Wat is moduul? — Wiskunde

Definitie 3.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 3 — Modulen over een hoofdideaaldomein

Een $A$ -moduul is een abelse groep $(M, +)$ met een scalaire vermenigvuldiging $A \times M \to M$ die aan de axioma’s van een vectorruimte voldoet: $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ en $1x = x$ . Deelmodulen, quotiënten $M/N$ , morfismen ( $A$ -lineaire afbeeldingen), directe sommen $\bigoplus_i M_i$ en de isomorfiestellingen worden woord voor woord gedefinieerd en bewezen zoals voor vectorruimten en abelse groepen; in het bijzonder is $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ voor een morfisme $f$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 3.2

De drie motiverende gevallen.

$A = K$ een lichaam: modulen zijn vectorruimten.
$A = \Z$ : modulen zijn precies de abelse groepen ( $nx$ is gedwongen $x + \dots + x$ ), deelmodulen zijn deelgroepen.
$A = K[X]$ : een moduul is een $K$ -vectorruimte $V$ samen met de $K$ -lineaire afbeelding $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — en omgekeerd wordt elk paar $(V, u)$ met $u \in \mathcal L(V)$ een $K[X]$ -moduul via $P \cdot x = P(u)(x)$ . De deelmodulen zijn precies de $u$ -invariante deelruimten.

Een ideaal van $A$ is precies een deelmoduul van $A$ ; een quotiëntring $A/I$ is een $A$ -moduul. Anders dan vectorruimten kunnen modulen torsie hebben: in $\Z/6\Z$ wordt het element $\bar 3 \ne 0$ vernietigd door $2 \neq 0$ .

Lees in het hoofdstuk →