विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · Bachelor jaar 2

18वक्र

अब ज्यामिति अवकल हो जाती है। वक्र अवकाश में चलता हुआ एक बिंदु है; कलन हमें उसका वेग और त्वरण देता है, और ज्यामिति पूछती है कि आंतरिक क्या है — अर्थात् वह जो इससे स्वतंत्र हो कि हम पथ कितनी तेज़ी से तय करते हैं। उत्तर हैं चाप-लंबाई, जो पथ को स्वयं मापती है, और वक्रता, जो मापती है कि वह कितना मुड़ता है। विमा $3$ में एक दूसरा निश्चर, ऐंठन, यह मापता है कि वक्र अपने समतल से बाहर कितना बल खाता है। इस सब का लेखा रखने वाला यंत्र गतिशील फ्रेने ढाँचा है।

18.1 प्राचलित चाप

परिभाषा 18.1 (प्राचलित चाप)

वर्ग $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) का प्राचलित चाप किसी अंतराल $I$ पर वर्ग $\mathcal{C}^k$ का प्रतिचित्रण $\gamma \colon I \to \R^n$ है। बिंदु $\gamma(t)$ नियमित है यदि $\gamma'(t) \neq 0$ , और चाप नियमित है यदि उसके सारे बिंदु नियमित हों। $\gamma'(t)$ से दिशित, $\gamma(t)$ से होकर जाने वाली रेखा नियमित बिंदु पर स्पर्श रेखा है।

परिभाषा 18.2 (प्राचल परिवर्तन)

वर्ग $\mathcal{C}^k$ का प्राचल परिवर्तन अंतरालों के बीच कोई $\mathcal{C}^k$ अवकल समाकृतिकता $\theta \colon J \to I$ है (हर जगह $\theta' \neq 0$ )। चाप $\gamma$ और $\gamma \circ \theta$ तुल्य कहलाते हैं; ज्यामितीय चाप (या वक्र) कोई तुल्यता वर्ग है। प्राचल परिवर्तन के अंतर्गत निश्चर धारणाएँ — पथ, स्पर्श रेखा, चाप-लंबाई, वक्रता — ज्यामितीय कहलाती हैं।

टिप्पणी 18.3

अकेला पथ ज्यामितीय चाप को निर्धारित नहीं करता: $[0, 2\pi]$ पर तथा $[0, 4\pi]$ पर प्राचलन $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ का प्रतिबिंब एक ही है, पर वे वृत्त को क्रमशः एक बार और दो बार तय करते हैं। ज्यामितीय चाप फेरे की बहुलता और अभिविन्यास याद रखता है, उसकी चाल नहीं।

उदाहरण 18.4 (चाल ज्यामितीय रूप से कुछ नहीं बदलती)

इकाई वृत्त का प्राचलन इस प्रकार कीजिए:

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

चाल $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ रैखिक रूप से बढ़ती है, फिर भी

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

अर्थात् वही लंबाई जो अचर चाल पर मिलती — जैसा प्रमेय 18.7 वादा करती है, प्राचल परिवर्तन $t \mapsto t^2$ के द्वारा। स्पर्श रेखा, प्रतिज्ञप्ति 18.17 से परिकलित वक्रता, और हर दूसरी ज्यामितीय राशि भी मेल खाती है; केवल $t = 0$ एक नज़र का हक़दार है, जहाँ $\gamma'(0) = 0$ इस प्राचलन को अनियमित बना देता है यद्यपि पथ पूरा-पूरा वृत्त है। ज्यामितीय कथन बुरे प्राचलनों को बुरी तरह सहते हैं: पहले पुनःप्राचलन कीजिए, निष्कर्ष बाद में निकालिए।

उदाहरण 18.5

चाप $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ $\mathcal{C}^\infty$ है पर नियमित नहीं: $\gamma'(0) = (0, 0)$ । उसका पथ, अर्धघनीय परवलय $y^2 = x^3$ , मूल बिंदु पर एक उभयाग्र रखता है: प्राचलन की चिकनाई वहाँ ज्यामितीय विचित्रता नहीं रोकती जहाँ वेग लुप्त हो जाता है। इसीलिए नियमितता की परिकल्पना $\gamma' \neq 0$ केवल सजावट नहीं है।

18.2 चाप-लंबाई

परिभाषा 18.6 (चाप-लंबाई)

मान लीजिए $\gamma \colon [a, b] \to \R^n$ कोई $\mathcal{C}^1$ चाप है। उसकी लंबाई है

L(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\, \dd t ,

जहाँ $\norm{\cdot}$ यूक्लिडीय मानदंड है। $t_0$ पर आधारित चाप-लंबाई फलन $s(t) = \int_{t_0}^t \norm{\gamma'(u)}\,\dd u$ है।

प्रमेय 18.7 (लंबाई ज्यामितीय है; बहुभुजीय अभिलक्षणन)

यदि $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ कोई $\mathcal{C}^1$ प्राचल परिवर्तन हो, तो $L(\gamma \circ \theta) = L(\gamma)$ ।
$L(\gamma)$ अंतर्लिखित बहुभुजों की लंबाइयों का उच्चतम है:

$L(\gamma) = \sup\Bigl\{\, \sum_{i=1}^{m} \norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \;:\; a = t_0 < t_1 < \dots < t_m = b \,\Bigr\}.$

उपपत्ति. 1. चरों के परिवर्तन $t = \theta(u)$ से (प्रथम वर्ष का खंड; वैध है क्योंकि $\theta$ $\mathcal{C}^1$ एकदिष्ट है),

\int_c^d \norm{(\gamma\circ\theta)'(u)}\,\dd u = \int_c^d \norm{\gamma'(\theta(u))}\,\abs{\theta'(u)}\,\dd u = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\,\dd t ,

जहाँ हमने $(\gamma\circ\theta)' = \theta'\cdot (\gamma'\circ\theta)$ का उपयोग किया, और यदि $\theta$ ह्रासमान हो, तो $\theta'$ का चिह्न सीमाओं के उलट जाने में समा जाता है।

2. किसी भी विभाजन के लिए $\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t$ , अतः समाकलों की त्रिभुज असमिका से $\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \leq \int_{t_{i-1}}^{t_i}\norm{\gamma'}$ : हर बहुभुज $L(\gamma)$ से छोटा है, अतः $\sup \leq L(\gamma)$ ।

विपरीत असमिका के लिए मान लीजिए $\varepsilon > 0$ । चूँकि $\gamma'$ संहत $[a,b]$ पर संतत है, वह एकसमान संतत है: ऐसा $\delta > 0$ है कि $\norm{\gamma'(t) - \gamma'(u)} \leq \varepsilon$ जब भी $\abs{t - u} \leq \delta$ । पग $\leq \delta$ का कोई विभाजन लीजिए। हर टुकड़े पर, $t \in [t_{i-1}, t_i]$ के लिए,

\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t = (t_i - t_{i-1})\,\gamma'(t_{i-1}) + R_i, \qquad \norm{R_i} \leq \varepsilon\,(t_i - t_{i-1}),

क्योंकि $R_i = \int_{t_{i-1}}^{t_i}(\gamma'(t) - \gamma'(t_{i-1}))\,\dd t$ । अतः

\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \geq (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})} - \varepsilon (t_i - t_{i-1}) .

जोड़ने पर, और $\sum (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})}$ की तुलना $\int_a^b\norm{\gamma'}$ से करने पर (जो संतत फलन $\norm{\gamma'}$ का रीमान योग है, और एकसमान संततता से पर्याप्त छोटे $\delta$ के लिए समाकल के $\varepsilon(b - a)$ के भीतर है), हमें $\geq L(\gamma) - 2\varepsilon(b - a)$ लंबाई का बहुभुज मिलता है। $\varepsilon \to 0$ लेने पर दावा सिद्ध हो जाता है। ∎

उदाहरण 18.8 (आर्किमिडीज़ और अंतर्लिखित बहुभुज)

इकाई वृत्त के लिए अंतर्लिखित सम $n$ -भुज की लंबाई $L_n = 2n\sin\frac\pi n$ है, और प्रसार $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$ देता है

L_n = 2\pi - \frac{\pi^3}{3n^2} + O\Bigl(\frac1{n^4}\Bigr) :

अर्थात् प्रमेय 18.7 की बहुभुजीय लंबाइयाँ वर्गिक रूप से अभिसरण करती हैं। संख्यात्मक रूप से: $L_6 = 6$ (षट्भुज, जो कच्चा $\pi > 3$ देता है), जबकि $2\pi \approx 6.28319$ के सामने $L_{96} = 192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ — त्रुटि $0.00113$ अनुमानित $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$ से मेल खाती है। इसीलिए आर्किमिडीज़ षट्भुज को पाँच बार दुगुना करके $96$ भुजाओं तक ले जाकर हाथ से ही $\pi$ को तीन अंकों तक घेर सके: हर दुगुनापन त्रुटि को चार से भाग देता है। बहुभुजीय अभिलक्षणन का उच्चतम केवल सीमा में ही प्राप्त नहीं होता; वह तेज़ी से प्राप्त होता है, क्योंकि कोई चिकना वक्र अपनी जीवाओं से केवल द्वितीय कोटि पर ही अलग होता है।

प्रमेय 18.9 (चाप-लंबाई प्राचलन)

मान लीजिए $\gamma \colon I \to \R^n$ कोई नियमित $\mathcal{C}^k$ चाप है ( $k \geq 1$ )। चाप-लंबाई फलन $s$ $I$ से किसी अंतराल $J$ पर $\mathcal{C}^k$ अवकल समाकृतिकता है, और $\tilde\gamma = \gamma \circ s^{-1}$ हर जगह $\norm{\tilde\gamma'} = 1$ पूरा करता है। प्राचल के स्थानांतरण तथा अभिविन्यास तक यह चाप-लंबाई (या इकाई-चाल) प्राचलन अद्वितीय है।

उपपत्ति. $s'(t) = \norm{\gamma'(t)} > 0$ और $s'$ $\mathcal{C}^{k-1}$ है ( $\mathcal{C}^{k-1}$ प्रतिचित्रण $\gamma'$ का मानदंड के साथ संयोजन, जो $0$ से दूर चिकना है), अतः $s$ $\mathcal{C}^k$ है, दृढ़ता से वर्धमान, $J = s(I)$ पर एकैकी आच्छादक, और विमा $1$ में प्रतिलोम फलन प्रमेय (प्रथम वर्ष का खंड) से उसका प्रतिलोम $\mathcal{C}^k$ है। तब

\tilde\gamma'(\sigma) = \frac{\gamma'(t)}{s'(t)} = \frac{\gamma'(t)}{\norm{\gamma'(t)}}, \qquad t = s^{-1}(\sigma),

जो इकाई सदिश है। यदि $\hat\gamma = \gamma\circ\theta$ कोई दूसरा इकाई-चाल प्राचलन हो, तो $\abs{\theta'} = 1$ , अतः संततता से $\theta' = \pm 1$ अचर, अर्थात् $\theta(u) = \pm u + c$ । ∎

टिप्पणी 18.10

चाप-लंबाई वह प्राचल है जो ज्यामिति को गतिकी से अलग करता है। किसी पथ को किसी भी चाल-रूपरेखा के साथ तय किया जा सकता है — यही गति की भौतिकी है — पर प्राचलन-निश्चर हर प्रश्न (आकार, मुड़ाव, चुंबन) की एक विहित घड़ी होती है: तय की गई दूरी। इसीलिए नीचे के सारे वक्रता सूत्र इकाई चाल पर परिभाषित किए जाते हैं और फिर शृंखला नियम से स्वेच्छ प्राचलनों में अनूदित किए जाते हैं: अनुवाद के गुणनखंड $v = s'$ की घातें हैं, और उन्हें ठीक-ठीक साधना ही प्रतिज्ञप्ति 18.17 की पूरी अंतर्वस्तु है।

उदाहरण 18.11 (वृत्त और कुंडली)

वृत्त $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ के लिए $\norm{\gamma'} = R$ , अतः $s = Rt$ , और एक पूरे फेरे की लंबाई $2\pi R$ है। $a > 0$ वाली कुंडली $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ के लिए $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ अचर है: कुंडली अचर चाल पर तय होती है, और $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$ ।

उदाहरण 18.12 (ध्रुवीय निर्देशांकों में चाप-लंबाई)

ध्रुवीय वक्र $r = r(\theta)$ चाप $\gamma(\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ है, जहाँ

\gamma'(\theta) = (r'\cos\theta - r\sin\theta,\ r'\sin\theta + r\cos\theta), \qquad \norm{\gamma'(\theta)}^2 = r'^2 + r^2

(मिश्रित पद कट जाते हैं): अर्थात् ध्रुवीय लंबाई-अवयव $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$ है। कार्डिऑइड $r = 1 + \cos\theta$ के लिए:

r^2 + r'^2 = (1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\tfrac\theta2,

और $\intcc{-\pi}{\pi}$ पर अर्ध-कोण की कोसाइन अऋणात्मक है, अतः

L = \int_{-\pi}^{\pi}2\cos\tfrac\theta2\,\dd\theta = \Bigl[4\sin\tfrac\theta2\Bigr]_{-\pi}^{\pi} = 4 - (-4) = 8 :

अभ्यास 18.1 के चक्रज मेहराब की तरह, वृत्तों से बना कोई वक्र परिमेय लंबाई रखता है, और कहीं कोई $\pi$ नहीं। अर्ध-कोण गुणनखंडन वृत्त-जनित वक्रों की लंबाइयों के लिए मानक युक्ति है; जब वह विफल हो जाती है (दीर्घवृत्त), तब लंबाई सचमुच एक नया फलन बन जाती है — कोई दीर्घवृत्तीय समाकल, जो प्रारंभिक संवृत रूपों से परे है।

18.3 समतल में वक्रता

इस अनुभाग भर चाप अभिविन्यस्त यूक्लिडीय समतल में $\mathcal{C}^2$ तथा नियमित हैं। हम चाप-लंबाई से प्राचलन करते हैं और इकाई स्पर्शी के लिए $T(s) = \tilde\gamma'(s)$ लिखते हैं, तथा $T(s)$ के सीधे लांबिक इकाई सदिश के लिए $N(s)$ (अर्थात् $T$ का $+\pi/2$ से घूर्णन)।

प्रमेय 18.13 (समतल फ्रेने सूत्र)

मान लीजिए $\tilde\gamma$ अभिविन्यस्त समतल में कोई इकाई-चाल $\mathcal{C}^2$ चाप है। ऐसा संतत फलन $\kappa$ है, जो (बीजीय) वक्रता कहलाता है, कि

T'(s) = \kappa(s)\, N(s), \qquad N'(s) = -\kappa(s)\, T(s).

उपपत्ति. चूँकि सब $s$ के लिए $\norm{T(s)}^2 = 1$ , अदिश गुणन का अवकलन $2\langle T'(s), T(s)\rangle = 0$ देता है: $T'(s)$ $T(s)$ के लांबिक है, अतः $N(s)$ के संरेख (विमा $2$ ); $T'(s) = \kappa(s) N(s)$ लिखिए, जहाँ $\kappa(s) = \langle T'(s), N(s)\rangle$ संतत है। इसी प्रकार $N' \perp N$ , अतः $N' = \lambda T$ ; और $\langle T, N\rangle = 0$ का अवकलन $\langle T', N\rangle + \langle T, N'\rangle = \kappa + \lambda = 0$ देता है। ∎

परिभाषा 18.14

जब $\kappa(s) \neq 0$ , तब वक्रता त्रिज्या $R(s) = 1/\abs{\kappa(s)}$ है और वक्रता केंद्र $\tilde\gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)} N(s)$ है; उस केंद्र तथा त्रिज्या $R(s)$ वाला वृत्त चुंबन वृत्त है, जो $\tilde\gamma(s)$ पर वक्र का सर्वोत्तम वृत्तीय सन्निकटन है।

उदाहरण 18.15 (चरघातांकी का चुंबन वृत्त)

बिंदु $(0, 1)$ पर $y = \eu^x$ के लिए: $f'(0) = f''(0) = 1$ , अतः नीचे दिए ग्राफ़-सूत्र से

\kappa(0) = \frac{1}{(1 + 1)^{3/2}} = \frac1{2\sqrt2}, \qquad R = 2\sqrt2 .

इकाई स्पर्शी $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$ है, सीधा अभिलंब $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$ , और वक्रता केंद्र

(0, 1) + 2\sqrt2\cdot\frac{(-1, 1)}{\sqrt2} = (-2,\ 3) :

है; चुंबन वृत्त का समीकरण $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$ है। “सर्वोत्तम वृत्तीय सन्निकटन” के दावे की जाँच के रूप में: $(0,1)$ के निकट वृत्त के समीकरण को $y$ के लिए हल करके प्रसारित करने पर $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ मिलता है — ठीक $\eu^x$ का द्वितीय-कोटि टेलर प्रसार। चुंबन वृत्त मान, ढाल तथा द्वितीय अवकलज तीनों से मेल खाता है; कोई साधारण स्पर्शी वृत्त केवल पहले दो से मेल खाता।

उदाहरण 18.16 (वृत्त की विकसिता उसका केंद्र है)

वामावर्त तय किए गए त्रिज्या $R$ के वृत्त के लिए $\kappa = 1/R$ और $N$ केंद्र की ओर संकेत करता है, अतः हर $s$ के लिए वक्रता केंद्र $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ वृत्त का केंद्र ही है: वृत्त का चुंबन वृत्त स्वयं वही वृत्त है, और वक्रता केंद्रों का बिंदुपथ एक बिंदु में सिमट जाता है। यह अपभ्रष्ट स्थिति अभ्यास 18.6 का अंशांकन करती है: वहाँ विकसिता का वेग $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ है, जो ठीक तभी सर्वत्र लुप्त होता है जब $\kappa$ अचर हो।

प्रतिज्ञप्ति 18.17 (स्वेच्छ प्राचलन में वक्रता)

किसी नियमित $\mathcal{C}^2$ समतल चाप $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ के लिए

\kappa(t) = \frac{x'(t)\,y''(t) - y'(t)\,x''(t)} {\bigl(x'(t)^2 + y'(t)^2\bigr)^{3/2}} ,

विशेष रूप से ग्राफ़ $y = f(x)$ के लिए $\kappa = \dfrac{y''}{(1 + y'^2)^{3/2}}$ ।

उपपत्ति. $v(t) = \norm{\gamma'(t)} = s'(t)$ लिखिए, अतः $\gamma' = vT$ (इकाई-चाल आँकड़ों का $s$ के साथ संयोजन)। अवकलन करने पर,

\gamma'' = v'T + v\,T'\cdot s' = v'T + v^2\kappa N .

अब $(\gamma', \gamma'')$ का सारणिक (विहित अभिविन्यस्त आधार में) लीजिए: चूँकि $\det(T, T) = 0$ और $\det(T, N) = 1$ ,

\det(\gamma', \gamma'') = \det(vT,\ v'T + v^2\kappa N) = v^3\kappa .

बायाँ पक्ष $x'y'' - y'x''$ है, और $v^3 = (x'^2 + y'^2)^{3/2}$ । ग्राफ़ की स्थिति प्राचलन $t \mapsto (t, f(t))$ है। ∎

उदाहरण 18.18 (वृत्त, रेखा, परवलय)

रेखा की $\kappa = 0$ होती है (और विलोमतः: $T' = 0$ का अर्थ है $T$ अचर, अतः $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$ , यानी कोई रेखा)। वामावर्त तय किए गए त्रिज्या $R$ के वृत्त की $\kappa = 1/R$ होती है: $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ के साथ सूत्र $\kappa = R^2/R^3$ देता है। परवलय $y = x^2/2$ के लिए: $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$ , जो शीर्ष पर अधिकतम है — परवलय वहीं सबसे तीखा मुड़ा होता है जहाँ वह पलटता है।

टिप्पणी 18.19 (वक्रता के आसपास की सामान्य चूकें)

(क) समतल चाप की बीजीय वक्रता तब चिह्न बदलती है जब चाप का या समतल का अभिविन्यास उलट दिया जाए: केवल $\abs\kappa$ और $R = 1/\abs\kappa$ विशुद्ध रूप से ज्यामितीय हैं। दक्षिणावर्त तय किए गए वृत्त की $\kappa = -1/R$ होती है। (ख) ग्राफ़-सूत्र $\kappa = f''/(1 + f'^2)^{3/2}$ चुपचाप $x$ द्वारा प्राचलन चुन लेता है; उसे ऐसे वक्र पर लगाना जो उस बिंदु के निकट ग्राफ़ नहीं है (ऊर्ध्वाधर स्पर्शी), शास्त्रीय भूल है। (ग) जिस बिंदु पर $\gamma' = 0$ , वहाँ कुछ भी परिभाषित नहीं — न $T$ , न $\kappa$ — और पथ सचमुच टूट सकता है (उदाहरण 18.5); इकाई स्पर्शी का अवकलन करने से पहले नियमितता सदा जाँचिए। (घ) अवकाश में परंपरा से $\kappa = \norm{T'} \geq 0$ : वहाँ कोई चिह्न ग़लत करने को नहीं है, पर भुनाने को भी नहीं — नति-परिवर्तन जैसी सूचना ऐंठन में चली जाती है। (ङ) अंत में, $\kappa$ चाप-लंबाई के सापेक्ष अवकलज है: इकाई-चाल से भिन्न प्राचलन के लिए प्रतिज्ञप्ति 18.17 में गुणनखंड $v^3$ भूल जाना व्यवहार में सबसे बार-बार होने वाली भूल है।

परवलय y = x2/2, उसका गतिशील फ्रेने ढाँचा (T, N), और शीर्ष पर चुंबन वृत्त (त्रिज्या 1, क्योंकि (0) = 1)। बिंदु के चलने के साथ ढाँचा घूमता है; वक्रता चाप-लंबाई की प्रति इकाई उस घूमने की दर है। — **आकृति 18.1.** परवलय $y = x^2/2$ , उसका गतिशील फ्रेने ढाँचा $(T, N)$ , और शीर्ष पर चुंबन वृत्त (त्रिज्या $1$ , क्योंकि $\kappa(0) = 1$ )। बिंदु के चलने के साथ ढाँचा घूमता है; वक्रता चाप-लंबाई की प्रति इकाई उस घूमने की दर है।

प्रमेय 18.20 (वक्रता वक्र को निर्धारित करती है)

मान लीजिए $\kappa \colon J \to \R$ संतत है। समतल में वक्रता $\kappa$ वाला कोई इकाई-चाल $\mathcal{C}^2$ चाप विद्यमान है, और वह किसी सीधे समदूरिक प्रतिचित्रण (घूर्णन के बाद स्थानांतरण) तक अद्वितीय है।

उपपत्ति. अस्तित्व। $s_0 \in J$ स्थिर कीजिए और $\varphi(s) = \int_{s_0}^s \kappa(u)\,\dd u$ रखिए, फिर

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\int_{s_0}^s \cos\varphi(u)\,\dd u,\ \int_{s_0}^s \sin\varphi(u)\,\dd u\Bigr).

तब $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ इकाई सदिश है, $N(s) = (-\sin\varphi, \cos\varphi)$ , और

T'(s) = \varphi'(s)\,(-\sin\varphi, \cos\varphi) = \kappa(s)\,N(s) :

अर्थात् चाप इकाई-चाल का है और उसकी वक्रता $\kappa$ है।

अद्वितीयता। मान लीजिए $\gamma_1, \gamma_2$ एक ही वक्रता वाले इकाई-चाल चाप हैं। हर इकाई स्पर्शी किसी कोण फलन तक उठ जाता है, और वह भी एक स्पष्ट रचना से: $T_j$ को मापांक $1$ की सम्मिश्र संख्या $z_j = a_j + \iu b_j$ के रूप में देखिए, $z_j(0) = \eu^{\iu\varphi_j(0)}$ के साथ $\varphi_j(0)$ चुनिए, और रखिए

\varphi_j(s) = \varphi_j(0) + \int_0^s\det\bigl(T_j, T_j'\bigr)(u)\,\dd u .

$\abs{z_j} = 1$ से: $\operatorname{Re}(\conj{z_j}\,z_j') = 0$ , अतः $\conj{z_j}\,z_j' = \iu\det(T_j, T_j') = \iu\,\varphi_j'$ , अर्थात् $z_j' = \iu\varphi_j'z_j$ ; फिर

\bigl(z_j\,\eu^{-\iu\varphi_j}\bigr)' = \eu^{-\iu\varphi_j}\bigl(z_j' - \iu\varphi_j'z_j\bigr) = 0,

अतः सर्वत्र $z_j = \eu^{\iu\varphi_j}$ : $T_j = (\cos\varphi_j, \sin\varphi_j)$ , जहाँ $\varphi_j$ वर्ग $\mathcal C^1$ का है। इसके अतिरिक्त $\det(T_j, T_j') = \det(T_j, \kappa N_j) = \kappa$ , अतः $\varphi_j' = \kappa$ । इसलिए किसी अचर $c$ के लिए $\varphi_2 = \varphi_1 + c$ : $T_2$ ही $T_1$ है, जो नियत कोण $c$ से घुमाया गया है, अतः समाकलन करने पर $\gamma_2 = \rho(\gamma_1) + w$ , जहाँ $\rho$ कोण $c$ का घूर्णन है और $w$ कोई अचर सदिश। ∎

टिप्पणी 18.21

यह ज्यामिति की किसी आधारभूत प्रमेय का एकविमीय प्रतिरूप है: स्थानीय निश्चरों का कोई पूरा समुच्चय (यहाँ, एक फलन) वस्तु को दृढ़ गति तक वर्गीकृत कर देता है। नीचे दिए त्रिविमीय रूप को दो निश्चर चाहिए।

उदाहरण 18.22 (अचर वक्रता का अर्थ है वृत्त)

अस्तित्व-सूत्र में $\kappa \equiv \kappa_0 > 0$ लीजिए: $\varphi(s) = \kappa_0 s$ और

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\frac{\sin\kappa_0s}{\kappa_0},\ \frac{1 - \cos\kappa_0s}{\kappa_0}\Bigr) :

अर्थात् $(0, 1/\kappa_0)$ पर केंद्रित त्रिज्या $1/\kappa_0$ का वृत्त, जो इकाई चाल पर तय होता है। प्रमेय के अद्वितीयता वाले आधे भाग से, अचर वक्रता $\kappa_0$ वाला हर इकाई-चाल चाप त्रिज्या $1/\kappa_0$ के किसी वृत्त का टुकड़ा है (या $\kappa_0 = 0$ होने पर कोई रेखा) — यही उदाहरण 18.18 के परिकलन का विलोम है, और अभ्यास 18.9 की समतल स्थिति।

उदाहरण 18.23 (वक्रता से वक्र का पुनर्निर्माण)

किस इकाई-चाल वक्र की वक्रता त्रिज्या $R(s) = 1 + s^2$ है? $\kappa(s) = \frac1{1+s^2}$ तथा $s_0 = 0$ के साथ अस्तित्व की उपपत्ति का अनुसरण कीजिए: $\varphi(s) = \arctan s$ , अतः

T(s) = (\cos\arctan s,\ \sin\arctan s) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{1+s^2}},\ \frac{s}{\sqrt{1+s^2}}\Bigr),

और समाकलन करने पर

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\ln\bigl(s + \sqrt{1 + s^2}\bigr),\ \sqrt{1 + s^2} - 1\Bigr).

$x = \ln(s + \sqrt{1+s^2})$ रखने पर, अर्थात् $s = \sinh x$ , दूसरा निर्देशांक $\cosh x - 1$ है: यानी वक्र कैटेनरी $y = \cosh x - 1$ है। इससे अभ्यास 18.3 के साथ घेरा पूरा हो जाता है, जहाँ हमने $R = \cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x = 1 + s^2$ सीधे परिकलित किया था: आधारभूत प्रमेय आश्वस्त करती है कि इस वक्रता-रूपरेखा वाला एकमात्र वक्र, किसी सीधे समदूरिक प्रतिचित्रण तक, कैटेनरी ही है।

टिप्पणी 18.24 (वक्रता आगे कहाँ काम आती है)

प्रतिज्ञप्ति 18.17 की उपपत्ति में मिला अपघटन $\gamma'' = v'T + v^2\kappa N$ हर वक्रित गति की गतिकी है: स्पर्शीय बनाम अभिकेंद्री त्वरण। वक्रता पृष्ठों के लिए (अध्याय 19) उन पर खींचे गए वक्रों की वक्रता के द्वारा लौटती है, और इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या का अन्वालोप-कलन — विकसिताएँ, दाहक वक्र — तरंगाग्रों की ज्यामितीय प्रकाशिकी है। तृतीय वर्ष का खंड $\R^n$ के उपबहुविधों के लिए आंतरिक दृष्टिकोण फिर से उठाता है।

18.4 अवकाश में फ्रेने ढाँचा

अब मान लीजिए $\tilde\gamma \colon J \to \R^3$ कोई इकाई-चाल $\mathcal{C}^3$ चाप है जो द्विनियमित है: सब $s$ के लिए $T'(s) \neq 0$ । तब $\kappa(s) = \norm{T'(s)} > 0$ वक्रता को परिभाषित करता है (अवकाश में कोई चिह्न नहीं: कोई अधिमान्य अभिलंब अभिविन्यास नहीं होता), और हम रखते हैं:

N(s) = \frac{T'(s)}{\kappa(s)} \quad\text{(मुख्य अभिलंब)}, \qquad B(s) = T(s) \wedge N(s) \quad\text{(द्वि-अभिलंब)} ,

जिससे $(T, N, B)$ कोई सीधा प्रसामान्य लांबिक ढाँचा बन जाता है, अर्थात् फ्रेने ढाँचा। $\tilde\gamma(s)$ से होकर जाने वाला, $T, N$ से जनित समतल चुंबन समतल है।

प्रमेय 18.25 (अवकाश में फ्रेने सूत्र)

ऐसा संतत फलन $\tau$ है, जो ऐंठन कहलाता है, कि

T' = \kappa N, \qquad N' = -\kappa T + \tau B, \qquad B' = -\tau N .

उपपत्ति. पहला सूत्र $N$ की परिभाषा है। सदिशों $T, N, B$ में से हर एक का मानदंड अचर $1$ है और वे जोड़े-जोड़े में लांबिक हैं; छह संबंधों $\langle X, Y\rangle = \delta_{XY}$ का अवकलन दिखाता है कि आधार $(T, N, B)$ में $(T', N', B')$ का आव्यूह प्रतिसममित है: वस्तुतः $\langle X', Y\rangle + \langle X, Y'\rangle = 0$ तथा $\langle X', X\rangle = 0$ । उसकी $(N, T)$ प्रविष्टि $\langle N', T\rangle = -\langle N, T'\rangle = -\kappa$ है, और उसकी $(T, B)$ -स्तंभ प्रविष्टि $\langle T', B\rangle = \kappa\langle N, B\rangle = 0$ । शेष स्वतंत्र प्रविष्टि को $\tau = \langle N', B\rangle$ नाम देने पर ठीक तीनों प्रदर्शित सूत्र मिल जाते हैं: प्रतिसममिति $\langle B', N\rangle = -\tau$ तथा $\langle B', T\rangle = 0$ भर देती है। $\tau = \langle N', B\rangle$ की संततता स्पष्ट है, क्योंकि $N'$ और $B$ संतत हैं ( $\tilde\gamma$ $\mathcal{C}^3$ है, अतः $N = T'/\kappa$ $\mathcal{C}^1$ है)। ∎

उदाहरण 18.26 (दार्बू सदिश)

तीनों फ्रेने सूत्र एक में सिमट जाते हैं। $\omega(s) = \tau\,T + \kappa\,B$ रखिए (दार्बू सदिश)। $B \wedge T = N$ , $T \wedge N = B$ , $N \wedge B = T$ का उपयोग करने पर:

\omega \wedge T = \kappa\,N = T', \qquad \omega \wedge N = \tau\,B - \kappa\,T = N', \qquad \omega \wedge B = -\tau\,N = B' :

अर्थात् ढाँचे का हर सदिश $X' = \omega \wedge X$ के अनुसार विकसित होता है, जो कोणीय वेग सदिश $\omega$ वाले किसी तात्क्षणिक घूर्णन का गतिकीय हस्ताक्षर है। ढाँचा गतिशील अक्ष $\omega$ के परितः $\norm\omega = \sqrt{\kappa^2 + \tau^2}$ दर से घूमता है; वक्रता द्वि-अभिलंब के परितः घूर्णन का घटक है, ऐंठन स्पर्शी के परितः का घटक। कुंडली के लिए $\omega$ बेलन के अक्ष के अनुदिश कोई अचर सदिश है — और ठीक इसीलिए कुंडली का ढाँचा एकसमान रूप से पुरस्सरण करता है। फ्रेने आव्यूह की प्रतिसममिति, जिसका अभ्यास 18.7 में उपयोग हुआ, इसी अकेले ज्यामितीय तथ्य का आव्यूह रूप है।

प्रतिज्ञप्ति 18.27 (ऐंठन समतलता मापती है)

कोई द्विनियमित चाप किसी समतल में समाहित है तभी जब $\tau \equiv 0$ ; उस स्थिति में वह समतल (अचर) चुंबन समतल है।

उपपत्ति. यदि $\tau \equiv 0$ , तो $B' = 0$ , अतः $B$ कोई अचर इकाई सदिश $B_0$ है, और

\frac{\dd}{\dd s}\langle \tilde\gamma(s), B_0\rangle = \langle T(s), B_0\rangle = 0 :

अर्थात् $\langle \tilde\gamma, B_0\rangle$ अचर है, इसलिए चाप $B_0$ के लांबिक किसी समतल में पड़ता है। विलोमतः, यदि चाप किसी समतल $P$ में पड़े, तो सब $s$ के लिए $T$ तथा $T'$ (अतः $N$ ) $P$ की दिशा के समांतर हैं; अतः $B = T \wedge N$ $P$ के दो इकाई अभिलंबों में से एक है, और संतत होने के कारण अचर है; तब $N \neq 0$ के साथ $0 = B' = -\tau N$ $\tau \equiv 0$ को बाध्य कर देता है। ∎

उदाहरण 18.28 (झुके हुए वृत्त की ऐंठन शून्य होती है)

चाप $\gamma(t) = \bigl(\cos t,\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2},\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2}\bigr)$ समतल $y = z$ में पड़ता है, और उस समतल का इकाई वृत्त है (जाँचिए: $\norm{\gamma(t)} = 1$ , और समतल का प्रसामान्य लांबिक आधार $(1,0,0)$ , $(0, \tfrac1{\sqrt2}, \tfrac1{\sqrt2})$ मानक प्राचलन दिखा देता है)। बिना किसी फ्रेने परिकलन के प्रतिज्ञप्ति 18.27 $\tau \equiv 0$ का अनुमान लगा देती है, और नियत द्वि-अभिलंब समतल का इकाई अभिलंब $\pm(0, \tfrac1{\sqrt2}, -\tfrac1{\sqrt2})$ ही होना चाहिए। ऐंठन “अवकाश में झुके होने” को नहीं मापती; वह किसी समतल को छोड़ने को मापती है। केवल नीचे दी कुंडली का अशून्य $b$ ही सच्ची ऐंठन पैदा करता है।

उदाहरण 18.29 (कुंडली)

कुंडली $\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$ , $a > 0$ , के लिए हमने $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ के साथ $s = ct$ परिकलित किया था। तब

T = \frac1c(-a\sin t,\ a\cos t,\ b), \qquad T' \cdot \frac{\dd t}{\dd s} = \frac{1}{c^2}(-a\cos t, -a\sin t, 0),

अतः $\kappa = a/c^2 = a/(a^2 + b^2)$ और $N = (-\cos t, -\sin t, 0)$ : मुख्य अभिलंब क्षैतिज रूप से अक्ष की ओर संकेत करता है। आगे $B = T \wedge N = \frac1c(b\sin t, -b\cos t, a)$ , और $B' \frac{\dd t}{\dd s} = \frac{b}{c^2}(\cos t, \sin t, 0) = -\tau N$ देता है

\boxed{\ \kappa = \frac{a}{a^2 + b^2}, \qquad \tau = \frac{b}{a^2 + b^2}. \ }

दोनों निश्चर स्थिर हैं — और विलोमतः दिखाया जा सकता है कि अचर $\kappa > 0$ तथा अचर $\tau$ वाले एकमात्र द्विनियमित वक्र कुंडलियाँ हैं ( $\tau = 0$ होने पर वृत्त)। चिह्नों पर ध्यान दीजिए: $b > 0$ धनात्मक ऐंठन वाली दक्षिणावर्ती कुंडली देता है।

उदाहरण 18.30 (चाप-लंबाई के बिना वक्रता और ऐंठन; ऐंठा हुआ घन वक्र)

चाप-लंबाई से पुनःप्राचलन प्रायः संवृत रूप में असंभव होता है, अतः निश्चरों को कच्चे अवकलजों से ही निकालना पड़ता है। $v = \norm{\gamma'} = s'$ लिखिए; तब $\gamma' = vT$ , और प्रतिज्ञप्ति 18.17 की उपपत्ति की तरह,

\gamma'' = v'T + v^2\kappa N, \qquad \gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa\,(T \wedge N) = v^3\kappa\,B .

मानदंड लेने पर (अवकाश में $\kappa \geq 0$ ):

\kappa = \frac{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}}{v^3} .

$\gamma''$ का एक बार और अवकलन करके $N' = v(-\kappa T + \tau B)$ बदलने पर ( $s$ के द्वारा शृंखला नियम), एकमात्र $B$ -घटक अंतिम पद से आता है:

\gamma''' = \bigl(v'' - v^3\kappa^2\bigr)T + \bigl(v'v\kappa + (v^2\kappa)'\bigr)N + v^3\kappa\tau\,B,

जिससे, $\gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa B$ के साथ युग्मन करने पर,

\det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = \langle\gamma' \wedge \gamma'',\ \gamma'''\rangle = v^6\kappa^2\tau, \qquad\text{अर्थात्}\qquad \tau = \frac{\det(\gamma', \gamma'', \gamma''')}{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}^2} .

अनुप्रयोग — ऐंठा हुआ घन वक्र $\gamma(t) = (t,\ t^2,\ t^3)$ , $t = 0$ पर: $\gamma' = (1, 0, 0)$ , $\gamma'' = (0, 2, 0)$ , $\gamma''' = (0, 0, 6)$ , अतः $v = 1$ ,

\gamma' \wedge \gamma'' = (0, 0, 2), \qquad \kappa(0) = 2, \qquad \det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = 12, \qquad \tau(0) = \frac{12}{4} = 3 .

समापन दृष्टि: दोनों सूत्र ऐसे अनुपात हैं जिनमें चाल $v$ ठीक उतनी ही मात्रा में कट जाती है जितनी चाहिए — $\kappa$ प्रति इकाई लंबाई किसी द्वितीय अवकलज की तरह मापित होता है, $\tau$ प्रति वर्ग क्षेत्रफल तीन अवकलजों के मिश्रित आयतन की तरह — और इसीलिए वे ज्यामितीय हैं जबकि $\gamma''$ स्वयं नहीं।

टिप्पणी 18.31 (अवकाश-वक्रों के लिए आधारभूत प्रमेय)

समतल की तरह, $\kappa > 0$ वाला युग्म $(\kappa, \tau)$ किसी द्विनियमित चाप को $\R^3$ के सीधे समदूरिक प्रतिचित्रण तक निर्धारित कर देता है: फ्रेने सूत्र ढाँचे $(T, N, B)$ के लिए कोई रैखिक अवकल निकाय बनाते हैं, जिस पर अध्याय 16 का कोशी–लिप्शिट्स सिद्धांत लागू होता है; हल-ढाँचे का प्रसामान्य लांबिक होना सुरक्षित रहता है क्योंकि गुणांक आव्यूह प्रतिसममित है (वही ग्राम-आव्यूह तर्क जो अभ्यास 18.7 में है), और वक्र $T$ के समाकलन से पुनः प्राप्त हो जाता है। विवरण हम पाठक के लिए एक पर्याप्त पर शिक्षाप्रद अभ्यास के रूप में छोड़ देते हैं।

18.5 स्थानीय अध्ययन: स्पर्श रेखा के सापेक्ष स्थिति

प्रतिज्ञप्ति 18.32 (नियमित बिंदु पर स्थानीय आकार)

मान लीजिए $\gamma$ $t_0$ पर वर्ग $\mathcal{C}^k$ का समतल चाप है, जहाँ $p$ वह सबसे छोटा सूचकांक है जिसके लिए $\gamma^{(p)}(t_0) \neq 0$ , और $q$ वह सबसे छोटा सूचकांक $> p$ जिसके लिए $\gamma^{(q)}(t_0)$ $\gamma^{(p)}(t_0)$ के संरेख नहीं है (मान लीजिए दोनों विद्यमान हैं, $q \leq k$ )। $\gamma(t_0)$ पर केंद्रित आधार $(u, v) = (\gamma^{(p)}(t_0), \gamma^{(q)}(t_0))$ में टेलर–युंग निर्देशांक देता है

X(t) \sim \frac{(t - t_0)^p}{p!}, \qquad Y(t) \sim \frac{(t - t_0)^q}{q!} .

स्थानीय चित्र केवल $p$ तथा $q$ की सम-विषमता पर निर्भर करता है:

$p$ विषम, $q$ सम	साधारण बिंदु	वक्र किसी रेखा को नहीं काटता, स्पर्श रेखा के एक ही ओर
$p$ विषम, $q$ विषम	नति-परिवर्तन बिंदु	वक्र अपनी स्पर्श रेखा को काटता है
$p$ सम, $q$ विषम	प्रथम प्रकार का उभयाग्र	दोनों शाखाएँ स्पर्श रेखा के विपरीत ओर
$p$ सम, $q$ सम	द्वितीय प्रकार का उभयाग्र	दोनों शाखाएँ एक ही ओर

उपपत्ति. कोटि $q$ पर टेलर–युंग (फलन $\gamma$ $t_0$ के निकट $\mathcal{C}^q$ है):

\gamma(t) - \gamma(t_0) = \sum_{j=p}^{q} \frac{(t-t_0)^j}{j!}\,\gamma^{(j)}(t_0) + o\bigl((t-t_0)^q\bigr).

$p$ तथा $q$ के चुनाव से, $p \leq j < q$ वाला हर $\gamma^{(j)}(t_0)$ $u$ के संरेख है; आधार $(u, v)$ में घटक इकट्ठे करने पर: $X(t) = \frac{(t-t_0)^p}{p!}(1 + o(1))$ और $Y(t) = \frac{(t-t_0)^q}{q!}(1 + o(1))$ । $t \gtrless t_0$ के लिए $X$ तथा $Y$ की चिह्न-सारणी — जिसे ठीक-ठीक सम-विषमता चलाती है — चारों चित्र दे देती है: उदाहरण के लिए यदि $p$ सम हो तो दोनों ओर $X > 0$ (दोनों शाखाएँ दिशा $+u$ में निकलती हैं: उभयाग्र), और स्पर्श रेखा का पक्ष ( $\operatorname{sign} Y$ ) $q$ के विषम होने पर पलट जाता है। ∎

उदाहरण 18.33

$t_0 = 0$ पर $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ के लिए (उदाहरण 18.5): $\gamma'' (0)= (2, 0)$ , $\gamma'''(0) = (0, 6)$ , अतः $p = 2$ , $q = 3$ : प्रथम प्रकार का उभयाग्र, अर्धघनीय परवलय का जाना-पहचाना चित्र। $0$ पर $\gamma(t) = (t, t^3)$ के लिए: $p = 1$ , $q = 3$ : नति-परिवर्तन — घन वक्र अपनी स्पर्श रेखा को काटता है।

टिप्पणी 18.34 (इस खंड के भीतर के परिप्रेक्ष्य)

वक्र आगे के अध्यायों को तीन तरह से पोसते हैं। किसी पृष्ठ पर खींचे जाने पर वे उसके स्पर्श समतल तथा उसका प्रथम आधारभूत रूप (अध्याय 19) परिभाषित करते हैं, और उनकी लंबाइयाँ परिवेशी दूरिक को प्रतिबंधित करके परिकलित होती हैं — आगे वाला अध्याय काफ़ी हद तक यही अध्याय है, सापेक्षित। सप्ताहांत समस्या का अन्वालोप-कलन अध्याय 20 में द्विक समाकलों से मिलता है, जहाँ ऐस्ट्रॉयड का क्षेत्रफल ग्रीन के सूत्र (अभ्यास 20.5) से फिर से परिकलित होता है — एक वक्र, दो सिद्धांत, मिलते-जुलते उत्तर। और फ्रेने निकाय ने अध्याय 16 के रैखिक अवकल समीकरणों का उपयोग पहले ही कर लिया (अस्तित्व, अद्वितीयता, तथा अभ्यास 18.7 का लांबिकता-संरक्षण तर्क): वक्रों की आधारभूत प्रमेय ज्यामितीय वस्त्र पहने हुए एक अवकल समीकरण प्रमेय है।

टिप्पणी 18.35 (विधि: स्थानीय अध्ययन चलाना)

व्यवहार में यह वर्गीकरण चार पगों की दिनचर्या है। एक, $t_0$ पर तब तक अवकलन कीजिए जब तक पहला अशून्य अवकलज न आ जाए: उसका सूचकांक $p$ है, उसका मान सदिश $u$ । दो, तब तक अवकलन करते रहिए जब तक $u$ के संरेख न होने वाला कोई अवकलज न आ जाए: सूचकांक $q$ , सदिश $v$ । तीन, सारणी में सम-विषमता $(p, q)$ पढ़िए। चार, चित्र खींचिए: यदि $p$ विषम हो तो वक्र $+u$ के अनुदिश निकलता है (और यदि $p$ सम हो तो $u$ के अनुदिश और फिर $u$ के अनुदिश वापस), $v$ के उस पक्ष पर जो $Y$ के चिह्न से तय होता है। दो चेतावनियाँ। ढाँचा $(u, v)$ सामान्यतः प्रसामान्य लांबिक नहीं होता — सारणी स्पर्श रेखा के सापेक्ष स्थितियाँ बताती है, कोण या दूरियाँ नहीं, अतः चित्र से वक्रता मत पढ़िए। और कोटि $p$ तथा $q$ के बीच $u$ के संरेख मध्यवर्ती अवकलज अनुमत हैं (वे केवल $X$ का प्रसार खिसकाते हैं); जो नहीं होना चाहिए वह है पहले अशून्य अवकलज पर रुककर $q = p + 1$ का अनुमान लगा लेना: $\gamma(t) = (t^2, t^4 + t^5)$ के लिए भोला अनुमान $q = 3$ ग़लत है, क्योंकि $\gamma^{(3)}(0)$ अब भी $\gamma''(0)$ के संरेख है — और यही ठीक अभ्यास 18.5 है।

18.6 अभ्यास

अभ्यास 18.1 ★

चक्रज $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$ , $t \in [0, 2\pi]$ , के एक मेहराब की लंबाई परिकलित कीजिए। ( $1 - \cos t = 2\sin^2(t/2)$ का उपयोग कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 18.1.

$\gamma'(t) = (1 - \cos t,\ \sin t)$ , अतः

\norm{\gamma'(t)}^2 = (1 - \cos t)^2 + \sin^2 t = 2 - 2\cos t = 4\sin^2\tfrac t2 ,

और $\norm{\gamma'(t)} = 2\sin\frac t2$ ( $[0, 2\pi]$ पर अऋणात्मक)। इसलिए

L = \int_0^{2\pi} 2\sin\tfrac t2\,\dd t = \Bigl[-4\cos\tfrac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 8 :

अर्थात् चक्रज के एक मेहराब की लंबाई $8$ है (त्रिज्या $1$ के पहिए के लिए) — रेन का प्रसिद्ध परिणाम, जिसमें कहीं $\pi$ दिखाई नहीं देता।

अभ्यास 18.2 ★

दीर्घवृत्त $\gamma(t) = (a\cos t,\ b\sin t)$ ( $a > b > 0$ ) की वक्रता परिकलित कीजिए और अधिकतम तथा न्यूनतम वक्रता के बिंदु ढूँढ़िए।

हल

हल — अभ्यास 18.2.

$x = a\cos t$ के साथ $y = b\sin t$ : $x' = -a\sin t$ , $y' = b\cos t$ , $x'' = -a\cos t$ , $y'' = -b\sin t$ , अतः प्रतिज्ञप्ति 18.17 से

\kappa(t) = \frac{x'y'' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} = \frac{ab\sin^2 t + ab\cos^2 t} {(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} = \frac{ab}{(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} .

हर तब न्यूनतम होता है जब $\sin t = 0$ (मान $b^3$ , बिंदु $(\pm a, 0)$ ) और तब अधिकतम जब $\cos t = 0$ (मान $a^3$ , बिंदु $(0, \pm b)$ ), क्योंकि $a > b$ । इसलिए $\kappa$ दीर्घ अक्ष के सिरों पर अधिकतम है, $\kappa_{\max} = a/b^2$ , और लघु अक्ष के सिरों पर न्यूनतम, $\kappa_{\min} = b/a^2$ : दीर्घवृत्त अपनी लंबी अक्ष के छोरों पर सबसे तीखा मुड़ता है।

अभ्यास 18.3 ★

दिखाइए कि $[0, x]$ पर $f(x) = \cosh x$ के ग्राफ़ की चाप-लंबाई $\sinh x$ के बराबर है, और इस वक्र (कैटेनरी) की वक्रता परिकलित कीजिए। सत्यापित कीजिए कि $R(x) = 1/\kappa(x) = \cosh^2 x$ ।

हल

हल — अभ्यास 18.3.

ग्राफ़ $\gamma(x) = (x, \cosh x)$ के लिए: $\norm{\gamma'(x)} = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \cosh x$ , अतः $0$ से $x$ तक चाप-लंबाई $\int_0^x \cosh u\,\dd u = \sinh x$ है। ग्राफ़ की वक्रता (प्रतिज्ञप्ति 18.17):

\kappa(x) = \frac{f''(x)}{(1 + f'(x)^2)^{3/2}} = \frac{\cosh x}{\cosh^3 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} ,

अतः $R(x) = \cosh^2 x$ , जैसा बताया गया था। सुंदर संयोग पर ध्यान दीजिए: $R(x) = 1 + s(x)^2$ , जहाँ $s = \sinh x$ चाप-लंबाई है — कैटेनरी की वक्रता त्रिज्या शीर्ष से नापी गई चाप-लंबाई के वर्ग के साथ बढ़ती है।

अभ्यास 18.4 ★★

(लघुगणकीय सर्पिल) मान लीजिए $\gamma(t) = e^{t}(\cos t,\ \sin t)$ , $t \in \R$ । दिखाइए कि $\gamma(t)$ और $\gamma'(t)$ के बीच का कोण अचर है, $(-\infty, 0]$ पर $\gamma$ की चाप-लंबाई परिकलित कीजिए (जो परिमित है!), तथा वक्रता भी।

हल

हल — अभ्यास 18.4.

$\gamma'(t) = e^t(\cos t - \sin t,\ \sin t + \cos t)$ , अतः

\langle \gamma(t), \gamma'(t)\rangle = e^{2t} \bigl(\cos t(\cos t - \sin t) + \sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = e^{2t},

जबकि $\norm{\gamma(t)} = e^t$ और $\norm{\gamma'(t)} = e^t\sqrt 2$ । इसलिए

\cos\angle\bigl(\gamma, \gamma'\bigr) = \frac{e^{2t}}{e^t \cdot e^t\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} :

अर्थात् स्पर्शी त्रिज्या के साथ सदा कोण $\pi/4$ बनाता है — लघुगणकीय सर्पिल का समकोणीय गुणधर्म। $(-\infty, 0]$ पर चाप-लंबाई:

\int_{-\infty}^0 \norm{\gamma'(t)}\,\dd t = \sqrt2\int_{-\infty}^0 e^t\,\dd t = \sqrt 2 ,

जो परिमित है, यद्यपि सर्पिल मूल बिंदु के चारों ओर अपरिमित बार लिपटता है। वक्रता: $\gamma'' = e^t(-2\sin t,\ 2\cos t)$ से परिकलित $x'y'' - y'x''$ के साथ,

x'y'' - y'x'' = e^{2t}\bigl(2\cos t(\cos t - \sin t) + 2\sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = 2e^{2t},

अतः $\kappa(t) = \dfrac{2e^{2t}}{(e^t\sqrt2)^3} = \dfrac{1}{e^t\sqrt2}$ : वक्रता $1/(\sqrt2\, \norm{\gamma})$ है, जो सर्पिल के बढ़ने के साथ क्षीण होती जाती है।

अभ्यास 18.5 ★★

$t = 0$ पर $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ का, तथा $t = 0$ पर $\gamma(t) = (t^3,\ t^4)$ का $p$ , $q$ तथा स्थानीय आकार (साधारण, नति-परिवर्तन, उभयाग्र) निर्धारित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 18.5.

पहला चाप: $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ । $0$ पर अवकलज: $\gamma'' = (2, 0) \neq 0$ , अतः $p = 2$ । फिर $\gamma^{(3)}(0) = (0, 0)$ , $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$ , जो $(2, 0)$ के संरेख नहीं: $q = 4$ । दोनों सम: द्वितीय प्रकार का उभयाग्र — दोनों शाखाएँ दिशा $+u = (1,0)$ में निकलती हैं और स्पर्शी के एक ही ओर रहती हैं। (वस्तुतः दोनों शाखाओं पर $y = x^2 \pm x^{5/2}$ : छोटे $x$ के लिए वही चिह्न।)

दूसरा चाप: $\gamma(t) = (t^3, t^4)$ । $\gamma'(0) = \gamma''(0) = 0$ , $\gamma^{(3)}(0) = (6, 0)$ : $p = 3$ , विषम। आगे $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$ : $q = 4$ , सम। विषम–सम: साधारण बिंदु — वेग के लुप्त होने के बावजूद पथ $y = x^{4/3}$ मूल बिंदु को चिकनाई से पार करता है, और अपनी स्पर्शी $y = 0$ के ऊपर बना रहता है।

अभ्यास 18.6 ★★

मान लीजिए $\gamma$ कोई इकाई-चाल समतल चाप है जिसके लिए सब $s$ हेतु $\kappa(s) > 0$ , और मान लीजिए $c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)}N(s)$ वक्रता केंद्र है (वक्र $c$ विकसिता है)। यह मानते हुए कि $\kappa$ $\mathcal{C}^1$ है, दिखाइए कि $c'(s) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s)$ : अर्थात् विकसिता $\gamma$ की अभिलंब रेखाओं को स्पर्श करती है।

हल

हल — अभ्यास 18.6.

समतल फ्रेने सूत्रों (प्रमेय 18.13) का उपयोग करते हुए $c(s) = \gamma(s) + \dfrac{1}{\kappa(s)}N(s)$ का अवकलन कीजिए:

c'(s) = T(s) - \frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) + \frac{1}{\kappa(s)}\,\bigl(-\kappa(s)T(s)\bigr) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}\,N(s) ,

जहाँ स्पर्शी पद ठीक-ठीक कट जाते हैं। अतः विकसिता का वेग $N(s)$ द्वारा वहन होता है, जो $\gamma(s)$ पर $\gamma$ की अभिलंब रेखा को दिशित करता है — और बिंदु $c(s)$ उसी अभिलंब रेखा पर पड़ता है: यानी विकसिता अभिलंबों का अन्वालोप है। (जहाँ $\kappa' = 0$ , वहाँ विकसिता का कोई विचित्र बिंदु होता है; दीर्घवृत्त की विकसिता के उभयाग्र इसी से बनते हैं।)

अभ्यास 18.7 ★★★

मान लीजिए $A(s)$ प्रतिसममित $3 \times 3$ आव्यूहों का कोई संतत कुल है और $F' = F A$ कोई आव्यूह हल, जहाँ $F(s_0)$ लांबिक है। दिखाइए कि सब $s$ के लिए $F(s)$ लांबिक है। ( $G = F F^{\mathsf T}$ का अवकलन कीजिए और कोशी–लिप्शिट्स में अद्वितीयता का उपयोग कीजिए।) फ्रेने निकाय से इसका संबंध समझाइए।

हल

हल — अभ्यास 18.7.

मान लीजिए $G(s) = F(s)F(s)^{\mathsf T}$ । तब $F' = FA$ तथा $(F^{\mathsf T})' = (F')^{\mathsf T} = A^{\mathsf T}F^{\mathsf T}$ का उपयोग करने पर, प्रतिसममिति से

G' = F'F^{\mathsf T} + F(F^{\mathsf T})' = FAF^{\mathsf T} + FA^{\mathsf T}F^{\mathsf T} = F(A + A^{\mathsf T})F^{\mathsf T} = 0

अतः $G$ अंतराल पर अचर है और $G(s_0) = F(s_0)F(s_0)^{\mathsf T} = I$ के बराबर: यानी हर $s$ के लिए $F(s)$ लांबिक है। (वैकल्पिक रूप से, $G'$ को शून्य तक परिकलित किए बिना: $G$ तथा अचर $I$ दोनों एक ही आरंभिक मान के साथ रैखिक निकाय $Y' = YA + A^{\mathsf T}Y$ को हल करते हैं, और रैखिक निकायों के लिए कोशी–लिप्शिट्स अद्वितीयता, अध्याय 16, $G \equiv I$ को बाध्य कर देती है।)

संबंध: फ्रेने निकाय $(T, N, B)' = (T, N, B)\,A(s)$ का गुणांक आव्यूह प्रतिसममित है:

A = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\ 0 & \tau & 0\end{pmatrix}

(स्तंभ $T', N', B'$ को व्यक्त करते हैं)। ऊपर का परिकलन दिखाता है कि जो हल-ढाँचा प्रसामान्य लांबिक से आरंभ होता है वह प्रसामान्य लांबिक बना रहता है — $(\kappa, \tau)$ से वक्र का पुनर्निर्माण करने वाली आधारभूत प्रमेय का मुख्य पग यही है।

अभ्यास 18.8 ★★★

(संवृत उत्तल वक्र की कुल वक्रता) मान लीजिए $\tilde\gamma$ कोई लंबाई $L$ का इकाई-चाल $\mathcal{C}^2$ संवृत समतल चाप है (अतः $\tilde\gamma(s + L) = \tilde\gamma(s)$ ), जो एक बार वामावर्त तय किया गया है। प्रमेय 18.20 के $T = (\cos\varphi, \sin\varphi)$ वाले कोण फलन $\varphi$ का उपयोग करते हुए समझाइए कि $\varphi(L) - \varphi(0)$ $2\pi$ का गुणज क्यों है, और दिखाइए कि $\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0)$ । (त्रिज्या $R$ के वृत्त के लिए: $\int \kappa = \frac1R \cdot 2\pi R = 2\pi$ । घूर्णी स्पर्शियों की प्रमेय हर सरल संवृत वक्र के लिए मान $2\pi$ बताती है; उसे सिद्ध करने को नहीं कहा गया है।)

हल

हल — अभ्यास 18.8.

प्रमेय 18.20 (अद्वितीयता वाले भाग) से, $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ तथा $\varphi' = \kappa$ वाला कोई $\mathcal{C}^1$ कोण फलन $\varphi$ है। इसलिए

\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0) .

चूँकि चाप आवर्त $L$ का संवृत चाप है, $T(L) = T(0)$ : $(\cos\varphi(L), \sin\varphi(L)) = (\cos\varphi(0), \sin\varphi(0))$ , अतः $\varphi(L) - \varphi(0) \in 2\pi\Z$ । इसलिए किसी संवृत वक्र की कुल वक्रता सदा $2\pi$ का पूर्णांक गुणज होती है — और वह पूर्णांक स्पर्शी की कुंडलन संख्या है (अर्थात् $T$ द्वारा लगाए गए पूरे फेरों की संख्या)। त्रिज्या $R$ के वृत्त के लिए: $\kappa = 1/R$ और $L = 2\pi R$ , कुल वक्रता $2\pi$ , कुंडलन संख्या $1$ ; घूर्णी स्पर्शियों की प्रमेय कहती है कि यह मान हर सरल संवृत वक्र के लिए टिकता है।

अभ्यास 18.9 ★★★

दिखाइए कि अचर $\kappa > 0$ तथा $\tau = 0$ वाला कोई द्विनियमित अवकाश-वक्र त्रिज्या $1/\kappa$ के किसी वृत्त का (चाप) है। (प्रतिज्ञप्ति 18.27 का उपयोग कीजिए, फिर दिखाइए कि केंद्र $\gamma + \frac1\kappa N$ अचर है।)

हल

हल — अभ्यास 18.9.

चूँकि $\tau \equiv 0$ , वक्र किसी समतल में पड़ता है (प्रतिज्ञप्ति 18.27); उसी समतल में काम कीजिए। संभावित केंद्र पर विचार कीजिए:

c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa}N(s) \qquad (\kappa \text{ अचर}).

फ्रेने सूत्रों से अवकलन करने पर (यहाँ $N' = -\kappa T + \tau B = -\kappa T$ ):

c'(s) = T + \frac1\kappa(-\kappa T) = 0 ,

अतः $c$ कोई अचर बिंदु $\Omega$ है। तब सब $s$ के लिए $\norm{\gamma(s) - \Omega} = \norm{-\frac1\kappa N(s)} = \frac1\kappa$ : वक्र (अपने समतल में) केंद्र $\Omega$ और त्रिज्या $1/\kappa$ वाले वृत्त पर पड़ता है, और उसका अनचर चाप होने के कारण वह उसी वृत्त का चाप है।

अभ्यास 18.10 ★

$\intcc0a$ पर परवलय $y = x^2/2$ की चाप-लंबाई परिकलित कीजिए और दिखाइए कि वह इसके बराबर है:

\tfrac12\Bigl(a\sqrt{1 + a^2} + \ln\bigl(a + \sqrt{1 + a^2}\bigr)\Bigr).

हल

हल — अभ्यास 18.10.

ग्राफ़ $\gamma(x) = (x, x^2/2)$ के लिए $\norm{\gamma'(x)} = \sqrt{1 + x^2}$ , अतः $L = \int_0^a\sqrt{1+x^2}\,\dd x$ । $x = \sinh u$ प्रतिस्थापित करने पर ( $\dd x = \cosh u\,\dd u$ , और $u$ $0$ से $u_a = \ln(a + \sqrt{1+a^2})$ तक):

L = \int_0^{u_a}\cosh^2 u\,\dd u = \frac12\bigl[u + \sinh u\cosh u\bigr]_0^{u_a} = \frac12\Bigl(\ln\bigl(a + \sqrt{1+a^2}\bigr) + a\sqrt{1+a^2}\Bigr),

जहाँ $\cosh^2 u = \frac{1 + \cosh 2u}2$ तथा $\sinh u_a = a$ , $\cosh u_a = \sqrt{1 + a^2}$ का उपयोग हुआ।

अभ्यास 18.11 ★★

मान लीजिए $\gamma$ $\R^n$ में कोई नियमित $\mathcal C^2$ चाप है जिसकी सारी स्पर्श रेखाएँ किसी नियत बिंदु $P$ से होकर जाती हैं। सिद्ध कीजिए कि $\gamma$ का पथ किसी सरल रेखा में समाहित है। (चाप-लंबाई से प्राचलन कीजिए, $\gamma(s) + \lambda(s)T(s) = P$ लिखिए और अवकलन कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 18.11.

चाप-लंबाई से प्राचलन कीजिए (प्रमेय 18.9) और $\lambda(s) = \langle P - \gamma(s), T(s)\rangle$ रखिए, जो कोई $\mathcal C^1$ फलन है; चूँकि $P$ $\gamma(s)$ पर स्पर्श रेखा पर पड़ता है, सदिश $P - \gamma(s)$ $T(s)$ के संरेख है, अतः $P = \gamma(s) + \lambda(s)T(s)$ । अवकलन करने पर,

0 = T(s) + \lambda'(s)T(s) + \lambda(s)T'(s) = \bigl(1 + \lambda'(s)\bigr)T(s) + \lambda(s)T'(s),

और $T'(s) \perp T(s)$ ( $\norm T^2 = 1$ का अवकलन कीजिए), अतः दोनों घटक लुप्त हो जाते हैं: $\lambda' = -1$ तथा $\lambda T' = 0$ । अब $\lambda(s) = c - s$ अधिक से अधिक एक बार लुप्त होता है, अतः किसी सघन समुच्चय पर $T' = 0$ , और इसलिए संततता से सर्वत्र: $T$ कोई अचर इकाई सदिश है और $\gamma(s) = \gamma(s_0) + (s - s_0)T$ : यानी कोई सरल रेखा ( $P$ से होकर, जैसा होना ही चाहिए)।

अभ्यास 18.12 ★★★

(अवकाश-वक्रों के लिए आधारभूत प्रमेय) मान लीजिए $\kappa > 0$ और $\tau$ किसी अंतराल $J$ पर संतत फलन हैं। उदाहरण 18.29 के बाद वाली टिप्पणी का कार्यक्रम पूरा कीजिए: (क) दिखाइए कि रैखिक निकाय $F' = FA(s)$ , जहाँ $A(s)$ $\kappa, \tau$ से बना प्रतिसममित फ्रेने आव्यूह है और $F(s_0)$ कोई सीधा प्रसामान्य लांबिक ढाँचा, का अद्वितीय वैश्विक हल है, जो सीधा प्रसामान्य लांबिक ढाँचा बना रहता है; (ख) वक्रता $\kappa$ और ऐंठन $\tau$ वाला कोई इकाई-चाल द्विनियमित वक्र रचिए; (ग) $\R^3$ के सीधे समदूरिक प्रतिचित्रण तक अद्वितीयता सिद्ध कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 18.12.

(क) फ्रेने आव्यूह

A(s) = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\ 0 & \tau & 0\end{pmatrix}

की प्रविष्टियाँ संतत हैं, अतः रैखिक निकाय $F' = FA(s)$ , $F(s_0) = F_0$ (कोई सीधा प्रसामान्य लांबिक आव्यूह) का पूरे $J$ पर अद्वितीय हल है (प्रमेय 16.4)। अभ्यास 18.7 से हर $s$ के लिए $F(s)$ लांबिक है; $\det F$ संतत है और उसके मान $\{\pm1\}$ में हैं तथा $s_0$ पर वह $1$ के बराबर है, अतः सब $s$ के लिए $F(s)$ सीधा है।

(ख) $F$ की पंक्तियाँ $T, N, B$ पढ़िए (जिससे $T' = \kappa N$ , $N' = -\kappa T + \tau B$ , $B' = -\tau N$ ) और $\gamma(s) = \gamma_0 + \int_{s_0}^s T(u)\,\dd u$ रखिए। तब $\gamma' = T$ इकाई सदिश है: अर्थात् इकाई चाल; $T' = \kappa N$ जहाँ $\kappa > 0$ और $N$ $T$ के लांबिक इकाई सदिश है, अतः $\gamma$ द्विनियमित है, जिसकी वक्रता $\norm{T'} = \kappa$ है और मुख्य अभिलंब $N$ ; द्वि-अभिलंब $T \wedge N = B$ है (सीधा प्रसामान्य लांबिक ढाँचा), और $B' = -\tau N$ ऐंठन को $\tau$ के रूप में पहचान लेता है।

(ग) मान लीजिए $\gamma_1, \gamma_2$ एक ही $(\kappa, \tau)$ वाले इकाई-चाल द्विनियमित वक्र हैं। ऐसा अद्वितीय सीधा समदूरिक प्रतिचित्रण $\Phi = \rho + w$ ( $\rho \in SO(3)$ ) है जो $\gamma_1(s_0)$ को $\gamma_2(s_0)$ पर भेजता है और $s_0$ पर $\gamma_1$ के फ्रेने ढाँचे को $s_0$ पर $\gamma_2$ के फ्रेने ढाँचे पर। वक्र $\Phi\circ\gamma_1$ इकाई-चाल का है और उसके निश्चर वही हैं (उसका ढाँचा $\gamma_1$ के ढाँचे पर $\rho$ लगाकर मिलता है, और $\rho$ सीधा होने के कारण सदिश गुणनफल सुरक्षित रखता है)। अब $\Phi\circ\gamma_1$ तथा $\gamma_2$ के ढाँचे दोनों एक ही आरंभिक मान के साथ $F' = FA(s)$ को हल करते हैं, अतः अद्वितीयता से वे संपाती हैं; विशेष रूप से स्पर्शी मेल खाते हैं, और साझा बिंदु $s_0$ से समाकलन करने पर: $\Phi\circ\gamma_1 = \gamma_2$ ।

18.7 समस्या: अन्वालोप — ऐस्ट्रॉयड, दो विकसिताएँ, और एक दाहक वक्र

दीवार से नीचे सरकती लंबाई 1 की सीढ़ी (नीली स्थितियाँ) ऐस्ट्रॉयड x2/3 + y2/3 = 1 (लाल) को कभी नहीं काटती: ऐस्ट्रॉयड खंडों के इस कुल का अन्वालोप है, जो उनमें से हर एक को स्पर्श करता है। — दीवार से नीचे सरकती लंबाई $1$ की सीढ़ी (नीली स्थितियाँ) ऐस्ट्रॉयड $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (लाल) को कभी नहीं काटती: ऐस्ट्रॉयड खंडों के इस कुल का *अन्वालोप* है, जो उनमें से हर एक को स्पर्श करता है।

समस्या 18.1

सप्ताहांत समस्या — अन्वालोप यंत्र और चार शास्त्रीय वक्र

रेखाओं का एकप्राचलीय कुल प्रायः समतल को एकसमान रूप से नहीं ढँक पाता: रेखाएँ किसी ऐसे वक्र के अनुदिश ढेर हो जाती हैं जो उन सबको स्पर्श करता है — उनका अन्वालोप। प्रकाश-किरणें अन्वालोपों को दाहक वक्रों के रूप में दिखा देती हैं — कॉफ़ी के प्याले में दिखने वाला चमकीला उभयाग्री वक्र। यह समस्या पहले व्यापक अन्वालोप यंत्र बनाती है, फिर उसे चार बार चलाती है: सरकती सीढ़ी (ऐस्ट्रॉयड), परवलय तथा चक्रज के अभिलंब (विकसिताएँ, और अंत में हाइगेंस का लोलक), और कॉफ़ी-प्याले का दाहक वक्र (नेफ्रॉयड)। सर्वत्र $D_t$ समीकरण $a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)$ वाली रेखा को सूचित करता है, जहाँ $a, b, c$ ऐसे $\mathcal C^2$ फलन हैं कि $(a(t), b(t)) \neq (0,0)$ , और $\Delta(t) = a(t)b'(t) - a'(t)b(t)$ ।

भाग I — अन्वालोप यंत्र।

मान लीजिए $\Delta(t) \neq 0$ । दिखाइए कि अभिलक्षणिक निकाय

$\begin{cases} a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)\\ a'(t)\,x + b'(t)\,y = c'(t)\end{cases}$

का अद्वितीय हल $E(t) = (x(t), y(t))$ है, जो $x = \dfrac{cb' - c'b}{\Delta}$ , $y = \dfrac{ac' - a'c}{\Delta}$ से दिया जाता है।
इसके अतिरिक्त मान लीजिए $E$ $t$ के निकट $\mathcal C^1$ है, जहाँ $E'(t) \neq 0$ । निकाय के पहले समीकरण का अवकलन करके दिखाइए कि $a(t)\,x'(t) + b(t)\,y'(t) = 0$ , और निष्कर्ष निकालिए कि वक्र $E$ $D_t$ के किसी बिंदु से $D_t$ की दिशा के साथ होकर जाता है: अर्थात् कुल $E$ को स्पर्श करता है, जिसे उसका अन्वालोप कहते हैं।
जाँच: बिंदुओं $(t, t^2/2)$ पर परवलय $y = x^2/2$ की स्पर्श रेखाएँ $tx - y = t^2/2$ हैं। सत्यापित कीजिए कि अन्वालोप यंत्र परवलय को ही लौटाता है।
(अभिलंबों का अन्वालोप) मान लीजिए $\gamma$ इकाई-चाल का है, जहाँ $\kappa(s) \neq 0$ । $\gamma(s)$ पर अभिलंब रेखा $\{M : \langle M - \gamma(s), T(s) \rangle = 0\}$ है। दिखाइए कि उसका अभिलक्षणिक निकाय $\langle M - \gamma(s), N(s)\rangle = 1/\kappa(s)$ को बाध्य कर देता है, अतः अभिलक्षणिक बिंदु वक्रता केंद्र है: अभिलंबों का अन्वालोप विकसिता है, जिससे अभ्यास 18.6 पुनः प्राप्त होती है। $\Delta(s) = \kappa(s)$ जाँचिए।
दो अपभ्रंश। किरणपुंज $D_\theta : x\cos \theta + y\sin\theta = 0$ के लिए दिखाइए कि हर $\theta$ के लिए अभिलक्षणिक बिंदु मूल बिंदु है (“अन्वालोप” एक बिंदु में सिमट जाता है, और $E' = 0$ : प्रश्न 2 लागू नहीं होता)। समांतर रेखाओं के किसी कुल ( $a, b$ अचर) के लिए दिखाइए कि $\Delta \equiv 0$ और अभिलक्षणिक निकाय सामान्यतः असंगत है: कोई अन्वालोप नहीं।

भाग II — सरकती सीढ़ी और ऐस्ट्रॉयड। लंबाई $1$ का कोई खंड इस तरह सरकता है कि उसका एक सिरा $P_t = (\cos t, 0)$ फ़र्श पर और दूसरा $Q_t = (0, \sin t)$ दीवार पर रहे, $t \in \intoo0{\pi/2}$ ।

दिखाइए कि रेखा $(P_tQ_t)$ का समीकरण $x\sin t + y\cos t = \sin t\cos t$ है, और अन्वालोप यंत्र अभिलक्षणिक बिंदु

$E(t) = (\cos^3 t,\ \sin^3 t) :$

देता है — ऐस्ट्रॉयड, जिसका अंतर्निहित समीकरण $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ है (सममिति से अन्य चतुर्थांशों तक विस्तारित)।
दिखाइए कि $E'(0) = 0$ , और स्थानीय वर्गीकरण (प्रतिज्ञप्ति 18.32) का उपयोग करते हुए कि ऐस्ट्रॉयड का $(1, 0)$ पर प्रथम प्रकार का उभयाग्र है — और इसी प्रकार उसके चारों अक्ष-बिंदुओं पर भी।
$\norm{E'(t)} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ परिकलित कीजिए और निष्कर्ष निकालिए कि ऐस्ट्रॉयड की कुल लंबाई $6$ है।
सीढ़ी ऐस्ट्रॉयड को कहाँ छूती है? दिखाइए कि $E(t) = P_t + \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ : स्पर्श बिंदु सीढ़ी को $\sin^2 t : \cos^2 t$ अनुपात में बाँटता है, और सीढ़ी के सरकने के साथ उसे एक सिरे से दूसरे सिरे तक बुहार देता है।
ऐस्ट्रॉयड से घिरा क्षेत्रफल परिकलित कीजिए: दिखाइए कि पहले चतुर्थांश का क्षेत्रफल $3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t$ है, समाकल को रैखिकीकरण ( $\sin^2 2t = \tfrac{1 - \cos 4t}2$ ) से मूल्यांकित कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि कुल क्षेत्रफल $3\pi/8$ है।

भाग III — परवलय की विकसिता। मान लीजिए $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ ।

दिखाइए कि $\gamma(t)$ पर अभिलंब रेखा का समीकरण $x + t\,y = t + t^3/2$ है।
अन्वालोप यंत्र चलाइए: दिखाइए कि अभिलंबों का अन्वालोप

$E(t) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32 t^2\Bigr),$

है, जिसका अंतर्निहित समीकरण $x^2 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$ है: यानी कोई अर्धघनीय परवलय।
प्रश्न 4 से जाँच कीजिए: वक्रता केंद्र $\gamma(t) + \frac1{\kappa(t)}N(t)$ को $\kappa(t) = (1 + t^2)^{-3/2}$ से परिकलित कीजिए (उदाहरण 18.18) और वही बिंदु पुनः प्राप्त कीजिए।
दिखाइए कि विकसिता का $(0, 1)$ पर प्रथम प्रकार का उभयाग्र है, जो शीर्ष पर वक्रता केंद्र है — वही बिंदु जहाँ $\kappa$ चरम है, जैसा अभ्यास 18.6 के सूत्र $c' = -\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ से अनुमानित है।
परवलय के कितने अभिलंब किसी दिए गए बिंदु $(x_0, y_0)$ से होकर जाते हैं? दिखाइए कि उत्तर घन $\tfrac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0$ से तय होता है; अक्ष की स्थिति $x_0 = 0$ को पूरी तरह निपटाइए ( $y_0 < 1$ के लिए एक अभिलंब, $y_0 > 1$ के लिए तीन), और विकसिता की संक्रमण वक्र के रूप में व्याख्या कीजिए।

भाग IV — कॉफ़ी-प्याले का दाहक वक्र। दिशा $(1, 0)$ की समांतर किरणें दर्पण-वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के भीतरी भाग से टकराती हैं; $P_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ पर पड़ने वाली किरण परावर्तन के नियम के अनुसार परावर्तित होती है।

अभिलंब (अर्थात् त्रिज्या) में दर्पण-सममिति से यह न्यायसंगत ठहराइए कि परावर्तित दिशा $v = u - 2\langle u, n\rangle n$ है, जहाँ $u = (1,0)$ , $n = (\cos\theta, \sin\theta)$ , और $v = -(\cos2\theta, \sin2\theta)$ परिकलित कीजिए।
दिखाइए कि परावर्तित किरण रेखा

$x\sin 2\theta - y\cos 2\theta = \sin\theta .$

पर पड़ती है।
अन्वालोप यंत्र चलाइए ( $\Delta = 2$ ): दिखाइए कि दाहक वक्र

$E(\theta) = \Bigl(\tfrac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\ \tfrac{3\sin\theta - \sin3\theta}4\Bigr),$

है — नेफ्रॉयड।
$E'(\theta) = \tfrac32\sin\theta\, (\cos2\theta, \sin2\theta)$ परिकलित कीजिए; जाँचिए कि स्पर्शी दिशा परावर्तित किरण की दिशा है (प्रश्न 16), दोनों उभयाग्र $(\pm\tfrac12, 0)$ ढूँढ़िए, और दिखाइए कि परावर्तित किरण अक्ष $y = 0$ को $x = \frac1{2\cos\theta}$ पर काटती है — अतः लगभग अक्षीय किरणें $x = \tfrac12$ पर फोकस होती हैं: त्रिज्या $R$ के दर्पण की फोकस दूरी $R/2$ ।
दिखाइए कि नेफ्रॉयड की कुल लंबाई $6$ है और $\theta = 0$ के निकट

$E(\theta) - \bigl(\tfrac12, 0\bigr) = \bigl(\tfrac34\theta^2 + o(\theta^2),\ \theta^3 + o(\theta^3)\bigr) :$

अर्थात् अक्ष के अनुदिश संकेत करता प्रथम प्रकार का उभयाग्र।
एक अनुच्छेद में समझाइए कि दाहक वक्र चमकीला क्यों होता है: उसके ठीक बाहर के हर बिंदु से दो परावर्तित किरणें गुज़रती हैं, और उस पर पड़ने वाले हर बिंदु पर किरणें “अपरिमित रूप से संकेंद्रित” होती हैं (प्रतिचित्रण $(\theta, \text{किरण के अनुदिश दूरी}) \mapsto \R^2$ का क्रांतिक बिंदु ठीक अन्वालोप पर होता है)।

भाग V — हाइगेंस: चक्रज अपनी ही विकसिता है। मान लीजिए $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$ , $t \in \intoo0{2\pi}$ , जो चक्रज का एक मेहराब है।

$\kappa(t) = -\dfrac1{4\sin(t/2)}$ तथा वक्रता केंद्र परिकलित कीजिए; दिखाइए कि विकसिता

$c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1),$

है और प्रतिस्थापन $t = u + \pi$ उसे $(\pi, -2)$ से स्थानांतरित मूल चक्रज के रूप में प्रकट कर देता है: चक्रज की विकसिता कोई सर्वांगसम चक्रज होती है (हाइगेंस)।
सत्यापित कीजिए कि शीर्ष $t = \pi$ पर वक्रता त्रिज्या $4$ के बराबर है, जो एक मेहराब की लंबाई $8$ की आधी है (अभ्यास 18.1); विकसिता का उभयाग्र सीधे शीर्ष के नीचे, $4$ दूरी पर, ढूँढ़िए।
(डोरी गुणधर्म) मान लीजिए $\gamma$ इकाई-चाल का है, जहाँ $\kappa > 0$ , $\kappa$ वर्ग $\mathcal C^1$ का है और $R = 1/\kappa$ दृढ़ता से एकदिष्ट है। $c' = R'N$ का उपयोग करते हुए दिखाइए कि $c(s_0)$ और $c(s_1)$ के बीच विकसिता की चाप-लंबाई $\abs{R(s_1) - R(s_0)}$ है। व्याख्या: विकसिता से खोली गई कोई तनी हुई डोरी, जिसकी आरंभिक लंबाई $R(s_0)$ है, अपने स्वतंत्र सिरे से मूल वक्र खींच देती है — अतः हाइगेंस की घड़ी के दो चक्रजीय गालों के बीच झूलता लोलक कोई चक्रज ही बनाता है।
संश्लेषण। भाग I के यंत्र ने ऐस्ट्रॉयड, कोई अर्धघनीय परवलय, कोई नेफ्रॉयड और कोई चक्रज उत्पन्न किए। इन चारों कुलों में से हर एक के लिए एक वाक्य में बताइए कि परिकल्पनाएँ $\Delta \neq 0$ तथा $E' \neq 0$ कहाँ टिकीं या टूटीं, और $E' \neq 0$ की हर विफलता ने किस ज्यामितीय घटना (उभयाग्र, फोकस, अपभ्रंश) का संकेत दिया। अभिलंबों के अन्वालोप पर वक्रता के चरम कहाँ प्रकट होने ही चाहिए, और क्यों?

हल

हल — समस्या 18.1.

1. निकाय $(x, y)$ में रैखिक है और उसका सारणिक $\Delta(t) = a b' - a'b \neq 0$ है: क्रामर का नियम अद्वितीय हल देता है

x = \frac{c b' - c' b}{\Delta}, \qquad y = \frac{a c' - a' c}{\Delta}.

2. चूँकि सर्वसमिक रूप से $a(t)x(t) + b(t)y(t) = c(t)$ , अवकलन $a'x + b'y + ax' + by' = c'$ देता है; दूसरा अभिलक्षणिक समीकरण $a'x + b'y - c'$ को मार देता है, अतः $a(t)x'(t) + b(t)y'(t) = 0$ : $E'(t)$ $(a, b)$ के लांबिक है, इसलिए $(-b, a)$ के समांतर, जो $D_t$ की दिशा है। चूँकि $E(t) \in D_t$ (पहला समीकरण) और $E'(t) \neq 0$ , रेखा $D_t$ ठीक $E(t)$ पर वक्र $E$ की स्पर्श रेखा है।

3. यहाँ $(a, b, c) = (t, -1, t^2/2)$ , अतः $\Delta = t\cdot0 - 1\cdot(-1) = 1$ और

x = \frac{c b' - c' b}{\Delta} = \tfrac{t^2}2\cdot 0 + t = t, \qquad y = \frac{a c' - a' c}{\Delta} = t\cdot t - \tfrac{t^2}2 = \tfrac{t^2}2 :

अर्थात् परवलय की स्पर्श रेखाओं का अन्वालोप परवलय ही है, जैसा होना चाहिए।

4. अभिलंब रेखा $\langle M, T(s)\rangle = \langle\gamma(s), T(s)\rangle$ है: गुणांक $a = T_1$ , $b = T_2$ , $c = \langle\gamma, T\rangle$ । फ्रेने से अवकलन करने पर ( $T' = \kappa N$ ): $a' = \kappa N_1$ , $b' = \kappa N_2$ , तथा $c' = \langle T, T\rangle + \langle\gamma, \kappa N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$ । दूसरा अभिलक्षणिक समीकरण $\kappa\langle M, N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$ इस प्रकार पढ़ा जाता है: $\kappa\langle M - \gamma, N\rangle = 1$ । पहला कहता है $M - \gamma \perp T$ , अतः $\mu = 1/\kappa$ के साथ $M - \gamma = \mu N$ : अभिलक्षणिक बिंदु $\gamma + \frac1\kappa N$ है, यानी वक्रता केंद्र, और अभिलंबों का अन्वालोप अभ्यास 18.6 की विकसिता है। अंत में $\Delta = T_1\kappa N_2 - \kappa N_1 T_2 = \kappa\det(T, N) = \kappa \neq 0$ ।

5. किरणपुंज: निकाय $x\cos\theta + y\sin\theta = 0$ , $-x\sin\theta + y\cos\theta = 0$ का सारणिक $1$ है और हर $\theta$ के लिए हल $(0,0)$ : $E \equiv (0,0)$ , $E' \equiv 0$ , और कोई वक्र नहीं — केवल सारी रेखाओं का साझा बिंदु। समांतर कुल: $a' = b' = 0$ $\Delta \equiv 0$ देता है और दूसरा समीकरण $0 = c'(t)$ , जो कुल के सचमुच हिलते ही विफल हो जाता है: कोई अभिलक्षणिक बिंदु नहीं, और वास्तव में समांतर रेखाओं का कोई कुल अपने सारे सदस्यों के अनुदिश किसी वक्र को नहीं छूता।

6. $(\cos t, 0)$ और $(0, \sin t)$ से होकर जाने वाली रेखा $\frac x{\cos t} + \frac y{\sin t} = 1$ है, अर्थात् $x\sin t + y\cos t = \sin t\cos t$ । $(a, b, c) = (\sin t, \cos t, \sin t\cos t)$ के साथ: $a' = \cos t$ , $b' = -\sin t$ , $c' = \cos 2t$ , $\Delta = -\sin^2 t - \cos^2 t = -1$ । क्रामर से:

\begin{align*} x &= \frac{cb' - c'b}{-1} = \sin^2 t\cos t + \cos 2t\cos t = \cos t\,(\sin^2 t + \cos^2 t - \sin^2 t) = \cos^3 t,\\ y &= \frac{ac' - a'c}{-1} = \sin t\cos^2 t - \sin t\cos 2t = \sin t\,(\cos^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t) = \sin^3 t . \end{align*}

और $(\cos^3t)^{2/3} + (\sin^3t)^{2/3} = 1$ : यही ऐस्ट्रॉयड है।

7. $E'(t) = 3(-\cos^2 t\sin t,\ \sin^2 t\cos t)$ $t = 0$ पर लुप्त होता है। वहाँ $E''(0) = (-3, 0) \neq 0$ $p = 2$ देता है; $E$ का $x$ -घटक $t$ में सम है, अतः $E'''(0) = (0, 6)$ , जो संरेख नहीं: $q = 3$ । सम–विषम: $(1, 0)$ पर प्रथम प्रकार का उभयाग्र (प्रतिज्ञप्ति 18.32), जिसकी स्पर्शी $x$ -अक्ष के अनुदिश है। ऐस्ट्रॉयड की सममितियाँ $x \mapsto -x$ , $y \mapsto -y$ , $(x, y) \mapsto (y, x)$ उस उभयाग्र को $(-1, 0)$ तथा $(0, \pm1)$ तक ले जाती हैं।

8. $E'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$ , अतः $\norm{E'(t)} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ । एक चतुर्थांश: $\int_0^{\pi/2}\tfrac32\sin 2t\,\dd t = \tfrac32$ , और सममिति से कुल लंबाई $4 \cdot \tfrac32 = 6$ है।

9. $E(t) - P_t = (\cos^3 t - \cos t,\ \sin^3 t) = \sin^2 t\,(-\cos t,\ \sin t) = \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ । अतः स्पर्श बिंदु $(P_t, \cos^2 t)$ तथा $(Q_t, \sin^2 t)$ का बैरिकेंद्र है: जैसे-जैसे $t$ $0$ से $\pi/2$ तक चलता है, वह सीढ़ी के फ़र्श वाले सिरे से दीवार वाले सिरे तक सरक जाता है।

10. पहले चतुर्थांश में ऐस्ट्रॉयड के नीचे के क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_0^1 y\,\dd x$ है, जहाँ $t$ के $0$ से $\pi/2$ तक जाने पर $x = \cos^3 t$ $1$ से $0$ तक घटता है:

\int_0^1 y\,\dd x = \int_{\pi/2}^{0}\sin^3 t\,(-3\cos^2 t\sin t)\,\dd t = 3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t .

रैखिकीकरण: $\sin^4 t\cos^2 t = (\sin t\cos t)^2\sin^2 t = \tfrac18\bigl(\sin^2 2t - \sin^2 2t\cos 2t\bigr)$ , और $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\,\dd t = \tfrac\pi4$ जबकि $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\cos 2t\,\dd t = \bigl[\tfrac{\sin^3 2t}6\bigr]_0^{\pi/2} = 0$ । अतः समाकल $\tfrac\pi{32}$ है, चतुर्थांश का क्षेत्रफल $\tfrac{3\pi}{32}$ , और घिरा हुआ क्षेत्रफल $4 \cdot \tfrac{3\pi}{32} = \tfrac{3\pi}8$ ।

11. $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ पर स्पर्शी $(1, t)$ से दिशित है, अतः अभिलंब रेखा $\{(x, y) : (x - t) + t\,(y - t^2/2) = 0\}$ है, अर्थात् $x + t\,y = t + \tfrac{t^3}2$ ।

12. $(a, b, c) = (1, t, t + t^3/2)$ : $a' = 0$ , $b' = 1$ , $c' = 1 + \tfrac32 t^2$ , $\Delta = 1$ । तब $y = ac' - a'c = 1 + \tfrac32t^2$ और

x = cb' - c'b = t + \tfrac{t^3}2 - t\Bigl(1 + \tfrac32t^2\Bigr) = -t^3 .

$t$ को हटाने पर: $t^2 = \tfrac23(y - 1)$ तथा $x^2 = t^6 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$ : अर्थात् शीर्ष $(0, 1)$ वाला कोई अर्धघनीय परवलय।

13. $T = (1, t)/\sqrt{1+t^2}$ , $N = (-t, 1)/\sqrt{1+t^2}$ , और $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ , अतः

\gamma + \frac1\kappa N = (t, \tfrac{t^2}2) + (1+t^2)\,(-t, 1) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32t^2\Bigr),

यानी वही वक्र: अभिलंबों का अन्वालोप वक्रता केंद्रों का बिंदुपथ है, जैसा प्रश्न 4 ने वादा किया था।

14. $E'(t) = (-3t^2, 3t)$ $t = 0$ पर लुप्त होता है; $E''(0) = (0, 3) \neq 0$ $p = 2$ देता है और $E'''(0) = (-6, 0)$ $q = 3$ देता है: अर्थात् $(0, 1)$ पर प्रथम प्रकार का उभयाग्र। शीर्ष वहीं है जहाँ $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ अधिकतम है, अतः $\kappa'(0) = 0$ , और विकसिता का वेग $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ ठीक वहीं लुप्त होता है: विकसिता के उभयाग्र वक्रता के चरम पर बैठते हैं।

15. प्राचल $t$ पर अभिलंब $(x_0, y_0)$ से होकर तभी जाता है जब $x_0 + t\,y_0 = t + \tfrac{t^3}2$ , अर्थात्

\frac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0 ,

जो $t$ में एक घन समीकरण है: एक या तीन वास्तविक मूल (व्यापक बिंदुओं के लिए, बहुलता गिने बिना)। अक्ष $x_0 = 0$ पर उसका गुणनखंडन $t\bigl(\tfrac{t^2}2 + 1 - y_0\bigr) = 0$ होता है: मूल $t = 0$ (अक्ष शीर्ष पर अभिलंब है), और $y_0 > 1$ होने पर $t = \pm\sqrt{2(y_0 - 1)}$ भी। अतः: $y_0 < 1$ के लिए एक अभिलंब, $y_0 > 1$ के लिए तीन, और $y_0 = 1$ पर त्रिगुण मूल विकसिता के उभयाग्र को चिह्नित करता है। सामान्यतः घन समीकरण का कोई द्विगुण मूल इसका अर्थ है कि बिंदु रेखा-समीकरण तथा उसके $t$ -अवकलज दोनों को पूरा करता है — अर्थात् वह अन्वालोप पर पड़ता है: विकसिता ठीक एक-अभिलंब और तीन-अभिलंब क्षेत्रों के बीच की सीमा है।

16. दर्पण में परावर्तन दिशा के अभिलंब घटक को उलट देता है और स्पर्शीय घटक को बनाए रखता है: $u = \langle u, n\rangle n + u_{\mathrm{tan}}$ लिखने पर परावर्तित दिशा $u_{\mathrm{tan}} - \langle u, n\rangle n = u - 2\langle u, n\rangle n$ है। यहाँ $\langle u, n\rangle = \cos\theta$ , अतः

v = (1, 0) - 2\cos\theta\,(\cos\theta, \sin\theta) = (1 - 2\cos^2\theta,\ -2\sin\theta\cos\theta) = -(\cos2\theta,\ \sin2\theta).

17. परावर्तित किरण $P_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ से होकर दिशा $(\cos2\theta, \sin2\theta)$ के साथ जाती है; कोई अभिलंब सदिश $(-\sin2\theta, \cos2\theta)$ है, अतः रेखा

-\sin2\theta\,(x - \cos\theta) + \cos2\theta\,(y - \sin\theta) = 0,

है और अचर $-\sin2\theta\cos\theta + \cos2\theta\sin\theta = -\sin\theta$ : $-1$ से गुणा करने पर $x\sin2\theta - y\cos2\theta = \sin\theta$ ।

18. $(a, b, c) = (\sin2\theta, -\cos2\theta, \sin\theta)$ : $a' = 2\cos2\theta$ , $b' = 2\sin2\theta$ , $c' = \cos\theta$ , $\Delta = 2\sin^22\theta + 2\cos^22\theta = 2$ । क्रामर, फिर गुणनफल-से-योग सूत्र:

\begin{align*} x &= \frac{2\sin\theta\sin2\theta + \cos\theta\cos2\theta}{2} = \frac{(\cos\theta - \cos3\theta) + \frac12(\cos\theta + \cos3\theta)}{2} = \frac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\\ y &= \frac{\sin2\theta\cos\theta - 2\cos2\theta\sin\theta}2 = \frac{\frac12(\sin3\theta + \sin\theta) - (\sin3\theta - \sin\theta)}2 = \frac{3\sin\theta - \sin3\theta}4 : \end{align*}

यानी नेफ्रॉयड, दो उभयाग्रों वाला कोई संवृत वक्र।

19. $\sin3\theta - \sin\theta = 2\cos2\theta\sin\theta$ , $\cos\theta - \cos3\theta = 2\sin2\theta\sin\theta$ के साथ अवकलन और गुणनखंडन करने पर:

E'(\theta) = \tfrac34\bigl(\sin3\theta - \sin\theta,\ \cos\theta - \cos3\theta\bigr) = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta),

जो प्रश्न 16 की परावर्तित दिशा के समांतर है: अर्थात् हर परावर्तित किरण दाहक वक्र की स्पर्शी है, जैसा अन्वालोप गुणधर्म माँगता है। $E' = 0$ ठीक $\sin\theta = 0$ पर: $E(0) = (\tfrac12, 0)$ तथा $E(\pi) = (-\tfrac12, 0)$ , यानी दोनों उभयाग्र। रेखा-समीकरण में $y = 0$ रखने पर: $x\sin2\theta = \sin\theta$ , अतः $\theta \to 0$ होने पर $x = \frac1{2\cos\theta} \to \frac12$ : उपाक्षीय किरणें केंद्र से $R/2$ दूरी पर फोकस होती हैं — यही गोलीय दर्पण की फोकस दूरी है।

20. $\norm{E'(\theta)} = \tfrac32\abs{\sin\theta}$ , अतः लंबाई $\tfrac32\int_0^{2\pi}\abs{\sin\theta}\, \dd\theta = \tfrac32\cdot4 = 6$ है। $\theta = 0$ के निकट, $\cos k\theta = 1 - \tfrac{k^2\theta^2}2 + O(\theta^4)$ तथा $\sin k\theta = k\theta - \tfrac{k^3\theta^3}6 + O(\theta^5)$ के साथ:

x - \tfrac12 = \frac{3\theta^2 + O(\theta^4)}{4} = \tfrac34\theta^2 + O(\theta^4), \qquad y = \frac{4\theta^3 + O(\theta^5)}{4} = \theta^3 + O(\theta^5) :

$p = 2$ , $q = 3$ , अर्थात् अक्ष के अनुदिश संकेत करता प्रथम प्रकार का उभयाग्र — कॉफ़ी-प्याले के दाहक वक्र का चमकीला बिंदु।

21. प्रकाशित बिंदुओं का प्राचलन $\Phi(\theta, r) = P_\theta + r\,v_\theta$ से कीजिए (हर परावर्तित किरण के अनुदिश स्थिति)। याकोबी सारणिक $\det(\partial_\theta\Phi, \partial_r\Phi) = \det(P_\theta' + rv_\theta', v_\theta)$ $r$ में आनत है और ठीक एक $r = r_*(\theta)$ के लिए लुप्त होता है — और $\Phi(\theta, r_*(\theta))$ अभिलक्षणिक बिंदु है, क्योंकि वहीं किरण की दिशा और कुल का विचरण परतंत्र हो जाते हैं। अन्वालोप से हटकर प्रतिचित्रण स्थानीय अवकल समाकृतिकता है, और दाहक वक्र के ठीक भीतर का कोई बिंदु दो पड़ोसी किरणों से टकराता है (दो हल $\theta$ ), जबकि बाहर का बिंदु कुल के उस भाग से एक से भी नहीं; दाहक वक्र पर दोनों मिल जाते हैं। प्रकाश की तीव्रता याकोबी सारणिक के निरपेक्ष मान के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अतः वह अन्वालोप के अनुदिश फट पड़ती है: दाहक वक्र ही चमकीला वक्र है, और सबसे अधिक चमकीला उभयाग्र पर, जहाँ अपभ्रंश सबसे बुरा है।

22. $x' = 1 - \cos t$ , $y' = \sin t$ , $x'' = \sin t$ , $y'' = \cos t$ , अतः $x'y'' - y'x'' = \cos t - 1$ और $\norm{\gamma'}^2 = 2(1 - \cos t) = 4\sin^2\tfrac t2$ ; प्रतिज्ञप्ति 18.17 से,

\kappa(t) = \frac{-(1 - \cos t)}{8\sin^3\tfrac t2} = \frac{-2\sin^2\tfrac t2}{8\sin^3\tfrac t2} = -\frac1{4\sin\tfrac t2} \qquad (0 < t < 2\pi).

$T = (\sin\tfrac t2, \cos\tfrac t2)$ के साथ ( $\gamma'$ को $2\sin\tfrac t2$ से भाग दीजिए) तथा $N = (-\cos\tfrac t2, \sin\tfrac t2)$ के साथ:

\gamma + \frac1\kappa N = \gamma - 4\sin\tfrac t2\,\Bigl(-\cos\tfrac t2,\ \sin\tfrac t2\Bigr) = \bigl(t - \sin t + 2\sin t,\ 1 - \cos t - 2(1 - \cos t)\bigr),

अर्थात् $c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1)$ । $t = u + \pi$ प्रतिस्थापित करने पर:

c = \bigl(u + \pi - \sin u,\ -\cos u - 1\bigr) = \bigl((u - \sin u) + \pi,\ (1 - \cos u) - 2\bigr) :

यानी $(\pi, -2)$ से स्थानांतरित चक्रज $\gamma(u)$ । चक्रज की विकसिता कोई सर्वांगसम चक्रज होती है, जो एक तल नीचे लटकी रहती है।

23. $R(t) = 1/\abs{\kappa(t)} = 4\sin\tfrac t2$ , अतः $R(\pi) = 4$ : यानी अभ्यास 18.1 में परिकलित मेहराब-लंबाई $8$ की आधी। विकसिता का वेग $c'(t) = (1 + \cos t, -\sin t)$ $t = \pi$ पर लुप्त होता है: उभयाग्र $c(\pi) = (\pi, -2)$ है, जो सीधे शिखर $\gamma(\pi) = (\pi, 2)$ के नीचे $4 = R(\pi)$ दूरी पर है — ठीक वहाँ की चुंबन-त्रिज्या की लंबाई।

24. अभ्यास 18.6 से $c'(s) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) = R'(s)\,N(s)$ , अतः $\norm{c'(s)} = \abs{R'(s)}$ , और एकदिष्ट $R$ के लिए,

\int_{s_0}^{s_1}\norm{c'(s)}\,\dd s = \Bigl|\int_{s_0}^{s_1}R'(s)\,\dd s\Bigr| = \abs{R(s_1) - R(s_0)} .

मान लीजिए $R$ ह्रासमान है। विकसिता के अनुदिश $c(s_0)$ से आगे बिछाई गई कोई डोरी, जिसे $c(s_0)$ से $\gamma(s_0)$ तक के खंड से बढ़ाया गया हो (और जो प्रश्न 4 से विकसिता की स्पर्शी है), $c(s)$ तक उतारकर तान देने पर $R(s_0) - \bigl(R(s_0) - R(s)\bigr) = R(s)$ लंबाई का सीधा भाग रखती है, जो $c(s)$ से अभिलंब के अनुदिश संकेत करता है — और ठीक $\gamma(s)$ पर आ बैठता है: अर्थात् स्वतंत्र सिरा मूल वक्र खींच देता है (“अंतर्विकसिता”)। हाइगेंस ने लोलक को दो चक्रजीय गालों के बीच लटकाया: डोरी विकसिता पर लिपटती है, अतः गोलक कोई चक्रज बनाता है — वही समकालिक वक्र, जिसका दोलन-काल आयाम पर निर्भर नहीं करता।

25. परवलय की स्पर्श रेखाएँ: हर जगह $\Delta = 1$ तथा $E' = (1, t) \neq 0$ — चिकना अन्वालोप (स्वयं परवलय)। सरकती सीढ़ी: $\Delta = -1$ , पर $E' = \tfrac32\sin 2t\,(-\cos t, \sin t)$ चतुर्थांश के सिरों पर लुप्त होता है — यही ऐस्ट्रॉयड के चार उभयाग्र हैं। परवलय तथा चक्रज के अभिलंब: $\Delta = \kappa \neq 0$ , और $E' = R'N$ ठीक वहीं लुप्त होता है जहाँ वक्रता चरम है — $(0,1)$ तथा $(\pi, -2)$ पर विकसिताओं के उभयाग्र। दाहक वक्र: $\Delta = 2$ , और $E' = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta)$ $\theta = 0, \pi$ पर लुप्त होता है — नेफ्रॉयड के दो उभयाग्र, यानी दर्पण के फोकस बिंदु। वक्रता के चरम अभिलंबों के अन्वालोप पर उभयाग्र उत्पन्न करते ही हैं, क्योंकि विकसिता का वेग $R'N$ है: इसीलिए दीर्घवृत्त की विकसिता के चार उभयाग्र होते हैं (चार शीर्ष), और अपभ्रष्ट कुल (किरणपुंज, समांतर रेखाएँ) वे स्थितियाँ हैं जहाँ यंत्र या तो एक बिंदु देता है या कुछ भी नहीं।