Physique universitaire — 1re année · Bachelor Year 1

12Les lois de Newton

Un parachutiste saute de l’avion et, en une douzaine de secondes, cesse d’accélérer : à deux cents kilomètres à l’heure, l’air le repousse exactement aussi fort que la Terre l’attire. Une voiture prend un virage trop vite et les pneus lâchent ; un camion en montagne rampe en première, retenu par le frottement même qui lui permet de s’arrêter sur le plat. La cinématique décrivait les mouvements ; la dynamique les explique, à partir d’une seule loi qui relie l’accélération d’un corps aux forces qu’il subit. Ce chapitre énonce les trois lois de Newton, recense les forces que l’on rencontre au niveau de ce volume — poids, ressorts, fils, contacts, frottements solides et fluides — et montre comment passer d’un schéma des forces à une équation différentielle et à sa solution.

La Station spatiale internationale vue de la navette qui s’en éloigne (NASA) : tout, à bord, tombe en chute libre ensemble, et c’est pourquoi rien, à bord, ne semble peser.

12.1 Masse, quantité de mouvement et les trois lois

Définition 12.1 (Masse, quantité de mouvement, force)

Un point matériel possède une masse inertielle $m > 0$ (en kilogrammes), mesure de sa résistance aux changements de vitesse, et indépendante du référentiel. Sa quantité de mouvement dans un référentiel vaut

\vect p = m\,\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}).

Une force $\vect F$ (en newtons) est l’action d’un autre corps sur le point ; les forces s’ajoutent comme des vecteurs, et la résultante est leur somme $\sum\vect F$ .

Théorème 12.2 (Lois de Newton)

Principe d’inertie. Il existe des référentiels, dits galiléens, dans lesquels un point soumis à aucune force, ou à des forces de résultante nulle, se déplace en ligne droite à vitesse constante. Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est galiléen.
Loi de la quantité de mouvement. Dans un référentiel galiléen,

$\frac{\dd\vect p}{\dd t} = \sum\vect F, \qquad \text{c.-à-d.}\qquad m\,\vect a = \sum\vect F \ \text{ pour une masse constante } m .$
Action et réaction. Si un corps $A$ exerce $\vect F_{A\to B}$ sur un corps $B$ , alors $B$ exerce $\vect F_{B\to A} = -\vect F_{A\to B}$ sur $A$ , selon la droite qui les joint.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 12.3 (Ce que disent ces lois)

La première loi n’est pas un cas particulier de la deuxième : elle définit les référentiels dans lesquels la deuxième vaut. En pratique, un laboratoire terrestre est galiléen avec une excellente précision pour des expériences de quelques minutes (le Chapitre 18 en chiffre l’erreur) ; un référentiel lié au Soleil et aux étoiles lointaines l’est mieux encore. La deuxième loi est une équation vectorielle : trois équations scalaires, une par axe, et le choix des axes (Chapitre 11) est la première décision de tout problème. La troisième loi vaut à chaque instant pour les forces de contact et de gravitation de ce volume.

Définition 12.4 (Système fermé ; conservation de la quantité de mouvement)

Un système fermé n’échange pas de matière avec l’extérieur. Pour un système de points, les forces intérieures se compensent deux à deux (troisième loi), et la quantité de mouvement totale $\vect P = \sum m_i\vect v_i$ obéit à $\dd\vect P/\dd t = \sum\vect F_{\mathrm{ext}}$ : elle se conserve lorsque les forces extérieures s’annulent (le Chapitre 19 développe ce point).

12.2 Les forces usuelles

Proposition 12.5 (Poids et gravitation)

Au voisinage de la surface terrestre, un corps de masse $m$ est attiré par son poids $\vect P = m\vect g$ , où $\vect g$ est le champ de pesanteur local, $g \approx 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , dirigé vers le bas (vers le centre, à très peu près). Plus généralement, une masse $M$ à la distance $r$ attire $m$ avec $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ (Chapitre 16) ; à la surface d’une sphère de rayon $R$ , $g = GM/R^2$ . Noter l’unité : $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ et $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ sont la même chose, et c’est pourquoi tous les corps tombent de la même façon.

Démonstration. La loi de la gravitation de Newton est admise et explorée au Chapitre 16 ; $g = GM/R^2 = 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}/(6.37\times10^6)^2 = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . ∎

Proposition 12.6 (Ressort ; fil)

Un ressort idéal de raideur $k$ et de longueur à vide $\ell_0$ , étiré à la longueur $\ell$ le long du vecteur unitaire $\vect u$ dirigé de son extrémité fixe vers le corps, exerce sur ce corps la force de rappel

\vect F = -k(\ell - \ell_0)\,\vect u \qquad (\text{loi de Hooke}),

dirigée vers sa longueur à vide. Un fil idéal (sans masse, inextensible) exerce une tension $\vect T$ selon sa propre direction, en tirant, de même intensité aux deux extrémités et tout le long (même par-dessus une poulie sans masse ni frottement).

Démonstration. La loi de Hooke est un modèle empirique valable pour de petites déformations. Pour le fil : un élément sans masse obéit à $0 = \vect T_1 + \vect T_2$ par la deuxième loi de Newton, donc la tension se transmet inchangée. ∎

Proposition 12.7 (Forces de contact : réaction normale et frottement solide)

Une surface solide exerce sur un corps qui la touche une réaction normale $\vect N$ , perpendiculaire à la surface et répulsive ( $N \geq 0$ : une surface ne peut pas tirer), et une force de frottement tangentielle $\vect T$ . Lois de Coulomb : si le corps ne glisse pas, $\abs{\vect T} \leq \mu_s N$ (le frottement statique s’ajuste à ce qu’il faut, jusqu’à cette limite) ; s’il glisse à la vitesse $\vect v_g$ par rapport à la surface, $\vect T = -\mu_d N\,\vect v_g/\abs{\vect v_g}$ (frottement dynamique, qui s’oppose au glissement), avec des coefficients $\mu_d \leq \mu_s$ de l’ordre de $0.1$ à $1$ selon les matériaux, indépendants de l’aire de contact et de la vitesse.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

À gauche : les forces sur un bloc posé sur un plan incliné — poids, réaction normale, frottement le long de la surface — et les axes naturels. À droite : les lois de Coulomb ; au repos le frottement équilibre la force appliquée jusqu’à _sN ; dès que le glissement commence, il tombe à _dN et y reste. — À gauche : les forces sur un bloc posé sur un plan incliné — poids, réaction normale, frottement le long de la surface — et les axes naturels. À droite : les lois de Coulomb ; au repos le frottement équilibre la force appliquée jusqu’à $\mu_sN$ ; dès que le glissement commence, il tombe à $\mu_dN$ et y reste.

Proposition 12.8 (Frottement fluide)

Un corps qui se déplace à la vitesse $\vect v$ dans un fluide au repos subit une traînée opposée à $\vect v$ : à faible vitesse (petite taille, fluide visqueux) elle est linéaire, $\vect F = -\alpha\vect v$ — pour une sphère de rayon $r$ dans un fluide de viscosité $\eta$ , $\alpha = 6\pi\eta r$ (Stokes) ; à grande vitesse (corps gros et rapides dans l’air ou l’eau) elle est quadratique,

\vect F = -\tfrac12\,\rho\,C_xS\,v\,\vect v ,

où $\rho$ est la masse volumique du fluide, $S$ la section du corps face à l’écoulement et $C_x$ un coefficient de traînée sans dimension ( $0.5$ pour une sphère, $0.3$ pour une voiture, $1$ pour un disque plat). Le nombre de Reynolds $\rho vL/\eta$ (Remarque 1.10) tranche : linéaire en dessous de $1$ , quadratique au-dessus de $1000$ environ.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 12.9 (D’autres forces)

La poussée d’Archimède est une résultante de forces de pression, établie au Chapitre 21 ; les forces électrique et magnétique sur une charge font l’objet du Chapitre 17. Toutes les forces de ce chapitre sont des modèles d’interactions de contact ou de champ, valables dans des limites énoncées — le ressort de Hooke casse, le frottement de Coulomb échoue à haute pression, la traînée de Stokes échoue à grande vitesse. Vérifier que le modèle employé s’applique fait partie de toute solution.

12.3 Résoudre un problème de dynamique

Méthode 12.10 (De la situation à l’équation)

Système : nommer le corps traité comme un point.
Référentiel : le nommer et vérifier qu’il est galiléen (ou le traiter comme tel à la précision requise).
Forces : lister tous les corps qui touchent ou attirent le système, et dessiner chaque force sur un schéma (le bilan des forces) ; rien d’autre n’intervient.
Coordonnées : choisir des axes adaptés au mouvement (Méthode 11.18) et exprimer $\vect a$ .
Projeter $m\vect a = \sum\vect F$ sur les axes ; utiliser les contraintes (un corps sur une surface y reste : $a_\perp = 0$ ; un fil de longueur fixe : mêmes vitesses aux deux extrémités).
Résoudre et vérifier : dimensions, cas limites, signes ( $N \geq 0$ , $\abs T \leq \mu_sN$ au repos).

Exemple 12.11 (Bloc sur un plan incliné)

Un bloc de masse $m$ sur un plan incliné de $\alpha$ , de coefficients $\mu_s$ et $\mu_d$ . Axes : $x$ vers le bas de la pente, $y$ selon la normale. Poids $(mg\sin\alpha, -mg\cos\alpha)$ , réaction $(0, N)$ , frottement $(-T, 0)$ s’il glisse vers le bas. Selon $y$ : $N = mg\cos\alpha$ . Au repos, selon $x$ : $T = mg\sin\alpha \leq \mu_sN = \mu_smg\cos\alpha$ , c’est-à-dire $\tan\alpha \leq \mu_s$ : le bloc tient jusqu’à l’angle $\arctan\mu_s$ — une mesure de $\mu_s$ qui ne demande aucune balance. En glissement : $ma = mg\sin\alpha - \mu_dmg\cos\alpha$ , donc $a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha)$ , indépendante de $m$ : $3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ pour $\alpha = 30^\circ$ et $\mu_d = 0.2$ .

Exemple 12.12 (Le pendule simple)

Une masse $m$ au bout d’un fil de longueur $\ell$ , faisant l’angle $\theta$ avec la verticale descendante. En coordonnées polaires au point de suspension : $\vect a = -\ell\dot\theta^2\,\vect e_r + \ell\ddot\theta\,\vect e_\theta$ ; les forces : le poids $mg(\cos\theta\,\vect e_r - \sin\theta\,\vect e_\theta)$ et la tension $-T\vect e_r$ . Selon $\vect e_\theta$ : $m\ell\ddot\theta = -mg\sin\theta$ ,

\ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 ,

qui, pour de petits angles ( $\sin\theta \approx \theta$ ), est l’équation harmonique de pulsation $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$ : période $T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ , le $k = 2\pi$ que l’Exemple 1.8 ne pouvait pas fournir. Selon $\vect e_r$ : $T = mg\cos\theta + m\ell\dot\theta^2$ — le fil tire le plus fort en bas, là où la vitesse est la plus grande.

À gauche : le pendule simple, ses deux forces et la base polaire qui sert à projeter la loi de Newton. À droite : un corps qui tombe du repos sous son poids et une traînée : la vitesse tend vers la vitesse limite v_∈fty, exponentiellement pour une traînée linéaire (= m/), en tangente hyperbolique pour une traînée quadratique (= v_∈fty/g). — À gauche : le pendule simple, ses deux forces et la base polaire qui sert à projeter la loi de Newton. À droite : un corps qui tombe du repos sous son poids et une traînée : la vitesse tend vers la vitesse limite $v_\infty$ , exponentiellement pour une traînée linéaire ( $\tau = m/\alpha$ ), en tangente hyperbolique pour une traînée quadratique ( $\tau = v_\infty/g$ ).

Proposition 12.13 (Chute avec traînée ; vitesse limite)

Un corps de masse $m$ qui tombe du repos sous son poids et une traînée atteint une vitesse limite pour laquelle les deux se compensent. Traînée linéaire : $m\dot v = mg - \alpha v$ , $v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ avec $v_\infty = mg/\alpha$ et $\tau = m/\alpha$ . Traînée quadratique : $m\dot v = mg - \tfrac12\rho C_xSv^2$ , $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ avec

v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_xS}}, \qquad \tau = \frac{v_\infty}{g} .

Démonstration. Linéaire : une équation du premier ordre, $\tau\dot v + v = v_\infty$ (Théorème 7.2). Quadratique : avec $u = v/v_\infty$ , $\dot u = (1 - u^2)/\tau$ ; en séparant les variables, $\int\dd u/(1 - u^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$ (la fraction rationnelle $1/(1 - u^2) = \tfrac12[1/(1 - u) + 1/(1 + u)]$ s’intègre en $\tfrac12\ln\frac{1 + u}{1 - u}$ ), d’où $u = \tanh(t/\tau)$ . ∎

Exemple 12.14 (Deux vitesses limites)

Un parachutiste, $m = 80\,\mathrm{kg}$ , à plat ventre, $C_xS \approx 0.8\,\mathrm{m}^{2}$ dans l’air ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) : $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.8)} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , atteinte (à $90\%$ ) en environ $1.5\tau = 6\,\mathrm{s}$ . Une gouttelette de brouillard, $r = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , en régime de Stokes ( $\eta_{\text{air}} = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) : $v_\infty = mg/6\pi\eta r = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ — et c’est pourquoi le brouillard reste suspendu.

12.4 Mouvement sur un cercle : les forces de liaison

Proposition 12.15 (L’exigence centripète)

Un point qui se déplace sur un cercle de rayon $R$ à la vitesse $v$ doit recevoir de la résultante des forces une composante $mv^2/R$ dirigée vers le centre. Ce qui la fournit — la tension d’un fil, le frottement, la réaction d’une route relevée, la pesanteur — fixe la vitesse maximale, ou la vitesse minimale, pour laquelle le mouvement est possible.

Démonstration. La deuxième loi de Newton avec l’accélération de Frenet : la composante normale de $\sum\vect F$ vaut $mv^2/\rho$ . ∎

Exemple 12.16 (Trois cercles)

Virage à plat : le frottement doit fournir $mv^2/R \leq \mu_sN = \mu_smg$ , donc $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$ : $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour $R = 50\,\mathrm{m}$ et $\mu_s = 0.8$ . Virage relevé d’un angle $\beta$ , sans frottement : la réaction $\vect N$ est normale à la route ; à la verticale $N\cos\beta = mg$ , à l’horizontale $N\sin\beta = mv^2/R$ , donc $v^2 = gR\tan\beta$ — l’unique vitesse à laquelle le virage se prend sans aucun frottement. Boucle : au sommet, avec $\vect N$ dirigée vers le bas vers le centre, $N + mg = mv^2/R$ , et $N \geq 0$ exige $v \geq \sqrt{gR}$ : en dessous, la voiture quitte le rail (le Problème 11.1 à nouveau, expliqué cette fois).

Un virage relevé vu en coupe : sans frottement, la réaction normale de la route doit à la fois soutenir la voiture et la pousser vers le centre ; la composante horizontale N fournit mv2/R, ce qui n’arrive qu’à une seule vitesse, v = √gR. — Un virage relevé vu en coupe : sans frottement, la réaction normale de la route doit à la fois soutenir la voiture et la pousser vers le centre ; la composante horizontale $N\sin\beta$ fournit $mv^2/R$ , ce qui n’arrive qu’à une seule vitesse, $v = \sqrt{gR\tan\beta}$ .

12.5 Exercices

Exercice 12.1 ★

Une personne de $70\,\mathrm{kg}$ se tient sur un pèse-personne dans un ascenseur. Qu’indique l’appareil (en newtons et en « kilogrammes ») lorsque l’ascenseur accélère vers le haut de $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , vers le bas de $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , se déplace à vitesse constante, et tombe en chute libre ?

Solution

Solution de Exercice 12.1.

Indication du pèse-personne $N = m(g + a)$ avec $a$ l’accélération vers le haut : vers le haut, $70 \times 11.81 = 827\,\mathrm{N}$ (« $84\,\mathrm{kg}$ ») ; vers le bas, $70 \times 7.81 = 547\,\mathrm{N}$ (« $56\,\mathrm{kg}$ ») ; à vitesse constante, $687\,\mathrm{N}$ ( $70\,\mathrm{kg}$ ) ; en chute libre, $0$ .

Exercice 12.2 ★

Un bloc $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ posé sur une table sans frottement est relié par un fil, passant sur une poulie sans frottement, à une masse suspendue $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ . Trouver l’accélération et la tension.

Solution

Solution de Exercice 12.2.

Même accélération $a$ pour les deux (fil inextensible) : $m_1a = T$ , $m_2a = m_2g - T$ , donc $a = m_2g/(m_1 + m_2) = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $T = m_1a = 6.5\,\mathrm{N}$ .

Exercice 12.3 ★

Un bloc glisse sur un plan incliné à $30^\circ$ avec $\mu_d = 0.20$ . Calculer son accélération et sa vitesse après $5.0\,\mathrm{m}$ depuis le repos. La réponse dépend-elle de sa masse ?

Solution

Solution de Exercice 12.3.

$a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha) = 9.81(0.50 - 0.17) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v = \sqrt{2 \times 3.2 \times 5.0} = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Aucune masse en vue.

Exercice 12.4 ★

Une masse de $0.50\,\mathrm{kg}$ est suspendue à un ressort de raideur $200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Trouver l’allongement statique ; puis la pulsation et la période de ses oscillations verticales autour de l’équilibre (montrer que l’équation du mouvement est harmonique).

Solution

Solution de Exercice 12.4.

$k\Delta\ell = mg$ : $\Delta\ell = 0.50 \times 9.81/200 = 2.5\,\mathrm{cm}$ . Avec $x$ l’écart à l’équilibre, $m\ddot x = -kx$ (le poids et l’allongement statique se compensent) : $\omega_0 = \sqrt{k/m} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 0.31\,\mathrm{s}$ .

Exercice 12.5 ★★

Une caisse posée sur un plateau que l’on incline se met à glisser à $22^\circ$ . Trouver $\mu_s$ . Une voiture sur route plate avec $\mu_s = 0.80$ : vitesse maximale dans un virage de rayon $50\,\mathrm{m}$ , puis sur route mouillée avec $\mu_s = 0.40$ .

Solution

Solution de Exercice 12.5.

$\mu_s = \tan 22^\circ = 0.40$ . Virage : $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$ : $\sqrt{0.8 \times 9.81 \times 50} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) ; sur route mouillée, $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).

Exercice 12.6 ★★

Vitesses limites : un parachutiste ( $m = 80\,\mathrm{kg}$ , $C_xS = 0.70\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) ; une gouttelette de brouillard de rayon $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ dans l’air ( $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ), par la loi de Stokes. Vérifier par un nombre de Reynolds que le régime retenu est le bon dans chaque cas.

Solution

Solution de Exercice 12.6.

Parachutiste : $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.70)} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = \rho vL/\eta \approx 1.2 \times 43 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx 10^6$ : quadratique. Gouttelette : $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ , $v_\infty = mg/6\pi\eta r = 4.1\times10^{-11}/3.4\times10^{-9} = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 0.012 \times 2\times10^{-5}/1.8\times10^{-5} = 0.02$ : linéaire.

Exercice 12.7 ★★

Un pendule de longueur $\ell$ est lâché sans vitesse initiale depuis $\theta_0 = 60^\circ$ . Sachant que sa vitesse en bas vaut $\sqrt{2g\ell(1 - \cos\theta_0)}$ (énergie, chapitre suivant), trouver la tension du fil en bas, en unités de $mg$ , puis au point de lâcher.

Solution

Solution de Exercice 12.7.

En bas : $v^2 = 2g\ell(1 - \cos 60^\circ) = g\ell$ ; $T = mg + mv^2/\ell = 2mg$ . Au point de lâcher : $v = 0$ , $T = mg\cos\theta_0 = 0.5mg$ .

Exercice 12.8 ★★

Un virage de rayon $200\,\mathrm{m}$ est relevé de $15^\circ$ . À quelle vitesse peut-il être pris sans aucun frottement ? Que doit faire le frottement à plus basse et à plus haute vitesse ?

Solution

Solution de Exercice 12.8.

$v = \sqrt{gR\tan\beta} = \sqrt{9.81 \times 200 \times 0.268} = 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $82\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Plus lentement : la voiture tend à glisser vers le bas du dévers, le frottement doit pointer vers le haut de la pente ; plus vite : il pointe vers le bas pour ajouter de la force centripète.

Exercice 12.9 ★★

Pendule conique : une masse au bout d’un fil de longueur $\ell = 1.0\,\mathrm{m}$ décrit un cercle horizontal, le fil faisant $30^\circ$ avec la verticale. Trouver la vitesse angulaire, la période et la tension (en unités de $mg$ ).

Solution

Solution de Exercice 12.9.

$T\cos\alpha = mg$ , $T\sin\alpha = m\omega^2\ell\sin\alpha$ : $\omega = \sqrt{g/\ell\cos\alpha} = \sqrt{9.81/0.866} = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , période $1.9\,\mathrm{s}$ ; $T = mg/\cos\alpha = 1.15mg$ .

Exercice 12.10 ★★★

Une voiture de $1000\,\mathrm{kg}$ atteint $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ depuis le repos en $8.0\,\mathrm{s}$ à accélération constante. Trouver la force résultante, et le coefficient de frottement minimal entre les pneus moteurs et la route si les roues motrices portent tout le poids. Qu’est-ce qui limite une voiture de sport sur route mouillée ?

Solution

Solution de Exercice 12.10.

$a = 27.8/8.0 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $F = 3.5\,\mathrm{kN}$ ; $F \leq \mu_smg$ donne $\mu_s \geq a/g = 0.35$ . Sur route mouillée, $\mu_s \approx 0.4$ plafonne l’accélération vers $0.4g$ quel que soit le moteur : c’est l’adhérence, non la puissance.

Exercice 12.11 ★★★

Un corps tombe du repos avec une traînée linéaire, $\tau = m/\alpha = 0.50\,\mathrm{s}$ . Écrire $v(t)$ et en déduire la distance de chute $z(t)$ ; calculer $v_\infty$ , puis $z$ après $2.0\,\mathrm{s}$ ; comparer à la chute libre.

Solution

Solution de Exercice 12.11.

$v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ , $v_\infty = g\tau = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $z = \int v = v_\infty[t - \tau(1 - \eu^{-t/\tau})]$ . À $2.0\,\mathrm{s}$ : $4.9 \times (2.0 - 0.5 \times 0.98) = 7.4\,\mathrm{m}$ , contre $\tfrac12 gt^2 = 20\,\mathrm{m}$ dans le vide.

Exercice 12.12 ★★★

Une voiture de masse $m$ roule à l’intérieur d’une boucle circulaire verticale de rayon $R$ (Problème 11.1). Exprimer la réaction normale du rail en fonction de l’angle $\theta$ compté depuis le bas et de la vitesse $v(\theta)$ ; en déduire la vitesse minimale au sommet ; à l’aide de $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$ , trouver la vitesse d’entrée minimale et la réaction en bas dans ce cas.

Solution

Solution de Exercice 12.12.

Projection radiale (vers le centre) : $N - mg\cos\theta = mv^2/R$ , donc $N = m(v^2/R + g\cos\theta)$ . Au sommet ( $\theta = \pi$ ) : $N = m(v^2/R - g) \geq 0$ si et seulement si $v \geq \sqrt{gR}$ . Avec la loi des vitesses, $v_{\text{sommet}}^2 = v_0^2 - 4gR \geq gR$ : $v_0 \geq \sqrt{5gR}$ ; alors, en bas, $N = m(5g + g) = 6mg$ .

Chute libre dans l’air : après quelques secondes, la traînée quadratique équilibre le poids et le parachutiste tombe à une vitesse limite voisine de 200\, km/ h — c’est le problème du week-end. — Chute libre dans l’air : après quelques secondes, la traînée quadratique équilibre le poids et le parachutiste tombe à une vitesse limite voisine de $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — c’est le problème du week-end.

12.6 Problème : le parachutiste

Problème 12.1

Problème du week-end — de la porte de l’avion au sol : la chute libre, l’air qui repousse, une voilure qui s’ouvre trop vite, et l’atterrissage — une loi du mouvement, deux lois de traînée

Un parachutiste équipé a une masse $m = 80\,\mathrm{kg}$ . Air : $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . En chute à plat ventre, $C_xS = 0.80\,\mathrm{m}^{2}$ ; sous la voilure ouverte, $C_xS = 25\,\mathrm{m}^{2}$ . $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $z$ est compté vers le bas depuis le point de saut.

Partie I — Sans l’air.

Écrire la deuxième loi de Newton et donner $v(t)$ et $z(t)$ ; calculer les deux à $t = 10\,\mathrm{s}$ .
Calculer le poids.
Le parachutiste se sent « sans poids » pendant cette phase, bien que la pesanteur agisse pleinement. Expliquer par les forces (ce qui manque par rapport à quelqu’un debout sur le sol).
Le référentiel terrestre est-il assez galiléen pour ce problème ? Nommer ce que l’on néglige.

Partie II — La chute dans l’air.

Écrire la force de traînée pour la chute à plat ventre en fonction de $v$ .
Écrire l’équation du mouvement pour $v(t)$ .
Trouver la vitesse limite $v_\infty$ (en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).
Avec $u = v/v_\infty$ et $\tau = v_\infty/g$ , montrer que $\dd u/\dd t = (1 - u^2)/\tau$ ; calculer $\tau$ .
Résoudre par séparation des variables et montrer que $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ .
Au bout de combien de temps a-t-on $v = 0.9v_\infty$ ? Et $0.99v_\infty$ ?
Montrer que $z(t) = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$ et calculer la distance de chute à $t = 10\,\mathrm{s}$ ; comparer à la partie I.
Estimer le nombre de Reynolds à $v_\infty$ avec $L = 0.5\,\mathrm{m}$ et justifier la loi quadratique.

Partie III — La voilure s’ouvre.

Calculer la nouvelle vitesse limite sous la voilure ouverte.
Si la voilure s’ouvrait instantanément à $v = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , quelle serait la décélération, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et en $g$ ? Pourquoi est-ce inacceptable ?
Les voilures réelles s’ouvrent en $3\,\mathrm{s}$ environ. Estimer la décélération moyenne et la force moyenne du harnais sur le parachutiste.
Une fois la voilure entièrement ouverte, la vitesse décroît vers la nouvelle $v_\infty$ : quelle est la nouvelle constante de temps $\tau' = v_\infty'/g$ , et que signifie-t-elle pour l’approche du régime permanent ?
En descente établie, que vaut la force du harnais ? Justifier par la deuxième loi.
Expliquer pourquoi la vitesse limite varie comme $1/\sqrt{C_xS}$ : de quel facteur une voilure de moitié d’aire l’élèverait-elle ?
Un sauteur plus lourd ( $100\,\mathrm{kg}$ ) sous la même voilure : vitesse limite ?

Partie IV — L’atterrissage.

La vitesse d’atterrissage est la $v_\infty$ de la voilure. De quelle hauteur faudrait-il sauter, sans air, pour toucher le sol à cette vitesse ?
Un atterrissage jambes raides arrête le corps sur $0.5\,\mathrm{m}$ ; un roulé-boulé sur $1.5\,\mathrm{m}$ . Estimer la décélération moyenne (en $g$ ) et la force moyenne sur les jambes dans chaque cas, puis conclure.
Juste avant de toucher, le parachutiste tire les deux commandes, ce qui augmente brièvement la traînée de la voilure. Expliquer qualitativement l’effet sur la vitesse.

Partie V — Les petits objets tombent autrement.

Une goutte de pluie de rayon $1.0\,\mathrm{mm}$ ( $C_x = 0.5$ ) : calculer sa vitesse limite par la loi quadratique, et vérifier le nombre de Reynolds.
Une gouttelette de brouillard de rayon $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : utiliser la loi de Stokes pour $v_\infty$ et vérifier que le nombre de Reynolds est bien petit.
Récapituler : une équation du mouvement, deux régimes de traînée, et les trois nombres (en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) qui décident si une chose tombe comme une pierre, comme une feuille, ou pas du tout.

Solution

Solution de Problème 12.1.

1. $m\dot v = mg$ : $v = gt$ , $z = \tfrac12 gt^2$ ; à $10\,\mathrm{s}$ : $98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $490\,\mathrm{m}$ .

2. $mg = 785\,\mathrm{N}$ .

3. Sur le sol, le plancher pousse vers le haut avec $N = mg$ — c’est cette poussée que l’on ressent comme son poids. En chute libre, il n’y a aucune force de contact : la pesanteur agit également sur chaque partie du corps et rien n’appuie.

4. Oui, à quelques dixièmes de pour cent près sur une minute ; sont négligées : la rotation de la Terre (termes d’inertie d’entraînement et de Coriolis, Chapitre 18) et le vent.

5. $F_d = \tfrac12\rho C_xSv^2 = 0.48\,v^2$ (unités SI).

6. $m\,\dd v/\dd t = mg - 0.48v^2$ .

7. $v_\infty = \sqrt{mg/0.48} = \sqrt{1635} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 146\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

8. En divisant par $mg$ : $\dd u/\dd t\,(v_\infty/g) = 1 - u^2$ ; $\tau = 40.4/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$ .

9. $\int_0^u\dd u'/(1 - u'^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$ , donc $u = \tanh(t/\tau)$ .

10. $t = \tau\operatorname{artanh}(0.9) = 1.47\tau = 6.1\,\mathrm{s}$ ; pour $0.99$ : $2.65\tau = 11\,\mathrm{s}$ .

11. $z = \int v_\infty\tanh(t/\tau)\dd t = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$ ; à $10\,\mathrm{s}$ : $166 \times \ln\cosh(2.43) = 166 \times 1.74 = 290\,\mathrm{m}$ , contre $490\,\mathrm{m}$ .

12. $\mathrm{Re} = 1.2 \times 40 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx 1.3 \times 10^{6}$ : bien au-dessus de $1000$ , donc quadratique.

13. $v_\infty' = \sqrt{785/(0.6 \times 25)} = \sqrt{52} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

14. Traînée $= 15 \times 1600 = 24\,\mathrm{kN}$ ; $a = (24000 - 785)/80 = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 30g$ : le harnais casserait, ou le sauteur.

15. En moyenne $a \approx (40 - 7)/3 = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1.1g$ ; force du harnais $\approx m(g + a) \approx 1.7\,\mathrm{kN}$ .

16. $\tau' = 7.2/9.81 = 0.73\,\mathrm{s}$ : quelques secondes après l’ouverture complète, la descente est établie.

17. $\vect a = \vect 0$ : force du harnais $= mg = 785\,\mathrm{N}$ .

18. L’équilibre $mg = \tfrac12\rho C_xSv^2$ donne $v \propto (C_xS)^{-1/2}$ : avec la moitié de l’aire, la vitesse est multipliée par $\sqrt2$ ( $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).

19. $v \propto \sqrt m$ : $7.2 \times \sqrt{100/80} = 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

20. $h = v^2/2g = 52/19.6 = 2.6\,\mathrm{m}$ : un saut depuis un premier étage.

21. $a = v^2/2d$ : $52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ( $5.3g$ ) sur $0.5\,\mathrm{m}$ , force $m(g + a) \approx 5\,\mathrm{kN}$ ; $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ( $1.8g$ ) sur $1.5\,\mathrm{m}$ , $2.2\,\mathrm{kN}$ . Il faut rouler.

22. Une traînée plus grande (et un peu de portance) dépasse momentanément le poids : le sauteur ralentit et touche le sol au-dessous de $v_\infty'$ .

23. $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}$ , $S = \pi r^2 = 3.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}$ : $v_\infty = \sqrt{2mg/\rho C_xS} = \sqrt{8.2\times10^{-5}/ 1.9\times10^{-6}} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 6.6 \times 2\times10^{-3}/1.8\times10^{-5} \approx 900$ : quadratique, à peu près.

24. $v_\infty = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ (Exercice 12.6) ; $\mathrm{Re} \approx 0.02 \ll 1$ : la loi de Stokes s’applique, de façon cohérente.

25. $m\dot{\vect v} = m\vect g + \vect F_{\text{traînée}}$ ; la traînée est linéaire en $v$ pour les objets petits et lents, quadratique pour les gros et rapides. Les nombres : $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour un corps en chute, $7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sous une voilure (ou pour une goutte de pluie), $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ pour le brouillard — la même loi sur quatre ordres de grandeur.

Termes définis dans ce chapitre

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