Mathématiques universitaires — Licence 2 · Bachelor Year 2

19Surfaces

Après les courbes, les surfaces : des objets à deux paramètres dans $\R^3$ . Le calcul différentiel du Chapitre 15 fournit tout ce dont nous avons besoin — les dérivées partielles donnent les vecteurs tangents, le produit vectoriel donne la normale, les déterminants donnent les aires. Nous définissons les surfaces paramétrées régulières, leurs plans tangents et la première forme fondamentale, qui encode toutes les mesures de longueur et d’aire sur la surface. Les surfaces apparaissent aussi comme ensembles de niveau $f(x, y, z) = c$ ; le gradient dirige alors la normale.

19.1 Surfaces paramétrées

Définition 19.1 (Surface paramétrée régulière)

Soit $U \subseteq \R^2$ un ouvert. Une surface paramétrée de classe $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) est une application $\sigma \colon U \to \R^3$ , $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$ , de classe $\mathcal{C}^k$ . Un point est régulier si les vecteurs dérivées partielles

\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v), \qquad \sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)

sont linéairement indépendants, c.-à-d. $\sigma_u \wedge \sigma_v \neq 0$ ; la surface est régulière si tout point l’est.

Exemple 19.2 (Les trois descriptions standard)

Graphe : $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ pour $f \in \mathcal{C}^1(U)$ . Toujours régulière : $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ et $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ sont indépendants.
Sphère (coordonnées sphériques) : pour la sphère de rayon $R$ ,

$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$

avec $\theta$ la longitude et $\varphi$ la latitude. On vérifie $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$ : régulière hors des pôles (que cette carte omet).
Ensemble de niveau : $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ où $f$ est $\mathcal{C}^1$ et $\nabla f \neq 0$ sur $S$ . Au voisinage de chaque point, une coordonnée peut s’exprimer en fonction des deux autres par le théorème des fonctions implicites (Chapitre 15), donc $S$ est localement un graphe.

Exemple 19.3 (De l’ensemble de niveau au graphe)

Le théorème des fonctions implicites du point 3 mérite une mise en œuvre explicite. Prenons la sphère $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ au voisinage de son pôle nord $(0, 0, R)$ : là $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$ , et la résolution en $z$ donne la carte-graphe

z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}, \qquad x^2 + y^2 < R^2 ,

régulière partout sur son domaine (ouvert) — y compris le pôle que la carte sphérique manquait. Au voisinage d’un point de l’équateur comme $(R, 0, 0)$ , le même théorème résout en $x$ à la place ( $\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$ ). La règle empirique : une surface de niveau est un graphe au-dessus du plan de coordonnées orthogonal à la plus grande composante du gradient, et en recouvrant la sphère par six telles cartes-graphes on vérifie sa régularité partout sans aucune trigonométrie.

19.2 Plan tangent et normale

Définition 19.4 (Plan tangent)

Soit $\sigma$ régulière en $(u_0, v_0)$ , $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$ . Le plan tangent $T_{M_0}S$ est le plan passant par $M_0$ dirigé par $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (dérivées partielles en $(u_0, v_0)$ ). La normale unitaire est

n(u_0, v_0) = \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v} {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .

Proposition 19.5 (Les vecteurs tangents sont des vecteurs vitesse)

La direction de $T_{M_0}S$ est exactement l’ensemble des vecteurs $\gamma'(0)$ , où $\gamma = \sigma \circ c$ parcourt les courbes $\mathcal{C}^1$ tracées sur la surface passant par $M_0$ (c.-à-d. $c \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U$ est $\mathcal{C}^1$ avec $c(0) = (u_0, v_0)$ ).

Démonstration. Si $c(t) = (u(t), v(t))$ , la règle de dérivation en chaîne (Chapitre 15) donne

\gamma'(0) = u'(0)\,\sigma_u + v'(0)\,\sigma_v \in \operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v).

Réciproquement, le vecteur $a\sigma_u + b\sigma_v$ est atteint par la courbe $c(t) = (u_0 + at,\ v_0 + bt)$ , qui reste dans l’ouvert $U$ pour $\abs t$ petit. ∎

Exemple 19.6 (Le plan tangent de l’hélicoïde)

Pour l’hélicoïde $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , au point $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ :

\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0), \qquad \sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),

donc le plan tangent est $a\,y = z$ . Il contient toute la génératrice horizontale $\{(t, 0, 0)\}$ (direction $\sigma_v$ ) : comme pour le cône de l’Exercice 19.1, une surface réglée par des droites a chacune de ses génératrices contenue dans le plan tangent le long de celle-ci. L’autre direction tangente $\sigma_u$ est la vitesse de l’hélice $u \mapsto \sigma(u, 1)$ : une carte, deux courbes tracées, et tout le plan tangent est engendré — la Proposition 19.5 en action.

Proposition 19.7 (Normale d’une surface de niveau)

Soit $S = \{f = c\}$ avec $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $\nabla f(M_0) \neq 0$ . Alors le plan tangent de $S$ en $M_0$ est le plan passant par $M_0$ orthogonal à $\nabla f(M_0)$ :

T_{M_0}S :\quad \langle \nabla f(M_0),\ M - M_0\rangle = 0 .

Démonstration. Pour toute courbe $\gamma$ tracée sur $S$ passant par $M_0$ , $f(\gamma(t)) = c$ identiquement, donc la règle de dérivation en chaîne donne $\langle \nabla f(M_0), \gamma'(0)\rangle = 0$ : tous les vecteurs vitesse sont orthogonaux au gradient, donc la direction tangente est contenue dans le plan $\nabla f(M_0)^\perp$ . Les deux sont des sous-espaces de dimension $2$ — la direction tangente parce que $S$ est localement un graphe régulier (Exemple 19.2), l’orthogonal parce que $\nabla f(M_0) \neq 0$ — donc ils sont égaux. ∎

Exemple 19.8

Pour la sphère $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ : $\nabla f = 2(x, y, z)$ , donc le plan tangent en $M_0$ est orthogonal au rayon $\vect{OM_0}$ — le fait classique que rayon et plan tangent sont perpendiculaires, d’équation $\langle M_0, M\rangle = R^2$ .

Exemple 19.9 (Plan tangent d’un graphe)

Pour $z = f(x, y)$ en $(x_0, y_0)$ : en appliquant la Proposition 19.7 à $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ ,

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,

la partie affine du développement de Taylor à l’ordre un — le plan tangent est le graphe de la différentielle, comme il se doit.

Exemple 19.10 (Le point le plus proche d’une surface)

Quel point du paraboloïde $z = x^2 + y^2$ est le plus proche de $P = (0, 0, 1)$ ? Minimisons le carré de la distance le long de la surface : avec $\rho^2 = x^2 + y^2$ ,

g(\rho^2) = \rho^2 + (\rho^2 - 1)^2, \qquad g'(\rho^2) = 1 + 2(\rho^2 - 1) = 0 \iff \rho^2 = \tfrac12 ,

donnant le cercle des points à hauteur $z = \frac12$ et distance $\sqrt{\tfrac12 + \tfrac14} = \frac{\sqrt3}2$ . La signature géométrique de la minimalité : en un tel point $M$ , le vecteur $\vect{MP}$ doit être normal à la surface — sinon glisser le long d’une courbe tracée avec une vitesse ayant une composante vers $P$ diminuerait la distance. Vérification : $\nabla(z - x^2 - y^2) = (-2x, -2y, 1)$ en $M = (x, y, \tfrac12)$ , tandis que $\vect{MP} = (-x, -y, \tfrac12) = \tfrac12(-2x, -2y, 1)$ : parallèles, comme prédit. La condition du premier ordre « pied de la perpendiculaire » est la même qui pilotera les extrema sur les ensembles de niveau dans l’Exercice 19.12.

Exemple 19.11 (Plans tangents des quadriques : la règle de polarisation)

Soit $S : xy + yz + zx = 1$ et $M_0 = (1, 1, 0) \in S$ . Ici $\nabla f = (y + z,\ x + z,\ x + y)$ , donc $\nabla f(M_0) = (1, 1, 2)$ et le plan tangent est

(x - 1) + (y - 1) + 2z = 0, \qquad\text{c.-à-d.}\qquad x + y + 2z = 2 .

La même réponse provient de la règle de polarisation qui généralise l’Exemple 19.8 et l’Exercice 19.2 : dans l’équation de la quadrique, remplacer $x^2$ par $x_0x$ , et chaque produit $xy$ par $\frac{x_0y + y_0x}2$ (et cycliquement) :

\frac{x_0y + y_0x}2 + \frac{y_0z + z_0y}2 + \frac{z_0x + x_0z}2 = 1 \;\xrightarrow{\ M_0 = (1,1,0)\ }\; \frac{x + y}2 + \frac z2 + \frac z2 = 1 ,

soit $x + y + 2z = 2$ à nouveau. La règle fonctionne parce que $\nabla$ d’une forme quadratique est la forme bilinéaire associée évaluée contre le point de base — la tangence à une quadrique est la polarisation, une facette de plus du Chapitre 12.

19.3 La première forme fondamentale

Définition 19.12 (Première forme fondamentale)

Soit $\sigma \colon U \to \R^3$ une surface $\mathcal{C}^1$ régulière. Sa première forme fondamentale en $(u,v)$ est la forme quadratique définie positive sur $\R^2$

I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2 = E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,

où

E = \norm{\sigma_u}^2, \qquad F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle, \qquad G = \norm{\sigma_v}^2 .

Remarque 19.13

$I$ est la restriction du produit scalaire euclidien ambiant au plan tangent, lue dans la base $(\sigma_u, \sigma_v)$ : elle est définie positive précisément parce que $\sigma_u, \sigma_v$ sont indépendants (Chapitre 12). Toute quantité métrique sur la surface — longueurs des courbes tracées, angles entre elles, aires — se calcule à partir de $E, F, G$ seuls. Deux surfaces ayant les mêmes $E, F, G$ dans des paramètres convenables sont isométriques même si elles sont placées différemment dans l’espace : c’est le point de départ de la géométrie intrinsèque.

Exemple 19.14 (Angles entre courbes coordonnées)

La première forme fondamentale mesure aussi les angles : les courbes coordonnées $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ et $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ se rencontrent selon l’angle $\theta$ avec

\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u, \sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}} = \frac{F}{\sqrt{EG}} :

le seul coefficient $F$ décide de l’orthogonalité du réseau de paramètres. Pour la carte sphérique et l’hélicoïde, $F = 0$ : les méridiens coupent les parallèles, et les hélices coupent les génératrices horizontales, à angle droit — ce qui explique pourquoi leurs intégrandes d’aire se réduisaient à $\sqrt{EG}$ . Pour une carte-graphe, $F = f_xf_y$ ne s’annule que là où une dérivée partielle s’annule : le réseau de coordonnées d’un graphe incliné n’est pas orthogonal, même si le réseau $(x, y)$ en dessous l’est. Quand les calculs sur une surface paraissent lourds, le premier réflexe est de chercher une carte avec $F = 0$ .

Exemple 19.15 (La carte de la selle)

Pour la selle $z = xy$ avec la carte $\sigma(u, v) = (u, v, uv)$ :

\sigma_u = (1, 0, v), \qquad \sigma_v = (0, 1, u), \qquad E = 1 + v^2, \quad F = uv, \quad G = 1 + u^2 ,

et $EG - F^2 = 1 + u^2 + v^2 > 0$ : régulière partout. Les deux courbes coordonnées passant par un point sont des droites de $\R^3$ (fixer $u$ ou fixer $v$ : les génératrices de la selle doublement réglée), pourtant $F \neq 0$ hors des axes : les génératrices passant par un point générique ne sont pas orthogonales. Les deux génératrices sont dans le plan tangent, qu’elles engendrent — donc le plan tangent coupe la surface le long de deux droites entières, l’exact opposé de la sphère, dont les plans tangents touchent en un seul point. Le signe du « contact d’ordre deux » entre une surface et ses plans tangents est une histoire de courbure, reprise dans le volume de troisième année.

Proposition 19.16 (Longueur d’une courbe tracée sur une surface)

Si $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ , $t \in [a, b]$ , est $\mathcal{C}^1$ , alors

L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{E\,u'^2 + 2F\,u'v' + G\,v'^2}\;\dd t ,

avec $E, F, G$ évalués en $(u(t), v(t))$ .

Démonstration. $\gamma' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ par la règle de dérivation en chaîne, donc $\norm{\gamma'}^2 = I(u', v') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$ ; intégrer $\norm{\gamma'}$ (Définition 18.6). ∎

Exemple 19.17 (Pourquoi les avions de ligne survolent le pôle)

Deux aéroports sont à la latitude $\varphi_0$ et à des longitudes opposées : $A = \sigma(0, \varphi_0)$ et $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ sur la sphère de rayon $R$ . Le long du parallèle ( $\varphi \equiv \varphi_0$ ), la longueur est $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ . Le long de la route par le pôle (en montant le méridien $\theta = 0$ , en descendant le méridien $\theta = \pi$ ), elle vaut $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$ . À la latitude $\varphi_0 = \frac\pi3$ (soixante degrés) : route par le parallèle $\pi R/2 \approx 1.571\,R$ , route polaire $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — un tiers plus courte. En fait $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ sur $\intcc0{\pi/2}$ (la fonction $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ s’annule aux deux bornes et sa dérivée $2 - \pi\sin\varphi$ change de signe une fois, donc elle est d’abord croissante puis décroissante, donc positive) : la route polaire ne perd jamais. La première forme fondamentale a transformé une question de navigation en deux intégrales d’une ligne ; l’Exercice 19.6 pousse l’idée jusqu’à une véritable preuve de minimalité pour les méridiens.

Lemme 19.18 (Identité de Lagrange)

Pour tous $a, b \in \R^3$ : $\norm{a \wedge b}^2 = \norm a^2 \norm b^2 - \langle a, b\rangle^2$ . En particulier

\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v} = \sqrt{EG - F^2}.

Démonstration. Les deux membres sont inchangés si l’on remplace $b$ par sa composante $b_\perp = b - \frac{\langle a, b\rangle}{\norm a^2}a$ orthogonale à $a$ (pour $a \neq 0$ ; le cas $a = 0$ est trivial) : le membre de gauche parce que $a \wedge a = 0$ , celui de droite en développant $\norm {b_\perp}^2 = \norm b^2 - \frac{\langle a,b\rangle^2}{\norm a^2}$ et $\langle a, b_\perp\rangle = 0$ . Il suffit donc de prouver l’identité pour $a, b$ orthogonaux, où elle s’écrit $\norm{a \wedge b} = \norm a \norm b$ : vrai, puisque pour des vecteurs orthogonaux le produit vectoriel a pour norme $\norm a\norm b\,\abs{\sin\frac\pi2}$ . La formule affichée est le cas $a = \sigma_u$ , $b = \sigma_v$ . ∎

Remarque 19.19

L’identité de Lagrange dit que $EG - F^2 = \det\left(\begin{smallmatrix} E & F\\ F & G\end{smallmatrix}\right)$ est le déterminant de Gram de $(\sigma_u, \sigma_v)$ : le carré de l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent. La régularité, la définie-positivité de la première forme fondamentale et la positivité du déterminant de Gram sont trois formulations d’une même condition — ce qui explique pourquoi l’intégrande d’aire ci-dessous ne s’annule jamais sur une carte régulière.

Définition 19.20 (Aire)

Soit $\sigma \colon U \to \R^3$ une surface $\mathcal{C}^1$ régulière injective et $K \subseteq U$ un domaine compact sur lequel les intégrales doubles ont un sens (Chapitre 20). L’aire du morceau $\sigma(K)$ est

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

Remarque 19.21 (Pourquoi cette formule)

Le rectangle $[u, u + \dd u] \times [v, v + \dd v]$ est envoyé, au premier ordre, sur le parallélogramme engendré par $\sigma_u\,\dd u$ et $\sigma_v\,\dd v$ , dont l’aire est $\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ : la définition intègre le facteur local de distorsion d’aire, exactement comme la longueur d’arc intègre la vitesse locale. La cohérence avec le changement de paramètres est l’Exercice 19.8 ; la cohérence avec la formule de changement de variables pour les intégrales doubles est discutée dans le Chapitre 20.

Exemple 19.22 (Deux graphes différents, une même aire)

Sur le disque unité, comparons le bol $z = \frac12(x^2 + y^2)$ et la selle $z = xy$ . Leurs intégrandes d’aire (Exercice 19.5) sont

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{et}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

identiques. Les deux surfaces — l’une se courbant de la même façon dans toutes les directions, l’autre en forme de selle — ont des aires exactement égales sur tout domaine, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ sur le disque unité. L’élément d’aire ne voit que la longueur du gradient, pas la disposition de la courbure ; distinguer le bol de la selle exige des données du second ordre (la structure de signe exhibée dans la Figure 19.1), qu’aucune mesure d’aire ne détecte. Première forme fondamentale : métrique, aveugle à la forme ; la seconde forme, qui voit la forme, appartient à la troisième année.

Exemple 19.23 (Aire de la sphère)

Pour la carte sphérique de l’Exemple 19.2 :

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

donc $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ et $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . D’où

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

Exemple 19.24 (Le cône, confronté à la formule du lycée)

Pour le cône $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ au-dessus de l’anneau $a \leq \rho \leq b$ , la formule du graphe de l’Exercice 19.5 donne $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (calculer $f_x = x/\rho$ , $f_y = y/\rho$ ), donc

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

Vérification de cohérence avec la formule de l’aire latérale $\pi\rho\ell$ de l’Exemple 19.26 : les cônes pleins de rayons de base $b$ et $a$ ont des aires latérales $\pi b\cdot b\sqrt2$ et $\pi a\cdot a\sqrt2$ , dont la différence est exactement $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ . Deux cartes, deux formules, une même aire — l’invariance prouvée dans l’Exercice 19.8, vue en action.

Remarque 19.25 (Vérifications rapides pour les aires)

Trois vérifications instantanées attrapent la plupart des erreurs dans un calcul d’aire. Homogénéité : dilater une surface d’un facteur $\lambda$ multiplie $E, F, G$ par $\lambda^2$ et l’aire par $\lambda^2$ — une réponse dont la dépendance en $R$ n’est pas quadratique (comme $4\pi R^2$ ) est fausse. Positivité de l’élément : $\sqrt{EG - F^2}$ doit être strictement positif à l’intérieur de la carte ; une valeur nulle signale une dégénérescence de la carte, à exciser comme aux pôles de la sphère. Symétrie : un calcul sur un morceau symétrique doit être cohérent avec la somme de ses parties congruentes — l’hémisphère a intérêt à donner $2\pi R^2$ .

Exemple 19.26 (Surface de révolution)

Faire tourner la courbe $z \mapsto (r(z), 0, z)$ , $r > 0$ de classe $\mathcal{C}^1$ , autour de l’axe $z$ :

\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z).

Alors $E = r(z)^2$ , $F = 0$ , $G = 1 + r'(z)^2$ , donc

\mathcal{A} = \int_a^b\!\!\int_0^{2\pi} r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\;\dd\theta\,\dd z = 2\pi\int_a^b r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\,\dd z ,

la formule classique (circonférence $2\pi r$ fois l’élément de longueur oblique). Pour le cône $r(z) = kz$ , $z \in [0, h]$ : $\mathcal A = 2\pi k\sqrt{1 + k^2}\,\frac{h^2}{2} = \pi \rho \ell$ avec $\rho = kh$ le rayon de base et $\ell = h\sqrt{1 + k^2}$ la génératrice — la formule du lycée, désormais démontrée plutôt qu’admise.

Exemple 19.27 (Le caténoïde)

Faire tourner la chaînette $r(z) = \cosh z$ , $z \in \intcc{-1}{1}$ , autour de son axe : le caténoïde résultant a, par la formule de révolution et $1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z$ ,

\mathcal A = 2\pi\int_{-1}^1\cosh z\,\sqrt{1 + \sinh^2z}\, \dd z = 2\pi\int_{-1}^1\cosh^2z\,\dd z = \pi\bigl[z + \sinh z\cosh z\bigr]_{-1}^{1},

soit

\mathcal A = 2\pi + \pi\sinh 2 \approx 17.68 .

Le facteur oblique $\sqrt{1 + r'^2}$ s’est fondu avec le rayon en un carré parfait — la même identité qui rendait élémentaire la longueur d’arc de la chaînette dans le chapitre sur les courbes. Ce n’est pas un hasard algébrique : parmi toutes les surfaces de révolution s’appuyant sur les deux cercles de bord, le caténoïde minimise l’aire (c’est la forme d’un film de savon entre deux anneaux), et cette propriété variationnelle est précisément ce qui distingue $\cosh$ ; le volume de troisième année le prouve avec le calcul des variations.

La selle z = x2 - y2 près de l’origine, avec ses courbes coordonnées (u-courbes en bleu, v-courbes en vert), le plan tangent en M_0 = (0,0,0) (en pointillés) et la normale unitaire n. La surface traverse son plan tangent — l’analogue en dimension deux d’un point d’inflexion. — **Figure 19.1.** La selle $z = x^2 - y^2$ près de l’origine, avec ses courbes coordonnées ( $u$ -courbes en bleu, $v$ -courbes en vert), le plan tangent en $M_0 = (0,0,0)$ (en pointillés) et la normale unitaire $n$ . La surface traverse son plan tangent — l’analogue en dimension deux d’un point d’inflexion.

Remarque 19.28 (Pièges courants)

(i) Les singularités de carte ne sont pas des singularités de surface : la carte sphérique dégénère aux pôles ( $\cos\varphi = 0$ ), mais la sphère y est parfaitement régulière — une autre carte (échanger les rôles des axes) est régulière aux pôles. Avant de déclarer un point singulier, essayer un second paramétrage. (ii) La régularité de $\sigma$ concerne le paramétrage, pas l’image : $\sigma(u, v) = (u^3, v, 0)$ est non régulière le long de $u = 0$ bien que son image soit un plan. (iii) La formule de l’aire requiert $\sigma$ injective sur $K$ : une carte couvrant un morceau deux fois le compte deux fois ( $\theta$ parcourant $\intcc0{4\pi}$ double l’aire de la sphère). (iv) La normale unitaire est définie au signe près par la surface mais est choisie par la carte (ordre de $u, v$ ) ; les énoncés faisant intervenir l’orientation doivent fixer ce choix. (v) Enfin, $EG - F^2 > 0$ n’est pas une hypothèse supplémentaire : c’est exactement la régularité, par l’identité de Lagrange — si elle s’annule quelque part, le problème est la carte, et aucune formule d’aire ou de plan tangent ne s’y applique.

Remarque 19.29 (Perspectives dans ce volume)

Liens vers l’avant à partir d’ici. L’élément d’aire $\sqrt{EG - F^2}\,\dd u\,\dd v$ est un jacobien bidimensionnel déguisé, et le Chapitre 20 rend l’analogie exacte avec le théorème de changement de variables — les intégrales de surface là-bas sont les aires de ce chapitre munies d’un intégrande. La première forme fondamentale est un champ de formes quadratiques définies positives, traité point par point par les outils du Chapitre 12, dont le théorème spectral alimente aussi la classification des quadriques du week-end de ce chapitre. Et la droite normale pilote les problèmes d’extremum sur les ensembles de contraintes (Exemple 19.10), le germe géométrique de la méthode des multiplicateurs de Lagrange esquissée avec le Théorème 15.11.

Quatre des neuf surfaces quadriques classées dans le problème du week-end, esquissées par leurs silhouettes et une courbe de niveau (en rouge) : l’ellipsoïde borné, l’hyperboloïde à une nappe doublement réglé avec son col, le bol du paraboloïde elliptique, et la selle, dont les deux sections paraboliques se courbent en sens opposés.

Remarque 19.30 (Où cela est utilisé)

L’élément d’aire $\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ est la mesure d’intégration de surface du Chapitre 20, où il rencontre la formule de Green ; la première forme fondamentale est le prototype d’un champ de formes quadratiques, étudié point par point avec les outils du Chapitre 12 ; et le problème du week-end de ce chapitre classe toutes les surfaces quadriques avec le théorème spectral. Le volume de troisième année revient aux surfaces avec les formes différentielles et le théorème de la divergence, et la courbure intrinsèque — ce que $E, F, G$ savent de la courbure — est la porte d’entrée de la géométrie différentielle proprement dite.

19.4 Exercices

Exercice 19.1 ★

Montrer que les plans tangents du cône $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (privé de son sommet) passent tous par le sommet. (Paramétrer par $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$ , $r > 0$ .)

Solution

Solution de Exercice 19.1.

Avec $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$ :

\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0), \qquad \sigma_r = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 1),

indépendants pour $r > 0$ . Le plan tangent en $M_0 = \sigma(\theta_0, r_0)$ passe par $M_0$ avec les directions $\sigma_\theta, \sigma_r$ . Or $M_0 - O = r_0(\cos\theta_0, \sin\theta_0, 1) = r_0\,\sigma_r(\theta_0, r_0)$ est lui-même une direction tangente : le sommet $O$ est sur le plan tangent. (C’est le comportement général des cônes : ils sont réglés par des droites passant par le sommet, et un plan tangent contient la génératrice passant par le point de tangence.)

Exercice 19.2 ★

Trouver le plan tangent de l’ellipsoïde $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ en un point $(x_0, y_0, z_0)$ de la surface.

Solution

Solution de Exercice 19.2.

Appliquer la Proposition 19.7 à $f(x,y,z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$ : $\nabla f(x_0,y_0,z_0) = 2\bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\bigr) \neq 0$ sur la surface. Le plan tangent est

\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y - y_0) + \frac{z_0}{c^2}(z - z_0) = 0, \qquad\text{c.-à-d.}\qquad \frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} + \frac{z_0\,z}{c^2} = 1,

en utilisant que $(x_0, y_0, z_0)$ vérifie l’équation de l’ellipsoïde — la règle « dédoubler les carrés » qui généralise $\langle M_0, M \rangle = R^2$ de la sphère.

Exercice 19.3 ★

Calculer $E, F, G$ pour l’hélicoïde $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , $a > 0$ , et l’aire du morceau $0 \leq u \leq 2\pi$ , $0 \leq v \leq 1$ , comme intégrale (l’évaluer en utilisant $\int\sqrt{v^2 + a^2}\,\dd v = \frac12\bigl(v\sqrt{v^2+a^2} + a^2\ln(v + \sqrt{v^2 + a^2})\bigr) + C$ ).

Solution

Solution de Exercice 19.3.

$\sigma_u = (-v\sin u,\ v\cos u,\ a)$ et $\sigma_v = (\cos u,\ \sin u,\ 0)$ , donc

E = v^2 + a^2, \qquad F = 0, \qquad G = 1, \qquad \sqrt{EG - F^2} = \sqrt{v^2 + a^2} > 0

(l’hélicoïde est régulier partout, y compris sur son axe $v = 0$ ). Aire du morceau :

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{v^2 + a^2}\;\dd v\,\dd u = 2\pi\cdot\frac12\Bigl[v\sqrt{v^2 + a^2} + a^2\ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr)\Bigr]_0^1 ,

soit $\mathcal{A} = \pi\Bigl(\sqrt{1 + a^2} + a^2\ln\frac{1 + \sqrt{1 + a^2}}{a}\Bigr)$ .

Exercice 19.4 ★★

(Tore) Paramétrer le tore obtenu en faisant tourner le cercle de centre $(R, 0, 0)$ et de rayon $r < R$ dans le plan $xz$ autour de l’axe $z$ :

\sigma(\theta, \psi) = \bigl((R + r\cos\psi)\cos\theta,\ (R + r\cos\psi)\sin\theta,\ r\sin\psi\bigr).

Calculer $E, F, G$ , vérifier la régularité, et montrer que l’aire est $4\pi^2 R r$ (Pappus : circonférence moyenne $2\pi R$ fois la longueur du cercle $2\pi r$ ).

Solution

Solution de Exercice 19.4.

Dérivées :

\sigma_\theta = \bigl(-(R + r\cos\psi)\sin\theta,\ (R + r\cos\psi)\cos\theta,\ 0\bigr), \qquad \sigma_\psi = \bigl(-r\sin\psi\cos\theta,\ -r\sin\psi\sin\theta,\ r\cos\psi\bigr).

Alors

E = (R + r\cos\psi)^2, \qquad F = r\sin\psi\cos\psi\,(R + r\cos\psi) \bigl(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) = 0, \qquad G = r^2 ,

donc $\sqrt{EG - F^2} = r(R + r\cos\psi) \geq r(R - r) > 0$ : régulier partout. Aire :

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r(R + r\cos\psi) \,\dd\theta\,\dd\psi = 2\pi r \Bigl(2\pi R + r\int_0^{2\pi}\cos\psi\,\dd\psi\Bigr) = 4\pi^2 R r ,

le terme en $\cos\psi$ s’intégrant à zéro — théorème de Pappus : aire $=$ (longueur du cercle en rotation) $\times$ (distance parcourue par son centre).

Exercice 19.5 ★★

Montrer que l’aire du graphe de $f \in \mathcal{C}^1(K)$ est $\iint_K \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,\dd x\,\dd y$ , et la calculer pour le morceau de paraboloïde $z = \frac12(x^2 + y^2)$ au-dessus du disque $x^2 + y^2 \leq 1$ (coordonnées polaires, Chapitre 20).

Solution

Solution de Exercice 19.5.

Pour $\sigma(x, y) = (x, y, f(x,y))$ : $\sigma_x = (1, 0, f_x)$ , $\sigma_y = (0, 1, f_y)$ , donc $E = 1 + f_x^2$ , $F = f_xf_y$ , $G = 1 + f_y^2$ et

EG - F^2 = (1 + f_x^2)(1 + f_y^2) - f_x^2f_y^2 = 1 + f_x^2 + f_y^2 ,

donnant la formule d’aire annoncée. Pour $f = \frac12(x^2 + y^2)$ sur le disque unité : $1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + x^2 + y^2$ , et en coordonnées polaires ( $x = \rho\cos\alpha$ , $y = \rho\sin\alpha$ , jacobien $\rho$ , Chapitre 20) :

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1 + \rho^2}\;\rho \,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\Bigl[\tfrac13(1 + \rho^2)^{3/2}\Bigr]_0^1 = \frac{2\pi}{3}\bigl(2\sqrt2 - 1\bigr).

Exercice 19.6 ★★

Une courbe tracée $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ sur la sphère de rayon $R$ (carte sphérique) a $u = \theta(t)$ , $v = \varphi(t)$ . Écrire sa longueur comme intégrale en $\theta, \varphi$ et prouver que parmi les courbes joignant deux points d’un même méridien $\theta = \theta_0$ , l’arc de méridien est le plus court. (Minorer l’intégrande par $R\abs{\varphi'}$ .)

Solution

Solution de Exercice 19.6.

D’après le calcul de l’Exemple 19.23, $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ , donc par la Proposition 19.16

L = \int_a^b R\sqrt{\cos^2\varphi(t)\,\theta'(t)^2 + \varphi'(t)^2}\;\dd t .

Soit les extrémités $(\theta_0, \varphi_1)$ et $(\theta_0, \varphi_2)$ , $\varphi_1 < \varphi_2$ . Pour toute courbe joignante,

L \geq \int_a^b R\,\abs{\varphi'(t)}\,\dd t \geq R\,\Bigl|\int_a^b \varphi'(t)\,\dd t\Bigr| = R\,(\varphi_2 - \varphi_1),

en laissant tomber le terme positif $\cos^2\varphi\,\theta'^2$ et en utilisant l’inégalité triangulaire pour les intégrales. L’arc de méridien $\theta \equiv \theta_0$ , $\varphi$ croissant de $\varphi_1$ à $\varphi_2$ , a pour longueur exactement $R(\varphi_2 - \varphi_1)$ : il est le plus court. (Les méridiens sont des grands cercles ; c’est le premier, élémentaire cas du fait que les géodésiques de la sphère sont les grands cercles.)

Exercice 19.7 ★★★

(Droites normales d’une sphère) Soit $S$ une surface de niveau régulière $\{f = c\}$ , connexe, dont toutes les droites normales passent par un point fixe $\Omega$ . Montrer que $S$ est contenue dans une sphère centrée en $\Omega$ . (Montrer que $\norm{M - \Omega}^2$ a une dérivée nulle le long de toute courbe tracée sur $S$ .)

Solution

Solution de Exercice 19.7.

Fixons une courbe $\gamma$ tracée sur $S$ et posons $g(t) = \norm{\gamma(t) - \Omega}^2$ . Alors $g'(t) = 2\langle \gamma'(t),\ \gamma(t) - \Omega\rangle$ . La droite normale en $M = \gamma(t)$ passe par $\Omega$ par hypothèse, donc $\gamma(t) - \Omega$ est un vecteur normal, orthogonal au plan tangent, en particulier à la vitesse $\gamma'(t)$ (Proposition 19.5) : $g' = 0$ , et $g$ est constante le long de toute courbe tracée.

Maintenant l’ensemble $S_c = \{M \in S : \norm{M - \Omega}^2 = c\}$ est fermé dans $S$ ; il est aussi ouvert dans $S$ : au voisinage de chacun de ses points, $S$ est un graphe régulier, donc tout point voisin de $S$ lui est joint par une courbe tracée (un segment relevé), le long de laquelle $g$ est constante. Comme $S$ est connexe et $S_c$ non vide pour le bon $c$ , $S = S_c \subseteq$ la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt c$ (Chapitre 4 : argument de connexité).

Exercice 19.8 ★★★

(L’aire est géométrique) Soit $\Phi \colon U' \to U$ un $\mathcal{C}^1$ -difféomorphisme entre ouverts de $\R^2$ et $\tilde\sigma = \sigma \circ \Phi$ . Montrer que

\norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} = \abs{\det J_\Phi}\, \norm{(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi} ,

et en déduire, en utilisant la formule de changement de variables du Chapitre 20, que l’aire de la Définition 19.20 ne dépend pas du paramétrage régulier choisi.

Solution

Solution de Exercice 19.8.

Écrivons $\Phi(u', v') = (u, v)$ . Par la règle de dérivation en chaîne,

\tilde\sigma_{u'} = \frac{\partial u}{\partial u'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial u'}\sigma_v, \qquad \tilde\sigma_{v'} = \frac{\partial u}{\partial v'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial v'}\sigma_v ,

dérivées partielles de $\sigma$ évaluées en $\Phi(u',v')$ . En développant le produit vectoriel par bilinéarité et en utilisant $\sigma_u \wedge \sigma_u = \sigma_v \wedge \sigma_v = 0$ , $\sigma_v \wedge \sigma_u = -\sigma_u \wedge \sigma_v$ :

\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'} = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial u'} \frac{\partial v}{\partial v'} - \frac{\partial v}{\partial u'} \frac{\partial u}{\partial v'}\Bigr)\, \sigma_u \wedge \sigma_v = \det J_\Phi \cdot (\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi .

En prenant les normes on obtient l’identité. Puis, par la formule de changement de variables (Chapitre 20) appliquée à l’application $\Phi$ sur $K' = \Phi^{-1}(K)$ :

\iint_{K'} \norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} \,\dd u'\dd v' = \iint_{K'} \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\circ\Phi\; \abs{\det J_\Phi}\,\dd u'\dd v' = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v :

les deux paramétrages attribuent la même aire au même morceau de surface.

Exercice 19.9 ★

(Théorème de la boîte à chapeau d’Archimède) Sur la sphère de rayon $R$ , la zone entre les latitudes avec $z_1 \leq z \leq z_2$ ( $-R \leq z_1 < z_2 \leq R$ ) a pour aire $2\pi R\,(z_2 - z_1)$ : le prouver avec la carte sphérique, et conclure que l’aire d’une zone ne dépend que de sa hauteur — découper une orange en tranches d’épaisseur égale donne des quantités de peau égales.

Solution

Solution de Exercice 19.9.

Dans la carte sphérique, $z = R\sin\varphi$ , et la zone correspond à $\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2$ avec $z_i = R\sin\varphi_i$ . Avec l’élément d’aire $R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi$ (Exemple 19.23) :

\mathcal A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1) = 2\pi R\,(z_2 - z_1) .

Le résultat ne dépend que de la hauteur $z_2 - z_1$ : des tranches d’épaisseur égale portent des aires égales, qu’elles soient coupées à l’équateur ou au pôle — le théorème de la boîte à chapeau d’Archimède, et la raison pour laquelle l’aire latérale du cylindre circonscrit ( $2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$ ) égale l’aire de la sphère.

Exercice 19.10 ★★

Montrer que toute droite normale d’une surface de révolution $\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z)$ ( $r > 0$ de classe $\mathcal C^1$ ) rencontre l’axe de révolution, et localiser le point d’intersection.

Solution

Solution de Exercice 19.10.

$\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0)$ et $\sigma_z = (r'\cos\theta,\ r'\sin\theta,\ 1)$ , donc

\sigma_\theta \wedge \sigma_z = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -r\,r') ,

un vecteur normal en $M = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ . La droite normale est

t \mapsto \bigl(r(1 + t)\cos\theta,\ r(1 + t)\sin\theta,\ z - t\,r\,r'\bigr),

qui en $t = -1$ atteint $(0,\ 0,\ z + r(z)\,r'(z))$ : toute droite normale rencontre l’axe, à la hauteur $z + rr'$ . (C’est la raison tridimensionnelle pour laquelle la symétrie de rotation survit dans le champ normal.)

Exercice 19.11 ★★

(Déroulement du cylindre) La carte $\sigma(u, v) = (\cos u,\ \sin u,\ v)$ du cylindre unité a $E = G = 1$ , $F = 0$ : le vérifier, et expliquer pourquoi toute courbe tracée $t \mapsto \sigma(u(t), v(t))$ a la même longueur que la courbe plane $t \mapsto (u(t), v(t))$ . En déduire que l’hélice de $(1, 0, 0)$ à $(1, 0, 2\pi c)$ faisant un tour a pour longueur $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ , et qu’aucune courbe tracée de mêmes extrémités et faisant un tour complet n’est plus courte.

Solution

Solution de Exercice 19.11.

$\sigma_u = (-\sin u, \cos u, 0)$ , $\sigma_v = (0, 0, 1)$ : $E = 1$ , $F = 0$ , $G = 1$ . Par la Proposition 19.16 la longueur d’une courbe tracée est $\int\sqrt{u'^2 + v'^2}\,\dd t$ — la longueur de son ombre paramétrique $(u(t), v(t))$ dans le plan : la carte est une isométrie locale (le déroulement du cylindre). L’hélice $t \mapsto (\cos t, \sin t, ct)$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , a pour ombre le segment de $(0,0)$ à $(2\pi, 2\pi c)$ , de longueur $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ . Toute courbe tracée de $(1,0,0)$ à $(1, 0, 2\pi c)$ faisant un tour complet a une ombre continue joignant $(0, 0)$ à $(2\pi, 2\pi c)$ , de longueur plane $\geq$ le segment droit ; puisque les longueurs coïncident, l’hélice est la plus courte.

Exercice 19.12 ★★★

Soit $S = \{f = c\}$ une surface de niveau régulière compacte et $M_0 \in S$ un point à distance maximale de l’origine. Montrer que $\nabla f(M_0)$ est colinéaire à $\vect{OM_0}$ — la normale au point le plus éloigné est radiale. Appliquer à l’ellipsoïde $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ( $a > b > c > 0$ ) : trouver tous les points où la normale est radiale, et identifier les plus éloignés.

Solution

Solution de Exercice 19.12.

La fonction $g(M) = \norm{M}^2$ est continue sur le compact $S$ , donc elle atteint son maximum en un certain $M_0$ . Pour toute courbe $\gamma$ tracée sur $S$ avec $\gamma(0) = M_0$ , la fonction $t \mapsto \norm{\gamma(t)}^2$ a un maximum en $t = 0$ , donc sa dérivée $2\langle\gamma'(0), M_0\rangle$ s’annule : $M_0$ est orthogonal à tout vecteur tangent, c.-à-d. normal à $S$ en $M_0$ . Comme $\nabla f(M_0) \neq 0$ dirige aussi la droite normale (Proposition 19.7), $\nabla f(M_0)$ et $\vect{OM_0}$ sont colinéaires. Pour l’ellipsoïde, la radialité signifie

\Bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\Bigr) = \mu\,(x_0, y_0, z_0) :

chaque coordonnée vérifie $x_0(\frac1{a^2} - \mu) = 0$ , etc. ; puisque $a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}$ sont distincts, au plus une coordonnée est non nulle, et les solutions sur la surface sont les six extrémités des axes $(\pm a, 0, 0)$ , $(0, \pm b, 0)$ , $(0, 0, \pm c)$ . Les points les plus éloignés sont $(\pm a, 0, 0)$ , à distance $a = \max(a,b,c)$ .

19.5 Problème : la classification des quadriques de $\R^3$

Problème 19.1

Problème du week-end — toutes les surfaces quadriques, classées par le théorème spectral

Une quadrique est l’ensemble des zéros dans $\R^3$ d’un polynôme de degré deux

q(X) = X^{\mathsf T}\!AX + 2\,\langle b, X\rangle + c, \qquad A \in \mathcal S_3(\R),\ A \neq 0,\ b \in \R^3,\ c \in \R .

Les surfaces des figures de ce chapitre — sphères, ellipsoïdes, selles, cônes, cylindres — sont toutes des quadriques. Ce problème les classe toutes : le théorème spectral (Théorème 12.13) redresse la partie quadratique, les translations affines (Chapitre 17) absorbent la partie linéaire, et ce qui reste est une liste courte et complète de formes normales.

Partie I — La machine de réduction.

Soit $X = PY + t$ avec $P \in O(3)$ et $t \in \R^3$ (un changement rigide de coordonnées). Montrer que $q(PY + t) = Y^{\mathsf T}\!A'Y + 2\langle b', Y\rangle + c'$ avec

$A' = P^{\mathsf T}\!AP, \qquad b' = P^{\mathsf T}(At + b), \qquad c' = q(t) .$

En déduire que le spectre de $A$ (donc son rang et sa signature) est un invariant rigide de l’équation, et expliquer pourquoi l’équation d’une quadrique donnée n’est déterminée qu’à un facteur scalaire non nul près.
En utilisant le théorème spectral, montrer qu’après une rotation l’équation devient $\sum_i \lambda_i y_i^2 + 2\sum_i\beta_iy_i + c = 0$ avec $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ les valeurs propres de $A$ .
Pour tout $i$ avec $\lambda_i \neq 0$ , absorber $\beta_iy_i$ par une translation ( $y_i \mapsto y_i - \beta_i/\lambda_i$ ). Écrire l’équation réduite lorsque $\operatorname{rank} A = r$ : $\sum_{i\leq r}\lambda_i z_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0$ .
Un centre de la quadrique d’équation $q = 0$ est un point $\Omega$ avec $q(2\Omega - X) = q(X)$ pour tout $X$ : la symétrie centrale en $\Omega$ préserve l’équation, donc la surface. Montrer que $q(2\Omega - X) - q(X) = -4\langle A\Omega + b, X\rangle + 4\langle A\Omega + b, \Omega\rangle$ , et en déduire : les centres sont exactement les solutions de $A\Omega = -b$ ; ils existent ssi $b \in \operatorname{im}A$ , et le centre est unique ssi $A$ est inversible.

Partie II — Quadriques à centre ( $\operatorname{rank}A = 3$ ). Ici l’équation réduite est $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + \lambda_3z_3^2 = \delta$ .

Quitte à multiplier par $-1$ , supposer qu’au moins deux $\lambda_i > 0$ . Énumérer les possibilités : signature $(3, 0)$ avec $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ , et signature $(2, 1)$ avec $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ ; nommer les six ensembles résultants (ellipsoïde, point, ensemble vide, hyperboloïde à une nappe, cône, hyperboloïde à deux nappes) et mettre chacun sous sa forme normale euclidienne ( $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ , etc.).
Classer $x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4yz + 4zx = 1$ : montrer que $A = 2J - I$ avec $J$ la matrice remplie de $1$ , calculer le spectre $\{5, -1, -1\}$ , et identifier un hyperboloïde à deux nappes de révolution autour de l’axe $\R(1,1,1)$ .
(Génératrices) Pour l’hyperboloïde à une nappe $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ , factoriser

$\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) \Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \Bigl(1 - \frac yb\Bigr)\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)$

et produire deux familles à un paramètre de droites tracées sur la surface.
Montrer que par chaque point de l’hyperboloïde à une nappe passe exactement une droite de chaque famille : la surface est doublement réglée.
Le cône asymptote de l’hyperboloïde à une nappe est $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ . Avec $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ , montrer que tout point de l’hyperboloïde est à distance au plus $c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}}$ de $C$ , donc la surface épouse son cône à l’infini. Quelles sont les sections de l’hyperboloïde par les plans $x = \pm a$ ?

Partie III — Rang $2$ et rang $1$ : paraboloïdes, cylindres, plans.

Supposons $\operatorname{rank}A = 2$ , disons $\lambda_1, \lambda_2 \neq 0 = \lambda_3$ . En partant de la question 3, séparer en deux cas selon $\beta_3 \neq 0$ (pas de centre, par la question 4) ou $\beta_3 = 0$ (une droite de centres), et réduire à

$\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0 \qquad\text{ou}\qquad \lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0 :$

paraboloïdes elliptiques/hyperboliques dans le premier cas, cylindres sur des coniques à centre (ou paires de plans sécants, une droite, l’ensemble vide) dans le second.
Montrer que la selle $z = xy$ est un paraboloïde hyperbolique : tourner de $\pi/4$ dans le plan $xy$ pour atteindre $z = \tfrac12(u^2 - v^2)$ , la surface de la Figure 19.1 à l’échelle près.
Montrer que la selle $z = xy$ porte les deux familles de droites $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ et $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ , avec exactement une droite de chaque passant par chaque point : la seconde quadrique doublement réglée.
Classer $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ dans $\R^3$ (compléter les carrés ; identifier un cylindre circulaire droit, et donner son axe et son rayon).
Maintenant soit $\operatorname{rank}A = 1$ , disons $\lambda_1 \neq 0 = \lambda_2 = \lambda_3$ . En tournant dans le plan noyau et en translatant, réduire à

$\lambda_1z_1^2 + 2\beta z_2 = 0 \quad (\beta \neq 0) \qquad\text{ou}\qquad \lambda_1z_1^2 + c'' = 0 :$

un cylindre parabolique, ou une paire de plans parallèles, un plan double, ou l’ensemble vide. Classer $(x + y)^2 = z$ complètement (forme normale, axe d’invariance par translation).

Partie IV — Le théorème de classification.

Assembler les Parties I–III en un théorème : toute quadrique de $\R^3$ est envoyée par un déplacement sur exactement une forme normale. Lister les dix-sept types affines (compter les variantes vides et les ensembles dégénérés), et distinguer les neuf surfaces quadriques : ellipsoïde, hyperboloïdes à une et deux nappes, cône, paraboloïdes elliptique et hyperbolique, cylindres elliptique, hyperbolique et parabolique.
Écrire l’algorithme de classification : étant donné $(A, b, c)$ , quelles quantités calcule-t-on, dans quel ordre, et quelle branche décide de quel type ? Justifier que chaque étape est effective (valeurs propres d’une matrice symétrique $3\times3$ , rang, résolubilité de $A\Omega = -b$ ).
Exécuter l’algorithme sur $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 1$ : montrer que $A = 2I - J$ a pour spectre $\{2, 2, -1\}$ et conclure : un hyperboloïde à une nappe de révolution autour de $\R(1,1,1)$ .
L’exécuter sur $x^2 + y^2 - z^2 - 2x + 4y + 2z + 4 = 0$ : trouver le centre et identifier la quadrique.
L’exécuter sur $x^2 + 4xy + y^2 = 2z$ : diagonaliser le bloc $xy$ ( $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ ) et identifier la quadrique.
Euclidien contre affine. Montrer que deux quadriques à centre en forme normale sont rigidement équivalentes ssi elles ont les mêmes listes de coefficients (à permutation et à un scalaire positif commun sur l’équation près), tandis qu’affinement, seules les données de signature survivent : tout ellipsoïde est une image affine de la sphère ronde. Quel théorème garantit que la signature ne peut pas changer en chemin (Théorème 12.6) ?

Partie V — Dividendes.

Montrer que toute section d’une quadrique par un plan affine est une conique (éventuellement dégénérée) de ce plan. Identifier les sections de la selle $z = xy$ par les plans $z = c$ ( $c \neq 0$ et $c = 0$ ).
Quelles surfaces quadriques contiennent des droites ? Montrer que l’ellipsoïde, l’hyperboloïde à deux nappes et le paraboloïde elliptique n’en contiennent aucune (restreindre $q$ à une droite et utiliser l’inégalité de Cauchy–Schwarz pour le cas à deux nappes) ; que le cône et les cylindres sont réglés par une famille ; et conclure que les surfaces quadriques doublement réglées sont exactement l’hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique.
Quand seul le type affine est recherché, la réduction de Gauss (Théorème 12.5) est moins coûteuse que la diagonalisation. Refaire la question 17 avec l’algorithme de Gauss et vérifier la signature $(2, 1)$ ; quelle information euclidienne Gauss perd-il ?
Toutes les valeurs propres d’une matrice symétrique sont réelles ; montrer qu’en conséquence les signes des valeurs propres de $A$ peuvent se lire sur le polynôme caractéristique par la règle des signes de Descartes, et le vérifier sur la question 6 : $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ a exactement un changement de signe, donc signature $(1, 2)$ .
Synthèse. Résumer l’algorithme en quelques lignes ; énoncer le rôle exact joué par (i) le théorème spectral, (ii) l’équation du centre $A\Omega = -b$ , (iii) le théorème d’inertie de Sylvester, (iv) la réduction de Gauss. Que donne la même machine dans $\R^2$ , et qu’est-ce qui change dans $\R^n$ ?

Solution

Solution de Problème 19.1.

1. En développant, et en utilisant la symétrie de $A$ ( $t^{\mathsf T}\!APY = (At)^{\mathsf T}PY$ ) :

q(PY + t) = Y^{\mathsf T}P^{\mathsf T}\!APY + 2\,(At + b)^{\mathsf T}PY + \bigl(t^{\mathsf T}\!At + 2b^{\mathsf T}t + c\bigr),

qui est le triplet affiché. $A' = P^{\mathsf T}\!AP = P^{-1}AP$ est semblable à $A$ : même polynôme caractéristique, même spectre, même rang, même signature. Enfin $\{q = 0\} = \{sq = 0\}$ pour $s \neq 0$ , donc seule l’équation à un scalaire près est attachée à l’ensemble ; multiplier par $s$ multiplie toutes les valeurs propres par $s$ .

2. Le théorème spectral fournit $P \in O(3)$ avec $P^{\mathsf T}\!AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ ; la question 1 avec $t = 0$ transforme l’équation en $\sum\lambda_iy_i^2 + 2\sum\beta_iy_i + c = 0$ , où $\beta = P^{\mathsf T}b$ .

3. Pour $\lambda_i \neq 0$ : $\lambda_iy_i^2 + 2\beta_iy_i = \lambda_i\bigl(y_i + \frac{\beta_i}{\lambda_i}\bigr)^2 - \frac{\beta_i^2}{\lambda_i}$ ; la translation $z_i = y_i + \beta_i/\lambda_i$ (et $z_i = y_i$ pour $i > r$ ) donne

\sum_{i \leq r}\lambda_iz_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0, \qquad c'' = c - \sum_{i\leq r}\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}.

4. $q(2\Omega - X) = (2\Omega - X)^{\mathsf T} A(2\Omega - X) + 2b^{\mathsf T}(2\Omega - X) + c$ ; en développant et en soustrayant $q(X)$ , les termes quadratiques s’annulent et

q(2\Omega - X) - q(X) = -4\,\langle A\Omega + b,\ X\rangle + 4\,\langle A\Omega + b,\ \Omega\rangle .

Si $A\Omega + b = 0$ ceci s’annule identiquement : la symétrie centrale préserve $q$ , donc la quadrique. Réciproquement, « $q(2\Omega - X) = q(X)$ pour tout $X$ » dit que la fonction affine ci-dessus s’annule sur tout $\R^3$ , ce qui force sa partie linéaire $A\Omega + b$ à être nulle. Donc centres $=$ solutions de $A\Omega = -b$ : un ensemble non vide ssi $b \in \operatorname{im}A$ (un sous-espace affine dirigé par $\ker A$ ), et un point unique ssi $A$ est inversible.

5. Signature $(3,0)$ (tous les $\lambda_i > 0$ ) : $\delta > 0$ donne $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ avec $a = \sqrt{\delta/\lambda_1}$ , etc. — un ellipsoïde ; $\delta = 0$ : le point unique $O$ ; $\delta < 0$ : vide. Signature $(2,1)$ ( $\lambda_1, \lambda_2 > 0 > \lambda_3$ ) : $\delta > 0$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ , l’hyperboloïde à une nappe ; $\delta = 0$ : le cône $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$ ; $\delta < 0$ : $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , l’hyperboloïde à deux nappes ( $\abs z \geq c$ : deux composantes).

6. La partie quadratique a pour matrice $A$ avec diagonale $1$ et hors-diagonale $2$ : $A = 2J - I$ . Puisque $J$ a pour spectre $\{3, 0, 0\}$ (vecteur propre $(1,1,1)$ pour $3$ ), $A$ a pour spectre $\{5, -1, -1\}$ , la valeur propre $5$ portée par $\R(1,1,1)$ . Dans les coordonnées tournées : $5u^2 - v^2 - w^2 = 1$ , c.-à-d. $\frac{u^2}{1/5} - v^2 - w^2 = 1$ : un hyperboloïde à deux nappes, de révolution (valeurs propres égales $-1$ ) autour de l’axe $\R(1,1,1)$ .

7. La surface est $\bigl(\frac xa - \frac zc\bigr)\bigl(\frac xa + \frac zc\bigr) = \bigl(1 - \frac yb\bigr)\bigl(1 + \frac yb\bigr)$ . Pour $(\lambda : \mu) \neq (0:0)$ définir la droite

D_{\lambda:\mu} :\quad \lambda\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) = \mu\Bigl(1 - \frac yb\Bigr), \qquad \mu\Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \lambda\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)

(deux équations affines indépendantes : une droite). En multipliant les deux équations on voit que tout point de $D_{\lambda:\mu}$ est sur la surface lorsque $\lambda\mu \neq 0$ ; les cas $\lambda = 0$ ou $\mu = 0$ se vérifient directement (par exemple $\lambda = 0$ : $y = b$ , $\frac xa = -\frac zc$ , ce qui satisfait l’équation). La seconde famille $D'_{\lambda:\mu}$ échange les deux facteurs de droite.

8. Fixons $M$ sur la surface. Les conditions pour $M \in D_{\lambda:\mu}$ forment un système linéaire homogène $2\times2$ en $(\lambda, \mu)$ dont le déterminant est

\Bigl(\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}\Bigr) - \Bigl(1 - \frac{y^2}{b^2}\Bigr) = 0

précisément parce que $M$ est sur la quadrique : une solution non triviale $(\lambda : \mu)$ existe. La matrice des coefficients n’est jamais nulle (cela forcerait $1 - \frac yb = 1 + \frac yb = 0$ ), donc son rang est $1$ et la solution est unique à un facteur près : exactement une droite de la famille passe par $M$ . Il en va de même pour la seconde famille, et les deux droites sont distinctes (en $(a, 0, 0)$ ce sont $\{x = a,\ \frac zc = \frac yb\}$ et $\{x = a,\ \frac zc = -\frac yb\}$ ) : l’hyperboloïde à une nappe est doublement réglé.

9. Soit $M = (x, y, z)$ sur l’hyperboloïde, $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2} \geq 1$ . Le point $N = (x,\ y,\ \varepsilon c\rho)$ avec $\varepsilon$ le signe de $z$ vérifie $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{(c\rho)^2}{c^2} = 0$ : $N \in C$ , et

d(M, C) \leq \abs{z - \varepsilon c\rho} = c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}} .

Si $\norm M \to \infty$ alors $\rho \to \infty$ (les trois coordonnées sont majorées par des multiples de $\rho$ ), donc $d(M, C) \to 0$ . La section $x = a$ : $\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ , la paire de droites sécantes de la question 8 — et de même en $x = -a$ .

10. Avec $\lambda_3 = 0$ , la question 3 laisse $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . Dans la base propre, $\operatorname{im}A = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , donc par la question 4 les centres existent ssi $\beta_3 = 0$ . Si $\beta_3 \neq 0$ : la translation $z_3 \mapsto z_3 - c''/(2\beta_3)$ supprime la constante, laissant $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0$ , c.-à-d. $z_3 = px^2 + qy^2$ après renommage : un paraboloïde elliptique si $\lambda_1\lambda_2 > 0$ , un paraboloïde hyperbolique si $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — et effectivement pas de centre. Si $\beta_3 = 0$ : l’équation $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0$ ne fait pas intervenir $z_3$ : la quadrique est un cylindre sur la conique plane correspondante — cylindre elliptique, droite, ou ensemble vide lorsque $\lambda_1\lambda_2 > 0$ ; cylindre hyperbolique ou paire de plans sécants lorsque $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — avec toute une droite de centres $\{(z_1^*, z_2^*)\} \times \R$ .

11. $xy - z = 0$ . En substituant $x = \frac{u + v}{\sqrt2}$ , $y = \frac{u - v}{\sqrt2}$ (rotation de $\pi/4$ ) : $xy = \frac{u^2 - v^2}2$ , donc l’équation devient $z = \frac12(u^2 - v^2)$ : un paraboloïde hyperbolique — la selle de la figure, au facteur $\frac12$ près.

12. La droite $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ (paramétrée par $y$ ) est clairement sur $z = xy$ , tout comme $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ ; par $(x_0, y_0, x_0y_0)$ passent les deux. Unicité : si $t \mapsto (x_0 + tv_1, y_0 + tv_2, z_0 + tv_3)$ reste sur la surface, le coefficient de $t^2$ dans $(x_0 + tv_1)(y_0 + tv_2) - z_0 - tv_3$ donne $v_1v_2 = 0$ , donc $v_1 = 0$ ou $v_2 = 0$ , tombant dans l’une des deux familles : une droite de chaque par chaque point — la seconde quadrique doublement réglée.

13. En complétant les carrés : $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$ , sans condition sur $z$ : un cylindre circulaire droit de rayon $\sqrt2$ et d’axe la droite verticale $\{(1, -2, z) : z \in \R\}$ — une droite de centres, comme le prédit la question 10.

14. Avec $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$ l’équation réduite est $\lambda_1z_1^2 + 2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . Une rotation du plan noyau $(z_2, z_3)$ aligne la forme linéaire : $2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 = 2\beta w$ avec $\beta = \sqrt{\beta_2^2 + \beta_3^2}$ . Si $\beta \neq 0$ , translater $w$ pour absorber $c''$ : $\lambda_1z_1^2 + 2\beta w = 0$ , un cylindre parabolique ; si $\beta = 0$ : $\lambda_1z_1^2 = -c''$ donne deux plans parallèles ( $c'' \lambda_1 < 0$ ), un plan double ( $c'' = 0$ ), ou l’ensemble vide. Pour $(x + y)^2 = z$ : avec $u = \frac{x + y}{\sqrt2}$ l’équation s’écrit $z = 2u^2$ : un cylindre parabolique, invariant par les translations le long de $(1, -1, 0)$ .

15. Toute quadrique est envoyée par une rotation plus des translations sur l’une de : (rang 3) ellipsoïde, point, ensemble vide, hyperboloïde à une nappe, cône, hyperboloïde à deux nappes ; (rang 2) paraboloïde elliptique, paraboloïde hyperbolique, cylindre elliptique, droite, ensemble vide, cylindre hyperbolique, paire de plans sécants ; (rang 1) cylindre parabolique, paire de plans parallèles, plan double, ensemble vide. En identifiant les trois variantes vides comme des types affines distincts d’équations, le compte est dix-sept ; parmi elles neuf sont d’honnêtes surfaces : ellipsoïde, les deux hyperboloïdes, le cône, les deux paraboloïdes et les trois cylindres.

16. Algorithme. (i) Lire $(A, b, c)$ ; calculer le polynôme caractéristique de $A$ , ses valeurs propres (réelles, par le théorème spectral) et $r = \operatorname{rank}A$ . (ii) Résoudre $A\Omega = -b$ (élimination de Gauss) : résoluble ou non — centres ou non. (iii) Si résoluble, translater vers un centre : l’équation devient $\sum\lambda_iz_i^2 + c'' = 0$ avec $c'' = c + \langle b, \Omega\rangle$ ; classer selon $r$ , la signature et le signe de $c''$ en utilisant les questions 5, 10, 14. (iv) Si non résoluble ( $r \leq 2$ ), tourner et réduire comme aux questions 10 et 14 : paraboloïde ( $r = 2$ ) ou cylindre parabolique ( $r = 1$ ), elliptique/hyperbolique selon le signe de $\lambda_1\lambda_2$ . Chaque étape est un calcul fini : racines d’un cubique à racines réelles, rangs, systèmes linéaires.

17. $A$ a diagonale $1$ , hors-diagonale $-1$ : $A = 2I - J$ , spectre $\{2 - 3,\ 2,\ 2\} = \{-1, 2, 2\}$ avec $-1$ sur $\R(1,1,1)$ . Signature $(2,1)$ , $b = 0$ , membre de droite $\delta = 1 > 0$ : $2u^2 + 2v^2 - w^2 = 1$ , un hyperboloïde à une nappe de révolution autour de l’axe $\R(1,1,1)$ .

18. Compléter les carrés : $(x-1)^2 + (y+2)^2 - (z-1)^2 + (-1 - 4 + 1 + 4) = 0$ , c.-à-d.

(x-1)^2 + (y+2)^2 = (z-1)^2 :

la constante s’est annulée — un cône circulaire droit avec sommet (et unique centre) $(1, -2, 1)$ et axe parallèle à $Oz$ .

19. La partie quadratique $x^2 + 4xy + y^2$ a pour matrice $\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (dans le plan $xy$ ), valeurs propres $3$ (sur $(1,1)$ ) et $-1$ (sur $(1,-1)$ ) : avec $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ elle vaut $3u^2 - v^2$ , et la quadrique est

z = \tfrac32u^2 - \tfrac12v^2 :

un paraboloïde hyperbolique ( $A$ a rang $2$ et $b$ a une composante le long de $\ker A = \R e_z$ : pas de centre).

20. Un déplacement transforme les données de l’équation par $A \mapsto P^{\mathsf T}\!AP$ (mêmes valeurs propres) et les formes normales n’ont aucune liberté résiduelle sauf permuter les coordonnées et multiplier toute l’équation par un scalaire ( $> 0$ pour préserver l’écriture) : deux formes normales à centre coïncident à isométrie près ssi les listes de coefficients concordent à permutation et à un facteur positif commun près — pour l’ellipsoïde, ssi les demi-axes $(a, b, c)$ concordent. Affinement, on peut aussi mettre à l’échelle chaque coordonnée séparément ( $z_i \mapsto z_i\sqrt{\abs {\lambda_i}}$ ), ce qui efface les valeurs propres et ne laisse que leurs signes : tout ellipsoïde devient $u^2 + v^2 + w^2 = 1$ , la sphère. Le théorème d’inertie de Sylvester (Théorème 12.6) garantit que la signature survit à tout changement linéaire inversible : les types affines de la question 15 sont véritablement distincts.

21. Paramétrer le plan affinement : $M = P + su + tv$ . Alors $q(P + su + tv)$ est un polynôme de degré $\leq 2$ en $(s, t)$ (développer la forme quadratique par bilinéarité), donc la section $\{q = 0\}$ est une conique du plan, éventuellement dégénérée. Pour $z = xy$ et le plan $z = c$ : $xy = c$ , une hyperbole pour $c \neq 0$ , et pour $c = 0$ les deux droites coordonnées — la paire de génératrices passant par l’origine.

22. Ellipsoïde : borné, ne contient aucune droite. Hyperboloïde à deux nappes $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ : restreindre à $p + tv$ ; le coefficient de $t^2$ $\frac{v_3^2}{c^2} - \frac{v_1^2}{a^2} - \frac{v_2^2}{b^2}$ doit s’annuler, donc $v_3 \neq 0$ (sinon $v = 0$ ) ; le coefficient de $t$ donne $\frac{p_3v_3}{c^2} = \frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}$ , et Cauchy–Schwarz donne

\frac{p_3^2}{c^2} = \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}\Bigr)^2 \leq \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2}\Bigr)\frac{v_3^2}{c^2} = \frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2},

donc le terme constant est $\leq 0 \neq 1$ : aucune droite. Paraboloïde elliptique $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ : le coefficient de $t^2$ force $v_1 = v_2 = 0$ , alors l’équation est linéaire non constante en $t$ : aucune droite. Cône $x^2 + y^2 = z^2$ : une droite dessus vérifie $q(p) = q(v) = B(p, v) = 0$ pour la forme de Lorentz ; l’égalité dans le Cauchy–Schwarz plan $\abs{p_1v_1 + p_2v_2} = \abs{p_3v_3} = \sqrt{(p_1^2 + p_2^2)(v_1^2 + v_2^2)}$ force $(p_1, p_2) \parallel (v_1, v_2)$ et alors $p = kv$ : toutes les droites passent par le sommet — une famille. Cylindres : pour les cylindres elliptique et parabolique le coefficient de $t^2$ force $v_1 = v_2 = 0$ (seulement les génératrices) ; pour le cylindre hyperbolique $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , $\frac{v_1}a = \pm \frac{v_2}b$ avec $v_2 \neq 0$ mène via le coefficient de $t$ à $\frac{p_1^2}{a^2} = \frac{p_2^2}{b^2}$ , contredisant le terme constant $1$ : à nouveau seulement les génératrices verticales. Donc les surfaces quadriques doublement réglées sont exactement l’hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique.

23. Gauss : $x^2 - 2xy - 2zx = (x - y - z)^2 - y^2 - z^2 - 2yz$ , donc

q = (x - y - z)^2 - 4yz = (x - y - z)^2 + (y - z)^2 - (y + z)^2 :

trois carrés indépendants de signes $(+, +, -)$ — signature $(2, 1)$ , en accord avec la question 17, sans aucun calcul de valeur propre. Gauss perd les données métriques : les nouvelles coordonnées ne sont pas orthonormées, donc les valeurs propres (la forme de l’hyperboloïde, ses axes et leurs longueurs) sont perdues ; seul le type affine subsiste.

24. Soient $p$ , $n$ , $z$ les nombres de valeurs propres positives, négatives et nulles, $p + n + z = 3$ . La règle de Descartes majore $p$ par le nombre $V$ de changements de signe de $\chi_A$ , et $n$ par le nombre $V'$ de changements de signe de $\chi_A(-\lambda)$ ; de plus chaque paire de coefficients consécutifs non nuls produit un changement dans exactement l’un des deux polynômes, donc $V + V' \leq 3 - z$ (les racines nulles sont visibles comme des coefficients de queue nuls). Alors $p + n = 3 - z \geq V + V' \geq p + n$ : égalité, donc $p = V$ exactement — les signes des valeurs propres se lisent. Pour $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ : signes $+,-,-,-$ donnent $V = 1$ , et $\chi_A(-\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 9\lambda - 5$ a pour signes $-,-,+,-$ : $V' = 2$ . Signature $(1, 2)$ — cohérent avec la factorisation exacte $\chi_A = (\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$ de la question 6.

25. Algorithme : diagonaliser la partie quadratique de manière orthonormée (théorème spectral : c’est la seule étape analytiquement profonde, et c’est ce qui rend la classification euclidienne) ; résoudre $A\Omega = -b$ pour décider entre types à centre et paraboliques et pour translater la partie linéaire là où c’est possible (géométrie affine) ; lire le type à partir du rang, de la signature et de la constante (Sylvester garantit que ce sont des invariants) ; quand seul le type affine importe, la réduction de Gauss remplace le théorème spectral au prix de l’information métrique. Dans $\R^2$ la même machine classe les coniques : ellipse, hyperbole, parabole, plus des paires de droites, une droite, un point et des ensembles vides. Dans $\R^n$ rien ne change sinon la comptabilité : les types sont indexés par la signature de $A$ , la position de $b$ relativement à $\operatorname{im}A$ , et une constante — avec la matrice bordée de dimension $(n{+}2)$ de $(A, b, c)$ fournissant un invariant compact.

19.1 Surfaces paramétrées

19.2 Plan tangent et normale

19.3 La première forme fondamentale

19.4 Exercices

19.5 Problème : la classification des quadriques de R3\R^3R3

19.5 Problème : la classification des quadriques de $\R^3$