Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

14Oscillateurs mécaniques : amortissement et résonance

Poussez une balançoire au mauvais moment et il ne se passe pas grand-chose ; poussez-la une fois par période, doucement, et en une douzaine d’allers-retours l’enfant crie de joie tout en haut de l’arc. Une machine à laver tremble violemment à une vitesse précise de son essorage, et redevient silencieuse au-dessus. Un verre à pied chante quand un doigt mouillé en parcourt le bord à la bonne cadence, et se brise quand une chanteuse tient la même note assez fort. Chacun de ces phénomènes est une résonance : un système doté d’une fréquence propre, excité près de cette fréquence, accumule de l’énergie cycle après cycle jusqu’à ce que le frottement en évacue autant qu’il en entre. Ce chapitre reprend l’oscillateur mécanique — libre, amorti, puis forcé — et en tire les courbes de résonance dont les jumelles électriques sont apparues au Chapitre 8.

14.1 L’oscillateur harmonique

Définition 14.1 (Oscillateur harmonique)

Un système dont l’écart $x$ à un équilibre stable obéit à

\ddot x + \omega_0^2\,x = 0

est un oscillateur harmonique de pulsation propre $\omega_0$ (de période $T_0 = 2\pi/\omega_0$ ). La solution $x = A\cos(\omega_0t + \varphi)$ a une amplitude et une phase fixées par les conditions initiales, et une période indépendante de l’amplitude (isochronisme).

Proposition 14.2 (D’où viennent les oscillateurs harmoniques)

Masse $m$ sur un ressort $k$ : $\omega_0^2 = k/m$ (loi de Hooke).
Pendule simple de longueur $\ell$ , petits angles : $\omega_0^2 = g/\ell$ .
Tout point au voisinage d’un équilibre stable d’un potentiel $E_p$ : $\omega_0^2 = E_p''(x_0)/m$ (Proposition 13.12).
Circuit LC : $\omega_0^2 = 1/LC$ , avec $q \leftrightarrow x$ , $L \leftrightarrow m$ , $1/C \leftrightarrow k$ .

L’énergie $E = \tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 m\omega_0^2x^2 = \tfrac12 m\omega_0^2A^2$ est constante et passe d’une forme, cinétique, à l’autre, potentielle, deux fois par période.

Démonstration. La deuxième loi de Newton avec $F = -kx$ ; l’équation du pendule $\ddot\theta + (g/\ell)\sin\theta = 0$ avec $\sin\theta \approx \theta$ ; la formule de Taylor au minimum de $E_p$ ; la loi des mailles du circuit LC. Pour l’énergie : on dérive et on utilise l’équation. ∎

Exemple 14.3 (Un cylindre qui tangue)

Un cylindre vertical de section $S$ flotte avec une hauteur $h$ immergée ( $mg = \rho_wgSh$ , poussée d’Archimède du Chapitre 21). Enfoncé de $x$ , il reçoit une force supplémentaire vers le haut $\rho_wgSx$ : $m\ddot x = -\rho_wgSx$ , donc $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ — comme un pendule de longueur $h$ . Une bouée immergée de $1\,\mathrm{m}$ tangue avec une période de $2\,\mathrm{s}$ , quelle que soit sa masse.

14.2 L’oscillateur amorti

Proposition 14.4 (Oscillateur amorti)

Avec un frottement visqueux $-\alpha\dot x$ , l’équation devient

\ddot x + \frac{\omega_0}{Q}\dot x + \omega_0^2x = 0, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} = \frac{m\omega_0}{\alpha},

c’est la forme canonique du second ordre du Chapitre 7 : pour $Q > \tfrac12$ , une décroissance pseudo-périodique $x = A\eu^{-t/\tau}\cos(\omega t + \varphi)$ avec $\tau = 2Q/\omega_0$ et $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ; l’énergie décroît en $\eu^{-2t/\tau}$ et

Q = 2\pi\,\frac{\text{énergie stockée}}{\text{énergie perdue par période}} \quad (Q \gg 1) .

Démonstration. On divise $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ par $m$ . Pour l’énergie : $E \propto A^2\eu^{-2t/\tau}$ perd la fraction $2T/\tau = 2\pi/Q$ par période lorsque celle-ci est petite. ∎

Exemple 14.5 (Durées de sonnerie)

Un diapason à $440\,\mathrm{Hz}$ s’entend encore dix secondes après avoir été frappé : son amplitude est tombée à environ $5\%$ en $3\tau = 10\,\mathrm{s}$ , donc $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ et $Q = \omega_0\tau/2 \approx 4600$ . La suspension d’une voiture ( $Q \approx 0.7$ ) s’arrête en moins d’une période ; une balançoire ( $Q \approx 20$ ) perd un tiers de son énergie par aller-retour et réclame une poussée à chaque fois.

14.3 Oscillations forcées et résonance

Théorème 14.6 (Oscillateur excité sinusoïdalement)

Excité par une force $F_0\cos\omega t$ , l’oscillateur amorti

m\ddot x + \alpha\dot x + kx = F_0\cos\omega t

s’installe, après un transitoire de durée $\sim\tau$ , dans le régime forcé $x = X\cos(\omega t + \varphi)$ avec, en posant $x_r = \omega/\omega_0$ et $X_0 = F_0/k$ la déformation statique,

X = \frac{X_0}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \tan\varphi = -\frac{x_r/Q}{1 - x_r^2}, \quad \varphi \in [-\pi, 0] .

L’amplitude $X$ passe par un maximum, pour $Q > 1/\sqrt2$ , en $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ avec $X_{\max} \approx QX_0$ ; l’amplitude de vitesse $V = \omega X$ est maximale exactement en $\omega_0$ , où $V_{\max} = F_0/\alpha$ , et sa courbe de résonance

\frac{V}{V_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}}

a pour bande passante $\Delta\omega = \omega_0/Q$ . En $\omega_0$ , le déplacement est en retard de $\pi/2$ sur la force et la vitesse est en phase avec elle.

Démonstration. Méthode complexe (Chapitre 8) : $\underline X(-\omega^2 + j\omega\omega_0/Q + \omega_0^2) = F_0/m$ , donc $\underline X = (F_0/m)/(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q)$ ; on divise numérateur et dénominateur par $\omega_0^2 = k/m$ . Le module et l’argument suivent ; le maximum de $X$ a été localisé à la Proposition 8.10 (même fonction). Vitesse : $\underline V = j\omega\underline X$ donne $V = \omega X$ ; en écrivant $(1 - x_r^2)/x_r = 1/x_r - x_r$ , le dénominateur devient $\sqrt{1/Q^2 + (1/x_r - x_r)^2}$ , c’est-à-dire la forme du RLC. En $x_r = 1$ , $\underline X = -jQX_0$ : un retard de $\pi/2$ . ∎

Amplitude (à gauche) et phase (à droite) de l’oscillateur forcé en fonction de la fréquence d’excitation, pour plusieurs facteurs de qualité. Un pic aigu près de _0 pour Q grand, aucun en dessous de Q = 1/√2 ; le déplacement passe de en phase ( faible) à en opposition ( grande), par un retard de π/2 en _0 — plus la résonance est aiguë, plus le basculement est brutal. — Amplitude (à gauche) et phase (à droite) de l’oscillateur forcé en fonction de la fréquence d’excitation, pour plusieurs facteurs de qualité. Un pic aigu près de $\omega_0$ pour $Q$ grand, aucun en dessous de $Q = 1/\sqrt2$ ; le déplacement passe de en phase ( $\omega$ faible) à en opposition ( $\omega$ grande), par un retard de $\pi/2$ en $\omega_0$ — plus la résonance est aiguë, plus le basculement est brutal.

Remarque 14.7 (Deux résonances, un seul circuit)

La correspondance $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ , $F \leftrightarrow e$ transporte l’oscillateur forcé sur le RLC série du Chapitre 8 : la résonance en vitesse est la résonance en intensité (toujours en $\omega_0$ , de bande passante $\omega_0/Q$ ), la résonance en amplitude est celle de la charge, c’est-à-dire de la tension du condensateur (un peu au-dessous de $\omega_0$ , absente pour $Q$ faible). La puissance absorbée, $\langle F\dot x\rangle = \tfrac12 F_0V\cos\varphi_v$ , est maximale en $\omega_0$ et y vaut $F_0^2/2\alpha$ , et les points de demi-puissance délimitent la bande passante en vitesse — exactement comme pour le RLC.

Exemple 14.8 (Vitesses de résonance)

La suspension d’une voiture a $f_0 \approx 1.3\,\mathrm{Hz}$ (Problème 7.1). Sur une route à tôle ondulée de période $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ , la fréquence d’excitation vaut $v/\lambda$ : résonance à $v = \lambda f_0 = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , environ $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — la vitesse à laquelle une telle route secoue le plus la voiture, et la raison pour laquelle on monte un amortisseur de $Q \approx 0.7$ : avec $Q = 5$ , la caisse rebondirait avec cinq fois l’amplitude de la route. Au-dessus de la résonance ( $x_r \gg 1$ ), l’amplitude tombe comme $X_0/x_r^2$ : la caisse « flotte » au-dessus des bosses rapides — l’isolation, l’autre visage de la résonance.

14.4 Excitation par la base : isolation et sismomètre

Proposition 14.9 (Oscillateur secoué par son support)

Soit un système masse–ressort–amortisseur dont le support se déplace de $x_g(t)$ (la route sous une voiture, le sol sous un sismomètre) ; soit $u$ le déplacement de la masse par rapport au support et $x = x_g + u$ son déplacement absolu (compté depuis l’équilibre). Alors

m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g ,

et, pour $x_g = X_g\cos\omega t$ , avec $x_r = \omega/\omega_0$ :

\frac{U}{X_g} = \frac{x_r^2}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \frac{X}{X_g} = \sqrt{\frac{1 + x_r^2/Q^2}{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}} .

Pour $x_r \gg 1$ : $U \to X_g$ (la masse reste immobile dans l’espace — un sismomètre lit le déplacement du sol) et $X \to 0$ (la masse est isolée des secousses) ; pour $x_r \ll 1$ : $U \approx \ddot x_g/\omega_0^2$ (un accéléromètre) et $X \approx X_g$ (la masse suit le support).

Démonstration. Le ressort et l’amortisseur agissent sur le mouvement relatif : $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ , et $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ . En complexes, $\underline U(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q) = \omega^2X_g$ , d’où $U/X_g$ ; puis $\underline X = \underline U + X_g = X_g(1 + jx_r/Q)/(1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ . ∎

Une masse secouée par son support. À gauche : le mouvement relatif U/X_g — un accéléromètre en dessous de _0 (pente 2 en échelles logarithmiques), un sismomètre au-dessus. À droite : le mouvement absolu X/X_g — la masse suit le support à basse fréquence, elle en est isolée bien au-dessus de _0 ; un Q élevé n’apporte rien qu’un pic dangereux. — Une masse secouée par son support. À gauche : le mouvement relatif $U/X_g$ — un accéléromètre en dessous de $\omega_0$ (pente $2$ en échelles logarithmiques), un sismomètre au-dessus. À droite : le mouvement absolu $X/X_g$ — la masse suit le support à basse fréquence, elle en est isolée bien au-dessus de $\omega_0$ ; un $Q$ élevé n’apporte rien qu’un pic dangereux.

Exemple 14.10 (Pourquoi les machines reposent sur des supports souples)

Un moteur à $50\,\mathrm{Hz}$ sur des plots de caoutchouc accordés à $f_0 = 10\,\mathrm{Hz}$ ( $x_r = 5$ , $Q \approx 2$ ) : $X/X_g = \sqrt{(1 + 6.25)/(576 + 6.25)} = 0.11$ — neuf dixièmes de la vibration ne passent pas dans le plancher. Les plots doivent être plus souples que l’intuition ne le suggère : les raidir remonte $f_0$ vers $50$ Hz et détruit l’isolation. La même formule, lue à l’envers, décrit la voiture de l’Exemple 14.8 sur sa tôle ondulée.

14.5 Énergie : comment une résonance s’installe

Proposition 14.11 (Bilan d’énergie en régime forcé)

En régime forcé établi, la puissance moyenne fournie par la force d’excitation égale la puissance moyenne dissipée par le frottement, $\tfrac12\alpha V^2$ . À la résonance, l’énergie stockée $\tfrac12 mV_{\max}^2$ vaut $Q/2\pi$ fois l’énergie fournie par période : l’oscillateur accumule le travail de l’excitation sur environ $Q$ cycles avant que les pertes n’égalent l’apport, ce qui est aussi le nombre de cycles ( $\sim\tau/T$ ) que dure le transitoire.

Démonstration. Moyennons le théorème de l’énergie sur une période : $\langle\dd E/\dd t\rangle = 0$ en régime établi, donc $\langle F\dot x\rangle = \langle\alpha\dot x^2\rangle = \tfrac12\alpha V^2$ . À la résonance, $V_{\max} = F_0/\alpha$ , l’énergie stockée vaut $\tfrac12 m(F_0/\alpha)^2$ , l’énergie fournie par période $\tfrac12\alpha(F_0/\alpha)^2T$ ; le rapport vaut $m/(\alpha T) = Q/2\pi$ . ∎

Exemple 14.12 (La balançoire)

Une balançoire de $2.5\,\mathrm{m}$ ( $T_0 = 3.2\,\mathrm{s}$ , $Q \approx 20$ ) reçoit une poussée de $50\,\mathrm{N}$ sur $0.5\,\mathrm{m}$ à chaque période : $25\,\mathrm{J}$ par cycle. L’amplitude croît jusqu’à ce que la perte par période, $2\pi E/Q$ , égale $25\,\mathrm{J}$ : $E = 80\,\mathrm{J}$ ; avec un enfant de $30\,\mathrm{kg}$ , $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80\,\mathrm{J}$ donne $\theta_{\max} \approx 27^\circ$ . Poussé sur tout autre rythme, le travail des poussées changerait de signe et se moyennerait à rien.

Établissement d’une résonance (Q = 5, excitation branchée à t = 0 sur _0) : l’amplitude croît vers QX_0 avec la constante de temps = 2Q/ _0, c’est-à-dire sur environ Q/π périodes — le transitoire du superposé au régime forcé. — Établissement d’une résonance ( $Q = 5$ , excitation branchée à $t = 0$ sur $\omega_0$ ) : l’amplitude croît vers $QX_0$ avec la constante de temps $\tau = 2Q/\omega_0$ , c’est-à-dire sur environ $Q/\pi$ périodes — le transitoire du Chapitre 7 superposé au régime forcé.

14.6 Exercices

Exercice 14.1 ★

Une masse de $0.20\,\mathrm{kg}$ sur un ressort de raideur $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ oscille avec une amplitude de $5.0\,\mathrm{cm}$ . Pulsation, fréquence, période, vitesse maximale, énergie totale.

Solution

Solution de Exercice 14.1.

$\omega_0 = \sqrt{80/0.20} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 3.2\,\mathrm{Hz}$ , $T_0 = 0.31\,\mathrm{s}$ ; $v_{\max} = A\omega_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E = \tfrac12 kA^2 = 0.10\,\mathrm{J}$ .

Exercice 14.2 ★

Période d’un pendule de $1.0\,\mathrm{m}$ sur Terre et sur la Lune ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Qu’advient-il, sur la Lune, de la période du système masse–ressort ?

Solution

Solution de Exercice 14.2.

$T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ : $2.0\,\mathrm{s}$ sur Terre, $4.9\,\mathrm{s}$ sur la Lune. La période du système masse–ressort, $2\pi\sqrt{m/k}$ , ne fait pas intervenir $g$ : elle est inchangée.

Exercice 14.3 ★

Un oscillateur a $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ et $Q = 50$ . Temps de décroissance $\tau$ de l’amplitude ; temps de demi-vie de l’énergie ; nombre d’oscillations avant que l’amplitude soit descendue à $5\%$ .

Solution

Solution de Exercice 14.3.

$\tau = 2Q/\omega_0 = 100/(4\pi) = 8.0\,\mathrm{s}$ ; l’énergie, $\propto \eu^{-2t/\tau}$ , est divisée par deux en $t = \tau\ln2/2 = 2.8\,\mathrm{s}$ ; $5\%$ après $3\tau = 24\,\mathrm{s}$ , soit environ $48 \approx Q$ oscillations.

Exercice 14.4 ★

Une masse sur un ressort ( $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , $Q = 10$ ) est excitée par une force d’amplitude $1.0\,\mathrm{N}$ . Déformation statique ; amplitude à la résonance ; amplitude à $\omega = 3\omega_0$ .

Solution

Solution de Exercice 14.4.

$X_0 = F_0/k = 1.0\,\mathrm{cm}$ ; à la résonance, $\approx QX_0 = 10\,\mathrm{cm}$ ; en $3\omega_0$ : $X_0/\sqrt{64 + 0.09} = 0.13\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 14.5 ★★

Une voiture ( $f_0 = 1.3\,\mathrm{Hz}$ , $Q = 0.7$ ) franchit des ralentisseurs espacés de $8.0\,\mathrm{m}$ . Vitesse de résonance ? À $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , quelle fraction de l’amplitude des bosses la caisse ressent-elle ? Commenter.

Solution

Solution de Exercice 14.5.

$v = Lf_0 = 8.0 \times 1.3 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $37\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). À $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $f = 16.7/8.0 = 2.1\,\mathrm{Hz}$ , $x_r = 1.6$ : $X/X_g = \sqrt{(1 + 5.2)/(2.4 + 5.2)} = 0.90$ — à peine isolée ; l’isolation demande $x_r \gg 1$ (à $120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , $x_r = 3.2$ : $0.45$ ).

Exercice 14.6 ★★

Expliquer, par le bilan d’énergie, pourquoi une balançoire doit être poussée à sa propre période ; pour $Q = 20$ et une poussée qui apporte $25\,\mathrm{J}$ par cycle, trouver l’énergie du régime établi et l’amplitude pour un enfant de $30\,\mathrm{kg}$ sur une balançoire de $2.5\,\mathrm{m}$ .

Solution

Solution de Exercice 14.6.

Le travail d’une poussée n’est positif que lorsqu’elle agit dans le sens du mouvement ; poussée à chaque période, toutes les poussées s’ajoutent ; sur tout autre rythme, elles alternent. Régime établi : $2\pi E/Q = 25\,\mathrm{J}$ , $E = 80\,\mathrm{J}$ ; $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80$ : $1 - \cos\theta_{\max} = 0.109$ , $\theta_{\max} = 27^\circ$ .

Exercice 14.7 ★★

Les maxima successifs d’une oscillation libre diminuent de $10\%$ à chaque période. Trouver $Q$ et la bande passante (en hertz) de sa résonance en vitesse si $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ .

Solution

Solution de Exercice 14.7.

$\delta = \ln(1/0.9) = 0.105$ , $Q = \pi/\delta = 30$ ; $\Delta f = f_0/Q = 0.067\,\mathrm{Hz}$ .

Exercice 14.8 ★★

Donner la phase du déplacement par rapport à la force bien en dessous de la résonance, à la résonance et bien au-dessus, ainsi que la phase de la vitesse à la résonance. Pourquoi la résonance en vitesse est-elle celle qui compte pour la puissance ?

Solution

Solution de Exercice 14.8.

Déplacement : en phase ( $\varphi = 0$ ) bien en dessous, $-\pi/2$ à la résonance, $-\pi$ (en opposition) bien au-dessus. Vitesse à la résonance : en phase avec la force. La puissance vaut $\vect F\cdot\vect v$ : c’est la phase de la vitesse, non celle du déplacement, qui décide du travail fourni par l’excitation.

Exercice 14.9 ★★

Montrer que l’amplitude de vitesse $V = \omega X$ est maximale exactement en $\omega_0$ , avec $V_{\max} = F_0/\alpha$ , et que $V/V_{\max}$ a la forme $1/\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}$ .

Solution

Solution de Exercice 14.9.

$V = \omega X = \omega(F_0/m)/\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega\omega_0/Q)^2}$ ; en divisant numérateur et dénominateur par $\omega\omega_0/Q$ : $V = (F_0Q/m\omega_0)/ \sqrt{1 + Q^2(\omega_0/\omega - \omega/\omega_0)^2}$ , et $F_0Q/m\omega_0 = F_0/\alpha$ . La racine est $\geq 1$ , et vaut $1$ exactement en $\omega = \omega_0$ .

Exercice 14.10 ★★★

Calculer la puissance moyenne absorbée à la résonance pour $F_0 = 1.0\,\mathrm{N}$ et $\alpha = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , ainsi que l’énergie stockée si $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ ; vérifier que leur rapport vaut $Q/\omega_0$ avec $\omega_0 = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

Solution

Solution de Exercice 14.10.

$P = F_0^2/2\alpha = 10\,\mathrm{W}$ ; $V_{\max} = F_0/\alpha = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E = \tfrac12 mV_{\max}^2 = 40\,\mathrm{J}$ ; $E/P = 4.0\,\mathrm{s}$ et $Q/\omega_0 = m/\alpha = 4.0\,\mathrm{s}$ .

Exercice 14.11 ★★★

Un diapason à $440\,\mathrm{Hz}$ s’entend pendant $10\,\mathrm{s}$ (amplitude tombée à $5\%$ ). Estimer $\tau$ et $Q$ , la bande passante de sa résonance, et commenter ce qui en fait un bon étalon de fréquence.

Solution

Solution de Exercice 14.11.

$3\tau = 10\,\mathrm{s}$ : $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ , $Q = \omega_0\tau/2 = 2\pi \times 440 \times 3.3/2 \approx 4600$ ; $\Delta f = f_0/Q = 0.1\,\mathrm{Hz}$ . Il ne répond qu’à une fréquence, et n’en émet qu’une : un étalon bon à quelques $10^4$ ^es près.

Exercice 14.12 ★★★

Établir la fréquence de tangage d’un cylindre flottant (Exemple 14.3) à partir de la loi de Newton et de la poussée d’Archimède $\rho_wgS(h + x)$ ; montrer que $\omega_0^2 = g/h$ ; calculer la période pour $h = 10\,\mathrm{cm}$ . Pourquoi le résultat est-il indépendant de la masse et du liquide ?

Solution

Solution de Exercice 14.12.

$m\ddot x = mg - \rho_wgS(h + x) = -\rho_wgSx$ (puisque $mg = \rho_wgSh$ ) : $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ ; $T = 2\pi\sqrt{0.10/9.81} = 0.63\,\mathrm{s}$ . La masse et la masse volumique du liquide n’interviennent qu’à travers la profondeur d’équilibre $h$ .

Un sismographe : une lourde masse sur une suspension souple reste immobile tandis que le sol bouge, et la plume écrit la différence — c’est l’oscillateur excité par la base du problème du week-end.

14.7 Problème : le sismographe

Problème 14.1

Problème du week-end — une masse pend à un ressort dans un boîtier boulonné au sol ; le sol tremble : qu’écrit la plume, pourquoi le même instrument mesure un déplacement à haute fréquence et une accélération à basse fréquence, et pourquoi un sismomètre longue période ne peut pas être simplement un long ressort

Une masse $m = 1.0\,\mathrm{kg}$ pend à un ressort de raideur $k$ à l’intérieur d’un bâti rigide fixé au sol ; un amortisseur exerce $-\alpha\dot u$ , où $u$ est le déplacement de la masse par rapport au bâti, compté depuis sa position d’équilibre. Le sol, et donc le bâti, se déplace verticalement de $x_g(t)$ . Le référentiel des étoiles lointaines est galiléen.

Partie I — L’équation.

Écrire la position absolue de la masse sous la forme $x = x_g + u + \text{const}$ , faire le bilan des forces sur la masse (dans le référentiel galiléen), et montrer que

$m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g .$
La mettre sous forme canonique ; identifier $\omega_0$ et $Q$ .
L’instrument est construit avec $f_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ et $Q = 0.70$ : calculer $k$ et $\alpha$ .
Une accélération constante du sol $a_g$ (le bâti qui bascule, par exemple) donne quel $u$ permanent ? Interpréter.
Qu’enregistre la plume liée à la masse, qui écrit sur un tambour solidaire du bâti ?

Partie II — Mouvement harmonique du sol. Le sol se déplace selon $x_g = X_g\cos\omega t$ ; on pose $x_r = \omega/\omega_0$ .

À l’aide des amplitudes complexes, montrer que $\underline U = X_g\,x_r^2/ (1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ .
En déduire $U/X_g$ en fonction de $x_r$ et de $Q$ .
Limite $x_r \gg 1$ : montrer que $U \to X_g$ et expliquer physiquement ce que fait la masse (que mesure alors l’instrument ?).
Limite $x_r \ll 1$ : montrer que $U \approx x_r^2X_g = a_g/\omega_0^2$ , où $a_g$ est l’amplitude d’accélération du sol : qu’est devenu l’instrument ?
Valeur en $x_r = 1$ ; pourquoi $Q \approx 0.7$ est-il un choix raisonnable ?
Esquisser $U/X_g$ en fonction de $x_r$ (échelles logarithmiques) pour $Q = 0.7$ et $Q = 5$ .
Phase de $u$ par rapport à $x_g$ à haute fréquence ; interpréter.

Partie III — Dimensionner pour les séismes. Les séismes lointains produisent des ondes de surface de $0.05\,$ à $0.1\,\mathrm{Hz}$ et d’amplitude millimétrique ; les secousses locales atteignent $5\,$ à $10\,\mathrm{Hz}$ .

Pour enregistrer les ondes à $0.05\,\mathrm{Hz}$ comme des déplacements, on veut $f_0 \ll 0.05\,\mathrm{Hz}$ , disons $0.02\,\mathrm{Hz}$ . Quel allongement statique le ressort prendrait-il sous le poids de la masse ? Commenter.
Un pendule simple de même fréquence : quelle longueur ?
Les instruments longue période réels emploient un pendule presque horizontal, dit « de porte de jardin », ou une contre-réaction électronique de force. Expliquer en une phrase ce qu’apporte chacun.
Pour l’instrument à $0.50\,\mathrm{Hz}$ , calculer l’allongement statique : est-ce réalisable ?
Avec lui, une onde à $0.10\,\mathrm{Hz}$ d’amplitude $1.0\,\mathrm{mm}$ donne quel $U$ ? Dans quel régime est l’instrument ?
Une secousse locale à $5.0\,\mathrm{Hz}$ d’amplitude $1.0\,\mathrm{mm}$ : quel $U$ ? Quel régime ?

Partie IV — L’accéléromètre d’un téléphone. Une masse micro-usinée sur des ressorts de silicium a $f_0 = 1.0\,\mathrm{kHz}$ et $Q = 0.7$ .

Une secousse à $10\,\mathrm{Hz}$ d’amplitude d’accélération $g$ : calculer $U$ . Comment lit-on un tel déplacement ?
Jusqu’à quelle fréquence la lecture reste-t-elle à $10\%$ près de $a_g/\omega_0^2$ ?
Quelle constante de temps $\tau = 2Q/\omega_0$ gouverne sa réponse à un choc, et pourquoi cela importe-t-il pour détecter une chute ?
Le $\tau$ du sismomètre : valeur et conséquence après un échelon brusque du sol.
Pourquoi choisit-on un amortissement critique (ou presque) pour les deux instruments, plutôt qu’un $Q$ élevé ?
Le téléphone est secoué exactement à $1.0\,\mathrm{kHz}$ : de quel facteur la lecture est-elle fausse ?
Récapituler : un seul dispositif, deux régimes, tranchés par quelle unique comparaison ?

Solution

Solution de Problème 14.1.

1. Forces : le poids (compensé par l’allongement statique), le ressort $-ku$ , l’amortisseur $-\alpha\dot u$ ; $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ avec $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ .

2. $\ddot u + (\omega_0/Q)\dot u + \omega_0^2u = -\ddot x_g$ , avec $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ et $Q = \sqrt{km}/\alpha$ .

3. $k = m\omega_0^2 = \pi^2 = 9.9\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $\alpha = m\omega_0/Q = 3.14/0.70 = 4.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

4. $u = -a_g/\omega_0^2$ : la masse s’affaisse d’une quantité fixe — l’instrument est un accéléromètre à fréquence nulle (et un inclinomètre).

5. Le déplacement relatif $u(t)$ .

6. $-\omega^2\underline U + j\omega(\omega_0/Q)\underline U + \omega_0^2\underline U = \omega^2X_g$ ; on divise par $\omega_0^2$ .

7. $U/X_g = x_r^2/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ .

8. $U \to X_g$ : la masse ne bouge pas dans le référentiel galiléen (son inertie la maintient, le ressort étant trop souple pour l’entraîner) ; le bâti se déplace autour d’elle, et la plume enregistre le déplacement du sol — c’est un sismomètre.

9. $U \approx x_r^2X_g = \omega^2X_g/\omega_0^2 = a_g/\omega_0^2$ : un accéléromètre.

10. $U = QX_g = 0.7X_g$ : pas de pic ; les deux régimes se raccordent en douceur et l’instrument ne sonne pas.

11. Pour $Q = 0.7$ : une droite de pente $2$ qui monte jusqu’à $1$ au voisinage de $x_r = 1$ , puis un plateau à $1$ ; pour $Q = 5$ : la même chose avec un pic de hauteur $5$ en $x_r = 1$ .

12. $\underline U \to -X_g$ : $u = -x_g$ , la masse immobile pendant que le bâti se déplace.

13. $\Delta\ell = g/\omega_0^2 = 9.81/(2\pi \times 0.02)^2 = 620\,\mathrm{m}$ : absurde.

14. $\ell = g/\omega_0^2 = 620\,\mathrm{m}$ .

15. Porte de jardin : le pendule oscille autour d’un axe presque vertical, si bien qu’une infime fraction de $g$ seulement le rappelle et qu’un bras court donne une longue période. Contre-réaction de force : une bobine maintient la masse fixe, et le courant nécessaire est proportionnel à l’accélération du sol — la raideur devient électronique et réglable.

16. $\Delta\ell = 9.81/\pi^2 = 0.99\,\mathrm{m}$ : réalisable.

17. $x_r = 0.2$ : $U/X_g = 0.04/\sqrt{0.92 + 0.08} = 0.040$ : $40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — régime d’accéléromètre, qui demande une amplification (levier optique ou électronique).

18. $x_r = 10$ : $100/\sqrt{9801 + 204} \approx 1.00$ : $1.0\,\mathrm{mm}$ , un enregistrement fidèle du déplacement.

19. $\omega_0 = 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $U = g/\omega_0^2 = 2.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ — lu comme la variation de l’entrefer d’un condensateur.

20. $U/(a_g/\omega_0^2) = 1/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ ; avec $Q = 0.7$ , ce rapport décroît de façon monotone et reste au-dessus de $0.9$ jusqu’à $x_r \approx 0.7$ : environ $700\,\mathrm{Hz}$ .

21. $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.22\,\mathrm{ms}$ : il suit une chute (quelques dizaines de millisecondes) sans retard.

22. $\tau = 1.4/3.14 = 0.45\,\mathrm{s}$ : après un échelon du sol, l’enregistrement se stabilise en une demi-seconde, sans sonnerie.

23. Un $Q$ élevé ferait sonner l’instrument à $f_0$ après chaque secousse (il s’enregistrerait lui-même plutôt que le sol) et présenterait un pic près de $f_0$ ; $Q \approx 0.7$ est plat et rapide.

24. $U = QX_g = 0.7X_g$ au lieu de l’idéal $X_g$ (ou $a_g/\omega_0^2 = X_g$ ) : $30\%$ trop bas.

25. On compare la fréquence du signal à $f_0$ : bien au-dessus, la masse est une référence fixe et $u$ est le déplacement ; bien en dessous, $u$ est l’accélération divisée par $\omega_0^2$ .

Termes définis dans ce chapitre

Oscillateur harmonique

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