चाप-लंबाई কী?

उदाहरण 18.8 (आर्किमिडीज़ और अंतर्लिखित बहुभुज)

इकाई वृत्त के लिए अंतर्लिखित सम $n$-भुज की लंबाई $L_n = 2n\sin\frac\pi n$ है, और प्रसार $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$ देता है

अर्थात् प्रमेय 18.7 की बहुभुजीय लंबाइयाँ वर्गिक रूप से अभिसरण करती हैं। संख्यात्मक रूप से: $L_6 = 6$ (षट्भुज, जो कच्चा $\pi > 3$ देता है), जबकि $2\pi \approx 6.28319$ के सामने $L_{96} = 192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ — त्रुटि $0.00113$ अनुमानित $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$ से मेल खाती है। इसीलिए आर्किमिडीज़ षट्भुज को पाँच बार दुगुना करके $96$ भुजाओं तक ले जाकर हाथ से ही $\pi$ को तीन अंकों तक घेर सके: हर दुगुनापन त्रुटि को चार से भाग देता है। बहुभुजीय अभिलक्षणन का उच्चतम केवल सीमा में ही प्राप्त नहीं होता; वह तेज़ी से प्राप्त होता है, क्योंकि कोई चिकना वक्र अपनी जीवाओं से केवल द्वितीय कोटि पर ही अलग होता है।

उदाहरण 18.11 (वृत्त और कुंडली)

वृत्त $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ के लिए $\norm{\gamma'} = R$, अतः $s = Rt$, और एक पूरे फेरे की लंबाई $2\pi R$ है। $a > 0$ वाली कुंडली $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ के लिए $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ अचर है: कुंडली अचर चाल पर तय होती है, और $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$।

उदाहरण 18.12 (ध्रुवीय निर्देशांकों में चाप-लंबाई)

ध्रुवीय वक्र $r = r(\theta)$ चाप $\gamma(\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ है, जहाँ

(मिश्रित पद कट जाते हैं): अर्थात् ध्रुवीय लंबाई-अवयव $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$ है। कार्डिऑइड $r = 1 + \cos\theta$ के लिए:

और $\intcc{-\pi}{\pi}$ पर अर्ध-कोण की कोसाइन अऋणात्मक है, अतः

अभ्यास 18.1 के चक्रज मेहराब की तरह, वृत्तों से बना कोई वक्र परिमेय लंबाई रखता है, और कहीं कोई $\pi$ नहीं। अर्ध-कोण गुणनखंडन वृत्त-जनित वक्रों की लंबाइयों के लिए मानक युक्ति है; जब वह विफल हो जाती है (दीर्घवृत्त), तब लंबाई सचमुच एक नया फलन बन जाती है — कोई दीर्घवृत्तीय समाकल, जो प्रारंभिक संवृत रूपों से परे है।