Physique universitaire — 3e année · Bachelor Year 3

2Mécanique hamiltonienne

Photographiez mille fois un pendule et portez, pour chaque cliché, son angle en fonction de son moment cinétique : les points se rangent sur une courbe fermée, et tout mouvement possible du pendule est une telle courbe — petites oscillations sur des ovales emboîtés, tours complets sur des lignes ondulées au-dessus et au-dessous, et entre les deux une unique courbe croisée qui sépare les deux régimes. Cette image, le portrait de phase, est le cœur de la reformulation que Hamilton donna de la mécanique en 1833 : l’état d’un système est un point dans l’espace des coordonnées et des moments, son évolution est un écoulement dans cet espace, et cet écoulement est engendré par une seule fonction, l’énergie, à travers deux équations du premier ordre d’une belle symétrie. Le gain n’est pas la facilité des calculs — Lagrange l’emporte le plus souvent — mais la bonne géométrie : l’écoulement conserve le volume dans l’espace des phases, ce qui fondera la physique statistique ; et son squelette algébrique, le crochet de Poisson, est exactement ce que la mécanique quantique promouvra en commutateur. Ce chapitre est la charnière entre la mécanique des objets et la physique du vingtième siècle.

2.1 De Lagrange à Hamilton

Définition 2.1 (Hamiltonien et équations canoniques)

Pour un système de lagrangien $L(q, \dot q, t)$ , exprimons les vitesses en fonction des moments $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ et définissons le hamiltonien comme la transformée de Legendre

H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,

fonction des coordonnées et des moments. L’espace de dimension $2n$ des $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ est l’espace des phases ; un seul de ses points — un état — détermine tout l’avenir et tout le passé du système par les équations canoniques du Théorème 2.2.

Théorème 2.2 (Équations de Hamilton)

Les équations d’Euler–Lagrange équivalent aux $2n$ équations du premier ordre

\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} , \qquad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} .

Démonstration. Différentions $H = \sum p_i\dot q_i - L$ comme fonction de $(q, p, t)$ : $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i + p_i\,\dd\dot q_i) - \sum( \partial_{q_i}L\,\dd q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\dd\dot q_i) - \partial_tL\,\dd t$ . Les termes en $\dd\dot q_i$ se compensent par la définition de $p_i$ — tout l’intérêt de la transformée de Legendre — et il reste $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i - \partial_{q_i}L\,\dd q_i) - \partial_tL\,\dd t$ . En lisant les dérivées partielles : $\partial H/\partial p_i = \dot q_i$ et $\partial H/\partial q_i = -\partial L/\partial q_i$ , qui vaut $-\dot p_i$ par Euler–Lagrange. (Et aussi $\partial_tH = -\partial_tL$ .) ∎

Proposition 2.3 (Ce qu’est $H$ )

$H$ coïncide avec la fonction énergie $h$ du chapitre précédent : le long d’un mouvement, $\dd H/\dd t = \partial H/\partial t$ , donc $H$ est conservé dès qu’il ne dépend pas explicitement du temps ; et lorsque l’énergie cinétique est quadratique en les vitesses avec des contraintes indépendantes du temps, $H = E_k + E_p$ , l’énergie mécanique — écrite désormais dans les variables $(q, p)$ .

Démonstration. $\dd H/\dd t = \sum(\partial_{q_i}H\,\dot q_i + \partial_{p_i}H\,\dot p_i) + \partial_tH = \sum(\partial_{q_i}H\,\partial_{p_i}H - \partial_{p_i}H\,\partial_{q_i}H) + \partial_tH = \partial_tH$ : la symétrie des équations canoniques annule identiquement la somme. L’identification à $E_k + E_p$ est Proposition 1.14. ∎

Exemple 2.4 (Deux hamiltoniens)

Masse sur un ressort : $p = m\dot x$ , donc

H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;

les équations canoniques $\dot x = p/m$ , $\dot p = -kx$ sont la paire familière. Pendule : $p = m\ell^2\dot\theta$ et

H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .

Dans les deux cas $H$ est l’énergie, constante sur chaque mouvement : les mouvements sont les courbes de niveau de $H$ dans le plan $(q,p)$ .

Méthode 2.5 (La recette hamiltonienne)

(1) À partir de $L$ , calculer les moments $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ et inverser pour les $\dot q_i$ . (2) $H = \sum p_i\dot q_i - L$ , exprimé en $(q, p)$ seulement — pour un système naturel, simplement $E_k + E_p$ avec $E_k$ réécrite en les moments. (3) Écrire les équations canoniques. (4) Tracer les courbes de niveau de $H$ : pour un degré de liberté ce sont les trajectoires, et tout le mouvement qualitatif — oscillations, rotations, équilibres, séparatrices — se lit sans rien résoudre.

2.2 L’espace des phases

Définition 2.6 (Portrait de phase, points fixes, séparatrice)

Le portrait de phase d’un système est la famille de ses trajectoires dans l’espace des phases. Un point fixe est un état où les deux équations canoniques s’annulent — un équilibre : un minimum du potentiel apparaît comme un centre entouré de courbes fermées, un maximum comme un col par lequel passe une séparatrice, la trajectoire qui partage l’espace des phases en régions de mouvements qualitativement différents.

Exemple 2.7 (Le portrait de phase du pendule)

Pour $H = p^2/2m\ell^2 - mg\ell\cos\theta$ : des ovales fermés autour de $(0, 0)$ — les librations, oscillations ordinaires ; des courbes ondulées à $|p|$ grand — les rotations, le pendule tournant par le haut ; et par les cols en $\theta = \pm\pi$ la séparatrice, d’énergie $E = +mg\ell$ , sur laquelle le pendule met un temps infini à atteindre le sommet. Un état sur la séparatrice est l’oscillation lancée exactement assez fort pour arriver à la position inversée sans la moindre marge.

Le portrait de phase du pendule : les courbes de niveau de H. Les ovales fermés (oscillations) tournent dans le sens horaire autour du centre ; au-dessus et au-dessous de la séparatrice, le pendule tourne. Les cols en ± 180 sont l’équilibre inversé. — Le portrait de phase du pendule : les courbes de niveau de $H$ . Les ovales fermés (oscillations) tournent dans le sens horaire autour du centre ; au-dessus et au-dessous de la séparatrice, le pendule tourne. Les cols en $\pm 180^\circ$ sont l’équilibre inversé.

Théorème 2.8 (Théorème de Liouville)

L’écoulement hamiltonien conserve le volume dans l’espace des phases : si une région d’états initiaux est entraînée par les équations canoniques, son volume (son aire, pour un degré de liberté) ne change jamais — quelle que soit la forme qu’elle prend.

Démonstration. L’écoulement dans l’espace des phases a pour champ de vitesse le couple $(\dot q_i, \dot p_i) = (\partial_{p_i}H, -\partial_{q_i}H)$ . Sa divergence vaut

\sum_i\Big(\frac{\partial\dot q_i}{\partial q_i} + \frac{\partial\dot p_i}{\partial p_i}\Big) = \sum_i\Big(\frac{\partial^2H}{\partial q_i\partial p_i} - \frac{\partial^2H}{\partial p_i\partial q_i}\Big) = 0 :

l’écoulement est incompressible, et un écoulement incompressible transporte les volumes sans les changer, comme pour les fluides du volume de deuxième année. (Le passage formel d’une divergence nulle à la conservation du volume est le théorème de transport démontré là.) ∎

Remarque 2.9 (Pourquoi Liouville compte)

Rien dans la formulation de Newton ne suggère qu’une quelconque grandeur soit incompressible. Dans l’image hamiltonienne c’est automatique — et c’est le permis de la physique statistique : lorsque nous décrivons un gaz de $10^{23}$ molécules par un nuage de points dans l’espace des phases, le théorème de Liouville dit que le nuage s’écoule comme un fluide incompressible, de sorte que le « nombre d’états dans un volume de l’espace des phases » est une grandeur que la dynamique elle-même ne peut ni créer ni détruire. Le postulat microcanonique de la physique statistique, plus loin dans ce volume, repose exactement là-dessus.

Le théorème de Liouville : l’écoulement déforme une région d’états initiaux — il la cisaille, il la fait tourner — mais son aire est exactement conservée.

2.3 Crochets de Poisson

Définition 2.10 (Crochet de Poisson)

Le crochet de Poisson de deux fonctions $f(q, p, t)$ et $g(q, p, t)$ sur l’espace des phases est

\{f, g\} = \sum_i\Big( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .

Il est antisymétrique, linéaire en chaque argument, vérifie la règle du produit $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$ , et satisfait pour les coordonnées elles-mêmes les relations canoniques

\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad \{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .

Théorème 2.11 (L’évolution comme crochet)

Le long de tout mouvement,

\frac{\dd f}{\dd t} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} .

En particulier, une grandeur sans dépendance explicite en temps est conservée si et seulement si son crochet avec le hamiltonien est nul ; et les équations canoniques elles-mêmes s’écrivent $\dot q_i = \{q_i, H\}$ , $\dot p_i = \{p_i, H\}$ : le hamiltonien engendre l’évolution temporelle.

Démonstration. Règle de dérivation composée et équations canoniques : $\dd f/\dd t = \sum( \partial_{q_i}f\,\dot q_i + \partial_{p_i}f\,\dot p_i) + \partial_tf = \sum(\partial_{q_i}f\,\partial_{p_i}H - \partial_{p_i}f\, \partial_{q_i}H) + \partial_tf$ . ∎

Exemple 2.12 (Crochets du moment cinétique)

Pour une particule, $L_z = xp_y - yp_x$ et ses compagnes par permutation circulaire. Un calcul direct à partir des relations canoniques donne

\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad \{L_y, L_z\} = L_x , \qquad \{L_z, L_x\} = L_y ,

et $\{L^2, L_z\} = 0$ : les composantes du moment cinétique ne « commutent » pas entre elles, mais chacune commute avec le carré total. Retenez la forme de ces relations — elles reviendront textuellement, comme commutateurs, en mécanique quantique, où elles dictent tout de la structure atomique.

Remarque 2.13 (La porte de la mécanique quantique)

Dirac observa en 1925 que toute la mécanique quantique s’obtient en gardant l’algèbre de la mécanique hamiltonienne et en remplaçant le crochet de Poisson par le commutateur des opérateurs divisé par $\iu\hbar$ : $\{q, p\} = 1$ devient $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ , la conservation reste « crochet avec $H$ nul », et l’évolution temporelle reste engendrée par le hamiltonien. La théorie classique porte, dans ses os, le squelette de la théorie quantique ; les chapitres de mécanique quantique rendront cette correspondance explicite.

2.4 Action et invariants adiabatiques

Définition 2.14 (Variable d’action)

Pour un système à un degré de liberté oscillant sur une trajectoire de phase fermée, la variable d’action est l’aire enclose divisée par $2\pi$ :

I = \frac{1}{2\pi}\oint p\,\dd q .

Proposition 2.15 (Action de l’oscillateur harmonique)

Pour $H = p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2q^2$ à l’énergie $E$ , la trajectoire est une ellipse de demi-axes $\sqrt{2E/m\omega^2}$ et $\sqrt{2mE}$ , d’aire $2\pi E/\omega$ : d’où

I = \frac{E}{\omega} , \qquad E = \omega I ,

et la fréquence d’oscillation vaut $\partial E/\partial I = \omega$ , comme il se doit.

Démonstration. Aire d’une ellipse, $\pi ab = \pi\sqrt{2E/m\omega^2}\sqrt{2mE} = 2\pi E/\omega$ . ∎

Proposition 2.16 (Invariance adiabatique)

Si l’on fait varier lentement un paramètre du système (une longueur, une raideur, un champ) — sur de nombreuses périodes d’oscillation —, l’énergie change, la fréquence change, mais l’action $I$ reste constante à une excellente approximation : $I$ est un invariant adiabatique. Pour l’oscillateur lentement modifié, $E/\omega$ est donc conservé : raidir lentement le ressort pour doubler $\omega$ et l’énergie double avec lui.

Démonstration partielle. Pour l’oscillateur de $\omega(t)$ lentement variable : sur une période, le travail fourni par le paramètre changeant se calcule par moyenne ; le calcul (guidé dans Exercice 2.11) donne $\dot E/E = \dot\omega/\omega$ , c’est-à-dire $\dd(E/\omega)/\dd t = 0$ à l’ordre dominant. L’énoncé général, pour tout système oscillant lentement déformé, est admis — c’est la raison pour laquelle les orbites planétaires survivent aux perturbations lentes, et le point de départ de l’« ancienne théorie des quanta » ci-dessous. ∎

Invariance adiabatique. À gauche : lorsque est lentement doublée, l’ellipse de phase change de forme à aire constante, donc E = I double. À droite : hisser le fil d’un pendule qui oscille lui injecte de l’énergie exactement dans la proportion qui maintient I = E/ fixe. — Invariance adiabatique. À gauche : lorsque $\omega$ est lentement doublée, l’ellipse de phase change de forme à aire constante, donc $E = \omega I$ double. À droite : hisser le fil d’un pendule qui oscille lui injecte de l’énergie exactement dans la proportion qui maintient $I = E/\omega$ fixe.

Remarque 2.17 (L’ancienne théorie des quanta)

Pourquoi les atomes ont-ils des énergies discrètes ? La première réponse quantitative (Bohr 1913, Sommerfeld 1915) fut écrite dans la langue de ce chapitre : parmi tous les mouvements classiques, la nature garde ceux dont l’intégrale d’action est un nombre entier de constantes de Planck,

\oint p\,\dd q = nh .

Appliquée à l’oscillateur harmonique, elle donne $E_n = n\hbar\omega$ (il n’y manque que la moitié du vrai $\big(n + \tfrac12\big)\hbar \omega$ ) ; appliquée à une particule dans une boîte elle donne exactement les niveaux du volume de deuxième année ; appliquée à l’atome d’hydrogène (Problème 2.1) elle donne le spectre mesuré à quatre chiffres. La règle était quantitativement juste et conceptuellement provisoire — et, l’action étant un invariant adiabatique, le nombre quantique $n$ ne change pas sous les perturbations lentes, ce qui explique qu’une telle règle ait pu fonctionner. La vraie théorie commence cinq chapitres plus loin.

Un pendule photographié au stroboscope : les positions se pressent près des points de rebroussement, où la masse s’attarde, et s’espacent en bas, où elle se hâte — une photographie du portrait de phase que ce chapitre trace avec des équations.

2.5 Exercices

Exercice 2.1 ★

Pour la masse sur un ressort : (a) construire $H$ à partir de $L$ et vérifier que $H = E_k + E_p$ ; (b) écrire les équations canoniques et vérifier qu’elles redonnent $\ddot x = -\omega^2x$ ; (c) montrer que les trajectoires sont des ellipses dans le plan $(x, p)$ et donner leurs demi-axes à l’énergie $E$ ; (d) en quel sens le point représentatif tourne-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 2.1.

(a) $p = m\dot x$ , $H = p\dot x - L = p^2/2m + \tfrac12 kx^2 = E_k + E_p$ . (b) $\dot x = p/m$ , $\dot p = -kx$ , d’où $\ddot x = -(k/m)x$ . (c) $H = E$ est l’ellipse $x^2/(2E/k) + p^2/(2mE) = 1$ : demi-axes $\sqrt{2E/k}$ et $\sqrt{2mE}$ . (d) Au point le plus à droite ( $x > 0$ , $p = 0$ ), $\dot p = -kx < 0$ : le point descend — dans le sens horaire, toujours.

Exercice 2.2 ★

La perle sur le cerceau tournant du chapitre précédent a pour $L = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta + mgR\cos\theta$ . (a) Calculer $p$ et $H$ . (b) $H$ est-il conservé ? Est-ce l’énergie mécanique ? (c) Tracer les courbes de niveau de $H$ pour $\omega^2 < g/R$ et $\omega^2 > g/R$ , à l’aide du potentiel effectif de ce chapitre. (d) Identifier les centres, les cols et les séparatrices dans le cas rapide.

Solution

Solution de Exercice 2.2.

(a) $p = mR^2\dot\theta$ ; $H = p^2/2mR^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2 \sin^2\theta - mgR\cos\theta = p^2/2mR^2 + U_{\text{eff}}(\theta)$ . (b) Conservé ( $H$ ne contient pas $t$ explicitement), mais c’est $h$ , non l’énergie mécanique : le travail du moteur y manque. (c) Les courbes de niveau sont $p = \pm\sqrt{2mR^2(H - U_{\text{eff}})}$ : pour une rotation lente, des ovales autour de $(0, 0)$ et une séparatrice passant par le col en $\theta = \pi$ ; pour une rotation rapide, deux familles d’ovales autour de $(\pm\theta_{\text{eq}}, 0)$ . (d) Cas rapide : centres en $\pm\theta_{\text{eq}}$ ; cols en $\theta = 0$ et $\theta = \pi$ ; par $\theta = 0$ passe une séparatrice en forme de huit entourant les deux centres (les petites oscillations franchissent le bas), et par $\pi$ la séparatrice extérieure, au-delà de laquelle la perle circule par le haut.

Exercice 2.3 ★

Une balle rebondit élastiquement sur le sol, $H = p^2/2m + mgz$ ( $z > 0$ ). (a) Tracer la trajectoire de phase d’un vol, puis du mouvement de rebond entier. (b) Que fait le rebond élastique au point représentatif ? (c) Calculer l’aire enclose pour une hauteur maximale $z_{\max}$ , ainsi que l’action $I$ . (d) La règle de Bohr–Sommerfeld $\oint p\,\dd z = nh$ appliquée à un neutron rebondissant ( $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) donne des hauteurs de rebond quantifiées : estimer la plus basse et comparer aux $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ mesurés dans l’expérience d’états quantiques gravitationnels de 2002.

Solution

Solution de Exercice 2.3.

(a) Un vol est l’arc $p = \pm\sqrt{2m^2g(z_{\max} - z)}$ — une parabole couchée, parcourue de $(0, +p_0)$ jusqu’à $(z_{\max}, 0)$ puis redescendue jusqu’à $(0, -p_0)$ . (b) Le rebond envoie $(0, -p_0)$ sur $(0, +p_0)$ : un segment vertical qui ferme la boucle. (c) $\oint p\,\dd z = 2\int_0^{z_{\max}}m\sqrt{2g(z_{\max} - z)}\,\dd z = \tfrac43 m\sqrt{2g}\,z_{\max}^{3/2}$ , et $I$ en est le quotient par $2\pi$ . (d) $z_n = \big[3nh/(4m\sqrt{2g})\big]^{2/3}$ : pour un neutron, $z_1 = (6.7 \times 10^{-8})^{2/3} = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ — le bon ordre : l’expérience de Grenoble a trouvé l’état quantique gravitationnel le plus bas vers $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (le traitement exact, avec les vraies fonctions d’onde, donne $14\,\text{µ}\mathrm{m}$ ).

Exercice 2.4 ★

À partir des seules relations canoniques, calculer (a) $\{x^2, p\}$ ; (b) $\{xp, H\}$ pour $H = p^2/2m + E_p(x)$ , et interpréter les deux termes (ce crochet gouverne le théorème du viriel) ; (c) $\{L_z, x\}$ et $\{L_z, p_x\}$ ; (d) montrer que si $\{f, H\} = 0$ et $\{g, H\} = 0$ alors $\{f, g\}$ est aussi conservé (utiliser l’identité de Jacobi, admise : $\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$ ).

Solution

Solution de Exercice 2.4.

(a) $\{x^2, p\} = 2x$ . (b) $\{xp, H\} = p^2/m - x\,E_p'(x) = 2E_k - x\,E_p'$ : sur un mouvement lié la moyenne temporelle de $\dd(xp)/\dd t$ est nulle, donc $\langle 2E_k\rangle = \langle x\,E_p'\rangle$ — le théorème du viriel (pour $E_p \propto x^2$ : $\langle E_k\rangle = \langle E_p\rangle$ ; pour $\propto -1/r$ : $2\langle E_k\rangle = -\langle E_p\rangle$ ). (c) $\{L_z, x\} = y$ , $\{L_z, p_x\} = p_y$ : $L_z$ engendre les rotations des positions comme des moments. (d) Jacobi avec $h = H$ : $\{\{f, g\}, H\} = -\{\{g, H\}, f\} - \{\{H, f\}, g\} = 0$ .

Exercice 2.5 ★★

Le pendule au voisinage de sa séparatrice. (a) Donner l’énergie de la séparatrice et le $|p|$ maximal sur celle-ci. (b) Montrer que sur la séparatrice $p = \pm 2m\ell^2\omega_0\cos(\theta/2)$ avec $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$ . (c) À l’aide de $\dot\theta = p/m\ell^2$ , montrer que le temps pour aller de $\theta$ au sommet diverge logarithmiquement. (d) Un pendule réel lâché juste au-dessous de la séparatrice reste un long moment près de la position inversée avant de repartir — relier cela à (c), et au ralentissement observé près de tout col.

Solution

Solution de Exercice 2.5.

(a) $E_{\text{sep}} = mg\ell$ (l’énergie de la position inversée au repos) ; maximum $|p| = 2m\ell^2\omega_0$ en bas. (b) À partir de $p^2/2m\ell^2 = mg\ell(1 + \cos\theta) = 2mg\ell\cos^2(\theta/2)$ . (c) $\dot\theta = 2\omega_0\cos(\theta/2)$ se sépare : $\omega_0t = \ln\tan(\theta/4 + \pi/4)$ , qui diverge quand $\theta \to \pi$ : le sommet est approché, jamais atteint. (d) Juste au-dessous de la séparatrice, le mouvement la longe : le pendule s’insinue au voisinage du col, s’y attarde — le logarithme — et finit par retomber ; tout col ralentit logarithmiquement les trajectoires, et c’est pourquoi un bâton mal équilibré semble hésiter avant de tomber.

Exercice 2.6 ★★

Une particule chargée dans un champ magnétique a pour $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m$ , où $\vect p$ est le moment conjugué du chapitre précédent. (a) Écrire les équations canoniques pour $\vect A = \tfrac12 B(-y, x, 0)$ et vérifier qu’elles donnent le mouvement cyclotron. (b) Montrer que $H = \tfrac12 m\vect v^{\,2}$ : le champ magnétique ne travaille pas. (c) Calculer le crochet des deux grandeurs conservées $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy$ et $\pi_y = p_y + \tfrac12 qBx$ (vérifier d’abord que chacune est conservée), et montrer que $\{\pi_x, \pi_y\} = -qB$ : deux grandeurs conservées dont le crochet est une constante. (d) Utiliser Exercice 2.4(d) pour expliquer pourquoi aucune troisième grandeur conservée indépendante n’était à en attendre.

Solution

Solution de Exercice 2.6.

(a) $\dot{\vect r} = (\vect p - q\vect A)/m$ et $\dot p_x = -\partial H/\partial x = (q/m)(\vect p - q\vect A)\cdot\partial_x\vect A$ , etc. ; en éliminant $\vect p$ on retrouve $m\ddot x = qB\dot y$ , $m\ddot y = -qB\dot x$ . (b) $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m = \tfrac12 m\vect v^{\,2}$ : l’énergie cinétique seule — constante, la force magnétique étant perpendiculaire à $\vect v$ . (c) Avec $m\dot x = p_x + \tfrac12 qBy$ : $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy = m\dot x - qBy$ , dont la conservation est la première équation du mouvement (de même pour $\pi_y$ ) ; dans le crochet, deux termes seulement survivent : $\{p_x, \tfrac12 qBx\} = -\tfrac12 qB$ et $\{-\tfrac12 qBy, p_y\} = -\tfrac12 qB$ , au total $-qB$ . ( $\pi_x/qB$ et $\pi_y/qB$ sont, au signe près, les coordonnées du centre guide du cercle.) (d) D’après Exercice 2.4(d), le crochet de deux grandeurs conservées est conservé — ici c’est la constante $-qB$ , conservée trivialement et qui n’apprend rien de neuf : aucune troisième grandeur n’apparaît.

Exercice 2.7 ★★

Liouville à la main. (a) Pour la particule libre, l’écoulement est $q \to q + pt/m$ , $p \to p$ : montrer qu’un rectangle devient un parallélogramme de même aire. (b) Pour l’oscillateur harmonique, montrer que l’écoulement est une rotation (en unités convenables) et conclure. (c) Pour l’oscillateur amorti $\ddot x = -\omega^2x - \gamma\dot x$ , écrire la divergence de l’écoulement dans le plan $(x, v)$ et montrer que les aires décroissent comme $\eu^{-\gamma t}$ : l’amortissement n’est pas hamiltonien. (d) Où passe physiquement l’aire perdue ?

Solution

Solution de Exercice 2.7.

(a) L’application $(q, p) \mapsto (q + pt/m, p)$ est un cisaillement : base et hauteur du rectangle sont inchangées, l’aire aussi (déterminant $1$ ). (b) Dans les variables $(x\sqrt{m\omega}, p/\sqrt{m\omega})$ l’écoulement est une rotation en bloc à la vitesse $\omega$ ; les rotations conservent l’aire, et le changement de variables a pour déterminant $1$ . (c) Le champ de vitesse $(v, -\omega^2x - \gamma v)$ a pour divergence $-\gamma$ : toute aire se contracte comme $\eu^{-\gamma t}$ , en spiralant vers l’origine — impossible pour un écoulement hamiltonien. (d) Elle passe dans les degrés de liberté ignorés : les molécules de l’air et les phonons du fil, dont le volume dans l’espace des phases croît au moins d’autant — le germe du second principe.

Exercice 2.8 ★★

Mouvement plan dans un potentiel central, $H = (p_r^2 + p_\varphi^2/r^2)/2m + E_p(r)$ . (a) Écrire les quatre équations canoniques. (b) Montrer que $\{ p_\varphi, H\} = 0$ et identifier la loi de conservation. (c) Ramener à un hamiltonien radial à une dimension avec un potentiel effectif. (d) Pour $E_p = -k/r$ , situer l’orbite circulaire à $p_\varphi$ donné et donner son énergie — à quantifier dans Problème 2.1.

Solution

Solution de Exercice 2.8.

(a) $\dot r = p_r/m$ , $\dot\varphi = p_\varphi/mr^2$ , $\dot p_r = p_\varphi^2/mr^3 - E_p'(r)$ , $\dot p_\varphi = 0$ . (b) $H$ ne contient pas $\varphi$ : $\{p_\varphi, H\} = -\partial H/\partial\varphi = 0$ ; c’est la conservation du moment cinétique. (c) $H_{\text{rad}} = p_r^2/2m + U_{\text{eff}}(r)$ avec $U_{\text{eff}} = p_\varphi^2/2mr^2 + E_p(r)$ . (d) $U_{\text{eff}}' = 0$ : $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/mk$ , et $E = U_{\text{eff}}(r_{\text{c}}) = -mk^2/2p_\varphi^2$ .

Exercice 2.9 ★★

(a) Vérifier $\{L_x, L_y\} = L_z$ à partir des relations canoniques. (b) En déduire les deux autres crochets par permutation circulaire. (c) Montrer que $\{L^2, L_z\} = 0$ . (d) Un solide tourne librement : en prenant $H = L^2/2J$ (inertie à symétrie sphérique), montrer que les trois $L_i$ sont conservés ; qu’en est-il d’un solide à moments d’inertie inégaux (répondre qualitativement à partir des crochets) ?

Solution

Solution de Exercice 2.9.

(a) $\{L_x, L_y\} = \{yp_z - zp_y,\ zp_x - xp_z\}$ : les seuls crochets canoniques non nuls donnent $yp_x\{p_z, z\} + xp_y\{z, p_z\} = -yp_x + xp_y = L_z$ . (b) La permutation circulaire $x \to y \to z \to x$ donne les deux autres. (c) $\{L^2, L_z\} = 2L_x\{L_x, L_z\} + 2L_y\{L_y, L_z\} = -2L_xL_y + 2L_yL_x = 0$ . (d) Pour $H = L^2/2J$ , chaque $\{L_i, H\} = 0$ : $\vect L$ est fixe. Avec $H = \sum L_i^2/2J_i$ et des $J_i$ inégaux : $\{L_x, H\} = L_yL_z(1/J_y - 1/J_z) \neq 0$ — seuls $L^2$ et $H$ survivent, et le solide culbute (le théorème de la raquette du chapitre sur le solide du volume de deuxième année vit ici).

Exercice 2.10 ★★★

Niveaux de l’ancienne théorie des quanta. (a) Montrer que $\oint p\,\dd q = nh$ appliquée à l’oscillateur harmonique donne $E_n = n\hbar\omega$ , à l’aide de Proposition 2.15. (b) L’appliquer à la particule dans une boîte de longueur $a$ et retrouver exactement $E_n = n^2h^2/8ma^2$ . (c) Pour une molécule diatomique modélisée par un oscillateur de raideur $k = 1.9 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ et de masse réduite $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ (monoxyde de carbone), calculer $\hbar\omega$ en eV et la longueur d’onde de l’émission $n = 1 \to 0$ ; dans quel domaine spectral tombe-t-elle ? (d) Les vrais niveaux valent $(n + \tfrac12)\hbar\omega$ : la moitié manquante change-t-elle les longueurs d’onde émises ? Quelle expérience détecte, elle, cette demi-quantité de point zéro ?

Solution

Solution de Exercice 2.10.

(a) $\oint p\,\dd q = 2\pi I = 2\pi E/\omega = nh$ donne $E_n = n\hbar\omega$ . (b) Aller et retour à $|p|$ constant : $2pa = nh$ , $p = nh/2a$ , $E = p^2/2m = n^2h^2/8ma^2$ — exactement le puits infini du volume de deuxième année. (c) $\omega = \sqrt{k/\mu} = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\hbar\omega = 4.3 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = hc/ \hbar\omega = 4.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ : infrarouge moyen (la bande fondamentale du CO, qui sert à tracer le gaz interstellaire). (d) Non : les différences de niveaux sont inchangées par la demi-quantité commune. L’énergie de point zéro se voit dans les comparaisons qui dépendent du niveau absolu — décalages isotopiques des énergies de dissociation (H $_2$ contre D $_2$ ), ou vibrations qui persistent au zéro absolu dans les cristaux.

Exercice 2.11 ★★★

Invariance adiabatique de $E/\omega$ , démontrée. Une masse sur un ressort dont la raideur $k(t)$ croît lentement. (a) Montrer que $\dot E = \tfrac12\dot k\, x^2$ le long du mouvement exact. (b) Moyenner sur une période à $k$ fixée : à l’aide de $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$ , montrer que $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$ . (c) Conclure $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k = \dd\ln \omega$ , d’où $E/\omega$ constant. (d) Un pendule oscillant avec l’amplitude $\theta_0 = 5^\circ$ voit son fil lentement raccourci de $1.0\,\mathrm{m}$ à $0.5\,\mathrm{m}$ : trouver la nouvelle amplitude et le facteur de croissance de son énergie, et dites d’où vient cette énergie.

Solution

Solution de Exercice 2.11.

(a) $E = p^2/2m + \tfrac12 k(t)x^2$ , donc le long d’un mouvement $\dot E = \partial E/\partial t = \tfrac12\dot kx^2$ . (b) Sur une période à $k$ pratiquement fixée, $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$ , donc $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$ . (c) $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k$ ; comme $\omega = \sqrt{k/m}$ , on a aussi $\dd\ln\omega = \tfrac12\dd\ln k$ : $E/\omega$ est invariant. (d) $\omega \propto \ell^{-1/2}$ croît de $\sqrt2$ , donc $E$ croît de $\sqrt2 \approx 1.41$ . Avec $E = \tfrac12 mg\ell\theta_0^2$ , $\theta_0 \propto \ell^{-3/4}$ : $\theta_0' = 5^\circ \times 2^{3/4} = 8.4^\circ$ . L’énergie est fournie par qui tire le fil : la tension dépasse $mg\cos\theta$ en moyenne (terme centrifuge), si bien que le hissage fournit un travail net positif.

Exercice 2.12 ★★★

L’aire intérieure à la séparatrice du pendule est un nombre d’états quantiques. (a) Montrer que $\oint p\,\dd\theta$ le long de la séparatrice vaut $16m\ell^2\omega_0$ . (b) Par la règle de Bohr–Sommerfeld, le nombre d’états quantiques d’énergie inférieure à celle de la séparatrice vaut $N \approx 16m\ell^2\omega_0/h$ : l’évaluer pour une masse d’un gramme au bout d’un fil de $10\,\mathrm{cm}$ . (c) L’évaluer pour un oscillateur moléculaire du genre de l’ammoniac : $m \sim 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , $\ell \sim 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ , $\omega_0 \sim 1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . (d) Conclure : où passe la frontière entre la mécanique qui a besoin de $\hbar$ et celle qui n’en a pas besoin ?

Solution

Solution de Exercice 2.12.

(a) $\oint p\,\dd\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}2m\ell^2\omega_0 \cos(\theta/2)\,\dd\theta = 4m\ell^2\omega_0\big[2\sin(\theta/2) \big]_{-\pi}^{\pi} = 16m\ell^2\omega_0$ . (b) $\omega_0 = 9.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $16 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 9.9 = 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , soit $N \approx 2.4 \times 10^{30}$ états : le grain quantique d’un pendule de laboratoire est trente ordres de grandeur sous tout observable. (c) $16 \times 10^{-26} \times 10^{-20} \times 10^{14} = 1.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , soit $N \approx 240$ : une libration moléculaire ne loge que quelques centaines d’états quantiques, et ses bas niveaux sont résolus un à un par la spectroscopie. (d) La frontière est là où les aires de phase du mouvement valent quelques $h$ : les molécules et au-dessous sont quantiques ; tout ce qui est visible est classique.

2.6 Problème : l’ancienne théorie des quanta et l’hydrogène

Problème 2.1

Problème du week-end — quantifier l’espace des phases, peser le Rydberg

En 1913 Bohr calcula le spectre de l’hydrogène à partir de la mécanique planétaire et d’une seule règle quantique ; Sommerfeld reconnut dans cette règle un énoncé sur l’aire dans l’espace des phases. Ce problème refait leur calcul avec les outils de ce chapitre. Données : $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . On pose $k = e^2/4\pi\varepsilon_0$ .

Partie I — Le hamiltonien de Kepler. Un électron se déplace dans le plan autour d’un proton fixe.

Justifier que l’on traite le proton comme fixe (rapport des masses), et écrire le hamiltonien $H = \dfrac{p_r^2}{2m_{\text{e}}} + \dfrac{p_\varphi^2}{2m_{\text{e}}r^2} - \dfrac{k}{r}$ .
Écrire les quatre équations canoniques.
Montrer que $p_\varphi$ est conservé et le nommer.
Ramener le mouvement radial au potentiel effectif $U_{\text{eff}}(r) = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$ et le tracer.
Situer l’orbite circulaire : $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$ .
Montrer que son énergie vaut $E = -k/2r_{\text{c}} = -m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$ , et vérifier que c’est la moitié de l’énergie potentielle (le rapport du viriel des orbites gravitationnelles du volume de première année).

Partie II — L’orbite classique.

Pour une orbite circulaire de rayon $r$ , trouver la vitesse $v$ et la fréquence orbitale $f_{\text{orb}}$ en fonction de $r$ .
Pour une orbite de taille atomique, $r = 0.05\,\mathrm{nm}$ : calculer $v$ (et $v/c$ ), $f_{\text{orb}}$ , et l’énergie en eV.
Calculer le moment cinétique $p_\varphi$ de cette orbite et le comparer à $\hbar = h/2\pi$ : que suggère cette proximité ?
Classiquement, un électron en orbite est un dipôle oscillant et rayonne (volume de deuxième année) à $f_{\text{orb}}$ ; son énergie décroît en $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ environ. Énoncer les deux prédictions fatales que cela donne pour les atomes, et ce que l’on observe à la place.
Quel trait des spectres observés (raies discrètes, règle de combinaison $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ ) suggérait des niveaux d’énergie discrets ?
Expliquer pourquoi un invariant adiabatique est le candidat naturel pour une grandeur prenant des valeurs universelles fixées (rappeler Proposition 2.16).

Partie III — La quantification. Imposons la règle de Sommerfeld au mouvement angulaire de l’orbite circulaire : $\oint p_\varphi\,\dd\varphi = nh$ , $n = 1, 2, 3, \dots$

Montrer que la règle s’écrit $p_\varphi = n\hbar$ .
En déduire les rayons permis $r_n = n^2a_0$ avec $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k$ , et calculer $a_0$ .
En déduire les énergies permises $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ avec $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2$ , et calculer $E_{\text{I}}$ en joules et en eV.
Calculer la vitesse sur la première orbite et vérifier que $v_1/c = k/\hbar c \approx 1/137$ (la constante de structure fine).
Un photon emporte l’énergie d’une transition : obtenir la formule de Rydberg et la valeur de $R_H = E_{\text{I}}/hc$ ; comparer à la valeur mesurée $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ .
Calculer les longueurs d’onde des transitions $2 \to 1$ , $3 \to 2$ et $\infty \to 2$ ; laquelle est visible, et de quelle couleur ?
L’ion hélium ionisé He $^+$ est un hydrogène de charge nucléaire $2e$ : comment $a_0$ et $E_{\text{I}}$ se transforment-ils, et où tombe sa raie $2 \to 1$ ?

Partie IV — La confrontation.

Calculer la fréquence orbitale $f_{\text{orb}}(n)$ et la fréquence de transition $\nu_{n \to n-1}$ pour $n = 2$ , $10$ , $100$ , et montrer que leur rapport tend vers $1$ quand $n$ croît.
C’est le principe de correspondance de Bohr : l’énoncer en une phrase.
La règle $p_\varphi = n\hbar$ commence à $n = 1$ : quelle absurdité $n = 0$ signifierait-il pour une orbite circulaire ?
La mécanique quantique gardera exactement $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ tout en rejetant les orbites : nommer deux faits mesurables que l’image des orbites décrit mal (valeur du moment cinétique de l’état fondamental ; existence d’états de même $n$ et de formes différentes).
Le muon est un électron $207$ fois plus lourd : pour l’hydrogène muonique, calculer $a_0^\mu$ et $E_{\text{I}}^\mu$ , et expliquer pourquoi les atomes muoniques sondent le noyau.
Résumer le résultat nommé : un invariant adiabatique, égalé à des nombres entiers de $h$ , donne $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ et le spectre de l’hydrogène à quatre chiffres — et remet à la vraie théorie ses deux constantes centrales.

Solution

Solution de Problème 2.1.

1. $m_{\text{p}}/m_{\text{e}} = 1836$ : le proton bouge 1836 fois moins ; $H$ est celui de l’énoncé, dans le plan de l’orbite. 2. $\dot r = p_r/m_{\text{e}}$ , $\dot\varphi = p_\varphi/m_{\text{e}}r^2$ , $\dot p_r = p_\varphi^2/m_{\text{e}}r^3 - k/r^2$ , $\dot p_\varphi = 0$ . 3. $\varphi$ est absent de $H$ : $p_\varphi$ , le moment cinétique, est conservé. 4. $U_{\text{eff}} = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$ : mur répulsif aux petits $r$ , queue coulombienne aux grands $r$ , un minimum entre les deux. 5. $U_{\text{eff}}' = 0$ en $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$ . 6. $E = k/2r_{\text{c}} - k/r_{\text{c}} = -k/2r_{\text{c}} = -m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$ ; $E_p = -k/r_{\text{c}} = 2E$ : le rapport du viriel de toute orbite circulaire en $1/r$ . 7. $m_{\text{e}}v^2/r = k/r^2$ : $v = \sqrt{k/m_{\text{e}}r}$ , $f_{\text{orb}} = v/2\pi r = (1/2\pi)\sqrt{k/m_{\text{e}}r^3}$ . 8. $k = 2.30 \times 10^{-28}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ : $v = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $v/c = 0.0075$ ), $f_{\text{orb}} = 7.2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ , $E = -k/2r = -2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -14\,\mathrm{eV}$ . 9. $p_\varphi = m_{\text{e}}vr = 1.0 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s} \approx \hbar$ : une orbite atomique porte un moment cinétique de l’ordre de $\hbar$ — la constante de Planck est inscrite dans la taille des atomes. 10. Tout atome devrait s’effondrer en $\sim10^{-11}\,\mathrm{s}$ , sa lumière balayant continûment vers les courtes longueurs d’onde. On observe : des atomes éternels, émettant des raies fines et fixes. 11. $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ écrit toute fréquence observée comme une différence de termes : l’énergie s’échange entre des niveaux fixes $-hcR_H/n^2$ . 12. Une grandeur fixée à des valeurs universelles ne doit pas dériver quand l’atome est doucement perturbé (champs, collisions, changements lents) ; un invariant adiabatique est précisément ce qui reste fixe sous perturbation lente — quantifions donc l’action. 13. $p_\varphi$ est constant sur l’orbite : $\oint p_\varphi\,\dd\varphi = 2\pi p_\varphi = nh$ , c’est-à-dire $p_\varphi = n\hbar$ . 14. $r_n = (n\hbar)^2/m_{\text{e}}k = n^2a_0$ , $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k = 5.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 52.9\,\mathrm{pm}$ . 15. $E_n = -m_{\text{e}}k^2/2n^2\hbar^2 = -E_{\text{I}}/n^2$ , $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2 = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = 13.6\,\mathrm{eV}$ . 16. $v_1 = k/\hbar = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_1/c = k/\hbar c = 1/137$ : la constante de structure fine $\alpha$ , qui mesure à quel point l’atome est non relativiste. 17. $h\nu = E_{n'} - E_n$ donne $1/\lambda = (E_{\text{I}}/hc)(1/n^2 - 1/n'^2)$ : $R_H = E_{\text{I}}/hc = 1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ , en accord avec la valeur mesurée $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ à la précision de nos constantes. 18. $2 \to 1$ : $122\,\mathrm{nm}$ (ultraviolet lointain, Lyman $\alpha$ ) ; $3 \to 2$ : $656\,\mathrm{nm}$ , la raie rouge visible qui colore les nébuleuses en émission ; $\infty \to 2$ : $365\,\mathrm{nm}$ , le bord proche ultraviolet de la série de Balmer. 19. $k \to 2k$ : les rayons sont divisés par $2$ , $E_{\text{I}} \to 4 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 54.4\,\mathrm{eV}$ ; la raie $2 \to 1$ tombe à $122\,\mathrm{nm}/4 \approx 30\,\mathrm{nm}$ , dans l’ultraviolet extrême. 20. $f_{\text{orb}}(n) = 2E_{\text{I}}/hn^3$ ; $\nu_{n \to n-1} = (E_{\text{I}}/h)(2n - 1)/n^2(n-1)^2$ . Rapport $\nu/f_{\text{orb}} = n^3(2n-1)/2n^2(n-1)^2$ : $3$ à $n = 2$ , $1.17$ à $n = 10$ , $1.015$ à $n = 100$ . 21. À la limite des grands nombres quantiques, les prédictions quantiques doivent rejoindre les prédictions classiques — ici, la fréquence rayonnée rejoint la fréquence orbitale. 22. $n = 0$ signifie $p_\varphi = 0$ : une « orbite circulaire » de rayon nul, l’électron sur le proton — un tel mouvement n’existe pas. 23. L’hydrogène mesuré a un état fondamental de moment cinétique nul (et non $\hbar$ ), et plusieurs états distincts partageant le même $n$ (les formes $s$ , $p$ , $d$ de la chimie) — deux faits impossibles pour une unique orbite circulaire. 24. $a_0 \propto 1/m$ : $a_0^\mu = 256\,\mathrm{fm}$ ; $E_{\text{I}}^\mu = 207 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 2.8\,\mathrm{keV}$ (rayons X). Le muon orbite deux cents fois plus près — en partie à l’intérieur de la charge nucléaire pour les éléments lourds — si bien que ses niveaux mesurent les rayons nucléaires (et ont aiguisé l’énigme moderne de la taille du proton). 25. Un seul invariant adiabatique égalé à $nh$ livre $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ , $R_H = 1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ — des nombres que la théorie quantique complète du Chapitre 11 gardera inchangés, tout en remplaçant les orbites qui les ont produits.

Termes définis dans ce chapitre

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