Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

2Cinématique des fluides

Placez-vous sur un pont et regardez la rivière. Une feuille passe, accélère entre les piles, ralentit dans la vasque en aval, fait un tour dans un tourbillon et repart. Vous pourriez décrire la rivière en suivant cette feuille — sa position et sa vitesse à chaque instant — ou en restant immobile et en relevant, en chaque point de la rivière, à quelle vitesse l’eau passe. La seconde description est celle du physicien des fluides : un champ des vitesses. Ce chapitre met en place les deux descriptions, apprend à calculer l’accélération d’une particule à partir du champ, écrit la conservation de la masse sous forme locale et classe les écoulements selon qu’ils tourbillonnent ou non — le vocabulaire dont les équations d’Euler et de Navier auront besoin.

Une rivière après un pont : une eau rapide et lisse entre les piles, des tourbillons dans leur sillage — un champ des vitesses à lire en des points fixes, et non une trajectoire unique à suivre.

2.1 La description continue

Définition 2.1 (Particule de fluide ; hypothèse du milieu continu)

Une particule de fluide est un volume de fluide assez petit pour être traité comme un point à l’échelle de l’écoulement, mais assez grand pour contenir un nombre immense de molécules, de sorte que sa masse volumique $\rho$ , sa pression $P$ , sa température $T$ et sa vitesse moyenne $\vect v$ soient des moyennes bien définies (l’échelle mésoscopique, typiquement le micromètre). L’hypothèse du milieu continu suppose qu’une telle échelle existe : le libre parcours moyen $\ell$ des molécules doit être très petit devant l’échelle $L$ de l’écoulement, $\ell/L \ll 1$ . Dans l’air à la pression atmosphérique $\ell \approx 70\,\mathrm{nm}$ ; dans un liquide $\ell$ est de la taille d’une molécule. Le fluide est alors décrit par des champs $\rho(M, t)$ , $P(M, t)$ , $\vect v(M, t)$ définis en tout point.

Définition 2.2 (Descriptions de Lagrange et d’Euler)

La description lagrangienne suit chaque particule de fluide : sa position $\vect r(t)$ et sa vitesse $\dd\vect r/\dd t$ en fonction du temps et de sa position initiale. La description eulérienne donne, en chaque point fixe $M$ et à chaque instant $t$ , la vitesse $\vect v(M, t)$ de la particule qui passe en $M$ à cet instant. Une trajectoire est le chemin suivi par une particule ; une ligne de courant à l’instant $t$ est une courbe tangente en chacun de ses points à $\vect v(M, t)$ ; un tube de courant est la surface formée des lignes de courant s’appuyant sur une courbe fermée. Un écoulement est stationnaire (ou permanent) lorsque les champs eulériens ne dépendent pas du temps, $\partial\vect v/\partial t = \vect 0$ ; lignes de courant et trajectoires coïncident alors et sont fixes.

Exemple 2.3 (Deux descriptions d’un même écoulement)

L’eau d’un tuyau d’arrosage de section $S$ au débit $Q$ va à $v = Q/S$ partout : le champ eulérien est uniforme et le mouvement lagrangien de chaque particule est uniforme. Dans la lance qui se rétrécit le champ eulérien est encore stationnaire mais $v$ croît le long de l’axe : chaque particule accélère en la traversant, alors que rien ne change au cours du temps en un point fixe. C’est la première chose que la description eulérienne doit apprendre à exprimer.

À gauche : un écoulement convergent stationnaire — les lignes de courant sont fixes, une particule marquée suit l’une d’elles et accélère à mesure que le tube se resserre. À droite : la description eulérienne enregistre le vecteur vitesse en des points fixes ; la description lagrangienne suit une particule le long de sa trajectoire.

2.2 La dérivée particulaire

Théorème 2.4 (Dérivée particulaire)

Le taux de variation d’une grandeur $G(M, t)$ (scalaire ou vectorielle) pour la particule de fluide qui passe en $M$ à l’instant $t$ vaut

\frac{\mathrm DG}{\mathrm Dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + (\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\,G , \qquad\text{en particulier}\qquad \vect a = \frac{\mathrm D\vect v}{\mathrm Dt} = \frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\,\vect v ,

où $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) = v_x\partial_x + v_y\partial_y + v_z\partial_z$ . Le premier terme est le taux de variation local (en un point fixe), le second le terme convectif (parce que la particule se déplace là où $G$ est différent). Pour la vitesse, $(\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\vect v = \operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) + (\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v$ .

Démonstration. Pendant $\dd t$ la particule va de $M$ à $M + \vect v\,\dd t$ , donc $\dd G = G(M + \vect v\dd t, t + \dd t) - G(M, t) = \partial_tG\,\dd t + \dd t\,(v_x\partial_x + v_y\partial_y + v_z\partial_z)G$ au premier ordre (dérivation d’une fonction de quatre variables). L’identité vectorielle se vérifie sur la composante $x$ : $[\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)]_x = v_x\partial_xv_x + v_y\partial_x v_y + v_z\partial_xv_z$ et $[(\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v]_x = v_y(\partial_yv_x - \partial_xv_y) + v_z(\partial_zv_x - \partial_xv_z)$ (avec les composantes de $\operatorname{\vect{curl}}\vect v$ données plus bas au Définition 2.12) ; leur somme vaut $v_x\partial_xv_x + v_y\partial_yv_x + v_z\partial_zv_x$ . ∎

Exemple 2.5 (Accélération dans une tuyère stationnaire)

Un écoulement unidimensionnel stationnaire $v(x) = v_0(1 + x/L)$ le long d’une tuyère : le terme local est nul, et $a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$ . Une particule qui entre à $v_0 = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et sort à $2v_0$ sur $L = 5\,\mathrm{cm}$ subit $a = 80$ à $160\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : huit à seize $g$ , dans un écoulement où rien ne dépend du temps.

Exemple 2.6 (Local et convectif)

La température d’une station météorologique baisse pendant la nuit ( $\partial T/ \partial t < 0$ : terme local), et baisse pour une parcelle d’air emportée vers le nord par le vent ( $\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}T < 0$ : terme convectif, ou advectif). Un thermomètre porté par un ballon qui dérive avec le vent enregistre la somme, $\mathrm DT/\mathrm Dt$ ; la station météorologique n’enregistre que le premier terme.

2.3 Conservation de la masse

Définition 2.7 (Débit massique et débit volumique)

Le débit massique à travers une surface orientée $S$ est la masse qui la traverse par unité de temps, $D_m = \sum\rho\,\vect v\cdot\vect n\,\dd S$ — le flux du vecteur densité de courant de masse $\vect j = \rho\vect v$ (unité $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) ; le débit volumique vaut $D_V = \sum\vect v \cdot\vect n\,\dd S$ ( $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ). Pour une vitesse uniforme normale à une section plane d’aire $S$ , $D_m = \rho vS$ et $D_V = vS$ .

Démonstration. Pendant $\dd t$ le fluide qui traverse l’élément $\dd S$ est celui que contient le cylindre oblique de base $\dd S$ et de génératrice $\vect v\,\dd t$ , de volume $\vect v\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$ et de masse $\rho$ fois ce volume. ∎

Théorème 2.8 (Conservation locale de la masse)

En tout point d’un fluide,

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vect v) = 0 , \qquad\text{où}\qquad \operatorname{div}\vect A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}

est la divergence d’un champ de vecteurs : le flux sortant net de $\vect A$ à travers la surface d’un petit volume, par unité de volume. De façon équivalente $\mathrm D\rho/\mathrm Dt + \rho\operatorname{div}\vect v = 0$ .

Démonstration. Prenons la boîte fixe $[x, x + \dd x]\times[y, y + \dd y]\times[z, z + \dd z]$ . Sa masse $\rho\,\dd x\dd y\dd z$ varie au taux $\partial_t\rho\,\dd x\dd y \dd z$ . De la masse entre par la face en $x$ au taux $j_x(x)\dd y\dd z$ et sort par la face en $x + \dd x$ au taux $j_x(x + \dd x)\dd y\dd z$ : sortie nette $\partial_xj_x\,\dd x\dd y\dd z$ , et de même selon $y$ et $z$ . La conservation de la masse — rien n’est créé — donne $\partial_t\rho = - (\partial_xj_x + \partial_yj_y + \partial_zj_z)$ . La seconde forme découle de $\operatorname{div}(\rho\vect v) = \vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}\rho + \rho\operatorname{div}\vect v$ . ∎

Remarque 2.9 (La divergence, première rencontre)

Le calcul montre ce que mesure $\operatorname{div}$ : le flux qui sort d’une petite boîte par unité de volume. En sommant sur les boîtes qui pavent un volume fini $V$ , les faces intérieures se compensent deux à deux et seule la surface extérieure subsiste : $\iint_{\partial V}\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V \operatorname{div}\vect A\,\dd\tau$ — le théorème de la divergence (ou d’Ostrogradski), que nous énoncerons proprement au Chapitre 11 et utiliserons dans tout l’électromagnétisme ; il est démontré dans le volume de mathématiques de troisième année. Intégrée sur un volume fixe, la loi locale s’écrit $\dd m_V/\dd t = -D_m^{\text{sort}}$ : la masse intérieure varie de ce qui traverse la frontière.

À gauche : le bilan de masse d’une boîte fixe — la sortie nette à travers ses six faces, par unité de volume, est la divergence de v. À droite : dans un écoulement stationnaire le débit massique est le même à travers toute section d’un tube de courant. — À gauche : le bilan de masse d’une boîte fixe — la sortie nette à travers ses six faces, par unité de volume, est la divergence de $\rho\vect v$ . À droite : dans un écoulement stationnaire le débit massique est le même à travers toute section d’un tube de courant.

Corollaire 2.10 (Écoulement incompressible ; tubes de courant)

Un écoulement est incompressible lorsque la masse volumique de chaque particule reste constante, $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = 0$ , ce qui équivaut à

\operatorname{div}\vect v = 0 .

Un liquide homogène s’écoule de façon incompressible ; un gaz aussi, à des vitesses très inférieures à celle du son (voir Chapitre 7). Dans un écoulement stationnaire le débit massique $\rho vS$ est le même à travers toute section d’un tube de courant ; si de plus l’écoulement est incompressible et $\rho$ uniforme, $vS$ est constant : le fluide accélère là où le tube se resserre.

Démonstration. $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = -\rho\operatorname{div}\vect v$ . Pour le tube, on applique le bilan intégré au volume compris entre deux sections : pas de flux à travers la surface latérale (vitesse tangente), régime stationnaire, donc ce qui entre égale ce qui sort. ∎

Exemple 2.11 (Le sang)

L’aorte (section $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$ ) transporte $5\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ $= 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$ : $v = 33\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . Le même débit traverse quelque $10^{10}$ capillaires de section totale voisine de $2500\,\mathrm{cm}^{2}$ : $v = 0.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — assez lent pour les échanges à travers les parois, ce qui est tout l’intérêt de la ramification.

2.4 Vorticité et écoulements irrotationnels

Définition 2.12 (Vorticité)

La vorticité d’un écoulement est le champ de vecteurs

\vect\omega = \operatorname{\vect{curl}}\vect v , \qquad \operatorname{\vect{curl}}\vect A = \Bigl(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z},\; \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z} {\partial x},\; \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\Bigr) .

Un écoulement est irrotationnel là où $\vect\omega = \vect 0$ .

Proposition 2.13 (La vorticité mesure la rotation locale)

Un petit élément de fluide centré en $M$ tourne, en bloc, à la vitesse angulaire $\vect\Omega = \tfrac12\vect\omega(M)$ . Dans une rotation en bloc $\vect v = \vect\Omega\wedge\vect{OM}$ la vorticité est uniforme, $\vect\omega = 2\vect\Omega$ ; dans l’écoulement de cisaillement plan $\vect v = ky\,\vect e_x$ elle vaut $\vect\omega = -k\vect e_z$ : une petite roue à aubes lâchée dans un écoulement de cisaillement tourne bien que les lignes de courant soient droites.

Démonstration. Au voisinage de $M$ , $\vect v(M + \vect\epsilon) = \vect v(M) + \mathbf G\vect\epsilon$ avec $\mathbf G$ la matrice des $\partial_jv_i$ ; séparons-la en sa partie symétrique (une déformation pure, qui étire l’élément sans le faire tourner en bloc) et sa partie antisymétrique, dont la matrice $\tfrac12(\partial_jv_i - \partial_iv_j)$ est celle de $\vect\epsilon \mapsto \tfrac12\vect\omega\wedge\vect\epsilon$ (Théorème 1.2). Rotation en bloc autour de $\vect e_z$ : $\vect v = \Omega(-y, x, 0)$ , $\omega_z = \partial_xv_y - \partial_yv_x = 2\Omega$ . Cisaillement : $\omega_z = -\partial_y(ky) = -k$ . ∎

Définition 2.14 (Potentiel des vitesses ; circulation)

Dans un écoulement irrotationnel la vitesse dérive d’un potentiel des vitesses : $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$ (la circulation de $\vect v$ le long d’un chemin ne dépend alors que de ses extrémités, $\int_A^B\vect v \cdot\dd\vect l = \varphi(B) - \varphi(A)$ ). Si l’écoulement est de plus incompressible, $\Delta\varphi = \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}} \varphi = 0$ : le potentiel obéit à l’équation de Laplace, exactement comme le potentiel électrostatique dans une région sans charge — un écoulement potentiel. La circulation de la vitesse le long d’une courbe fermée $C$ vaut $\Gamma = \oint_C\vect v\cdot\dd\vect l$ .

Démonstration. Qu’un champ de rotationnel nul sur un domaine simplement connexe soit un gradient, et qu’un gradient soit de rotationnel nul ( $\partial_y\partial_z\varphi = \partial_z\partial_y\varphi$ ), relèvent du volume de mathématiques de deuxième année ; l’équation de Laplace découle de $\operatorname{div}\vect v = 0$ . ∎

Exemple 2.15 (Trois écoulements plans)

(i) Écoulement de point d’arrêt $\vect v = k(x, -y)$ : $\operatorname{div}\vect v = 0$ , $\vect\omega = \vect 0$ , $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ ; lignes de courant $xy =$ const, des hyperboles — un jet qui frappe une paroi, au voisinage de l’axe. (ii) Tourbillon ponctuel $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (coordonnées polaires planes) : incompressible et irrotationnel partout sauf en $r = 0$ , $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (multiforme), et la circulation sur tout cercle entourant le centre vaut $\Gamma$ — la vorticité est concentrée sur l’axe. (iii) Tourbillon de Rankine : un cœur $r < a$ en rotation en bloc $v_\theta = \Omega r$ (vorticité $2\Omega$ ) raccordé au tourbillon ponctuel $v_\theta = \Omega a^2/r$ à l’extérieur : le modèle d’une tornade, du tourbillon d’une baignoire ou du remous derrière la pile du pont — la vitesse est maximale au bord du cœur.

Trois écoulements plans. À gauche : l’écoulement de point d’arrêt, irrotationnel, aux lignes de courant hyperboliques. Au milieu : le tourbillon ponctuel — des lignes de courant circulaires, et pourtant une vorticité nulle loin du centre. À droite : le profil du tourbillon de Rankine, rotation en bloc dans le cœur et tourbillon ponctuel à l’extérieur.

Remarque 2.16 (Pourquoi la circulation compte)

Pour une petite boucle plane d’aire $\dd S$ de normale $\vect n$ , la circulation vaut $\oint\vect v\cdot\dd\vect l = \vect\omega\cdot\vect n\,\dd S$ — la vorticité est la circulation par unité d’aire, exactement comme la divergence est le flux par unité de volume. (À vérifier sur la rotation en bloc : $2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$ .) Sommée sur une surface, elle donne le théorème de Stokes, $\oint_C\vect v\cdot\dd\vect l = \iint_S \operatorname{\vect{curl}}\vect v\cdot\vect n\,\dd S$ , énoncé au Chapitre 11. Une aile porte parce qu’elle entretient une circulation autour d’elle-même ; une ligne tourbillon persiste dans un fluide parfait (théorème de Kelvin) — d’où la longue survie du remous derrière la pile.

Méthode 2.17 (Lire un champ des vitesses)

Étant donné $\vect v(M, t)$ : (1) est-il stationnaire ? ( $\partial_t\vect v = \vect 0$ ) ; (2) est-il incompressible ? ( $\operatorname{div}\vect v = 0$ ) ; (3) est-il irrotationnel ? ( $\operatorname{\vect{curl}}\vect v = \vect 0$ ; si oui, chercher $\varphi$ ) ; (4) trouver les lignes de courant par $\dd x/v_x = \dd y/v_y = \dd z/ v_z$ à $t$ fixé, et les trajectoires par $\dd\vect r/\dd t = \vect v(\vect r, t)$ ; (5) calculer l’accélération $\partial_t\vect v + (\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\vect v$ . En coordonnées polaires planes $(r, \theta)$ , $\operatorname{div}\vect v = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_r)}{\partial r} + \dfrac1r \dfrac{\partial v_\theta}{\partial\theta}$ et $\omega_z = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_\theta)} {\partial r} - \dfrac1r\dfrac{\partial v_r}{\partial\theta}$ (admis ici ; établi au Chapitre 11).

2.5 Exercices

Exercice 2.1 ★

Le libre parcours moyen de l’air vaut $70\,\mathrm{nm}$ à $1\,\mathrm{bar}$ et varie en $1/P$ . La description continue est-elle valable pour (a) l’air autour d’une voiture, (b) l’air dans un microcanal de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ à $1\,\mathrm{bar}$ , (c) l’air à $100\,\mathrm{km}$ d’altitude ( $P \approx 3 \times 10^{-7}\,\mathrm{bar}$ ) autour d’un satellite de $1\,\mathrm{m}$ ? Donner $\ell/L$ dans chaque cas.

Solution

Solution de Exercice 2.1.

(a) $\ell/L \sim 7 \times 10^{-8}$ : milieu continu. (b) $0.07$ : cas limite — les lois du milieu continu commencent à défaillir (glissement aux parois). (c) $\ell = 70 \times 10^{-9} /3 \times 10^{-7} = 0.23\,\mathrm{m}$ , $\ell/L = 0.23$ : pas de milieu continu ; le gaz est une pluie de molécules indépendantes (régime moléculaire libre).

Exercice 2.2 ★

Écoulement unidimensionnel stationnaire $v(x) = v_0(1 + x/L)$ pour $0 \le x \le L$ . Accélération d’une particule en $x$ ; temps mis pour aller de $0$ à $L$ ; comparer à $L/v_0$ et à $L/2v_0$ .

Solution

Solution de Exercice 2.2.

$a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$ (de $v_0^2/L$ à $2v_0^2/L$ ). $\dd x/\dd t = v_0(1 + x/L)$ : $t = (L/v_0)\ln2 = 0.69\,L/v_0$ , entre $L/2v_0$ et $L/v_0$ .

Exercice 2.3 ★

Dans une conduite de rayon $R$ le profil des vitesses est $v(r) = v_{\max}(1 - r^2/R^2)$ le long de l’axe. Débit volumique ; vitesse moyenne $\langle v\rangle = D_V/\pi R^2$ ; applications numériques pour $R = 5\,\mathrm{mm}$ , $v_{\max} = 0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Solution

Solution de Exercice 2.3.

$D_V = \int_0^Rv_{\max}(1 - r^2/R^2)\,2\pi r\,\dd r = \tfrac12\pi R^2v_{\max}$ ; $\langle v\rangle = v_{\max}/2 = 0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = 1.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} = 16\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ .

Exercice 2.4 ★

Pour chaque champ, dire si l’écoulement est incompressible et s’il est irrotationnel ; donner la vorticité : (a) $\vect v = (ax, -ay, 0)$ ; (b) $\vect v = (-\Omega y, \Omega x, 0)$ ; (c) $\vect v = (ax, ay, 0)$ ; (d) $\vect v = (ky, 0, 0)$ ; (e) $\vect v = (ax, -ay, bz)$ — pour quel $b$ est-il incompressible ?

Solution

Solution de Exercice 2.4.

(a) $\operatorname{div} = 0$ , $\vect\omega = \vect 0$ : incompressible, irrotationnel. (b) $\operatorname{div} = 0$ , $\omega_z = 2\Omega$ : rotation en bloc. (c) $\operatorname{div} = 2a \ne 0$ , irrotationnel (une source plane). (d) $\operatorname{div} = 0$ , $\omega_z = -k$ : cisaillement. (e) $\operatorname{div} = b$ : incompressible si et seulement si $b = 0$ ; irrotationnel pour tout $b$ .

Exercice 2.5 ★★

Un tuyau d’arrosage de diamètre intérieur $12\,\mathrm{mm}$ remplit un seau de $10\,\mathrm{L}$ en $50\,\mathrm{s}$ . Vitesse dans le tuyau ; vitesse dans une lance de $3\,\mathrm{mm}$ ; si la lance se rétrécit sur $4\,\mathrm{cm}$ , estimer l’accélération moyenne d’une particule qui la traverse (en $g$ ) ; temps passé dans la lance.

Solution

Solution de Exercice 2.5.

$D_V = 0.20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . Tuyau $S = 1.13\,\mathrm{cm}^{2}$ : $v = 1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; lance $S = 7.1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $v = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Accélération moyenne $\Delta(v^2/2)/L = (28^2 - 1.8^2)/0.08 \approx 1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1000\,g$ . Durée $\approx \int\dd x/v$ : quelques millisecondes ( $4\,\mathrm{ms}$ pour un profil de vitesse linéaire).

Exercice 2.6 ★★

Écoulement plan non stationnaire $\vect v = (U, V\cos\omega t)$ avec $U$ , $V$ , $\omega$ constants. (a) Lignes de courant à l’instant $t$ . (b) Trajectoire de la particule qui est à l’origine à $t = 0$ . (c) Tracer les deux pour $V = U$ à $t = 0$ et à $t = \pi/2\omega$ ; pourquoi diffèrent-elles ? (d) Accélération d’une particule.

Solution

Solution de Exercice 2.6.

(a) $\dd y/\dd x = (V/U)\cos\omega t$ : des droites de pente $(V/U)\cos\omega t$ , toutes parallèles, qui basculent avec le temps. (b) $x = Ut$ , $y = (V/\omega)\sin\omega t$ : la sinusoïde $y = (V/\omega)\sin(\omega x/U)$ . (c) À $t = 0$ les lignes de courant sont à $45{}^{\circ}$ et la trajectoire quitte l’origine à $45{}^{\circ}$ ; à $t = \pi/2\omega$ les lignes de courant sont horizontales alors que la trajectoire reste la même sinusoïde. Elles diffèrent parce que l’écoulement n’est pas stationnaire : une ligne de courant est un instantané, une trajectoire une histoire. (d) $\vect a = \partial_t\vect v = (0, -V\omega\sin\omega t)$ — le champ est uniforme, donc le terme convectif est nul.

Exercice 2.7 ★★

Une rivière large de $50\,\mathrm{m}$ et profonde de $2.0\,\mathrm{m}$ coule à $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Débit. (b) Elle entre dans une gorge large de $15\,\mathrm{m}$ et profonde de $4.0\,\mathrm{m}$ : vitesse. (c) Un affluent apporte $30\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; en aval la rivière est large de $60\,\mathrm{m}$ et profonde de $2.5\,\mathrm{m}$ : vitesse. (d) Un gaz chaud s’écoule en régime stationnaire dans une conduite de section constante ; entre deux points sa température double à pression constante : qu’advient-il de sa vitesse ?

Solution

Solution de Exercice 2.7.

(a) $D_V = 50 \times 2 \times 1.2 = 120\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ . (b) $120/60 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $150/150 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) $\rho \propto 1/T$ à $P$ constant est divisée par deux ; $\rho vS$ se conserve : la vitesse double.

Exercice 2.8 ★★

Tourbillon de Rankine. $v_\theta = \Omega r$ pour $r < a$ , $v_\theta = \Omega a^2/r$ pour $r > a$ . (a) Vorticité dans chaque région (utiliser la formule polaire). (b) Circulation sur un cercle de rayon $r$ centré sur l’axe, dans les deux régions ; relier au flux de vorticité. (c) Une tornade : $a = 50\,\mathrm{m}$ , $v_{\max} = 70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\Omega$ , $\Gamma$ , et la vitesse à $500\,\mathrm{m}$ . (d) L’écoulement du cœur est-il irrotationnel ? Et celui de l’extérieur ? Où est physiquement la « rotation » ?

Solution

Solution de Exercice 2.8.

(a) $\omega_z = \frac1r\frac{\dd(rv_\theta)}{\dd r}$ : $2\Omega$ à l’intérieur, $0$ à l’extérieur. (b) À l’intérieur $\Gamma = 2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$ , le flux de la vorticité ; à l’extérieur $\Gamma = 2\pi\Omega a^2$ , constant, le flux du cœur entier. (c) $\Omega = v_{\max}/a = 1.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; à $500\,\mathrm{m}$ : $\Omega a^2/r = 7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) Le cœur tourne comme un solide ; à l’extérieur l’écoulement est irrotationnel : les particules font le tour de l’axe sans tourner sur elles-mêmes. La vorticité — la rotation — réside dans le cœur.

Exercice 2.9 ★★

Écoulement de point d’arrêt $\vect v = k(x, -y)$ . (a) Potentiel $\varphi$ et vérification de $\Delta\varphi = 0$ . (b) Lignes de courant ; la fonction $\psi = kxy$ est constante sur celles-ci — montrer que $v_x = \partial\psi/\partial y$ , $v_y = -\partial\psi/ \partial x$ (la fonction de courant). (c) Champ des accélérations ; montrer qu’il vaut $\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)$ et interpréter. (d) Trajectoire d’une particule partie de $(x_0, y_0)$ : $x = x_0\eu^{kt}$ , $y = y_0\eu^{-kt}$ .

Solution

Solution de Exercice 2.9.

(a) $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ , $\Delta\varphi = k - k = 0$ . (b) $\dd x/ kx = \dd y/(-ky)$ : $xy =$ const ; $\partial_y\psi = kx = v_x$ , $-\partial_x\psi = -ky = v_y$ . (c) $\vect a = (v_x\partial_x + v_y\partial_y)\vect v = k^2(x, y) = \operatorname{\vect{grad}}\bigl(\tfrac12k^2(x^2 + y^2)\bigr) = \operatorname{\vect{grad}} (v^2/2)$ : dans un écoulement stationnaire irrotationnel l’accélération est le gradient de l’énergie cinétique massique ; elle est dirigée à l’opposé du point d’arrêt — une particule ralentit en s’approchant de la paroi selon $y$ et accélère en s’en éloignant selon $x$ . (d) $\dot x = kx$ , $\dot y = -ky$ : $x = x_0\eu^{kt}$ , $y = y_0\eu^{-kt}$ ( $xy$ constant).

Exercice 2.10 ★★★

Un écoulement en expansion. Écoulement unidimensionnel $v(x, t) = x/(t + \tau)$ pour $t > 0$ , $\tau > 0$ constant. (a) Trajectoires : montrer que $x(t) = x_0(1 + t/\tau)$ ; accélération d’une particule, à partir de la trajectoire puis de la dérivée particulaire. (b) La masse volumique est uniforme à chaque instant, $\rho(t)$ : utiliser la conservation de la masse pour trouver $\rho(t)$ . (c) Vérifier en suivant la masse comprise entre deux particules. (d) Pourquoi ce champ est-il un modèle unidimensionnel d’un univers en expansion uniforme ?

Solution

Solution de Exercice 2.10.

(a) $\dd x/\dd t = x/(t + \tau)$ donne $x = x_0(1 + t/\tau)$ , $\ddot x = 0$ ; dérivée particulaire : $\partial_tv + v\partial_xv = -x/(t + \tau)^2 + x/(t + \tau)^2 = 0$ . (b) $\partial_t\rho + \partial_x(\rho v) = \dot\rho + \rho/(t + \tau) = 0$ : $\rho = \rho_0\tau/(t + \tau)$ . (c) L’écart entre deux particules croît comme $(1 + t/\tau)$ et la masse comprise entre elles est fixe : $\rho \propto 1/(1 + t/\tau)$ . (d) $v = Hx$ avec $H = 1/(t + \tau)$ : une loi de Hubble, expansion libre (sans accélération), masse volumique décroissant comme l’inverse du facteur d’échelle.

Exercice 2.11 ★★★

Une source dans un courant. Superposer un écoulement uniforme $\vect v = U\vect e_x$ et une source plane $\vect v = \dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r$ ( $q$ étant le débit volumique par unité de longueur selon $z$ ). (a) Potentiel $\varphi = Ux + (q/2\pi)\ln r$ ; vérifier que les deux écoulements sont incompressibles et irrotationnels (sauf à l’origine). (b) Point d’arrêt. (c) Fonction de courant $\psi = Uy + q\theta/2\pi$ ; la ligne de courant passant par le point d’arrêt est $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$ : la tracer. (d) Montrer que loin en aval cette ligne est en $y = \pm q/2U$ : l’écoulement extérieur est l’écoulement autour d’un demi-corps émoussé de largeur $q/U$ .

Solution

Solution de Exercice 2.11.

(a) $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi = (U + qx/2\pi r^2, qy/2\pi r^2)$ ; la source a $v_r = q/2\pi r$ , $\operatorname{div} = \frac1r\dd(rv_r)/\dd r = 0$ et aucune dépendance en $\theta$ , donc $\omega_z = 0$ ; des sommes de tels champs sont encore incompressibles et irrotationnelles. (b) Sur le demi-axe $x$ négatif, $U - q/2\pi r = 0$ : $x_s = -q/2\pi U$ . (c) Au point d’arrêt $\theta = \pi$ , $y = 0$ : $\psi = q/2$ ; la ligne de courant $Ur\sin\theta + q\theta/2\pi = q/2$ , soit $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$ — une courbe qui part de $x_s$ et s’ouvre vers l’aval. (d) $\theta \to 0$ : $y \to q/2U$ ; $\theta \to 2\pi$ (branche inférieure) : $y \to -q/2U$ . Le fluide intérieur à cette ligne provient de la source ; à l’extérieur, le courant uniforme contourne un demi-corps de largeur asymptotique $q/U$ .

Exercice 2.12 ★★★

Tourbillon et puits. Écoulement plan $\vect v = -\dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r + \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ pour $r > a$ . (a) Montrer qu’il est incompressible et irrotationnel. (b) Lignes de courant : spirales logarithmiques $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$ . (c) Accélération d’une particule : montrer qu’elle est purement radiale, $-v^2/r\,\vect e_r$ . (d) Temps mis par une particule pour spiraler de $r_0$ à $a$ ; nombre de tours qu’elle fait. (e) Applications numériques : $q = 1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $\Gamma = 3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$ , $a = 2\,\mathrm{cm}$ .

Solution

Solution de Exercice 2.12.

(a) $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(-q/2\pi) = 0$ ; $\omega_z = \frac1r\partial_r(\Gamma/2\pi) = 0$ . (b) $\dd r/v_r = r\,\dd\theta/v_\theta$ donne $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$ . (c) $a_r = v_r\partial_rv_r - v_\theta^2/r = -(q^2 + \Gamma^2)/4\pi^2r^3 = -v^2/r$ ; $a_\theta = v_r\partial_rv_\theta + v_rv_\theta/r = 0$ . (d) $\dd r/\dd t = -q/2\pi r$ : $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q$ ; nombre de tours $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a)$ . (e) $t = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$ ; $10$ tours.

2.6 Problème : de la bonde à l’ouragan

Problème 2.1

Problème du week-end — la même cinématique à trois échelles : le tourbillon au-dessus d’une bonde, une tornade, et un cyclone vu par satellite

Partie I — La baignoire. On vide une baignoire par un trou de rayon $a = 2\,\mathrm{cm}$ ; l’eau, de profondeur $h = 20\,\mathrm{cm}$ , s’écoule au débit volumique $D_V = 0.30\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . Loin du trou l’écoulement est modélisé comme plan (indépendant de la profondeur) : $\vect v = v_r(r)\vect e_r + v_\theta(r)\vect e_\theta$ .

En utilisant la conservation de la masse à travers un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ , montrer que $v_r = -q/2\pi r$ avec $q = D_V/h$ ; valeur de $q$ .
Avant que la bonde ne soit ôtée, l’eau avait été remuée et tournait à $1.0\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ en $r = 50\,\mathrm{cm}$ . En admettant que chaque anneau d’eau conserve son moment cinétique en se déplaçant vers l’intérieur ( $rv_\theta$ constant), trouver $v_\theta(r)$ et la circulation $\Gamma$ .
Vérifier que l’écoulement est incompressible et irrotationnel pour $r > a$ .
Lignes de courant : montrer que ce sont des spirales logarithmiques et trouver combien de tours fait une particule entre $r = 50\,\mathrm{cm}$ et $r = a$ .
Temps mis par une particule pour aller de $50\,\mathrm{cm}$ au trou, et sa vitesse azimutale à l’arrivée.
Accélération d’une particule en $r$ ; comparer à $g$ en $r = a$ . (La surface libre se creuse là où la pression doit l’équilibrer — l’entonnoir ; chapitre suivant.)
La rotation de la Terre donne à tout fluide au repos dans la baignoire une rotation « de fond » au taux vertical local $\Omega_\oplus\sin\lambda \approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . Comparer la vitesse azimutale qu’elle donnerait à $50\,\mathrm{cm}$ avec le $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ du brassage, et dire si le sens de rotation d’une baignoire qui se vide est décidé par l’hémisphère.

Partie II — La tornade, tourbillon de Rankine. Rayon du cœur $a = 60\,\mathrm{m}$ , vent maximal $v_{\max} = 80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , masse volumique de l’air $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .

Écrire $v_\theta(r)$ dans les deux régions et donner $\Omega$ et $\Gamma$ .
Vorticité dans le cœur et à l’extérieur ; tracer $v_\theta$ et $\omega_z$ en fonction de $r$ .
Accélération d’une particule d’air au bord du cœur ; comparer à $g$ .
Montrer qu’une petite roue à aubes placée hors du cœur dérive autour de la tornade sans tourner sur elle-même, tandis qu’une roue placée dans le cœur fait un tour par révolution autour de l’axe.
Énergie cinétique du cœur, par mètre de hauteur.
Énergie cinétique de l’écoulement extérieur par mètre de hauteur, entre $a$ et $R = 5\,\mathrm{km}$ ; pourquoi ne dépend-elle de $R$ que logarithmiquement ?
Pour une hauteur de $1\,\mathrm{km}$ , énergie cinétique totale ; comparer à l’énergie libérée par $1\,\mathrm{t}$ de TNT ( $4.2\,\mathrm{GJ}$ ).
L’air converge aussi vers l’axe et monte dans une tornade. Si le cœur est alimenté par un afflux radial à $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à travers sa surface latérale sur les $300\,\mathrm{m}$ premiers mètres de hauteur, quelle vitesse verticale l’air doit-il atteindre au sommet de cette couche (uniforme sur la section du cœur) ?

Partie III — Le cyclone. Un cyclone tropical est modélisé par un tourbillon de Rankine de rayon de cœur $a = 40\,\mathrm{km}$ et de $v_{\max} = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La rotation de la Terre se fait sentir par la vorticité planétaire $f = 2\Omega_\oplus\sin\lambda \approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ à la latitude $20{}^{\circ}$ : un anneau d’air au repos par rapport au sol porte déjà, dans le référentiel inertiel, la vitesse azimutale $fr/2$ autour de tout axe vertical.

Vorticité du cœur et circulation $\Gamma$ du cyclone ; comparer la vorticité du cœur à $f$ .
Un anneau d’air de rayon $r_0 = 500\,\mathrm{km}$ , initialement au repos par rapport au sol, est attiré vers le centre par la dépression. En admettant que son moment cinétique par unité de masse autour de l’axe, $r(v_\theta + fr/2)$ , se conserve, trouver sa vitesse $v_\theta$ par rapport au sol en $r = 100\,\mathrm{km}$ et en $r = 40\,\mathrm{km}$ .
Dans quel sens le cyclone tourne-t-il dans l’hémisphère nord, et pourquoi ? Pourquoi ce sens est-il fixé pour un cyclone et non pour une baignoire ?
Pourquoi l’air ne peut-il pas être attiré ainsi jusqu’à l’axe — qu’est-ce qui limite le vent et laisse un œil ?
L’air converge vers le cyclone à $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à travers un cylindre de rayon $500\,\mathrm{km}$ et de hauteur $1\,\mathrm{km}$ : débit massique aspiré ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ).
Le cyclone se déplace en bloc vers l’ouest à $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Écrire le champ eulérien des vitesses vu du sol en fonction du champ $\vect v_0$ du tourbillon dans son propre référentiel ; l’écoulement est-il stationnaire dans le référentiel du sol ? Quel côté de la tempête a les vents les plus forts ?

Partie IV — Débits et bilan.

La pluie tombe à $50\,\mathrm{mm}/\mathrm{h}$ sur un bassin versant de $10\,\mathrm{km}^{2}$ et parvient tout entière à une rivière de section $40\,\mathrm{m}^{2}$ : vitesse moyenne de la rivière en crue.
Le sang : l’aorte ( $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$ ) transporte $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ ; les capillaires ont une section totale de $0.25\,\mathrm{m}^{2}$ : vitesses dans chacun ; temps mis par le sang pour traverser un capillaire de $1\,\mathrm{mm}$ .
Un réservoir de section $S$ se vide par un trou de section $s$ au fond ; la vitesse de sortie vaut $\sqrt{2gh}$ ( $h$ étant le niveau de l’eau — admis, établi au chapitre suivant). Écrire la conservation de la masse et trouver $h(t)$ ainsi que le temps de vidange pour $S = 1\,\mathrm{m}^{2}$ , $s = 1\,\mathrm{cm}^{2}$ , $h_0 = 1\,\mathrm{m}$ .
Donner les trois écoulements des parties I à III dans un tableau : rayon, vitesse, vorticité du cœur, circulation — et la grandeur, conservée pendant l’afflux, qui les met en rotation.

Solution

Solution de Problème 2.1.

1. À travers un cylindre de rayon $r$ : $2\pi rh|v_r| = D_V$ , donc $v_r = -q/2\pi r$ , $q = D_V/h = 1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

2. $rv_\theta = 0.5 \times 0.01 = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : $v_\theta = \Gamma/2\pi r$ avec $\Gamma = 3.1 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

3. $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(rv_r) = 0$ , $\omega_z = \frac1r\partial_r(rv_\theta) = 0$ .

4. $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$ : $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$ ; nombre de tours $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a) = 3.3 \times 3.2 \approx 11$ .

5. $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$ ; $v_\theta(a) = 0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

6. $\vect a = -(v^2/r)\vect e_r$ ; en $r = a$ : $v^2 = 0.25^2 + 0.012^2$ , $a = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.3g$ .

7. $\Omega_\oplus\sin\lambda\,r = 5 \times 10^{-5} \times 0.5 = 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , quatre cents fois moins que le brassage : l’hémisphère ne décide rien dans une baignoire ordinaire (il décide dans une cuve laissée immobile un jour entier).

8. $v_\theta = \Omega r$ ( $r < a$ ), $\Omega a^2/r$ ( $r > a$ ) ; $\Omega = 80/60 = 1.33\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

9. $\omega_z = 2\Omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$ dans le cœur, $0$ à l’extérieur ; $v_\theta$ croît linéairement jusqu’à $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ puis décroît en $1/r$ ; $\omega_z$ est un échelon.

10. $a = v_{\max}^2/a = 6400/60 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 11g$ , vers l’axe.

11. À l’extérieur la vorticité est nulle : un petit élément se translate le long de son cercle sans tourner sur lui-même — la roue à aubes garde son orientation. Dans le cœur (rotation en bloc) elle tourne avec le fluide, un tour par révolution.

12. $E_{\text{cœur}} = \int_0^a\tfrac12\rho\Omega^2r^2\,2\pi r\,\dd r = \tfrac14\pi\rho\Omega^2a^4 = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$ .

13. $E_{\text{ext}} = \int_a^R\tfrac12\rho(\Omega a^2/r)^2\,2\pi r\,\dd r = \pi\rho\Omega^2a^4\ln(R/a) = 8.7 \times 10^7 \times 4.4 = 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$ ; l’intégrande $\rho v^2r \propto 1/r$ , d’où le logarithme.

14. $4.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m} \times 1000\,\mathrm{m} = 4 \times 10^{11}\,\mathrm{J}$ : environ $100\,\mathrm{t}$ de TNT.

15. Afflux $2\pi a \times 300 \times 5 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ à travers $\pi a^2 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $v_z = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

16. $\omega = 2v_{\max}/a = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} = 50f$ ; $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

17. $r_0\cdot fr_0/2 = r(v_\theta + fr/2)$ : $v_\theta = f(r_0^2 - r^2)/2r$ ; $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $100\,\mathrm{km}$ , $155\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $40\,\mathrm{km}$ .

18. $f > 0$ dans l’hémisphère nord donne $v_\theta > 0$ : sens trigonométrique vu de dessus (cyclonique). Sur $500\,\mathrm{km}$ la rotation planétaire est la rotation initiale dominante ; dans une baignoire c’est le brassage.

19. Le frottement sur la mer enlève du moment cinétique, et le gradient de pression ne peut plus équilibrer l’accélération centripète d’un anneau toujours plus rapide : l’air monte avant d’atteindre l’axe, dans le mur de l’œil, laissant un œil calme.

20. $\rho\,2\pi rHv = 1.2 \times 2\pi \times 5 \times 10^5 \times 10^3 \times 5 = 1.9 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

21. $\vect v(M, t) = -U\vect e_x + \vect v_0(M + Ut\,\vect e_x)$ : la structure est advectée, le champ n’est pas stationnaire dans le référentiel du sol. La translation s’ajoute au tourbillon du côté où $v_\theta$ pointe vers l’ouest — le côté nord (à droite) de la trajectoire vers l’ouest.

22. $0.05 \times 10^7/3600 = 139\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; $v = 139/40 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

23. $D_V = 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$ : aorte $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; capillaires $0.33\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $3\,\mathrm{s}$ par millimètre.

24. $S\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$ : $\sqrt h = \sqrt{h_0} - \frac sS\sqrt{g/2}\,t$ , vide en $T = (S/s)\sqrt{2h_0/g} = 10^4 \times 0.45 = 4500\,\mathrm{s} \approx 75\,\mathrm{min}$ .

25. Baignoire : $r \sim 0.5\,\mathrm{m}$ , $v \sim 1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $\Gamma = 3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; tornade : $60\,\mathrm{m}$ , $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; cyclone : $40\,\mathrm{km}$ , $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\Gamma = 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . Dans chacun, le moment cinétique par unité de masse $rv_\theta$ du fluide qui converge se conserve : l’afflux les met en rotation.

Termes définis dans ce chapitre

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