Qu'est-ce que « Dimension » ? — Physique

Définition 1.5 Physique universitaire — 1re année · Chapitre 1 — Unités, dimensions et mesure

La dimension d’une grandeur $X$ , notée $[X]$ , enregistre la manière dont $X$ se construit sur les sept grandeurs de base, indépendamment des unités choisies : longueur $L$ , masse $M$ , temps $T$ , intensité électrique $I$ , température $\Theta$ , quantité de matière $N$ , intensité lumineuse $J$ . Une vitesse a pour dimension $[v] = L\,T^{-1}$ , une force $[F] = M\,L\,T^{-2}$ , une énergie $[E] = M\,L^2\,T^{-2}$ . Une grandeur de dimension $1$ (un angle, un rapport, un indice de réfraction) est sans dimension.

Exemples

Exemple 1.8 (La période d’un pendule)

Un pendule de longueur $\ell$ et de masse $m$ oscille dans le champ de pesanteur $g$ . Supposons sa période de la forme $\tau = k\,\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ avec $k$ sans dimension. Alors $T = L^\alpha M^\beta (L T^{-2})^\gamma = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$ , d’où $\beta = 0$ , $\gamma = -\tfrac12$ , $\alpha = \tfrac12$ :

\tau = k\sqrt{\ell/g} .

Sans résoudre la moindre équation du mouvement : la masse disparaît, et doubler la longueur multiplie la période par $\sqrt2$ . La dynamique (Chapitre 14) fournira $k = 2\pi$ pour les petites oscillations.

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