Mathématiques universitaires — Licence 2 · Bachelor Year 2

13Formes hermitiennes

Les espaces vectoriels complexes possèdent leur propre géométrie de produit scalaire, avec une torsion : linéarité en une variable, semi-linéarité en l’autre. Le prix à payer pour accepter cette torsion est une théorie spectrale encore plus limpide que la théorie réelle — les endomorphismes hermitiens ont des valeurs propres réelles, les endomorphismes unitaires ont des valeurs propres de module $1$ , et les deux se diagonalisent dans des bases orthonormées. Ce court chapitre applique le programme euclidien du Chapitre 12 sur $\C$ .

13.1 Produits scalaires hermitiens

Définition 13.1

Un produit scalaire hermitien sur un espace vectoriel complexe $E$ est une application $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C$ linéaire en la seconde variable, à symétrie hermitienne ( $\langle y, x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle}$ — donc semi-linéaire en la première variable), et définie positive ( $\langle x, x\rangle > 0$ pour $x \neq 0$ ). L’exemple standard sur $\C^n$ :

\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;

sur les fonctions continues, $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj f\,g$ . Norme : $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ ; un espace complexe de dimension finie ainsi muni est un espace hermitien.

Exemple 13.2 (Premiers calculs)

Dans $\C^2$ , prenons $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ et $y = (\iu,\ 1)$ . Alors

\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7, \qquad \norm y^2 = 1 + 1 = 2,

et, en conjuguant le premier argument,

\langle x, y\rangle = \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1 = (1-\iu)\iu + (2+\iu) = (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .

Cauchy–Schwarz est vérifiée : $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ — proche de l’égalité, car $x$ est proche d’un multiple de $y$ . Remarquons aussi $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$ : la symétrie hermitienne en action, et la raison pour laquelle $\langle x, x\rangle$ est toujours réel.

Théorème 13.3 (Cauchy–Schwarz, cas complexe)

$\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x \norm y$ , avec égalité si et seulement si $x, y$ sont linéairement dépendants ; $\norm\cdot$ est une norme. De plus, il existe des bases orthonormées (Gram–Schmidt s’applique mot pour mot), avec

x = \sum_i \langle e_i, x\rangle\, e_i, \qquad \norm x^2 = \sum_i \abs{\langle e_i, x\rangle}^2 .

Démonstration. Pour $y \neq 0$ et $t \in \C$ : $0 \leq \norm{x - ty}^2 = \norm x^2 - 2\Re\bigl(\conj t\langle y, x\rangle\bigr) + \abs t^2\norm y^2$ . Choisissons $t = \frac{\langle y, x\rangle}{\norm y^2}$ :

0 \leq \norm x^2 - \frac{\abs{\langle y, x\rangle}^2}{\norm y^2},

ce qui est l’inégalité ; l’égalité impose $x = ty$ . Inégalité triangulaire, en entier :

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\,\Re\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\,\abs{\langle x, y\rangle} + \norm y^2 \leq \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

en utilisant $\Re z \leq \abs z$ puis Cauchy–Schwarz ; l’homogénéité et la séparation sont immédiates, donc $\norm\cdot$ est une norme. Gram–Schmidt : comme dans le cas réel, avec les conjugaisons placées selon la définition (attention à la convention : nos produits sont semi-linéaires en la première variable, donc les coordonnées sont $\langle e_i, x\rangle$ ; l’exemple suivant déroule l’algorithme une fois en entier). ∎

Exemple 13.4 (Gram–Schmidt complexe, déroulé en entier)

Orthonormalisons la base $v_1 = (1, \iu)$ , $v_2 = (0, 1)$ de $\C^2$ . Premier vecteur : $\norm{v_1}^2 = \abs1^2 + \abs\iu^2 = 2$ , donc $e_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ . Projetons $v_2$ — avec le conjugué dans la première variable :

\langle e_1, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\conj{1}\cdot0 + \conj{\iu}\cdot1\bigr) = \frac{-\iu}{\sqrt2} , \qquad v_2 - \langle e_1, v_2\rangle e_1 = (0,1) + \frac{\iu}{2}\,(1, \iu) = \Bigl(\frac\iu2,\ \frac12\Bigr) .

Sa norme vaut $\sqrt{\frac14 + \frac14} = \frac{1}{\sqrt2}$ : $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)$ . Vérification : $\langle e_1, e_2\rangle = \frac12(\conj1\cdot\iu + \conj\iu\cdot1) = \frac12(\iu - \iu) = 0$ . Coordonnées de $v_2$ dans la nouvelle base : $v_2 = \langle e_1, v_2\rangle e_1 + \langle e_2, v_2\rangle e_2$ avec $\langle e_2, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}$ — attention à l’ordre : $\langle v_2, e_1\rangle$ donnerait le coefficient conjugué. Idée finale : l’algorithme est celui du cas euclidien mot pour mot ; le seul piège est l’endroit où tombe la conjugaison, et le calcul de $\norm{v_2 - \text{proj}}^2 > 0$ utilise silencieusement la positivité — l’axiome qui fait fonctionner toute la géométrie.

13.2 Adjoint, endomorphismes hermitiens et unitaires

Définition 13.5

L’adjoint $u^*$ de $u \in \mathcal{L}(E)$ est défini par $\langle u^*(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle$ ; dans une base orthonormée, $\operatorname{Mat}(u^*) = \conj{A}^{\mathsf T} =: A^{\dagger}$ (transconjuguée) — en effet, si $B = (b_{ij})$ est la matrice de $u^*$ dans la base orthonormée $(e_i)$ , alors $b_{ij} = \langle e_i, u^*(e_j)\rangle$ , et l’identité de définition donne

\conj{b_{ij}} = \langle u^*(e_j), e_i\rangle = \langle e_j, u(e_i)\rangle = a_{ji} , \qquad\text{donc}\qquad B = \conj{A}^{\mathsf T} .

$u$ est hermitien lorsque $u^* = u$ ( $A^\dagger = A$ ), unitaire lorsque $u^*u = \mathrm{id}$ ( $A^\dagger A = I$ : le groupe $U(n)$ ), normal lorsque $u^*u = uu^*$ .

Proposition 13.6

Les valeurs propres d’un endomorphisme hermitien sont réelles ; les valeurs propres d’un endomorphisme unitaire sont de module $1$ ; dans les deux cas, les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Démonstration. Cas hermitien, $u(x) = \lambda x$ , $x \neq 0$ :

\lambda \norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u(x), x\rangle = \conj{\langle x, u(x)\rangle} = \conj\lambda\,\norm x^2 ,

donc $\lambda \in \R$ . Cas unitaire : $\norm{u(x)} = \norm x$ (à partir de $u^*u = \mathrm{id}$ ), donc $\abs\lambda\norm x = \norm x$ . Orthogonalité (cas hermitien) : $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ pour des vecteurs propres avec $\lambda \neq \mu$ réels. Cas unitaire, en entier : pour $u(x) = \lambda x$ , $u(y) = \mu y$ avec $\lambda \neq \mu$ (tous deux de module $1$ ),

\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \conj\lambda\mu\,\langle x, y\rangle ,

et $\conj\lambda\mu = \frac{\mu}{\lambda} \neq 1$ : le facteur n’est pas $1$ , donc $\langle x, y\rangle = 0$ . ∎

Exemple 13.7 (Une matrice anti-hermitienne, diagonalisée)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ vérifie $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$ : anti-hermitienne (et aussi réelle antisymétrique — sur $\R$ elle n’a aucune valeur propre). Polynôme caractéristique $X^2 + 4$ : valeurs propres $\pm2\iu$ , imaginaires pures, comme le prévoit en général l’Exercice 13.9. Vecteurs propres : $(A - 2\iu I)v = 0$ donne $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ , et $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ pour $-2\iu$ ; ils sont orthogonaux :

\langle v_1, v_2\rangle = \tfrac12\bigl(\conj{1}\cdot1 + \conj{\iu}\cdot(-\iu)\bigr) = \tfrac12(1 - 1) = 0 .

Donc $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ avec $U = (v_1\ v_2)$ unitaire. Idée finale : $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ est hermitienne, de spectre réel $\{\pm2\}$ et de mêmes vecteurs propres — la bijection $u \mapsto \iu u$ entre endomorphismes hermitiens et anti-hermitiens (Exercice 13.9), vue matrice par matrice ; sur $\R$ , la même $A$ est une rotation-homothétie sans aucun vecteur propre, et seul le passage à $\C$ révèle sa forme normale.

Théorème 13.8 (Théorème spectral hermitien)

Tout endomorphisme hermitien d’un espace hermitien admet une base orthonormée de vecteurs propres (avec des valeurs propres réelles) : $A^\dagger = A$ implique $A = U D U^{\dagger}$ avec $U \in U(n)$ et $D$ diagonale réelle.

Démonstration. Sur $\C$ , le polynôme caractéristique est scindé : il existe un vecteur propre $e_1$ (Chapitre 3) — aucun argument de compacité n’est nécessaire, un avantage de $\C$ . Normalisons-le. Son orthogonal $F = e_1^\perp$ est stable : pour $x \perp e_1$ ,

\langle e_1, u(x)\rangle = \langle u(e_1), x\rangle = \lambda_1\langle e_1, x\rangle = 0

( $\lambda_1$ réel). La restriction est hermitienne ; on raisonne par récurrence sur la dimension et on concatène. En détail : la restriction $u|_F$ est un endomorphisme de l’espace hermitien $F$ (dimension $n - 1$ ) avec $\langle u|_F(x), y\rangle = \langle x, u|_F(y)\rangle$ hérité de $u$ ; l’hypothèse de récurrence fournit une base orthonormée $(e_2, \dots, e_n)$ de $F$ formée de vecteurs propres, et $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ est orthonormée dans $E$ ( $e_1 \perp F$ ) et formée de vecteurs propres de $u$ . Traduction matricielle : les colonnes de $U$ sont les $e_i$ , $U^\dagger U = I$ exprime leur orthonormalité, et $AU = UD$ rassemble les équations aux valeurs propres, d’où $A = UDU^\dagger$ avec $D$ diagonale réelle (Proposition 13.6). ∎

Exemple 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ est hermitienne ( $A^\dagger = A$ ) : valeurs propres tirées de $\chi_A = X^2 - 1$ : $\pm 1$ (réelles, comme promis), avec vecteurs propres orthonormés $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ et $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$ . (Les physiciens connaissent $A$ comme une matrice de Pauli ; c’est parce que les spectres hermitiens sont réels que les observables quantiques sont modélisées par des opérateurs hermitiens.)

Exemple 13.10 (Une matrice hermitienne définie positive, traitée)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$ : hermitienne, puisque la diagonale est réelle et les coefficients hors diagonale sont conjugués. Polynôme caractéristique :

(2-\lambda)(3-\lambda) - \abs{1-\iu}^2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 4) :

spectre $\{1, 4\}$ , réel et positif — $A$ est définie positive. Vecteurs propres : pour $\lambda = 4$ , le système $(A - 4I)v = 0$ donne $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (vérifier la seconde ligne : $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$ ) ; pour $\lambda = 1$ , $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$ . Orthogonalité, avec le conjugué dans la première variable :

\langle v_4, v_1\rangle = \conj{(1-\iu)}\,(1-\iu) + \conj{2}\,(-1) = 2 - 2 = 0 . \checkmark

En normalisant ( $\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$ , $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$ ), on obtient la matrice unitaire $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ avec $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$ . Idée finale : la lecture de Rayleigh est immédiate — sur la sphère unité de $\C^2$ , $\langle x, Ax\rangle$ parcourt $\intcc{1}{4}$ , atteint aux deux vecteurs propres ; c’est le germe en $n = 2$ de la théorie de Courant–Fischer construite dans le problème du week-end. Vérifions au passage que la forme est réelle aussi en dehors des vecteurs propres : en $x = (1, \iu)$ ,

Ax = \bigl(2 + (1-\iu)\iu,\ (1+\iu) + 3\iu\bigr) = (3 + \iu,\ 1 + 4\iu),

\langle x, Ax\rangle = \conj{1}\,(3+\iu) + \conj{\iu}\,(1+4\iu) = (3 + \iu) + (-\iu)(1 + 4\iu) = 3 + \iu - \iu + 4 = 7 \in \R ,

comme le garantit pour tout $x$ le mécanisme de preuve de la Proposition 13.6 (symétrie hermitienne contre $A^\dagger = A$ ).

Exemple 13.11 (Une matrice unitaire diagonalisée)

$U = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1 \end{pmatrix}$ (unitaire d’après l’Exercice 13.2). Son polynôme caractéristique est $\bigl(X - \frac{1}{\sqrt2}\bigr)^2 + \frac12$ , de racines

\lambda_\pm = \frac{1 \pm \iu}{\sqrt2} = \eu^{\pm\iu\pi/4},

de module $1$ comme le promettait la Proposition 13.6, et de vecteurs propres orthonormés $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ . Donc $U = V\operatorname{diag}(\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{-\iu\pi/4})V^\dagger$ : dans la bonne base, $U$ est une paire de rotations planes d’angle $\pm\frac\pi4$ — une matrice de rotation réelle n’a aucun vecteur propre réel, mais sur $\C$ elle se scinde en deux scalaires de module $1$ . Idée finale : les spectres hermitiens vivent sur la droite réelle, les spectres unitaires sur le cercle unité ; les deux sont des ombres de la même normalité, et la transformation de Cayley de l’Exercice 13.6 fait passer d’une image à l’autre.

Exemple 13.12 (La transformation de Cayley, calculée)

Appliquons l’Exercice 13.6 à $H = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (hermitienne, de spectre $\{1, -1\}$ , de vecteurs propres orthonormés $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ ). Dans la base propre, tout est scalaire : la transformation $\lambda \mapsto \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ envoie

1 \longmapsto \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu, \qquad -1 \longmapsto \frac{-1 - \iu}{-1 + \iu} = \iu ,

(multiplier par le conjugué du dénominateur), donc $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ est la matrice unitaire de valeurs propres $\mp\iu$ sur ces mêmes vecteurs propres :

U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\iu & 0\\ 0 & \iu\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0\end{pmatrix} .

Vérification : $U^\dagger U = I$ , et $1 \notin \operatorname{Sp}U = \{\pm\iu\}$ , comme le promet la théorie. Idée finale : la droite réelle s’envoie sur le cercle unité privé du point $1$ — valeur propre par valeur propre, la transformation de Cayley est l’homographie de Möbius $\frac{\lambda-\iu}{\lambda+\iu}$ , et les matrices ne font que suivre leurs spectres.

Remarque 13.13 (Pièges classiques)

(i) Où tombe la barre : ce livre conjugue la première variable, donc les coordonnées sont $\langle e_i, x\rangle$ et $\langle\lambda x, y\rangle = \conj\lambda\langle x, y\rangle$ ; beaucoup de textes conjuguent plutôt la seconde variable — traduire avant de comparer les formules, sinon les signes des $\iu$ deviennent faux silencieusement. (ii) La polarisation complexe est plus forte : sur $\C$ , si $\langle x, u(x)\rangle = 0$ pour tout $x$ , alors $u = 0$ (développer $x + y$ et $x + \iu y$ : les parties réelle et imaginaire de $\langle x, u(y)\rangle$ s’annulent toutes deux) ; sur $\R$ , cela échoue — la rotation d’angle $\frac\pi2$ vérifie $\langle x, u(x)\rangle = 0$ partout. Par conséquent, sur $\C$ uniquement, « $\langle x, u(x)\rangle \in \R$ pour tout $x$ » impose déjà que $u$ soit hermitien. (iii) Une matrice réelle normale n’est pas diagonalisable : la matrice de l’Exemple 13.7 est normale mais n’a aucune valeur propre réelle ; la diagonalisation unitaire est un théorème sur $\C$ , et sur $\R$ on n’obtient que des réductions par blocs. (iv) Vérifier l’unitarité : $U^\dagger U = I$ signifie que les colonnes sont orthonormées pour le produit hermitien — tester $UU^{\mathsf T}$ , ou oublier la conjugaison dans les produits de colonnes, sont les deux façons classiques de certifier une mauvaise matrice.

Exemple 13.14 (Les isométries sont exactement les applications unitaires)

La conservation de la norme paraît plus faible que l’unitarité, mais sur $\C$ elle ne l’est pas : si $\norm{u(x)} = \norm x$ pour tout $x$ , alors $u^*u = \mathrm{id}$ . En effet, $v = u^*u - \mathrm{id}$ est hermitien et vérifie $\langle x, v(x)\rangle = \norm{u(x)}^2 - \norm x^2 = 0$ pour tout $x$ ; par polarisation complexe (piège (ii) ci-dessus), une application dont la « diagonale » est identiquement nulle est nulle : $v = 0$ . Concrètement, la polarisation s’écrit

0 = \langle x + y, v(x+y)\rangle = \langle x, v(y)\rangle + \langle y, v(x)\rangle, \qquad 0 = \langle x + \iu y, v(x + \iu y)\rangle = \iu\langle x, v(y)\rangle - \iu\langle y, v(x)\rangle ,

et les deux lignes ensemble imposent $\langle x, v(y)\rangle = 0$ pour tous $x, y$ . Idée finale : c’est pourquoi « unitaire » peut se vérifier en mesurant seulement des longueurs — une rigidité que le chapitre de Fourier exploitera, où conserver l’énergie $\norm f_2$ (Parseval) revient à conserver tous les produits scalaires des coefficients.

Remarque 13.15 (Perspectives dans ce volume)

La machinerie hermitienne construite ici est consommée presque immédiatement. Le chapitre de Fourier est de la géométrie hermitienne en dimension infinie : les exponentielles $(e_n)$ forment une famille orthonormée pour $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int\conj fg$ , l’inégalité de Bessel est l’estimation de projection de la Théorème 13.3 de ce chapitre, et Parseval en est l’égalité limite. La transformation de Fourier finie (Exercice 13.10) réapparaît chaque fois qu’il faut diagonaliser une convolution. Et le problème du week-end de ce chapitre — Courant–Fischer, Weyl, entrelacement — fournit la stabilité des valeurs propres qu’invoque le chapitre d’équations différentielles lorsqu’il affirme que de petites perturbations d’un système ne déplacent que légèrement ses fréquences. En arrière, tout ici est le miroir complexe du chapitre sur les formes quadratiques : garder les deux dictionnaires côte à côte ( $A^{\mathsf T} \leftrightarrow A^\dagger$ , orthogonal $\leftrightarrow$ unitaire, Rayleigh réel dans les deux).

Remarque 13.16 (Endomorphismes normaux)

Sur $\C$ , l’énoncé définitif est : $u$ est unitairement diagonalisable si et seulement s’il est normal ( $u^*u = uu^*$ ) — ce qui couvre d’un coup les applications hermitiennes, unitaires et anti-hermitiennes. La preuve est un agréable renforcement de l’argument ci-dessus (Exercice 13.8). Sur $\R$ , en revanche, la normalité ne procure qu’une diagonalisation par blocs (blocs de rotation) : la géométrie complexe est réellement plus simple.

Remarque 13.17 (Où cela sert)

La théorie spectrale hermitienne est la mathématique de la mécanique quantique : les observables sont modélisées par des opérateurs hermitiens (spectres réels = valeurs mesurables), l’évolution temporelle par des opérateurs unitaires (conservation de la norme = conservation de la probabilité). Dans ce livre, le chapitre de Fourier repose sur l’orthonormalité des exponentielles — un énoncé de produit scalaire hermitien — et la diagonalisation des matrices circulantes (Exercice 13.10) est la transformation de Fourier finie. Le problème du week-end développe le calcul variationnel des valeurs propres (Courant–Fischer, Weyl, entrelacement), le pain quotidien de l’analyse numérique et de la physique mathématique ; le volume de l’année 3 l’étend aux opérateurs autoadjoints compacts sur les espaces de Hilbert.

13.3 Exercices

Exercice 13.1 ★

Sur $\C^2$ : calculer $\langle x, y\rangle$ , $\norm x$ , $\norm y$ pour $x = (1, \iu)$ , $y = (\iu, 1)$ ; sont-ils orthogonaux ? Donner une base orthonormée contenant $\frac{x}{\norm x}$ .

Solution

Solution de Exercice 13.1.

$\langle x, y\rangle = \conj{1}\cdot\iu + \conj{\iu}\cdot 1 = \iu - \iu = 0$ : orthogonaux. $\norm x = \norm y = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ . Base orthonormée : $\bigl(\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu),\; \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)\bigr)$ — la paire normalisée elle-même.

Exercice 13.2 ★

Lesquelles sont hermitiennes ? unitaires ? normales ?

\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 2 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Solution

Solution de Exercice 13.2.

Première : égale à sa transconjuguée (diagonale réelle, $\conj{\iu} = -\iu$ échangés) : hermitienne (donc normale) ; non unitaire ( $A^\dagger A \neq I$ : colonnes non unitaires).

Deuxième : $A^\dagger A = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = I$ : unitaire (donc normale) ; non hermitienne.

Troisième : $A^\dagger A = E_{22} \neq E_{11} = AA^\dagger$ : non normale (donc ni hermitienne ni unitaire) — le contre-exemple nilpotent standard.

Exercice 13.3 ★

Montrer qu’une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ s’écrit de manière unique $A = H + \iu K$ avec $H, K$ hermitiennes (les « parties réelle et imaginaire » $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ , $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ ), et que $A$ est normale si et seulement si $H$ et $K$ commutent.

Solution

Solution de Exercice 13.3.

Unicité : $A = H + \iu K$ avec $H^\dagger = H$ , $K^\dagger = K$ impose $A^\dagger = H - \iu K$ , donc $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ , $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ ; ces formules sont hermitiennes (vérification : $\bigl(\frac{A - A^\dagger}{2\iu}\bigr)^\dagger = \frac{ A^\dagger - A}{-2\iu} = K$ ) et reconstruisent $A$ : existence.

Normalité : $A^\dagger A - AA^\dagger = (H - \iu K)(H + \iu K) - (H + \iu K)(H - \iu K) = 2\iu(HK - KH)$ : cela s’annule si et seulement si $HK = KH$ .

Exercice 13.4 ★★

Diagonaliser dans une base orthonormée : $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ , et calculer $A^k$ pour $k \in \N$ .

Solution

Solution de Exercice 13.4.

$\chi_A = (X-2)^2 - 1$ : valeurs propres $3$ et $1$ . Vecteurs propres, par calcul direct :

A\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu(-\iu)\\ -\iu + 2(-\iu)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -3\iu \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix}, \qquad A\begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu\cdot\iu\\ -\iu + 2\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix}.

Base propre orthonormée : $u_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ (valeur propre $3$ ), $u_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ (valeur propre $1$ ) ; orthogonalité comme dans l’Exercice 13.1. Puissances, via les projections spectrales $A^k = 3^k u_1u_1^\dagger + 1^k\, u_2u_2^\dagger$ :

A^k = U\begin{pmatrix} 3^k & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}U^\dagger = \frac{3^k}{2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 3^k + 1 & (3^k - 1)\iu\\ -(3^k-1)\iu & 3^k + 1 \end{pmatrix}.

(Vérifier $k = 1$ : on retrouve $A$ .)

Exercice 13.5 ★★

Montrer que $U(n)$ est compact, et que l’application valeur propre est surjective : tout $\lambda$ de module $1$ apparaît pour une certaine matrice unitaire. Montrer que $\det U \in \mathbb{U}$ (le cercle unité) pour $U \in U(n)$ .

Solution

Solution de Exercice 13.5.

Compact : fermé (préimage de $I$ par l’application continue $U \mapsto U^\dagger U$ ) et borné (les colonnes sont des vecteurs unitaires : coefficients de module $\leq 1$ ) dans $\mathcal{M}_n(\C) \simeq \R^{2n^2}$ .

Valeurs propres : $\operatorname{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)$ est unitaire pour tout $\abs\lambda = 1$ . Déterminant : $\abs{\det U}^2 = \det U^\dagger \det U = \det(U^\dagger U) = 1$ (en utilisant $\det A^\dagger = \conj{\det A}$ ) : $\det U$ est sur le cercle unité.

Exercice 13.6 ★★

(Transformation de Cayley) Soit $H$ hermitienne. Montrer que $H + \iu I$ est inversible et que $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ est unitaire, avec $1 \notin \operatorname{Sp}(U)$ . (Travailler spectralement : sur une base propre de $H$ , tout est scalaire.)

Solution

Solution de Exercice 13.6.

Par le théorème spectral, travaillons dans une base propre orthonormée de $H$ : tout se réduit à des scalaires $\lambda \in \R$ (les valeurs propres). $H + \iu I$ a pour valeurs propres $\lambda + \iu \neq 0$ : inversible. $U$ a pour valeurs propres $\mu = \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ , de module $1$ ( $\abs{\lambda - \iu} = \abs{\lambda + \iu}$ pour $\lambda$ réel) : $U^\dagger U = I$ est vérifié puisque $U$ est unitairement diagonalisable avec des valeurs propres de module $1$ (elle est diagonale dans la base orthonormée choisie). Et $\mu = 1$ imposerait $-\iu = \iu$ : impossible, donc $1 \notin \operatorname{Sp} U$ . (La transformation de Cayley envoie l’hermitien sur l’unitaire-moins-un-point — la version matricielle de l’application de $\R$ vers le cercle.)

Exercice 13.7 ★★

Pour $A$ hermitienne définie positive ( $\langle x, Ax\rangle > 0$ pour $x \neq 0$ ), montrer que $\operatorname{Sp}(A) \subseteq \intoo{0}{\infty}$ , que $A = B^2$ pour une certaine matrice $B$ hermitienne définie positive, et que $\det A > 0$ .

Solution

Solution de Exercice 13.7.

Pour un couple propre $Ax = \lambda x$ ( $x \neq 0$ ) : $\lambda\norm x^2 = \langle x, Ax\rangle > 0$ , donc $\lambda > 0$ (déjà réel, Proposition 13.6). Racine carrée : dans une base spectrale, $B = U\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})U^\dagger$ : hermitienne, définie positive, $B^2 = A$ . Déterminant : produit des valeurs propres positives.

Exercice 13.8 ★★★

(Théorème spectral pour les endomorphismes normaux) Soit $u$ normal sur un espace hermitien.

Montrer $\norm{u(x)} = \norm{u^*(x)}$ pour tout $x$ , et en déduire $\ker(u - \lambda) = \ker(u^* - \conj\lambda)$ .
Montrer que les sous-espaces propres de $u$ pour des valeurs propres distinctes sont orthogonaux, et que l’orthogonal d’un sous-espace propre est $u$ -stable.
Conclure par récurrence que $u$ est unitairement diagonalisable ; et réciproquement.

Solution

Solution de Exercice 13.8.

$\norm{u(x)}^2 = \langle u(x), u(x)\rangle = \langle x, u^*u(x)\rangle = \langle x, uu^*(x)\rangle = \norm{u^*(x)}^2$ . En appliquant ceci au normal $u - \lambda\,\mathrm{id}$ (son adjoint est $u^* - \conj\lambda$ , et la normalité est héritée) : $\norm{(u - \lambda)x} = \norm{(u^* - \conj\lambda)x}$ , donc les noyaux coïncident.
Pour des vecteurs propres $u(x) = \lambda x$ , $u(y) = \mu y$ ( $\lambda \neq \mu$ ) : d’après (1), $u^*(x) = \conj\lambda x$ ; alors

$\lambda\langle y, x\rangle = \langle y, u(x)\rangle = \langle u^*(y), x\rangle = \langle \conj\mu\, y, x\rangle = \mu \langle y, x\rangle ,$

donc $\langle y, x\rangle = 0$ . Stabilité de $E_\lambda^\perp$ : pour $x \perp E_\lambda$ et $z \in E_\lambda$ , $\langle z, u(x)\rangle = \langle u^*(z), x\rangle = \langle\conj\lambda z, x\rangle = 0$ .
Récurrence sur la dimension : sur $\C$ , $u$ a un vecteur propre $e_1$ (normaliser) ; son orthogonal est stable sous $u$ (par (2)) et sous $u^*$ (même argument avec les rôles échangés), donc la restriction est normale : on raisonne par récurrence et on concatène des bases propres orthonormées. Réciproquement, un $u = UDU^\dagger$ unitairement diagonalisable vérifie $u^*u = U\conj D D U^\dagger = U D\conj D U^\dagger = uu^*$ : normal.

Exercice 13.9 ★

Un endomorphisme est anti-hermitien lorsque $u^* = -u$ . Montrer que ses valeurs propres sont imaginaires pures, que $u \mapsto \iu u$ est une bijection des endomorphismes hermitiens vers les anti-hermitiens, et que les endomorphismes anti-hermitiens sont unitairement diagonalisables (Exercice 13.8).

Solution

Solution de Exercice 13.9.

Valeurs propres : pour $u(x) = \lambda x$ , $x \neq 0$ :

\lambda\norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u^*(x), x\rangle = -\langle u(x), x\rangle = -\conj{\langle x, u(x)\rangle} = -\conj\lambda\,\norm x^2 ,

donc $\lambda = -\conj\lambda$ : imaginaire pur. Comme $(\iu u)^* = -\iu\,u^*$ (l’adjoint est semi-linéaire en les scalaires), $u^* = u$ donne $(\iu u)^* = -\iu u$ : l’application $u \mapsto \iu u$ envoie les hermitiens sur les anti-hermitiens, avec pour inverse $w \mapsto -\iu w$ : une bijection. Un $u$ anti-hermitien vérifie $u^*u = -u^2 = uu^*$ : normal, donc unitairement diagonalisable par l’Exercice 13.8.

Exercice 13.10 ★★

(La transformation de Fourier finie) Soit $S$ le décalage cyclique de $\C^n$ : $S(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}) = (x_{n-1}, x_0, \dots, x_{n-2})$ , et $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ .

Montrer que $S$ est unitaire, et que les vecteurs $f_k = \frac{1}{\sqrt n}\bigl(1, \omega^k, \omega^{2k}, \dots, \omega^{(n-1)k}\bigr)$ , $0 \leq k < n$ , forment une base orthonormée de vecteurs propres : $Sf_k = \omega^{-k} f_k$ .
En déduire que toute matrice circulante $C = \sum_{j=0}^{n-1} c_jS^j$ est normale, diagonalisée par la même base, de valeurs propres $\widehat c(k) = \sum_j c_j\,\omega^{-jk}$ .

Solution

Solution de Exercice 13.10.

$S$ permute une base orthonormée : $\norm{Sx} = \norm x$ , donc $S$ est unitaire. En indexant les coordonnées par $j = 0, \dots, n-1$ modulo $n$ : $(Sx)_j = x_{j-1}$ , donc pour $(f_k)_j = \frac{\omega^{jk}}{\sqrt n}$ :

$(Sf_k)_j = \frac{\omega^{(j-1)k}}{\sqrt n} = \omega^{-k}\,(f_k)_j : \qquad Sf_k = \omega^{-k}f_k .$

Orthonormalité : $\langle f_k, f_l\rangle = \frac1n \sum_j \omega^{j(l-k)} = \delta_{kl}$ (la somme géométrique d’une racine de l’unité non triviale s’annule).
$Cf_k = \sum_j c_j S^jf_k = \bigl(\sum_j c_j\omega^{-jk}\bigr)f_k = \widehat c(k)\,f_k$ : toute circulante est diagonale dans la base de Fourier orthonormée, donc normale, de spectre $\{\widehat c(k)\}$ . (Le changement de base est la transformation de Fourier discrète : la convolution devient une multiplication.)

Exercice 13.11 ★★

Soit $P$ un endomorphisme idempotent ( $P^2 = P$ ) d’un espace hermitien. Montrer que $P$ est la projection orthogonale sur $\operatorname{im} P$ si et seulement si $P^* = P$ . Donner la matrice de la projection orthogonale sur $\C v$ ( $\norm v = 1$ ), et sur un sous-espace de base orthonormée $(v_1, \dots, v_k)$ .

Solution

Solution de Exercice 13.11.

( $\Leftarrow$ ) Soit $P^2 = P = P^*$ . Tout $v$ se décompose en $v = Pv + (v - Pv)$ avec $Pv \in \operatorname{im} P$ et $P(v - Pv) = 0$ . Les deux morceaux sont orthogonaux : pour tous $x, y$ ,

\langle Px, (I - P)y\rangle = \langle x, P(I-P)y\rangle = \langle x, (P - P^2)y\rangle = 0 :

$\ker P \perp \operatorname{im} P$ , donc $P$ est la projection orthogonale sur son image. ( $\Rightarrow$ ) Si $P$ est la projection orthogonale sur $F = \operatorname{im}P$ : pour tous $x, y$ , $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle$ (la composante $y - Py \perp F$ disparaît) et symétriquement $\langle x, Py\rangle = \langle Px, Py\rangle$ : $\langle Px, y\rangle = \langle x, Py\rangle$ , c’est-à-dire $P^* = P$ . Matrices : sur $\C v$ ( $\norm v = 1$ ) : $Px = v\,\langle v, x\rangle$ , c’est-à-dire $P = vv^\dagger$ ; sur $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ orthonormée : $P = \sum_i v_iv_i^\dagger$ .

Exercice 13.12 ★★★

(Projecteurs spectraux par interpolation) Soit $A$ hermitienne, de valeurs propres distinctes $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ et de décomposition en sous-espaces propres $E = \bigoplus_i E_i$ . On définit les polynômes de Lagrange $L_i(X) = \prod_{j\neq i}\frac{X - \lambda_j}{\lambda_i - \lambda_j}$ . Montrer que $P_i = L_i(A)$ est la projection orthogonale sur $E_i$ , que $P_iP_j = 0$ pour $i \neq j$ , $\sum_i P_i = I$ , et $A = \sum_i \lambda_iP_i$ (la décomposition spectrale) ; exprimer $f(A)$ pour un polynôme $f$ quelconque en fonction des $P_i$ .

Solution

Solution de Exercice 13.12.

Diagonalisons $A = U D U^\dagger$ (théorème spectral), $D$ diagonale d’entrées parmi les $\lambda_i$ . Alors $P_i = L_i(A) = U L_i(D)U^\dagger$ , et $L_i(D)$ est diagonale d’entrées $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$ : des uns exactement aux emplacements de $E_i$ . Donc $P_i$ est hermitien ( $L_i$ réel, $D$ réelle), idempotent, d’image $E_i$ et de noyau $\bigoplus_{j\neq i}E_j = E_i^\perp$ (orthogonalité des sous-espaces propres) : la projection orthogonale sur $E_i$ (Exercice 13.11). Des motifs diagonaux disjoints donnent $P_iP_j = 0$ ( $i \neq j$ ) ; $\sum_i L_i = 1$ (degré $< p$ , valeur $1$ en $p$ points), donc $\sum P_i = I$ ; et $\sum_i \lambda_iL_i(\lambda_j) = \lambda_j$ donne $A = \sum \lambda_iP_i$ . Pour un polynôme $f$ quelconque : $f(D)$ a pour diagonale $f(\lambda_j)$ , donc

f(A) = \sum_{i=1}^{p} f(\lambda_i)\,P_i :

les fonctions de $A$ se calculent spectralement — le calcul que le volume de l’année 3 étend aux $f$ continues et au-delà.

13.4 Problème : Courant–Fischer, Weyl et le calcul des valeurs propres

Problème 13.1

Les valeurs propres d’une matrice hermitienne ne sont pas seulement les racines d’un polynôme : ce sont les solutions de problèmes d’optimisation. Ce point de vue variationnel — quotients de Rayleigh et théorème du min-max de Courant–Fischer — rend les valeurs propres comparables, stables et calculables, et ce problème en récolte les moissons classiques : les inégalités de perturbation de Weyl, l’entrelacement de Cauchy, les inégalités de trace de Schur et de Ky Fan, la monotonie de la racine carrée matricielle, et le spectre du laplacien discret. Partout, $A, B, E$ sont hermitiennes sur $E = \C^n$ de valeurs propres rangées par ordre décroissant $\lambda_1(A) \geq \dots \geq \lambda_n(A)$ , et $R_A(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\langle x, x\rangle}$ pour $x \neq 0$ est le quotient de Rayleigh.

Partie I — Quotients de Rayleigh et min-max. Fixons une base propre orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$ , $Ae_i = \lambda_ie_i$ .

Montrer que $R_A(x)$ est réel, et que

$\lambda_n \leq R_A(x) \leq \lambda_1 \qquad (x \neq 0),$

les deux bornes étant atteintes : $\lambda_1 = \max R_A$ , $\lambda_n = \min R_A$ .
Montrer que les points critiques de $R_A$ sont exactement les vecteurs propres de $A$ (développer $t \mapsto R_A(x + tv)$ en $t = 0$ pour $v$ quelconque, puis remplacer $v$ par $\iu v$ ).
Soit $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ et $W_k = \operatorname{Vect}(e_k, \dots, e_n)$ . Montrer

$\min_{x \in V_k\setminus\{0\}} R_A(x) = \lambda_k = \max_{x \in W_k\setminus\{0\}} R_A(x) .$
Démontrer le théorème de Courant–Fischer : pour $1 \leq k \leq n$ ,

$\lambda_k = \max_{\dim V = k}\;\min_{x \in V\setminus\{0\}} R_A(x) = \min_{\dim W = n-k+1}\;\max_{x \in W\setminus\{0\}} R_A(x)$

(pour tout $V$ de dimension $k$ : $V \cap W_k \neq \{0\}$ par Grassmann, donc $\min_V R_A \leq \lambda_k$ ; la question 3 montre que la borne est atteinte).
(Monotonie) On écrit $A \leq B$ lorsque $B - A$ est positive. Déduire de la question 4 : $A \leq B$ implique $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(B)$ pour tout $k$ .

Partie II — Inégalités de Weyl.

Montrer que des sous-espaces $V, W \subseteq \C^n$ avec $\dim V + \dim W > n$ s’intersectent non trivialement, et généraliser : $\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n$ .
Démontrer l’inégalité de Weyl : pour $i + j - 1 \leq n$ ,

$\lambda_{i+j-1}(A + B) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B)$

(intersecter les sous-espaces $W_i(A)$ , $W_j(B)$ et $V_{i+j-1}(A+B)$ de la question 3 et compter les dimensions).
Définir $\vertiii{E}_2 = \max_{\norm x = 1}\norm{Ex}$ et montrer $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ pour $E$ hermitienne. En déduire le théorème de perturbation de Weyl :

$\bigl|\lambda_k(A + E) - \lambda_k(A)\bigr| \leq \vertiii{E}_2 \qquad (1 \leq k \leq n) :$

chaque valeur propre est une fonction $1$ -lipschitzienne de la matrice.
(Perturbations de rang un) Soit $P$ hermitienne positive de rang $1$ . Montrer

$\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) \qquad (2 \leq k \leq n),$

ainsi que $\lambda_1(A) \leq \lambda_1(A+P)$ : les nouvelles valeurs propres entrelacent les anciennes.
Vérifier la question 8 numériquement : $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ (Exercice 13.4 : spectre $\{3, 1\}$ ) et $E = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (spectre $\{1, -1\}$ ) : calculer le spectre de $A + E$ et les deux membres de l’inégalité.

Partie III — Entrelacement et inégalités de trace.

(Entrelacement de Cauchy) Soit $B$ la sous-matrice principale dominante $(n-1)\times(n-1)$ de $A$ . Démontrer

$\lambda_{k+1}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A) \qquad (1 \leq k \leq n-1)$

(voir $\C^{n-1} \subseteq \C^n$ ; sur lui, $R_B$ est la restriction de $R_A$ ; appliquer Courant–Fischer aux deux niveaux).
Itérer : pour une sous-matrice principale $B$ de taille $n - m$ , $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ .
(Schur) Soient $d_1 \geq d_2 \geq \dots \geq d_n$ les coefficients diagonaux de $A$ , triés. Démontrer, pour tout $k$ :

$\sum_{i=1}^{k} d_i \leq \sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A),$

avec égalité en $k = n$ (la trace) (les $k$ coefficients diagonaux choisis forment une sous-matrice principale $k\times k$ ; majorer sa trace par la question 12).
(Ky Fan) Démontrer

$\sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A) = \max\Bigl\{\sum_{i=1}^{k}\langle x_i, Ax_i\rangle : (x_1, \dots, x_k) \text{ orthonormée}\Bigr\} .$
Vérifier les questions 11 et 13 sur

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \qquad \bigl(\operatorname{Sp} = \{2 - \sqrt2,\ 2,\ 2+\sqrt2\}\bigr)$

face à son bloc dominant $2\times2$ (spectre $\{1, 3\}$ ) et à sa diagonale.

Partie IV — L’ordre de Loewner. $A \leq B$ signifie toujours $B - A$ positive ; toutes les matrices de cette partie sont hermitiennes.

Montrer : $A \leq B$ implique $a_{ii} \leq b_{ii}$ pour tout $i$ , $\operatorname{tr} A \leq \operatorname{tr} B$ , et $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ pour toute matrice complexe $C$ .
Montrer que l’élévation au carré n’est pas monotone : pour

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},$

vérifier $0 \leq A \leq B$ mais $A^2 \not\leq B^2$ .
Démontrer que la racine carrée est monotone : $0 \leq A \leq B$ implique $\sqrt A \leq \sqrt B$ (soit $\mu$ une valeur propre de $\sqrt B - \sqrt A$ de vecteur propre unitaire $v$ ; calculer $\langle v, (B - A)v\rangle = \mu\bigl(\langle v, \sqrt B\,v\rangle + \langle v, \sqrt A\,v\rangle\bigr)$ et discuter).
Démontrer que l’inversion est antitone sur les matrices définies positives : $0 < A \leq B$ implique $B^{-1} \leq A^{-1}$ (conjuguer par congruence par $A^{-1/2}$ pour se ramener à $I \leq M \Rightarrow M^{-1} \leq I$ , qui est scalaire dans une base spectrale).
Soient $A, B$ définies positives. Montrer que les valeurs propres de $AB$ (non hermitienne en général !) sont réelles et positives, et que

$\lambda_{\max}(AB) \leq \lambda_{\max}(A)\,\lambda_{\max}(B)$

(conjuguer par $\sqrt A$ : $AB \sim \sqrt A\,B\sqrt A$ ).

Partie V — Le laplacien discret, traité. Soit $T_n$ la matrice tridiagonale $n \times n$ avec $2$ sur la diagonale et $-1$ sur les deux diagonales adjacentes.

Avec $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ , vérifier que les vecteurs $v_k = \bigl(\sin(j\theta_k)\bigr)_{1\leq j\leq n}$ vérifient $T_nv_k = (2 - 2\cos\theta_k)\,v_k$ (identité produit-somme ; vérifier les lignes de bord $j = 1, n$ ). En déduire :

$\operatorname{Sp}(T_n) = \Bigl\{4\sin^2 \frac{k\pi}{2(n+1)} : 1 \leq k \leq n\Bigr\},$

toutes simples, toutes positives : $T_n$ est définie positive.
(Un potentiel) Pour une matrice diagonale réelle $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ , encadrer le spectre : pour tout $k$ ,

$\lambda_k(T_n) + \min_i d_i \;\leq\; \lambda_k(T_n + D) \;\leq\; \lambda_k(T_n) + \max_i d_i .$
Vérifier explicitement l’entrelacement de Cauchy entre $T_3$ et $T_2$ (spectres $\{2 \pm \sqrt2, 2\}$ et $\{1, 3\}$ ), et interpréter : $T_2$ est $T_3$ dont on a retiré une extrémité du chemin.
Montrer que les valeurs propres extrêmes vérifient, quand $n \to \infty$ :

$\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) \to 4 ,$

de sorte que le conditionnement $\kappa_n = \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ croît comme $\frac{4(n+1)^2}{\pi^2}$ : discrétiser une dérivée seconde sur une grille de plus en plus fine est intrinsèquement mal conditionné.
Synthèse. En une phrase chacune : (i) pourquoi c’est la caractérisation variationnelle, et non le polynôme caractéristique, qui rend les valeurs propres stables (questions 8–9) ; (ii) quelles questions n’ont utilisé que $\lambda_1 = \max R_A$ et lesquelles ont eu besoin du min-max complet ; (iii) ce que l’ordre de Loewner ajoute à l’histoire ; (iv) où ces outils réapparaissent (analyse numérique des matrices de rigidité de la question 24 ; théorie quantique des perturbations ; et, dans le volume de l’année 3, le principe du min-max pour les opérateurs autoadjoints compacts).

Solution

Solution de Problème 13.1.

1. $\conj{\langle x, Ax\rangle} = \langle Ax, x\rangle = \langle x, A^*x\rangle = \langle x, Ax\rangle$ : réel. En écrivant $x = \sum c_ie_i$ :

R_A(x) = \frac{\sum_i\lambda_i\abs{c_i}^2} {\sum_i\abs{c_i}^2} ,

une moyenne pondérée des valeurs propres : elle appartient à $\intcc{\lambda_n}{\lambda_1}$ , les bornes étant atteintes en $e_1$ et $e_n$ .

2. Pour $t$ réel et $v$ quelconque, développons $R_A(x + tv) = \frac{N(t)}{D(t)}$ avec

N(t) = \langle x, Ax\rangle + 2t\Re\langle v, Ax\rangle + t^2\langle v, Av\rangle, \quad D(t) = \norm x^2 + 2t\Re\langle v, x\rangle + t^2\norm v^2 .

La dérivée en $t = 0$ vaut

\frac{2}{\norm x^2}\, \Re\bigl\langle v,\ Ax - R_A(x)\,x\bigr\rangle .

Elle s’annule pour tout $v$ si et seulement si $\Re\langle v, w\rangle = 0$ pour tout $v$ , où $w = Ax - R_A(x)x$ ; en remplaçant $v$ par $\iu v$ on tue aussi la partie imaginaire : $w = 0$ , c’est-à-dire $Ax = R_A(x)x$ . Les points critiques de $R_A$ sont exactement les vecteurs propres, de valeur critique la valeur propre.

3. Pour $x = \sum_{i\leq k}c_ie_i \in V_k$ : $R_A(x)$ est une moyenne pondérée de $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ , donc $\geq \lambda_k$ , avec égalité en $e_k$ : $\min_{V_k} R_A = \lambda_k$ . Symétriquement sur $W_k$ la moyenne fait intervenir $\lambda_k, \dots, \lambda_n$ : $\max_{W_k}R_A = \lambda_k$ .

4. Soit $\dim V = k$ . Alors $\dim V + \dim W_k = n + 1 > n$ , donc il existe un $x \in V \cap W_k$ unitaire, et $R_A(x) \leq \lambda_k$ (question 3) : $\min_{V}R_A \leq \lambda_k$ pour tout tel $V$ . Comme $V_k$ atteint $\lambda_k$ , le max-min vaut $\lambda_k$ . La formule du min-max est le même argument avec les rôles inversés ( $\dim W = n - k + 1$ force $W \cap V_k \neq \{0\}$ , donc $\max_W R_A \geq \lambda_k$ , atteint en $W_k$ ).

5. $R_B(x) = R_A(x) + \frac{\langle x, (B-A)x\rangle}{\norm x^2} \geq R_A(x)$ ponctuellement. En prenant le $\min$ sur tout $V$ de dimension $k$ puis le $\max$ sur $V$ : $\lambda_k(B) \geq \lambda_k(A)$ par la question 4.

6. Grassmann : $\dim(V\cap W) = \dim V + \dim W - \dim(V + W) \geq \dim V + \dim W - n > 0$ . En appliquant ceci deux fois :

\dim(V_1\cap V_2\cap V_3) \geq \dim(V_1\cap V_2) + \dim V_3 - n \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n .

7. Les sous-espaces $W_i(A)$ , $W_j(B)$ (question 3, pour $A$ et $B$ ) et $V_{i+j-1}(A+B)$ ont pour dimensions $(n-i+1) + (n-j+1) + (i+j-1) = 2n + 1 > 2n$ : par la question 6 il existe un vecteur unitaire $x$ dans les trois. Alors

\lambda_{i+j-1}(A+B) \leq R_{A+B}(x) = R_A(x) + R_B(x) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B),

l’inégalité de gauche car $x \in V_{i+j-1}(A+B)$ (question 3), celle de droite par les deux $W$ .

8. Dans une base spectrale de $E$ : $\norm{Ex}^2 = \sum \lambda_k(E)^2\abs{c_k}^2 \leq \max_k\lambda_k(E)^2\,\norm x^2$ , atteint au vecteur propre correspondant : $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ . Weyl avec $j = 1$ : $\lambda_k(A+E) \leq \lambda_k(A) + \lambda_1(E) \leq \lambda_k(A) + \vertiii E_2$ ; en appliquant ceci à $(A+E) + (-E)$ : $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A+E) + \vertiii E_2$ . Ensemble : $\abs{\lambda_k(A+E) - \lambda_k(A)} \leq \vertiii E_2$ .

9. Bornes inférieures : $P \geq 0$ et question 5. Supérieure : $P$ est de rang $1$ , donc $\lambda_2(P) = 0$ ; Weyl avec $i = k-1$ , $j = 2$ :

\lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) + \lambda_2(P) = \lambda_{k-1}(A) .

10. $A + E = \begin{pmatrix} 2 & 1+\iu\\ 1-\iu & 2\end{pmatrix}$ : polynôme caractéristique $(2-\lambda)^2 - \abs{1+\iu}^2 = (2-\lambda)^2 - 2$ , spectre $\{2 + \sqrt2,\ 2 - \sqrt2\}$ . Face à $\operatorname{Sp}A = \{3, 1\}$ :

\abs{(2+\sqrt2) - 3} = \abs{(2-\sqrt2) - 1} = \sqrt2 - 1 \approx 0.414 \leq 1 = \vertiii E_2 . \checkmark

11. Voir $\C^{n-1} = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_{n-1})$ dans $\C^n$ (base standard) : pour $x$ dans cet espace, $\langle x, Bx\rangle = \langle x, Ax\rangle$ , donc $R_B$ est la restriction de $R_A$ . Borne supérieure : le max-min pour $\lambda_k (B)$ parcourt les sous-espaces de dimension $k$ de $\C^{n-1}$ , une sous-famille de ceux de $\C^n$ : $\lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ . Borne inférieure : le min-max pour $\lambda_k(B)$ parcourt les sous-espaces de $\C^{n-1}$ de dimension $(n-1)-k+1 = n-k$ ; chacun est aussi un sous-espace de $\C^n$ de dimension $n - (k+1) + 1$ , donc son max est $\geq \lambda_{k+1}(A)$ : $\lambda_k(B) \geq \lambda_{k+1}(A)$ .

12. Enlever les lignes/colonnes une à une et enchaîner la question 11 : chaque suppression décale l’indice inférieur d’un, donnant $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ .

13. Conjuguer $A$ par une matrice de permutation (unitaire) ne change ni le spectre ni le multiensemble des coefficients diagonaux : supposons que $d_1, \dots, d_k$ occupent les positions de tête. La sous-matrice principale dominante $k\times k$ $B$ a alors $\operatorname{tr} B = \sum_{i\leq k}d_i$ , et ses valeurs propres vérifient $\mu_i(B) \leq \lambda_i(A)$ (question 12) : en sommant, $\sum_{i\leq k}d_i \leq \sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . En $k = n$ les deux membres valent $\operatorname{tr} A$ .

14. En prenant $x_i = e_i$ on obtient la valeur $\sum_{i\leq k}\lambda_i$ : le max est $\geq$ . Réciproquement, une famille orthonormée $(x_1, \dots, x_k)$ se complète en une base orthonormée, c’est-à-dire en une unitaire $U$ de premières colonnes $x_i$ ; alors $\sum_i\langle x_i, Ax_i\rangle$ est la somme des $k$ premiers coefficients diagonaux de $U^\dagger AU$ , qui par la question 13 est au plus la somme de ses $k$ plus grandes valeurs propres — à savoir $\sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . Le principe maximal de Ky Fan s’ensuit.

15. Entrelacement ( $\operatorname{Sp}A = \{2+\sqrt2, 2, 2-\sqrt2\}$ , $\operatorname{Sp}B = \{3, 1\}$ ) :

2 \leq 3 \leq 2 + \sqrt2, \qquad 2 - \sqrt2 \leq 1 \leq 2 . \checkmark

Schur avec diagonale $(2,2,2)$ : $2 \leq 2+\sqrt2$ ; $4 \leq 4 + \sqrt2$ ; $6 = 6$ (trace). ✓16. $b_{ii} - a_{ii} = \langle e_i, (B-A)e_i\rangle \geq 0$ ; en sommant on obtient les traces. Pour tout $C$ : $\langle x, C^\dagger(B - A)Cx\rangle = \langle Cx, (B-A)(Cx)\rangle \geq 0$ : $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ .

17. $A \geq 0$ clair ; $B - A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ est positive (valeurs propres $2, 0$ ) : $A \leq B$ . Mais

B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad B^2 - A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad \det(B^2 - A^2) = -1 < 0 :

non positive. L’élévation au carré ne respecte pas l’ordre de Loewner.

18. Soit $S = \sqrt A$ , $T = \sqrt B$ (hermitiennes positives, Exercice 13.7 étendu au cas semi-défini par la même formule spectrale). $T - S$ est hermitienne ; soit $\mu$ une valeur propre, $v$ un vecteur propre unitaire. À partir de $T^2 - S^2 = T(T - S) + (T - S)S$ :

0 \leq \langle v, (B - A)v\rangle = \langle Tv, (T-S)v\rangle + \langle (T-S)v, Sv\rangle = \mu\bigl(\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle\bigr)

( $\mu$ est réel). Si $\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle > 0$ , alors $\mu \geq 0$ . Si cela s’annule, les deux termes positifs s’annulent ; $\langle v, Tv\rangle = \norm{T^{1/2}v}^2 = 0$ force $Tv = 0$ , de même $Sv = 0$ , donc $\mu v = (T - S)v = 0$ et $\mu = 0$ . Toutes les valeurs propres de $T - S$ sont $\geq 0$ : $\sqrt A \leq \sqrt B$ .

19. Congruence par $A^{-1/2}$ (question 16) : $I \leq M := A^{-1/2}BA^{-1/2}$ . Donc toutes les valeurs propres de $M$ sont $\geq 1$ , donc celles de $M^{-1}$ sont dans $\intoc{0}{1}$ : $M^{-1} \leq I$ . Or $M^{-1} = A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}$ ; en congruant $M^{-1} \leq I$ par $A^{-1/2}$ on obtient $B^{-1} \leq A^{-1}$ .

20. $\sqrt A^{-1}(AB)\sqrt A = \sqrt A\,B\sqrt A$ : donc $AB$ est semblable à la matrice $\sqrt A\,B\sqrt A$ hermitienne définie positive (définie : $\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle = \langle \sqrt Ax, B\sqrt Ax\rangle > 0$ ) : ses valeurs propres sont réelles et positives. De plus

\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(B)\,\norm{\sqrt Ax}^2 = \lambda_{\max}(B)\,\langle x, Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)\norm x^2 ,

donc $\lambda_{\max}(AB) = \max R_{\sqrt AB\sqrt A} \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)$ .

21. Avec $v_k = (\sin j\theta_k)_j$ et l’identité $\sin((j-1)\theta) + \sin((j+1)\theta) = 2\sin(j\theta)\cos\theta$ : pour $2 \leq j \leq n-1$ ,

(T_nv_k)_j = -\sin((j{-}1)\theta_k) + 2\sin(j\theta_k) - \sin((j{+}1)\theta_k) = (2 - 2\cos\theta_k)\sin(j\theta_k) .

La ligne $1$ fonctionne car $\sin(0\cdot\theta_k) = 0$ , la ligne $n$ car $\sin((n+1)\theta_k) = \sin(k\pi) = 0$ : les conditions de bord sélectionnent exactement $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ . Donc $T_nv_k = 4\sin^2\bigl(\frac{k\pi}{2(n+1)}\bigr)v_k$ ; les $n$ valeurs sont distinctes dans $\intoo04$ et les $v_k \neq 0$ : c’est le spectre entier, positif, donc $T_n$ est définie positive.

22. $\min_id_i\,I \leq D \leq \max_id_i\,I$ , donc $T_n + \min_id_i\,I \leq T_n + D \leq T_n + \max_id_i\,I$ (ajouter $T_n$ préserve l’ordre) ; la question 5 et $\lambda_k(T_n + cI) = \lambda_k(T_n) + c$ donnent l’encadrement.

23. $T_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$ a pour spectre $\{3, 1\}$ , et

2 - \sqrt2 \;\leq\; 1 \;\leq\; 2 \;\leq\; 3 \;\leq\; 2 + \sqrt2 :

entrelacement de Cauchy, vérifié. (Ce sont les mêmes spectres qu’à la question 15 : conjuguer par $\operatorname{diag}(1,-1,1)$ change le signe hors diagonale.) Lecture par les graphes : $T_2$ est la matrice de type Laplacien du chemin dont le dernier sommet est supprimé — une sous-matrice principale, exactement la situation de la question 11.

24. Les valeurs propres extrêmes se comportent comme

\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) = 4\cos^2\frac{\pi}{2(n+1)} \longrightarrow 4 .

D’où

\kappa_n = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} \sim \frac{4(n+1)^2}{\pi^2} :

plus la grille est fine, plus la dérivée seconde discrète est mal conditionnée — un fait qui guide la conception de l’algèbre linéaire numérique.

25. (i) Les racines du polynôme caractéristique peuvent bouger énormément sous les perturbations d’une matrice générale, mais la caractérisation min-max coince chaque valeur propre hermitienne entre des valeurs d’optimisation explicites, forçant la stabilité $1$ -lipschitzienne des questions 8–9. (ii) Les questions 1, 5, 16–20 n’ont utilisé que les valeurs de Rayleigh extrêmes ; Weyl, l’entrelacement, Schur et Ky Fan (questions 7–14) ont réellement eu besoin du min-max complet sur les sous-espaces. (iii) L’ordre de Loewner transforme ces inégalités scalaires en un calcul d’inégalités matricielles — avec de vrais pièges (question 17) et de vrais théorèmes (questions 18–19). (iv) Ces outils sont le pain quotidien de l’analyse numérique (matrices de rigidité de la question 24), de la théorie quantique des perturbations (Weyl : les niveaux d’énergie bougent d’au plus la norme de la perturbation), et du principe du min-max du volume de l’année 3 pour les opérateurs autoadjoints compacts.