Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

1Unités, dimensions et mesure

Dans un laboratoire en sous-sol, un pendule oscille, un chronomètre cliquette, et un étudiant écrit $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Est-ce là la « bonne » valeur ? Le manuel annonce $9.81$ . Les deux nombres s’accordent-ils, l’expérience était-elle bien conçue, laquelle de ses étapes l’a limitée ? Rien de cela ne se décide sur les chiffres seuls. La physique mesure, et une mesure sans son incertitude n’est qu’une rumeur. Ce chapitre installe la langue commune de tous les chapitres à venir : unités, dimensions, ordres de grandeur, et l’arithmétique honnête des incertitudes.

La balance de Kibble NIST-4, l’un des instruments qui réalisent aujourd’hui le kilogramme à partir de la constante de Planck : une masse y est pesée contre une force électromagnétique mesurée en unités électriques. Photographie : J. L. Lee, NIST (domaine public).

1.1 Le Système international d’unités

Définition 1.1 (Grandeur physique et unité)

Une grandeur physique est une propriété que l’on peut mesurer : une longueur, une durée, une masse, une intensité. La mesurer, c’est la comparer à une grandeur de référence de même nature, l’unité : le résultat est un nombre multiplié par une unité, $\ell = 1.257\,\mathrm{m}$ . Le nombre seul ne signifie rien ; l’unité seule ne mesure rien.

Définition 1.2 (Unités de base du SI)

Le Système international d’unités (SI) repose sur sept unités de base : la seconde ( $\mathrm{s}$ ), le mètre ( $\mathrm{m}$ ), le kilogramme ( $\mathrm{kg}$ ), l’ampère ( $\mathrm{A}$ ), le kelvin ( $\mathrm{K}$ ), la mole ( $\mathrm{mol}$ ) et la candela ( $\mathrm{cd}$ ). Depuis 2019, chacune est définie en fixant la valeur numérique d’une constante de la nature : la fréquence hyperfine du césium $\Delta\nu_{\mathrm{Cs}} = 9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ définit la seconde ; la vitesse de la lumière $c = 299\,792\,458\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ définit alors le mètre ; la constante de Planck $h = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ définit le kilogramme ; la charge élémentaire $e = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ l’ampère ; la constante de Boltzmann $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ le kelvin ; la constante d’Avogadro $N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ la mole ; et une efficacité lumineuse fixée $K_{\mathrm{cd}}$ la candela. Toute autre unité est une unité dérivée, produit de puissances d’unités de base : $1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ , $1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{s}$ , $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{A}$ , $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ .

Les sept unités de base (anneau extérieur) et les sept constantes qui les définissent (anneau intérieur). Une constante fixée ne définit son unité qu’avec des unités déjà définies (en pointillés) : c convertit les secondes en mètres, h a besoin du mètre et de la seconde pour définir le kilogramme, e a besoin de la seconde pour définir l’ampère. — Les sept unités de base (anneau extérieur) et les sept constantes qui les définissent (anneau intérieur). Une constante fixée ne définit son unité qu’avec des unités déjà définies (en pointillés) : $c$ convertit les secondes en mètres, $h$ a besoin du mètre et de la seconde pour définir le kilogramme, $e$ a besoin de la seconde pour définir l’ampère.

Remarque 1.3 (Noms et symboles)

Les unités qui portent un nom de personne s’écrivent en minuscules en toutes lettres (newton, joule, pascal) et en majuscules comme symboles ( $\mathrm{N}$ , $\mathrm{J}$ , $\mathrm{Pa}$ ) ; en majuscule et en toutes lettres, le mot désigne la personne. Les préfixes échelonnent par puissances de dix, de p ( $10^{-12}$ ) en passant par n, $\mu$ , m, k, M, G jusqu’à T ( $10^{12}$ ) ; le kilogramme est la seule unité de base dont le nom porte un préfixe.

Exemple 1.4 (Décomposer une unité dérivée)

Le volt : $\mathrm{V} = \mathrm{W}/\mathrm{A} = \mathrm{J}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}) = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}^{3})$ . L’ohm : $\Omega = \mathrm{V}/\mathrm{A} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{3})$ . Le farad : $\mathrm{F} = \mathrm{C}/\mathrm{V} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}/\mathrm{V} = \mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{4}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2})$ . Cette décomposition est la vérification la plus sûre qu’une formule a été correctement retenue — la section suivante la rend systématique.

1.2 Analyse dimensionnelle

Définition 1.5 (Dimension)

La dimension d’une grandeur $X$ , notée $[X]$ , enregistre la manière dont $X$ se construit sur les sept grandeurs de base, indépendamment des unités choisies : longueur $L$ , masse $M$ , temps $T$ , intensité électrique $I$ , température $\Theta$ , quantité de matière $N$ , intensité lumineuse $J$ . Une vitesse a pour dimension $[v] = L\,T^{-1}$ , une force $[F] = M\,L\,T^{-2}$ , une énergie $[E] = M\,L^2\,T^{-2}$ . Une grandeur de dimension $1$ (un angle, un rapport, un indice de réfraction) est sans dimension.

Théorème 1.6 (Principe d’homogénéité dimensionnelle)

Dans une loi physique, les deux membres d’une égalité ont la même dimension, et chaque terme d’une somme a la dimension du tout. L’argument d’une exponentielle, d’un logarithme, d’un sinus ou d’un cosinus est sans dimension.

Démonstration. Les lois de la physique ne dépendent pas des unités que les hommes choisissent. Changer l’unité de longueur d’un facteur $\lambda$ multiplie toute grandeur de dimension $L^a \cdots$ par $\lambda^{-a}$ : une égalité entre termes de dimensions différentes serait vraie dans un système d’unités et fausse dans un autre. Pour une fonction telle que $\exp$ , la série $1 + x + x^2/2 + \dots$ additionne des puissances de $x$ de dimensions différentes, à moins que $x$ ne soit sans dimension. ∎

Méthode 1.7 (Vérifier une formule)

Écrire la dimension de chaque symbole.
Réduire chaque membre (chaque terme) à un produit $L^a M^b T^c \cdots$ .
Exposants égaux des deux côtés : la formule peut être juste. Exposants inégaux : elle est certainement fausse — un facteur $g$ manquant, une grandeur au carré qui devrait être simple, un exposant qui a des dimensions.

Une formule homogène peut malgré tout être fausse d’un facteur sans dimension ( $2$ , $\pi$ , $\tfrac12$ ) : les dimensions ne les voient pas.

Exemple 1.8 (La période d’un pendule)

Un pendule de longueur $\ell$ et de masse $m$ oscille dans le champ de pesanteur $g$ . Supposons sa période de la forme $\tau = k\,\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ avec $k$ sans dimension. Alors $T = L^\alpha M^\beta (L T^{-2})^\gamma = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$ , d’où $\beta = 0$ , $\gamma = -\tfrac12$ , $\alpha = \tfrac12$ :

\tau = k\sqrt{\ell/g} .

Sans résoudre la moindre équation du mouvement : la masse disparaît, et doubler la longueur multiplie la période par $\sqrt2$ . La dynamique (Chapitre 14) fournira $k = 2\pi$ pour les petites oscillations.

Proposition 1.9 (Groupements sans dimension)

Si une grandeur $Y$ dépend de $n$ grandeurs $X_1, \dots, X_n$ faisant intervenir $r$ dimensions de base indépendantes, la relation se réécrit entre $n + 1 - r$ combinaisons sans dimension des $X_i$ et de $Y$ . Lorsque $n + 1 - r = 1$ , l’unique combinaison est nécessairement constante, et l’analyse dimensionnelle donne la loi à un facteur numérique près.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 1.10 (Utiliser la proposition)

L’énoncé général (le théorème de Vaschy–Buckingham) relève de l’algèbre linéaire sur les vecteurs d’exposants. Ce qui importe ici est la recette : lister les grandeurs pertinentes, compter les dimensions, former les groupements sans dimension. Dans l’Exemple 1.8, $n = 3$ ( $\ell, m, g$ ) et $r = 3$ ( $L, M, T$ ) : un seul groupement $\tau\sqrt{g/\ell}$ existe, et il est nécessairement constant. La traînée sur une sphère de rayon $R$ se déplaçant à la vitesse $v$ dans un fluide de masse volumique $\rho$ et de viscosité $\eta$ fait intervenir $n = 4$ grandeurs et $r = 3$ dimensions : deux groupements, $F/(\rho v^2 R^2)$ et $\rho v R/\eta$ (le nombre de Reynolds), et les dimensions seules ne disent pas comment le premier dépend du second — c’est à l’expérience de le dire.

1.3 Ordres de grandeur

Définition 1.11 (Ordre de grandeur)

L’ordre de grandeur d’une grandeur est la puissance de dix la plus proche : $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (le rayon terrestre) a pour ordre de grandeur $10^7$ ; $3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ a pour ordre $10^3$ ; $3.2 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ est plus proche de $10^3$ que de $10^4$ sur une échelle logarithmique (la frontière est $\sqrt{10} \approx 3.16$ ). Deux grandeurs sont « du même ordre » lorsque leur rapport reste inférieur à $3$ environ.

Méthode 1.12 (Estimer)

Pour estimer une grandeur que personne n’a mesurée pour vous :

la décomposer en facteurs que l’on sait estimer chacun à un facteur $2$ ou $3$ près ;
estimer chaque facteur en gardant un chiffre significatif ;
multiplier, en gardant la puissance de dix et un chiffre.

Les erreurs sur les différents facteurs se compensent en partie ; le résultat est en général juste à un facteur $3$ à $10$ près, ce qui suffit souvent à retenir ou à écarter une hypothèse.

Exemple 1.13 (La masse de l’atmosphère)

La pression atmosphérique $P_0 \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ est le poids de la colonne d’air qui surmonte un mètre carré, $P_0 = m_{\text{col}}\,g$ , donc $m_{\text{col}} \approx 10^5/10 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ par mètre carré. La surface de la Terre vaut $4\pi R^2 \approx 4 \times 3 \times (6\times10^6)^2 \approx 5 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ; l’atmosphère pèse donc environ $5 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ . La valeur admise est $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ — l’estimation n’a demandé que $P_0$ et $R$ .

Définition 1.14 (Chiffres significatifs)

Les chiffres significatifs d’un nombre écrit sont ses chiffres à partir du premier non nul : $0.0820$ en a trois, $8.20 \times 10^{-2}$ les trois mêmes, $820$ est ambigu (deux ou trois) sauf à l’écrire $8.2 \times 10^{2}$ ou $8.20 \times 10^{2}$ . Un résultat s’écrit avec les chiffres significatifs que son incertitude autorise (Méthode 1.20 ci-dessous) : pas « $g = 9.7723\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ » quand le quatrième chiffre est inconnu.

1.4 Incertitude de mesure

Définition 1.15 (Mesurande, erreur, incertitude)

Le mesurande est la grandeur que l’on entend mesurer. Répéter une mesure donne des valeurs dispersées : la mesure est variable. L’erreur d’un résultat est son écart inconnu à la valeur vraie ; l’incertitude-type $u(x)$ d’un résultat $x$ est l’écart-type des valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer au mesurande — une grandeur que l’on sait, elle, évaluer. Ses sources : l’opérateur (temps de réaction, parallaxe), l’environnement (température, vibrations), l’instrument (résolution, étalonnage), la méthode (un modèle qui n’est vrai qu’approximativement).

Proposition 1.16 (Évaluation de type A)

À partir de $n$ valeurs répétées indépendantes $x_1, \dots, x_n$ de moyenne $\bar x = \frac1n \sum x_i$ et d’écart-type expérimental

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2},

la meilleure estimation du mesurande est $\bar x$ , et son incertitude-type vaut

u(\bar x) = \frac{s}{\sqrt n} .

Démonstration partielle. Que $s$ estime la dispersion d’une mesure isolée est la définition même de l’écart-type expérimental ( $n - 1$ et non $n$ parce que la moyenne a elle-même été estimée sur les données). Que la moyenne de $n$ valeurs indépendantes se disperse $\sqrt n$ fois moins qu’une valeur isolée relève de l’addition des variances : la variance d’une somme de $n$ variables indépendantes vaut $n$ fois celle d’une seule, donc la variance de la moyenne vaut $s^2 n / n^2 = s^2/n$ . Le cours de probabilités de cette année démontre les deux énoncés. ∎

Cinquante chronométrages de la même période de pendule, regroupés par 0.01\, s. Leur dispersion vaut s 0.016\, s (un chronométrage) ; la moyenne des cinquante est connue à s/√50 0.002\, s près. La courbe en cloche est la gaussienne de même moyenne et de même dispersion. — Cinquante chronométrages de la même période de pendule, regroupés par $0.01\,\mathrm{s}$ . Leur dispersion vaut $s \approx 0.016\,\mathrm{s}$ (un chronométrage) ; la moyenne des cinquante est connue à $s/\sqrt{50} \approx 0.002\,\mathrm{s}$ près. La courbe en cloche est la gaussienne de même moyenne et de même dispersion.

Proposition 1.17 (Évaluation de type B)

Lorsqu’une valeur est lue une seule fois, son incertitude s’évalue à partir de ce que l’on sait de l’instrument. Si la valeur vraie peut se trouver n’importe où entre $x - a$ et $x + a$ sans préférence (une distribution uniforme de demi-largeur $a$ ),

u(x) = \frac{a}{\sqrt 3} .

Pour une graduation de pas $\delta$ (demi-largeur $a = \delta/2$ ), $u = \delta/(2\sqrt3) = \delta/\sqrt{12}$ ; il en va de même pour le dernier chiffre d’un afficheur numérique. Une tolérance de constructeur annoncée « $\pm a$ » se traite de la même façon, sauf indication contraire de la notice.

Démonstration. La variance d’une distribution uniforme sur $[x - a, x + a]$ vaut $\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} t^2\,\dd t = \frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^3}{3} = \frac{a^2}{3}$ ; son écart-type vaut $a/\sqrt3$ . ∎

Une lecture connue seulement à ± a près : densité uniforme 1/(2a), écart-type a/√3 0.58\,a — plus petit que a, parce que les extrêmes ne sont pas plus probables que le centre. — Une lecture connue seulement à $\pm a$ près : densité uniforme $1/(2a)$ , écart-type $a/\sqrt3 \approx 0.58\,a$ — plus petit que $a$ , parce que les extrêmes ne sont pas plus probables que le centre.

Théorème 1.18 (Incertitude composée)

Soit $y = f(x_1, \dots, x_n)$ calculé à partir de valeurs mesurées indépendantes d’incertitudes-types $u(x_i)$ . Alors

u(y)^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u(x_i)^2 .

En particulier :

somme ou différence $y = x_1 \pm x_2$ : $u(y)^2 = u(x_1)^2 + u(x_2)^2$ ;
produit ou quotient $y = x_1 x_2$ ou $x_1/x_2$ : $\left(\dfrac{u(y)}{y}\right)^2 = \left(\dfrac{u(x_1)}{x_1}\right)^2 + \left(\dfrac{u(x_2)}{x_2}\right)^2$ ;
puissance $y = k\,x^\alpha$ : $\dfrac{u(y)}{\abs y} = \abs\alpha\,\dfrac{u(x)}{\abs x}$ .

Démonstration. Pour de petits écarts $\delta x_i$ , le développement de Taylor au premier ordre donne $\delta y = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,\delta x_i$ . Les écarts sont indépendants et de moyenne nulle, donc la variance de la somme est la somme des variances, chacune multipliée par le carré de son coefficient — c’est la formule affichée. Les cas particuliers en découlent : $\partial(x_1 x_2)/\partial x_1 = x_2$ donne $u(y)^2 = x_2^2 u(x_1)^2 + x_1^2 u(x_2)^2$ , que l’on divise par $y^2 = x_1^2 x_2^2$ ; pour $y = kx^\alpha$ , $\partial y/\partial x = \alpha y/x$ . ∎

Exemple 1.19 (La masse volumique d’un cylindre)

Un cylindre : $m = 47.32\,\mathrm{g}$ ( $u = 0.01\,\mathrm{g}$ ), $d = 12.00\,\mathrm{mm}$ ( $u = 0.02\,\mathrm{mm}$ ), $h = 50.2\,\mathrm{mm}$ ( $u = 0.1\,\mathrm{mm}$ ). Comme $\rho = 4m/(\pi d^2 h)$ , le carré de l’incertitude relative additionne $(0.01/47.32)^2 = 4.5 \times 10^{-8}$ , $(2 \times 0.02/12.00)^2 = 1.1 \times 10^{-5}$ et $(0.1/50.2)^2 = 4.0 \times 10^{-6}$ : le diamètre domine, parce qu’il est au carré et mesuré à $0.17\%$ près. $u(\rho)/\rho = \sqrt{1.5 \times 10^{-5}} = 0.39\%$ ; $\rho = 8334\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , donc $u(\rho) = 33\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $\rho = (8.33 \pm 0.03)\times10^3\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — du laiton.

Méthode 1.20 (Écrire un résultat)

Arrondir l’incertitude à un chiffre significatif (deux si le premier est $1$ ou $2$ ).
Arrondir la valeur à la même décimale.
Écrire la valeur et l’incertitude avec l’unité : $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , ou $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $u(g) = 0.03\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Garder des chiffres supplémentaires pendant le calcul ; n’arrondir qu’à la fin.

Définition 1.21 (Écart normalisé)

Deux résultats $x_1 \pm u_1$ et $x_2 \pm u_2$ d’un même mesurande se comparent par leur écart normalisé

z = \frac{\abs{x_1 - x_2}}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}} .

Ils sont compatibles lorsque $z \leq 2$ ; un $z$ plus grand signale un effet non pris en compte — ou une incertitude sous-estimée. Si $x_2$ est une valeur de référence sans incertitude annoncée, on prend $u_2 = 0$ .

Remarque 1.22 (Pourquoi 2)

Si les deux résultats se dispersent comme des gaussiennes, leur différence a pour écart-type $\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$ , et une gaussienne dépasse deux fois son écart-type dans environ $5\%$ des cas. « $z \leq 2$ » est une convention, non un théorème : elle accepte à peu près une bonne mesure sur vingt comme un désaccord illusoire.

1.5 Ajuster un modèle à des données

Proposition 1.23 (Droite des moindres carrés)

Étant donné $n$ points $(x_i, y_i)$ censés obéir à $y = a x + b$ , la droite qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux $\sum_i (y_i - a x_i - b)^2$ a pour coefficients

a = \frac{\sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_i (x_i - \bar x)^2}, \qquad b = \bar y - a\,\bar x .

Démonstration. La somme est une fonction quadratique de $(a, b)$ ; annuler les deux dérivées partielles donne deux équations linéaires : $\sum_i (y_i - ax_i - b) = 0$ , c’est-à-dire $\bar y = a \bar x + b$ , et $\sum_i x_i (y_i - ax_i - b) = 0$ . En reportant $b$ dans la seconde et en centrant les variables, on obtient $a$ . La minimisation elle-même est menée dans le cours de mathématiques sur les fonctions de deux variables. ∎

Méthode 1.24 (Valider un modèle graphiquement)

Choisir des variables qui rendent la loi attendue affine : $\tau^2$ en fonction de $\ell$ pour le pendule, $\ln y$ en fonction de $\ln x$ pour une loi de puissance $y = Cx^\alpha$ (pente $\alpha$ ).
Placer les points avec leurs barres d’incertitude.
Ajuster la droite ; le modèle est acceptable si les barres encadrent la droite sans tendance systématique des résidus, et si l’ordonnée à l’origine est celle que le modèle prévoit (ici, nulle).
Lire la physique sur la pente, avec son incertitude.

2 en fonction de pour cinq longueurs de pendule, avec leurs barres d’incertitude ; la droite des moindres carrés passe par l’origine à l’incertitude près, et sa pente 4π2/g donne g. — $\tau^2$ en fonction de $\ell$ pour cinq longueurs de pendule, avec leurs barres d’incertitude ; la droite des moindres carrés passe par l’origine à l’incertitude près, et sa pente $4\pi^2/g$ donne $g$ .

Exemple 1.25 (Lire $g$ sur une pente)

Les cinq points de la figure ont $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$ , $\overline{\tau^2} = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$ , et les sommes $\sum (\ell_i - \bar\ell)(\tau_i^2 - \overline{\tau^2}) = 1.614\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{2}$ , $\sum (\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400\,\mathrm{m}^{2}$ : la pente vaut $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ , l’ordonnée à l’origine $b = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$ , négligeable. Avec $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ , il vient $g = 4\pi^2/a = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

1.6 Exercices

Exercice 1.1 ★

Exprimer le joule, le watt, le pascal et le coulomb en unités de base. En déduire que $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}$ est une unité d’énergie.

Solution

Solution de Exercice 1.1.

$\mathrm{J} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; $\mathrm{W} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-3}$ ; $\mathrm{Pa} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; $\mathrm{C} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}$ . $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = \mathrm{J}$ (le travail des forces de pression, $P\,\dd V$ ).

Exercice 1.2 ★

Donner les dimensions d’une pression, d’une puissance, d’une charge électrique, d’une tension, et des constantes $G$ (dans $F = Gm_1m_2/r^2$ ), $h$ (dans $E = h\nu$ ) et $k_B$ (dans $E = k_B T$ ).

Solution

Solution de Exercice 1.2.

Pression $M L^{-1} T^{-2}$ ; puissance $M L^2 T^{-3}$ ; charge $I\,T$ ; tension $=$ puissance/intensité $= M L^2 T^{-3} I^{-1}$ . $[G] = [F r^2/m^2] = M L T^{-2} L^2 M^{-2} = L^3 M^{-1} T^{-2}$ ; $[h] = [E/\nu] = M L^2 T^{-2} \cdot T = M L^2 T^{-1}$ ; $[k_B] = [E/T] = M L^2 T^{-2} \Theta^{-1}$ .

Exercice 1.3 ★

Ces formules sont-elles homogènes ? $v = \sqrt{2gh}$ ; $E = \tfrac12 m v$ ; $P = \rho g h$ pour une pression ; $x = v_0 t + \tfrac12 g t^2$ ; $T = 2\pi\sqrt{g/\ell}$ ; $I = I_0 \eu^{-t/RC}$ .

Solution

Solution de Exercice 1.3.

$\sqrt{2gh}$ : $\sqrt{L T^{-2} \cdot L} = L T^{-1}$ , homogène. $\tfrac12 mv$ : $M L T^{-1} \neq M L^2 T^{-2}$ , ce n’est pas une énergie. $\rho g h$ : $M L^{-3} \cdot L T^{-2} \cdot L = M L^{-1} T^{-2}$ , une pression. $v_0 t + \tfrac12 g t^2$ : les deux termes en $L$ , homogène. $2\pi\sqrt{g/\ell}$ : $\sqrt{T^{-2}} = T^{-1}$ — une fréquence, pas une période. $I_0\eu^{-t/RC}$ : $RC$ en $\Omega\,\mathrm{F} = \mathrm{s}$ , argument sans dimension, homogène.

Exercice 1.4 ★

Une règle est graduée en millimètres ; une balance numérique affiche des pas de $0.01\,\mathrm{g}$ ; la notice d’un voltmètre promet « $\pm 0.5\%$ de la lecture ». Donner l’incertitude-type de type B d’une longueur de $12.7\,\mathrm{cm}$ , d’une masse de $5.43\,\mathrm{g}$ et d’une lecture de $4.80\,\mathrm{V}$ .

Solution

Solution de Exercice 1.4.

Règle : $\delta = 1\,\mathrm{mm}$ , $u = 1/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$ . Balance : $u = 0.01/\sqrt{12} = 0.003\,\mathrm{g}$ . Voltmètre : $a = 0.005 \times 4.80 = 0.024\,\mathrm{V}$ , $u = 0.024/\sqrt3 = 0.014\,\mathrm{V}$ .

Exercice 1.5 ★★

La célérité $v$ des ondes sur une corde tendue dépend de sa tension $F$ (une force) et de sa masse linéique $\mu$ . Trouver $v$ à un facteur sans dimension près. Même question pour la célérité du son dans un gaz de pression $P$ et de masse volumique $\rho$ .

Solution

Solution de Exercice 1.5.

$v = k F^\alpha \mu^\beta$ : $L T^{-1} = (M L T^{-2})^\alpha (M L^{-1})^\beta$ , d’où $\alpha + \beta = 0$ , $\alpha - \beta = 1$ , $-2\alpha = -1$ : $\alpha = \tfrac12$ , $\beta = -\tfrac12$ , $v = k\sqrt{F/\mu}$ (en fait $k = 1$ ). Son : $P/\rho$ a pour dimension $M L^{-1} T^{-2} / (M L^{-3}) = L^2 T^{-2}$ , donc $v = k\sqrt{P/\rho}$ ( $k = \sqrt\gamma \approx 1.2$ pour l’air).

Exercice 1.6 ★★

Huit chronométrages d’une même chute, en millisecondes : $452$ , $447$ , $461$ , $455$ , $449$ , $458$ , $444$ , $454$ . Calculer la moyenne, l’écart-type expérimental et l’incertitude-type de la moyenne ; écrire le résultat.

Solution

Solution de Exercice 1.6.

Somme $= 3620\,\mathrm{ms}$ , $\bar t = 452.5\,\mathrm{ms}$ . Écarts $-0.5, -5.5, 8.5, 2.5, -3.5, 5.5, -8.5, 1.5$ ; la somme de leurs carrés vaut $226$ ; $s = \sqrt{226/7} = 5.7\,\mathrm{ms}$ ; $u(\bar t) = 5.7/\sqrt8 = 2.0\,\mathrm{ms}$ . Résultat : $t = (452.5 \pm 2.0)\,\mathrm{ms}$ .

Exercice 1.7 ★★

Une résistance est mesurée par $R = U/I$ avec $U = 4.80\,\mathrm{V}$ , $u(U) = 0.03\,\mathrm{V}$ et $I = 12.4\,\mathrm{mA}$ , $u(I) = 0.2\,\mathrm{mA}$ . Calculer $R$ et $u(R)$ ; quelle mesure faut-il améliorer en priorité ?

Solution

Solution de Exercice 1.7.

$R = 4.80/0.0124 = 387\,\Omega$ . Incertitudes relatives $0.03/4.80 = 0.63\%$ et $0.2/12.4 = 1.6\%$ ; composées, $\sqrt{0.63^2 + 1.6^2} = 1.7\%$ , $u(R) = 7\,\Omega$ : $R = (387 \pm 7)\,\Omega$ . L’intensité domine — améliorer d’abord l’ampèremètre (ou son calibre).

Exercice 1.8 ★★

Deux groupes mesurent la célérité du son : $(343 \pm 4)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $(336 \pm 3)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Sont-ils compatibles ? Un troisième groupe trouve $(352 \pm 2)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : compatible avec le premier ? avec le second ?

Solution

Solution de Exercice 1.8.

$z = 7/\sqrt{16 + 9} = 1.4 \leq 2$ : compatibles. Le troisième contre le premier : $z = 9/\sqrt{4 + 16} = 2.0$ : à la limite, tout juste compatibles. Le troisième contre le second : $z = 16/\sqrt{4 + 9} = 4.4$ : incompatibles — au moins l’un des deux souffre d’une erreur systématique ou d’une incertitude sous-estimée.

Exercice 1.9 ★★

Le volume d’une sphère est calculé à partir de son diamètre $d = 25.40\,\mathrm{mm}$ mesuré au pied à coulisse, $u(d) = 0.02\,\mathrm{mm}$ . Calculer $V$ , son incertitude relative et son incertitude absolue, puis écrire le résultat.

Solution

Solution de Exercice 1.9.

$V = \pi d^3/6 = \pi \times 25.40^3/6 = 8580\,\mathrm{mm}^{3}$ . $u(V)/V = 3\,u(d)/d = 3 \times 0.02/25.40 = 0.24\%$ , $u(V) = 20\,\mathrm{mm}^{3}$ : $V = (8.58 \pm 0.02)\,\mathrm{cm}^{3}$ .

Exercice 1.10 ★★★

Une petite sphère de rayon $R$ tombe lentement dans un liquide visqueux ; la traînée dépend de $R$ , de la vitesse $v$ et de la viscosité $\eta$ , de dimension $M L^{-1} T^{-1}$ . Montrer que $F = k\,\eta R v$ . À grande vitesse, la traînée dépend au contraire de $R$ , $v$ et de la masse volumique $\rho$ du fluide : trouver la nouvelle loi. Pour une goutte de pluie ( $R = 1\,\mathrm{mm}$ , $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , air : $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ), estimer quel régime s’applique en comparant les deux estimations.

Solution

Solution de Exercice 1.10.

$F = k\eta^a R^b v^c$ : en $M$ , $a = 1$ ; en $T$ , $-a - c = -2$ , $c = 1$ ; en $L$ , $-a + b + c = 1$ , $b = 1$ : $F = k\eta R v$ (Stokes, $k = 6\pi$ ). Avec $\rho$ à la place : en $M$ , $a = 1$ ; en $T$ , $-c = -2$ , $c = 2$ ; en $L$ , $-3 + b + 2 = 1$ , $b = 2$ : $F = k\rho R^2 v^2$ . Goutte de pluie : $\eta R v = 1.8\times10^{-5} \times 10^{-3} \times 5 \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ ; $\rho R^2 v^2 = 1.2 \times 10^{-6} \times 25 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , trois cents fois plus grand : c’est le régime inertiel (grande vitesse) qui s’applique — le rapport $\rho v R/\eta \approx 330$ est le nombre de Reynolds.

Exercice 1.11 ★★★

Quatre mesures de la tension aux bornes d’un conducteur ohmique, pour des intensités croissantes : $(I, U) = (2.0\,\mathrm{mA}, 0.41\,\mathrm{V})$ , $(4.0\,\mathrm{mA}, 0.78\,\mathrm{V})$ , $(6.0\,\mathrm{mA}, 1.22\,\mathrm{V})$ , $(8.0\,\mathrm{mA}, 1.59\,\mathrm{V})$ . Calculer la pente et l’ordonnée à l’origine des moindres carrés ; en déduire $R$ ; l’ordonnée à l’origine est-elle compatible avec zéro si chaque $U$ porte $u = 0.02\,\mathrm{V}$ ?

Solution

Solution de Exercice 1.11.

$\bar I = 5.0\,\mathrm{mA}$ , $\bar U = 1.000\,\mathrm{V}$ ; écarts en $I$ : $-3, -1, 1, 3$ ; en $U$ : $-0.59, -0.22, 0.22, 0.59$ . $\sum (I_i - \bar I)(U_i - \bar U) = 3.98$ , $\sum (I_i - \bar I)^2 = 20$ : $a = 0.199\,\mathrm{V}/\mathrm{mA} = 199\,\Omega$ , $b = 1.000 - 0.199 \times 5 = 0.005\,\mathrm{V}$ . Avec $u(U) = 0.02\,\mathrm{V}$ par point, une ordonnée à l’origine de $0.005\,\mathrm{V}$ est largement dans l’incertitude : compatible avec zéro, le conducteur est ohmique, $R \approx 199\,\Omega$ .

Exercice 1.12 ★★★

À partir de $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{2})$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ et $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , construire par analyse dimensionnelle une longueur, un temps et une masse (les unités de Planck). Les calculer et les comparer à la taille d’un proton ( $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ ) et à une masse humaine.

Solution

Solution de Exercice 1.12.

$\ell = G^a h^b c^c$ : en $M$ , $-a + b = 0$ ; en $T$ , $-2a - b - c = 0$ ; en $L$ , $3a + 2b + c = 1$ . Donc $b = a$ , $c = -3a$ , $2a = 1$ : $\ell_P = \sqrt{Gh/c^3} = \sqrt{4.42\times10^{-44}/2.7\times10^{25}} = 4.1 \times 10^{-35}\,\mathrm{m}$ ; $t_P = \ell_P/c = 1.4 \times 10^{-43}\,\mathrm{s}$ ; $m_P = \sqrt{hc/G} = \sqrt{1.99\times10^{-25}/6.67\times10^{-11}} = 5.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}$ . La longueur de Planck est vingt ordres de grandeur sous un proton ; la masse de Planck, $55\,\text{µ}\mathrm{g}$ , est un grain de poussière — énorme pour une particule, minuscule pour un être humain ( $10^9$ fois plus léger).

La matière première du chapitre : un pied à coulisse, un chronomètre, une bille, une règle, et une colonne de lectures répétées qui ne s’accordent jamais tout à fait.

1.7 Problème : mesurer $g$ avec un pendule

Problème 1.1

Problème du week-end — une ficelle, une bille, un chronomètre et un mètre ruban : avec quelle qualité une table de cuisine mesure-t-elle le champ de pesanteur terrestre, et lequel de ses quatre nombres est le maillon faible

Un pendule est une bille d’acier suspendue à un point fixe par un fil léger ; les petites oscillations ont pour période $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ , où $\ell$ est la distance du point de suspension au centre de la bille. On veut une valeur de $g$ assortie d’une incertitude défendable.

Partie I — Le modèle.

Vérifier l’homogénéité de $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ .
La bille a pour masse $m$ . Montrer par les seules dimensions que la période ne peut pas dépendre de $m$ si elle ne dépend que de $\ell$ , $g$ et $m$ .
La période dépend aussi, légèrement, de l’amplitude $\theta_0$ des oscillations. Pourquoi l’analyse dimensionnelle l’autorise-t-elle, et que faut-il faire expérimentalement pour que la formule reste applicable ?
Exprimer $g$ en fonction de $\ell$ et de $\tau$ .

Partie II — Mesurer la longueur. Le mètre ruban est gradué en millimètres ; le fil mesure $99.0\,\mathrm{cm}$ du point de suspension au sommet de la bille, dont le diamètre vaut $2.00\,\mathrm{cm}$ , l’un et l’autre lus une seule fois.

Calculer $\ell$ .
Évaluer l’incertitude de type B d’une lecture isolée sur le ruban.
Repérer le point de suspension et le centre de la bille ajoute une erreur possible estimée à $\pm5\,\mathrm{mm}$ (uniforme). La combiner à la question précédente pour obtenir $u(\ell)$ , et donner l’incertitude relative $u(\ell)/\ell$ .

Partie III — Mesurer la période. Pour réduire l’effet du temps de réaction, on chronomètre dix périodes. Huit chronométrages, en secondes : $20.12$ , $20.05$ , $20.18$ , $20.09$ , $20.15$ , $20.02$ , $20.11$ , $20.08$ .

Pourquoi chronométrer dix périodes plutôt qu’une ? Pourquoi répéter huit fois le chronométrage ?
Calculer la moyenne $\overline{t_{10}}$ et l’écart-type expérimental $s$ des huit chronométrages.
En déduire l’incertitude-type de la moyenne, puis la période $\tau$ et son incertitude $u(\tau)$ .
Comparer $u(\tau)/\tau$ à $u(\ell)/\ell$ .

Partie IV — Le résultat et son point faible.

Calculer $g$ .
Écrire $u(g)/g$ en fonction de $u(\ell)/\ell$ et $u(\tau)/\tau$ , puis le calculer.
Écrire le résultat sous la forme normalisée.
Comparer à la valeur de référence $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ par l’écart normalisé. Verdict ?
Laquelle des deux grandeurs mesurées limite la précision sur $g$ ? Proposer deux améliorations concrètes et dire de combien chacune réduirait l’incertitude relative.
On suppose qu’un alignement négligent a fait surestimer toutes les longueurs de $5\,\mathrm{mm}$ . Cela est-il pris en compte dans le bilan d’incertitude ? Quel nom porte ce genre d’erreur, et comment la détecterait-on ?

Partie V — Cinq longueurs et une droite. L’expérience est répétée pour $\ell = 0.400$ , $0.600$ , $0.800$ , $1.000$ et $1.200\,\mathrm{m}$ , donnant $\tau^2 = 1.62$ , $2.41$ , $3.25$ , $4.04$ et $4.84\,\mathrm{s}^{2}$ , chacun avec $u(\tau^2) \approx 1\%$ .

Pourquoi tracer $\tau^2$ en fonction de $\ell$ plutôt que $\tau$ en fonction de $\ell$ ?
Calculer $\bar\ell$ et $\overline{\tau^2}$ .
Calculer la pente $a$ et l’ordonnée à l’origine $b$ des moindres carrés.
En déduire $g$ à partir de la pente.
Interpréter l’ordonnée à l’origine : que révélerait un $b$ nettement non nul ?
L’ajustement numérique annonce $u(a) = 0.05\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ . En déduire $u(g)$ et écrire le résultat.
Comparer le résultat à longueur unique de la partie IV avec celui-ci par l’écart normalisé.
Un étudiant propose de mesurer plutôt une seule oscillation d’un pendule de $10\,\mathrm{m}$ dans une cage d’escalier, avec le même ruban et le même chronomètre. Estimer l’incertitude relative sur $g$ que cela donnerait, et conclure sur la meilleure stratégie.

Solution

Solution de Problème 1.1.

1. $\sqrt{L/(L T^{-2})} = \sqrt{T^2} = T$ .

2. $\tau = k\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ donne $T = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$ , donc $\beta = 0$ : aucune combinaison de $\ell$ et de $g$ ne peut compenser une masse.

3. $\theta_0$ est sans dimension, donc tout facteur $f(\theta_0)$ est invisible aux dimensions. Il faut garder l’amplitude petite (sous $10^\circ$ environ), où $f \approx 1$ à mieux que $0.2\%$ près.

4. $g = 4\pi^2\ell/\tau^2$ .

5. $\ell = 99.0 + 1.00 = 100.0\,\mathrm{cm} = 1.000\,\mathrm{m}$ .

6. $u = 1\,\mathrm{mm}/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$ .

7. Alignement : $5/\sqrt3 = 2.9\,\mathrm{mm}$ ; au total $\sqrt{0.29^2 + 2.9^2} = 2.9\,\mathrm{mm}$ — la lecture du ruban est négligeable. $u(\ell)/\ell = 0.29\%$ .

8. L’erreur de temps de réaction (environ $0.1\,\mathrm{s}$ ) est la même que l’on chronomètre une période ou dix, donc son effet sur une période est dix fois plus petit. Répéter révèle la dispersion (d’où $s$ ) et divise l’incertitude de la moyenne par $\sqrt8$ .

9. Somme $= 160.80\,\mathrm{s}$ , $\overline{t_{10}} = 20.100\,\mathrm{s}$ . Écarts $0.02, -0.05, 0.08, -0.01, 0.05, -0.08, 0.01, -0.02$ ; la somme de leurs carrés vaut $188 \times 10^{-4}$ ; $s = \sqrt{188\times10^{-4}/7} = 0.052\,\mathrm{s}$ .

10. $u(\overline{t_{10}}) = 0.052/\sqrt8 = 0.018\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2.0100\,\mathrm{s}$ , $u(\tau) = 0.0018\,\mathrm{s}$ .

11. $u(\tau)/\tau = 0.09\%$ , trois fois plus petit que $u(\ell)/\ell = 0.29\%$ .

12. $g = 4\pi^2 \times 1.000/2.0100^2 = 39.48/4.040 = 9.772\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

13. $g \propto \ell\,\tau^{-2}$ : $\dfrac{u(g)}{g} = \sqrt{\left(\dfrac{u(\ell)}{\ell}\right)^2 + \left(2\dfrac{u(\tau)}{\tau}\right)^2} = \sqrt{0.29^2 + 0.18^2}\,\% = 0.34\%$ .

14. $u(g) = 0.0034 \times 9.772 = 0.033\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

15. $z = \abs{9.772 - 9.81}/0.033 = 1.2 \leq 2$ : compatibles.

16. La longueur ( $0.29\%$ contre $0.18\%$ pour le terme de période). Repérer les deux extrémités à $\pm1\,\mathrm{mm}$ près ramène $u(\ell)/\ell$ à $0.06\%$ et $u(g)/g$ à $\sqrt{0.06^2 + 0.18^2} = 0.19\%$ ; doubler la longueur divise par deux $u(\ell)/\ell$ et allonge $\tau$ , ce qui aide les deux termes. Chronométrer vingt périodes au lieu de dix ne divise par deux que le terme de période : $u(g)/g = \sqrt{0.29^2 + 0.09^2} = 0.30\%$ — un maigre gain tant que la longueur est le goulet d’étranglement.

17. Non : un décalage commun à toutes les lectures est une erreur systématique (un biais) ; le bilan couvre la dispersion aléatoire et les tolérances annoncées, pas un décalage constant. On le détecte en changeant de méthode ou d’instrument, ou — partie V — par une ordonnée à l’origine non nulle de la droite $\tau^2$ – $\ell$ .

18. $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ est une droite passant par l’origine : la linéarité et l’ordonnée à l’origine nulle se testent toutes deux à l’œil et par les moindres carrés ; $\tau \propto \sqrt\ell$ , non.

19. $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$ ; $\overline{\tau^2} = 16.16/5 = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$ .

20. Écarts en $\ell$ : $-0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4$ ; en $\tau^2$ : $-1.612, -0.822, 0.018, 0.808, 1.608$ . Somme des produits $= 1.614$ , $\sum(\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400$ : $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ , $b = 3.232 - 4.035 \times 0.800 = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$ .

21. $g = 4\pi^2/a = 39.48/4.035 = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

22. $b \approx 0$ , comme le modèle le prévoit. Un $b$ nettement non nul trahirait un décalage systématique $\delta$ sur toutes les longueurs ( $\tau^2 = a(\ell_{\text{meas}} - \delta)$ donne $b = -a\delta$ ), par exemple un centre de bille mal repéré — ou un effet d’amplitude.

23. $u(g)/g = u(a)/a = 0.05/4.035 = 1.2\%$ , $u(g) = 0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $g = (9.78 \pm 0.12)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

24. $z = \abs{9.772 - 9.784}/\sqrt{0.033^2 + 0.12^2} = 0.1$ : parfaitement compatibles. La mesure unique soignée est la plus précise ; la droite valide le modèle et protège d’un décalage sur les longueurs.

25. $\tau = 2\pi\sqrt{10/9.8} = 6.3\,\mathrm{s}$ ; une seule oscillation chronométrée avec un temps de réaction d’environ $0.2\,\mathrm{s}$ donne $u(\tau)/\tau \approx 3\%$ , donc $u(g)/g \approx 6\%$ , alors que $u(\ell)/\ell$ tombe à $0.03\%$ : vingt fois pire que la partie IV. Le gain sur la longueur est gâché par le chronométrage d’une période unique. Meilleure stratégie : pendule long et périodes nombreuses, en répétant — dix oscillations du pendule de $10\,\mathrm{m}$ , huit fois, donnent $u(\tau)/\tau \approx 0.03\%$ et $u(g)/g \approx 0.07\%$ .

Termes définis dans ce chapitre

Voir les 393 termes du glossaire

1.1 Le Système international d’unités

1.2 Analyse dimensionnelle

1.3 Ordres de grandeur

1.4 Incertitude de mesure

1.5 Ajuster un modèle à des données

1.6 Exercices

1.7 Problème : mesurer ggg avec un pendule

Termes définis dans ce chapitre

1.7 Problème : mesurer $g$ avec un pendule