Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

13Travail, énergie et énergie potentielle

Un cycliste cesse de pédaler au sommet d’une côte et arrive en bas à une vitesse qui dépend du dénivelé, non de la forme de la route. Un sauteur à l’élastique tombe de soixante mètres et s’arrête, un instant, exactement là où la traction du câble a mangé toute la vitesse que la chute lui avait donnée. Un atome d’hydrogène lié à un atome de chlore vibre dans un puits dont la profondeur est l’énergie qu’il en coûte pour briser la molécule. Dans chaque cas, un seul nombre passe d’une forme à l’autre — mouvement, hauteur, allongement, liaison — et, sommé, il ne change pas. Ce chapitre construit cette comptabilité à partir de la deuxième loi de Newton : travail et puissance, théorème de l’énergie cinétique, énergies potentielles pour les forces qui en admettent une, et conservation de l’énergie mécanique, qui réduit bien des problèmes de dynamique à une ligne d’algèbre et explique, par la forme d’un puits de potentiel, quelles positions sont stables.

Le pendule du conférencier : lâchée depuis le nez, la boule de bowling revient au nez et pas plus loin — l’énergie mécanique se conserve, et n’est jamais dépassée.

13.1 Puissance et travail

Définition 13.1 (Puissance et travail d’une force)

La puissance d’une force $\vect F$ qui s’exerce sur un point se déplaçant à la vitesse $\vect v$ vaut

\mathcal P = \vect F\cdot\vect v \qquad (\text{en watts}),

et son travail entre les instants $t_1$ et $t_2$ (positions $A$ et $B$ ) est la puissance accumulée,

W_{A\to B} = \int_{t_1}^{t_2}\vect F\cdot\vect v\,\dd t = \int_A^B \vect F\cdot\dd\vect\ell \qquad (\text{en joules}),

somme des travaux élémentaires $\delta W = \vect F\cdot\dd\vect\ell$ le long des déplacements élémentaires $\dd\vect\ell = \vect v\,\dd t$ de la trajectoire. Le travail est positif si la force pousse dans le sens du mouvement (travail moteur), négatif si elle s’y oppose (travail résistant), nul si elle lui est perpendiculaire.

Proposition 13.2 (Les travaux que l’on rencontre)

Force constante : $W_{A\to B} = \vect F\cdot\vect{AB}$ , quel que soit le chemin. Poids : $W = mg(z_A - z_B)$ , $z$ compté vers le haut.
Ressort de raideur $k$ , de l’allongement $x_A$ à $x_B$ : $W = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ .
Réaction normale d’une surface fixe, tension d’un fil sur un corps qui se déplace perpendiculairement : $W = 0$ (force $\perp$ déplacement).
Frottement de glissement et traînée : $W < 0$ toujours (la force s’oppose au mouvement relatif), et dépend de la longueur du chemin.

Démonstration. Pour $\vect F$ constante : $\int\vect F\cdot\dd\vect\ell = \vect F\cdot\int\dd\vect\ell = \vect F\cdot\vect{AB}$ ; avec $\vect F = -mg\vect e_z$ , $\vect F\cdot\vect{AB} = -mg(z_B - z_A)$ . Ressort : $\vect F\cdot\dd\vect\ell = -kx\,\dd x$ , et $\int_{x_A}^{x_B}-kx\,\dd x = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ . Frottement : $\vect T = -\mu N\vect v/v$ , donc $\vect T\cdot\vect v = -\mu Nv < 0$ . ∎

Le travail élémentaire d’une force le long d’un petit déplacement de son point d’application : seule la composante de F dans le sens du mouvement travaille. Sommé le long du chemin de A à B, il donne W_A B. — Le travail élémentaire d’une force le long d’un petit déplacement de son point d’application : seule la composante de $\vect F$ dans le sens du mouvement travaille. Sommé le long du chemin de $A$ à $B$ , il donne $W_{A\to B}$ .

13.2 Le théorème de l’énergie cinétique

Théorème 13.3 (Théorèmes de l’énergie cinétique et de la puissance)

Dans un référentiel galiléen, l’énergie cinétique $E_k = \tfrac12 mv^2$ d’un point matériel obéit à

\frac{\dd E_k}{\dd t} = \sum\mathcal P_i = \Big(\sum\vect F_i\Big)\cdot\vect v, \qquad E_k(B) - E_k(A) = \sum_i W_{i,A\to B}:

la variation d’énergie cinétique entre deux positions égale le travail total de toutes les forces appliquées le long du chemin.

Démonstration. Multiplions scalairement la deuxième loi de Newton par $\vect v$ : $m\vect a\cdot\vect v = \tfrac{\dd}{\dd t}(\tfrac12 m\vect v\cdot\vect v) = \dd E_k/\dd t$ , tandis que $(\sum\vect F_i)\cdot\vect v = \sum\mathcal P_i$ . Puis on intègre en temps. ∎

Exemple 13.4 (Distance de freinage)

Une voiture de $1000\,\mathrm{kg}$ à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $E_k = 386\,\mathrm{kJ}$ ), freinée par une force constante de $7.0\,\mathrm{kN}$ , s’arrête après $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ : la distance croît comme le carré de la vitesse. Comme la force de freinage maximale vaut $\mu_smg$ (Chapitre 12), la plus courte distance d’arrêt est $v^2/2\mu_sg$ quelle que soit la masse de la voiture — et elle double sur route mouillée, où $\mu_s$ est divisé par deux.

13.3 Forces conservatives et énergie potentielle

Définition 13.5 (Force conservative ; énergie potentielle)

Une force est conservative si son travail entre deux points ne dépend pas du chemin suivi. De façon équivalente, il existe une fonction de la position, l’énergie potentielle $E_p$ , telle que

W_{A\to B} = E_p(A) - E_p(B) = -\Delta E_p , \qquad \delta W = -\dd E_p ,

$E_p$ étant définie à une constante additive près (un choix d’origine).

Proposition 13.6 (Force et énergie potentielle)

Une force conservative dérive de son énergie potentielle :

\vect F = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,E_p = -\frac{\partial E_p}{\partial x}\,\vect e_x - \frac{\partial E_p}{\partial y}\,\vect e_y - \frac{\partial E_p}{\partial z}\,\vect e_z ,

et à une dimension $F_x = -\dd E_p/\dd x$ : la force pointe vers les énergies potentielles décroissantes, « vers le bas » sur le graphe de $E_p$ .

Démonstration. $\delta W = F_x\dd x + F_y\dd y + F_z\dd z = -\dd E_p = -(\partial_xE_p\,\dd x + \partial_yE_p\,\dd y + \partial_zE_p\,\dd z)$ pour tout déplacement : on identifie les coefficients (différentielle d’une fonction de plusieurs variables, cours de mathématiques). ∎

Proposition 13.7 (Les énergies potentielles usuelles)

Poids : $E_p = mgz + \text{const}$ ( $z$ vers le haut).
Ressort : $E_p = \tfrac12 k(\ell - \ell_0)^2 + \text{const}$ .
Gravitation newtonienne d’une masse $M$ : $E_p = -GMm/r + \text{const}$ , la constante étant d’ordinaire choisie pour que $E_p \to 0$ à l’infini.
Force électrostatique sur une charge $q$ dans un potentiel $V$ : $E_p = qV$ (Chapitre 27).

Le frottement de glissement et la traînée fluide ne sont pas conservatifs (leur travail dépend du chemin, et il est toujours négatif).

Démonstration. Chacune se lit sur les travaux de la Proposition 13.2 : $W = -\Delta E_p$ . Pour la gravitation, $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ et $\delta W = -GMm\,\dd r/r^2 = -\dd(-GMm/r)$ . ∎

13.4 L’énergie mécanique

Théorème 13.8 (Énergie mécanique)

Soit $E_m = E_k + E_p$ l’énergie mécanique, $E_p$ étant la somme des énergies potentielles des forces conservatives. Alors

\Delta E_m = W_{\text{nc}} ,

où figure le travail total des forces non conservatives. Si celles-ci ne travaillent pas (pas de frottement, ou forces de liaison perpendiculaires au mouvement), $E_m$ se conserve : le mouvement est conservatif.

Démonstration. $\Delta E_k = W_{\text{c}} + W_{\text{nc}} = -\Delta E_p + W_{\text{nc}}$ . ∎

Méthode 13.9 (Utiliser l’énergie)

Lorsqu’un problème demande une vitesse à une position (ni une date, ni une force), il faut essayer l’énergie d’abord :

lister les forces ; repérer celles qui travaillent et celles qui sont conservatives ;
écrire $E_m$ aux deux positions, avec une origine claire pour $E_p$ ;
les égaler (en ajoutant $W_{\text{nc}}$ si le frottement agit) et résoudre en la vitesse ou la position cherchée.

L’énergie ne donne jamais la durée ni les forces de liaison ; pour celles-là, on revient à la loi de Newton — souvent avec la vitesse que l’énergie vient de fournir.

Exemple 13.10 (La loi des vitesses de la boucle)

Sur la boucle sans frottement du Problème 11.1, la réaction du rail est normale au mouvement et ne travaille pas : $E_m$ se conserve. Avec $z = R(1 - \cos\theta)$ au-dessus du bas, $\tfrac12 mv^2 + mgR(1 - \cos\theta) = \tfrac12 mv_0^2$ : c’est la loi des vitesses $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$ qui y était utilisée, établie ici en une ligne. La vitesse d’entrée minimale $\sqrt{5gR}$ découle alors de la condition au sommet $v^2 \geq gR$ de l’Exemple 12.16.

Exemple 13.11 (Énergie perdue par frottement)

Un bloc descend une pente d’angle $\alpha$ et de hauteur $h$ avec un frottement de glissement $\mu_d$ : $W_{\text{nc}} = -\mu_dmg\cos\alpha \times h/\sin\alpha = -\mu_dmgh\cot\alpha$ , donc $\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha)$ . Pour $h = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\alpha = 30^\circ$ , $\mu_d = 0.20$ : $v = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ au lieu de $6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; un tiers de l’énergie potentielle est passé en chaleur.

13.5 Équilibre, stabilité et portraits de phase

Proposition 13.12 (Équilibre et stabilité à une dimension)

Pour un point qui se déplace sur un axe sous l’effet d’une force conservative d’énergie potentielle $E_p(x)$ :

il est en équilibre en $x_0$ si et seulement si $F(x_0) = -E_p'(x_0) = 0$ : aux extrémums de $E_p$ ;
l’équilibre est stable si $E_p$ y présente un minimum local ( $E_p''(x_0) > 0$ ) : un petit écart produit une force de rappel ; il est instable en un maximum ;
au voisinage d’un équilibre stable, les petits mouvements sont harmoniques, avec

$\omega_0^2 = \frac{E_p''(x_0)}{m} .$

Démonstration. La formule de Taylor (cours de mathématiques) : $E_p(x) \approx E_p(x_0) + \tfrac12 E_p''(x_0)(x - x_0)^2$ , donc $F \approx -E_p''(x_0)(x - x_0)$ et $m\ddot x = -E_p''(x_0)(x - x_0)$ — un ressort de raideur $E_p''(x_0)$ . Pour $E_p'' < 0$ , la « raideur » est négative : éloignement exponentiel. ∎

Un paysage de potentiel à une dimension : les minimums sont des équilibres stables, le maximum un équilibre instable. Un point d’énergie E_1 inférieure à la barrière est piégé dans un puits, entre deux points de rebroussement (où E_p = E_1, flèches), et oscille ; avec E_2 au-dessus de la barrière, il passe librement d’un puits à l’autre. — Un paysage de potentiel à une dimension : les minimums sont des équilibres stables, le maximum un équilibre instable. Un point d’énergie $E_1$ inférieure à la barrière est piégé dans un puits, entre deux *points de rebroussement* (où $E_p = E_1$ , flèches), et oscille ; avec $E_2$ au-dessus de la barrière, il passe librement d’un puits à l’autre.

Définition 13.13 (Points de rebroussement ; mouvement lié et libre)

Pour un mouvement conservatif à une dimension d’énergie $E_m$ , le point ne peut se trouver que là où $E_p(x) \leq E_m$ (puisque $E_k \geq 0$ ) ; les points où $E_p = E_m$ sont les points de rebroussement, où la vitesse s’annule et change de sens. Piégé entre deux points de rebroussement dans un puits de potentiel, le mouvement est lié et périodique ; s’il peut atteindre l’infini, il est libre ; une barrière de potentiel plus haute que $E_m$ ne peut pas être franchie.

Définition 13.14 (Portrait de phase)

Le portrait de phase d’un mouvement à une dimension est la famille des courbes décrites par le point $(x, \dot x)$ dans le plan de phase. Pour un système conservatif, chaque courbe est une ligne de niveau $\tfrac12 m\dot x^2 + E_p(x) = E_m$ : courbes fermées autour des équilibres stables (oscillations), courbes ouvertes pour un mouvement libre, et, passant par les équilibres instables, les séparatrices qui distinguent les deux. Les courbes sont parcourues dans le sens des aiguilles d’une montre ( $\dot x > 0$ signifie $x$ croissant) et ne se coupent jamais.

Portrait de phase du pendule simple, 1/2 2 + _02(1 - ) = const. Courbes fermées (en bleu) : oscillations autour de l’équilibre stable = 0 ; courbes ouvertes (en orange) : rotations complètes ; entre les deux, la séparatrice (en rouge) qui passe par les équilibres instables = ±π, mouvement qui atteint tout juste le sommet. — Portrait de phase du pendule simple, $\tfrac12\dot\theta^2 + \omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{const}$ . Courbes fermées (en bleu) : oscillations autour de l’équilibre stable $\theta = 0$ ; courbes ouvertes (en orange) : rotations complètes ; entre les deux, la séparatrice (en rouge) qui passe par les équilibres instables $\theta = \pm\pi$ , mouvement qui atteint tout juste le sommet.

Exemple 13.15 (Le paysage du pendule)

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : minimum en $\theta = 0$ , $E_p'' = mg\ell$ , donc $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — le résultat des petites oscillations de l’Exemple 12.12, lu sur la courbure du puits ; maximum en $\theta = \pi$ , le pendule renversé, instable. Pour une énergie $E_m < mg\ell$ : oscillation entre $\pm\theta_{\max}$ ; pour $E_m > mg\ell$ : il passe le sommet et tourne ; pour $E_m = mg\ell$ : la séparatrice, une approche infiniment lente du sommet.

13.6 Exercices

Exercice 13.1 ★

Une caisse de $20\,\mathrm{kg}$ est soulevée de $3.0\,\mathrm{m}$ à vitesse constante en $5.0\,\mathrm{s}$ . Travail de la force de levage, travail du poids, puissance fournie. La même caisse poussée sur $3.0\,\mathrm{m}$ le long d’un sol de coefficient $\mu_d = 0.30$ : travail du frottement.

Solution

Solution de Exercice 13.1.

Force de levage $+mgh = 20 \times 9.81 \times 3.0 = 589\,\mathrm{J}$ ; poids $-589\,\mathrm{J}$ ; puissance $589/5.0 = 118\,\mathrm{W}$ . Frottement : $-\mu_dmgd = -0.30 \times 196 \times 3.0 = -177\,\mathrm{J}$ .

Exercice 13.2 ★

Énergie cinétique d’une voiture de $1000\,\mathrm{kg}$ à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; distance d’arrêt avec une force de freinage constante de $7.0\,\mathrm{kN}$ ; qu’advient-il de cette distance si la vitesse double ?

Solution

Solution de Exercice 13.2.

$E_k = \tfrac12 \times 1000 \times 27.8^2 = 386\,\mathrm{kJ}$ ; $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ ; doubler $v$ quadruple $E_k$ et $d$ : $220\,\mathrm{m}$ .

Exercice 13.3 ★

Un ressort de raideur $500\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ est comprimé de $10\,\mathrm{cm}$ puis relâché contre une bille de $50\,\mathrm{g}$ sur un rail horizontal sans frottement. Énergie stockée ; vitesse de la bille.

Solution

Solution de Exercice 13.3.

$E_p = \tfrac12 \times 500 \times 0.10^2 = 2.5\,\mathrm{J}$ ; $v = \sqrt{2 \times 2.5/0.050} = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 13.4 ★

Un pendule de longueur $1.0\,\mathrm{m}$ est lâché sans vitesse à $60^\circ$ : vitesse en bas par l’énergie ; puis, par la loi de Newton, la tension en ce point (en unités de $mg$ ).

Solution

Solution de Exercice 13.4.

$\tfrac12 mv^2 = mg\ell(1 - \cos 60^\circ)$ : $v = \sqrt{g\ell} = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Tension : $T - mg = mv^2/\ell = mg$ , donc $T = 2mg$ .

Exercice 13.5 ★★

Un bloc part du repos sur une pente à $30^\circ$ de hauteur $2.0\,\mathrm{m}$ , avec $\mu_d = 0.20$ . Vitesse en bas par le théorème de l’énergie ; fraction de l’énergie potentielle initiale perdue par frottement.

Solution

Solution de Exercice 13.5.

Le frottement travaille $-\mu_dmg\cos\alpha\,(h/\sin\alpha)$ , donc

\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha) = mgh(1 - 0.35),

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.0 \times 0.65} = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $35\%$ perdus.

Exercice 13.6 ★★

À l’aide de $E_p = -GMm/r$ , montrer que la vitesse nécessaire pour échapper à l’attraction terrestre depuis la surface vaut $v_e = \sqrt{2GM/R}$ , et la calculer ( $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ). Quelle est la vitesse de libération d’un astre de même masse volumique et de rayon double ?

Solution

Solution de Exercice 13.6.

$E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/R \geq 0$ pour que le corps atteigne l’infini (où $E_p = 0$ et $v \to 0$ ) : $v_e = \sqrt{2GM/R}$ , c’est-à-dire

v_e = \sqrt{\frac{2 \times 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}}{6.37\times10^6}} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.

Même masse volumique, $M \propto R^3$ : $v_e \propto R$ , donc $22.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Exercice 13.7 ★★

Saut à l’élastique : un sauteur de $70\,\mathrm{kg}$ , câble de longueur à vide $20\,\mathrm{m}$ et de raideur $50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , s’élance sans vitesse. Trouver l’allongement maximal du câble, la hauteur totale de chute et la tension maximale (en unités du poids). Où la vitesse est-elle la plus grande ?

Solution

Solution de Exercice 13.7.

Point le plus bas : $mg(\ell_0 + x) = \tfrac12 kx^2$ , $25x^2 - 687x - 13734 = 0$ , $x = 41\,\mathrm{m}$ ; chute totale $61\,\mathrm{m}$ ; $T_{\max} = kx = 2.0\,\mathrm{kN} = 3.0\,mg$ (soit $2\,\mathrm{g}$ net vers le haut). La vitesse est maximale là où la force résultante s’annule, $kx = mg$ : $x = 14\,\mathrm{m}$ , à $34\,\mathrm{m}$ sous le point de départ.

Exercice 13.8 ★★

Un cycliste ( $80\,\mathrm{kg}$ avec le vélo) gravit une pente de $5\%$ à $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ contre une traînée $\tfrac12\rho C_xSv^2$ avec $C_xS = 0.50\,\mathrm{m}^{2}$ . Puissance contre la pesanteur, contre la traînée, au total.

Solution

Solution de Exercice 13.8.

Pesanteur : $mgv\sin\alpha = 80 \times 9.81 \times 5.0 \times 0.05 = 196\,\mathrm{W}$ ; traînée : $\tfrac12\rho C_xSv^3 = 0.5 \times 1.2 \times 0.50 \times 125 = 38\,\mathrm{W}$ ; au total $234\,\mathrm{W}$ .

Exercice 13.9 ★★

Un point de masse $m$ a pour énergie potentielle $E_p(x) = E_0[(x/a)^4 - 2(x/a)^2]$ . Trouver les équilibres et leur stabilité, la profondeur des puits, et la pulsation des petites oscillations autour d’un équilibre stable.

Solution

Solution de Exercice 13.9.

$E_p' = 4E_0(x^3/a^4 - x/a^2) = 0$ : $x = 0, \pm a$ . $E_p'' = E_0(12x^2/a^4 - 4/a^2)$ : $-4E_0/a^2$ en $0$ (maximum instable, $E_p = 0$ ), $+8E_0/a^2$ en $\pm a$ (minimums stables, $E_p = -E_0$ ) : des puits de profondeur $E_0$ ; $\omega_0^2 = 8E_0/ma^2$ .

Exercice 13.10 ★★★

Pour l’oscillateur harmonique $E_p = \tfrac12 kx^2$ , montrer que les courbes de phase sont des ellipses, donner leurs demi-axes pour une énergie $E$ , et expliquer pourquoi elles sont toutes parcourues en le même temps.

Solution

Solution de Exercice 13.10.

$\tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 kx^2 = E$ : une ellipse de demi-axes $x_{\max} = \sqrt{2E/k}$ et $\dot x_{\max} = \sqrt{2E/m}$ . Le mouvement est harmonique, de période $2\pi\sqrt{m/k}$ quelle que soit l’amplitude (isochronisme), donc toutes les ellipses sont parcourues en le même temps.

Exercice 13.11 ★★★

Un petit objet part du repos au sommet d’une demi-sphère sans frottement de rayon $R$ . À l’aide de l’énergie et de la loi de Newton, trouver l’angle par rapport à la verticale auquel il quitte la surface, la hauteur correspondante et sa vitesse à cet instant.

Solution

Solution de Exercice 13.11.

Énergie : $v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)$ . Radialement : $mg\cos\theta - N = mv^2/R$ , donc $N = mg(3\cos\theta - 2)$ , nulle pour $\cos\theta = 2/3$ ( $\theta = 48^\circ$ ) : hauteur $2R/3$ , vitesse $\sqrt{2gR/3}$ .

Exercice 13.12 ★★★

Une voiture à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ s’arrête en $80\,\mathrm{m}$ en dérapant, roues bloquées. Trouver $\mu_d$ par l’énergie. Où est passée l’énergie ? Pourquoi un système antiblocage (roues qui continuent de rouler) arrête-t-il plus court ?

Solution

Solution de Exercice 13.12.

$\tfrac12 mv^2 = \mu_dmgd$ : $\mu_d = 625/(2 \times 9.81 \times 80) = 0.40$ . Elle est passée en chaleur dans le contact pneu–route (et en trace de gomme). Des roues qui roulent exploitent le frottement statique, $\mu_s > \mu_d$ : une force de freinage plus grande, une distance plus courte, et la direction conservée.

13.7 Problème : le puits d’énergie d’une liaison chimique

Problème 13.1

Problème du week-end — deux atomes, une courbe : l’énergie potentielle d’une liaison lue comme un paysage — son fond, ses parois, les petites vibrations tout en bas, et l’énergie qu’il faut pour en sortir

L’interaction des deux atomes d’une molécule diatomique est modélisée par l’énergie potentielle

E_p(r) = \epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right],

où $r$ est la distance entre les noyaux. Pour le chlorure d’hydrogène, on prend $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV}$ et $\sigma = 0.127\,\mathrm{nm}$ , et l’on fait bouger l’atome d’hydrogène léger ( $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) tandis que le chlore, lourd, reste immobile. $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ .

Partie I — Le paysage.

Donner les limites de $E_p$ quand $r \to 0$ et $r \to \infty$ , et esquisser la courbe.
Montrer que $E_p$ n’a qu’un seul minimum, en $r = \sigma$ , de valeur $-\epsilon$ .
Avec $u = (\sigma/r)^6$ , montrer que $E_p = \epsilon(u^2 - 2u)$ : une parabole en $u$ . En retrouver le minimum.
Exprimer la force $F(r)$ (positive si elle est répulsive) et donner son signe de part et d’autre de $\sigma$ .
Calculer $E_p$ et $F$ en $r = 1.2\sigma$ (en eV et en nN).
Quelle est l’énergie de dissociation de la molécule, en eV et en $\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ ? (Énergie de liaison mesurée de HCl : $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .)
Vérifier le critère de stabilité en $r = \sigma$ : calculer $E_p''(\sigma)$ .

Partie II — Les petites vibrations.

Écrire le développement de Taylor à l’ordre deux de $E_p$ autour de $\sigma$ et identifier une raideur effective $k$ .
Calculer $k$ (en $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ).
En déduire la pulsation, la fréquence et la longueur d’onde de la vibration, ainsi que son nombre d’onde $1/\lambda$ en $\mathrm{cm}^{-1}$ .
La vibration mesurée de HCl est à $2990\,\mathrm{cm}^{-1}$ . Commenter l’accord et ce que le modèle capture correctement.
À $300\,\mathrm{K}$ , l’énergie de vibration moyenne est de l’ordre de $k_BT$ . Estimer l’amplitude de la vibration et la comparer à $\sigma$ .
En déduire la vitesse maximale de l’atome d’hydrogène dans cette vibration.

Partie III — Grandes oscillations et sortie du puits.

Décrire le portrait de phase : quelles énergies donnent des courbes fermées, lesquelles des courbes ouvertes, et qu’est-ce qui les sépare ?
Pour $E_m = -\epsilon/2$ , trouver les deux points de rebroussement (en unités de $\sigma$ ).
Montrer que leur milieu est au-delà de $\sigma$ , et expliquer pourquoi chauffer (élever l’énergie de vibration) fait croître la longueur moyenne de la liaison — l’origine de la dilatation thermique.
La période des grandes oscillations est-elle plus longue ou plus courte que $2\pi/\omega_0$ ? Argumenter à partir de la forme des parois.
Depuis $E_m = -\epsilon/2$ , quelle énergie faut-il fournir pour dissocier la molécule ? Si on la donne sous forme d’énergie cinétique de l’atome d’hydrogène en $r = \sigma$ , quelle vitesse cela représente-t-il ?
Deux atomes qui s’approchent de loin avec une énergie totale positive ne peuvent pas former d’eux-mêmes une molécule liée. Pourquoi ? Que faut-il ?

Partie IV — Travail, force et température.

Calculer le travail de la force de liaison lorsque $r$ passe de $2\sigma$ à $\sigma$ . Est-elle motrice ou résistante sur ce trajet ?
Calculer le travail qu’un opérateur extérieur doit fournir pour étirer la liaison de $\sigma$ à $1.5\sigma$ à vitesse infiniment lente.
Calculer $F$ en $r = 0.9\sigma$ et comparer à $r = 1.2\sigma$ : que dit cette dissymétrie sur la compression face à l’étirement ?
À quelle température $k_BT$ égalerait-il $\epsilon$ ? Pourquoi les molécules se dissocient-elles en pratique à des températures bien plus basses ?
Un meilleur modèle (celui de Morse) change la forme des parois mais garde un minimum à la longueur de liaison. Lesquels des résultats ci-dessus survivent tels quels dans leur méthode, et quels nombres changeraient ?
Récapituler les trois usages faits des méthodes énergétiques : trouver l’équilibre, trouver la fréquence de vibration, et trouver ce qu’il faut pour s’échapper.

Solution

Solution de Problème 13.1.

1. Quand $r \to 0$ : $+\infty$ (le terme en $r^{-12}$ ) ; quand $r \to \infty$ : $0^-$ . Une paroi raide, un puits, une longue queue.

2. $E_p' = \epsilon[-12\sigma^{12}/r^{13} + 12\sigma^6/r^7] = 0$ si et seulement si $(\sigma/r)^6 = 1$ : $r = \sigma$ , $E_p = \epsilon(1 - 2) = -\epsilon$ .

3. $(\sigma/r)^{12} = u^2$ : $E_p = \epsilon(u^2 - 2u) = \epsilon[(u - 1)^2 - 1]$ , minimale en $u = 1$ ( $r = \sigma$ ) et valant $-\epsilon$ .

4. $F = -E_p' = (12\epsilon/\sigma)[(\sigma/r)^{13} - (\sigma/r)^7]$ : positive (répulsive) pour $r < \sigma$ , négative (attractive) au-delà.

5. $(1/1.2)^6 = 0.335$ , $(1/1.2)^{12} = 0.112$ : $E_p = \epsilon(0.112 - 0.670) = -0.56\epsilon = -2.5\,\mathrm{eV}$ . $(1/1.2)^{13} = 0.0935$ , $(1/1.2)^7 = 0.279$ : $F = (12\epsilon/\sigma)(-0.186) = -2.2\epsilon/\sigma = -2.2 \times 7.0\times10^{-19}/1.27\times10^{-10} = -12\,\mathrm{nN}$ .

6. $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV} = 4.4 \times 96.5 = 425\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ , proche des $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ mesurés.

7. $E_p'' = \epsilon[156\sigma^{12}/r^{14} - 84\sigma^6/r^8]$ ; en $\sigma$ : $72\epsilon/\sigma^2 > 0$ : stable.

8. $E_p \approx -\epsilon + \tfrac12(72\epsilon/\sigma^2)(r - \sigma)^2$ : $k = 72\epsilon/\sigma^2$ .

9. $k = 72 \times 7.0\times10^{-19}/(1.27\times10^{-10})^2 = 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

10. $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{3.1\times10^3/1.67\times10^{-27}} = 1.4 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $f = 2.2 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda = c/f = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $1/\lambda = 7300\,\mathrm{cm}^{-1}$ .

11. Un facteur $2.4$ de trop : les parois du modèle sont trop raides (le cœur en $r^{-12}$ est un substitut grossier d’une liaison covalente), mais l’ordre de grandeur — une vibration infrarouge à $10^{14}$ Hz — est juste, et la méthode (la courbure du puits) est exactement celle que l’on emploie avec de meilleurs potentiels.

12. $\tfrac12 kA^2 \approx k_BT$ : $A = \sqrt{2k_BT/k} = \sqrt{8.3\times 10^{-21}/3.1\times10^3} = 1.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{m} = 0.013\sigma$ : la liaison frissonne à peine.

13. $v_{\max} = A\omega_0 = 1.6\times10^{-12} \times 1.4\times10^{15} = 2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

14. $-\epsilon < E_m < 0$ : courbes fermées autour de $(\sigma, 0)$ — vibration, état lié ; $E_m > 0$ : courbes ouvertes — les atomes se séparent ; $E_m = 0$ : la séparatrice, un atome tout juste capable d’atteindre l’infini.

15. $u^2 - 2u = -\tfrac12$ avec $u = (\sigma/r)^6$ : $u = 1 \pm 1/\sqrt2 = 1.71$ ou $0.293$ ; $r = \sigma u^{-1/6}$ : $0.915\sigma$ et $1.23\sigma$ .

16. Milieu en $1.07\sigma > \sigma$ : la paroi extérieure est plus molle que l’intérieure, si bien que l’atome dispose de plus de place au dehors ; la distance moyennée dans le temps croît avec l’énergie — les liaisons chauffées s’allongent, les solides se dilatent.

17. Plus longue : du côté extérieur, plus mou, la force de rappel est plus faible que ne le suppose l’approximation harmonique, et le retour prend donc plus de temps.

18. $\epsilon/2 = 2.2\,\mathrm{eV} = 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; en énergie cinétique à la distance $\sigma$ , cela donne $v = \sqrt{2 \times 3.5\times10^{-19}/1.67\times10^{-27}} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

19. Conservation de l’énergie : si $E_m > 0$ , il reste $> 0$ , la courbe est ouverte, et les atomes se séparent après une seule rencontre. Il faut un troisième corps (une autre molécule, une paroi, un photon) pour emporter l’excédent.

20. $W = E_p(2\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(2^{-12} - 2 \times 2^{-6}) + \epsilon = 0.97\epsilon = 4.3\,\mathrm{eV}$ , positif : l’attraction ramène l’atome, le travail est moteur.

21. $W_{\text{ext}} = E_p(1.5\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(0.0077 - 0.176) + \epsilon = 0.83\epsilon = 3.7\,\mathrm{eV}$ .

22. $(1/0.9)^{13} = 3.93$ , $(1/0.9)^7 = 2.09$ : $F = +22\epsilon/\sigma = +120\,\mathrm{nN}$ , dix fois l’attraction en $1.2\sigma$ : comprimer une liaison de $10\%$ coûte bien plus que l’étirer de $20\%$ .

23. $T = \epsilon/k_B = 7.0\times10^{-19}/1.38\times10^{-23} = 5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . Les gaz réels se dissocient bien en dessous, parce que les énergies sont distribuées : une fraction des molécules porte plusieurs fois $k_BT$ (Chapitre 20).

24. Survivent : l’équilibre au minimum, $k = E_p''$ au minimum, l’énergie de dissociation $=$ profondeur, les points de rebroussement tirés de $E_p = E_m$ , la dissymétrie $\Rightarrow$ dilatation. Changent : les valeurs de $k$ , de la fréquence et des points de rebroussement.

25. Équilibre : $E_p' = 0$ ; vibration : $\omega_0^2 = E_p''/m$ ; échappée : $E_m$ comparée au bord du puits.

Termes définis dans ce chapitre

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