Mathématiques universitaires — Licence 3 · Bachelor Year 3

17Séries de Laurent et théorème des résidus

Que devient une fonction holomorphe près d’un point où elle n’est pas définie ? La réponse est une trichotomie complète — point éliminable, pôle, ou singularité essentielle — lue sur une série entière à deux côtés, le développement de Laurent. Un coefficient de ce développement, le résidu, contrôle toute intégrale de contour autour de la singularité : le théorème des résidus convertit des intégrales définies difficiles en algèbre finie, compte les zéros des fonctions (principe de l’argument, Rouché), et prouve le théorème de l’application ouverte. Nous commençons par remonter le théorème de Cauchy des domaines étoilés à sa forme définitive, sans homologie — l’élégant argument de Dixon — de sorte que tous les contours d’indice zéro autour du complémentaire deviennent disponibles.

17.1 Le théorème de Cauchy global

Un cycle $\Gamma$ est une somme formelle finie de chemins fermés $\gamma_1, \dots, \gamma_m$ ; les intégrales et indices le long de $\Gamma$ sont les sommes correspondantes, et $\operatorname{im}\Gamma = \bigcup\operatorname{im}\gamma_j$ .

Théorème 17.1 (Cauchy, forme globale)

Soit $\Omega \subseteq \C$ ouvert, $f \in \mathcal H(\Omega)$ , et $\Gamma$ un cycle dans $\Omega$ tel que

\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0 \qquad\text{pour tout } w \notin \Omega .

Alors, pour tout $z \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$ ,

\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(z)\,f(z), \qquad\text{et}\qquad \int_\Gamma f(w)\,\dd w = 0 .

Preuve (Dixon). Définir $g \colon \Omega\times\Omega \to \C$ par

g(z, w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z . \end{cases}

$g$ est continue : hors de la diagonale, clair. Près d’un point diagonal $(a, a)$ , développer $f$ en série entière en $a$ (le Théorème 16.10) : $f(w) - f(z) = \sum_{n\geq1}c_n\bigl((w-a)^n - (z-a)^n\bigr)$ , et diviser chaque terme par $w - z$ (factorisation de $u^n - v^n$ ) donne, pour $z, w \in D(a, r)$ ,

g(z, w) = \sum_{n\geq1}c_n\sum_{j=0}^{n-1}(w-a)^{\,j}(z-a)^{\,n-1-j},

valable aussi sur la diagonale (chaque somme intérieure devient $n(z-a)^{n-1}$ , sommant à $f'(z)$ ). Pour $r$ petit la série converge uniformément sur $D(a,r)^2$ ( $\abs{\text{terme}} \leq n\abs{c_n}r^{n-1}$ , sommable dans le rayon) : la somme est continue.

Poser $h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma g(z, w)\,\dd w$ sur $\Omega$ : continue (continuité uniforme de $g$ sur les compacts), et holomorphe — par Morera (critère du Théorème 16.15) : pour un triangle $T \subseteq \Omega$ , Fubini donne $\int_{\partial T}h = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\bigl(\int_{\partial T}g(z, w)\dd z\bigr)\dd w = 0$ , l’intégrale intérieure s’annulant car $z \mapsto g(z, w)$ est holomorphe sur $\Omega$ (en $z = w$ la singularité est éliminable : $g$ est continue là et holomorphe ailleurs — l’argument d’extension de la preuve du Théorème 16.9).

Sur l’ouvert $\Omega' = \{z \notin \operatorname{im}\Gamma : \operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 0\}$ , définir $h_1(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\dd w$ : holomorphe sur $\Omega'$ (Morera ou dérivation sous l’intégrale). Pour $z \in \Omega\cap\Omega'$ :

h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w-z}\dd w - f(z)\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = h_1(z) .

Par hypothèse $\Omega\cup\Omega' = \C$ ( $w \notin \Omega \Rightarrow \operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ ), donc $h$ et $h_1$ se collent en une fonction entière $H$ . Comme la composante non bornée du complémentaire de $\operatorname{im}\Gamma$ est dans $\Omega'$ et $h_1(z) \to 0$ quand $\abs z \to \infty$ (borne ML), $H$ est bornée et tend vers $0$ : Liouville (le Corollaire 16.12) donne $H \equiv 0$ . Ainsi $h \equiv 0$ sur $\Omega$ , ce qui est la formule intégrale. En l’appliquant, pour $a \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$ fixe, à $\tilde f(w) = (w - a)f(w)$ en $z = a$ :

\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma f(w)\dd w = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma \frac{\tilde f(w)}{w - a}\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(a)\,\tilde f(a) = 0 .

∎

17.2 Séries de Laurent et singularités isolées

Théorème 17.2 (Développement de Laurent)

Soit $f$ holomorphe sur l’anneau $A = \{r < \abs{z - a} < R\}$ ( $0 \leq r < R \leq \infty$ ). Alors

f(z) = \sum_{n\in\Z}c_n\,(z - a)^n \qquad\text{sur } A, \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_\rho}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w

pour tout $r < \rho < R$ (indépendant de $\rho$ ), les deux demi-séries convergeant normalement sur les sous-anneaux compacts. Le développement est unique.

Démonstration. Fixer $r < \rho_1 < \abs{z - a} < \rho_2 < R$ et poser $\Gamma = C_{\rho_2} - C_{\rho_1}$ (extérieur trigonométrique, intérieur horaire) : un cycle dans $A$ avec $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ pour tout $w \notin A$ (points dans le petit disque : $1 - 1 = 0$ ; hors du grand : $0 - 0$ ). Par le Théorème 17.1, $\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 1 - 0 = 1$ donne

f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_2}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w - \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_1}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w .

Développer le premier noyau comme dans le Théorème 16.10 (puissances de $\frac{z - a}{w - a}$ , module $< 1$ ) : la partie non négative $\sum_{n\geq0}c_n(z-a)^n$ . Dans le second, développer l’autre sens : $\frac{-1}{w - z} = \frac1{(z-a)(1 - \frac{w - a}{z - a})} = \sum_{m\geq0}\frac{(w-a)^m}{(z - a)^{m+1}}$ , normalement convergente sur $C_{\rho_1}$ : la partie négative $\sum_{n\leq-1}c_n(z-a)^n$ avec les coefficients indiqués (indice $n = -m-1$ ). Indépendance de $\rho$ : les intégrales de coefficients sur $C_{\rho}$ et $C_{\rho'}$ diffèrent d’une $\int_\Gamma$ sur un cycle d’indice nul de la fonction holomorphe $\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}$ dans $A$ : zéro, par le Théorème 17.1 encore. Unicité : intégrer $\sum c_n(z-a)^n$ contre $(z - a)^{-m-1}$ sur $C_\rho$ terme à terme (convergence normale) : seul $n = m$ survit. ∎

Définition 17.3

Si $f$ est holomorphe sur un disque percé $D(a, R)\setminus \{a\}$ , développer par Laurent ( $r = 0$ ). Trois cas exclusifs :

tous les $c_n = 0$ pour $n < 0$ : singularité éliminable (la série non négative étend $f$ holomorphiquement en $a$ ) ;
$c_n \neq 0$ pour un nombre fini, au moins un, $n < 0$ : un pôle d’ordre $m = -\min\{n : c_n \neq 0\}$ ; de façon équivalente $f = g/(z-a)^m$ , $g$ holomorphe, $g(a) \neq 0$ ; de façon équivalente $\abs{f(z)} \to \infty$ quand $z\to a$ ;
infiniment beaucoup de $c_n$ négatifs $\neq 0$ : singularité essentielle.

Le résidu est $\operatorname{Res}(f, a) = c_{-1}$ . Une fonction holomorphe sur $\Omega$ moins un ensemble de pôles est méromorphe sur $\Omega$ .

Théorème 17.4 (Riemann ; Casorati–Weierstrass)

Soit $f$ holomorphe sur $D(a,R)\setminus\{a\}$ .

(Riemann) Si $f$ est bornée près de $a$ , la singularité est éliminable.
(Casorati–Weierstrass) Si $a$ est essentielle, alors $f\bigl(D(a,\varepsilon)\setminus\{a\}\bigr)$ est dense dans $\C$ pour tout $\varepsilon$ .

Démonstration. (1) Pour $n < 0$ et $\rho \to 0$ : $\abs{c_n} \leq M\rho^{-n-1}\cdot\rho\cdot\rho^{-\,n}\dots$ par ML sur $C_\rho$ : $\abs{c_n} \leq \frac{1}{2\pi}\,2\pi\rho\cdot M\rho^{-(n+1)} = M\rho^{-n} \to 0$ (car $-n > 0$ ) : tous les coefficients négatifs s’annulent. (2) Si une valeur $b$ n’était pas approchée : $\abs{f - b} \geq \delta$ près de $a$ , donc $g = 1/(f - b)$ est holomorphe et bornée près de $a$ : éliminable (1), $g$ s’étend avec valeur $c$ . Si $c \neq 0$ , $f = b + 1/g$ est bornée près de $a$ : éliminable — exclu. Si $c = 0$ , $g$ a un zéro d’ordre fini $m$ en $a$ (le Théorème 16.13 ; $g \not\equiv 0$ ), et $f = b + 1/g$ a un pôle d’ordre $m$ : exclu encore. ∎

17.3 Le théorème des résidus

Théorème 17.5 (Théorème des résidus)

Soit $\Omega$ ouvert, $S \subseteq \Omega$ fini, $f \in \mathcal H(\Omega\setminus S)$ , et $\Gamma$ un cycle dans $\Omega\setminus S$ avec $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ pour tout $w \notin \Omega$ . Alors

\frac{1}{2\iu\pi}\int_\Gamma f(z)\,\dd z = \sum_{a\in S}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)\, \operatorname{Res}(f, a) .

Démonstration. Pour chaque $a \in S$ , soit $P_a(z) = \sum_{n\leq-1}c_n^{(a)}(z - a)^n$ la partie principale de $f$ en $a$ : une série convergeant sur $\C\setminus\{a\}$ (son rayon en $1/(z-a)$ est infini : la queue de Laurent converge pour tout $\abs{z-a}$ petit, donc, étant une série entière en $(z-a)^{-1}$ , partout), et holomorphe là. Alors $g = f - \sum_{a\in S}P_a$ a des singularités éliminables en chaque point de $S$ (son développement de Laurent en $a$ n’a pas de partie négative : les autres $P_{a'}$ sont holomorphes en $a$ ), donc $g$ s’étend holomorphiquement à $\Omega$ , et le Théorème 17.1 donne $\int_\Gamma g = 0$ . Il reste à intégrer chaque $P_a$ : terme à terme (convergence normale sur le compact $\operatorname{im}\Gamma$ , qui évite $a$ ),

\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma(z - a)^n\,\dd z = 0 \ (n \leq -2: \text{primitive } \tfrac{(z-a)^{n+1}}{n+1}), \qquad \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{\dd z}{z - a} = \operatorname{Ind}_\Gamma(a),

donc $\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma P_a = c_{-1}^{(a)}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)$ . Sommer sur $a$ . ∎

Méthode 17.6 (Calcul des résidus)

Pôle simple : $\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z\to a}(z - a)f(z)$ ; pour $f = g/h$ avec $g(a) \neq 0$ , $h(a) = 0$ , $h'(a) \neq 0$ : $\operatorname{Res} = g(a)/h'(a)$ . Pôle d’ordre $m$ : $\operatorname{Res}(f, a) = \frac1{(m-1)!}\lim_{z\to a}\bigl((z-a)^mf(z)\bigr)^{(m-1)}$ . Singularités essentielles : développer et lire $c_{-1}$ (p. ex. à partir de séries connues). Toujours vérifier quels pôles le contour encercle réellement, et avec quel indice.

Exemple 17.7 (Les quatre types classiques d’intégrales)

(a) Rationnelle sur $\R$ : pour $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ , fermer avec un grand demi-cercle $S_R$ dans le demi-plan supérieur : l’intégrande est $O(R^{-4})$ là, donc $\int_{S_R} \to 0$ (ML), et le théorème des résidus avec les pôles $\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{3\iu\pi/4}$ (simples, résidus $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ en un pôle) donne

\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/4}}4 - \frac{\eu^{3\iu\pi/4}}4\Bigr) = \frac{\pi}{\sqrt2} .

(b) Type Fourier : pour $t \geq 0$ , $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — le demi-cercle supérieur marche car $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ là ; en prenant les parties réelles : $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$ , réglant la formule admise de l’Exercice 10.10. (c) Trigonométrique sur une période : substituer $z = \eu^{\iu t}$ , $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ , $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$ : $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ ( $a > 1$ ) devient un comptage de résidus dans le cercle unité (l’Exercice 17.2). (d) Séries : apparier $f$ avec $\pi\cot(\pi z)$ , dont les pôles sont les entiers de résidu $1$ : le problème de week-end somme $\sum n^{-2}$ et $\sum n^{-4}$ ainsi.

Le contour en demi-cercle pour ∈t_ℝ x/1 + x4 : quand R ∈fty l’arc contribue O(R-3), et le théorème des résidus compte les deux pôles enclos (bleu). Les deux pôles inférieurs (gris) sont hors : indice 0. — Le contour en demi-cercle pour $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ : quand $R \to \infty$ l’arc contribue $O(R^{-3})$ , et le théorème des résidus compte les deux pôles enclos (bleu). Les deux pôles inférieurs (gris) sont hors : indice $0$ .

17.4 Le principe de l’argument et le théorème de Rouché

Théorème 17.8 (Principe de l’argument)

Soit $f$ méromorphe sur $\Omega$ , avec zéros $z_j$ (ordres $m_j$ ) et pôles $p_k$ (ordres $\mu_k$ ), et $\gamma$ un chemin fermé dans $\Omega$ les évitant tous, avec $\operatorname{Ind}_\gamma = 0$ hors de $\Omega$ . Alors

\frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\,\dd z = \sum_j m_j\operatorname{Ind}_\gamma(z_j) - \sum_k \mu_k\operatorname{Ind}_\gamma(p_k)

(un nombre fini de termes sont non nuls). Pour un contour simple trigonométrique, l’intégrale compte les zéros moins les pôles à l’intérieur, avec multiplicité — et égale le nombre de tours du chemin image $f\circ\gamma$ autour de $0$ .

Démonstration. Près d’un zéro d’ordre $m$ : $f = (z-a)^mg$ , $g(a) \neq 0$ , donc $\frac{f'}f = \frac m{z - a} + \frac{g'}g$ avec le second terme holomorphe près de $a$ : un pôle simple de résidu $m$ . Près d’un pôle d’ordre $\mu$ : $f = (z-a)^{-\mu}g$ donne le résidu $-\mu$ . Ailleurs $\frac{f'}f$ est holomorphe. (Les zéros et pôles d’indice non nul sont dans une région compacte encerclée par $\gamma$ ; par le théorème d’identité ils y sont en nombre fini, $f \not\equiv 0$ .) Appliquer le Théorème 17.5. La dernière remarque : $\frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'}f = \frac1{2\iu\pi}\int_{f\circ\gamma}\frac{\dd w}w = \operatorname{Ind}_{f\circ\gamma}(0)$ (substituer $w = f(\gamma(t))$ ). ∎

Théorème 17.9 (Rouché)

Soient $f, g$ holomorphes sur $\Omega$ , et $\gamma$ un chemin fermé avec $\operatorname{Ind}_\gamma \in \{0,1\}$ , zéro hors de $\Omega$ (un contour simple). Si

\abs{g(z)} < \abs{f(z)} \qquad \text{sur } \operatorname{im}\gamma,

alors $f$ et $f + g$ ont le même nombre de zéros (avec multiplicité) dans la région $\{\operatorname{Ind}_\gamma = 1\}$ .

Démonstration. Pour $t \in \intcc01$ , $f_t = f + tg$ n’a pas de zéro sur $\operatorname{im}\gamma$ ( $\abs{f_t} \geq \abs f - \abs g > 0$ ), donc

N(t) = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma \frac{f_t'(z)}{f_t(z)}\,\dd z

est bien défini ; il compte les zéros dans la région encerclée (le Théorème 17.8 ; pas de pôles). $N$ est continue en $t$ (l’intégrande est conjointement continue, les dénominateurs uniformément minorés — convergence dominée) et à valeurs entières : constante. $N(0) = N(1)$ . ∎

Corollaire 17.10 (Théorème de l’application ouverte)

Une fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe est une application ouverte. En particulier (encore) le principe du maximum vaut, et une bijection holomorphe a une inverse holomorphe.

Démonstration. Soit $f(a) = b$ ; $f - b$ a un zéro d’ordre fini $m \geq 1$ en $a$ (théorème d’identité : $f \not\equiv b$ ). Choisir $r$ avec $f - b$ sans zéro sur $\bar D(a, r)\setminus\{a\}$ (zéros isolés) et soit $\delta = \min_{\abs{z - a} = r}\abs{f(z) - b} > 0$ . Pour $\abs{w - b} < \delta$ : sur le cercle, $\abs{(b - w)} < \delta \leq \abs{f - b}$ , donc Rouché ( $f - b$ contre la constante $b - w$ ) dit que $f - w$ a exactement $m$ zéros dans $D(a, r)$ : tout tel $w$ est atteint — $f(D(a,r)) \supseteq D(b, \delta)$ : ouvert. Principe du maximum : un maximum intérieur de $\abs f$ est impossible pour $f$ non constante, son image autour de $f(a)$ contenant des points de plus grand module. Inverse : une bijection holomorphe $f$ est ouverte, donc $f^{-1}$ est continue ; le zéro de $f - f(a)$ en $a$ est simple ( $m \geq 2$ donnerait $m$ préimages de valeurs proches — distinctes, car $f'$ ne s’annule qu’en des points isolés, donc près de $a$ les $m$ zéros de $f - w$ sont simples et distincts pour $w$ générique petit : contradiction avec l’injectivité) ; alors $f'(a) \neq 0$ et le quotient différentiel de $f^{-1}$ converge : $\bigl(f^{-1}\bigr)'(b) = 1/f'(a)$ . ∎

17.5 Exercices

Exercice 17.1 ★

Classer la singularité en $0$ et calculer le résidu :

\frac{\sin z}{z},\qquad \frac{\eu^z - 1}{z^2},\qquad \frac{1}{z(z-1)^2},\qquad \frac{\cos z}{z^3},\qquad \eu^{1/z},\qquad \frac1{\sin z} .

Donner aussi le résidu du troisième en $z = 1$ et du dernier en $z = \pi$ .

Solution

Solution de Exercice 17.1.

$\frac{\sin z}z = 1 - \frac{z^2}6 + \cdots$ : éliminable, résidu $0$ . $\frac{\eu^z - 1}{z^2} = \frac1z + \frac12 + \frac z6 + \cdots$ : pôle simple, résidu $1$ . $\frac1{z(z-1)^2}$ : pôle simple en $0$ de résidu $\frac1{(0-1)^2} = 1$ ; pôle double en $1$ de résidu $\frac{\dd}{\dd z}\bigl(\frac1z\bigr)\big|_{z=1} = -1$ . $\frac{\cos z}{z^3} = \frac1{z^3} - \frac1{2z} + \cdots$ : pôle d’ordre $3$ , résidu $-\frac12$ . $\eu^{1/z} = \sum_{n\geq0} \frac{z^{-n}}{n!}$ : essentielle, résidu $1$ . $\frac1{\sin z}$ : pôles simples en $n\pi$ ; résidu $\frac1{\cos 0} = 1$ en $0$ , $\frac1{\cos\pi} = -1$ en $\pi$ (la Méthode 17.6, $g/h'$ ).

Exercice 17.2 ★

Pour $a > 1$ calculer, via $z = \eu^{\iu t}$ :

\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - 1}} .

Vérifier les comportements limites $a \to 1^+$ et $a \to \infty$ .

Solution

Solution de Exercice 17.2.

Avec $z = \eu^{\iu t}$ , $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ , $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$ :

\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \oint_{\abs z = 1}\frac{2\,\dd z}{\iu\,(z^2 + 2az + 1)} .

Les racines $z_\pm = -a \pm \sqrt{a^2 - 1}$ satisfont $z_+z_- = 1$ avec $\abs{z_+} < 1 < \abs{z_-}$ ; le résidu en $z_+$ est $\frac{1}{z_+ - z_-} = \frac1{2\sqrt{a^2-1}}$ , donc l’intégrale vaut $\frac2\iu\cdot2\iu\pi\cdot \frac1{2\sqrt{a^2-1}} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}$ . Quand $a \to 1^+$ elle explose (l’intégrande pique en $t = \pi$ ) ; quand $a \to \infty$ elle se comporte comme $\frac{2\pi}a$ , en accord avec $\int\frac{\dd t}a$ .

Exercice 17.3 ★★

Calculer avec des contours en demi-cercle, en justifiant les estimations d’arc :

\int_\R\frac{x^2}{1 + x^6}\,\dd x = \frac\pi3, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1 + x^2)^{2}} = \frac\pi2 \quad\text{(retrouver l'\text{Exercice 14.3})}.

Solution

Solution de Exercice 17.3.

Première intégrale : pôles supérieurs de $\frac{z^2}{1+z^6}$ en $p = \eu^{\iu\pi/6}, \iu, \eu^{5\iu\pi/6}$ ; en chacun, $\operatorname{Res} = \frac{p^2}{6p^5} = \frac{p^3}{6p^6} = -\frac{p^3}6$ , et $p^3$ prend les valeurs $\iu, -\iu, \iu$ : somme des résidus $-\frac{\iu}{6}$ . L’arc est $O(R^{-4})\cdot O(R) \to 0$ :

\int_\R\frac{x^2\,\dd x}{1 + x^6} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac \iu6\Bigr) = \frac\pi3 .

Seconde : pôle double en $\iu$ de $\frac1{(1+z^2)^2} = \frac1{(z-\iu)^2(z+\iu)^2}$ :

\operatorname{Res} = \frac{\dd}{\dd z}\,(z + \iu)^{-2}\Big|_{z=\iu} = \frac{-2}{(2\iu)^3} = \frac{-2}{-8\iu} = -\frac\iu4, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1+x^2)^2} = 2\iu\pi\cdot\Bigl(-\frac\iu4\Bigr) = \frac\pi2 ,

cohérent avec l’Exercice 14.3(b).

Exercice 17.4 ★★

Prouver, pour $t \geq 0$ et $a > 0$ :

\int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2 + a^2}\,\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at},

et en déduire la transformée de Fourier de $x \mapsto \eu^{-a\abs x}$ par inversion — en comparant avec l’Exercice 14.1.

Solution

Solution de Exercice 17.4.

Fermer $\frac{\eu^{\iu tz}}{z^2 + a^2}$ dans le demi-plan supérieur ( $t \geq 0$ ) : là $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ , donc l’arc contribue $O(R^{-2})\cdot O(R) \to 0$ . L’unique pôle enclos $\iu a$ est simple de résidu $\frac{\eu^{-at}}{2\iu a}$ :

\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{x^2 + a^2}\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at}, \qquad\text{d'où}\qquad \int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2+a^2}\dd x = \frac\pi a\,\eu^{-a\abs t}

(partie réelle ; pair en $t$ ). C’est la contrepartie d’inversion de $\widehat{\eu^{-a\abs x}} = \frac{2a}{a^2+\xi^2}$ (l’Exercice 14.1) : les deux calculs se confirment mutuellement via le Théorème 14.5.

Exercice 17.5 ★★

Développer $f(z) = \dfrac1{(z-1)(z-2)}$ en série de Laurent dans chacune des trois régions $\abs z < 1$ , $1 < \abs z < 2$ , $\abs z > 2$ . Pourquoi les trois développements diffèrent-ils ? Expliquer pourquoi le coefficient de $z^{-1}$ dans les second et troisième développements n’est pas un résidu de $f$ en $0$ ( $f$ n’a pas de singularité là), et calculer les vrais résidus de $f$ , en $1$ et en $2$ .

Solution

Solution de Exercice 17.5.

Éléments simples : $f = \frac1{z-2} - \frac1{z-1}$ . Sur $\abs z < 1$ (Taylor) : $f = \sum_{n\geq0}\bigl(1 - 2^{-n-1}\bigr)z^n$ . Sur $1 < \abs z < 2$ : $\frac1{z-2} = -\sum_{n\geq0}\frac{z^n}{2^{n+1}}$ et $-\frac1{z-1} = -\sum_{n\geq1}z^{-n}$ : une véritable série à deux côtés. Sur $\abs z > 2$ : $f = \sum_{n\geq1}\bigl(2^{n-1} - 1\bigr)z^{-n}$ . Les trois diffèrent car les développements de Laurent sont attachés à des anneaux, non à des points : chaque région a ses propres développements géométriques. Les coefficients de $z^{-1}$ ( $-1$ et $0$ respectivement) sont des intégrales sur des cercles encerclant les singularités intérieures, non des résidus en $0$ ( $f$ est holomorphe en $0$ ) : pour $1 < \abs z < 2$ le coefficient $-1$ est $\operatorname{Res}(f, 1)$ ; pour $\abs z > 2$ le coefficient $0$ est $\operatorname{Res}(f,1) + \operatorname{Res}(f,2) = -1 + 1$ . Les résidus de $f$ : $-1$ en $1$ et $+1$ en $2$ .

Exercice 17.6 ★★

(a) Montrer que $\eu^{1/z}$ a une singularité essentielle en $0$ et vérifier Casorati–Weierstrass à la main : résoudre $\eu^{1/z} = w$ explicitement pour tout $w \neq 0$ , en exhibant des solutions arbitrairement proches de $0$ . (b) Montrer que $\abs{\eu^{1/z}}$ est non bornée sur tout voisinage percé de $0$ pourtant $\eu^{1/z}$ n’a pas de pôle : quelle limite échoue ?

Solution

Solution de Exercice 17.6.

(a) La série de Laurent $\sum_nz^{-n}/n!$ a infiniment de termes négatifs : essentielle. Résoudre $\eu^{1/z} = w$ ( $w \neq 0$ ) : $\frac1z = \log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k$ , donc

z_k = \frac1{\log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k} \xrightarrow[k\to\infty]{} 0 :

toute valeur non nulle est atteinte infiniment souvent près de $0$ — plus fort que la densité. (b) Le long de $z = 1/x$ , $x \to +\infty$ : $\eu^x \to \infty$ ; le long de $z = \iu/y$ : module $1$ . Un pôle exige $\abs{f(z)} \to \infty$ selon toute approche : ici la limite n’existe tout simplement pas, même dans $[0, +\infty]$ .

Exercice 17.7 ★★

Compter avec Rouché : (a) les zéros de $z^7 - 4z^3 + z - 1$ dans $\abs z < 1$ ; (b) les zéros de $z^4 + 5z + 1$ dans $\abs z < 1$ et dans $1 < \abs z < 2$ ; (c) reprouver d’Alembert–Gauss : un polynôme monique de degré $n$ a $n$ zéros dans un grand disque (comparer avec $z^n$ ).

Solution

Solution de Exercice 17.7.

(a) Sur $\abs z = 1$ : $\abs{z^7 + z - 1} \leq 3 < 4 = \abs{-4z^3}$ . Rouché avec $f = -4z^3$ , $g = z^7 + z - 1$ : trois zéros dans le disque. (b) Sur $\abs z = 1$ : $\abs{z^4 + 1} \leq 2 < 5 = \abs{5z}$ : un zéro dans $\abs z < 1$ . Sur $\abs z = 2$ : $\abs{5z + 1} \leq 11 < 16 = \abs{z^4}$ : quatre zéros dans $\abs z < 2$ . D’où trois zéros dans l’anneau. (c) Pour $P = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots$ : sur $\abs z = R > 1 + \sum\abs{a_k}$ , $\abs{P - z^n} \leq \bigl(\sum\abs{a_k}\bigr)R^{n-1} < R^n = \abs{z^n}$ : $P$ a exactement $n$ zéros dans $D(0, R)$ — d’Alembert–Gauss avec multiplicités, par pur comptage.

Exercice 17.8 ★★★

(Hurwitz) Soit $f_n \to f$ uniformément sur les compacts, $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ , $\Omega$ connexe, $f \not\equiv 0$ . (a) Montrer que si toutes les $f_n$ sont sans zéro, il en va de même de $f$ . (Si $f(a) = 0$ : principe de l’argument sur un petit cercle autour de $a$ , et le Théorème 16.15 pour passer à la limite dans $\int f_n'/f_n$ .) (b) Montrer que si toutes les $f_n$ sont injectives, $f$ est injective ou constante. (Appliquer (a) à $z \mapsto f_n(z) - f_n(w)$ sur $\Omega\setminus\{w\}$ .)

Solution

Solution de Exercice 17.8.

(a) Supposons $f(a) = 0$ , $f \not\equiv 0$ : choisir $r$ avec $f$ sans zéro sur le cercle $C = \partial D(a, r)$ (zéros isolés) et $m = \min_C\abs f > 0$ . Par le Théorème 16.15, $f_n \to f$ et $f_n' \to f'$ uniformément sur $C$ ; pour $n$ grand, $\abs{f_n} \geq m/2$ sur $C$ , donc

\frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f_n'}{f_n} \longrightarrow \frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f'}{f} \geq 1

(la limite compte le zéro $a$ ; convergence car les numérateurs convergent uniformément et les dénominateurs sont uniformément minorés). Le membre de gauche est un entier comptant les zéros de $f_n$ dans le disque : il doit être $\geq 1$ éventuellement — contredisant l’absence de zéro. Donc $f$ est sans zéro.

(b) Fixer $w \in \Omega$ et appliquer (a) sur l’ouvert connexe $\Omega\setminus\{w\}$ (retirer un point d’un ouvert connexe de $\C$ préserve la connexité) à $g_n(z) = f_n(z) - f_n(w)$ , sans zéro là par injectivité, convergeant vers $g = f - f(w)$ . Si $f$ est non constante, $g \not\equiv 0$ sur $\Omega\setminus\{w\}$ , donc $g$ est sans zéro là : $f(z) \neq f(w)$ pour tout $z \neq w$ . Comme $w$ était arbitraire, $f$ est injective.

Exercice 17.9 ★★★

Pour $n \geq 2$ , intégrer $\frac1{1 + z^n}$ sur le bord du secteur $\{0 \leq \arg z \leq \frac{2\pi}n,\ \abs z \leq R\}$ et en déduire

\int_0^{+\infty}\frac{\dd x}{1 + x^n} = \frac{\pi}{n\,\sin(\pi/n)} .

Vérifier $n = 2$ contre $\arctan$ , et la limite $n \to \infty$ .

Solution

Solution de Exercice 17.9.

Le bord du secteur est formé de $[0, R]$ , l’arc $A_R$ , et le rayon $\eu^{2\iu\pi/n}[0, R]$ renversé. À l’intérieur se trouve l’unique pôle $p = \eu^{\iu\pi/n}$ de $\frac1{1+z^n}$ , de résidu $\frac1{np^{n-1}} = \frac{p}{np^n} = -\frac pn$ . Sur le rayon de retour, $z = \eu^{2\iu\pi/n}x$ donne $z^n = x^n$ et $\dd z = \eu^{2\iu\pi/n}\dd x$ ; l’arc est $O(R^{-n})\cdot O(R) \to 0$ . D’où

\bigl(1 - \eu^{2\iu\pi/n}\bigr) \int_0^\infty\frac{\dd x}{1 + x^n} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/n}}n\Bigr), \quad\text{donc}\quad \int_0^\infty\frac{\dd x}{1+x^n} = \frac{2\iu\pi}{n\,\bigl(\eu^{\iu\pi/n} - \eu^{-\iu\pi/n}\bigr)} = \frac{\pi}{n\sin(\pi/n)} .

$n = 2$ : $\frac\pi{2\sin(\pi/2)} = \frac\pi2 = [\arctan]_0^\infty$ . Quand $n \to \infty$ : la valeur tend vers $1$ , et de fait l’intégrande tend vers $\mathbf 1_{\intco01}$ (avec domination DCT $\min(1, x^{-2})$ pour $n \geq 2$ ).

Exercice 17.10 ★★

Soit $f$ une fraction rationnelle avec $\deg(\text{dénominateur}) \geq \deg(\text{numérateur}) + 2$ . Montrer que la somme de tous les résidus de $f$ est nulle (intégrer sur des cercles de plus en plus grands). Utiliser cela pour recalculer la décomposition en éléments simples de $\frac1{z(z-1)(z-2)}$ sans algèbre linéaire.

Solution

Solution de Exercice 17.10.

Sur $\abs z = R$ grand, $\abs f \leq C R^{-2}$ : $\abs{\oint_{C_R} f} \leq 2\pi R\cdot CR^{-2} \to 0$ . Mais pour $R$ au-delà de tous les pôles, le théorème des résidus donne $\oint_{C_R}f = 2\iu\pi\sum_{\text{tous }p} \operatorname{Res}(f, p)$ : la somme totale s’annule. Pour $f = \frac1{z(z-1)(z-2)}$ : résidus $\frac1{(-1)(-2)} = \frac12$ en $0$ , $\frac1{1\cdot(-1)} = -1$ en $1$ , $\frac1{2\cdot1} = \frac12$ en $2$ — somme nulle comme prédit, et

\frac1{z(z-1)(z-2)} = \frac{1/2}{z} - \frac1{z - 1} + \frac{1/2}{z-2} :

les résidus sont les coefficients d’éléments simples, et l’identité de somme nulle fournit un contrôle de cohérence gratuit (ou détermine le dernier coefficient à partir des autres).

Exercice 17.11 ★★★

(Le trou de serrure : l’intégrale de réflexion d’Euler) Pour $0 < a < 1$ , calculer

I(a) = \int_0^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1 + x}\,\dd x = \frac{\pi}{\sin(\pi a)}

en intégrant $f(z) = \frac{z^{a-1}}{1+z} = \frac{\eu^{(a-1)\log z}}{1 + z}$ (logarithme coupé le long de $\R_+$ , $\arg z \in \intoo0{2\pi}$ ) sur le contour en trou de serrure : le long du haut de la coupure de $\varepsilon$ à $R$ , autour de $C_R$ , sous la coupure en retour, autour de $C_\varepsilon$ . Justifier : les deux tronçons droits diffèrent du facteur $\eu^{2\iu\pi(a-1)}$ , les contributions des cercles s’annulent ( $R^{a-1}\cdot R \to 0$ et $\varepsilon^{a-1}\cdot\varepsilon \to 0$ ), et l’unique pôle $z = -1$ a pour résidu $\eu^{\iu\pi(a - 1)}$ . En déduire aussi $\Gamma(a)\Gamma(1 - a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ (écrire $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = B(a, 1-a)$ par le Problème 10.1 et substituer $t = \frac{x}{1+x}$ ).

Solution

Solution de Exercice 17.11.

Sur le trou de serrure, avec la détermination choisie : juste au-dessus de la coupure, $\log z = \ln x$ ; juste en dessous, $\log z = \ln x + 2\iu\pi$ . Les quatre morceaux donnent

\Bigl(1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}\Bigr)\int_\varepsilon^R \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x + \int_{C_R} + \int_{C_\varepsilon} = 2\iu\pi\operatorname{Res}(f, -1) .

Arcs : $\abs{f} \leq \frac{R^{a-1}}{R - 1}$ sur $C_R$ , longueur $2\pi R$ : contribution $O(R^{a-1}) \to 0$ ( $a < 1$ ) ; $\abs f \leq \frac{\varepsilon^{a-1}}{1 - \varepsilon}$ sur $C_\varepsilon$ , longueur $2\pi\varepsilon$ : $O(\varepsilon^a) \to 0$ ( $a > 0$ ). Résidu : en $z = -1 = \eu^{\iu\pi}$ , $\operatorname{Res} = \eu^{(a-1)\iu\pi}$ . D’où

I(a) = \frac{2\iu\pi\,\eu^{\iu\pi(a-1)}}{1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}} = \frac{2\iu\pi}{\eu^{-\iu\pi(a-1)} - \eu^{\iu\pi(a-1)}} = \frac{\pi}{-\sin(\pi(a-1))} = \frac{\pi}{\sin\pi a} .

Réflexion de Gamma : $B(a, 1-a) = \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{-a}\dd t$ ; la substitution $t = \frac x{1+x}$ , $1 - t = \frac1{1+x}$ , $\dd t = \frac{\dd x}{(1+x)^2}$ la transforme en $\int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x = I(a)$ , et la formule d’Euler $B(a, 1-a) = \Gamma(a)\Gamma(1-a)/\Gamma(1)$ (le Problème 10.1) donne $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ — en particulier $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ encore une fois.

Exercice 17.12 ★★

(Compter les zéros avec le principe de l’argument, numériquement) Soit $P(z) = z^4 + 8z + 1$ . (a) Combien de zéros dans le disque unité ? (Rouché contre $8z + 1$ .) (b) Combien dans l’anneau $1 < \abs z < 3$ ? (Rouché contre $z^4$ sur $\abs z = 3$ .) Affiner : montrer que tout zéro a un module $< 2{,}1$ . (c) Combien dans le demi-plan droit ? (Compter d’abord sur $\abs z = 2$ ; puis suivre l’image de l’axe imaginaire : $P(\iu t) = t^4 + 1 + 8\iu t$ a une partie réelle positive partout, donc pas de zéro sur l’axe, et la variation d’argument le long de celui-ci est calculable — conclure avec un grand demi-disque.)

Solution

Solution de Exercice 17.12.

(a) Sur $\abs z = 1$ : $\abs{z^4} = 1 < 7 \leq \abs{8z + 1}$ ( $\abs{8z} - 1 = 7$ ) : $P$ a autant de zéros dans $\mathbb D$ que $8z + 1$ , à savoir un (en $-\frac18$ ).

(b) Sur $\abs z = 3$ : $\abs{8z + 1} \leq 25 < 81 = \abs{z^4}$ : Rouché contre $z^4$ donne les quatre zéros dans $\abs z < 3$ , d’où $4 - 1 = 3$ zéros dans l’anneau $1 < \abs z < 3$ . Affinage : un zéro avec $\abs z = r \geq 2{,}1$ satisferait $r^4 = \abs{8z + 1} \leq 8r + 1$ , mais $r^4 - 8r - 1$ croît pour $r \geq 2$ et vaut $19{,}45 - 16{,}8 - 1 = 1{,}65 > 0$ en $r = 2{,}1$ : impossible. Donc les trois zéros extérieurs sont dans $1 < \abs z < 2{,}1$ . (Numériquement : un zéro réel près de $-1{,}95$ et une paire conjuguée près de $1{,}04 \pm 1{,}73\iu$ , de module $2{,}02$ — voilà pourquoi une tentative de Rouché au rayon exact $2$ doit échouer : le théorème exige une domination stricte, et les zéros sont juste à l’extérieur.)

(c) Pas de zéro sur $\iu\R$ : $\operatorname{Re}P(\iu t) = t^4 + 1 \geq 1$ . Zéros dans le demi-plan droit : utiliser le principe de l’argument sur le bord du demi-disque $\{\abs z \leq R,\ \operatorname{Re}z \geq 0\}$ . Sur le grand arc, $\arg P \approx \arg z^4$ tourne de $4\cdot\pi = 2\pi\cdot2$ (l’arc span un angle $\pi$ ). Le long de l’axe imaginaire de $\iu R$ à $-\iu R$ : $P(\iu t) = (t^4 + 1) + 8\iu t$ reste dans le demi-plan droit ( $\operatorname{Re} > 0$ ), donc $\arg P$ varie dans $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ et revient avec variation nette $\to 0$ quand $R \to \infty$ (les extrémités $\approx \arg t^4 = 0$ ). Enroulement total : $\frac{4\pi + 0}{2\pi} = 2$ : deux zéros dans le demi-plan droit — cohérent avec le numérique : la paire conjuguée $\approx 1{,}04 \pm 1{,}73\iu$ a une partie réelle positive, les zéros réels $\approx -0{,}125$ et $\approx -1{,}96$ négatifs.

17.6 Problème : $\zeta(2k)$ par la cotangente

Problème 17.1

Problème de week-end — sommer $\sum n^{-2k}$ avec les résidus

Le théorème des résidus somme les séries : en appariant une fraction rationnelle avec $\pi\cot(\pi z)$ , dont les pôles siègent aux entiers, on transforme $\sum_{n}f(n)$ en un comptage de résidus. Nous prouvons la méthode et calculons $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ et $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ — les valeurs trouvées par séries de Fourier en deuxième année et par traces d’opérateurs dans le Chapitre 15, maintenant par intégration de contour.

Partie I — Le noyau cotangente.

Montrer que $\pi\cot(\pi z)$ est méromorphe sur $\C$ avec des pôles simples exactement en $z = n \in \Z$ , chacun de résidu $1$ (calculer $\lim_{z\to n}(z-n)\pi\cot\pi z$ ).
Calculer le début du développement de Laurent en $0$ :

$\pi\cot(\pi z) = \frac1z - \frac{\pi^2}{3}\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 + O(z^5) ,$

en divisant la série entière de $\cos$ par celle de $\sin$ (justifier la division : $\frac{\sin\pi z}{\pi z}$ est holomorphe et non nulle près de $0$ , donc sa réciproque est holomorphe ; identifier les coefficients jusqu’à l’ordre $3$ ).
Soit $C_N$ le bord du carré de sommets $(\pm1\pm\iu)(N + \frac12)$ . Montrer que $\abs{\cot(\pi z)} \leq 2$ sur $C_N$ pour tout $N \geq 1$ . (Sur les côtés verticaux, $\cot(\pi(\pm(N + \frac12) + \iu y)) = \mp\tan(\iu\pi y)$ , de module $\abs{\tanh(\pi y)} \leq 1$ ; sur les côtés horizontaux $\abs y = N + \frac12$ , borner $\abs{\cot(\pi(x\pm\iu y))} \leq \coth(\pi y) \leq \coth(\pi/2) < 1{,}1$ .)

Partie II — Le théorème de sommation.

Soit $f$ rationnelle, holomorphe aux entiers, avec $\deg(\text{dén}) \geq \deg(\text{num}) + 2$ . En utilisant le théorème des résidus sur $C_N$ et la borne de la question 3, prouver :

$\lim_{N\to\infty}\ \sum_{n = -N}^{N} f(n) = -\sum_{p\ \text{pôle de}\ f} \operatorname{Res}\bigl(\pi\cot(\pi z)f(z),\,p\bigr).$
Où l’argument a-t-il besoin de la condition de degré ? Montrer par un exemple (prendre $f(z) = 1/(z + \frac12)$ ) que pour une décroissance plus lente la limite symétrique peut encore exister tandis que la série bilatère diverge — et que la formule calcule alors la valeur principale.

Partie III — Les valeurs.

Appliquer la méthode à $f(z) = 1/z^2$ : ici $f$ a son pôle en un entier, donc mener l’argument directement — intégrer $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$ sur $C_N$ , montrer que l’intégrale $\to 0$ , et calculer $\operatorname{Res}(g, 0)$ à partir de la question 2. Conclure :

$2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{3}, \qquad \zeta(2) = \frac{\pi^2}6 .$
Idem avec $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4}$ : calculer $\operatorname{Res}(g, 0)$ et en déduire $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ .
Expliquer le schéma général : pour tout $k \geq 1$ , $\zeta(2k)$ est $-\frac12$ fois le coefficient de $z^{2k-1}$ dans le développement de Laurent de $\pi\cot(\pi z)$ en $0$ — un multiple rationnel de $\pi^{2k}$ . Calculer $\zeta(6)$ en poussant la division de la question 2 d’un cran. Que dit la méthode sur $\zeta(3)$ — et pourquoi ne dit-elle rien ?

Partie IV — Le développement en éléments simples de la cotangente.

Fixer $w \in \C\setminus\Z$ et appliquer la méthode de la partie II à $f(z) = \dfrac{1}{(z - w)(z + w)}$ — en notant que $\pi\cot(\pi z)f(z)$ a maintenant des pôles simples supplémentaires en $\pm w$ , dont les résidus doivent rejoindre le comptage. En déduire le développement en éléments simples

$\pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2},$

la série convergeant normalement sur les sous-ensembles compacts de $\C\setminus\Z$ .
Retrouver à partir de ce développement, en développant chaque terme en puissances de $w$ (justifier l’interversion), les mêmes coefficients de Laurent qu’à la question 2 — le cercle se ferme : la formule d’Euler $\sum\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$ est le coefficient de $w$ dans les deux faces de la cotangente. Comparer avec la preuve par séries de Fourier (deuxième année) et la preuve par traces (le Problème 15.1) : trois théories, un nombre.

Partie V — Le produit d’Euler pour le sinus. Le développement de la question 9 est la dérivée logarithmique d’un produit infini ; nous prouvons maintenant honnêtement la factorisation d’Euler de 1734.

Pour $N \geq 1$ poser $P_N(z) = z\prod_{n=1}^{N}\bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\bigr)$ . Montrer que $P_N$ converge, uniformément sur tout disque $\bar D(0, R)$ , vers une fonction entière $P$ dont les zéros sont exactement les entiers, tous simples. (Pour $n \geq 2R$ écrire le facteur comme $\exp\log(1 - z^2/n^2)$ avec le logarithme principal de l’Exercice 16.3, borner $\abs{\log(1+u)} \leq 2\abs u$ pour $\abs u \leq \frac12$ via la série, et exponentier la somme normalement convergente de logarithmes ; les facteurs restants en nombre fini sont un polynôme. Conclure avec le Théorème 16.15.)
Montrer que sur $\C\setminus\Z$ ,

$\frac{P'(z)}{P(z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} = \pi\cot(\pi z)$

(dériver les produits finis, passer à la limite en utilisant le Théorème 16.15 et l’absence de zéro de $P$ hors de $\Z$ , et citer la question 9).
Montrer que $Q = \sin(\pi z)/P(z)$ s’étend en une fonction entière sans zéro avec $Q' = 0$ , et conclure le produit d’Euler :

$\sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) \qquad (z \in \C) .$
(Wallis, 1655) Évaluer en $z = \frac12$ :

$\frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} .$
Pour $\abs z < 1$ , développer le logarithme du produit en série double (justifier le réarrangement) et retrouver $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ en identifiant le coefficient de $z^3$ dans $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + \cdots$ — la face produit du nombre d’Euler.

Partie VI — Noyaux frères. La cotangente a des frères ; chacun tarife sa propre famille de séries.

Dériver terme à terme le développement de la question 9 (justifié par le Théorème 16.15) pour obtenir, normalement sur les compacts de $\C\setminus\Z$ ,

$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} .$
Évaluer en $z = \frac12$ : $\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8$ ; retrouver $\zeta(2)$ encore une fois en scindant les entiers par parité.
Vérifier l’identité de duplication $\tan\theta = \cot\theta - 2\cot(2\theta)$ et en déduire

$\pi\tan(\pi z) = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} ,$

normalement sur les compacts évitant $\frac12 + \Z$ .
Développer autour de $0$ ( $\abs z < \frac12$ ; Fubini encore) : avec $\lambda(s) = \sum_{m\geq0}(2m+1)^{-s}$ ,

$\pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} ;$

comparer avec $\tan u = u + \frac{u^3}3 + O(u^5)$ pour retrouver $\lambda(2) = \frac{\pi^2}8$ et obtenir $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$ , puis recouper $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ via $\lambda(4) = (1 - 2^{-4})\,\zeta(4)$ .
Vérifier $\frac1{\sin\theta} = \cot\frac\theta2 - \cot\theta$ et en déduire

$\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} .$

Vérifier les signes contre les résidus de $\pi/\sin(\pi z)$ aux entiers.
Lire le coefficient de $z$ : $\eta(2) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ , et confirmer la cohérence $\eta(2) = (1 - 2^{1-2})\,\zeta(2)$ .
(Finale) Évaluer le développement de la question 20 en $z = \frac12$ et en déduire la formule de Leibniz

$\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots$

Clore par un court paragraphe : un noyau par arithmétique — quel noyau tarife quelle famille de séries, et pourquoi tous sont structurellement aveugles à $\zeta(3)$ .

Partie VII — La grille tarifaire complète : nombres de Bernoulli.

Combiner le développement en éléments simples de $\pi z\cot(\pi z)$ avec la fonction génératrice des nombres de Bernoulli ( $\frac{w}{\eu^w - 1} = \sum_n\frac{B_n}{n!}w^n$ , le Problème 16.1, partie VI) : de

$\pi z\cot(\pi z) = \iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1}$

(prouver d’abord cette identité), déduire la forme fermée

$\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\, \frac{(2\pi)^{2k}\,B_{2k}}{2\,(2k)!} \qquad (k \geq 1).$
Vérifier la formule contre $B_2 = \frac16$ , $B_4 = -\frac1{30}$ , $B_6 = \frac1{42}$ : retrouver $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ , $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ , et calculer $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ .
(Récursion d’Euler) Développer les deux membres de $\bigl(z\cot z\bigr)' = \cot z - z(1 + \cot^2z)$ — ou élever au carré la série de cotangente directement — pour prouver

$\Bigl(k + \frac12\Bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k - 2j) \qquad (k \geq 2),$

et vérifier qu’elle calcule $\zeta(4)$ à partir de $\zeta(2)$ et $\zeta(6)$ à partir de $\zeta(2), \zeta(4)$ — toutes les valeurs zêta paires à partir de la seule graine $\frac{\pi^2}6$ , sans nouvelle intégration.

Solution

Solution de Problème 17.1.

1. $\sin(\pi z)$ a des zéros simples exactement en $\Z$ ( $\sin\pi z = 0$ ssi $z \in \Z$ , et $(\sin\pi z)' = \pi\cos\pi z \neq 0$ là), et $\cos(\pi n) \neq 0$ : $\pi\cot(\pi z) = \pi\cos(\pi z)/\sin(\pi z)$ a des pôles simples en $\Z$ avec

\operatorname{Res}(\pi\cot\pi z,\ n) = \frac{\pi\cos(\pi n)}{\pi\cos(\pi n)} = 1

(règle $g/h'$ , la Méthode 17.6).

2. $\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = 1 - \frac{(\pi z)^2}6 + \frac{(\pi z)^4}{120} - \cdots$ est holomorphe et non nulle près de $0$ : sa réciproque est holomorphe (la Définition 16.1 : quotient), avec série $1 + \frac{(\pi z)^2}{6} + \frac{7(\pi z)^4}{360} + \cdots$ (identifier : coefficients style $(1 - u)^{-1}$ à partir de $u = \frac{(\pi z)^2}6 - \frac{(\pi z)^4}{120}$ : le coefficient de $z^4$ est $\frac1{36} - \frac1{120} = \frac{7}{360}$ ). Multiplier par $\cos(\pi z) = 1 - \frac{(\pi z)^2}2 + \frac{(\pi z)^4}{24} - \cdots$ et diviser par $z$ :

\pi\cot(\pi z) = \frac1z\Bigl[1 + \pi^2z^2\Bigl(\frac16 - \frac12\Bigr) + \pi^4z^4\Bigl(\frac7{360} - \frac1{12} + \frac1{24}\Bigr)\Bigr] + \cdots = \frac1z - \frac{\pi^2}3\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 - \cdots

( $\frac7{360} - \frac{30}{360} + \frac{15}{360} = -\frac8{360} = -\frac1{45}$ ).

3. Côtés verticaux $z = \pm(N + \frac12) + \iu y$ : par $\pi$ -périodicité de $\cot$ , $\cot(\pi z) = \cot(\pm\frac\pi2 + \iu\pi y) = -\tan(\iu\pi y) = -\iu\tanh(\pi y)$ , de module $\leq 1$ . Côtés horizontaux $z = x \pm \iu(N + \frac12)$ : de $\abs{\cot(a + \iu b)}^2 = \frac{\cos^2a + \sinh^2b}{\sin^2a + \sinh^2b} \leq \frac{1 + \sinh^2b}{\sinh^2b} = \coth^2 b$ ,

\abs{\cot(\pi z)} \leq \coth\bigl(\pi(N + \tfrac12)\bigr) \leq \coth(\pi/2) < 1{,}1 .

Les deux bornes sont $\leq 2$ .

4. Appliquer le Théorème 17.5 à $F(z) = \pi\cot(\pi z)f(z)$ sur $C_N$ ( $N$ au-delà de tous les pôles de $f$ ) :

\frac1{2\iu\pi}\oint_{C_N}F = \sum_{n=-N}^{N}f(n) + \sum_p\operatorname{Res}(F, p),

les pôles entiers contribuant $f(n)$ (question 1 ; $f$ holomorphe là). Sur $C_N$ : $\abs F \leq 2\pi\cdot C\abs z^{-2} \leq 2\pi C N^{-2}$ , et le périmètre est $8(N + \frac12)$ : l’intégrale est $O(1/N) \to 0$ . Faire $N \to \infty$ : la formule de sommation affichée.

5. La décroissance $\abs f = O(\abs z^{-2})$ a tué l’intégrale de contour et rendu $\sum\abs{f(n)}$ convergente. Pour $f(z) = \frac1{z + \frac12}$ : les sommes symétriques $\sum_{-N}^N\frac1{n + \frac12}$ se téléscopent à $0$ (les termes $n$ et $-n - 1$ s’annulent), et le membre de droite est $-\operatorname{Res}\bigl(\frac{\pi\cot\pi z}{z + \frac12}, -\frac12\bigr) = -\pi\cot(-\frac\pi2) = 0$ : cohérent — mais $\sum\abs{f(n)}$ diverge : la méthode calcule seulement la limite symétrique (valeur principale).

6. $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$ : pôles aux entiers non nuls de résidus $\frac1{n^2}$ , et en $0$ où, par la question 2,

g(z) = \frac1{z^3} - \frac{\pi^2}{3z} - \frac{\pi^4}{45}z - \cdots : \qquad \operatorname{Res}(g, 0) = -\frac{\pi^2}3 .

L’intégrale de contour sur $C_N$ tend vers $0$ comme à la question 4 ( $\abs{g} = O(N^{-2})$ sur $C_N$ ). D’où $0 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} - \frac{\pi^2}3$ : $2\zeta(2) = \frac{\pi^2}3$ , $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ .

7. $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4} = \frac1{z^5} - \frac{\pi^2}{3z^3} - \frac{\pi^4}{45z} - \cdots$ : résidu en $0$ égal à $-\frac{\pi^4}{45}$ , et $0 = 2\zeta(4) - \frac{\pi^4}{45}$ : $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ .

8. Avec $g = \pi\cot(\pi z)/z^{2k}$ : le résidu en $0$ est le coefficient $a_{2k-1}$ de $z^{2k-1}$ dans le développement de $\pi\cot(\pi z)$ , et l’annulation du contour donne $2\zeta(2k) + a_{2k-1} = 0$ : $\zeta(2k) = -a_{2k-1}/2$ , un multiple rationnel de $\pi^{2k}$ puisque les coefficients de la cotangente le sont. Une division de plus donne $a_5 = -\frac{2\pi^6}{945}$ , d’où $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ . Pour $\zeta(3)$ : le noyau naturel $g = \pi\cot(\pi z)/z^3$ produit $\sum_{n\neq0}\frac1{n^3} = 0$ par imparité — la méthode prouve $0 = 0$ et est structurellement aveugle aux valeurs zêta impaires (aucune forme fermée pour $\zeta(3)$ n’est connue ; son irrationalité, Apéry 1978, a demandé des idées entièrement différentes).

9. $F(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{(z - w)(z + w)}$ a des pôles aux entiers (résidus $\frac1{n^2 - w^2}$ , en notant le signe : $f(n) = \frac1{(n-w)(n+w)} = \frac1{n^2 - w^2}$ ) et des pôles simples en $\pm w$ de résidus $\frac{\pi\cot(\pm\pi w)}{\pm2w} = \frac{\pi\cot(\pi w)}{2w}$ chacun ( $\cot$ est impaire). L’argument de la question 4 ( $\abs f = O(\abs z^{-2})$ ) donne

\sum_{n\in\Z}\frac1{n^2 - w^2} + \frac{\pi\cot(\pi w)}{w} = 0, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2},

(le terme $n = 0$ est $-\frac1{w^2}$ ; regrouper $\pm n$ ). Convergence normale sur les compacts de $\C\setminus\Z$ : pour $\abs w \leq R$ et $n \geq 2R$ , $\abs{\frac{2w}{w^2 - n^2}} \leq \frac{2R}{n^2 - R^2} \leq \frac{8R}{3n^2}$ .

10. Pour $\abs w \leq r < 1$ : $\frac{2w}{w^2 - n^2} = -\frac{2w}{n^2}\cdot\frac1{1 - w^2/n^2} = -2\sum_{k\geq0}\frac{w^{2k+1}}{n^{2k+2}}$ , avec $\abs{\text{termes}} \leq 2r^{2k+1}/n^{2k+2}$ , sommable sur $(n, k)$ : Fubini pour les séries réarrange

\pi\cot(\pi w) = \frac1w - 2\sum_{k\geq0}\zeta(2k+2)\,w^{2k+1} .

Appariement avec la question 2 : $-2\zeta(2) = -\frac{\pi^2}3$ et $-2\zeta(4) = -\frac{\pi^4}{45}$ — les mêmes valeurs. Trois routes vers $\frac{\pi^2}6$ : Parseval (séries de Fourier), la trace de l’opérateur de Green de la corde, et les deux développements de la cotangente ; qu’une somme sur des fréquences, une trace d’opérateur et une intégrale de contour s’accordent n’est pas un accident — chacune est une face de la même identité spectrale.

11. Fixer $R \geq 1$ et soit $n_0$ le plus petit entier $\geq 2R$ . Pour $\abs z \leq R$ et $n \geq n_0$ : $\abs{z^2/n^2} \leq \frac14$ , donc $1 - z^2/n^2 \in \bar D(1, \frac14)$ , où le logarithme principal est holomorphe, et

\Bigl|\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr)\Bigr| \leq \sum_{k\geq1}\frac1k\,\Bigl|\frac{z^2}{n^2}\Bigr|^k \leq \frac{\abs{z^2/n^2}}{1 - \abs{z^2/n^2}} \leq \frac{2R^2}{n^2} :

la somme $S(z) = \sum_{n\geq n_0}\log(1 - z^2/n^2)$ converge normalement sur $\bar D(0, R)$ , avec sommes partielles holomorphes $S_N$ et $\abs{S_N} \leq 2R^2\zeta(2)$ uniformément. Comme $\abs{\eu^a - \eu^b} \leq \eu^{\max(\abs a,\abs b)}\abs{a - b}$ (borne de la moyenne sur le segment), les produits de queue $\prod_{n_0\leq n\leq N} = \eu^{S_N}$ convergent uniformément sur $\bar D(0, R)$ vers le sans zéro $\eu^S$ . En multipliant par le polynôme fixe $z\prod_{n<n_0}(1 - z^2/n^2)$ : $P_N \to P$ uniformément sur $\bar D(0, R)$ , et le Théorème 16.15 rend $P$ holomorphe là ; $R$ étant arbitraire, $P$ est entière. Sur $\bar D(0, R)$ les zéros de $P$ sont ceux du préfacteur polynomial — les entiers de module $\leq R$ , chacun simple ( $(1 - z/n)(1 + z/n)$ a des zéros simples distincts, $\eu^S$ aucun) : l’ensemble des zéros de $P$ est $\Z$ , tous simples.

12. Différentiation logarithmique du produit fini, loin de ses zéros :

\frac{P_N'(z)}{P_N(z)} = \frac1z + \sum_{n=1}^{N}\frac{-2z/n^2}{1 - z^2/n^2} = \frac1z + \sum_{n=1}^{N}\frac{2z}{z^2 - n^2} .

Sur un compact $K \subseteq \C\setminus\Z$ : $P_N \to P$ et $P_N' \to P'$ uniformément (le Théorème 16.15), et $\min_K \abs P > 0$ ( $P$ ne s’annule que sur $\Z$ ), donc éventuellement $\abs{P_N} \geq \frac12\min_K\abs P$ et $P_N'/P_N \to P'/P$ uniformément sur $K$ . Le membre du milieu converge vers $\frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2-n^2} = \pi\cot(\pi z)$ par la question 9 : d’où $P'/P = \pi\cot(\pi z)$ sur $\C\setminus\Z$ .

13. $\sin(\pi z)$ et $P$ sont entières avec le même ensemble de zéros $\Z$ , tous simples (questions 1 et 11). Près de $m \in \Z$ écrire $\sin(\pi z) = (z - m)\,\sigma(z)$ et $P(z) = (z - m)\,\psi(z)$ avec $\sigma, \psi$ holomorphes et non nuls en $m$ (factoriser la série entière) : $Q = \sin(\pi z)/P = \sigma/\psi$ s’étend holomorphiquement et sans zéro à travers chaque entier, et est sans zéro sur $\C\setminus\Z$ comme quotient de fonctions sans zéro. Là,

\frac{Q'}{Q} = \frac{(\sin\pi z)'}{\sin\pi z} - \frac{P'}{P} = \pi\cot(\pi z) - \pi\cot(\pi z) = 0 ,

donc la fonction entière $Q'$ s’annule sur $\C\setminus\Z$ , d’où partout par continuité : $Q$ est constante. Comme $z \to 0$ : $\sin(\pi z)/z \to \pi$ et $P(z)/z \to 1$ , donc $Q = \pi$ :

\sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) .

14. En $z = \frac12$ : $1 = \sin\frac\pi2 = \frac\pi2\prod_{n\geq1}\bigl(1 - \frac1{4n^2}\bigr) = \frac\pi2\prod\frac{4n^2-1}{4n^2}$ , donc

\frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} :

le produit de Wallis, corollaire en une ligne de la factorisation d’Euler.

15. Pour $\abs z \leq r < 1$ chaque facteur est dans $D(1, r^2) \subseteq D(1, 1)$ , donc $P(z)/z = \exp\bigl( \sum_{n\geq1}\log(1 - z^2/n^2)\bigr)$ : chaque produit partiel est l’exponentielle d’une somme partielle, et les deux membres passent à la limite par continuité de $\exp$ . La série double

\sum_{n\geq1}\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) = -\sum_{n\geq1}\sum_{k\geq1}\frac{z^{2k}}{k\,n^{2k}} = -\sum_{k\geq1}\frac{\zeta(2k)}k\,z^{2k} = -\zeta(2)\,z^2 + O(z^4)

se réarrange par Fubini pour les séries : $\sum_{n,k} \frac{r^{2k}}{kn^{2k}} \leq \sum_k\zeta(2k)r^{2k} \leq \zeta(2)\frac{r^2}{1-r^2} < \infty$ . D’où

P(z) = z\,\exp\bigl(-\zeta(2)z^2 + O(z^4)\bigr) = z - \zeta(2)\,z^3 + O(z^5) ,

et la question 13 compare cela avec $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + O(z^5)$ : $\pi\zeta(2) = \frac{\pi^3}6$ , c’est-à-dire $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ . La face additive (question 10) et la face multiplicative calculent le même nombre.

16. Sur un compact $K \subseteq \C\setminus\Z$ les sommes partielles $S_N = \frac1z + \sum_{n\leq N}\bigl( \frac1{z-n} + \frac1{z+n}\bigr)$ (question 9, termes regroupés comme $\frac{2z}{z^2-n^2} = \frac1{z-n} + \frac1{z+n}$ ) convergent uniformément vers $\pi\cot(\pi z)$ , donc le Théorème 16.15 donne $S_N' \to (\pi\cot\pi z)' = -\pi^2/\sin^2(\pi z)$ uniformément sur $K$ . Comme $S_N' = -\sum_{\abs n\leq N}(z - n)^{-2}$ :

\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} ,

la convergence normale sur les compacts de $\C\setminus\Z$ (termes $O(n^{-2})$ ).

17. En $z = \frac12$ le membre de gauche est $\pi^2$ ; à droite, $(\frac12 - n)^2 = \frac{(2n-1)^2}4$ avec $2n - 1$ parcourant tous les entiers impairs exactement une fois quand $n$ parcourt $\Z$ :

\pi^2 = \sum_{n\in\Z}\frac{4}{(2n-1)^2} = 8\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2}, \qquad \sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8 .

Scission par parité : $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8 + \sum_{n\geq1}\frac1{(2n)^2} = \frac{\pi^2}8 + \frac{\zeta(2)}4$ , donc $\frac34\zeta(2) = \frac{\pi^2}8$ et $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ encore une fois.

18. Avec $c = \cot\theta$ et $\cot(2\theta) = \frac{c^2-1}{2c}$ : $\cot\theta - 2\cot(2\theta) = c - \frac{c^2-1}c = \frac1c = \tan\theta$ . D’où $\pi\tan(\pi z) = \pi\cot(\pi z) - 2\pi\cot(2\pi z)$ , et la question 9 en $z$ et en $2z$ donne

\pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2}, \qquad 2\pi\cot(2\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{8z}{4z^2 - n^2} .

Les deux séries convergent absolument en chaque $z$ fixe hors des pôles, donc la différence peut être regroupée à volonté : dans la seconde série les termes pairs $n = 2m$ donnent $\frac{8z}{4z^2 - 4m^2} = \frac{2z}{z^2 - m^2}$ et annulent entièrement la première série, laissant

\pi\tan(\pi z) = -\sum_{m\geq0}\frac{8z}{4z^2 - (2m+1)^2} = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} ,

normalement sur les compacts évitant $\frac12 + \Z$ (termes $O(m^{-2})$ ).

19. Pour $\abs z \leq r < \frac12$ :

\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} = \frac{8z}{(2m+1)^2} \sum_{k\geq0}\Bigl(\frac{4z^2}{(2m+1)^2}\Bigr)^{k},

avec $\sum_{m,k}8r\,(4r^2)^k(2m+1)^{-2k-2} < \infty$ car $4r^2 < 1$ : Fubini réarrange la somme double en

\pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} .

Contre $\pi\tan(\pi z) = \pi^2z + \frac{\pi^4}3z^3 + O(z^5)$ : le coefficient de $z$ donne $8\lambda(2) = \pi^2$ — la question 17 encore — et celui de $z^3$ donne $32\lambda(4) = \frac{\pi^4}3$ , c’est-à-dire $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$ . En retirant les dénominateurs pairs, $\lambda(4) = \zeta(4) - 2^{-4}\zeta(4) = \frac{15}{16}\zeta(4)$ : $\zeta(4) = \frac{16}{15}\cdot \frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$ , en accord avec la question 7.

20. $\cot\frac\theta2 - \cot\theta = \frac{\cos\frac\theta2\,\sin\theta - \cos\theta\,\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac{\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac1{\sin\theta}$ , le numérateur étant $\sin(\theta - \frac\theta2)$ . Avec $\theta = \pi z$ , la question 9 en $\frac z2$ lit $\pi\cot\frac{\pi z}2 = \frac2z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2}$ , donc

\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \pi\cot\frac{\pi z}2 - \pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2} - \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} .

La convergence absolue permet le regroupement par parité : $n = 2m$ pair dans la série soustraite contribue $\frac{2z}{z^2-4m^2}$ , laissant $+\frac{2z}{z^2-4m^2}$ de la première somme, tandis que $n$ impair survit avec signe $-$ :

\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} .

Signes : $\operatorname{Res}\bigl(\pi/\sin(\pi z), n\bigr) = \pi/(\pi\cos\pi n) = (-1)^n$ (la Méthode 17.6), et $(-1)^n\frac{2z}{z^2 - n^2} = \frac{(-1)^n}{z-n} + \frac{(-1)^n}{z+n}$ porte exactement ce résidu en $\pm n$ .

21. Pour $\abs z \leq r < 1$ , en développant chaque terme comme à la question 19 ( $(-1)^n\frac{2z}{z^2-n^2} = (-1)^{n-1}\frac{2z}{n^2}\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$ ) et en appliquant Fubini :

\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + 2\sum_{k\geq0}\eta(2k+2)\,z^{2k+1}, \qquad \eta(s) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s} .

Côté Taylor : $\sin(\pi z) = \pi z(1 - \frac{(\pi z)^2}6 + O(z^4))$ donne $\frac\pi{\sin\pi z} = \frac1z + \frac{\pi^2}6z + O(z^3)$ : $2\eta(2) = \frac{\pi^2}6$ , donc $\eta(2) = \frac{\pi^2}{12}$ . Cohérence : $\eta(2) = \zeta(2) - 2\sum_n(2n)^{-2} = (1 - 2^{1-2})\zeta(2) = \frac{\zeta(2)}2 = \frac{\pi^2}{12}$ .

22. En $z = \frac12$ , la question 20 donne

\pi = 2 + \sum_{n\geq1}(-1)^n\frac{1}{\frac14 - n^2} = 2 + 4\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)} .

Avec $\frac1{(2n-1)(2n+1)} = \frac12\bigl(\frac1{2n-1} - \frac1{2n+1}\bigr)$ , et les deux séries alternées convergentes (critère de Leibniz), la somme se scinde en $\frac12\bigl[L - (1 - L)\bigr] = L - \frac12$ , où $L = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots$ et $\frac13 - \frac15 + \frac17 - \cdots = 1 - L$ . D’où $\pi = 2 + 4(L - \frac12) = 4L$ :

\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots

La morale : chaque noyau est méromorphe avec des pôles sur une progression arithmétique et des résidus prescrits. La cotangente met le résidu $1$ à chaque entier et somme $f(n)$ ; sa dérivée élève les pôles au carré et tarife $\lambda(2)$ ; la tangente déplace les pôles en $\frac12 + \Z$ et tarife les dénominateurs impairs ; $\pi/\sin$ garde les pôles entiers mais alterne les résidus $(-1)^n$ , d’où les séries alternées. Les noyaux du premier ordre sont tous des fonctions impaires : apparier $n$ avec $-n$ double les coefficients de puissance paire et anéantit les impairs, donc $\zeta(2k)$ sort mécaniquement tandis que $\zeta(3)$ n’apparaît jamais. L’aveuglement est la parité, non un manque de technique.

23. Avec $w = 2\iu\pi z$ :

\iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{2\iu\pi z} + 1}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{\iu\pi z} + \eu^{-\iu\pi z}}{\eu^{\iu\pi z} - \eu^{-\iu\pi z}} = \pi z\,\frac{\cos\pi z}{\sin\pi z} = \pi z\cot(\pi z) .

D’où, en utilisant la fonction génératrice sur $w = 2\iu\pi z$ (et $B_1 = -\frac12$ annulant le terme $\iu\pi z$ , les $B$ impairs s’annulant au-delà) :

\pi z\cot(\pi z) = \sum_{k\geq0}\frac{B_{2k}}{(2k)!} (2\iu\pi z)^{2k} = 1 + \sum_{k\geq1}(-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!} z^{2k} .

D’autre part le développement en éléments simples (partie IV) donne $\pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ (développer chaque $\frac{2z^2}{z^2 - n^2} = -2\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$ et sommer sur $n$ , la convergence normale justifiant l’interversion pour $\abs z < 1$ ). Comparant les coefficients : $-2\zeta(2k) = (-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!}$ , la formule énoncée.

24. $k = 1$ : $\frac{(2\pi)^2}{2\cdot2}\cdot \frac16 = \frac{\pi^2}6$ . $k = 2$ : $-\frac{(2\pi)^4}{2\cdot24}\cdot\bigl(-\frac1{30}\bigr) = \frac{16\pi^4}{48\cdot30} = \frac{\pi^4}{90}$ . $k = 3$ : $\frac{(2\pi)^6}{2\cdot720}\cdot\frac1{42} = \frac{64\pi^6}{1440\cdot42} = \frac{\pi^6}{945}$ .

25. Écrire $C(z) = \pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ (question 23). Dérivation directe de $C = \pi z\cot(\pi z)$ , en utilisant $(\cot u)' = -1 - \cot^2u$ :

zC'(z) = \pi z\cot(\pi z) - \pi^2z^2\bigl(1 + \cot^2(\pi z)\bigr) = C - \pi^2z^2 - C^2 .

Développer maintenant les deux membres en puissances de $z^2$ . Membre de gauche : $\sum_k(-4k)\,\zeta(2k)\,z^{2k}$ . Membre de droite : en élevant au carré la série,

C - C^2 = 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k} - 4\sum_{k\geq2}\Bigl(\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j) \zeta(2k-2j)\Bigr)z^{2k},

et le terme $-\pi^2z^2 = -6\zeta(2)z^2$ n’ajuste que $k = 1$ . Comparant les coefficients de $z^{2k}$ pour $k \geq 2$ :

-4k\,\zeta(2k) = 2\,\zeta(2k) - 4\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k-2j),

c’est-à-dire $\bigl(k + \frac12\bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\zeta(2k-2j)$ . (En $k = 1$ l’identité lit $-4\zeta(2) = 2\zeta(2) - 6\zeta(2)$ : un contrôle de cohérence, pas une information nouvelle.) Applications : $k = 2$ : $\frac52\zeta(4) = \zeta(2)^2 = \frac{\pi^4}{36}$ , donc $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ ; $k = 3$ : $\frac72\zeta(6) = 2\zeta(2)\zeta(4) = \frac{\pi^6}{270}$ , donc $\zeta(6) = \frac{2}{7}\cdot\frac{\pi^6}{270} = \frac{\pi^6}{945}$ . Une graine transcendante ( $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ), et l’algèbre pure génère chaque valeur zêta paire.

Termes définis dans ce chapitre

résidu

Voir les 395 termes du glossaire

17.1 Le théorème de Cauchy global

17.2 Séries de Laurent et singularités isolées

17.3 Le théorème des résidus

17.4 Le principe de l’argument et le théorème de Rouché

17.5 Exercices

17.6 Problème : ζ(2k)\zeta(2k)ζ(2k) par la cotangente

Termes définis dans ce chapitre

17.6 Problème : $\zeta(2k)$ par la cotangente