नाभि–नियता परिभाषा কী?

उदाहरण 24.12 (परिभाषा, किसी परवलय पर जाँची हुई)

परवलय $y^2 = 4x$ लीजिए, अर्थात् $2p = 4$: नाभि $F = (1, 0)$ और नियता $D : x = -1$ (लघुकृत रूप प्रमेय 24.13 उन्हें $\pm\frac p2$ पर रखता है)। वक्र के बिंदु $M = (1, 2)$ पर:

दोनों बराबर, जैसा $e = 1$ माँगता है। $M' = (4, 4)$ पर: $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ और फिर से $d(M', D) = 5$। नाभि–नियता परिभाषा कोई अमूर्तन नहीं है: वह दूरियों की ऐसी जोड़ी है जिसे किसी भी बिंदु पर नापा जा सकता है, और लघुकृत समीकरणों का बीजगणित इसी माप को एक बार और सदा के लिए कर देने से अधिक कुछ नहीं।

उदाहरण 24.15 (किसी कक्षा को उसके ध्रुवीय समीकरण से पढ़ना)

ध्रुवीय शांकव $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ ($p = 1$, $e = \frac12$ के साथ अभ्यास 24.7) ऐसा दीर्घवृत्त है जिसकी नाभि मूल बिंदु पर है — अर्थात् किसी ग्रह-कक्षा की ज्यामिति, जहाँ सूर्य $O$ पर है। सब कुछ $p$ और $e$ से निकाल लीजिए: प्रमेय 24.13 के लघुकरण से $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ और $c = ea = \dfrac23$। दोनों चरम बिंदु बिना किसी सिद्धांत के इसकी जाँच कर देते हैं:

और उनका योग $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ दीर्घ अक्ष फिर से दे देता है। जब भी कोई नाभि भौतिक रूप से विशिष्ट हो, तब ध्रुवीय रूप ही स्वाभाविक है; और जब भी सममिति-अक्ष विशिष्ट हों, तब लघुकृत कार्तीय रूप। इन दोनों के बीच रूपांतरण करना ठीक वही काम है जो प्रमेय की वर्ग-पूरक संगणना करती है।

अंत में, उत्केंद्रता किसी घुंडी की तरह: $p = 1$ नियत रखिए और $e$ को $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$ में घुमाइए। $e = 0$ पर: वृत्त $r = 1$। $e = \frac12$ पर: अभी-अभी अध्ययन किया गया दीर्घवृत्त, जहाँ $r$ $\frac23$ और $2$ के बीच दोलन करता है। $e = 1$ पर: $\theta \to \pi$ होने पर $r(\theta) \to \infty$ — अर्थात् वक्र अब बंद नहीं होता: एक परवलय, जिसका सबसे दूर का बिंदु अनंत तक धकेल दिया गया है। $e = 2$ पर: हर $\cos\theta = -\frac12$ पर शून्य हो जाता है, और केवल $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ बचता है: अतिपरवलय की एक शाखा, जो दो अनंतस्पर्शी दिशाओं के अनुदिश भाग निकलती है। एक ही सूत्र, पूरा शांकव-कुल, और संक्रमण-बिंदु $e = 1$ ठीक उसी क्षण दिखाई देते हैं जब हर पहली बार शून्य तक पहुँचता है।