée dans $K[X]$ est encore une forme de Smith dans $L[X]$ — pourquoi les facteurs invariants ne changent-ils pas ?) Conséquence digne d’être mémorisée : deux matrices réelles conjuguées dans $GL_n(\C)$ le sont dans $GL_n(\R)$ .
(Classification des nilpotents) Soit $u$ nilpotent. Montrer que le nombre de blocs de taille $\geq k$ dans sa décomposition en blocs de Jordan nilpotents égale $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ , et en déduire : les classes nilpotentes de $M_n(K)$ , pour tout corps $K$ , sont en bijection avec les partitions de $n$ . Combien de classes nilpotentes dans $M_5(K)$ ?
(Une paire concrète) Déterminer les invariants de similitude de la dérivation $D\colon P \mapsto P'$ agissant sur l’espace $K_{n-1}[X]$ des polynômes de degré $< n$ : (a) pour $K = \Q$ ; (b) pour $K = \mathbb F_p$ avec $p < n$ (en caractéristique $p$ , $(X^p)' = 0$ : calculer $\ker D^k$ et utiliser la question 18).
(Classes de conjugaison de $GL_2(\mathbb F_q)$ ) En utilisant les facteurs invariants, montrer que toute classe de $GL_2(\mathbb F_q)$ est d’exactement l’un des quatre types : centrale $aI$ ; diagonalisable à deux valeurs propres distinctes $a \neq b$ dans $\mathbb F_q^\times$ ; non semi-simple de polynôme minimal $(X - a)^2$ ; cyclique de polynôme caractéristique irréductible.
Compter les classes de chaque type et conclure : $GL_2(\mathbb F_q)$ a exactement $q^2 - 1$ classes de conjugaison. (Compter les quadratiques unitaires irréductibles sur $\mathbb F_q$ ; paires non ordonnées $\{a, b\}$ ; se souvenir que l’inversibilité contraint les termes constants.)
(Cyclique est générique) Montrer que $M \in M_2(\mathbb F_q)$ échoue à être cyclique ssi $M$ est scalaire, et en déduire qu’une matrice $2\times2$ uniformément aléatoire sur $\mathbb F_q$ est cyclique avec probabilité $1 - q^{-3}$ . Énoncer l’heuristique analogue pour $M_n$ et $q$ grand (aucune démonstration requise) : les matrices non cycliques sont rares — c’est pourquoi la partie III du Problème 3.1 n’a nécessité un vrai travail qu’au-delà du cas générique.

Partie V — Compléments.

(Centre du commutant) Montrer que le centre de l’algèbre $\mathcal C(u)$ est exactement $K[u]$ (combiner les deux inclusions de la partie III). En déduire que $\mathcal C(u)$ est commutative ssi $u$ est cyclique — retrouvant le cas d’égalité de la question 8 par une voie purement structurelle.
(Quelles dimensions apparaissent ?) Déduire de la formule de Frobenius que $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ pour tout $u$ . Puis déterminer l’ensemble exact des valeurs prises par $\dim \mathcal C(u)$ quand $u$ parcourt $\mathcal L(V)$ avec $\dim V = 4$ : montrer que c’est $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ (énumérer les suites de degrés $n_1 \leq \dots \leq n_s$ sommant à $4$ et réaliser chacune par un nilpotent). En particulier $12$ et $14$ , bien que de la bonne parité, ne sont pas atteints : la contrainte de parité est nécessaire mais non suffisante.
(Équation aux classes de $GL_2(\mathbb F_3)$ ) Pour $q = 3$ , calculer la taille de chaque classe de conjugaison de la question 20 via orbite–stabilisateur : le centralisateur d’une $M$ cyclique dans $GL_2(\mathbb F_q)$ est le groupe des unités de $K[M]$ (question 11). Identifier $K[M]$ dans les trois types non centraux, lister les trois quadratiques unitaires irréductibles sur $\mathbb F_3$ , et vérifier l’équation aux classes

$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)} = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$

avec $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ classes, comme prédit par la question 21.

Solution

Solution de Problème 3.1.

1. $\varphi$ est additive, et $K[X]$ -linéaire : $\varphi(X \cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X \cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$ , la structure de module de $V_M$ étant $X \cdot v = Mv$ . Elle est surjective : les vecteurs constants donnent tout $K^n$ . La colonne $j$ de $XI - M$ est $Xe_j - \sum_i m_{ij}e_i$ , dont l’image est $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$ .

2. Modulo les colonnes, $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$ : tout vecteur de polynômes se réduit, par récurrence sur le degré maximal, à un vecteur constant $c \in K^n$ . Si le vecteur original est dans $\ker\varphi$ , alors $\varphi(c) = c = 0$ (sur les constantes, $\varphi$ est l’identification $K^n = V_M$ ), donc le vecteur vit dans l’espace des colonnes : $\ker\varphi = (XI_n - M)K[X]^n$ . D’où $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$ , et Smith sur $K[X]$ (tous les facteurs invariants non nuls, leur produit étant $\det(XI - M) = \chi_M$ ) donne $V_M \cong \bigoplus_i K[X]/(f_i)$ : les $f_i$ non constants sont les invariants de similitude, calculables comme quotients de pgcd de mineurs (Théorème 3.8).

3. $\lambda I_n$ : $XI - \lambda I$ est déjà de Smith : invariants $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$ , $n$ d’entre eux. Entrées diagonales distinctes : $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X - \lambda_i)$ à modules deux à deux comaximaux, donc le CRT comprime en le seul cyclique $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$ : un invariant, $\chi$ . $J_n(0)$ : $\mu = X^n = \chi$ force un seul invariant $X^n$ . $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ : diviseurs élémentaires $X^2, X$ : invariants $P_1 = X \mid P_2 = X^2$ .

4. $P \mapsto P(u)$ envoie $K[X]$ sur $K[u]$ , de noyau $(\mu_u)$ par définition du polynôme minimal : $K[u] \cong K[X]/(\mu_u)$ , de dimension $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$ .

5. La $K[X]$ -linéarité force $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1) = Q\,f(\bar 1)$ . La classe $\bar 1$ vérifie $P \bar 1 = 0$ , donc $P f(\bar 1) = 0$ est nécessaire. Réciproquement si $P\bar c = 0$ , alors $f(\bar Q) = Q\bar c$ est bien défini ( $Q \equiv Q' \bmod P \Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ multiples de $P\bar c = 0$ ) et $K[X]$ -linéaire.

6. Soit $g = \gcd(P, Q)$ , $P = gP'$ , $Q = gQ'$ avec $\gcd(P', Q') = 1$ . Dans $K[X]/(Q)$ : $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc \iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (Euclide, $\gcd(P', Q') = 1$ ). Donc les $\bar c$ admissibles forment le sous-module engendré par $\bar{Q'}$ , dont l’annulateur est $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$ : ce sous-module est $\cong K[X]/(g)$ . Avec la question 5, $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$ , de dimension $\deg\gcd(P,Q)$ .

7. $v$ commute avec $u$ ssi $v$ commute avec tout $P(u)$ , ssi $v$ est $K[X]$ -linéaire : $\mathcal C(u) = \operatorname{End}_{K[X]}(V)$ . En écrivant les morphismes de $V = \bigoplus_j V_j$ comme matrices $(f_{ij})$ , $f_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (composer avec injections et projections), la question 6 donne

\dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i,j} n_{\min(i,j)} = \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k ,

en utilisant la chaîne de divisibilité ( $\gcd(P_i, P_j) = P_{\min(i,j)}$ ) et, pour la dernière étape, que $\min(i,j) = k$ arrive pour exactement $2(s - k) + 1$ paires $(i, j)$ .

8. Comme $2(s-k)+1 \geq 1$ , $\dim\mathcal C(u) \geq \sum_k n_k = n$ , avec égalité ssi $s = 1$ , i.e. ssi $u$ est cyclique (Exercice 3.9). Pour $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : $s = n$ , tous les $n_k = 1$ : $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — correct, car $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal L(V)$ .

9. Formule : invariants $(X, X^2)$ , donc $s = 2$ , $n_1 = 1$ , $n_2 = 2$ : $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$ . Directement : dans la base $(e_1, e_2, e_3)$ avec $u e_2 = e_1$ , $ue_1 = ue_3 = 0$ , écrire $Au = uA$ pour $A = (a_{ij})$ donne les conditions $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ et $a_{11} = a_{22}$ : cinq paramètres libres $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$ .

10. Un polynôme $P(u)$ commute avec tout ce qui commute avec $u$ (c’est une somme de puissances de $u$ ) : $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ . Et $u \in \mathcal C(u)$ , donc tout $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ commute avec $u$ .

11. Soit $V = K[u]x$ et $v \in \mathcal C(u)$ . Écrire $v(x) = P(u)x$ (cyclicité). Pour $y = Q(u)x$ arbitraire : $v(y) = vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$ . Donc $v = P(u)$ : $\mathcal C(u) = K[u]$ . Alors $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (commuter avec tout $K[u]$ est la même chose que commuter avec $u$ ). Le théorème vaut dans le cas cyclique.

12. $\pi_i$ est $K[X]$ -linéaire (la décomposition est une somme directe de sous-modules), donc $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , et $w$ commute avec lui : $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq V_i$ . La restriction $w_i = w\restriction_{V_i}$ commute avec le cyclique $u_i = u\restriction_{V_i}$ (question 10), et $w_i \in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (question 11) : $w_i = Q_i(u_i) = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ pour un certain $Q_i \in K[X]$ .

13. Bonne définition de $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$ : si $R(u)x_j = 0$ alors $P_j \mid R$ , et $P_i \mid P_j$ donne $P_i \mid R$ , donc $R(u)x_i = 0$ ( $\operatorname{Ann}(x_i) = (P_i)$ ). $\eta_{ij}$ est alors $K[X]$ -linéaire par construction, et $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ est une composition de $K[X]$ -morphismes $V \to V$ : $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal C(u)$ .

14. Évaluer $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ en $x_j$ : le membre de gauche est $w(x_i) = Q_i(u)x_i$ ; le membre de droite est $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$ . D’où $(Q_i - Q_j)(u)\,x_i = 0$ : $P_i \mid Q_i - Q_j$ pour tout $i \leq j$ . En particulier, avec $Q = Q_s$ : $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$ , donc $Q(u)$ et $Q_i(u)$ s’accordent sur $V_i$ (que $P_i(u)$ tue). Par conséquent $w = Q(u)$ sur chaque $V_i$ , donc sur $V$ : $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , et avec la question 10, $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ .

15. La première assertion est les questions 10–14 (ou, pour $u$ cyclique, la question 11 seule). Pour $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ : $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ a dimension $n^2$ , tandis que $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$ . Donc $\mathcal C(u) = K[u]$ échoue gravement ; pourtant le théorème du bicommutant vaut ( $\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$ : le centre de l’algèbre des matrices est les scalaires). La cyclicité est ce qui rend le seul commutant déjà polynomial ; le double commutant est polynomial toujours.

16. Si $P(XI - M)Q = S$ est une réduction de Smith ( $P, Q$ inversibles sur $K[X]$ ), en transposant on obtient ${}^tQ\,(XI - {}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$ : même forme de Smith, donc $XI - M$ et $XI - {}^tM$ ont les mêmes facteurs invariants, i.e. $M$ et ${}^tM$ ont les mêmes invariants de similitude (Corollaire 3.17) : elles sont semblables.

17. Les invariants de similitude de $M$ sur $L$ sont les facteurs invariants de $XI - M$ dans $L[X]$ . Une réduction de Smith de $XI - M$ sur $K[X]$ — $P, Q$ inversibles sur $K[X]$ , diagonale avec la chaîne de divisibilité — est aussi une réduction de Smith valide sur $L[X]$ ( $P, Q$ restent inversibles : leurs déterminants sont des constantes non nulles), et les facteurs invariants unitaires sont uniques : les facteurs invariants calculés sur $K$ et sur $L$ coïncident. Donc $M \sim_L N$ ssi elles ont les mêmes facteurs invariants ssi $M \sim_K N$ . En particulier des matrices réelles $\C$ -conjuguées sont $\R$ -conjuguées — un énoncé souvent démontré analytiquement (spécialiser un $P + \iu Q$ inversible), ici structurellement.

18. Décomposer $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ en blocs de Jordan nilpotents. Dans un bloc de taille $m$ , $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$ , donc $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ si $m \geq k$ , $0$ sinon. En sommant sur les blocs : $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k = \#\{t : m_t \geq k\}$ . La suite des rangs détermine donc le multiensemble $(m_t)$ — une partition de $n$ — et réciproquement chaque partition est réalisée : classes nilpotentes $\leftrightarrow$ partitions de $n$ , sur tout corps. $M_5$ : $p(5) = 7$ classes ( $5$ ; $4{+}1$ ; $3{+}2$ ; $3{+}1{+}1$ ; $2{+}2{+}1$ ; $2{+}1{+}1{+}1$ ; $1^5$ ).

19. (a) Sur $\Q$ (ou tout corps de caractéristique $0$ ), $D^n = 0$ , $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$ : $D$ est nilpotente d’indice $n$ sur un espace de dimension $n$ , donc cyclique d’unique invariant $X^n$ ( $x = X^{n-1}$ engendre : ses dérivées itérées engendrent). (b) Sur $\mathbb F_p$ avec $p < n$ : $D^p = 0$ , car la $p$ -ième dérivée de tout monôme $X^m$ porte le facteur $m(m-1)\cdots(m-p+1)$ , un produit de $p$ entiers consécutifs, donc $\equiv 0 \bmod p$ . Écrire $n = ap + r$ , $0 \leq r < p$ . Alors $\ker D^k$ est engendré par les monômes $X^m$ avec $D^kX^m = 0$ ; en comptant les exposants $m < n$ par leur résidu mod $p$ : $\dim\ker D^k = ak + \min(r, k)$ pour $0 \leq k \leq p$ , donc $\operatorname{rk}D^{k-1} - \operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a + \mathbf 1_{k \leq r}$ . Par la question 18, la partition a $a$ blocs de taille exactement $p$ et (si $r > 0$ ) un bloc de taille $r$ : invariants de similitude $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$ . La caractéristique change la forme canonique de l’opérateur le plus familier des mathématiques.

20. $M \in GL_2$ a $s \in \{1, 2\}$ facteurs invariants. Si $s = 2$ : $P_1 = P_2 = X - a$ ( $a \neq 0$ : inversibilité), i.e. $M = aI$ , central. Si $s = 1$ : $M$ est cyclique de caractéristique $=$ polynôme minimal $\chi$ de degré $2$ , et les classes correspondent aux $\chi$ possibles avec $\chi(0) \neq 0$ : $\chi$ scindé à racines distinctes $a \neq b$ (compagnon $\sim$ diagonale) ; $\chi = (X - a)^2$ (compagnon, non semi-simple) ; $\chi$ irréductible. Exactement un type chacun — les facteurs invariants sont un invariant complet.

21. Central : $q - 1$ choix de $a$ . Valeurs propres scindées distinctes : paires non ordonnées $\{a, b\} \subseteq \mathbb F_q^\times$ , $a \neq b$ : $\binom{q-1}2$ classes. Minimal $(X-a)^2$ : $q - 1$ classes. Quadratiques irréductibles à terme constant non nul : toutes les quadratiques irréductibles conviennent (leurs racines sont non nulles), et il y a $\frac{q^2 - q}2$ moniques irréductibles de degré $2$ (les $q^2$ moniques de degré $2$ moins les $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ scindés). Total :

(q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2 = q^2 - 1 .

22. Si $M$ n’est pas cyclique, $s = 2$ et $M$ est scalaire (la dichotomie de la question 20 vaut dans $M_2$ , inversible ou non : deux facteurs invariants de degré $1$ avec $P_1 \mid P_2$ et $P_1 = P_2$ force $M = aI$ ). Les scalaires sont au nombre de $q$ parmi les $q^4$ matrices : probabilité cyclique $1 - q^{-3}$ . En général le lieu non cyclique de $M_n$ est où les mineurs $(n-1)\times(n-1)$ de $XI - M$ partagent un facteur — une condition algébrique propre — donc sa proportion est $O(1/q)$ -petite pour $q$ grand : les matrices avec $\chi = \mu$ sont la règle, et l’argument de collage de la partie III est le prix payé pour les exceptions.

23. Un élément du centre de $\mathcal C(u)$ vit dans $\mathcal C(u)$ et commute avec tout élément de $\mathcal C(u)$ , i.e. vit dans $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ (question 14). Réciproquement $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$ , et tout $P(u)$ commute avec tout $v \in \mathcal C(u)$ (un tel $v$ commute avec $u$ , donc avec chaque puissance de $u$ ) : $K[u]$ est central dans $\mathcal C(u)$ . D’où $Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ . Par conséquent $\mathcal C(u)$ est commutative ssi $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ ; dans ce cas $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$ , tandis que la question 8 donne $\dim\mathcal C(u) \geq n$ : donc $n_s = n$ et $s = 1$ , i.e. $u$ est cyclique. Réciproquement, pour $u$ cyclique la question 11 donne $\mathcal C(u) = K[u]$ , commutative. Structurellement : une algèbre de matrices égale à son propre centre est exactement une algèbre de polynômes $K[u]$ d’un $u$ cyclique.

24. Chaque coefficient $2s - 2i + 1$ dans la formule de Frobenius est impair, donc

\dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^{s}(2s - 2i + 1)\,n_i \equiv \sum_{i=1}^{s} n_i = n \pmod 2 .

Pour $n = 4$ , les suites de degrés possibles $n_1 \leq \dots \leq n_s$ des facteurs invariants, sommant à $4$ , sont $(4)$ , $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(1, 1, 2)$ , $(1, 1, 1, 1)$ ; chacune est réalisée, p.ex. par le nilpotent avec $P_i = X^{n_i}$ (la chaîne de divisibilité vaut automatiquement). La formule donne, respectivement,

1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad 5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 .

Donc l’ensemble des valeurs est $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ : des nombres pairs de la bonne parité, mais $12$ et $14$ n’apparaissent jamais — entre les suites quasi cycliques et le $n^2$ du scalaire il y a un trou.

25. $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) = 8 \cdot 6 = 48$ . Type central : $I$ et $2I$ , deux classes de taille $1$ . Dans les trois autres types $M$ est cyclique (question 20), donc son centralisateur dans $GL_2$ est le groupe des éléments inversibles de $\mathcal C(M) = K[M]$ (question 11), et la taille de classe $=48/\abs{K[M]^\times}$ par orbite–stabilisateur. Valeurs propres scindées distinctes : seule la paire $\{1, 2\}$ , une classe ; $K[M] \cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ (CRT sur $\chi = (X-1) (X-2)$ ), unités $2 \cdot 2 = 4$ , taille $48/4 = 12$ . Minimal $(X - a)^2$ , $a \in \{1, 2\}$ : deux classes ; $K[M] \cong \mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$ , unités $q^2 - q = 6$ (terme constant de l’unité $\neq 0$ après centrage), taille $48/6 = 8$ . $\chi$ irréductible : les moniques irréductibles de degré $2$ sur $\mathbb F_3$ sont au nombre de $(9 - 3)/2 = 3$ , à savoir

X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2,

(pas de racines dans $\mathbb F_3$ : vérifier $0, 1, 2$ ) ; trois classes, $K[M] \cong \mathbb F_9$ , unités $q^2 - 1 = 8$ , taille $48/8 = 6$ . Équation aux classes : $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 = 2 + 12 + 16 + 18 = 48$ ; et $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ classes, en accord avec la question 21.