Wat is moduul?

Voorbeeld 3.2

De drie motiverende gevallen.

1. $A = K$ een lichaam: modulen zijn vectorruimten.
2. $A = \Z$: modulen zijn precies de abelse groepen ($nx$ is gedwongen $x + \dots + x$), deelmodulen zijn deelgroepen.
3. $A = K[X]$: een moduul is een $K$-vectorruimte $V$ samen met de $K$-lineaire afbeelding $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — en omgekeerd wordt elk paar $(V, u)$ met $u \in \mathcal L(V)$ een $K[X]$-moduul via $P \cdot x = P(u)(x)$. De deelmodulen zijn precies de $u$-invariante deelruimten.

Een ideaal van $A$ is precies een deelmoduul van $A$; een quotiëntring $A/I$ is een $A$-moduul. Anders dan vectorruimten kunnen modulen torsie hebben: in $\Z/6\Z$ wordt het element $\bar 3 \ne 0$ vernietigd door $2 \neq 0$.