Qu'est-ce que « Moment en un point ; par rapport à un axe » ? — Physique

Définition 15.1 Physique universitaire — 1re année · Chapitre 15 — Moment cinétique

Le moment (ou couple) en un point $O$ d’une force $\vect F$ appliquée en $M$ est le vecteur

\vect{\mathcal M}_O(\vect F) = \vect{OM}\wedge\vect F \qquad (\mathrm{N}\,\mathrm{m}),

perpendiculaire au plan de $\vect{OM}$ et $\vect F$ , de norme $OM\cdot F\sin\alpha = F\,d$ , où $d$ — le bras de levier — est la distance de $O$ à la droite d’action de $\vect F$ . Le moment par rapport à un axe orienté $\Delta$ (de vecteur unitaire $\vect e_\Delta$ ) passant par $O$ est le scalaire $\mathcal M_\Delta = \vect{\mathcal M}_O\cdot\vect e_\Delta$ , indépendant du choix de $O$ sur $\Delta$ ; il est nul si $\vect F$ est parallèle à $\Delta$ ou la rencontre. Deux forces opposées portées par des droites d’action différentes forment un couple de forces, dont le moment $\vect F\wedge\vect{AB}$ est le même en tout point.

Le moment de F en O : le produit vectoriel OM F, de norme F\,d où d est la distance de O à la droite d’action (le bras de levier), dirigé perpendiculairement à la figure — ici vers le lecteur. — Le moment de $\vect F$ en $O$ : le produit vectoriel $\vect{OM}\wedge\vect F$ , de norme $F\,d$ où $d$ est la distance de $O$ à la droite d’action (le bras de levier), dirigé perpendiculairement à la figure — ici vers le lecteur.

Exemples

Exemple 15.2 (La porte)

Une poussée de $20\,\mathrm{N}$ perpendiculaire à une porte, à $0.80\,\mathrm{m}$ des gonds, a un moment de $16\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ par rapport à l’axe des gonds ; la même poussée à $0.10\,\mathrm{m}$ , $2\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; dans le plan de la porte (droite d’action passant par les gonds), zéro. La réaction des gonds eux-mêmes, qui rencontre l’axe, n’a pas de moment par rapport à lui : c’est ce qui fait de l’axe l’endroit naturel où prendre les moments.

Exemple 15.6 (Le pendule par les moments)

Pendule simple, axe $\Delta$ passant par le point de suspension et perpendiculaire au plan d’oscillation : $L_\Delta = m\ell^2\dot\theta$ ; la tension rencontre l’axe (moment nul), le moment du poids vaut $-mg\ell\sin\theta$ (bras de levier $\ell\sin\theta$ , effet de rappel). Le théorème donne $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta$ , l’équation de l’Exemple 12.12 sans jamais écrire la tension — c’est le principal avantage des moments : les forces qui passent par l’axe disparaissent.

Exemple 15.10 (La patineuse)

Bras écartés, le corps d’une patineuse a $J \approx 4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ plus deux bras de $3\,\mathrm{kg}$ à $0.8\,\mathrm{m}$ : $J_1 = 4 + 2 \times 3 \times 0.64 = 7.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . Bras ramenés ( $0.2\,\mathrm{m}$ ) : $J_2 = 4.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . La réaction de la glace et le poids n’ont pas de moment par rapport à l’axe vertical : $J\omega$ se conserve et la vitesse de rotation croît de $J_1/J_2 = 1.85$ — de $2$ à $3.7$ tours par seconde — tandis que l’énergie cinétique croît du même facteur, payée par les muscles qui ramènent les bras.

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