Mathématiques universitaires — Licence 2 · Bachelor Year 2

15Calcul différentiel

Le calcul à deux variables du volume de Licence 1 mûrit en le calcul différentiel des applications entre espaces normés : la différentielle comme meilleure approximation linéaire, la règle de la chaîne en toute généralité, le théorème de symétrie de Schwarz démontré, les formules de Taylor, et l’analyse complète du second ordre des extrema. Le théorème d’inversion locale, couronnement de la théorie, est énoncé avec sa stratégie de démonstration — un point fixe de Banach — rendue explicite.

Dans tout ce chapitre, $U$ est un ouvert de $\R^n$ (ou d’un espace normé ; le cas de dimension finie porte toutes les idées), $f \colon U \to \R^m$ .

15.1 La différentielle

Définition 15.1

$f$ est différentiable en $a$ lorsqu’il existe une application linéaire (continue) $\dd f_a \colon \R^n \to \R^m$ telle que

f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + o(\norm h) \qquad (h \to 0).

L’application $\dd f_a$ , la différentielle de $f$ en $a$ , est unique ; sa matrice dans les bases canoniques est la matrice jacobienne $J_f(a) = \bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\bigr)$ . La différentiabilité entraîne la continuité et l’existence de toutes les dérivées directionnelles $\dd f_a(v) = \lim_{t\to0}\frac{f(a + tv) - f(a)}{t}$ ; la réciproque est fausse (Exercice 15.2). Pour $m = 1$ , $\dd f_a(h) = \langle \nabla f(a), h\rangle$ : le gradient de Licence 1, désormais compris comme le vecteur représentant la différentielle.

Théorème 15.2 (Critère $C^1$ )

Si toutes les dérivées partielles de $f$ existent sur $U$ et sont continues en $a$ , alors $f$ est différentiable en $a$ . « $C^1$ sur $U$ » — dérivées partielles continues — entraîne donc la différentiabilité partout, avec différentielle continue.

Démonstration. Composante par composante ( $m = 1$ suffit). La démonstration de Licence 1 pour deux variables — déplacer une coordonnée à la fois, appliquer le théorème des accroissements finis à une variable sur chaque segment, et utiliser la continuité des dérivées partielles en $a$ — se généralise mot pour mot à $n$ segments :

f(a + h) - f(a) = \sum_{j=1}^{n} \bigl(f(a + h^{(j)}) - f(a + h^{(j-1)})\bigr) = \sum_j h_j\,\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j),

où $h^{(j)}$ fige les $j$ premières coordonnées de $h$ et $\xi_j$ appartient au $j$ -ème segment ; la continuité transforme chaque $\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j)$ en $\frac{\partial f}{\partial x_j}(a) + o(1)$ , et l’erreur est un $o(\norm h)$ . ∎

Théorème 15.3 (Règle de la chaîne)

Si $f$ est différentiable en $a$ et $g$ en $f(a)$ , alors $g \circ f$ est différentiable en $a$ avec

\dd(g \circ f)_a = \dd g_{f(a)} \circ \dd f_a , \qquad J_{g\circ f}(a) = J_g\bigl(f(a)\bigr)\,J_f(a) :

les jacobiennes se multiplient.

Démonstration. Écrivons $f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + \norm h\,\varepsilon_1(h)$ et $g(b + k) = g(b) + \dd g_b(k) + \norm k\,\varepsilon_2(k)$ avec $b = f(a)$ , $k = k(h) = \dd f_a(h) + \norm h \varepsilon_1(h)$ . En substituant,

g(f(a+h)) = g(b) + \dd g_b\bigl(\dd f_a(h)\bigr) + \norm h\,\dd g_b(\varepsilon_1(h)) + \norm{k}\,\varepsilon_2(k),

et les deux termes d’erreur sont des $o(\norm h)$ : le premier car $\dd g_b$ est continue et $\varepsilon_1 \to 0$ ; le second car $\norm k \leq C\norm h$ (application linéaire bornée plus terme petit) et $\varepsilon_2(k) \to 0$ quand $h \to 0$ . ∎

Exemple 15.4 (Fonctions radiales, une fois pour toutes)

Soit $r(x) = \norm x_2$ sur $\R^n\setminus\{0\}$ et $f = g \circ r$ avec $g$ une fonction $C^1$ d’une variable. D’abord, $r$ est différentiable en dehors de $0$ : de $r^2 = \sum x_i^2$ ,

\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r}, \qquad\text{c.-à-d.}\qquad \nabla r(x) = \frac{x}{\norm x} ,

le vecteur radial unitaire (dériver $r^2$ et diviser — ou appliquer la règle de la chaîne à $\sqrt{\cdot}$ ). Alors la règle de la chaîne donne, pour toute fonction radiale,

\nabla f(x) = g'\bigl(\norm x\bigr)\,\frac{x}{\norm x} .

Cas travaillé : $g(r) = \frac1r$ donne $\nabla\frac{1}{\norm x} = -\frac{x}{\norm x^3}$ , le champ en carré inverse de la gravitation et de l’électrostatique — de direction radiale, de norme $\frac{1}{\norm x^2}$ . Idée à retenir : les gradients des fonctions radiales sont radiaux parce que les ensembles de niveau sont des sphères et que le gradient est orthogonal aux ensembles de niveau ; en $x = 0$ , en revanche, $r$ n’est pas différentiable (aucune application linéaire candidate ne correspond à $\norm h$ dans toutes les directions) — les profils radiaux lisses ont besoin de $g'(0) = 0$ pour franchir l’origine avec grâce.

Théorème 15.5 (Inégalité des accroissements finis)

Soit $f$ différentiable sur $U$ et supposons que le segment $\intcc{a}{b} = \{a + t(b-a)\}$ est inclus dans $U$ . Alors

\norm{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}\, \sup_{x \in \intcc{a}{b}} \vertiii{\dd f_x} .

En particulier, une application différentiable de différentielle nulle sur un ouvert connexe est constante.

Démonstration. La fonction $\varphi(t) = f(a + t(b-a))$ est différentiable sur $\intcc{0}{1}$ avec $\varphi'(t) = \dd f_{a + t(b-a)}(b - a)$ (règle de la chaîne), de norme $\leq M\norm{b-a}$ où $M$ est le sup affiché. Pour $f$ à valeurs dans $\R$ , l’inégalité des accroissements finis à une variable conclut ; pour des valeurs vectorielles, l’appliquer à $t \mapsto \langle u, \varphi(t)\rangle$ avec $u$ le vecteur unitaire dirigé selon $f(b) - f(a)$ . Constance : localement constante (segments dans les boules) plus connexité (l’ensemble où $f$ vaut une valeur donnée est à la fois ouvert et fermé : Chapitre 4). ∎

Exemple 15.6 (Une constante de Lipschitz issue de l’inégalité des accroissements finis)

La fonction $f(x, y) = \sin x\,\sin y$ est-elle lipschitzienne sur $\R^2$ , et avec quelle constante ? Son gradient est $\nabla f = (\cos x\sin y,\ \sin x\cos y)$ , de norme au carré

\cos^2x\sin^2y + \sin^2x\cos^2y \leq \sin^2 y + \cos^2y\cdot 1 = 1

(majorer $\cos^2x$ et $\sin^2x$ par $1$ séparément), donc $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ partout, et le Théorème 15.5 appliqué au segment entre deux points quelconques donne

\abs{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}_2 :

$f$ est $1$ -lipschitzienne, et la constante est optimale (près de l’origine, $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ a une pente $1$ ). Idée à retenir : l’inégalité des accroissements finis convertit une majoration ponctuelle de la différentielle en un module de continuité global — la voie standard vers les estimations de Lipschitz en toute dimension, et le moteur de l’Exercice 15.12.

15.2 Dérivées secondes

Théorème 15.7 (Schwarz)

Si $f$ est $C^2$ sur $U$ (toutes les dérivées partielles secondes existent et sont continues), alors pour tous $i, j$ :

\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\,\partial x_i} .

Démonstration. Deux variables suffisent ( $x = x_i$ , $y = x_j$ , les autres figées). Considérons la différence seconde

\Delta(h) = f(a + h, b + h) - f(a + h, b) - f(a, b + h) + f(a,b) .

Fixons $h$ et posons $\varphi(x) = f(x, b+h) - f(x, b)$ : alors $\Delta(h) = \varphi(a + h) - \varphi(a)$ , et deux applications du théorème des accroissements finis donnent

\Delta(h) = h\,\varphi'(\xi) = h\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b+h) - \frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b)\Bigr) = h^2\,\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(\xi, \eta),

avec $\xi \in \intoo{a}{a+h}$ , $\eta \in \intoo{b}{b+h}$ . Par continuité, $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(a, b)$ quand $h \to 0$ . Le même calcul en échangeant les rôles des variables (figer d’abord la seconde variable) donne $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)$ : les deux limites de la même quantité coïncident. ∎

Exemple 15.8 (Pourquoi $C^2$ est nécessaire : le contre-exemple de Peano)

Soit $f(x, y) = \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$ , $f(0,0) = 0$ . En dehors de l’origine $f$ est $C^\infty$ ; à l’origine toutes les dérivées partielles premières et secondes existent, mais les dérivées croisées diffèrent. Calculons le long des axes : $f(x, 0) = f(0, y) = 0$ , et pour $y \neq 0$ ,

\frac{\partial f}{\partial x}(0, y) = \lim_{x\to0}\frac{f(x,y)}{x} = \frac{y(0 - y^2)}{y^2} = -y , \qquad\text{symétriquement}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x, 0) = x .

D’où

\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(0,0) = \frac{\dd}{\dd y}\Bigl[\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)\Bigr]_{y=0} = -1, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}(0,0) = +1 :

les deux dérivées croisées existent et diffèrent. Aucune contradiction avec le Théorème 15.7 : les dérivées partielles secondes de $f$ ne sont pas continues en $0$ (tester le long de $y = tx$ ). Idée à retenir : le théorème de Schwarz est un vrai théorème de continuité, non une identité formelle — et l’hypothèse « $C^2$ » dans le Taylor–Young ci-dessous fait un travail réel.

Théorème 15.9 (Taylor–Young à l’ordre 2)

Soit $f \colon U \to \R$ de classe $C^2$ et $a \in U$ . Alors, quand $h \to 0$ ,

f(a + h) = f(a) + \langle\nabla f(a), h\rangle + \frac12\, \langle H_a h,\, h\rangle + o\bigl(\norm h^2\bigr),

où $H_a = \bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)\bigr)$ est la matrice hessienne (symétrique, d’après Schwarz).

Démonstration. Appliquons le théorème de Taylor–Young à une variable (volume de Licence 1) à $\varphi(t) = f(a + th)$ sur $\intcc{0}{1}$ : par la règle de la chaîne, $\varphi'(t) = \langle \nabla f(a + th), h\rangle$ et $\varphi''(t) = \langle H_{a+th}h, h\rangle$ , toutes deux continues en $t$ . Alors $\varphi(1) = \varphi(0) + \varphi'(0) + \frac12\varphi''(\theta)$ (Taylor–Lagrange) avec $\theta \in \intoo{0}{1}$ , et la continuité des dérivées partielles secondes transforme $\varphi''(\theta) = \varphi''(0) + o(1)\cdot\norm h^2$ de manière uniforme : le développement affiché. ∎

Exemple 15.10 (Un développement de deux façons)

Développons $f(x, y) = \eu^x\cos y$ à l’origine à l’ordre $2$ . Par composition de développements à une variable :

\eu^x\cos y = \Bigl(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\Bigr)\Bigl(1 - \frac{y^2}{2} + o(y^2)\Bigr) = 1 + x + \frac{x^2 - y^2}{2} + o\bigl(\norm{(x,y)}^2\bigr) .

Par dérivées partielles : $f_x = \eu^x\cos y$ , $f_y = -\eu^x\sin y$ , donc $\nabla f(0) = (1, 0)$ ; et $f_{xx} = f$ , $f_{yy} = -f$ , $f_{xy} = -\eu^x\sin y$ donnent $H_0 = \operatorname{diag}(1, -1)$ : le Théorème 15.9 reproduit $1 + x + \frac12(x^2 - y^2)$ . Les deux calculs concordent, et la voie par composition était plus rapide — aucune dérivée partielle seconde. Idée à retenir : l’origine n’est pas un point critique ( $\nabla f \neq 0$ ), donc malgré la hessienne indéfinie il n’y a pas de point col à déclarer : le terme linéaire domine, et le test du second ordre ne parle jamais qu’aux points critiques.

Théorème 15.11 (Test d’extremum du second ordre, démontré)

Soit $f$ de classe $C^2$ au voisinage d’un point critique $a$ ( $\nabla f(a) = 0$ ), de hessienne $H = H_a$ .

Si $H$ est définie positive, $a$ est un minimum local strict (définie négative : maximum).
Si $H$ a des valeurs propres des deux signes, $a$ est un point col : pas d’extremum.
Si $H$ est singulière (et semi-définie), aucune conclusion.

Le test « $rt - s^2$ » de Licence 1 est le cas $n = 2$ : $\det H = rt - s^2$ , le signe de $\operatorname{tr}$ se lit sur $r$ .

Démonstration. D’après le théorème spectral (Théorème 12.13), la forme quadratique de $H$ est encadrée par ses valeurs propres extrêmes : $\lambda_{\min}\norm h^2 \leq \langle Hh, h\rangle \leq \lambda_{\max}\norm h^2$ .

(1) Si $\lambda_{\min} > 0$ : Taylor–Young donne

f(a + h) - f(a) \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 - o(\norm h^2) > 0

pour $h \neq 0$ petit : minimum local strict.

(2) Le long d’un vecteur propre $v_+$ avec $\lambda_+ > 0$ : $f(a + tv_+) - f(a) = \frac{\lambda_+}{2}t^2 + o(t^2) > 0$ pour $t$ petit ; le long de $v_-$ avec $\lambda_- < 0$ la différence est négative : les deux signes apparaissent dans tout voisinage.

(3) $f(x,y) = x^2 + y^4$ , $x^2 - y^4$ , $x^2 + y^3$ partagent la même hessienne singulière semi-définie en $0$ avec trois comportements différents. ∎

Exemple 15.12 (Une classification complète, le global compris)

Classifions tous les extrema de $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy$ sur $\R^2$ . Points critiques : $\nabla f = (4x^3 - 4y,\ 4y^3 - 4x) = 0$ donne $y = x^3$ et $x = y^3 = x^9$ , donc $x(x^8 - 1) = 0$ : les solutions réelles sont $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(-1,-1)$ . Hessiennes : $H = \begin{pmatrix} 12x^2 & -4\\ -4 & 12y^2\end{pmatrix}$ . En $(\pm1, \pm1)$ : $\begin{pmatrix} 12 & -4\\ -4 & 12\end{pmatrix}$ , valeurs propres $8$ et $16$ : définie positive, minima locaux stricts avec $f = -2$ . En $(0,0)$ : $\begin{pmatrix} 0 & -4\\ -4 & 0\end{pmatrix}$ , valeurs propres $\pm4$ : un point col. Globalité : de $2\abs{xy} \leq x^2 + y^2$ ,

f(x, y) \geq x^4 + y^4 - 2(x^2 + y^2) = (x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 + x^2 + y^2 - 2 \xrightarrow[\norm{(x,y)}\to\infty]{} +\infty :

$f$ est coercive, donc elle atteint un minimum global (compacité des ensembles de sous-niveau), nécessairement en un point critique : la valeur $-2$ , atteinte en $(1,1)$ et $(-1,-1)$ , est le minimum global ; il n’y a pas de maximum ( $f$ non majorée). Idée à retenir : le test local classifie les candidats, mais seul un argument de croissance transforme le « local » en « global » — le schéma en deux temps de toute démonstration d’optimisation de ce livre.

Méthode 15.13 (Classifier les extrema de $f \colon \R^n \to \R$ )

Résoudre $\nabla f = 0$ (tous les points critiques ; sur un domaine à bord, traiter le bord séparément comme dans l’Exercice 15.7).
En chaque point critique, calculer la hessienne et les signes de ses valeurs propres — en dimension $2$ , juste $\det H$ et $\operatorname{tr} H$ : $\det < 0$ point col ; $\det > 0$ extremum, du type donné par le signe de la trace ; $\det = 0$ : le test est muet, étudier $f$ le long de courbes.
Pour des énoncés globaux, ajouter un argument de compacité ou de coercivité ( $f \to +\infty$ à l’infini, ou un ensemble de contraintes compact), puis comparer les valeurs critiques.

15.3 Le théorème d’inversion locale

Théorème 15.14 (Théorème d’inversion locale)

Soit $f \colon U \to \R^n$ de classe $C^1$ et $a \in U$ avec $\dd f_a$ inversible. Alors il existe des voisinages ouverts $V \ni a$ , $W \ni f(a)$ tels que $f \colon V \to W$ est une bijection de réciproque $C^1$ , et

\dd (f^{-1})_{f(x)} = (\dd f_x)^{-1} \qquad (x \in V).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 15.15 (Pourquoi c’est vrai : la stratégie du point fixe)

Résoudre $f(x) = y$ près de $a$ se réécrit comme l’équation de point fixe $x = x + \dd f_a^{-1}\bigl(y - f(x)\bigr) =: \Phi_y(x)$ ; l’application $\Phi_y$ a pour différentielle $\mathrm{id} - \dd f_a^{-1}\dd f_x$ , petite près de $a$ par continuité de $\dd f$ , donc $\Phi_y$ est contractante sur une petite boule fermée et le théorème du point fixe de Banach (Théorème 4.12) fournit l’unique solution locale $x = f^{-1}(y)$ . La continuité et la différentiabilité de la réciproque découlent ensuite des estimations de la contraction. Le décompte complet est mené en Licence 3 ; la stratégie — et l’énoncé — sont utilisés librement désormais. Le théorème des fonctions implicites associé (résoudre $F(x, y) = 0$ en $y(x)$ lorsque $\frac{\partial F}{\partial y}$ est inversible) s’en déduit en appliquant le théorème à $(x, y) \mapsto (x, F(x,y))$ .

Exemple 15.16 (Coordonnées polaires)

$\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ a pour jacobienne

J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}, \qquad \det J_\Phi = r :

inversible pour $r \neq 0$ , donc $\Phi$ est un difféomorphisme local $C^1$ en dehors de l’origine — le permis de « passer en coordonnées polaires », renouvelé pour les intégrales multiples du Chapitre 20.

Exemple 15.17 (Local partout, global nulle part)

Soit $f(x, y) = \bigl(\eu^x\cos y,\ \eu^x\sin y\bigr)$ sur $\R^2$ . Sa jacobienne,

J_f = \begin{pmatrix} \eu^x\cos y & -\eu^x\sin y\\ \eu^x\sin y & \eu^x\cos y \end{pmatrix}, \qquad \det J_f = \eu^{2x} > 0 ,

ne s’annule jamais : d’après le Théorème 15.14, $f$ est un difféomorphisme local $C^1$ en tout point du plan. Pourtant $f$ est loin d’être injective : $f(x, y + 2\pi) = f(x, y)$ , donc toute valeur est prise une infinité de fois ; et elle n’est pas non plus surjective, puisque $\norm{f(x, y)} = \eu^x > 0$ manque l’origine. Idée à retenir : le théorème d’inversion locale est irréductiblement local — l’inversibilité de chaque $\dd f_a$ fournit un patchwork de réciproques locales qui n’ont pas à s’assembler en une seule. (Les lecteurs qui connaissent les nombres complexes reconnaîtront $z \mapsto \eu^z$ ; le patchwork est la famille des branches du logarithme.) Comparer avec l’Exercice 15.12, où une hypothèse globale quantitative force bel et bien une réciproque globale unique.

Remarque 15.18 (Pièges classiques)

(i) Les dérivées directionnelles sont bon marché, pas les différentielles : toutes les dérivées directionnelles peuvent exister — et même ne pas dépendre linéairement de la direction — sans différentiabilité (Exercice 15.2) ; seul le critère $C^1$ (Théorème 15.2) promeut les dérivées partielles en une différentielle. (ii) Critique ne signifie pas extrémal : les points cols (Exemple 15.12) et le cas singulier muet (Théorème 15.11 (3)) se cachent tous deux derrière $\nabla f = 0$ . (iii) Pas d’égalité des accroissements finis à valeurs vectorielles : seule l’inégalité du Théorème 15.5 subsiste (Exercice 15.9) ; ne jamais écrire $f(b) - f(a) = \dd f_c(b-a)$ pour $f$ à valeurs dans $\R^m$ , $m \geq 2$ . (iv) L’inversibilité locale n’est pas l’injectivité : Exemple 15.17. (v) Le gradient appartient au produit scalaire : $\nabla f$ est le vecteur représentant $\dd f_a$ dans un produit scalaire choisi ; changer le produit (comme dans l’exemple pondéré du chapitre sur les formes quadratiques) et le gradient tourne, tandis que la différentielle — l’objet intrinsèque — ne bouge pas.

Remarque 15.19 (Où cela sert)

Tout ce qui suit ce chapitre est du calcul différentiel appliqué : le chapitre sur les équations différentielles linéarise les flots et utilise la formule du déterminant de Liouville (démontrée dans le problème du week-end de ce chapitre) ; les chapitres sur les courbes et les surfaces étudient les ensembles de niveau et les paramétrages via le théorème des fonctions implicites ; les intégrales multiples changent de variables via les jacobiennes. Le problème du week-end développe le calcul sur l’espace des matrices lui-même — différentielle du déterminant, de l’inverse, l’exponentielle de matrice, et le groupe orthogonal comme ensemble de niveau lisse — l’ombre en Licence 2 de ce que le volume de Licence 3 formalise sous le nom de variétés et de groupes de Lie.

15.4 Exercices

Exercice 15.1 ★

Calculer les matrices jacobiennes de $f(x,y) = (x^2 - y^2,\, 2xy)$ et de $\Phi(r,\theta,z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ ; où les différentielles sont-elles inversibles ?

Solution

Solution de Exercice 15.1.

$J_f = \begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x\end{pmatrix}$ , $\det J_f = 4(x^2 + y^2)$ : inversible en dehors de l’origine. (Ce $f$ est $z \mapsto z^2$ déguisé en complexe.)

$J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ , $\det = r$ : inversible pour $r \neq 0$ (coordonnées cylindriques).

Exercice 15.2 ★

Soit $f(x,y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2}$ ( $f(0,0) = 0$ ). Démontrer que toutes les dérivées directionnelles de $f$ en $0$ existent, mais que $f$ n’est pas différentiable en $0$ (l’application $v \mapsto$ dérivée directionnelle n’est pas linéaire).

Solution

Solution de Exercice 15.2.

Pour $v = (a, b) \neq 0$ : $\frac{f(tv) - 0}{t} = \frac{t^3a^3}{t\cdot t^2(a^2+b^2)} = \frac{a^3}{a^2 + b^2}$ : toute dérivée directionnelle existe, de valeur $D_v = \frac{a^3}{a^2+b^2}$ . Mais $v \mapsto D_v$ n’est pas linéaire ( $D_{(1,0)} = 1$ , $D_{(0,1)} = 0$ , $D_{(1,1)} = \frac12 \neq 1$ ) : aucune application linéaire ne peut produire ces valeurs, donc $f$ n’est pas différentiable en $0$ (la différentielle devrait être $v \mapsto D_v$ ).

Exercice 15.3 ★

Trouver et classifier les points critiques de $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ à l’aide du Théorème 15.11, et de $g(x,y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2$ .

Solution

Solution de Exercice 15.3.

$f = x^3 + y^3 - 3xy$ : points critiques $(0,0)$ et $(1,1)$ (calcul de Licence 1). Hessiennes : $H = \begin{pmatrix} 6x & -3\\ -3 & 6y\end{pmatrix}$ . En $(0,0)$ : signes propres mixtes ( $\det = -9 < 0$ ) : point col. En $(1,1)$ : $\det = 27 > 0$ , trace $> 0$ : définie positive, minimum local strict — désormais justifié par le Théorème 15.11 plutôt que décrété.

$g = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2$ : $\nabla g = (4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 + 4(x-y))$ ; points critiques $(0,0)$ , $(\sqrt2, -\sqrt2)$ , $(-\sqrt2, \sqrt2)$ (Licence 1). En $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$ : $H = \begin{pmatrix} 12\cdot2 - 4 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix}$ : définie positive (à diagonale dominante ; valeurs propres $24, 16$ ) : minima locaux stricts. En $(0,0)$ : $H = \begin{pmatrix} -4 & 4\\ 4 & -4\end{pmatrix}$ , singulière semi-définie négative : le test est muet ; l’étude directionnelle ( $g(x,x) = 2x^4 > 0$ , $g(x,-x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ pour $x$ petit) montre un point de type col — pas d’extremum.

Exercice 15.4 ★★

Soit $f \colon \R^n \to \R$ de classe $C^1$ et homogène de degré $p$ : $f(tx) = t^pf(x)$ pour $t > 0$ . Démontrer l’identité d’Euler

\langle \nabla f(x), x\rangle = p\,f(x) ,

et sa réciproque pour les fonctions $C^1$ sur $\R^n\setminus\{0\}$ .

Solution

Solution de Exercice 15.4.

Dériver $t \mapsto f(tx)$ en $t = 1$ : par la règle de la chaîne, $\langle \nabla f(x), x\rangle$ ; par homogénéité la même fonction vaut $t^pf(x)$ , de dérivée $pf(x)$ en $t = 1$ : l’identité d’Euler.

Réciproque : fixer $x \neq 0$ et poser $\varphi(t) = f(tx) - t^p f(x)$ sur $t > 0$ . Alors $\varphi'(t) = \langle\nabla f(tx), x\rangle - pt^{p-1}f(x) = \frac1t\bigl(\langle \nabla f(tx), tx\rangle - p\,t^pf(x)\bigr)$ . L’hypothèse — l’identité d’Euler au point $tx$ — évalue le crochet à $p\,f(tx) - p\,t^pf(x) = p\,\varphi(t)$ . Donc $\varphi' = \frac{p}{t}\varphi$ avec $\varphi(1) = 0$ : l’unique solution de cette EDO linéaire est $\varphi \equiv 0$ (unicité de Licence 1), c.-à-d. $f(tx) = t^pf(x)$ .

Exercice 15.5 ★★

Soit $A$ symétrique et $f(x) = \frac12\langle Ax, x\rangle - \langle b, x\rangle$ . Calculer $\nabla f$ et $H_f$ ; quand $f$ est-elle convexe ? En supposant $A$ définie positive, montrer que $f$ a un unique minimum global au point solution de $Ax = b$ — la raison d’être de la descente de gradient.

Solution

Solution de Exercice 15.5.

En développant $f(x + h) - f(x) = \langle Ax - b, h\rangle + \frac12\langle Ah, h\rangle$ (symétrie de $A$ ) : $\nabla f(x) = Ax - b$ et $H_f = A$ partout. $f$ est convexe si et seulement si $A$ est semi-définie positive (le test de la hessienne, global ici puisque $H$ est constante : la formule de Taylor du second ordre est exacte). Si $A$ est définie positive : l’unique point critique est $x^* = A^{-1}b$ , et $f(x^* + h) - f(x^*) = \frac12\langle Ah, h\rangle \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 > 0$ pour $h \neq 0$ : minimum global strict.

Exercice 15.6 ★★

(Multiplicateur de Lagrange, une contrainte, démontré à la main) Soit $f, g$ de classe $C^1$ sur $\R^2$ , et supposons que $f$ atteint, en $a$ , un extremum local sur l’ensemble de niveau $\{g = 0\}$ , avec $\nabla g(a) \neq 0$ . Démontrer que $\nabla f(a) = \lambda\nabla g(a)$ pour un certain $\lambda$ . (Paramétrer l’ensemble de niveau près de $a$ par le théorème des fonctions implicites et dériver $t \mapsto f(\gamma(t))$ .) Application : extrema de $f(x,y) = xy$ sur le cercle $x^2 + y^2 = 1$ .

Solution

Solution de Exercice 15.6.

Puisque $\nabla g(a) \neq 0$ , une dérivée partielle, disons $\frac{\partial g}{\partial y}(a) \neq 0$ : le théorème des fonctions implicites (le compagnon du Théorème 15.14) paramétrise $\{g = 0\}$ près de $a = (a_1, a_2)$ par $\gamma(t) = (t, y(t))$ avec $y$ $C^1$ , $y'(t) = -\frac{\partial_x g}{\partial_y g}(\gamma(t))$ (dériver $g(t, y(t)) = 0$ ). La fonction à une variable $t \mapsto f(\gamma(t))$ a un extremum local en $t = a_1$ :

0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\Big|_{a_1} = \partial_x f(a) + \partial_y f(a)\,y'(a_1) = \partial_x f(a) - \partial_yf(a)\frac{\partial_x g(a)}{\partial_y g(a)} :

les vecteurs $\nabla f(a)$ et $\nabla g(a)$ ont des coordonnées proportionnelles : $\nabla f(a) = \lambda \nabla g(a)$ avec $\lambda = \frac{\partial_y f(a)}{\partial_y g(a)}$ .

Application : sur le cercle, $\nabla(xy) = (y, x)$ parallèle à $(2x, 2y)$ force $y^2 = x^2$ ; avec la contrainte, les candidats sont $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (valeur $\frac12$ ) et $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, -\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (valeur $-\frac12$ ) : max $\frac12$ , min $-\frac12$ (atteints : le cercle est compact).

Exercice 15.7 ★★

Déterminer les extrema de $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy + x - y$ sur $\R^2$ , puis son maximum et son minimum sur le triangle fermé de sommets $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ (points critiques intérieurs, puis les trois arêtes, puis les sommets).

Solution

Solution de Exercice 15.7.

$\nabla f = (2x - y + 1,\; 2y - x - 1) = 0$ : en résolvant, $x = -\frac13$ , $y = \frac13$ . Hessienne $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$ , définie positive : minimum global de la quadratique $f$ , valeur $f\bigl(-\frac13, \frac13\bigr) = -\frac13$ .

Sur le triangle $T$ : le point critique intérieur $(-\frac13, \frac13) \notin T$ ( $x$ négatif). Arêtes : sur $y = 0$ , $x \in \intcc{0}{1}$ : $f = x^2 + x$ , croissante : extrêmes $0$ et $2$ . Sur $x = 0$ : $f = y^2 - y$ , minimum $-\frac14$ en $y = \frac12$ , valeurs $0$ et $0$ aux extrémités. Sur $x + y = 1$ : substituer $y = 1 - x$ , $f = x^2 + (1-x)^2 - x(1-x) + x - (1-x) = 3x^2 - x$ ; sur $\intcc{0}{1}$ : minimum $-\frac{1}{12}$ en $x = \frac16$ , valeurs $0$ (en $x=0$ ) et $2$ (en $x=1$ ). Sommets : $f(0,0) = 0$ , $f(1,0) = 2$ , $f(0,1) = 0$ . Global sur $T$ : minimum $-\frac14$ en $(0, \frac12)$ , maximum $2$ en $(1, 0)$ .

Exercice 15.8 ★★★

Soit $f \colon \R^2 \to \R^2$ , $f(x, y) = (x + y^2,\; y + x^2)$ . Montrer que $f$ est un difféomorphisme local près de $0$ , calculer $\dd(f^{-1})_{(0,0)}$ , et trouver le plus grand $r$ tel que $\dd f$ soit inversible sur la boule $\norm{(x,y)}_2 < r$ (calculer $\det J_f$ ).

Solution

Solution de Exercice 15.8.

$J_f = \begin{pmatrix} 1 & 2y\\ 2x & 1\end{pmatrix}$ , $\det J_f = 1 - 4xy$ . En $0$ : $\det = 1 \neq 0$ : difféomorphisme local (Théorème 15.14), avec

\dd(f^{-1})_{(0,0)} = (J_f(0))^{-1} = I_2 .

Inversibilité sur une boule : il faut $4\abs{xy} < 1$ partout ; sur $\norm{(x,y)}_2 < r$ , $\abs{xy} \leq \frac{x^2 + y^2}{2} < \frac{r^2}{2}$ , donc $r = \frac{1}{\sqrt2}$ convient ; et c’est le plus grand : en $(x, y) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr)$ , de norme $\frac{1}{\sqrt2}$ , $\det J_f = 0$ .

Exercice 15.9 ★★★

(Rolle échoue, les accroissements finis survivent) Donner $f \colon \R \to \R^2$ , $C^1$ , avec $f(0) = f(2\pi)$ mais $f'(t) \neq 0$ pour tout $t$ (pas de Rolle à valeurs vectorielles). Puis vérifier sur votre exemple l’inégalité des accroissements finis du Théorème 15.5.

Solution

Solution de Exercice 15.9.

$f(t) = (\cos t, \sin t)$ : $f(0) = f(2\pi) = (1, 0)$ , pourtant $f'(t) = (-\sin t, \cos t)$ est de norme $1$ , jamais nulle : aucun point où la dérivée s’annule — Rolle n’a pas d’analogue vectoriel. L’inégalité des accroissements finis tient largement : $\norm{f(2\pi) - f(0)} = 0 \leq 2\pi \cdot \sup\norm{f'} = 2\pi$ .

Exercice 15.10 ★

Calculer la différentielle et le gradient de $f(x) = \norm x_2^2$ et de $g(x) = \langle Ax, x\rangle$ sur $\R^n$ ( $A$ une matrice carrée, non supposée symétrique), et la hessienne de chacune. Pour quels $A$ la fonction $g$ est-elle convexe ?

Solution

Solution de Exercice 15.10.

$f(x+h) - f(x) = 2\langle x, h\rangle + \norm h^2$ : $\dd f_x = 2\langle x, \cdot\rangle$ , $\nabla f(x) = 2x$ , hessienne $2I$ (constante). Pour $g$ :

g(x + h) - g(x) = \langle Ax, h\rangle + \langle Ah, x\rangle + \langle Ah, h\rangle = \bigl\langle (A + A^{\mathsf T})x,\ h\bigr\rangle + O(\norm h^2),

donc $\nabla g(x) = (A + A^{\mathsf T})x$ et $H_g = A + A^{\mathsf T}$ , constante. D’après l’Exercice 15.11, $g$ est convexe si et seulement si $A + A^{\mathsf T}$ est semi-définie positive — seule la partie symétrique de $A$ compte, comme en effet $g(x) = \langle \frac{A + A^{\mathsf T}}2 x, x\rangle$ .

Exercice 15.11 ★★

Soit $f \colon \R^n \to \R$ de classe $C^2$ . Démontrer que $f$ est convexe si et seulement si sa hessienne $H_x$ est semi-définie positive en tout $x$ (se ramener à une variable : $t \mapsto f(a + t(b-a))$ ; utiliser Taylor–Lagrange dans une direction, et pour la réciproque évaluer $\varphi''$ ).

Solution

Solution de Exercice 15.11.

$f$ est convexe si et seulement si sa restriction à tout segment est convexe, c.-à-d. si et seulement si tout $\varphi(t) = f(a + tv)$ est convexe. Par la règle de la chaîne $\varphi''(t) = \langle H_{a+tv}\,v,\ v\rangle$ .

Si toutes les hessiennes sont semi-définies positives : $\varphi'' \geq 0$ , donc chaque $\varphi$ est convexe (volume de Licence 1) et $f$ est convexe. Réciproquement si $f$ est convexe, chaque $\varphi$ est convexe, donc $\varphi''(0) \geq 0$ : $\langle H_a v, v\rangle \geq 0$ pour tout $a$ et toute direction $v$ : toutes les hessiennes sont semi-définies positives.

Exercice 15.12 ★★★

(Un théorème d’inversion globale) Soit $g \colon \R^n \to \R^n$ de classe $C^1$ avec $\vertiii{\dd g_x} \leq k < 1$ pour tout $x$ , et $f = \mathrm{id} + g$ .

Montrer $\norm{f(x) - f(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y}$ : $f$ est injective, de réciproque continue sur son image.
Montrer que pour chaque $y \in \R^n$ l’application $x \mapsto y - g(x)$ est une contraction de l’espace complet $\R^n$ , et conclure par le théorème du point fixe de Banach (Théorème 4.12) que $f$ est surjective.
Conclure que $f$ est une bijection de $\R^n$ de réciproque $(1-k)^{-1}$ -lipschitzienne — un pendant global du Théorème 15.14 (qui, par contraste, est purement local).

Solution

Solution de Exercice 15.12.

Par l’inégalité des accroissements finis (Théorème 15.5) appliquée à $g$ : $\norm{g(x) - g(y)} \leq k\norm{x-y}$ , donc

$\norm{f(x) - f(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} :$

$f$ est injective et $f^{-1}$ (défini sur l’image) est $\frac{1}{1-k}$ -lipschitzien.
Fixer $y$ ; $T(x) = y - g(x)$ vérifie $\norm{T(x) - T(x')} = \norm{g(x') - g(x)} \leq k\norm{x - x'}$ : une contraction de l’espace complet $\R^n$ . Banach (Théorème 4.12) donne un point fixe $x^* = y - g(x^*)$ , c.-à-d. $f(x^*) = y$ : $f$ est surjective.
$f$ est ainsi une bijection de $\R^n$ de réciproque $\frac{1}{1-k}$ -lipschitzienne : un théorème d’inversion globale, où la petitesse de $\dd g$ partout remplace l’hypothèse d’inversibilité locale du Théorème 15.14.

15.5 Problème : Le calcul des matrices — Jacobi, exponentielle, et le groupe orthogonal

Problème 15.1

Le terrain de jeu le plus propre du calcul différentiel est l’espace $\mathcal M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ lui-même : ses applications les plus naturelles — produit, inverse, déterminant, exponentielle — ont des différentielles d’une élégance frappante. Ce problème les calcule toutes : la série de Neumann, la différentielle de l’inverse, la formule de Jacobi pour le déterminant avec la formule de Liouville en dividende, l’exponentielle de matrice avec $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ , et enfin le groupe orthogonal $O_n$ comme ensemble de niveau lisse avec les matrices antisymétriques comme espace tangent — de la géométrie différentielle en germe. Dans tout ce qui suit, $\vertiii\cdot$ est la norme d’opérateur subordonnée à $\norm\cdot_2$ , et $\langle X, Y\rangle = \operatorname{tr}(X^{\mathsf T}Y)$ le produit scalaire de Frobenius.

Partie I — La série de Neumann.

Démontrer la sous-multiplicativité, $\vertiii{AB} \leq \vertiii A\,\vertiii B$ , et en déduire que les applications polynomiales de $A$ (produits de matrices, déterminant, trace) sont continues sur $\mathcal M_n(\R)$ .
Pour $\vertiii X < 1$ , montrer que $\sum_{k\geq0}X^k$ converge absolument dans $\mathcal M_n(\R)$ (Théorème 5.21), que sa somme est $(I - X)^{-1}$ , et que

$\vertiii{(I - X)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii X}, \qquad (I - X)^{-1} = I + X + O\bigl(\vertiii X^2\bigr) .$
En déduire que $GL_n(\R)$ est ouvert : si $A$ est inversible et $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ , alors $A + H$ est inversible. En déduire aussi que $GL_n(\R)$ est dense dans $\mathcal M_n(\R)$ (perturber $A$ par $\varepsilon I$ : $\det(A + \varepsilon I)$ est un polynôme non nul en $\varepsilon$ ).
Montrer que l’application d’inversion $\Phi(A) = A^{-1}$ est continue sur $GL_n(\R)$ .

Partie II — Premières différentielles.

Montrer que l’application de mise au carré $A \mapsto A^2$ est différentiable de différentielle $H \mapsto AH + HA$ , et plus généralement que $A \mapsto A^k$ a pour différentielle $H \mapsto \sum_{i=0}^{k-1} A^iHA^{k-1-i}$ . Pourquoi ne peut-on pas écrire $kA^{k-1}H$ en général ?
Démontrer que $\Phi(A) = A^{-1}$ est différentiable sur $GL_n(\R)$ avec

$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$

(écrire $(A + H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}$ et développer par la question 2). Vérifier la formule sur le cas scalaire $n = 1$ .
Pour une courbe $C^1$ $t \mapsto A(t) \in GL_n(\R)$ , en déduire $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = -A^{-1}A'A^{-1}$ , et développer $t \mapsto (I + tB)^{-1}$ à l’ordre 1 en $t = 0$ .
Calculer la différentielle de $f(A) = \operatorname{tr}(A^k)$ et identifier son gradient pour le produit scalaire de Frobenius :

$\dd f_A(H) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr), \qquad \nabla f(A) = k\,\bigl(A^{k-1}\bigr)^{\mathsf T} .$
Mêmes questions pour $f(A) = \operatorname{tr} (A^{\mathsf T}A) = \norm A_F^2$ : différentielle, gradient, et la hessienne (constante) ; conclure que $\norm\cdot_F^2$ est strictement convexe.

Partie III — La formule de Jacobi.

Démontrer

$\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H + O\bigl(\vertiii H^2\bigr)$

(développer $\det(e_1 + h_1, \dots, e_n + h_n)$ par multilinéarité en les colonnes : les termes ayant au moins deux colonnes $h$ sont des $O(\vertiii H^2)$ ) : $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ .
Pour $A$ inversible, en déduire

$\dd(\det)_A(H) = \det(A)\, \operatorname{tr}\bigl(A^{-1}H\bigr) .$
Montrer que pour toute matrice $A$ (inversible ou non), $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}}(A) = C_{ij}$ , le cofacteur d’indice $(i,j)$ (développement de Laplace selon la ligne $i$ ), de sorte qu’avec la comatrice transposée $\operatorname{adj}A = \operatorname{com}(A)^{\mathsf T}$ :

$\dd(\det)_A(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)\,H\bigr), \qquad \nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) ,$

retrouvant la question 11 lorsque $A$ est inversible ( $\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$ ). C’est la formule de Jacobi : $\bigl(\det A(t)\bigr)' = \operatorname{tr}\bigl( \operatorname{adj}(A(t))\,A'(t)\bigr)$ .
(Formule de Liouville) Soit $A(t)$ une courbe $C^1$ de matrices satisfaisant l’équation différentielle linéaire $A'(t) = M(t)A(t)$ . Démontrer

$\bigl(\det A(t)\bigr)' = \operatorname{tr}\bigl(M(t)\bigr)\,\det A(t), \qquad\text{d'où}\qquad \det A(t) = \det A(0)\, \exp\Bigl(\int_0^t\operatorname{tr}M\Bigr)$

(utiliser $\operatorname{adj}(A)\,A = \det(A)I$ et l’invariance cyclique de la trace) — l’identité du wronskien que le chapitre sur les équations différentielles utilisera constamment.
Montrer que $SL_n(\R) = \{\det = 1\}$ est un ensemble de niveau lisse : en tout $A \in SL_n(\R)$ la différentielle $\dd(\det)_A$ est une application linéaire surjective sur $\R$ (l’évaluer en $H = \frac1nA$ ).

Partie IV — L’exponentielle de matrice.

Montrer que $\eu^A = \sum_{k\geq0}\frac{A^k}{k!}$ converge absolument pour toute matrice $A$ , normalement sur toute boule, avec $\vertiii{\eu^A} \leq \eu^{\vertiii A}$ ; et que $\eu^A$ dépend continûment de $A$ .
Démontrer que $AB = BA$ implique $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ (produit de Cauchy, légitime par convergence absolue) ; en déduire que $\eu^A$ est toujours inversible, d’inverse $\eu^{-A}$ : $\exp$ envoie $\mathcal M_n(\R)$ dans $GL_n(\R)$ .
Montrer que $t \mapsto \eu^{tA}$ est $C^1$ (et même $C^\infty$ ) avec

$\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} = \eu^{tA}A$

(dériver la série terme à terme sur les segments : la série dérivée converge normalement).
Démontrer l’identité

$\det\bigl(\eu^{A}\bigr) = \eu^{\operatorname{tr}A}$

(appliquer la formule de Liouville, question 13, à $A(t) = \eu^{tA}$ ). Vérifications de bon sens : $n = 1$ ; $A$ nilpotente ; et les matrices de trace nulle atterrissent dans $SL_n(\R)$ .
Montrer $\eu^H = I + H + O(\vertiii H^2)$ , donc $\exp$ est différentiable en $0$ avec $\dd(\exp)_0 = \mathrm{id}$ ; conclure avec le théorème d’inversion locale (Théorème 15.14) que $\exp$ est un difféomorphisme $C^1$ d’un voisinage de $0$ sur un voisinage de $I$ : toute matrice proche de l’identité a un logarithme.
Montrer que $\exp$ envoie les matrices symétriques sur les matrices symétriques définies positives, de façon bijective (diagonaliser ; l’inverse est le logarithme spectral).

Partie V — Le groupe orthogonal comme ensemble de niveau.

Soit $F(A) = A^{\mathsf T}A$ , de $\mathcal M_n(\R)$ vers les matrices symétriques $S_n$ . Calculer $\dd F_A(H) = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ et montrer qu’en tout $A \in O_n = F^{-1}(I)$ cette différentielle est surjective sur $S_n$ (étant donné $S \in S_n$ , essayer $H = \frac12 AS$ ) : $O_n$ est un ensemble de niveau lisse, de dimension $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ .
Montrer que toute courbe $C^1$ $A(t) \in O_n$ avec $A(0) = I$ a une vitesse $A'(0)$ antisymétrique, et réciproquement que pour $K$ antisymétrique la courbe $\eu^{tK}$ reste dans $O_n$ : l’espace tangent de $O_n$ en $I$ est exactement les matrices antisymétriques.
Montrer $\det\eu^{K} = 1$ pour $K$ antisymétrique (question 18) : la courbe exponentielle vit dans le groupe des rotations $SO_n$ . La calculer complètement pour $n = 2$ : avec $J = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ , démontrer

$\eu^{\theta J} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} :$

l’exponentielle de matrice est la rotation d’angle $\theta$ , et les définitions en série du cosinus et du sinus réapparaissent à l’intérieur d’une matrice.
(L’astuce de densité) En utilisant la densité de $GL_n(\R)$ (question 3) et la continuité, étendre des matrices inversibles à toutes les matrices l’identité

$\operatorname{adj}(AB) = \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$

(pour $A, B$ inversibles les deux membres valent $\det(AB)(AB)^{-1}$ ; les deux membres sont polynomiaux en les coefficients).
Synthèse. En une phrase chacune : (i) quels chapitres antérieurs ont fourni le moteur de chaque Partie (complétude et algèbres normées ; le théorème spectral ; le théorème d’inversion locale) ; (ii) quelle formule de ce problème le chapitre sur les équations différentielles exploitera, et où ; (iii) ce que $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ et $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ disent de la trace et du déterminant comme « volume infinitésimal et global » ; (iv) ce que le volume de Licence 3 fait des questions 21–23 (groupes de Lie et leurs algèbres de Lie).

Solution

Solution de Problème 15.1.

1. $\norm{ABx} \leq \vertiii A\norm{Bx} \leq \vertiii A\vertiii B\norm x$ : prendre le sup sur $\norm x = 1$ . Les produits de matrices, $\det$ et $\operatorname{tr}$ sont des fonctions polynomiales des coefficients, donc continues ( $\mathcal M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ , toutes les normes équivalentes : Théorème 5.13).

2. $\sum\vertiii{X^k} \leq \sum\vertiii X^k < \infty$ : la série converge absolument, donc converge (Théorème 5.21). De $(I - X)\sum_{k\leq N}X^k = I - X^{N+1} \to I$ : la somme est $(I - X)^{-1}$ . Norme : $\leq \sum\vertiii X^k = \frac{1}{1 - \vertiii X}$ ; et

(I - X)^{-1} - I - X = \sum_{k\geq2}X^k = X^2(I - X)^{-1}, \qquad \vertiii{X^2(I-X)^{-1}} \leq \frac{\vertiii X^2}{1 - \vertiii X} = O(\vertiii X^2).

3. $A + H = A(I + A^{-1}H)$ avec $\vertiii{A^{-1}H} \leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$ : inversible par la question 2 : la boule ouverte de rayon $\vertiii{A^{-1}}^{-1}$ autour de $A$ est incluse dans $GL_n(\R)$ . Densité : $\det(A + \varepsilon I)$ est un polynôme de degré $n$ en $\varepsilon$ de coefficient dominant $1$ : il a un nombre fini de racines, donc il existe $\varepsilon_k \to 0$ tels que $A + \varepsilon_kI$ soit inversible, convergeant vers $A$ .

4. Pour $\vertiii H < \frac{1}{2\vertiii{A^{-1}}}$ :

(A + H)^{-1} - A^{-1} = \bigl[(I + A^{-1}H)^{-1} - I\bigr]A^{-1},

de norme au plus $\frac{\vertiii{A^{-1}H}}{1 - \vertiii{A^{-1}H}}\,\vertiii{A^{-1}} \leq 2\vertiii{A^{-1}}^2\vertiii H \to 0$ : $\Phi$ est continue en tout $A \in GL_n(\R)$ .

5. $(A+H)^2 = A^2 + AH + HA + H^2$ : l’application $H \mapsto AH + HA$ est linéaire et l’erreur $H^2$ est un $O(\vertiii H^2)$ . En développant $(A + H)^k$ et en triant par le nombre de facteurs $H$ : la partie linéaire est $\sum_{i=0}^{k-1}A^iHA^{k-1-i}$ , et les termes à $\geq 2$ facteurs $H$ sont majorés par $\binom k2$ produits de norme $\leq \vertiii A^{k-2}\vertiii H^2$ : $O(\vertiii H^2)$ . On ne peut pas réduire la somme à $kA^{k-1}H$ car $H$ et $A$ ne commutent pas en général — la somme est la bonne dérivée non commutative.

6. Pour $H$ petit :

(A+H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1} = \bigl(I - A^{-1}H + O(\vertiii H^2)\bigr)A^{-1} = A^{-1} - A^{-1}HA^{-1} + O(\vertiii H^2) :

$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$ , linéaire en $H$ . Pour $n = 1$ : $\dd(1/a)(h) = -h/a^2$ , la dérivée familière.

7. Règle de la chaîne le long de la courbe : $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = \dd\Phi_{A(t)}(A'(t)) = -A(t)^{-1}A'(t)A(t)^{-1}$ . En $A(t) = I + tB$ , $t = 0$ : $(I + tB)^{-1} = I - tB + O(t^2)$ .

8. Par la question 5 et l’invariance cyclique de la trace :

\dd f_A(H) = \operatorname{tr}\Bigl(\sum_{i=0}^{k-1} A^iHA^{k-1-i}\Bigr) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr) .

Contre le produit de Frobenius, $\dd f_A(H) = \operatorname{tr}\bigl((\nabla f)^{\mathsf T}H\bigr)$ requiert $(\nabla f)^{\mathsf T} = kA^{k-1}$ : $\nabla f(A) = k\,(A^{k-1})^{\mathsf T}$ .

9. $f(A + H) - f(A) = 2\operatorname{tr} (A^{\mathsf T}H) + \operatorname{tr}(H^{\mathsf T}H)$ : la différentielle est $H \mapsto 2\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}H) = 2\langle A, H\rangle$ , donc $\nabla f(A) = 2A$ ; le terme du second ordre est exactement $\norm H_F^2$ : la hessienne est le double de la forme quadratique identité, définie positive et constante, donc $\norm\cdot_F^2$ est strictement convexe (la formule de Taylor est exacte ici).

10. Par multilinéarité en les colonnes, $\det(I + H) = \sum_{S\subseteq\{1,\dots,n\}}\det(M_S)$ où $M_S$ a pour colonne $h_j$ pour $j \in S$ et $e_j$ sinon. $S = \varnothing$ donne $1$ ; $S = \{j\}$ donne le déterminant de $I$ avec la colonne $j$ remplacée par $h_j$ , à savoir son $j$ -ème coefficient $h_{jj}$ , de somme $\operatorname{tr}H$ ; chaque terme à $\abs S \geq 2$ est un déterminant ayant au moins deux colonnes de taille $O(\vertiii H)$ , donc $O(\vertiii H^2)$ (les applications multilinéaires sur un espace de dimension finie sont bornées), et il y en a un nombre fini. Donc $\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H + O(\vertiii H^2)$ : $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ .

11. $\det(A + H) = \det A\,\det(I + A^{-1}H) = \det A\,\bigl(1 + \operatorname{tr}(A^{-1}H) + O(\vertiii H^2)\bigr)$ : la différentielle est $H \mapsto \det(A)\operatorname{tr}(A^{-1}H)$ .

12. Développement de Laplace selon la ligne $i$ : $\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}$ , et les cofacteurs $C_{ij}$ ne font pas intervenir la ligne $i$ : $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}} = C_{ij}$ . D’où

\dd(\det)_A(H) = \sum_{i,j}C_{ij}h_{ij} = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(A)^{\mathsf T} H\bigr) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)H\bigr), \qquad \nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) .

Pour $A$ inversible, $\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$ retrouve la question 11. Le long d’une courbe $C^1$ , la règle de la chaîne s’écrit $(\det A(t))' = \operatorname{tr}(\operatorname{adj} (A(t))\,A'(t))$ : la formule de Jacobi.

13. Avec $A' = MA$ et $\operatorname{adj}(A)A = \det(A)I$ :

(\det A)' = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)MA \bigr) = \operatorname{tr}\bigl(A\operatorname{adj}(A)M\bigr) = \det A\;\operatorname{tr}M

(cyclicité ; $A\operatorname{adj}A = \det(A) I$ également). L’EDO scalaire linéaire $y' = \operatorname{tr}(M(t))\,y$ a pour unique solution $y(t) = y(0)\exp\bigl(\int_0^t \operatorname{tr}M\bigr)$ (Licence 1) : la formule de Liouville.

14. En $A \in SL_n(\R)$ , prendre $H = \frac1nA$ : $\dd(\det)_A\bigl(\tfrac1nA\bigr) = \frac1n\det(A) \operatorname{tr}(A^{-1}A) = \frac1n\cdot1\cdot n = 1 \neq 0$ : la différentielle est une forme linéaire non nulle, donc surjective sur $\R$ en tout point de l’ensemble de niveau : $SL_n(\R)$ est un ensemble de niveau lisse (de dimension $n^2 - 1$ ).

15. $\sum_k\vertiii{A^k/k!} \leq \sum\vertiii A^k/k! = \eu^{\vertiii A}$ : convergence absolue (l’argument de complétude de la question 2), avec convergence normale sur toute boule $\vertiii A \leq R$ (majoration $R^k/k!$ indépendante de $A$ ). Chaque somme partielle est continue (polynomiale) ; la limite uniforme sur les boules est continue : $A \mapsto \eu^A$ est continue, avec $\vertiii{\eu^A} \leq \eu^{\vertiii A}$ .

16. Les deux séries convergent absolument, donc le produit de Cauchy est légitime (Théorème 7.14) :

\eu^A\eu^B = \sum_{n\geq0}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom nkA^kB^{n-k} = \sum_{n\geq0}\frac{(A+B)^n}{n!} = \eu^{A+B},

l’identité binomiale exigeant $AB = BA$ . Avec $B = -A$ : $\eu^A\eu^{-A} = \eu^0 = I$ : tout $\eu^A \in GL_n(\R)$ .

17. La série $\sum t^kA^k/k!$ et sa série dérivée $\sum t^{k-1}A^k/(k-1)! = A\sum t^{k-1}A^{k-1}/(k-1)!$ convergent normalement sur tout segment $\abs t \leq T$ (majorations $T^k\vertiii A^k/k!$ ) : le théorème de dérivation des séries (Théorème 10.11, appliqué coefficient par coefficient) donne $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ ; en factorisant $A$ à droite on obtient plutôt $\eu^{tA}A$ . En itérant : $C^\infty$ .

18. $A(t) = \eu^{tA}$ satisfait $A'(t) = A\,A(t)$ : la formule de Liouville (question 13) avec $M = A$ constant donne $\det\eu^{tA} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ (valeur $1$ en $t = 0$ ) ; en $t = 1$ , $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ . Vérifications : $n = 1$ est l’exponentielle elle-même ; une $A$ nilpotente a $\operatorname{tr}A = 0$ et $\eu^A$ unipotente de déterminant $1$ ; $\operatorname{tr}A = 0$ donne $\det\eu^A = 1$ : les matrices de trace nulle sont envoyées dans $SL_n(\R)$ .

19. $\eu^H - I - H = \sum_{k\geq2}H^k/k!$ , de norme $\leq \vertiii H^2\eu^{\vertiii H} = O(\vertiii H^2)$ : $\dd(\exp)_0 = \mathrm{id}$ , inversible. De plus $\exp$ est $C^1$ : par la question 5, le candidat différentiel $H \mapsto \sum_k\frac1{k!}\sum_iA^iHA^{k-1-i}$ est une série normalement convergente d’applications linéaires dépendant continûment de $A$ (majorations $\vertiii A^{k-1}/(k-1)!$ sur les boules), donc les dérivées partielles existent et sont continues (Théorème 15.2 et le théorème de transfert des séries). Le théorème d’inversion locale (Théorème 15.14) s’applique en $0$ : $\exp$ est un difféomorphisme $C^1$ d’un voisinage de $0$ sur un voisinage de $I$ — les matrices proches de $I$ ont des logarithmes.

20. Pour $S = PDP^{\mathsf T}$ symétrique (théorème spectral) : $\eu^S = P\eu^DP^{\mathsf T}$ est symétrique de valeurs propres $\eu^{\lambda_i} > 0$ : définie positive. Surjectivité : une $Q = P\operatorname{diag}(\mu_i)P^{\mathsf T}$ définie positive ( $\mu_i > 0$ ) est $\eu^S$ pour $S = P\operatorname{diag}(\ln\mu_i)P^{\mathsf T}$ . Injectivité : $\eu^S$ détermine ses sous-espaces propres, qui sont exactement ceux de $S$ (sur chaque sous-espace propre de $S$ pour $\lambda$ , $\eu^S$ agit comme $\eu^\lambda$ ; des $\lambda$ distincts donnent des $\eu^\lambda$ distincts), et prendre le $\ln$ des valeurs propres retrouve $S$ . Donc $\exp$ est une bijection des matrices symétriques sur les matrices définies positives.

21. $F(A + H) = A^{\mathsf T}A + A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A + H^{\mathsf T}H$ : $\dd F_A(H) = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ (à valeurs dans $S_n$ ; erreur $O(\vertiii H^2)$ ). En $A \in O_n$ et pour $S \in S_n$ , le choix $H = \frac12AS$ donne

A^{\mathsf T}\cdot\tfrac12AS + \tfrac12(AS)^{\mathsf T}A = \tfrac12 S + \tfrac12 S^{\mathsf T} = S :

surjective. $O_n = F^{-1}(I)$ est un ensemble de niveau lisse de dimension $n^2 - \dim S_n = \frac{n(n-1)}2$ .

22. En dérivant $A(t)^{\mathsf T}A(t) = I$ en $t = 0$ (avec $A(0) = I$ ) : $A'(0)^{\mathsf T} + A'(0) = 0$ : antisymétrique. Réciproquement, pour $K^{\mathsf T} = -K$ : $(\eu^{tK})^{\mathsf T}\eu^{tK} = \eu^{tK^{\mathsf T}} \eu^{tK} = \eu^{-tK}\eu^{tK} = I$ (transposer la série terme à terme ; les exposants commutent) : la courbe reste dans $O_n$ , de vitesse $K$ en $t = 0$ . Espace tangent en $I$ $=$ les matrices antisymétriques, de la dimension attendue $\frac{n(n-1)}2$ .

23. $\operatorname{tr}K = 0$ pour $K$ antisymétrique, donc $\det\eu^K = \eu^0 = 1$ (question 18) : l’exponentielle atterrit dans $SO_n$ . Pour $n = 2$ : $J^2 = -I$ , donc $J^{2m} = (-1)^mI$ , $J^{2m+1} = (-1)^mJ$ , et

\eu^{\theta J} = \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!}\Bigr)I + \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!}\Bigr)J = \cos\theta\,I + \sin\theta\,J ,

la rotation d’angle $\theta$ : les séries du sinus et du cosinus vivent à l’intérieur de l’exponentielle de matrice.

24. Pour $A, B$ inversibles : $\operatorname{adj}(AB) = \det(AB)(AB)^{-1} = \det(B)\det(A)B^{-1}A^{-1} = \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$ . Les deux membres de l’identité sont des applications polynomiales (donc continues) des coefficients de $(A, B)$ ; ils coïncident sur la partie dense $GL_n\times GL_n$ de $\mathcal M_n\times\mathcal M_n$ (question 3 : approcher chaque facteur), donc ils coïncident partout.

25. (i) La Partie I reposait sur la complétude des espaces normés de dimension finie (les séries absolument convergentes convergent), la Partie IV sur la même chose plus le théorème spectral pour la question 20, le logarithme local de la Partie V sur le théorème d’inversion locale. (ii) Le chapitre sur les équations différentielles s’appuie sur la formule de Liouville (question 13) pour le wronskien des systèmes linéaires, et sur $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ (question 17), qui est l’énoncé que $\eu^{tA}$ résout $X' = AX$ . (iii) $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ dit que la trace est le taux infinitésimal de variation de volume, et $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ intègre globalement cet énoncé. (iv) Le volume de Licence 3 nomme les structures : $O_n$ et $SL_n(\R)$ sont des groupes de Lie, leurs espaces tangents en $I$ (matrices antisymétriques et de trace nulle) sont des algèbres de Lie, et $\exp$ est le pont entre eux.