Wat is Moment om een punt; om een as? — Natuurkunde

Definitie 15.1 Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Hoofdstuk 15 — Impulsmoment

Het moment (of koppel) om een punt $O$ van een kracht $\vect F$ die in $M$ aangrijpt is de vector

\vect{\mathcal M}_O(\vect F) = \vect{OM}\wedge\vect F \qquad (\mathrm{N}\,\mathrm{m}),

loodrecht op het vlak van $\vect{OM}$ en $\vect F$ , met norm $OM\cdot F\sin\alpha = F\,d$ , waarin $d$ — de arm — de afstand is van $O$ tot de werklijn van $\vect F$ . Het moment om een georiënteerde as $\Delta$ (eenheidsvector $\vect e_\Delta$ ) door $O$ is de scalar $\mathcal M_\Delta = \vect{\mathcal M}_O\cdot\vect e_\Delta$ , onafhankelijk van de keuze van $O$ op $\Delta$ ; het verdwijnt als $\vect F$ evenwijdig is aan $\Delta$ of die snijdt. Twee tegengestelde krachten op verschillende werklijnen vormen een krachtenkoppel, waarvan het moment $\vect F\wedge\vect{AB}$ om elk punt hetzelfde is.

Het moment van F om O: het uitwendig product OM F, met norm F\,d waarin d de afstand is van O tot de werklijn (de arm), gericht loodrecht op de figuur — hier naar de lezer toe. — Het moment van $\vect F$ om $O$ : het uitwendig product $\vect{OM}\wedge\vect F$ , met norm $F\,d$ waarin $d$ de afstand is van $O$ tot de werklijn (de arm), gericht loodrecht op de figuur — hier naar de lezer toe.

Voorbeelden

Voorbeeld 15.2 (De deur)

Een duw van $20\,\mathrm{N}$ loodrecht op een deur, $0.80\,\mathrm{m}$ van de scharnieren, heeft moment $16\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ om de scharnieras; dezelfde duw op $0.10\,\mathrm{m}$ geeft $2\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; langs de deur (werklijn door de scharnieren) nul. De reactie van het scharnier zelf, die de as snijdt, heeft er geen moment om: dat maakt de as de natuurlijke plek om momenten te nemen.

Voorbeeld 15.6 (De slinger met momenten)

Wiskundige slinger, as $\Delta$ door het draaipunt loodrecht op het zwaaivlak: $L_\Delta = m\ell^2\dot\theta$ ; de spankracht snijdt de as (geen moment), het moment van het gewicht is $-mg\ell\sin\theta$ (arm $\ell\sin\theta$ , terugdrijvend). De stelling geeft $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta$ , de vergelijking van Voorbeeld 12.12 zonder ooit de spankracht op te schrijven — het grote voordeel van momenten: krachten door de as verdwijnen.

Voorbeeld 15.10 (De schaatsster)

Met de armen uit heeft het lichaam van een schaatsster $J \approx 4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ plus twee armen van $3\,\mathrm{kg}$ op $0.8\,\mathrm{m}$ : $J_1 = 4 + 2 \times 3 \times 0.64 = 7.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . Armen in ( $0.2\,\mathrm{m}$ ): $J_2 = 4.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . De reactie van het ijs en het gewicht hebben geen moment om de verticale as: $J\omega$ blijft behouden en het toerental stijgt met $J_1/J_2 = 1.85$ — van $2$ naar $3.7$ omwentelingen per seconde — terwijl de kinetische energie met dezelfde factor stijgt, betaald door de spieren die de armen naar binnen trekken.

Lees in het hoofdstuk →