विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · Bachelor Year 3

18अनुरूप प्रतिचित्रण और रीमान प्रतिचित्रण प्रमेय

दो प्रांतों के बीच कोई समविश्लेषिक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण समूचे सम्मिश्र विश्लेषण को एक से दूसरे तक ले जाता है: ऐसे प्रतिचित्रण — अनुरूप, क्योंकि वे कोण सुरक्षित रखते हैं — समविश्लेषिक संसार की तुल्याकारिताएँ हैं। यह अध्याय जहाँ वर्गीकरण संभव है वहाँ उनका वर्गीकरण करता है (चक्र, समतल: कुंजी श्वार्ट्स की प्रमेयिका है, आश्चर्यजनक शक्ति वाली एक असमिका), समविश्लेषिक कुलों का संहतता सिद्धांत बनाता है (मोंतेल), और इस विषय की गहनतम अस्तित्व प्रमेय सिद्ध करता है: $\C$ का प्रत्येक सरल संबद्ध उचित उपप्रांत, चाहे उसकी परिसीमा कितनी ही दंतुरित क्यों न हो, इकाई चक्र के अनुरूप तुल्य होता है। हम प्रसंवादी फलनों और प्वासों नाभिक पर समाप्त करते हैं, और चक्र पर दिरिक्ले समस्या हल करते हैं — अनुरूप ज्यामिति का वैश्लेषिक प्रतिफल। सर्वत्र $\mathbb D = D(0,1)$ और $\mathbb H = \{\operatorname{Im}z > 0\}$ ।

18.1 अनुरूप प्रतिचित्रण; मोबियस रूपांतरण

परिभाषा 18.1

विवृत समुच्चयों के बीच अनुरूप प्रतिचित्रण कोई समविश्लेषिक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है; उसका प्रतिलोम स्वतः समविश्लेषिक होता है (उपप्रमेय 17.10)। दो प्रांत अनुरूप तुल्य कहलाते हैं यदि ऐसा प्रतिचित्रण विद्यमान हो; $\operatorname{Aut}(\Omega)$ अनुरूप स्व-प्रतिचित्रणों का समूह निरूपित करता है। जहाँ $f' \neq 0$ — और एकैकी $f$ के लिए सर्वत्र (उपप्रमेय 17.10 की उपपत्ति) — वहाँ अवकलज $f'(z) \neq 0$ से गुणन है: अर्थात् एक समरूपता, अतः अनुरूप प्रतिचित्रण वक्रों के बीच के कोण सुरक्षित रखते हैं, अभिविन्यास सहित।

उदाहरण 18.2 (मोबियस रूपांतरण)

$\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$ के लिए मोबियस रूपांतरण $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$ $\C\setminus\{-d/c\}$ से $\C\setminus\{a/c\}$ पर अनुरूप है (प्रतिलोम भी उसी प्रकार का, प्रतिलोम आव्यूह से; और संयोजन आव्यूह गुणनफल के अनुरूप है)। केली प्रतिचित्रण

\varphi(z) = \frac{z - \iu}{z + \iu}

$\mathbb H$ को $\mathbb D$ पर अनुरूप रूप से भेजता है: वस्तुतः $\abs{z - \iu} < \abs{z + \iu}$ ठीक तब जब $z$ $-\iu$ की अपेक्षा $\iu$ के अधिक निकट हो, अर्थात् $\operatorname{Im}z > 0$ ; और प्रतिलोम $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$ है। मोबियस प्रतिचित्रण वृत्तों-और-रेखाओं के कुल को अपने आप पर भेजते हैं (अभ्यास 18.1)।

उदाहरण 18.3 (ज़ूकोव्स्की प्रतिचित्रण)

मोबियस से आगे, शास्त्रीय अनुप्रयुक्त गणित का सबसे उपयोगी अनुरूप प्रतिचित्रण है

J(z) = \frac12\Bigl(z + \frac1z\Bigr) .

इकाई चक्र के बाह्य भाग $\Omega = \{\abs z > 1\}$ पर $J$ एकैकी है: $J(z) = J(w)$ से $(z - w)(1 - \frac1{zw}) = 0$ और $\abs{zw} > 1$ मिलते हैं। उसका अवकलज $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})$ केवल $z = \pm1$ पर, यानी परिसीमा पर, लुप्त होता है: अतः $J$ $\Omega$ से उसके प्रतिबिंब पर अनुरूप तुल्यता है, और वह प्रतिबिंब $\C\setminus\intcc{-1}1$ है — इकाई वृत्त स्वयं दो-से-एक ढंग से रेखाखंड पर मुड़ जाता है ( $J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$ )। इस प्रकार किसी रेखाखंड का बाह्य भाग, जो चिकनी परिसीमा रहित एक कटा समतल है, अनुरूप दृष्टि से किसी चक्र का बाह्य भाग ही है: कोने अनुरूप तुल्यता में बाधा नहीं हैं, केवल परिसीमा की चिकनाई में हैं। $\pm1$ से होकर जाने वाले पर अकेंद्रित वृत्तों के प्रतिबिंब वायुपंख के आकार के वक्र होते हैं, और $J$ को मोबियस प्रतिचित्रणों के साथ जोड़ने से किसी बेलन के चारों ओर का प्रवाह — जो हाथ से परिकलनीय है — किसी पंख के चारों ओर के प्रवाह पर पहुँच जाता है: बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्ध में यह उदाहरण ही वायुगतिकी था। यह चेबिशेव का द्वार भी है: $J$ $z \mapsto z^n$ को चेबिशेव बहुपद $T_n$ (समस्या 13.1, भाग V) से संयुग्मित कर देता है, क्योंकि $z = \eu^{\iu\theta}$ होने पर $J(z^n) = \cos(n\theta)$ ।

18.2 श्वार्ट्स की प्रमेयिका और स्वसमाकारिता समूह

प्रमेय 18.4 (श्वार्ट्स प्रमेयिका)

मान लीजिए $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ $f(0) = 0$ के साथ समविश्लेषिक है। तब

\abs{f(z)} \leq \abs z \ \ (z \in \mathbb D) \qquad\text{तथा}\qquad \abs{f'(0)} \leq 1 ,

और यदि किसी एक $z_0 \neq 0$ के लिए $\abs{f(z_0)} = \abs{z_0}$ हो, अथवा $\abs{f'(0)} = 1$ हो, तो $f(z) = \eu^{\iu\theta}z$ कोई घूर्णन है।

उपपत्ति. $g(z) = f(z)/z$ $\mathbb D$ तक समविश्लेषिक रूप से बढ़ जाता है ( $0$ पर एकलता विलोपनीय है: $g$ $0$ के निकट परिबद्ध है, प्रमेय 17.4; और $0$ पर उसका मान $f'(0)$ है)। $\abs z = r < 1$ पर: $\abs g \leq \frac1r$ , अतः उच्चतम सिद्धांत (प्रमेय 16.14) से $\bar D(0,r)$ पर $\abs g \leq \frac1r$ ; अब $r \to 1$ लीजिए: $\mathbb D$ पर $\abs g \leq 1$ , जो दोनों असमिकाएँ हैं। किसी आंतरिक बिंदु पर समता $\abs g$ को कोई आंतरिक अधिकतम प्राप्त करा देती है: अतः $g$ मापांक $1$ का अचर है। ∎

प्रमेय 18.5 (चक्र की स्वसमाकारिताएँ)

$a \in \mathbb D$ के लिए ब्लाश्के गुणनखंड

\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar a z}

$\mathbb D$ की ऐसी स्वसमाकारिता है जो $a$ और $0$ की अदला-बदली करती है, और $\varphi_a^{-1} = \varphi_{-a}$ । $\mathbb D$ की प्रत्येक स्वसमाकारिता अद्वितीय $\theta \in \R/2\pi\Z$ , $a \in \mathbb D$ के लिए $\eu^{\iu\theta}\varphi_a$ होती है।

उपपत्ति. $\abs z = 1$ पर: $\abs{1 - \bar az} = \abs{\bar z}\abs{1 - \bar az} = \abs{\bar z - \bar a\abs z^2} = \abs{\bar z - \bar a} = \abs{z - a}$ , अतः वहाँ $\abs{\varphi_a} = 1$ ; उच्चतम सिद्धांत से $\varphi_a(\mathbb D) \subseteq \bar{\mathbb D}$ , और विवृतता प्रतिबिंब को $\mathbb D$ में रख देती है। बीजगणितीय सर्वसमिका $\varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$ (सीधा परिकलन) एकैकी आच्छादकता दिखा देती है। अब मान लीजिए $f \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ और $a = f^{-1}(0)$ : तब $g = f\circ\varphi_{-a}$ $0$ को स्थिर रखने वाली स्वसमाकारिता है। $g$ पर और $g^{-1}$ पर श्वार्ट्स लगाइए: $\abs{g(z)} \leq \abs z$ और $\abs{g^{-1}(w)} \leq \abs w$ , अतः $\abs{g(z)} = \abs z$ : यानी घूर्णन, $g = \eu^{\iu\theta}\,\mathrm{id}$ , अर्थात् $f = \eu^{\iu\theta}\varphi_a$ । अद्वितीयता: $f'$ प्रकार के मान-निर्धारण से $a = f^{-1}(0)$ और $\theta$ (अथवा $f(0) = -\eu^{\iu\theta}a$ और एक और मान से)। ∎

प्रमेय 18.6 (समतल की स्वसमाकारिताएँ)

$\operatorname{Aut}(\C) = \{z \mapsto az + b : a \in \C^*,\ b \in \C\}$ । फलस्वरूप $\C$ और $\mathbb D$ अनुरूप तुल्य नहीं हैं।

उपपत्ति. मान लीजिए $f \in \operatorname{Aut}(\C)$ और $\C^*$ पर $g(z) = f(1/z)$ पर विचार कीजिए: यह $0$ पर विविक्त एकलता वाला समविश्लेषिक फलन है। यदि वह सारभूत होती, तो काज़ोराती–वाइरश्ट्रास (प्रमेय 17.4) $g\bigl(D(0,\varepsilon)\setminus\{0\}\bigr)$ को सघन बना देती, जबकि $f(D(0, 1))$ विवृत है और उससे असंयुक्त ( $f$ एकैकी: दोनों समुच्चय असंयुक्त समुच्चयों के प्रतिबिंब हैं) — जो किसी सघन समुच्चय और किसी अरिक्त विवृत समुच्चय के लिए असंभव है। अतः $g$ के लिए $0$ ध्रुव है या विलोपनीय, अर्थात् $\abs{f(z)}$ की वृद्धि अधिकतम बहुपदीय है: इसलिए $f$ कोई बहुपद है (अभ्यास 16.4(क))। एकैकीपन घात $1$ अनिवार्य कर देता है: उच्चतर घात के बहुपद का या तो कहीं $f - c$ का बहुगुणी मूल होता है ( $f'$ लुप्त होता है) या कई भिन्न पूर्वप्रतिबिंब (दालांबेर–गाउस, समस्या 16.1); दोनों ही स्थितियों में एकैकीपन विफल हो जाता है। अंततः कोई अनुरूप $\C \to \mathbb D$ परिबद्ध समग्र फलन होता: अचर (ल्यूविल) — अतः कोई तुल्यता नहीं। ∎

18.3 मोंतेल की प्रमेय

प्रमेय 18.7 (मोंतेल)

मान लीजिए $\mathcal F \subseteq \mathcal H(\Omega)$ स्थानीय परिबद्ध है: अर्थात् प्रत्येक बिंदु का कोई ऐसा प्रतिवेश है जिस पर $\sup_{f\in \mathcal F}\sup\abs f < \infty$ । तब $\mathcal F$ के प्रत्येक अनुक्रम का कोई ऐसा उपानुक्रम है जो $\Omega$ के समस्त संहत उपसमुच्चयों पर एकसमान रूप से (किसी समविश्लेषिक सीमा पर) अभिसरित होता है।

उपपत्ति. स्थानीय समसांतत्य: यदि सभी $f \in \mathcal F$ के लिए $D(a, 2r) \subseteq \Omega$ पर $\abs f \leq M$ हो, तो $z, z' \in D(a, r)$ के लिए कोशी सूत्र

\abs{f(z) - f(z')} = \frac{\abs{z - z'}}{2\pi} \Bigl|\int_{C_{2r}}\frac{f(w)\,\dd w}{(w-z)(w-z')}\Bigr| \leq \frac{\abs{z - z'}\,2\pi\cdot2r\,M}{2\pi\,r^2} = \frac{2M}{r}\,\abs{z - z'} :

देता है, अर्थात् एक एकसमान लिप्शिट्ज़ परिबंध। $\Omega$ को संहतों $K_m$ से निःशेष कीजिए; प्रत्येक $K_m$ परिमित संख्या के ऐसे चक्रों से आच्छादित होता है, अतः $\mathcal F$ $K_m$ पर एकसमान परिबद्ध और समसंतत है: आर्ज़ेला–आस्कोली (प्रमेय 7.11) $K_m$ पर एकसमान रूप से अभिसारी कोई उपानुक्रम निकाल देता है; अब $m$ पर विकर्णन कीजिए। सीमा प्रमेय 16.15 से समविश्लेषिक है। ∎

18.4 रीमान प्रतिचित्रण प्रमेय

परिभाषा 18.8

कोई विवृत संबद्ध $\Omega \subseteq \C$ सरल संबद्ध कहलाता है (समजातता के अर्थ में, जो हमारे सभी प्रयोजनों के लिए पर्याप्त है) यदि $\Omega$ में प्रत्येक चक्रक $\gamma$ और प्रत्येक $w \notin \Omega$ के लिए $\operatorname{Ind}_\gamma(w) = 0$ हो — अर्थात् “ $\Omega$ का कोई चक्रक किसी छिद्र को नहीं घेरता”। वैश्विक कोशी प्रमेय (प्रमेय 17.1) और प्रतिज्ञप्ति 16.5 से ऐसे $\Omega$ पर प्रत्येक समविश्लेषिक फलन का कोई आद्यंतर होता है; अतः प्रत्येक शून्य-रहित $f \in \mathcal H(\Omega)$ का कोई समविश्लेषिक लघुगणक होता है ( $\exp\circ$ ( $f'/f$ का आद्यंतर), जिसे किसी अचर से समायोजित किया गया हो, क्योंकि $(f\eu^{-L})' = 0$ ) और समविश्लेषिक $n$ -वें मूल $\eu^{L/n}$ भी।

प्रमेय 18.9 (रीमान प्रतिचित्रण प्रमेय)

$\Omega \neq \varnothing$ वाला प्रत्येक सरल संबद्ध विवृत $\Omega \subsetneq \C$ $\mathbb D$ के अनुरूप तुल्य है; और $z_0 \in \Omega$ दिया हो, तो $f(z_0) = 0$ तथा $f'(z_0) > 0$ वाला एक अद्वितीय अनुरूप $f \colon \Omega \to \mathbb D$ है।

उपपत्ति. चरण 0: कुल अरिक्त है। $b \notin \Omega$ चुनिए: $z - b$ $\Omega$ पर शून्य-रहित है, अतः उसका कोई समविश्लेषिक वर्गमूल $h$ है ( $h^2 = z - b$ )। $h$ एकैकी है ( $h(z) = h(z')$ का वर्ग $z = z'$ है), और यदि $w \in h(\Omega)$ हो तो $-w \notin h(\Omega)$ ( $h(z) = -h(z')$ का वर्ग भी $z = z'$ है, जिससे $w = -w = 0$ मिलता है, जो असंभव है क्योंकि $h$ शून्य-रहित है)। चूँकि $h(\Omega)$ विवृत है, उसमें कोई चक्र $D(h(z_0), \rho)$ समाता है; तब $D(-h(z_0), \rho) \cap h(\Omega) = \varnothing$ , अर्थात् प्रत्येक $z \in \Omega$ के लिए $\abs{h(z) + h(z_0)} \geq \rho$ । अतः

g(z) = \frac{\rho}{2\,\bigl(h(z) + h(z_0)\bigr)}

समविश्लेषिक और एकैकी है (कोई मोबियस प्रतिचित्रण एकैकी $h$ के साथ संयोजित), जिसमें $\abs g \leq \frac12 < 1$ । $g(z_0)$ को $0$ पर ले जाने के लिए किसी ब्लाश्के गुणनखंड (प्रमेय 18.5) के साथ संयोजित करने पर कुल

\mathcal F = \{f \colon \Omega \to \mathbb D \text{ समविश्लेषिक, एकैकी, } f(z_0) = 0\}

अरिक्त हो जाता है।

चरण 1: एक चरम अवयव। मान लीजिए $s = \sup_{\mathcal F}\abs{f'(z_0)} \in \intoc0{+\infty}$ ( $> 0$ : सदस्य एकैकी हैं, अतः $f'(z_0) \neq 0$ )। $\abs{f_n'(z_0)} \to s$ वाले $f_n \in \mathcal F$ लीजिए: कुल $1$ से परिबद्ध है, अतः मोंतेल (प्रमेय 18.7) संहतों पर एकसमान रूप से $f_n \to f$ निकाल देता है; $f$ समविश्लेषिक है, $f(z_0) = 0$ , $\abs{f'(z_0)} = s$ (अवकलजों के लिए प्रमेय 16.15), और विशेष रूप से $f$ अचरेतर है; $f$ हुर्विट्स (अभ्यास 17.8(ख)) से एकैकी है, और $f(\Omega) \subseteq \bar{\mathbb D}$ , अतः $\subseteq \mathbb D$ (विवृत प्रतिचित्रण)। इसलिए $f \in \mathcal F$ उच्चतम प्राप्त कर लेता है: $s < \infty$ ।

चरण 2: चरम प्रतिचित्रण आच्छादक है। मान लीजिए $a \in \mathbb D\setminus f(\Omega)$ । ब्लाश्के परिवहन $\varphi_a\circ f$ सरल संबद्ध $\Omega$ पर शून्य-रहित है: अतः उसका कोई समविश्लेषिक वर्गमूल $F$ है ( $F(\Omega) \subseteq \mathbb D$ के साथ, क्योंकि $\abs F^2 = \abs{\varphi_a\circ f} < 1$ ), जो एकैकी है (वर्ग भेद कर देते हैं)। मानकीकृत कीजिए: $G = \varphi_{F(z_0)}\circ F \in \mathcal F$ । उलटने पर: $f = \varphi_{-a}\circ s_2 \circ \varphi_{-F(z_0)}\circ G$ , जहाँ $s_2(w) = w^2$ ; और प्रतिचित्रण $\Psi = \varphi_{-a}\circ s_2\circ\varphi_{-F(z_0)} \colon \mathbb D \to \mathbb D$ $\Psi(0) = f(z_0) = 0$ के साथ समविश्लेषिक है और कोई घूर्णन नहीं है (वह एकैकी नहीं है: $s_2$ नहीं है)। श्वार्ट्स की प्रमेयिका (कड़ी स्थिति): $\abs{\Psi'(0)} < 1$ , और शृंखला नियम $f = \Psi\circ G$ से $\abs{f'(z_0)} = \abs{\Psi'(0)}\,\abs{G'(z_0)} < \abs{G'(z_0)}$ — जो महत्तमता का खंडन है (ध्यान दीजिए कि $G \in \mathcal F$ )। अतः $f$ आच्छादक है: अर्थात् एक अनुरूप तुल्यता।

चरण 3: मानकीकरण और अद्वितीयता। $f'(z_0) > 0$ बनाने के लिए $f$ को $\eu^{-\iu\arg f'(z_0)}$ से गुणा कीजिए (यह $\mathcal F$ में ही रहता है)। यदि $f_1, f_2$ दोनों काम करें, तो $\psi = f_2\circ f_1^{-1} \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ $\psi'(0) = f_2'(z_0)/f_1'(z_0) > 0$ के साथ $0$ को स्थिर रखता है; प्रमेय 18.5 से $\psi$ $\eu^{\iu\theta} > 0$ वाला कोई घूर्णन $\eu^{\iu\theta}$ है: अतः $\psi = \mathrm{id}$ । ∎

टिप्पणी 18.10

यह प्रमेय आश्चर्यजनक विस्तार वाला विशुद्ध अस्तित्व कथन है: एक वर्ग, एक अर्ध-समतल, किसी दरार का पूरक, दो स्पर्श करते वृत्तों के बीच का क्षेत्र, किसी फ्रैक्टल परिसीमा वाला प्रांत — सब $\mathbb D$ के अनुरूप एक ही हैं। यह जो नहीं देती: कोई सूत्र (स्पष्ट प्रतिचित्रण अपवाद हैं: अभ्यास 18.5), परिसीमा व्यवहार (उसे एक गहरा सिद्धांत — कैराथियोडोरी की प्रमेय — सँभालता है), अथवा $\C$ तक या बहुसंबद्ध प्रांतों तक विस्तार की अद्वितीयता: वलय $\{1 < \abs z < 2\}$ अनुरूप दृष्टि से कोई छिद्रित चक्र नहीं है, और भिन्न त्रिज्या अनुपात वाले वलय परस्पर अतुल्य हैं (जो सचमुच कठिनतर तथ्य है)।

18.5 प्रसंवादी फलन और प्वासों नाभिक

प्रतिज्ञप्ति 18.11

मान लीजिए $\Omega$ सरल संबद्ध है और $u \colon \Omega \to \R$ प्रसंवादी ( $\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0$ के साथ $\mathcal C^2$ )। तब किसी समविश्लेषिक $F$ के लिए $u = \operatorname{Re}F$ , जो किसी काल्पनिक अचर तक अद्वितीय है। फलस्वरूप $u$ $\mathcal C^\infty$ है, माध्य मान गुण को संतुष्ट करता है, और उच्चतम सिद्धांत का पालन करता है (अचर न हो तो कोई कड़ा आंतरिक चरम-मान नहीं)।

उपपत्ति. $g = u_x - \iu u_y$ संतत आंशिक अवकलजों के साथ कोशी–रीमान समीकरण संतुष्ट करता है ( $P = u_x$ , $Q = -u_y$ : $P_x = u_{xx} = -u_{yy} = Q_y$ और $P_y = u_{xy} = u_{yx} = -Q_x$ ): अतः $g$ समविश्लेषिक है (प्रतिज्ञप्ति 16.2; और $\R$ -अवकलनीयता $\mathcal C^1$ से निकलती है)। मान लीजिए $F_0$ कोई आद्यंतर है (सरल संबद्धता, परिभाषा 18.8); तब $\operatorname{Re}F_0$ का प्रवणक $(u_x, u_y)$ है ( $F_0' = g$ $F_0$ के लिए कोशी–रीमान के माध्यम से ठीक वही खुलता है), अतः $u - \operatorname{Re}F_0$ अचर है ( $\Omega$ संबद्ध): अब $F = F_0 + c$ समायोजित कीजिए। गुण प्रमेय 16.14 और अभ्यास 16.10 से स्थानांतरित हो जाते हैं (स्वयं $u$ पर लगाए गए उच्चतम सिद्धांत के लिए वहीं की तरह $\eu^{F}$ का उपयोग कीजिए)। ∎

प्रमेय 18.12 (प्वासों सूत्र; चक्र पर दिरिक्ले समस्या)

$0 \leq r < 1$ के लिए प्वासों नाभिक

P_r(\theta) = \sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2} \;>\; 0 .

परिभाषित कीजिए। मान लीजिए $g \colon \partial\mathbb D \to \R$ संतत है, और $z = r\eu^{\iu\varphi} \in \mathbb D$ के लिए

u(z) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} P_r(\varphi - t)\,g(\eu^{\iu t})\,\dd t .

रखिए। तब $u$ $\mathbb D$ पर प्रसंवादी है और परिसीमा मानों $g$ के साथ $\bar{\mathbb D}$ तक संततता से बढ़ जाता है: और वही ऐसा अद्वितीय प्रसंवादी फलन है।

उपपत्ति. नाभिक सर्वसमिकाएँ: दो गुणोत्तर श्रेणियों का योग लेने पर

\sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta} = \operatorname{Re}\frac{1 + r\eu^{\iu\theta}}{1 - r\eu^{\iu\theta}} = \frac{1 - r^2}{\abs{1 - r\eu^{\iu\theta}}^2},

जो प्रदर्शित भागफल है; धनात्मकता स्पष्ट है, और $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r = 1$ (केवल $n = 0$ बचता है)।

प्रसंवादिता: $z = r\eu^{\iu\varphi}$ के साथ

u(z) = \operatorname{Re}\biggl[\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\eu^{\iu t} + z}{\eu^{\iu t} - z}\, g(\eu^{\iu t})\,\dd t\biggr],

(कोष्ठक में रखे नाभिक का वास्तविक भाग $P_r(\varphi - t)$ है: परिकलित कीजिए), और कोष्ठक $\mathbb D$ पर $z$ में समविश्लेषिक है (अभ्यास 16.7): अतः $u$ किसी समविश्लेषिक फलन का वास्तविक भाग है, इसलिए प्रसंवादी।

परिसीमा मान: $r \to 1^-$ पर $P_r(\cdot)$ एक आसन्न तत्समक है: द्रव्यमान $1$ , और $\delta \leq \abs\theta \leq \pi$ के लिए एकसमान रूप से $P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ । मानक विभाजन ( $\eu^{\iu\varphi_0}$ के निकट $g$ का सांतत्य, अन्यत्र परिबद्धता) $r\eu^{\iu\varphi} \to \eu^{\iu\varphi_0}$ पर $u(r\eu^{\iu\varphi}) \to g(\eu^{\iu\varphi_0})$ दे देता है, और वह भी परिसीमा बिंदु में एकसमान रूप से: अतः विस्तार संतत है। अद्वितीयता: दो हलों का अंतर $\mathbb D$ पर प्रसंवादी है, संवृति पर संतत, और परिसीमा पर शून्य: अतः (अंतर के $\pm$ पर लगाए गए) उच्चतम सिद्धांत से वह लुप्त हो जाता है। ∎

Rez2 = x2 - y2 (लाल अतिपरवलय) और Imz2 = 2xy (नीले अतिपरवलय) के स्तर वक्र 0 से दूर समकोण पर काटते हैं: कोई अनुरूप प्रतिचित्रण (z z2, जहाँ z ≠ 0) निर्देशांक रेखाओं की लांबिकता सुरक्षित रखता है। और z = 0 पर, जहाँ अवकलज लुप्त हो जाता है, कोण दुगुने हो जाते हैं। — $\operatorname{Re}z^2 = x^2 - y^2$ (लाल अतिपरवलय) और $\operatorname{Im}z^2 = 2xy$ (नीले अतिपरवलय) के स्तर वक्र $0$ से दूर समकोण पर काटते हैं: कोई अनुरूप प्रतिचित्रण ( $z \mapsto z^2$ , जहाँ $z \neq 0$ ) निर्देशांक रेखाओं की लांबिकता सुरक्षित रखता है। और $z = 0$ पर, जहाँ अवकलज लुप्त हो जाता है, कोण दुगुने हो जाते हैं।

18.6 अभ्यास

अभ्यास 18.1 ★

(क) सत्यापित कीजिए कि केली प्रतिचित्रण $\varphi(z) = \frac{z - \iu}{z + \iu}$ कहे गए प्रतिलोम के साथ एक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $\mathbb H \to \mathbb D$ है, और $\iu$ , $0$ , $1$ , $\infty$ (सीमा) के प्रतिबिंब परिकलित कीजिए। (ख) दर्शाइए कि $z \mapsto 1/z$ वृत्तों और रेखाओं को वृत्तों और रेखाओं पर भेजता है। (उनका उभयनिष्ठ समीकरण $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$ , $\alpha, \gamma \in \R$ लिखिए।) इससे समस्त मोबियस प्रतिचित्रणों के लिए वही निष्कर्ष निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 18.1.

(क) $\varphi$ और $\psi(w) = \iu\frac{1+w}{1-w}$ दोनों क्रमों में संयोजित होकर तत्समक बन जाते हैं (सीधा परिकलन); और $\varphi$ $\mathbb H$ को $\mathbb D$ में तथा $\psi$ वापस भेजता है (उदाहरण 18.2)। मान: $\varphi(\iu) = 0$ , $\varphi(0) = -1$ , $\varphi(1) = \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu$ , और $z \to \infty$ पर $\varphi(z) \to 1$ ।

(ख) वृत्त और रेखाएँ $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$ ( $\alpha, \gamma \in \R$ , $\beta \in \C$ , $\abs\beta^2 > \alpha\gamma$ ) के हल समुच्चय हैं: $\alpha \neq 0$ वृत्त, $\alpha = 0$ रेखाएँ। $z = 1/w$ प्रतिस्थापित करके $\abs w^2$ से गुणा करने पर: $\gamma\abs w^2 + \beta w + \bar\beta\bar w + \alpha = 0$ — अर्थात् वही कुल। आफ़ीन प्रतिचित्रण स्पष्टतः इस कुल को सुरक्षित रखते हैं, और प्रत्येक मोबियस प्रतिचित्रण आफ़ीन प्रतिचित्रणों और एक व्युत्क्रमण का संयोजन है ( $c \neq 0$ के लिए $\frac{az+b}{cz+d} = \frac ac + \frac{bc - ad}{c}\cdot\frac1{cz + d}$ )।

अभ्यास 18.2 ★

मान लीजिए $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ समविश्लेषिक है। (क) यदि $f(0) = 0$ हो और किसी $a \neq 0$ के लिए $f(a) = a$ , तो $f = \mathrm{id}$ दर्शाइए। (ख) यदि $f$ ऐसी स्वसमाकारिता हो जिसके $\mathbb D$ में दो भिन्न स्थिर बिंदु हों, तो $f = \mathrm{id}$ दर्शाइए ((क) तक सिमटाने के लिए किसी ब्लाश्के गुणनखंड से संयुग्मन कीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 18.2.

(क) श्वार्ट्स $\abs{f(a)} \leq \abs a$ बराबरी के साथ देते हैं (दोनों पक्ष $= \abs a$ ): और बराबरी की स्थिति $f(z) = \eu^{\iu\theta}z$ अनिवार्य कर देती है, तथा $f(a) = a$ $\eu^{\iu\theta} = 1$ को बाँध देता है।

(ख) मान लीजिए $a \neq b$ स्थिर बिंदु हैं और $g = \varphi_a\circ f\circ\varphi_{-a} \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — जिसमें $\varphi_{\pm a}$ के लिए प्रमेय 18.5 का उपयोग हुआ है। तब $g(0) = \varphi_a(f(a)) = 0$ और $c = \varphi_a(b) \neq 0$ के लिए $g(c) = c$ : अतः (क) से $g = \mathrm{id}$ , इसलिए $f = \varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$ ।

अभ्यास 18.3 ★★

(श्वार्ट्स–पिक) समविश्लेषिक $f\colon \mathbb D \to \mathbb D$ के लिए सिद्ध कीजिए

\frac{\abs{f'(z)}}{1 - \abs{f(z)}^2} \;\leq\; \frac{1}{1 - \abs z^2} \qquad (z \in \mathbb D),

जिसमें समता (किसी एक बिंदु पर, अतः सर्वत्र) तभी और केवल तभी होती है जब $f \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ । ( $\varphi_{f(z)}\circ f\circ\varphi_{-z}$ पर श्वार्ट्स लगाइए।) व्याख्या: समविश्लेषिक स्व-प्रतिचित्रण अतिपरवलयिक मापीय को संकुचित करते हैं।

हल

हल — अभ्यास 18.3.

$z$ स्थिर कीजिए और $g = \varphi_{f(z)}\circ f\circ\varphi_{-z}$ रखिए: $g(0) = 0$ वाला समविश्लेषिक $\mathbb D \to \mathbb D$ , अतः $\abs{g'(0)} \leq 1$ (श्वार्ट्स)। $\varphi_a'(\zeta) = \frac{1 - \abs a^2}{(1 - \bar a\zeta)^2}$ के साथ शृंखला नियम:

g'(0) = \varphi_{f(z)}'\bigl(f(z)\bigr)\cdot f'(z)\cdot \varphi_{-z}'(0) = \frac{1}{1 - \abs{f(z)}^2}\cdot f'(z)\cdot(1 - \abs z^2),

जिससे श्वार्ट्स–पिक असमिका मिलती है। किसी $z$ पर बराबरी $g$ को घूर्णन बना देती है, अतः $f = \varphi_{-f(z)}\circ(\text{घूर्णन})\circ\varphi_z \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — और तब बराबरी सर्वत्र लागू रहती है (परिकलित कीजिए, अथवा $f, f^{-1}$ की भूमिकाएँ बदलकर पुनः लगाइए)। चक्र के समविश्लेषिक स्व-प्रतिचित्रण अतिपरवलयिक दूरिक $\frac{2\abs{\dd z}}{1 - \abs z^2}$ के लिए $1$ -लिपशित्ज़ हैं; और स्वसमाकृतियाँ उसकी समदूरीयताएँ हैं।

अभ्यास 18.4 ★★

स्पष्ट अनुरूप तुल्यताएँ ढूँढ़िए: (क) पट्टी $\{0 < \operatorname{Im}z < \pi\} \to \mathbb H$ ; (ख) चतुर्थांश $\{\operatorname{Re}z > 0, \operatorname{Im}z > 0\} \to \mathbb H$ ; (ग) अर्ध-चक्र $\mathbb D\cap\mathbb H \to$ से कोई चतुर्थांश, फिर $\to \mathbb H$ ; (घ) $\mathbb D \to \mathbb D$ जो $\frac12$ को $0$ पर भेजे और वहाँ जिसका अवकलज धनात्मक हो।

हल

हल — अभ्यास 18.4.

(क) $z \mapsto \eu^z$ : $\{0 < \operatorname{Im}z < \pi\}$ को एकैकी-आच्छादक रूप से $\mathbb H$ पर भेजता है ( $\eu^{x+\iu y} = \eu^x\eu^{\iu y}$ : मापांक स्वतंत्र, कोणांक $y \in \intoo0\pi$ ), जो अलुप्त अवकलज और समविश्लेषिक प्रतिलोम (मुख्य $\log$ ) के साथ समविश्लेषिक है। (ख) $z \mapsto z^2$ कोणांक दुगुने कर देता है: अतः विवृत चतुर्थांश $\{0 < \arg z < \frac\pi2\}$ अनुरूप रूप से $\mathbb H$ पर जाता है (प्रतिलोम: मुख्य वर्गमूल)। (ग) $z \mapsto \frac{1 + z}{1 - z}$ $\mathbb D$ को दाएँ अर्ध-समतल पर भेजता है और ऊपरी/निचली सममिति सुरक्षित रखता है: अतः वह ऊपरी अर्ध-चक्र को प्रथम चतुर्थांश पर भेजता है; फिर (ख) से वर्ग कीजिए और $\mathbb H$ तक पहुँचिए: $z \mapsto \bigl(\frac{1 + z}{1 - z}\bigr)^2$ । (घ) ब्लाश्के गुणक $\varphi_{1/2}(z) = \frac{z - \frac12}{1 - \frac z2}$ : $\varphi_{1/2}(\tfrac12) = 0$ और $\varphi_{1/2}'(\tfrac12) = \frac{1 - \frac14}{(1 - \frac14)^2} = \frac43 > 0$ ।

अभ्यास 18.5 ★★

(क) दर्शाइए कि कोई अनुरूप प्रतिचित्रण $\C \to \mathbb D$ या $\C \to \mathbb H$ विद्यमान नहीं है, और न ही $\mathbb D \to \C$ । (ख) निम्नलिखित में से कौन-से $\mathbb D$ के अनुरूप तुल्य हैं? प्रमेय 18.9 से अथवा किसी बाधा से उचित ठहराइए: एक वर्ग; $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ ; $\mathbb D\setminus\{0\}$ ; $\{1 < \abs z < 2\}$ । (अंतिम दो के लिए: छिद्रित चक्र का कोई अनुरूप प्रतिबिंब प्रमेय 17.4(1) से छिद्र के पार बढ़ जाता — इसे विकसित कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 18.5.

(क) कोई अनुरूप $\C \to \mathbb D$ (अथवा केली के साथ संयोजन के बाद $\mathbb H$ ) कोई परिबद्ध समग्र फलन है: अतः ल्यूविल से अचर — एकैकी-आच्छादक नहीं। और किसी अनुरूप $\mathbb D \to \C$ का कोई अनुरूप प्रतिलोम $\C \to \mathbb D$ होता: वही विरोधाभास।

(ख) वर्ग उत्तल है, अतः सरल संबद्ध, और उचित: इसलिए अनुरूप रूप से $\mathbb D$ (प्रमेय 18.9)। कटा हुआ समतल $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ $1$ के परितः तारकाकार है ( $1$ से रेखाखंड कट से बचते हैं), अतः सरल संबद्ध और उचित: इसलिए अनुरूप रूप से $\mathbb D$ । छिद्रित चक्र: यदि $g \colon \mathbb D\setminus\{0\} \to \mathbb D$ अनुरूप होता, तो $g$ परिबद्ध है, अतः $0$ विलोपनीय है (प्रमेय 17.4): $g$ $\tilde g \colon \mathbb D \to \mathbb D$ तक बढ़ जाता, और $\tilde g(0)$ , जो विवृत प्रतिबिंब $g(\mathbb D\setminus\{0\}) = \mathbb D$ में है, किसी $w \neq 0$ के लिए $g(w)$ भी होता; तब $0$ और $w$ के दो असंयुक्त प्रतिवेशों के प्रतिबिंब विवृत होते और मान $\tilde g(0)$ साझा करते, अतः अन्य मान भी साझा करते (विवृत समुच्चय): इसलिए $g$ $\mathbb D\setminus\{0\}$ पर कोई मान दो बार लेता — जो एकैकीपन का खंडन करता है। वलय $A = \{1 < \abs z < 2\}$ : मान लीजिए $F \colon \mathbb D \to A$ अनुरूप है। $F$ सरल संबद्ध $\mathbb D$ पर शून्य-रहित है, अतः समविश्लेषिक $L$ के साथ $F = \eu^L$ (परिभाषा 18.8)। मान लीजिए $\sigma$ $A$ में वृत्त $\abs z = \frac32$ है और $\gamma = F^{-1}\circ\sigma$ $\mathbb D$ में कोई संवृत पथ; तब

1 = \operatorname{Ind}_\sigma(0) = \frac1{2\iu\pi}\int_{F\circ\gamma}\frac{\dd w}{w} = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{F'}{F} = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma L' = 0

( $L'$ का कोई आद्यंतर है): विरोधाभास। न छिद्रित चक्र कोई भेस बदला चक्र है, न वलय।

अभ्यास 18.6 ★★

मान लीजिए $\mathcal F = \{f \in \mathcal H(\mathbb D) : f(0) = 1,\ \operatorname{Re}f > 0\}$ । (क) दर्शाइए कि $\mathcal F$ स्थानीय परिबद्ध है। (दक्षिण अर्ध-समतल को $\mathbb D$ पर भेजने वाले केली प्रकार के प्रतिचित्रण $w \mapsto \frac{w - 1}{w + 1}$ के साथ संयोजित कीजिए, और श्वार्ट्स लगाइए।) (ख) हर्ग्लोत्स परिबंध निकालिए: $f \in \mathcal F$ के लिए $\abs{f(z)} \leq \frac{1 + \abs z}{1 - \abs z}$ , और समता की संभावनाएँ भी।

हल

हल — अभ्यास 18.6.

(क) $T(w) = \frac{w - 1}{w + 1}$ $\{\operatorname{Re}w > 0\}$ को अनुरूप रूप से $\mathbb D$ पर भेजता है (घुमाया गया केली: $\abs{w - 1} < \abs{w + 1}$ तभी और केवल तभी जब $\operatorname{Re}w > 0$ ), जिसमें $T(1) = 0$ । $f \in \mathcal F$ के लिए $g = T\circ f\colon \mathbb D \to \mathbb D$ $g(0) = 0$ के साथ समविश्लेषिक है: अतः श्वार्ट्स $\abs{g(z)} \leq \abs z$ दे देते हैं।

(ख) $T$ का व्युत्क्रमण: $f = \frac{1 + g}{1 - g}$ , अतः

\abs{f(z)} \leq \frac{1 + \abs{g(z)}}{1 - \abs{g(z)}} \leq \frac{1 + \abs z}{1 - \abs z} :

जो स्थानीय रूप से परिबद्ध है ( $\abs z \leq r < 1$ पर एकसमान रूप से)। $z_0 \neq 0$ पर बराबरी $\abs{g(z_0)} = \abs{z_0}$ और संरेखण अनिवार्य कर देती है: अतः $g$ कोई घूर्णन, अर्थात् $f(z) = \frac{1 + \eu^{\iu\theta}z}{1 - \eu^{\iu\theta}z}$ — अर्थात् हर्ग्लोत्स चरम, दाएँ अर्ध-समतल पर जाते अनुरूप प्रतिचित्रण।

अभ्यास 18.7 ★★★

प्रमेय 18.9 की उपपत्ति प्रत्येक परिकल्पना का उपयोग कहाँ करती है? खोजिए: (क) सरल संबद्धता (दो बार); (ख) $\Omega \neq \C$ ; (ग) संबद्धता। फिर दर्शाइए कि $\Omega = \C$ के लिए और वलय के लिए यह प्रमेय विफल हो जाती है, और दोनों स्थितियों में उपपत्ति का कौन-सा चरण टूटता है, यह ठीक-ठीक बताइए।

हल

हल — अभ्यास 18.7.

(क) सरल संबद्धता ठीक दो बार प्रवेश करती है, शून्य-रहित फलनों के समविश्लेषिक वर्गमूलों के अस्तित्व के माध्यम से (परिभाषा 18.8): चरण 0 में ( $z - b$ का मूल) और चरण 2 में ( $\varphi_a\circ f$ का मूल)। (ख) $\Omega \neq \C$ चरण 0 का बिंदु $b$ देता है — उसके बिना कुल $\mathcal F$ में एकैकी परिबद्ध प्रतिचित्रण ही नहीं होते (ल्यूविल)। (ग) संबद्धता का उपयोग तब-तब होता है जब तत्समता प्रमेय या हुर्विट्स (अभ्यास 17.8) बोलते हैं: चरम सीमा “एकैकी या अचर” होती है, और अचरता $s > 0$ से अपवर्जित है; तथा “शून्य अवकलज से अचरता” में भी। $\C$ के लिए विफलता: चरण 0 असंभव, और निष्कर्ष असत्य (अभ्यास 18.5(क))। वलय के लिए विफलता: वह सरल संबद्ध नहीं है — वर्गमूल रचना टूट जाती है (उदाहरणार्थ स्वयं $z$ , जो $A$ पर शून्य-रहित है, का कोई समविश्लेषिक वर्गमूल नहीं है: $\frac12\int_\sigma\frac{\dd z}z \notin 2\iu\pi\Z$ के साथ अभ्यास 18.5(ख) वाला वही सूचकांक परिकलन) — और निष्कर्ष भी असत्य है।

अभ्यास 18.8 ★★

$\mathbb D$ पर इन परिसीमा आँकड़ों के लिए दिरिक्ले समस्या हल कीजिए: (क) $g(\eu^{\iu t}) = \cos t$ ; (ख) $g(\eu^{\iu t}) = \cos^2 t$ ; (ग) $g = \mathbf 1_{\text{ऊपरी अर्ध-वृत्त}}$ — (ग) के लिए $u(0)$ परिकलित कीजिए और माध्य मान गुण से उसकी व्याख्या कीजिए। ( $g$ का फूरिये श्रेणी में प्रसार कीजिए और $P_r$ की श्रेणी का उपयोग कीजिए: $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_n c_n(g) r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ ।)

हल

हल — अभ्यास 18.8.

प्वासों समाकल में $g$ का फूरिये प्रसार प्रतिस्थापित करके और $\frac1{2\pi}\int P_r(\varphi - t)\eu^{\iu nt}\dd t = r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ ( $P_r$ की श्रेणी से पढ़ा गया) का उपयोग करने पर: $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_nc_n(g)\,r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ , जिसमें अदला-बदली प्रसामान्य अभिसरण ( $\abs{c_n} \leq \norm g_\infty$ , $r < 1$ ) से उचित है।

(क) $g = \cos t$ : $c_{\pm1} = \frac12$ , अतः $u = r\cos\varphi = \operatorname{Re}z = x$ — वस्तुतः सही परिसीमा मानों के साथ प्रसंवादी।

(ख) $\cos^2t = \frac12 + \frac{\cos 2t}2$ : $u = \frac12 + \frac{r^2\cos2\varphi}2 = \frac12 + \frac{\operatorname{Re}(z^2)}2 = \frac12 + \frac{x^2 - y^2}{2}$ ।

(ग) $g = \mathbf 1_{(0,\pi)}$ (ऊपरी अर्ध-वृत्त): $n \neq 0$ के लिए $c_0 = \frac12$ और $c_n = \frac{1 - (-1)^n}{2\iu\pi n}$ , अतः

u(r\eu^{\iu\varphi}) = \frac12 + \frac2\pi\sum_{k\geq0} \frac{r^{2k+1}\sin\bigl((2k+1)\varphi\bigr)}{2k + 1}, \qquad u(0) = \frac12 :

अर्थात् केंद्र ठीक परिसीमा आँकड़े का औसत देखता है — साक्षात् माध्य मान गुण।

अभ्यास 18.9 ★★★

(हार्नाक) मान लीजिए $u \geq 0$ $\mathbb D$ पर प्रसंवादी है। $\abs z = r < 1$ के लिए सिद्ध कीजिए:

\frac{1 - r}{1 + r}\,u(0) \;\leq\; u(z) \;\leq\; \frac{1 + r}{1 - r}\,u(0)

(प्वासों नाभिक को $\frac{1-r}{1+r}$ और $\frac{1+r}{1-r}$ के बीच परिबद्ध कीजिए; निरूपण को थोड़े छोटे चक्रों पर लगाइए और सीमा लीजिए)। निष्कर्ष निकालिए: $\C$ पर नीचे से परिबद्ध कोई प्रसंवादी फलन अचर होता है।

हल

हल — अभ्यास 18.9.

$(1-r)^2 \leq 1 - 2r\cos\theta + r^2 \leq (1+r)^2$ से:

\frac{1-r}{1+r} = \frac{1 - r^2}{(1+r)^2} \leq P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{(1 - r)^2} = \frac{1+r}{1-r} .

$\mathbb D$ पर प्रसंवादी $u \geq 0$ और $s < 1$ के लिए: $u_s(z) = u(sz)$ $\bar{\mathbb D}$ के किसी प्रतिवेश पर प्रसंवादी है, अतः वह अपने प्वासों समाकल के बराबर है (प्रमेय 18.12, अद्वितीयता, अपने ही परिसीमा मानों पर लगाई गई); और अष्टि को दबाकर तथा माध्य मान $\frac1{2\pi}\int u_s(\eu^{\iu t})\dd t = u(0)$ का उपयोग करके:

\frac{1-r}{1+r}\,u(0) \leq u(s\,r\eu^{\iu\varphi}) \leq \frac{1+r}{1-r}\,u(0).

स्थिर $r\eu^{\iu\varphi}$ पर $s \to 1^-$ लीजिए ( $u$ की सांतत्य): अतः हार्नाक असमिकाएँ। यदि $u$ $u \geq m$ के साथ $\C$ पर प्रसंवादी हो: तो चक्रों $D(0, R)$ पर $u - m$ पर, अर्थात् $z \mapsto u(Rz) - m$ पर, हार्नाक लगाइए: स्थिर $z$ और $r = \abs z/R \to 0$ के लिए दोनों परिबंध $u(0) - m$ की ओर जाते हैं: $u(z) = u(0)$ — अचर (एकपक्षीय परिबंध से द्विपक्षीय ल्यूविल)।

अभ्यास 18.10 ★★

प्रसंवादिता की अनुरूप अपरिवर्तिता का उपयोग करते हुए (जब $u$ प्रसंवादी और $f$ समविश्लेषिक हो तो $u\circ f$ प्रसंवादी होता है — इसे स्थानीय रूप से प्रतिज्ञप्ति 18.11 से सिद्ध कीजिए), परिसीमा आँकड़ों $\mathbf 1_{\intoo{-\infty}0}$ के साथ ऊपरी अर्ध-समतल पर दिरिक्ले समस्या हल कीजिए: दर्शाइए कि

u(x + \iu y) = \frac1\pi\,\arg(x + \iu y) \qquad (\arg \in \intoo0\pi \text{, } \mathbb H \text{ पर})

$\mathbb H$ पर प्रसंवादी है (किसी समविश्लेषिक लघुगणक का काल्पनिक भाग) और प्रत्येक $x \neq 0$ पर अभीष्ट परिसीमा सीमाएँ रखता है, और उसे केली से चक्र पर ले जाकर अभ्यास 18.8(ग) पुनः व्युत्पन्न कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 18.10.

स्थानीय रूप से समविश्लेषिक $F$ के साथ $u = \operatorname{Re}F$ (प्रतिज्ञप्ति 18.11), अतः $u\circ f = \operatorname{Re}(F\circ f)$ जहाँ भी परिभाषित हो वहाँ प्रसंवादी है: अर्थात् प्रसंवादिता अनुरूप रूप से निश्चर है। $\mathbb H$ पर: मुख्य लघुगणक $\mathbb H$ पर समविश्लेषिक $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ देता है, अतः $u = \frac1\pi\arg z = \operatorname{Im}\bigl(\frac1\pi\log z\bigr)$ प्रसंवादी है, जिसकी परिसीमा सीमाएँ ये हैं: $x > 0$ के लिए $\arg \to 0$ , $u \to 0$ ; और $x < 0$ के लिए $\arg \to \pi$ , $u \to 1$ : अर्थात् प्रत्येक $x \neq 0$ पर आँकड़ा $\mathbf 1_{\intoo{-\infty}0}$ । केली प्रतिचित्रण से अंतरित करने पर (जो व्युत्क्रमण के बाद $\mathbb D \to \mathbb H$ भेजता है और ऊपरी अर्ध-वृत्त को ऋणात्मक अक्ष से मिला देता है, तीन परिसीमा बिंदुओं का पीछा करके नियत घूर्णन तक), $u\circ(\text{केली})$ अभ्यास 18.8(ग) की चक्र समस्या हल कर देता है; और केंद्र पर मान लेने से वहाँ $u = \frac12$ पुनः मिल जाता है, तथा संवृत रूप $\frac1\pi\arg$ को $\sum\frac{r^{2k+1}\sin((2k+1)\varphi)}{2k+1} = \frac12\arctan\frac{2r\sin\varphi}{1 - r^2}$ -प्रकार की सर्वसमिकाओं का योग लेकर श्रेणी के विरुद्ध जाँचा जा सकता है — अर्थात् उसी उत्तर तक प्रारंभिक मार्ग।

अभ्यास 18.11 ★★

(चक्र में स्थिर बिंदु और पुनरावृत्ति) मान लीजिए $f\colon\mathbb D \to \mathbb D$ समविश्लेषिक है। (क) दर्शाइए कि यदि $f$ के दो भिन्न स्थिर बिंदु हों, तो $f = \mathrm{id}$ (किसी स्वसमाकारिता से एक को $0$ पर लाइए और श्वार्ट्स की समता स्थिति लगाइए)। (ख) मान लीजिए $f(0) = 0$ और $f$ कोई घूर्णन नहीं है। दर्शाइए कि पुनरावृत्तियाँ प्रत्येक संहत $\bar D(0, r)$ , $r < 1$ पर एकसमान रूप से $f^{\circ n} \to 0$ (श्वार्ट्स $c_r < 1$ के साथ $\bar D(0,r)$ पर $\abs{f(z)} \leq c_r\abs z$ देता है — इस कड़े नियतांक को $f(z)/z$ पर लगाए गए उच्चतम सिद्धांत से उचित ठहराइए)। (ग) $f(z) = \frac{z^2 + z}2$ पर दर्शाइए: स्थिर बिंदु, और $z_0 = \frac12$ की कक्षा की अभिसरण दर।

हल

हल — अभ्यास 18.11.

(क) मान लीजिए $a \neq b$ स्थिर है। $\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar az}$ ( $a$ और $0$ की अदला-बदली करने वाली कोई स्वसमाकृति) से संयुग्मन करने पर $g = \varphi_a\circ f\circ\varphi_a^{-1}$ $0$ और बिंदु $c = \varphi_a(b) \neq 0$ को स्थिर रखता है। श्वार्ट्स: $\abs{g(z)} \leq \abs z$ , और $z = c$ पर बराबरी लागू है ( $g(c) = c$ ): बराबरी की स्थिति $\abs\lambda = 1$ के साथ $g(z) = \lambda z$ अनिवार्य कर देती है, और $\lambda c = c$ $\lambda = 1$ दे देता है: $g = \mathrm{id}$ , अतः $f = \mathrm{id}$ ।

(ख) $h(z) = f(z)/z$ ( $0$ पर विलोपनीय एकलता) $\abs h \leq 1$ (श्वार्ट्स) के साथ $\mathbb D$ पर समविश्लेषिक है; और सर्वत्र $\abs h < 1$ , अन्यथा उच्चतम सिद्धांत ( $\abs h$ का आंतरिक उच्चिष्ठ) $h$ को कोई एकमापांकी अचर बना देता, अर्थात् $f$ को कोई घूर्णन — जो अपवर्जित है। संहत $\bar D(0,r)$ पर $c_r = \max\abs h < 1$ , अतः वहाँ $\abs{f(z)} \leq c_r\abs z$ ; इसके अतिरिक्त $f$ $\bar D(0,r)$ को स्वयं में भेजता है ( $c_r\abs z \leq r$ ), अतः परिबंध की पुनरावृत्ति होती है: $\bar D(0, r)$ पर एकसमान रूप से $\abs{f^{\circ n}(z)} \leq c_r^n\,r \to 0$ ।

(ग) $\frac{z^2 + z}2$ के स्थिर बिंदु: $z^2 + z = 2z$ तभी और केवल तभी जब $z(z - 1) = 0$ ; और केवल $z = 0$ $\mathbb D$ में है ( $z = 1$ परिसीमा पर है)। वह कोई घूर्णन नहीं ( $f'(0) = \frac12$ ), अतः कक्षाएँ $0$ की ओर जाती हैं; और मात्रात्मक रूप से $f(z) = \frac z2(1 + z)$ $\abs z \leq \frac12$ पर $\abs{f(z)} \leq \frac{3}{4}\abs z$ देता है, तथा कक्षा के छोटी हो जाने पर $\abs{f(z)} \approx \frac{\abs z}2$ : अर्थात् अनंतस्पर्शी रूप से अनुपात $f'(0) = \frac12$ के साथ ज्यामितीय। $z_0 = \frac12$ से: $z_1 = \frac38$ , $z_2 \approx 0.258$ , $z_3 \approx 0.162$ — प्रति चरण आधा, जैसा गुणक भविष्यवाणी करता है।

अभ्यास 18.12 ★★

(प्रसंवादी संयुग्म, मूर्त रूप में) मान लीजिए $u(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y$ । (क) जाँचिए कि $u$ $\R^2$ पर प्रसंवादी है, और कोशी–रीमान समीकरणों का समाकलन करके समस्त प्रसंवादी संयुग्म $v$ ढूँढ़िए (अर्थात् ऐसे कि $u + \iu v$ समविश्लेषिक हो); $f(z) = u + \iu v$ को $z$ के बहुपद के रूप में पहचानिए। (ख) दर्शाइए कि किसी तारकाकार विवृत समुच्चय पर प्रत्येक प्रसंवादी फलन कोई प्रसंवादी संयुग्म स्वीकार करता है, जो किसी योज्य अचर तक अद्वितीय है ( $1$ -रूप $-u_y\,\dd x + u_x\,\dd y$ संवृत है; प्रमेय 16.8 की आद्यंतर यंत्रावली, अथवा अध्याय 21 की पोंकारे प्रमेयिका)। (ग) $\C^*$ पर मानक प्रतिउदाहरण दीजिए: $u = \ln\abs z$ का कोई वैश्विक संयुग्म नहीं है — इसे कोणीय रूप और घूर्णन संख्या (अध्याय 21) से जोड़िए।

हल

हल — अभ्यास 18.12.

(क) $\Delta u = 6x - 6x + 0 = 0$ । कोशी–रीमान $v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2$ और $v_x = -u_y = 6xy - 2$ माँगते हैं। पहले का $y$ में समाकलन: $v = 3x^2y - y^3 + c(x)$ ; और दूसरे में डालने पर: $6xy + c'(x) = 6xy - 2$ , अतः $c(x) = -2x + C$ । इस प्रकार $v = 3x^2y - y^3 - 2x + C$ और

f = u + \iu v = (x^3 - 3xy^2) + \iu(3x^2y - y^3) + 2y - 2\iu x + \iu C = z^3 - 2\iu z + \iu C .

(ख) रूप $\omega = -u_y\,\dd x + u_x\,\dd y$ ठीक इसलिए संवृत है कि $\Delta u = 0$ ( $\partial_y(-u_y) = -u_{yy} = u_{xx} = \partial_x(u_x)$ )। किसी तारकाकार विवृत समुच्चय पर पोंकारे प्रमेयिका (प्रमेय 21.15; अथवा समविश्लेषिक $u_x - \iu u_y$ पर लगाई गई प्रमेय 16.8 की आद्यंतर रचना) $\dd v = \omega$ वाला $v$ दे देती है, अर्थात् कोशी–रीमान निकाय: अतः $u + \iu v$ समविश्लेषिक है। दो संयुग्म लुप्त प्रवणक वाले किसी फलन भर भिन्न होते हैं: अर्थात् कोई अचर (संबद्धता)।

(ग) $\C^*$ पर $u = \ln\abs z$ के लिए: $\omega = -u_y\dd x + u_x\dd y = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2} = \omega_\theta$ , अर्थात् कोणीय रूप (उदाहरण 21.14), जिसका इकाई वृत्त के अनुदिश समाकल $2\pi \neq 0$ है: अतः यथार्थ नहीं, इसलिए कोई वैश्विक संयुग्म विद्यमान नहीं — कोई संयुग्म कोणांक का कोई संतत निर्धारण होता, और घूर्णन संख्या ही ठीक वह बाधा है। स्थानीय रूप से (किसी भी तारकाकार उपप्रांत पर) $v = \arg z$ काम करता है और $u + \iu v = \log z$ : अतः विफलता वैश्विक है, स्थानीय नहीं।

18.7 समस्या: क्षेत्रफल प्रमेय और क्योबे की चतुर्थांश प्रमेय

समस्या 18.1

सप्ताहांत समस्या — किसी एकमानी प्रतिचित्रण को कितना ढकना ही पड़ता है?

एकमानी फलन कोई समविश्लेषिक एकैकी प्रतिचित्रण होता है। चक्र पर मानकीकृत एकमानी फलन,

\mathcal S = \bigl\{f \in \mathcal H(\mathbb D) \text{ एकैकी},\ f(z) = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \cdots\bigr\},

कठोरता से बँधे होते हैं: हम बीबरबाख की असमिका $\abs{a_2} \leq 2$ सिद्ध करते हैं और उससे क्योबे चतुर्थांश प्रमेय निकालते हैं: किसी भी $f \in \mathcal S$ का प्रतिबिंब चक्र $D(0, \frac14)$ को अंतर्विष्ट करता है — अनुरूप ज्यामिति का तीक्ष्ण सार्वत्रिक नियतांक।

भाग I — क्षेत्रफल प्रमेय। मान लीजिए $g(w) = w + b_0 + \frac{b_1}w + \frac{b_2}{w^2} + \cdots$ $\{\abs w > 1\}$ पर समविश्लेषिक और एकैकी है।

$\rho > 1$ के लिए मान लीजिए $A_\rho$ संहत समुच्चय $K_\rho = \C\setminus g(\{\abs w > \rho\})$ का क्षेत्रफल (लेबेग माप) है, अर्थात् चिकने जॉर्डन वक्र $g(C_\rho)$ से घिरा क्षेत्र। दूसरे वर्ष के खंड की ग्रीन–रीमान प्रमेय के क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करते हुए — घिरा क्षेत्रफल धनात्मक अभिविन्यास वाली परिसीमा पर $\frac1{2\iu} \oint\bar\zeta\,\dd\zeta$ है — दर्शाइए कि

$A_\rho = \frac{1}{2\iu}\int_{C_\rho} \overline{g(w)}\,g'(w)\,\dd w = \pi\Bigl(\rho^2 - \sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2\rho^{-2n}\Bigr) :$

और $C_\rho$ पर $\bar g$ तथा $g'$ की लोरां श्रेणी प्रतिस्थापित करके पदशः समाकलन कीजिए (प्रसामान्य अभिसरण; केवल आवृत्ति-शून्य गुणनफल बचते हैं)।
$\rho \to 1^+$ लीजिए और क्षेत्रफल प्रमेय निष्कर्ष के रूप में निकालिए:

$\sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2 \;\leq\; 1 .$

विशेष रूप से $\abs{b_1} \leq 1$ । $\abs{b_1} = 1$ कब होता है?

भाग II — बीबरबाख का $\abs{a_2} \leq 2$ । मान लीजिए $f = z + a_2z^2 + \cdots \in \mathcal S$ ।

दर्शाइए कि $f(z^2)/z^2$ $\mathbb D$ पर समविश्लेषिक और शून्य-रहित है, और $\varphi(0) = 1$ के साथ कोई समविश्लेषिक वर्गमूल $\varphi$ स्वीकार करता है; $h(z) = z\varphi(z^2)$ रखिए, जिससे $h(z)^2 = f(z^2)$ । दर्शाइए कि $h$ $\mathbb D$ पर प्रसार $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 + \cdots$ वाला एक विषम एकमानी फलन है। (एकैकीपन: $h(z)^2 = h(z')^2$ से $z^2 = z'^2$ अनिवार्य हो जाता है; पूरा करने के लिए विषमता का उपयोग कीजिए।)
$\{\abs w > 1\}$ पर $g(w) = 1/h(1/w) = w - \frac{a_2}{2w} + \cdots$ पर क्षेत्रफल प्रमेय लगाइए (एकमानिता और प्रसार सत्यापित कीजिए), और $\abs{a_2} \leq 2$ निष्कर्ष निकालिए।
दर्शाइए कि क्योबे फलन

$k(z) = \frac{z}{(1 - z)^2} = \sum_{n\geq1}n\,z^n$

$\mathcal S$ में है, उसका $a_2 = 2$ है, और वह $\mathbb D$ को $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$ पर भेजता है ( $k = \frac14\bigl[\bigl(\frac{1+z}{1 - z}\bigr)^2 - 1\bigr]$ लिखिए और प्रतिबिंबों का अनुसरण कीजिए): अतः आगे आने वाली सभी असमिकाएँ तीक्ष्ण हैं।

भाग III — चतुर्थांश प्रमेय।

मान लीजिए $f \in \mathcal S$ और $c \notin f(\mathbb D)$ । दर्शाइए कि

$F(z) = \frac{c\,f(z)}{c - f(z)}$

$\mathcal S$ में है, और उसका द्वितीय गुणांक परिकलित कीजिए: $A_2 = a_2 + \frac1c$ ।
$f$ और $F$ दोनों पर बीबरबाख लगाइए: निष्कर्ष निकालिए $\abs{\frac1c} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ , अर्थात् $\abs c \geq \frac14$ । प्रत्येक छोड़े गए मान का मापांक $\geq \frac14$ होता है: अतः $f(\mathbb D) \supseteq D(0, \frac14)$ — क्योबे की चतुर्थांश प्रमेय। क्योबे फलन पर तीक्ष्णता जाँचिए।
मात्रात्मक रीमान-प्रतिचित्रण आकलन निकालिए: यदि $\varphi \colon \Omega \to \mathbb D$ $z_0$ पर प्रमेय 18.9 का रीमान प्रतिचित्रण हो, तो

$\frac{d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)}{4} \;\leq\; \frac1{\varphi'(z_0)} \;\leq\; 4\,d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)$

— कम से कम बाईं असमिका उपयुक्त रूप से मानकीकृत $\varphi^{-1}$ पर क्योबे लगाकर सिद्ध कीजिए, और दाईं चक्र $D(z_0, d) \subseteq \Omega$ पर $\varphi$ पर श्वार्ट्स लगाकर।

भाग IV — परिप्रेक्ष्य।

बीबरबाख ने (1916) सभी $n$ के लिए $\abs{a_n} \leq n$ की परिकल्पना की थी, जिसमें समता केवल क्योबे फलन के घूर्णनों के लिए; और दे ब्रांज ने 1985 में उसे सिद्ध कर दिया। क्योबे फलन और उसके घूर्णनों $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z)$ के लिए इस परिकल्पना को हाथ से सत्यापित कीजिए। फिर प्रश्न 4 के प्रसार को एक पद और आगे बढ़ाइए: $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$ लिखकर दर्शाइए कि $c_5 = \frac{a_3}2 - \frac{a_2^2}8$ और

$g(w) = w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} + \Bigl(\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} + \cdots ,$

अतः क्षेत्रफल प्रमेय परिष्कृत असमिका $\bigl|\frac{a_2}2\bigr|^2 + 3\bigl|\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\bigr|^2 \leq 1$ दे देती है। इसे क्योबे फलन पर जाँचिए ( $a_2 = 2$ , $a_3 = 3$ )।

भाग V — विरूपण प्रमेय। बीबरबाख की असमिका, जिसे स्वसमाकारिताओं द्वारा चक्र भर घुमाया गया हो, $f'$ को सर्वत्र नियंत्रित कर देती है। $f \in \mathcal S$ स्थिर कीजिए।

(क्योबे रूपांतर) $z_0 \in \mathbb D$ के लिए $\varphi(z) = \frac{z + z_0}{1 + \bar z_0z}$ लीजिए, जो $\varphi(0) = z_0$ वाली चक्र स्वसमाकारिता (प्रमेय 18.5) है। दर्शाइए कि

$F(z) = \frac{f(\varphi(z)) - f(z_0)} {f'(z_0)\,\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)}$

$\mathcal S$ में है (एकमानिता विरासत में मिलती है; $\varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2$ परिकलित कीजिए और मानकीकरण जाँचिए; स्मरण कीजिए कि एकैकी $f$ के लिए $f' \neq 0$ , परिभाषा 18.1)।
$F$ का द्वितीय गुणांक $A_2 = \frac12F''(0)$ परिकलित कीजिए:

$A_2 = \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr) \frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] ,$

और बीबरबाख (प्रश्न 4) से $z = r\eu^{\iu\theta}$ के लिए मूल असमिका निकालिए:

$\Bigl|\,z\,\frac{f''(z)}{f'(z)} - \frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr| \;\leq\; \frac{4r}{1 - r^2} .$
वास्तविक भाग निकालिए:

$\frac{2r^2 - 4r}{1 - r^2} \;\leq\; \operatorname{Re}\Bigl(z\,\frac{f''(z)}{f'(z)}\Bigr) \;\leq\; \frac{2r^2 + 4r}{1 - r^2} .$
दर्शाइए कि $z = t\eu^{\iu\theta}$ पर $\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl| f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr| = \frac1t \operatorname{Re}\bigl(z\frac{f''(z)}{f'(z)}\bigr)$ (किसी वास्तविक चर के अलुप्त $\mathcal C^1$ फलन $g$ के लिए $\frac{\dd}{\dd t}\log\abs g = \operatorname{Re}(g'/g)$ ), और किरण के अनुदिश प्रश्न 12 के परिबंधों का समाकलन करके विरूपण प्रमेय प्राप्त कीजिए:

$\frac{1 - r}{(1 + r)^3} \;\leq\; \abs{f'(z)} \;\leq\; \frac{1 + r}{(1 - r)^3}, \qquad \abs z = r .$
वृद्धि प्रमेय निकालिए:

$\frac{r}{(1 + r)^2} \;\leq\; \abs{f(z)} \;\leq\; \frac{r}{(1 - r)^2}, \qquad \abs z = r$

(ऊपरी परिबंध: रेखाखंड $[0, z]$ पर $f'$ का समाकलन कीजिए; निचला परिबंध: यदि $\abs{f(z)} < \frac14$ हो, तो प्रश्न 7 से रेखाखंड $[0, f(z)]$ $f(\mathbb D)$ में होता है; उसे $f^{-1}$ से पीछे खींचिए — जो उपप्रमेय 17.10 से समविश्लेषिक है — और $\abs{\dd\zeta} \geq \dd\abs\zeta$ का उपयोग करते हुए $\abs{f(z)} = \int_\gamma\abs{f'(\zeta)} \,\abs{\dd\zeta} \geq \int_0^r\frac{1 - t}{(1 + t)^3}\,\dd t$ को परिबद्ध कीजिए)।
सत्यापित कीजिए कि क्योबे फलन चारों परिबंधों में समता प्राप्त कर लेता है, ऊपरी वालों के लिए $z = r$ पर और निचले वालों के लिए $z = -r$ पर: अर्थात् $k$ एक साथ $\mathcal S$ का सबसे अधिक फैलाने वाला और, प्रतिध्रुव पर, सबसे अधिक सिकोड़ने वाला सदस्य है।

भाग VI — चरम कठोरता। अब तक की प्रत्येक असमिका में समता क्योबे फलन को घूर्णन तक पहचान देती है। हम इसे सिद्ध करते हैं, फिर फसल काटते हैं।

मान लीजिए $f \in \mathcal S$ के लिए $\abs{a_2} = 2$ । प्रश्न 2–4 में समता का पीछा कीजिए: क्षेत्रफल प्रमेय $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ अनिवार्य कर देती है; $h$ की विषमता $g$ को विषम बना देती है, अतः $b_0 = 0$ ; उलटकर $h$ ढूँढ़िए, फिर $f$ , और निष्कर्ष निकालिए कि

$f(z) = \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}z\bigr) \quad\text{जहाँ } \eu^{\iu\theta} = -\eu^{\iu\alpha} :$

अर्थात् $\abs{a_2} = 2$ वाले $\mathcal S$ के एकमात्र सदस्य क्योबे फलन के घूर्णन हैं।
दर्शाइए कि यदि $f \in \mathcal S$ ठीक $\abs c = \frac14$ वाला कोई मान $c$ छोड़ दे, तो $f$ क्योबे फलन का कोई घूर्णन है, और $c = -\eu^{-\iu\theta}/4$ पहचानिए (प्रश्न 7 की शृंखला $4 = \abs{1/c} = \abs{A_2 - a_2} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ में समता का पीछा कीजिए): अर्थात् चतुर्थांश प्रमेय का नियतांक केवल उसी चरम कुल से प्राप्त होता है।
(सस्ते में गुणांक) वृद्धि प्रमेय को वृत्त $\abs z = 1 - \frac1n$ पर कोशी आकलनों (प्रमेय 16.10) के साथ मिलाकर सिद्ध कीजिए

$\abs{a_n} \;\leq\; \eu\,n^2 \qquad (n \geq 2) .$

(दे ब्रांज, 1985: $\abs{a_n} \leq n$ ; गुणक $\eu n$ प्रारंभिक औजारों की कीमत है।)
(उपचक्रों का आच्छादन) दर्शाइए कि प्रत्येक $0 < r < 1$ के लिए

$f\bigl(D(0, r)\bigr) \supseteq D\Bigl(0, \frac{r}{(1 + r)^2}\Bigr),$

जो क्योबे फलन के लिए तीक्ष्ण है, और $r \to 1^-$ के रूप में चतुर्थांश प्रमेय पुनः प्राप्त कीजिए। (विवृत प्रतिबिंब $f(D(0,r))$ के परिसीमा बिंदु $f(\partial D(0,r))$ पर होते हैं, अतः प्रश्न 14 से उनका मापांक $\geq \frac{r}{(1+r)^2}$ होता है; और $0$ से किसी छोटे मापांक वाले छूटे बिंदु तक का कोई रेखाखंड उस परिसीमा को पार करता।)
(प्रत्येक बिंदु पर क्योबे) मान लीजिए $f$ $\mathbb D$ पर एकमानी है, और आवश्यक नहीं कि मानकीकृत भी, तथा $z_0 \in \mathbb D$ । सिद्ध कीजिए

$\tfrac14\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)} \;\leq\; d\bigl(f(z_0), \partial f(\mathbb D)\bigr) \;\leq\; \bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)}$

(बाईं ओर: प्रश्न 10 के क्योबे रूपांतर पर चतुर्थांश प्रमेय; दाईं ओर: $\psi^{-1}\circ\hat g$ पर श्वार्ट्स (प्रमेय 18.4), जहाँ $\hat g(w) = f^{-1}\bigl(f(z_0) + dw\bigr)$ , $d$ दूरी है, और $\psi$ $0$ को $z_0$ पर भेजने वाली कोई चक्र स्वसमाकारिता)। $\partial f(\mathbb D)$ अरिक्त क्यों है?
प्रश्न 20 को $z_0 = r \in \intoo01$ पर $f = k$ पर जाँचिए: $d\bigl(k(r), \partial k(\mathbb D)\bigr) = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2}$ परिकलित कीजिए और सत्यापित कीजिए कि बाईं असमिका एक समता है: अर्थात् क्योबे फलन $\intoo01$ के प्रत्येक बिंदु पर अपनी ही प्रमेय को संतृप्त कर देता है।
(सार) दस पंक्तियों में: क्षेत्रफल प्रमेय के मूल में कौन-सा एक सिद्धांत है, और बीबरबाख, चतुर्थांश प्रमेय, विरूपण, वृद्धि और आच्छादन उससे कैसे निकलते हैं? प्रमेय 18.4 के श्वार्ट्स–पिक संसार से तुलना कीजिए: दोनों में एक ही आंतरिक असमिका पूरी ज्यामिति को कठोर कर देती है, और चरम अवयव घूर्णन तक अद्वितीय होते हैं।

भाग VII — संहतता, प्रतिलोम, और एक वास्तविकता जाँच।

दर्शाइए कि वर्ग $\mathcal S$ स्थानीय एकसमान अभिसरण के लिए संहत है: वृद्धि प्रमेय से वह स्थानीय परिबद्ध है, अतः प्रसामान्य (प्रमेय 18.7); और $\mathcal S$ के सदस्यों की कोई स्थानीय एकसमान सीमा पुनः $\mathcal S$ में होती है (मानकीकरण अवकलजों के वाइरश्ट्रास अभिसरण से सीमा तक चले जाते हैं; और एकैकीपन हुर्विट्स अभ्यास 17.8 से बचा रहता है, क्योंकि सीमा अचरेतर है)। बीबरबाख जैसी चरम समस्याओं के लिए यह क्यों महत्त्वपूर्ण है?
$f \in \mathcal S$ के लिए $0$ के निकट परिभाषित $g = f^{-1}$ लीजिए। $g(w) = w - a_2w^2 + O(w^3)$ दर्शाइए, अतः प्रतिलोम का द्वितीय गुणांक भी वही तीक्ष्ण परिबंध $\abs{A_2} = \abs{a_2} \leq 2$ मानता है, जिसमें समता ठीक घूर्णित क्योबे फलनों के लिए होती है।
निर्धारित कीजिए कि किन $a \in \C$ के लिए बहुपद $f(z) = z + az^2$ $\mathcal S$ में है: दर्शाइए कि $f$ $\mathbb D$ पर एकैकी है तभी और केवल तभी जब $\abs a \leq \frac12$ ( $f(z_1) - f(z_2)$ का गुणनखंडन कीजिए)। निष्कर्ष निकालिए: द्वितीय घात के बहुपदों के लिए वास्तविक गुणांक परिबंध $\frac12$ है, जो बीबरबाख के $2$ से चार गुना छोटा है — अर्थात् $\mathcal S$ के चरम अवयव सचमुच अबीजीय वस्तुएँ हैं, और कोई बहुपद उनके पास तक नहीं पहुँचता।

हल

हल — समस्या 18.1.

1. $g$ एकैकी और समविश्लेषिक है; $C_\rho$ ( $\rho > 1$ ) पर वह चिकना है, और घिरा हुआ क्षेत्रफल $\frac1{2\iu}\oint_{g(C_\rho)}\bar\zeta\,\dd\zeta$ है (दूसरे वर्ष का ग्रीन–रीमान क्षेत्रफल सूत्र, धनात्मक अभिविन्यास के साथ लगाया गया)। $\zeta = g(w)$ , $w = \rho\eu^{\iu\theta}$ प्रतिस्थापित करने पर:

A_\rho = \frac1{2\iu}\int_{C_\rho}\overline{g(w)}\,g'(w)\dd w = \frac\rho2\int_0^{2\pi}\overline{g(\rho\eu^{\iu\theta})} \,g'(\rho\eu^{\iu\theta})\,\eu^{\iu\theta}\,\dd\theta .

$\bar g = \rho\eu^{-\iu\theta} + \bar b_0 + \sum_m\bar b_m\rho^{-m}\eu^{\iu m\theta}$ और $g' = 1 - \sum_nnb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta}$ डालिए: $\eu^{\iu\theta}$ से गुणा करने के बाद $\theta$ -समाकलन को केवल आवृत्ति-शून्य गुणनफल झेल पाते हैं (प्रसामान्य अभिसरण पदशः काम को उचित ठहराता है): युग्म $(\rho\eu^{-\iu\theta})\cdot1$ $2\pi\rho$ का योगदान देता है, और प्रत्येक युग्म $\bar b_n\rho^{-n}\eu^{\iu n\theta}\cdot(-nb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta})$ $-2\pi n\abs{b_n}^2\rho^{-2n-1}$ का:

A_\rho = \pi\rho^2 - \pi\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n}.

2. क्षेत्रफल ऋणेतर होते हैं: अतः प्रत्येक $N$ के लिए $\sum_{n\leq N}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n} \leq \rho^2$ ; पहले $\rho \to 1^+$ फिर $N \to \infty$ लीजिए: $\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2 \leq 1$ । $\abs{b_1} \leq 1$ में बराबरी शेष सभी $b_n = 0$ अनिवार्य कर देती है: $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ , जो लंबाई $4$ के किसी रेखाखंड के पूरक पर जाता है (कोई जुकोव्स्की-प्रकार का प्रतिचित्रण): अर्थात् चरम।

3. $f(z)/z = 1 + a_2z + \cdots$ $\mathbb D$ पर समविश्लेषिक और शून्य-रहित है ( $f$ केवल $0$ पर, वह भी सरलतः, लुप्त होता है: एकैकीपन), अतः $f(z^2)/z^2$ भी, जिसका $\varphi(0) = 1$ वाला कोई समविश्लेषिक वर्गमूल $\varphi$ है (परिभाषा 18.8; $\mathbb D$ उत्तल है)। तब $h(z) = z\varphi(z^2)$ $h^2 = f(z^2)$ , $h(z) = z\bigl(1 + \frac{a_2}2z^2 + \cdots\bigr)$ (मूल के लिए द्विपद श्रेणी) संतुष्ट करता है, और $h(z) = z\varphi(z^2)$ रचना से विषम है ( $\varphi(z^2)$ सम है)। एकैकीपन: $h(z) = h(z')$ $f(z^2) = f(z'^2)$ देता है, अतः $z^2 = z'^2$ , अर्थात् $z' = \pm z$ ; और यदि $z' = -z$ हो तो विषमता $h(z) = -h(z)$ देती है, अतः $h(z) = 0$ , जिससे $z = 0$ अनिवार्य हो जाता है ( $\varphi$ शून्य-रहित): $z = z' = 0$ ।

4. $g(w) = 1/h(1/w)$ : $\abs w > 1$ के लिए $1/w \in \mathbb D\setminus\{0\}$ और वहाँ $h \neq 0$ : अतः सुपरिभाषित, एकैकी (एकैकियों का संयोजन), जिसका प्रसार $b_1 = -\frac{a_2}2$ के साथ भाग I वाले रूप का

g(w) = \frac{1}{\frac1w\bigl(1 + \frac{a_2}{2w^2} + \cdots\bigr)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} + \cdots\Bigr) = w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} + \cdots :

है। क्षेत्रफल प्रमेय $\abs{\frac{a_2}2} \leq 1$ देती है: $\abs{a_2} \leq 2$ ।

5. $k(z) = \frac z{(1-z)^2} = z\sum_{m\geq0}(m + 1)z^m = \sum_{n\geq1}nz^n$ : गुणांक $a_n = n$ , अतः $a_2 = 2$ । एकमानिता और प्रतिबिंब: $w = \frac{1 + z}{1 - z}$ के साथ $k = \frac14\bigl[w^2 - 1\bigr]$ , जो $\mathbb D$ का दाएँ अर्ध-समतल पर कोई अनुरूप प्रतिचित्रण है; $w^2$ उस अर्ध-समतल को अनुरूप रूप से $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ पर भेजता है; और फिर $\frac{\cdot - 1}4$ $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$ दे देता है: प्रत्येक चरण पर एकैकी, और प्रतिबिंब जैसा दावा किया गया।

6. $F = \frac{cf}{c - f}$ : चूँकि $c \notin f(\mathbb D)$ , अतः हर कभी लुप्त नहीं होता: $F$ समविश्लेषिक और एकैकी है ( $w \mapsto \frac{cw}{c - w}$ मोबियस है, $w = c$ के बाहर एकैकी)। प्रसार: $f = z + a_2z^2 + \cdots$ के साथ

F = f\cdot\frac1{1 - f/c} = \bigl(z + a_2z^2\bigr)\Bigl(1 + \frac zc\Bigr) + O(z^3) = z + \Bigl(a_2 + \frac1c\Bigr)z^2 + O(z^3):

$A_2 = a_2 + \frac1c$ के साथ $F \in \mathcal S$ ।

7. बीबरबाख दो बार: $\abs{a_2} \leq 2$ और $\abs{a_2 + \frac1c} \leq 2$ , अतः $\abs{\frac1c} \leq 4$ : $\abs c \geq \frac14$ । प्रत्येक छोड़ा गया मान $D(0,\frac14)$ के बाहर है, अर्थात् $f(\mathbb D) \supseteq D(0, \frac14)$ । तीक्ष्ण: क्योबे फलन $-\frac14$ छोड़ देता है (प्रश्न 5)।

8. मान लीजिए $d = d(z_0, \partial\Omega)$ और $\psi = \varphi^{-1} \colon \mathbb D \to \Omega$ , $\psi(0) = z_0$ , $\psi'(0) = 1/\varphi'(z_0) > 0$ । मानकीकरण $\tilde f(z) = \frac{\psi(z) - z_0}{\psi'(0)}$ $\mathcal S$ में है, अतः उसका प्रतिबिंब $D(0, \frac14)$ को धारण करता है; और वापस मापन करने पर $\Omega = \psi(\mathbb D) \supseteq D\bigl(z_0, \tfrac{\psi'(0)}4\bigr)$ , इसलिए $d \geq \frac{\psi'(0)}4 = \frac1{4\varphi'(z_0)}$ : बाईं असमिका। दाईं के लिए: $\varphi\circ(z_0 + d\,\cdot)$ $\mathbb D$ को $0 \mapsto 0$ के साथ $\mathbb D$ में भेजता है; और श्वार्ट्स $0$ पर उसका अवकलज परिबद्ध कर देते हैं: $d\,\varphi'(z_0) \leq 1$ , अर्थात् $\frac1{\varphi'(z_0)} \geq d$ — मिलाकर

d \leq \frac1{\varphi'(z_0)} \leq 4d .

(कथन में दिखाई गई बाईं असमिका वही शृंखला पुनर्विन्यस्त है।)

9. क्योबे फलन $a_n = n$ के लिए: पूरी परिकल्पना में बराबरी; और उसके घूर्णन $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z) = \sum n\eu^{\iu(n-1)\theta}z^n$ का भी $\abs{a_n} = n$ है। प्रश्न 4 को आगे बढ़ाने पर: $h^2 = f(z^2)$ के साथ $h = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$ ; $z^6$ -गुणांकों की तुलना: $2c_5 + \frac{a_2^2}4 = a_3$ , अतः $c_5 = \frac{a_3}2 - \frac{a_2^2}8$ । तब

g(w) = \frac1{h(1/w)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} + \Bigl(\frac{a_2^2}4 - c_5\Bigr)\frac1{w^4} + \cdots\Bigr) = w - \frac{a_2}2w^{-1} + \Bigl(\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} + \cdots,

और क्षेत्रफल प्रमेय ( $\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$ )

\Bigl|\frac{a_2}2\Bigr|^2 + 3\,\Bigl|\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr|^2 \leq 1 .

दे देती है। क्योबे जाँच ( $a_2 = 2$ , $a_3 = 3$ ): $\abs{\frac{a_2}2}^2 = 1$ और $\frac{3\cdot4}8 - \frac32 = 0$ : कुल ठीक $1$ — चरम, जैसा होना ही चाहिए।

10. $\varphi$ $\varphi(0) = z_0$ वाली कोई चक्र स्वसमाकृति है, अतः $f\circ\varphi$ $\mathbb D$ पर एकमानी है (एकैकियों का संयोजन), और $f'(z_0) \neq 0$ (परिभाषा 18.1): इसलिए $F$ सुपरिभाषित और एकमानी है। $F(0) = 0$ । भागफल नियम:

\varphi'(z) = \frac{(1 + \bar z_0z) - (z + z_0)\bar z_0} {(1 + \bar z_0z)^2} = \frac{1 - \abs{z_0}^2}{(1 + \bar z_0z)^2}, \qquad \varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2 ,

अतः $(f\circ\varphi)'(0) = f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)$ और $F'(0) = 1$ : $F \in \mathcal S$ ।

11. $G = f\circ\varphi$ के साथ: $G'' = f''(\varphi)\,\varphi'^2 + f'(\varphi)\,\varphi''$ , और $\varphi''(z) = -2\bar z_0(1 - \abs{z_0}^2)(1 + \bar z_0z)^{-3}$ $\varphi''(0) = -2\bar z_0(1 - \abs{z_0}^2)$ देता है। अतः

A_2 = \frac{G''(0)}{2f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)} = \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr) \frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] .

$F$ के लिए बीबरबाख (प्रश्न 4): $\abs{A_2} \leq 2$ , अर्थात् $\bigl|(1 - \abs{z_0}^2)\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\bigr| \leq 4$ । $z_0/(1 - \abs{z_0}^2)$ से गुणा कीजिए, जिसका मापांक $z_0 = r\eu^{\iu\theta}$ के लिए $r/(1 - r^2)$ है, और $z_0\bar z_0 = r^2$ का उपयोग कीजिए:

\Bigl|\,z_0\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - \frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr| \leq \frac{4r}{1 - r^2} .

12. वास्तविक बिंदु $c$ से $\rho$ दूरी के भीतर की किसी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग $\intcc{c - \rho}{c + \rho}$ में होता है: इसे $c = \frac{2r^2}{1-r^2}$ , $\rho = \frac{4r}{1-r^2}$ पर लगाइए।

13. अलुप्त $\mathcal C^1$ $g$ के लिए: $\log\abs g = \frac12\log(g\bar g)$ , अतः $\frac{\dd}{\dd t}\log\abs g = \frac{g'\bar g + g\bar g'}{2\abs g^2} = \operatorname{Re}\frac{g'}g$ । $g(t) = f'(t\eu^{\iu\theta})$ (शून्य-रहित: एकमानिता), $g'(t) = \eu^{\iu\theta}f''(t\eu^{\iu\theta})$ के साथ $z = t\eu^{\iu\theta}$ पर:

\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl|f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr| = \operatorname{Re}\Bigl(\eu^{\iu\theta} \frac{f''}{f'}\Bigr) = \frac1t\operatorname{Re}\Bigl(z\frac{f''}{f'}\Bigr) \in \Bigl[\frac{2t - 4}{1 - t^2},\ \frac{2t + 4}{1 - t^2}\Bigr]

त्रिज्या $t$ पर प्रश्न 12 से। चूँकि $\frac{\dd}{\dd t}\log\frac{1+t}{(1-t)^3} = \frac1{1+t} + \frac3{1-t} = \frac{2t+4}{1-t^2}$ और $\frac{\dd}{\dd t}\log\frac{1-t}{(1+t)^3} = \frac{-1}{1-t} - \frac3{1+t} = \frac{2t-4}{1-t^2}$ , अतः $0$ से $r$ तक समाकलन करने पर (तीनों फलन $t = 0$ , $f'(0) = 1$ पर लुप्त होते हैं)

\log\frac{1-r}{(1+r)^3} \leq \log\abs{f'(z)} \leq \log\frac{1+r}{(1-r)^3} :

मिलता है, अर्थात् चरघातांक लेने के बाद विरूपण प्रमेय।

14. ऊपरी: रेखाखंड $[0, z]$ के अनुदिश

\abs{f(z)} = \Bigl|\int_0^rf'(t\eu^{\iu\theta}) \eu^{\iu\theta}\dd t\Bigr| \leq \int_0^r\frac{1+t}{(1-t)^3}\dd t = \frac{r}{(1-r)^2}

( $\frac{\dd}{\dd t}\frac t{(1-t)^2} = \frac{1+t}{(1-t)^3}$ )। निचली: ध्यान दीजिए कि $r < 1$ के लिए $\frac r{(1+r)^2} < \frac14$ (वह $(1-r)^2 > 0$ कहती है), अतः यदि $\abs{f(z)} \geq \frac14$ हो तो सिद्ध करने को कुछ नहीं। अन्यथा रेखाखंड $[0, f(z)]$ $D(0, \frac14) \subseteq f(\mathbb D)$ में है (प्रश्न 7), और $\gamma = f^{-1}\circ[0, f(z)]$ $\mathbb D$ में $0$ से $z$ तक कोई $\mathcal C^1$ पथ है ( $f^{-1}$ समविश्लेषिक, उपप्रमेय 17.10)। $w = f(\zeta)$ प्रतिस्थापित करने पर

\abs{f(z)} = \int_{[0,f(z)]}\abs{\dd w} = \int_\gamma\abs{f'(\zeta)}\,\abs{\dd\zeta} \geq \int_0^1\frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3} \,\abs{\gamma'(s)}\,\dd s

$\rho = \abs\gamma$ के साथ, त्रिज्या $\rho(s)$ पर निचले विरूपण परिबंध का उपयोग करते हुए। चूँकि $\abs{\gamma'} \geq \rho'$ (जहाँ भी परिभाषित हो; $\rho$ लिपशित्ज़ है) और समाकल्य गुणक धनात्मक है, अतः

\abs{f(z)} \geq \int_0^1 \frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3}\,\rho'(s)\,\dd s = \int_0^{r}\frac{1 - u}{(1 + u)^3}\,\dd u = \frac{r}{(1 + r)^2}

( $\rho(0) = 0$ , $\rho(1) = r$ ; प्रतिस्थापन केवल एक प्रतिअवकलज $\frac{\dd}{\dd u}\frac u{(1+u)^2} = \frac{1-u}{(1+u)^3}$ का उपयोग करता है, एकदिष्टता का नहीं)।

15. $k'(z) = \frac{\dd}{\dd z}\,z(1 - z)^{-2} = \frac{1 + z}{(1 - z)^3}$ । $z = r$ पर: $k'(r) = \frac{1+r}{(1-r)^3}$ और $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ — दोनों ऊपरी परिबंध प्राप्त। $z = -r$ पर: $k'(-r) = \frac{1-r}{(1+r)^3}$ और $\abs{k(-r)} = \frac r{(1+r)^2}$ — दोनों निचले परिबंध प्राप्त। क्योबे फलन अपने धनात्मक अक्ष को दूरस्थ परिसीमा की ओर अधिकतम खींचता है और प्रतिध्रुवीय किरण को अपनी दरार की नोक की ओर अधिकतम दबा देता है।

16. $\abs{a_2} = 2$ का अर्थ है $g(w) = 1/h(1/w) = w - \frac{a_2}2w^{-1} + \cdots$ के लिए $\abs{b_1} = 1$ (प्रश्न 4); और तब क्षेत्रफल प्रमेय $\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$ शेष प्रत्येक गुणांक को मार देती है: $\eu^{\iu\alpha} = -\frac{a_2}2$ के साथ $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ । चूँकि $h$ विषम है, $g(-w) = 1/h(-1/w) = -1/h(1/w) = -g(w)$ : $g$ विषम है, अतः $b_0 = 0$ । व्युत्क्रमण करने पर $h(z) = 1/g(1/z) = \frac{z}{1 + \eu^{\iu\alpha}z^2}$ , और $f(z^2) = h(z)^2$

f(w) = \frac{w}{(1 + \eu^{\iu\alpha}w)^2} = \frac{w}{(1 - \eu^{\iu\theta}w)^2} = \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}w\bigr), \qquad \eu^{\iu\theta} = -\eu^{\iu\alpha} .

दे देता है। विलोमतः प्रत्येक घूर्णन का $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ मापांक $2$ का है: अतः बीबरबाख के चरम ठीक घुमाए गए क्योबे फलन हैं।

17. यदि $\abs c = \frac14$ के साथ $c$ छोड़ा गया हो: प्रश्न 6 $A_2 = a_2 + \frac1c$ के साथ $F \in \mathcal S$ देता है, अतः $\frac1c = A_2 - a_2$ और

4 = \Bigl|\frac1c\Bigr| = \abs{A_2 - a_2} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 2 + 2 = 4 :

अर्थात् पूरी शृंखला में बराबरी, विशेष रूप से $\abs{a_2} = 2$ । प्रश्न 16 से $f = \eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}\cdot)$ , जिसका छोड़ा गया समुच्चय $\eu^{-\iu\theta} \intoc{-\infty}{-\frac14}$ है: अतः मापांक $\frac14$ का अद्वितीय छोड़ा गया मान $c = -\eu^{-\iu\theta}/4$ है। (जाँच: $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ और $\frac1c = -4\eu^{\iu\theta}$ , अतः $A_2 = -2\eu^{\iu\theta} = -a_2$ : त्रिभुज असमिका प्रति-संरेखण से संतृप्त हो जाती है, जैसा होना ही चाहिए।)

18. वृत्त $\abs z = r$ (प्रमेय 16.10) पर कोशी आकलन, वृद्धि प्रमेय के साथ मिलकर,

\abs{a_n} \leq r^{-n}\sup_{\abs z = r}\abs f \leq r^{1-n}\,(1 - r)^{-2} .

देते हैं। $r = 1 - \frac1n$ ( $n \geq 2$ ) चुनिए: $r^{1-n} = \bigl(1 + \frac1{n-1}\bigr)^{n-1} < \eu$ (सीमा $\eu$ वाला वर्धमान अनुक्रम) और $(1 - r)^{-2} = n^2$ : $\abs{a_n} < \eu\,n^2$ ।

19. $U = f(D(0, r))$ विवृत है (उपप्रमेय 17.10) और $0$ को धारण करता है। परिसीमा: यदि $p \in \partial U$ हो, तो $z_k \in D(0, r)$ के साथ $p = \lim f(z_k)$ लिखिए; कोई उपानुक्रम $z_k \to z_\infty \in \bar D(0, r)$ देता है, और $f(z_\infty) = p \notin U$ $z_\infty \in \partial D(0, r)$ अनिवार्य कर देता है: $\partial U \subseteq f(\partial D(0, r))$ , अतः $U$ के प्रत्येक परिसीमा बिंदु का मापांक $\geq \frac r{(1+r)^2}$ है (प्रश्न 14)। अब मान लीजिए $\abs w < \frac r{(1+r)^2}$ और $w \notin U$ । रेखाखंड $[0, w]$ संबद्ध है, $U$ से ( $0$ पर) और उसके पूरक से ( $w$ पर) मिलता है, अतः वह $\partial U$ से मिलता है; पर उसके सभी बिंदुओं का मापांक $\leq \abs w < \frac r{(1+r)^2}$ है: विरोधाभास। अतः $D\bigl(0, \frac r{(1+r)^2}\bigr) \subseteq U$ । तीक्ष्णता: $k(-r) = -\frac r{(1+r)^2}$ $D(0,r)$ के किसी परिसीमा बिंदु का प्रतिबिंब है, और $k$ एकैकी है, अतः $k(-r) \notin k(D(0, r))$ : त्रिज्या बढ़ाई नहीं जा सकती। $r \to 1^-$ पर $\frac r{(1+r)^2} \to \frac14$ : अर्थात् पूरे चक्र के लिए चतुर्थांश प्रमेय।

20. पहले, $\partial f(\mathbb D) \neq \emptyset$ : अन्यथा $f(\mathbb D)$ , जो विवृत, संवृत और अरिक्त है, समूचा $\C$ होता, और $f^{-1} \colon \C \to \mathbb D$ कोई परिबद्ध अचरेतर समग्र फलन होता, जो उपप्रमेय 16.12 के विरुद्ध है। बाईं असमिका: प्रश्न 10 का क्योबे रूपांतर $F$ $\mathcal S$ में है और $F(\mathbb D) = \frac{f(\mathbb D) - f(z_0)}{f'(z_0)(1-\abs{z_0}^2)}$ ; और प्रश्न 7 से वह $D(0, \frac14)$ को धारण करता है, अतः

f(\mathbb D) \supseteq f(z_0) + D\Bigl(0,\ \tfrac14\abs{f'(z_0)}\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\Bigr) ,

और $\partial f(\mathbb D)$ का प्रत्येक बिंदु — जो विवृत समुच्चय $f(\mathbb D)$ से असंयुक्त है — $f(z_0)$ से $\geq \frac14(1-\abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$ दूरी पर है। दाईं असमिका: मान लीजिए $d = d(f(z_0), \partial f(\mathbb D)) < \infty$ । चक्र $D(f(z_0), d)$ $f(\mathbb D)$ में है: $f(z_0)$ से उसके किसी भी बिंदु तक का रेखाखंड $f(z_0)$ से $< d$ दूरी पर रहता है, अतः वह $\partial f(\mathbb D)$ से कभी नहीं मिलता, और प्रश्न 19 का संबद्धता तर्क उसे $f(\mathbb D)$ में ही रखता है। तब $\hat g(w) = f^{-1}(f(z_0) + dw)$ $\mathbb D$ को $\hat g(0) = z_0$ के साथ $\mathbb D$ में भेजता है, और $\psi(z) = \frac{z + z_0}{1 + \bar z_0z}$ के साथ $\chi = \psi^{-1}\circ\hat g$ $0$ को स्थिर रखता है: अतः श्वार्ट्स (प्रमेय 18.4) $\abs{\chi'(0)} \leq 1$ देते हैं। चूँकि $\chi'(0) = \frac{\hat g'(0)}{\psi'(0)} = \frac{d}{f'(z_0)\,(1 - \abs{z_0}^2)}$ , यह $d \leq (1 - \abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$ है।

21. $k(\mathbb D) = \C\setminus \intoc{-\infty}{-\frac14}$ , अतः $\partial k(\mathbb D) = \intoc{-\infty}{-\frac14}$ , और धनात्मक वास्तविक बिंदु $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ के लिए निकटतम परिसीमा बिंदु $-\frac14$ है:

d = k(r) + \frac14 = \frac{4r + (1-r)^2}{4(1-r)^2} = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} .

प्रश्न 20 का बायाँ सदस्य: $\frac14(1 - r^2)k'(r) = \frac14\,\frac{(1-r^2)(1+r)}{(1-r)^3} = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} = d$ : बराबरी। (दायाँ सदस्य $4d$ के बराबर है: पूरा गुणक $4$ दोनों पक्षों को पृथक करता है, और क्योबे फलन ठीक तल पर बैठता है।)

22. एकमात्र सिद्धांत पार्सेवाल है: एकमानिता अतिच्छादन मना करती है, अतः $\{\abs w > \rho\}$ के प्रतिबिंब के पूरक का क्षेत्रफल, वृत्तों पर फूरिये विधाओं में प्रसारित, ऋणेतर है — अर्थात् क्षेत्रफल प्रमेय चिह्न सहित कोई $L^2$ सर्वसमिका है। शेष सब उसी असमिका का अंतरण है: कोई वर्गमूल (प्रश्न 3) उसे $\abs{a_2} \leq 2$ में बदल देता है; किसी छोड़े गए मान पर मोबियस परावर्तन (प्रश्न 6) $\abs{a_2} \leq 2$ को चतुर्थांश प्रमेय में बदल देता है; और चक्र स्वसमाकृतियाँ (प्रश्न 10) $\abs{a_2} \leq 2$ को समूचे चक्र पर विरूपण प्रमेय के रूप में फैला देती हैं; त्रिज्य समाकलन विरूपण को वृद्धि में और वृद्धि को आच्छादन में बदल देता है। प्रत्येक चरण पर बराबरी की स्थिति भी फैलती जाती है, और सदा घुमाए गए क्योबे फलनों पर उतरती है — समूचे सिद्धांत के लिए एक ही चरम कुल, ठीक वैसे ही जैसे घूर्णन श्वार्ट्स की प्रमेयिका के अद्वितीय चरम हैं। एक आंतरिक असमिका, और उसकी बराबरी स्थिति की कठोरता, समूची ज्यामिति को शासित करती है: अनुरूप प्रतिचित्रण ऐसी ही असमिकाओं के दोहन की कला है।

23. वृद्धि प्रमेय $\abs f \leq \frac{r}{(1-r)^2}$ को प्रत्येक $\bar D(0, r)$ , $r < 1$ पर एक ही बार में सभी $f \in \mathcal S$ के लिए एकसमान रूप से परिबद्ध कर देती है: अतः स्थानीय रूप से परिबद्ध, इसलिए $\mathcal S$ कोई प्रसामान्य कुल है (प्रमेय 18.7)। यदि स्थानीय रूप से एकसमान $f_n \in \mathcal S \to f$ हो: तो $f$ समविश्लेषिक है और स्थानीय रूप से एकसमान $f_n' \to f'$ (वाइरश्ट्रास), अतः $f(0) = 0$ , $f'(0) = 1$ — विशेष रूप से $f$ अचरेतर है — और हुर्विट्स (अभ्यास 17.8) एकैकी प्रतिचित्रणों की सीमा को एकैकी बना देते हैं: $f \in \mathcal S$ । किसी संहत वर्ग पर कोई संतत फलनक (जैसे $f \mapsto \abs{a_2} = \frac{\abs{f''(0)}}2$ ) अपना उच्चतम प्राप्त कर लेता है: अर्थात् चरम फलन यह जानने से पहले ही विद्यमान होते हैं कि वे क्या हैं — गुणांक समस्याओं पर प्रत्येक विचरणात्मक आक्रमण का यही आरंभ बिंदु है, बीबरबाख वाला भी।

24. $g(w) = w + A_2w^2 + O(w^3)$ लिखिए और संयोजित कीजिए:

z = g(f(z)) = f(z) + A_2f(z)^2 + O(z^3) = z + (a_2 + A_2)z^2 + O(z^3),

अतः $A_2 = -a_2$ और $\abs{A_2} \leq 2$ (बीबरबाख), जिसमें बराबरी तभी और केवल तभी जब $\abs{a_2} = 2$ , अर्थात् तभी जब $f$ कोई घुमाया गया क्योबे फलन हो (प्रश्न 16) — और तब $g$ उसका संगत प्रतिलोम है, जो दरार वाले समतल पर परिभाषित है।

25. $f(z_1) - f(z_2) = (z_1 - z_2)\bigl(1 + a(z_1 + z_2)\bigr)$ । यदि $\abs a \leq \frac12$ हो: तो $\mathbb D$ में $z_1 \neq z_2$ के लिए $\abs{a(z_1 + z_2)} < 2\abs a \leq 1$ (कड़ाई से: $\abs{z_1 + z_2} < 2$ ), अतः दूसरा गुणक लुप्त नहीं हो सकता: इसलिए एकैकी, और $f \in \mathcal S$ (मानकीकरण अंतर्निहित हैं)। यदि $\abs a > \frac12$ हो: तो बिंदु $s = -\frac1a$ का $\abs s < 2$ है, अतः छोटे $\varepsilon > 0$ के लिए $z_{1,2} = \frac s2 \pm \varepsilon$ $\mathbb D$ में हैं, वे भिन्न हैं, और $z_1 + z_2 = s$ उस गुणक को मार देता है: $f(z_1) = f(z_2)$ , अतः एकैकी नहीं। इसलिए $\mathcal S$ $z + az^2$ को ठीक $\abs a \leq \frac12$ के लिए धारण करता है। अतः बीबरबाख का परिबंध $\abs{a_2} \leq 2$ घात $2$ के बहुपदों से उन्मुक्त रूप से असंतृप्त रहता है — क्योबे फलन के गुणांक $a_n = n$ किसी अनंत श्रेणी से आते हैं जो छोड़ी गई किरण के अनुदिश षड्यंत्र करती है, और ऐसा व्यवहार कोई बहुपद (जो $\mathcal S$ में केवल नन्हे गुणांकों के साथ ही आता है) नहीं दोहरा सकता।