Qu'est-ce que « Tableau de signes » ? — Mathématiques

Définition 2.15 Mathématiques du lycée · Chapitre 2 — Algèbre : équations et inéquations

Un tableau de signes enregistre, une ligne par facteur, le signe ( $+$ ou $-$ ) de chaque facteur d’une expression lorsque $x$ parcourt $\R$ , avec un $0$ à chaque valeur où le facteur s’annule ; une dernière ligne donne le signe du produit, en appliquant la règle des signes colonne par colonne.

Le graphique de P(x) = (x-2)(3-x) confirme le tableau de signes : positif entre les racines 2 et 3, négatif à l’extérieur. — Le graphique de $P(x) = (x-2)(3-x)$ confirme le tableau de signes : positif entre les racines $2$ et $3$ , négatif à l’extérieur.

Exemples

Exemple 2.16

Signe de $P(x) = (x - 2)(3 - x)$ . Le facteur $x - 2$ s’annule en $2$ et est positif après ; le facteur $3 - x$ s’annule en $3$ et est positif avant :

$x$	$-\infty$	$2$		$3$	$+\infty$
$x - 2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$3 - x$	$+$		$+$	$0$	$-$
$P(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Donc $P(x) > 0$ exactement sur $\intoo{2}{3}$ , et $P(x) \leq 0$ sur $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

Exemple 2.18

Résoudre $\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$ . Le numérateur s’annule en $-1$ , le dénominateur en $3$ (valeur interdite). Le quotient est négatif lorsque les deux ont des signes opposés, ce qui arrive pour $x$ entre $-1$ et $3$ . En incluant la borne où le numérateur s’annule mais en excluant la valeur interdite : l’ensemble des solutions est $\intco{-1}{3}$ .

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