6सामान्य संस्थिति

हल — अभ्यास 6.1.

(क) $\{a,b\}$ पर चार संस्थितियाँ: अविविक्त $\{\varnothing, X\}$; विविक्त; और दोनों सीयेर्पिंस्की संस्थितियाँ $\{\varnothing, \{a\}, X\}$ तथा $\{\varnothing, \{b\}, X\}$। अंतिम दोनों समस्थितिक हैं ($a, b$ की अदला-बदली): अतः तीन वर्ग। संबद्ध: विविक्त को छोड़कर सभी (केवल विविक्त संस्थिति में कोई उचित अरिक्त विवृत-संवृत समुच्चय होता है)। हाउसडॉर्फ: केवल विविक्त (शेष में $b$ का एकमात्र प्रतिवेश $X$ है, अथवा $a$ का)।

(ख) $\Q$: अंतःभाग $\varnothing$ (प्रत्येक अंतराल में अपरिमेय होते हैं), संवरण $\R$ (सघनता), परिसीमा $\R$। $[0,1) \cup \{2\}$: अंतःभाग $(0,1)$, संवरण $[0,1]\cup\{2\}$, परिसीमा $\{0, 1, 2\}$। $\{1/n\}$: अंतःभाग $\varnothing$, संवरण $\{1/n\}\cup\{0\}$, और परिसीमा स्वयं वही संवरण।

हल — अभ्यास 6.2.

(क) प्रत्येक विवृत $V \subseteq Y$ आधार समुच्चयों का कोई संघ $\bigcup B_j$ है, और $f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(B_j)$: अतः यदि पिछले विवृत हों तो पहला भी; और विलोम तुच्छ है।

(ख) $f^{-1}\bigl(\intoo{\frac12}{\frac32}\bigr) = [0, \infty)$ विवृत नहीं है: अतः $f$ संतत नहीं है; और प्रत्येक बिंदु पर दक्षिण-सांतत्य स्पष्ट है ($f$ प्रत्येक बिंदु के दाईं ओर स्थानीय रूप से अचर है)। समुच्चय $[a, b)$ आधार कसौटी (परिभाषा 6.4) संतुष्ट करते हैं: $[a,b)\cap[c,d) = [\max(a,c), \min(b,d))$। ज़ोर्गनफ्राई संस्थिति सामान्य संस्थिति से सूक्ष्मतर है, क्योंकि $(a, b) = \bigcup_{a < c < b}[c, b)$; और कड़ाई से: $[0,1)$ ज़ोर्गनफ्राई-विवृत है, सामान्य-विवृत नहीं। $x$ पर ज़ोर्गनफ्राई रेखा से सांतत्य: $x$ का कोई ज़ोर्गनफ्राई प्रतिवेश किसी आधार समुच्चय $[a, b) \ni x$ को धारण करता है, अतः $[x, b)$ को भी — अतः सांतत्य शर्त इस रूप में पढ़ी जाती है: प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $\delta > 0$ है कि $x \leq t < x + \delta$ होने पर $\abs{f(t) - f(x)} < \varepsilon$। और यह ठीक $x$ पर दक्षिण-सांतत्य है।

हल — अभ्यास 6.3.

दो अरिक्त विवृतों के पूरक परिमित होते हैं, अतः उनके प्रतिच्छेद का पूरक भी परिमित है: इसलिए वह अरिक्त है (समुच्चय अनंत है) — अतः किन्हीं दो बिंदुओं के असंयुक्त प्रतिवेश नहीं होते: हाउसडॉर्फ नहीं, इसलिए मापीयकरणीय भी नहीं (परिभाषा 6.7)। मान लीजिए $(x_n)$ एकैकी है और $x$ स्वेच्छ: $x$ का कोई प्रतिवेश किसी सह-परिमित विवृत $U$ को धारण करता है; और $X\setminus U$ के परिमित संख्या के बिंदुओं पर अधिक से अधिक परिमित संख्या के सूचकांक जाते हैं (एकैकीपन), अतः अनुक्रम की कोई पुच्छ $U$ में होती है: इसलिए प्रत्येक $x$ के लिए $x_n \to x$। अद्वितीयता की उपपत्ति को दो कथित सीमाओं को पृथक करने के लिए दो असंयुक्त प्रतिवेश चाहिए — और ठीक यही यहाँ विफल हो जाता है।

हल — अभ्यास 6.4.

(क) सांतत्य रचना से है (परिभाषा 6.9)। विवृतता: कोई विवृत $W \subseteq X \times Y$ बक्सों $U_i\times V_i$ का संघ है, और $\pi_X(W) = \bigcup U_i$ (अरिक्त बक्से अपने गुणनखंडों पर प्रक्षेपित होते हैं), जो विवृत है। संवृत नहीं: $H = \{(x,y) : xy = 1\}$ $\R^2$ में संवृत है (संतत गुणनफल के अंतर्गत $\{1\}$ का पूर्व-प्रतिबिंब), पर $\pi_X(H) = \R\setminus\{0\}$ संवृत नहीं है।

(ख) ($\Rightarrow$) प्रक्षेप संतत हैं। ($\Leftarrow$) मान लीजिए घटकशः $x^{(k)} \to x$ और $W = \prod U_n$ $x$ का कोई आधार प्रतिवेश है, जिसमें $n \in F$ परिमित को छोड़कर $U_n = X_n$। प्रत्येक $n \in F$ के लिए $k \geq K_n$ पर $x_n^{(k)} \in U_n$; और $k \geq \max_F K_n$ के लिए $x^{(k)} \in W$। सूत्र $d$ कोई दूरिक परिभाषित करता है (प्रत्येक योज्य पद एक है, इस मानक सत्यापन तक कि $\min(1, d_n)$ ऐसा है); उसके गोले: $B_d(x, 2^{-N})$ उपयुक्त $N'$ के लिए आधार बक्सा $\{y : d_n(x_n,y_n) < 2^{-N},\ n \leq N'\}$ धारण करता है (पुच्छ $\sum_{n > N'} 2^{-n}$ छोटी है), और विलोमतः प्रत्येक आधार बक्सा कोई $d$-गोला धारण करता है: अतः दोनों संस्थितियों में प्रत्येक बिंदु के प्रतिवेश एक ही हैं।

(ग) गुणन संस्थिति में (ख) से $x^{(k)} \to 0$। बक्सा-विवृत समुच्चय $U = \prod_n \intoo{-\tfrac1n}{\tfrac1n}$ $0$ को धारण करता है, पर प्रत्येक $k$ के लिए $x^{(k)} \notin U$ ($n \geq k$ होने पर $n$-वाँ निर्देशांक $1/k \geq 1/n$): अतः कोई पुच्छ $U$ में प्रवेश नहीं करती। बक्सा संस्थिति कड़ाई से सूक्ष्मतर है और अभिसरण के प्रयोजनों के लिए गुणन-प्रकार की संस्थिति नहीं है।

हल — अभ्यास 6.5.

$\varphi \colon \R \to S^1$, $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$, संतत, आच्छादक और $\Z$ के मापांक में वर्गों पर अचर है: अतः वह कोई संतत एकैकी-आच्छादन $\bar\varphi \colon \R/\Z \to S^1$ प्रेरित करता है (प्रतिज्ञप्ति 6.10(ख))। प्रक्षेप $\pi$ विवृत है: विवृत $U \subseteq \R$ के लिए $\pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{n}(U + n)$ विवृत है, अतः $\pi(U)$ विवृत है। हाउसडॉर्फ: मान लीजिए $\bar x \neq \bar y$; $\delta = \min_{n}\abs{x - y - n} > 0$ वाले प्रतिनिधि चुनिए; $x$ और $y$ के परितः त्रिज्या $\delta/3$ के अंतरालों के प्रतिबिंब विवृत हैं ($\pi$ की विवृतता), $\bar x, \bar y$ को धारण करते हैं, और असंयुक्त हैं (दो पूर्व-प्रतिबिंब बिंदु $\Z$ मापांक में $< 2\delta/3$ दूर होते)। संहत: $\R/\Z = \pi([0,1])$, जो किसी संहत समष्टि का संतत प्रतिबिंब है (प्रमेय 6.13(2))। अब $\bar\varphi$ किसी संहत समष्टि से हाउसडॉर्फ $S^1$ पर संतत एकैकी-आच्छादन है: अतः समस्थितिकता (उपप्रमेय 6.14)।

(ग) के लिए: संयोजन $[0,1] \hookrightarrow \R \xrightarrow{\pi} \R/\Z$ संतत, आच्छादक है और ठीक $0 \sim 1$ की पहचान करता है: अतः वह किसी संहत समष्टि (भागफल प्रक्षेप के अंतर्गत $[0,1]$ का संतत प्रतिबिंब) से किसी हाउसडॉर्फ समष्टि पर संतत एकैकी-आच्छादन $[0,1]/(0\sim1) \to \R/\Z$ प्रेरित करता है: अर्थात् समस्थितिकता। संयोजित करने पर: तीनों समष्टियाँ समस्थितिक हैं।

हल — अभ्यास 6.6.

(क) $K_1 \cup \dots \cup K_m$ का कोई आवरण प्रत्येक $K_j$ के आवरण तक प्रतिबंधित हो जाता है: प्रति टुकड़ा परिमित संख्या के विवृत पर्याप्त हैं। और कोई प्रतिच्छेद $\bigcap K_i$ संहत $K_{i_0}$ में संवृत है (संहत परिवेशी दूरिक समष्टि में संवृत होते हैं), अतः संहत।

(ख) $x \mapsto d(x, F)$ संतत ($1$-लिपशित्ज़) है और $K$ पर कड़ाई से धनात्मक ($d(x, F) = 0$ का अर्थ है $x \in \bar F = F$); और संहत $K$ पर वह कोई निम्निष्ठ $m > 0$ प्राप्त कर लेता है: $d(K, F) \geq m$। संहतता के बिना प्रतिउदाहरण: $F_1 = \{n : n \geq 2\}$ और $F_2 = \{n + \frac1n : n \geq 2\}$ संवृत, असंयुक्त और दूरी $\inf_n \frac1n = 0$ पर हैं।

(ग) यदि $X$ संहत हो, तो प्रत्येक संतत $f$ परिबद्ध है (प्रमेय 6.13(2))। विलोमतः, यदि $X$ संहत न हो, तो बिना किसी अभिसारी उपानुक्रम वाला $(x_n)$ लीजिए (प्रमेय 6.16); उपानुक्रम पर जाकर हम मान सकते हैं कि $x_n$ युग्मशः भिन्न हैं, और $X$ का कोई बिंदु इस अनुक्रम का संचय बिंदु नहीं है, अतः

और गोले $B(x_n, r_n)$ युग्मशः असंयुक्त हैं ($n$-वें और $m$-वें का कोई उभयनिष्ठ बिंदु $d(x_n, x_m) < r_n + r_m \leq \frac23 d(x_n, x_m)$ दे देता)। परिभाषित कीजिए

प्रत्येक $x$ पर अधिक से अधिक एक योज्य पद शून्येतर है, और $f(x_n) = n$। $x$ पर सांतत्य: मान लीजिए $y_k \to x$; प्रत्येक मान $f(y_k)$ या तो $0$ है या कोई एकल उभार मान $\mathrm{bump}_{n_k}(y_k)$। यदि कोई सूचकांक $n$ अनंत बार आए, तो उस उपानुक्रम के अनुदिश $f(y_k) = \mathrm{bump}_n(y_k) \to \mathrm{bump}_n(x)$, जो $f(x)$ के बराबर है (यदि $x \in B(x_n, r_n)$ हो, तो पूरी पुच्छ इसी विवृत गोले में होती है और कोई अन्य सूचकांक नहीं आता; और यदि $x \notin B(x_n, r_n)$ हो, तो $\mathrm{bump}_n(x) = 0 = f(x)$, क्योंकि $x$, जो $n$-वें गोले का संलग्न है, किसी अन्य विवृत गोले में नहीं होता)। यदि $n_k \to \infty$ हो: $d(y_k, x_{n_k}) < r_{n_k} \leq 2^{-n_k} \to 0$, अतः $x_{n_k} \to x$, जिससे $x$ $(x_n)$ का संचय बिंदु बन जाता — जो अपवर्जित है; अतः यह स्थिति केवल परिमित संख्या के $k$ से संबंधित है। प्रत्येक दशा में $f(y_k) \to f(x)$: इसलिए $f$ संतत है, और अपरिबद्ध।

हल — अभ्यास 6.7.

मान लीजिए कोई $\delta$ काम नहीं करता: तब प्रत्येक $n$ के लिए व्यास $< 1/n$ का ऐसा $A_n$ है जो किसी एक भी $U_i$ में अंतर्विष्ट नहीं; $x_n \in A_n$ चुनिए। संहतता (प्रमेय 6.16) से कोई उपानुक्रम $x_{n_k} \to x$; $B(x, r) \subseteq U_i$ वाले $i$ और $r > 0$ चुनिए। बड़े $k$ के लिए: $d(x_{n_k}, x) < r/2$ और $1/n_k < r/2$, अतः $A_{n_k} \subseteq B(x_{n_k}, 1/n_k) \subseteq B(x, r) \subseteq U_i$ — विरोधाभास। हाइने: $\varepsilon$ दिया हो, तो $Y$ को गोलों $B(y, \varepsilon/2)$ से आच्छादित कीजिए; पूर्व-प्रतिबिंब $X$ का कोई विवृत आवरण बनाते हैं; मान लीजिए $\delta$ कोई लेबेग संख्या है: यदि $d(x, x') < \delta$ हो, तो युग्म $\{x, x'\}$ का व्यास $< \delta$ है, वह किसी एक पूर्व-प्रतिबिंब में होता है, और $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$।

हल — अभ्यास 6.8.

(क) $GL_n(\R) = \det^{-1}(\R\setminus\{0\})$ विवृत है ($\det$ बहुपदीय, अतः संतत है)। असंबद्ध: $\det$ उसे $\R\setminus\{0\}$ पर भेजता है, और किसी संबद्ध समष्टि के संतत प्रतिबिंब संबद्ध होते हैं (प्रमेय 6.20(2)); और $\R\setminus\{0\}$ कोई अंतराल नहीं है। $GL_n(\C)$: व्युत्क्रमणीय $A, B$ के लिए $p(\lambda) = \det\bigl((1-\lambda)A + \lambda B\bigr)$ $p(0), p(1) \neq 0$ वाला $\lambda$ में बहुपद है, अतः वह सर्वथा शून्य नहीं है: इसलिए उसके $\C$ में परिमित संख्या के मूल हैं। परिमित संख्या के बिंदु हटाकर बचा समतल पथ-संबद्ध है (बिंदुओं के चारों ओर घूमकर उनसे बचिए), अतः $p(\lambda(t)) \neq 0$ वाला $0$ से $1$ तक कोई पथ $\lambda(t)$ है: और $t \mapsto (1-\lambda(t))A + \lambda(t)B$ $GL_n(\C)$ में एक पथ है।

(ख) $\det(A + \varepsilon I) = \chi_A(-\varepsilon)\cdot(\pm1)$ $\varepsilon$ के अधिक से अधिक $n$ मानों के लिए लुप्त होता है: अतः $\varepsilon \to 0$ पर व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A + \varepsilon I \to A$: यही सघनता है।