विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · स्नातक वर्ष 1

24समतल वक्र

अध्याय 14 और 16 का कलन फलनों $y = f(x)$ के लिए बना था; पर ज्यामिति और यांत्रिकी के अधिकांश वक्र — प्रक्षेप-पथ, वृत्तों पर लुढ़कते वृत्त, कक्षाएँ — उस रूप से इनकार कर देते हैं और उसके बदले प्राचलित वक्रों $t \mapsto (x(t), y(t))$ अथवा ध्रुवीय वक्रों $r = r(\theta)$ के रूप में आते हैं। यह शास्त्रीय अध्याय दोनों का अध्ययन करता है, और शांकवों के साथ बंद होता है।

24.1 प्राचलित वक्र

परिभाषा 24.1

प्राचलित वक्र कोई प्रतिचित्रण $f \colon I \to \R^2$ , $t \mapsto M(t) = (x(t), y(t))$ है, जहाँ $x, y$ अंतराल $I$ पर (कम से कम) $C^1$ वर्ग का हो। वेग सदिश $f'(t) = (x'(t), y'(t))$ है; बिंदु $M(t_0)$ नियमित कहलाता है जब $f'(t_0) \neq (0,0)$ , और वहाँ स्पर्शरेखा वह रेखा है जो $M(t_0)$ से होकर जाती है और जिसकी दिशा $f'(t_0)$ है।

$f'$ स्पर्शरेखा की दिशा क्यों देता है. घटकवार टेलर–यंग से $M(t) = M(t_0) + (t - t_0) f'(t_0) + o(t - t_0)$ : अतः जीवा की दिशा $\frac{M(t) - M(t_0)}{t - t_0}$ $f'(t_0)$ की ओर जाती है। सीमा को दिशा बनाने वाली परिकल्पना नियमितता ही है: यदि $f'(t_0) = 0$ , तो प्रदर्शित पंक्ति ढहकर $M(t) = M(t_0) + o(t - t_0)$ रह जाती है और यह कुछ नहीं बताती कि वक्र उस बिंदु से कैसे निकलता है — और इसीलिए नीचे की विधि में विचित्र बिंदुओं का अलग उपचार है, जहाँ $f'$ की भूमिका पहला अशून्य अवकलज सँभाल लेता है। यह भी ध्यान दीजिए कि स्पर्शरेखा एक ज्यामितीय वस्तु है: कोई भी पुनःप्राचलन $f'$ को किसी अशून्य अदिश गुणक से बदल देता है और रेखा को अपरिवर्तित छोड़ देता है। ∎

विधि 24.2 (किसी प्राचलित वक्र का अध्ययन)

प्रांत घटाइए, सममितियों का प्रयोग करके: $M(-t)$ , $M(t + T)$ , … और $M(t)$ के बीच के संबंध (परावर्तन, स्थानांतरण, आवर्तिता), और फिर केवल घटे हुए भाग को खींचिए।
विचरण: $x'$ और $y'$ के चिह्न एक साथ सारणीबद्ध कीजिए; वक्र $x'$ के अनुसार दाएँ/बाएँ और $y'$ के अनुसार ऊपर/नीचे बढ़ता है।
उल्लेखनीय बिंदु: क्षैतिज स्पर्शरेखा ( $y' = 0 \neq x'$ ), ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा ( $x' = 0 \neq y'$ ); और किसी विचित्र बिंदु ( $f' = 0$ ) पर स्पर्शरेखा की दिशा के लिए उच्चतर अवकलज देखिए।
$I$ के सिरों पर अनंतस्पर्शी व्यवहार, और फिर रेखाचित्र।

उदाहरण 24.3 (अनंतस्पर्शी शाखाएँ, हल करके)

$\intoo{0}{+\infty}$ पर $x(t) = t$ , $y(t) = t + \dfrac1t$ । $t \to 0^{+}$ होने पर: $x \to 0$ , जबकि $y \to +\infty$ — अतः वक्र ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी $x = 0$ के अनुदिश चढ़ता है (एक निर्देशांक के लिए परिमित सीमा, दूसरे के लिए अनंत)। $t \to +\infty$ होने पर: दोनों निर्देशांक फट पड़ते हैं, अतः किसी रेखा को परखिए: अंतर

y(t) - x(t) = \frac1t \longrightarrow 0^{+}

तिरछी अनंतस्पर्शी $y = x$ दिखा देता है, जिस तक ऊपर से पहुँचा जाता है। बीच में $y' = 1 - \frac1{t^2}$ $t = 1$ पर शून्य होता है: बिंदु $(1, 2)$ उस शाखा का सबसे निचला बिंदु है, और सर्वत्र $x' = 1 > 0$ , अतः वक्र सदा दाईं ओर बढ़ता है। एक चाप, दो अनंतस्पर्शी, एक न्यूनतम: तीन संगणनाओं से पूरा चित्र — और नीचे व्यापक नुस्ख़ा दिखाई दे रहा है: जब $x, y \to \infty$ एक साथ हों, तो संभावित प्रवणता के लिए $y/x$ देखिए (यहाँ $\to 1$ ), फिर अंतःखंड और पहुँचने की दिशा के लिए $y - (\text{प्रवणता})\,x$ ।

उदाहरण 24.4 (ऐस्ट्रॉयड)

$x(t) = \cos^3 t$ , $y(t) = \sin^3 t$ . सममितियाँ: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (एक आवर्त का अध्ययन कीजिए); $M(-t)$ $x$ -अक्ष में $M(t)$ का परावर्तन है; $M(\pi - t)$ $y$ -अक्ष में; $M(\frac\pi2 - t)$ विकर्ण $y = x$ में: अतः $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ का अध्ययन पर्याप्त है, और फिर उसे खोल लीजिए।

वेग: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$ । $\intoo{0}{\frac\pi2}$ पर सभी बिंदु नियमित हैं और स्पर्शरेखा की दिशा $(-\cos t, \sin t)$ है; $t = 0$ पर (बिंदु $(1,0)$ ) वेग शून्य हो जाता है: यह एक उभयाग्र है, जहाँ वक्र स्पर्श-दिशा $(-1, 0)\cdot(\pm)$ के अनुदिश पलट जाता है — और सममिति से चारों उभयाग्र $(\pm1, 0), (0, \pm1)$ पर बैठते हैं।

उदाहरण 24.5 (आठ की आकृति, पूरा अध्ययन)

$x(t) = \sin t$ , $y(t) = \sin 2t$ (एक लिसाजू वक्र)। सममितियाँ: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ ( $y$ -अक्ष में परावर्तन), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (केंद्रीय सममिति), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ ( $x$ -अक्ष में परावर्तन): अतः $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ का अध्ययन पर्याप्त है, और फिर उसे खोल लीजिए। विचरण: सर्वत्र $x' = \cos t \geq 0$ , जबकि $y' = 2\cos 2t$ $t = \frac\pi4$ से पहले धनात्मक और उसके बाद ऋणात्मक है: अतः चाप $t = \frac\pi4$ पर शिखर $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ तक दाईं ओर चढ़ता है (क्षैतिज स्पर्शरेखा), फिर $t = \frac\pi2$ पर $(1, 0)$ तक दाईं ओर उतरता है, जहाँ $x' = 0 \neq y'$ : ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा। द्विक बिंदु: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$ , जहाँ दो भिन्न वेग हैं

f'(0) = (1,\ 2), \qquad f'(\pi) = (-1,\ 2) :

अर्थात् मूल बिंदु पर भिन्न-भिन्न कोणों से काटती दो नियमित शाखाएँ — यह द्विक बिंदु है, विचित्र बिंदु नहीं: हर गुज़र पूरी तरह चिकना है, बस दोनों गुज़रों का स्थान एक ही है। पूरा वक्र नीचे दी गई आठ की आकृति है।

लिसाजू वक्र ( t, 2t): मूल बिंदु पर एक द्विक बिंदु, जहाँ दो नियमित शाखाएँ वेग (1, 2) और (-1, 2) के साथ काटती हैं, तथा चारों शिखरों पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएँ। सममिति ने सारा काम घटाकर एक चौथाई आवर्त कर दिया। — लिसाजू वक्र $(\sin t, \sin 2t)$ : मूल बिंदु पर एक द्विक बिंदु, जहाँ दो नियमित शाखाएँ वेग $(1, 2)$ और $(-1, 2)$ के साथ काटती हैं, तथा चारों शिखरों पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएँ। सममिति ने सारा काम घटाकर एक चौथाई आवर्त कर दिया।

ऐस्ट्रॉयड ( 3 t, 3 t): चार चाप, जो चार उभयाग्रों पर मिलते हैं। यह वही वक्र है जिसे इकाई वृत्त के भीतर लुढ़कते 1/4 त्रिज्या वाले वृत्त का कोई बिंदु खींचता है। — ऐस्ट्रॉयड $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ : चार चाप, जो चार उभयाग्रों पर मिलते हैं। यह वही वक्र है जिसे इकाई वृत्त के भीतर लुढ़कते $\frac14$ त्रिज्या वाले वृत्त का कोई बिंदु खींचता है।

24.2 ध्रुवीय वक्र

परिभाषा 24.6

ध्रुवीय वक्र $r = r(\theta)$ से दिया जाता है: प्राचल $\theta$ वाला बिंदु है

M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta), \qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).

$\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec u\,'(\theta)$ के साथ वेग है

M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec v(\theta) .

परिणाम: जहाँ $r \neq 0$ , वहाँ बिंदु नियमित है, और स्पर्शरेखा किरण के साथ $V$ कोण बनाती है, जो $\tan V = \frac{r}{r'}$ से मिलता है ( $M'$ और $\vec u$ के बीच का कोण); और जहाँ $r(\theta_0) = 0$ , वहाँ वक्र मूल बिंदु से होकर जाता है और स्पर्शरेखा किरण $\theta = \theta_0$ होती है (दिशा $\vec u(\theta_0)$ , जो $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$ से पढ़ ली जाती है, अथवा सीमांत जीवा से: $O$ से $M(\theta)$ तक की जीवा को स्वयं $\vec u(\theta)$ ढोता है, जो $\vec u(\theta_0)$ की ओर जाता है — अतः यह नियम तब भी लागू रहता है जब $r'(\theta_0) = 0$ हो और बिंदु विचित्र हो, और इसीलिए मूल बिंदु पर के ध्रुवीय उभयाग्रों को, जैसे कार्डियॉयड के उभयाग्र को, उनकी स्पर्शरेखा मुफ़्त में मिल जाती है)।

उदाहरण 24.7 (कार्डियॉयड)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$ . सममिति: $r(-\theta) = r(\theta)$ : $x$ -अक्ष में परावर्तन; अतः $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ का अध्ययन कीजिए। $r$ $2$ से घटकर $0$ तक आता है; $\theta = \pi$ पर $r = 0$ : वक्र किरण $\theta = \pi$ ( $x$ -अक्ष) के स्पर्शतः मूल बिंदु तक पहुँचता है और वहाँ एक उभयाग्र बनाता है — हृदय की नोक। $\theta = 0$ पर स्पर्शरेखा: $r' = 0$ , अतः $\tan V = \infty$ : अक्ष के लंबवत।

कोण $V$ एक और पाठ का हक़दार है। $\theta = \frac\pi2$ पर: $r = 1$ और $r' = -1$ , अतः $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$ : स्पर्शरेखा बाहर जाती किरण के साथ समकोण का तीन-चौथाई बनाती है — अर्थात् वक्र पहले ही अपने उभयाग्र की ओर मुड़ने लगा है। सूत्र $\tan V = r/r'$ पूरे वक्र के अनुदिश स्पर्श-दिशाएँ दे देता है, और वह भी $M'(\theta)$ की कोई संगणना किए बिना: यह प्रवणता पढ़ने का ध्रुवीय समकक्ष है।

उदाहरण 24.8 (ध्रुवीय से कार्तीय: एक छिपा वृत्त)

ध्रुवीय वक्र $r = 2\cos\theta$ क्या है? $r$ से गुणा कीजिए: $r^2 = 2r\cos\theta$ , अर्थात् $x^2 + y^2 = 2x$ , यानी

(x - 1)^2 + y^2 = 1 :

अर्थात् केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $1$ वाला वह वृत्त जो मूल बिंदु से होकर जाता है। लेखा-जोखा महत्त्वपूर्ण है: जैसे-जैसे $\theta$ $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ पर चलता है, पूरा वृत्त ठीक एक बार बुहार लिया जाता है ( $r$ दोनों सिरों पर शून्य होता है), और $\theta = \pm\frac\pi2$ पर नियम “मूल बिंदु पर स्पर्शरेखा किरण $\theta = \theta_0$ के अनुदिश” वहाँ ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा देता है — जो ज्यामिति से मेल खाता है, क्योंकि ऊर्ध्वाधर अक्ष सचमुच $O$ पर इस वृत्त की स्पर्शरेखा है। उस परास के बाहर $\theta$ के लिए $r < 0$ उसी वृत्त को फिर से खींच देता है: यह स्मरण कि ध्रुवीय वक्र एक प्राचलित वस्तु है, जिसे स्वयं के ऊपर से गुज़रने की छूट है।

चार पंखुड़ियों वाला गुलाब r = 2 ()। y-अक्ष के अनुदिश की पंखुड़ियाँ r < 0 के साथ खिंचती हैं (बिंदु की विपरीत किरण पर अंकित होता है); और बिंदुदार विकर्ण = ± π4 मूल बिंदु पर की स्पर्शरेखाएँ हैं, जहाँ r शून्य होता है। — चार पंखुड़ियों वाला गुलाब $r = \cos 2\theta$ (अभ्यास 24.4)। $y$ -अक्ष के अनुदिश की पंखुड़ियाँ $r < 0$ के साथ खिंचती हैं (बिंदु $\theta$ की विपरीत किरण पर अंकित होता है); और बिंदुदार विकर्ण $\theta = \pm\frac\pi4$ मूल बिंदु पर की स्पर्शरेखाएँ हैं, जहाँ $r$ शून्य होता है।

कार्डियॉयड r = 1 +। ध्रुवीय वक्र कोण को बुहारते हुए पढ़े जाते हैं: के घूमने के साथ त्रिज्या फूलती और सिकुड़ती है। — कार्डियॉयड $r = 1 + \cos\theta$ । ध्रुवीय वक्र कोण को बुहारते हुए पढ़े जाते हैं: $\theta$ के घूमने के साथ त्रिज्या फूलती और सिकुड़ती है।

24.3 चाप लंबाई

परिभाषा 24.9 (किसी चाप की लंबाई)

$C^1$ चाप $f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2$ की लंबाई चाल का समाकल है:

L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(प्रेरणा: किसी छोटे अंतराल पर $M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)$ , अतः चाप ऐसे बहुभुज के निकट है जिसके खंडों की लंबाइयों का योग $\norm{f'}$ का रीमान योग है, प्रमेय 15.20।) ध्रुवीय वक्र $r = r(\theta)$ के लिए वेग $r'\vec u + r\vec v$ के घटक लांबिक हैं, अतः

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

लंबाई चुने गए (एकदिष्ट, $C^1$ ) प्राचलन पर निर्भर नहीं करती: समाकल में $t = \varphi(s)$ प्रतिस्थापित करने पर (प्रमेय 15.15) $f'$ $\varphi'$ से और $\dd t$ $\varphi'^{-1}$ से गुणित हो जाता है।

उदाहरण 24.10 (जाँच: वृत्त)

$\intcc{0}{2\pi}$ पर $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ के लिए: $\norm{f'} = R$ , अतः $L = 2\pi R$ — अर्थात् परिभाषा परिधि ही लौटा देती है। पुनःप्राचलन की परीक्षा: $\intcc{0}{\pi}$ पर प्रतिचित्रण $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ वही वृत्त दुगुनी चाल $\norm{g'} = 2R$ से खींचता है, और

\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

फिर वही: आधा समय, दुगुनी चाल, वही लंबाई — अर्थात् परिभाषा में वादा की गई अपरिवर्तिता, एक बार संख्याओं पर देख ली गई। ( $g$ को पूरे $\intcc{0}{2\pi}$ पर चलाने से $4\pi R$ मिलता: दो बार पार किया गया वक्र यात्रा के रूप में दुगुना लंबा है; लंबाई प्राचलित पथ नापती है, और अंतराल का ईमानदार लेखा-जोखा संगणना का ही हिस्सा है।) ऐस्ट्रॉयड $(\cos^3t, \sin^3t)$ के लिए: $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ , और सममिति से $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : अर्थात् इकाई वृत्त के भीतर खिंचा हुआ वक्र, जिसकी लंबाई $6 < 2\pi$ है। सप्ताहांत समस्या सबसे प्रसिद्ध मेहराब को नापती है।

साइक्लॉयड का एक मेहराब (त्रिज्या R = 1), t = 2 पर लुढ़कता वृत्त, और सप्ताहांत समस्या की दोनों निर्देशक रेखाएँ: स्पर्श-बिंदु तक की जीवा MC वक्र का अभिलंब है, और वृत्त के शीर्ष तक की जीवा MT स्पर्शरेखीय। — साइक्लॉयड का एक मेहराब (त्रिज्या $R = 1$ ), $t = 2$ पर लुढ़कता वृत्त, और सप्ताहांत समस्या की दोनों निर्देशक रेखाएँ: स्पर्श-बिंदु तक की जीवा $MC$ वक्र का *अभिलंब* है, और वृत्त के शीर्ष तक की जीवा $MT$ *स्पर्शरेखीय*।

24.4 शांकव

परिभाषा 24.11 (नाभि–नियता परिभाषा)

एक बिंदु $F$ (नाभि), $F$ से होकर न जाने वाली एक रेखा $D$ (नियता) और $e > 0$ (उत्केंद्रता) नियत कीजिए। इन आँकड़ों का शांकव है

\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:

$e < 1$ के लिए दीर्घवृत्त, $e = 1$ के लिए परवलय, $e > 1$ के लिए अतिपरवलय। (वृत्त अपभ्रष्ट सीमा $e \to 0$ के रूप में आता है।)

उदाहरण 24.12 (परिभाषा, किसी परवलय पर जाँची हुई)

परवलय $y^2 = 4x$ लीजिए, अर्थात् $2p = 4$ : नाभि $F = (1, 0)$ और नियता $D : x = -1$ (लघुकृत रूप प्रमेय 24.13 उन्हें $\pm\frac p2$ पर रखता है)। वक्र के बिंदु $M = (1, 2)$ पर:

MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2, \qquad d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :

दोनों बराबर, जैसा $e = 1$ माँगता है। $M' = (4, 4)$ पर: $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ और फिर से $d(M', D) = 5$ । नाभि–नियता परिभाषा कोई अमूर्तन नहीं है: वह दूरियों की ऐसी जोड़ी है जिसे किसी भी बिंदु पर नापा जा सकता है, और लघुकृत समीकरणों का बीजगणित इसी माप को एक बार और सदा के लिए कर देने से अधिक कुछ नहीं।

प्रमेय 24.13 (लघुकृत समीकरण)

किसी सुचुने लांबिक-प्रसामान्य निर्देश-तंत्र में:

\text{दीर्घवृत्त: } \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a \geq b > 0), \qquad \text{अतिपरवलय: } \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad \text{परवलय: } y^2 = 2px,

जहाँ दीर्घवृत्त के लिए: नाभियाँ $(\pm c, 0)$ पर, $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ , $e = \frac ca$ , और द्विनाभीय अभिलक्षण $MF + MF' = 2a$ ; और अतिपरवलय के लिए: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ , $e = \frac ca$ , $\abs{MF - MF'} = 2a$ , अनंतस्पर्शी $y = \pm\frac ba x$ ।

उपपत्ति. नाभि मूल बिंदु पर और नियता ऊर्ध्वाधर लीजिए, $x = -h$ ( $h > 0$ ): तब शर्त $MF^2 = e^2 d(M, D)^2$ $x^2 + y^2 = e^2 (x + h)^2$ कहती है। $e = 1$ के लिए: $y^2 = 2hx + h^2$ , जो सरकाव $x \mapsto x - \frac h2$ के बाद एक परवलय है (अतः $p = h$ )। $e \neq 1$ के लिए: $x$ में वर्ग पूरा करने पर,

(1 - e^2)\Bigl(x - \frac{e^2 h}{1 - e^2}\Bigr)^{\!2} + y^2 = e^2h^2 + \frac{e^4 h^2}{1 - e^2} = \frac{e^2 h^2}{1 - e^2} .

$X = x - \frac{e^2h}{1-e^2}$ रखिए (निर्देश-तंत्र का सरकाव)। जब $e < 1$ , तो धनात्मक दाएँ पक्ष से भाग दीजिए: $a = \frac{eh}{1 - e^2}$ , $b = \frac{eh}{\sqrt{1-e^2}}$ के साथ $\frac{X^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ; और जब $e > 1$ , तो प्रदर्शित पंक्ति के दोनों पक्ष यथोचित रूप से चिह्न पलट देते हैं और वही भाग $a = \frac{eh}{e^2 - 1}$ , $b = \frac{eh}{\sqrt{e^2 - 1}}$ के साथ $\frac{X^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ देता है। $c$ के बताए गए मान इसी से आते हैं ( $c^2 = a^2 - b^2$ अथवा $a^2 + b^2$ दोनों स्थितियों में $c = ea$ देता है, जो नाभि को सही स्थान पर रखता है), और द्विनाभीय गुण लघुकृत समीकरणों पर सीधे सत्यापन हैं। दीर्घवृत्त के लिए विस्तार से, $F' = (c, 0)$ और वक्र पर $M = (X, y)$ के साथ:

MF'^2 = (X - c)^2 + y^2 = X^2 - 2cX + c^2 + b^2\Bigl(1 - \frac{X^2}{a^2}\Bigr) = \frac{c^2}{a^2}X^2 - 2cX + a^2 = (a - eX)^2 ,

$c^2 + b^2 = a^2$ और $e = \frac ca$ का प्रयोग करते हुए; और चूँकि $\abs X \leq a$ तथा $e < 1$ , अतः $a - eX > 0$ , इसलिए $MF' = a - eX$ , और कोई वर्गमूल कभी निकाला ही नहीं गया। दर्पण-संगणना $MF = a + eX$ देती है, जिससे $MF + MF' = 2a$ , जो अचर है। अतिपरवलय के लिए वही बीजगणित $MF = \abs{a + eX}$ और $MF' = \abs{eX - a}$ देता है, और शाखा के अनुसार अंतर $\pm2a$ । ∎

उदाहरण 24.14

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ : दीर्घवृत्त, $a = 5$ , $b = 3$ , $c = 4$ : नाभियाँ $(\pm4, 0)$ , उत्केंद्रता $\frac45$ । उसका प्राचलन: $(5\cos t, 3\sin t)$ — अर्थात् असमदैशिक रूप से खींचा गया वृत्त; और उसके किसी भी बिंदु से नाभियों तक की दूरियों का योग $10$ है।

उदाहरण 24.15 (किसी कक्षा को उसके ध्रुवीय समीकरण से पढ़ना)

ध्रुवीय शांकव $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ ( $p = 1$ , $e = \frac12$ के साथ अभ्यास 24.7) ऐसा दीर्घवृत्त है जिसकी नाभि मूल बिंदु पर है — अर्थात् किसी ग्रह-कक्षा की ज्यामिति, जहाँ सूर्य $O$ पर है। सब कुछ $p$ और $e$ से निकाल लीजिए: प्रमेय 24.13 के लघुकरण से $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ और $c = ea = \dfrac23$ । दोनों चरम बिंदु बिना किसी सिद्धांत के इसकी जाँच कर देते हैं:

r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c \quad (\text{उपसौर}), \qquad r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c \quad (\text{अपसौर}),

और उनका योग $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ दीर्घ अक्ष फिर से दे देता है। जब भी कोई नाभि भौतिक रूप से विशिष्ट हो, तब ध्रुवीय रूप ही स्वाभाविक है; और जब भी सममिति-अक्ष विशिष्ट हों, तब लघुकृत कार्तीय रूप। इन दोनों के बीच रूपांतरण करना ठीक वही काम है जो प्रमेय की वर्ग-पूरक संगणना करती है।

अंत में, उत्केंद्रता किसी घुंडी की तरह: $p = 1$ नियत रखिए और $e$ को $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$ में घुमाइए। $e = 0$ पर: वृत्त $r = 1$ । $e = \frac12$ पर: अभी-अभी अध्ययन किया गया दीर्घवृत्त, जहाँ $r$ $\frac23$ और $2$ के बीच दोलन करता है। $e = 1$ पर: $\theta \to \pi$ होने पर $r(\theta) \to \infty$ — अर्थात् वक्र अब बंद नहीं होता: एक परवलय, जिसका सबसे दूर का बिंदु अनंत तक धकेल दिया गया है। $e = 2$ पर: हर $\cos\theta = -\frac12$ पर शून्य हो जाता है, और केवल $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ बचता है: अतिपरवलय की एक शाखा, जो दो अनंतस्पर्शी दिशाओं के अनुदिश भाग निकलती है। एक ही सूत्र, पूरा शांकव-कुल, और संक्रमण-बिंदु $e = 1$ ठीक उसी क्षण दिखाई देते हैं जब हर पहली बार शून्य तक पहुँचता है।

टिप्पणी 24.16 (सामान्य भूलें)

द्विक बिंदु विचित्र बिंदु नहीं हैं: किसी स्व-कटान पर हर शाखा नियमित होती है; “विचित्र” का अर्थ है प्राचल के किसी एक मान के लिए $f'(t_0) = 0$ (उदाहरण 24.5 बनाम ऐस्ट्रॉयड के उभयाग्र)। ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा बनाम उभयाग्र: $x'(t_0) = 0 \neq y'(t_0)$ ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा वाला नियमित बिंदु है; केवल $x' = y' = 0$ उच्चतर-कोटि प्रसार की माँग करता है। ऋणात्मक त्रिज्याएँ विपरीत किरण पर अंकित होती हैं: $r(\theta) < 0$ के लिए बिंदु $-\abs{r}\,\vec u(\theta)$ है, जो $\theta + \pi$ कोण पर है (अभ्यास 24.5); यह भूल जाने से भीतरी फंदे खो जाते हैं या वक्र दुगुने हो जाते हैं। चाप लंबाई $\norm{f'}$ का समाकलन करती है, $f'$ का नहीं: समाकल को चाल के शून्यों पर तोड़िए — ऐस्ट्रॉयड के लिए पूरे आवर्त पर बिना निरपेक्ष मान के $\frac32\sin 2t$ का समाकलन $0$ देता है, $6$ नहीं। शांकवों को पढ़ने से पहले लघुकृत करना ही पड़ता है: $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ में न अक्ष दिखते हैं, न केंद्र, न उत्केंद्रता, जब तक वर्ग पूरे न कर लिए जाएँ (अभ्यास 24.6); और किसी एक चर पर द्विघातीय भाग का शून्य हो जाना परवलय का अर्थ रखता है, “अपभ्रष्ट दीर्घवृत्त” का नहीं।

टिप्पणी 24.17 (ये वक्र कहाँ जाते हैं)

प्राचलित वक्र यांत्रिकी की भाषा हैं: प्रक्षेप-पथ वक्र हैं, वेग सदिश स्पर्श सदिश हैं, और परिभाषा 24.9 की चाप लंबाई तय की गई दूरी है। शांकव वहीं-वहीं फिर से आते हैं जहाँ कोई व्युत्क्रम-वर्ग नियम काम करता है — ग्रह-कक्षाएँ ऐसे दीर्घवृत्त हैं जिनकी एक नाभि पर सूर्य है। अध्याय 25 में वक्र दो चरों के फलनों के स्तर-समुच्चय बन जाते हैं, और इस अध्याय की स्पर्शरेखा अगले अध्याय की प्रवणता से मिलती है। स्नातक वर्ष 2 का खंड वक्रता और वक्र का स्थानीय विहित रूप जोड़ता है; और नीचे की सप्ताहांत समस्या केवल इसी वर्ष के औज़ारों से वह सब निकाल लेती है जो सत्रहवीं शताब्दी अपने सबसे प्रसिद्ध वक्र के विषय में जानती थी।

टिप्पणी 24.18 (पुस्तक 3 के भीतर के परिदृश्य)

यह अध्याय इस खंड का पूरा पहला आधा भाग खा जाता है और अंतिम अध्याय को खिलाता है। खाया गया: स्पर्श सदिश अवकलज हैं (अध्याय 14), चाप लंबाई और क्षेत्रफल समाकल हैं (अध्याय 15), उभयाग्रों का निपटारा टेलर प्रसारों से होता है (अध्याय 16), समकाल वक्र एक रैखिक अवकल समीकरण है (अध्याय 5), और हर दूरी तथा कोण यूक्लिडीय है (अध्याय 23)। खिलाया गया: अध्याय 25 में किसी स्तर-समुच्चय $\{f = c\}$ के भीतर खिंचे वक्र $t \mapsto (x(t), y(t))$ का शृंखला नियम से अवकलन किया जाता है, और उससे मिलने वाली सर्वसमिका $\langle \nabla f,\ f'(t)\rangle = 0$ इस अध्याय के स्पर्श सदिशों का विवाह अगले अध्याय की प्रवणताओं से कर देती है — वक्र की स्पर्शरेखा और पृष्ठ की अभिलंब दिशा एक ही संगणना है, बस दोनों किनारों से देखी हुई।

24.5 अभ्यास

अभ्यास 24.1 ★

वक्र $x(t) = t^2$ , $y(t) = t^3$ का अध्ययन कीजिए और रेखाचित्र बनाइए (सममितियाँ, विचरण, विचित्र बिंदु $t = 0$ पर व्यवहार)।

हल

हल — अभ्यास 24.1.

$M(-t) = (t^2, -t^3)$ : $x$ -अक्ष में परावर्तन; अतः $t \geq 0$ का अध्ययन कीजिए। $x' = 2t$ और $y' = 3t^2$ दोनों $\geq 0$ हैं: अतः शाखा दाईं और ऊपर की ओर बढ़ती है, $(0,0)$ से अनंत तक। $t = 0$ पर वेग शून्य हो जाता है; और प्रसार $x = t^2$ , $y = t^3$ दिखाते हैं कि स्पर्शरेखा $x$ -अक्ष है ( $y/x = t \to 0$ ), जहाँ $y$ चिह्न बदलता है जबकि $x \geq 0$ : अर्थात् बाईं ओर इशारा करता एक उभयाग्र। यह वक्र अर्ध-घनीय परवलय $y^2 = x^3$ है।

अभ्यास 24.2 ★

साइक्लॉयड $x(t) = t - \sin t$ , $y(t) = 1 - \cos t$ के लिए ( $1$ त्रिज्या वाले लुढ़कते पहिये के किसी बिंदु का प्रक्षेप-पथ): आवर्त-स्थानांतरण वाली सममिति, विचित्र बिंदु, तथा $t = 0$ पर स्पर्श-दिशा पहचानिए ( $x$ और $y$ का पहली अशून्य कोटियों तक प्रसार कीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 24.2.

$M(t + 2\pi) = M(t) + (2\pi, 0)$ : वक्र स्वयं को दोहराता है, बस एक पहिया-परिधि जितना सरका हुआ; अतः एक आवर्त का अध्ययन कीजिए। $x'(t) = 1 - \cos t \geq 0$ , $y'(t) = \sin t$ : मेहराब $\intoo{0}{\pi}$ पर चढ़ता है और $\intoo{\pi}{2\pi}$ पर उतरता है, तथा उसका शिखर $(\pi, 2)$ है। विचित्र बिंदु वहाँ जहाँ $x' = y' = 0$ : $t \in 2\pi\Z$ , अर्थात् ज़मीन पर। $t = 0$ के निकट:

x(t) = \frac{t^3}{6} + o(t^3), \qquad y(t) = \frac{t^2}{2} + o(t^2):

$x$ चिह्न बदलता है, $y \geq 0$ , और $\frac{x}{y^{3/2}}$ परिबद्ध है: अतः स्पर्शरेखा ऊर्ध्वाधर है (दिशा $(0,1)$ ), और यह एक उभयाग्र है जहाँ अनुगत बिंदु की चाल क्षण भर के लिए शून्य होती है — बिना फिसले लुढ़कने का भौतिक हस्ताक्षर।

अभ्यास 24.3 ★

वक्र $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ की $t = \frac\pi4$ पर स्पर्शरेखा दीजिए, और जाँचिए कि अक्षों द्वारा काटे गए इस स्पर्शरेखा-खंड की लंबाई $1$ है — यह ऐस्ट्रॉयड का एक प्रसिद्ध गुण है (हर नियमित बिंदु पर सत्य)।

हल

हल — अभ्यास 24.3.

$t = \frac\pi4$ पर: $M = \bigl(\frac{\sqrt2}{4}, \frac{\sqrt2}{4}\bigr)$ , स्पर्श-दिशा $(-\cos t, \sin t) = \frac{1}{\sqrt2}(-1, 1)$ (उदाहरण 24.4)। स्पर्शरेखा: $y - \frac{\sqrt2}{4} = -(x - \frac{\sqrt2}{4})$ , अर्थात् $x + y = \frac{\sqrt2}{2}$ । अंतःखंड: $\bigl(\frac{\sqrt2}{2}, 0\bigr)$ और $\bigl(0, \frac{\sqrt2}{2}\bigr)$ ; और उनके बीच के खंड की लंबाई $\sqrt{\frac12 + \frac12} = 1$ है।

(व्यापक बिंदु $t$ : $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ पर की स्पर्शरेखा अक्षों को $(\cos t, 0)$ और $(0, \sin t)$ पर काटती है — जाँचिए कि इन बिंदुओं से जाती रेखा की दिशा $(-\cos t, \sin t)$ है और वह $M(t)$ से होकर जाती है — और कटे हुए खंड की लंबाई $\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 1$ है।)

अभ्यास 24.4 ★

ध्रुवीय वक्र $r = \cos 2\theta$ (चार पंखुड़ियों वाला गुलाब) और $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ पर $r = \frac{1}{\cos\theta}$ के रेखाचित्र बनाइए (एक रेखा पहचानिए)।

हल

हल — अभ्यास 24.4.

$r = \cos 2\theta$ : $\theta$ में आवर्त $\pi$ , और दोनों अक्षों में सममित; $r$ $\theta = \pm\frac\pi4$ पर शून्य होता है (मूल बिंदु पर स्पर्शरेखाएँ विकर्णों के अनुदिश) और $\theta \in \intoo{\frac\pi4}{\frac{3\pi}{4}}$ के लिए ऋणात्मक है, जहाँ बिंदु विपरीत किरण पर अंकित होते हैं — जिससे अक्ष-दिशाओं $\theta = 0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}{2}$ के अनुदिश चार पंखुड़ियाँ बनती हैं, और हर एक की अधिकतम त्रिज्या $1$ है।

$r\cos\theta = 1$ वही समीकरण $x = 1$ है: अतः ध्रुवीय वक्र $r = \frac{1}{\cos\theta}$ ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 1$ है ( $\theta \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ के लिए एक बार बुहारी हुई)।

अभ्यास 24.5 ★★

ध्रुवीय वक्र $r = 1 + 2\cos\theta$ (एक लिमासों) का अध्ययन कीजिए: वह प्रांत जहाँ $r \geq 0$ बनाम $r < 0$ (ऋणात्मक त्रिज्या से अंकित बिंदु विपरीत किरण पर बैठते हैं), मूल बिंदु से गुज़र, भीतरी फंदा, और रेखाचित्र।

हल

हल — अभ्यास 24.5.

$r(\theta) = 1 + 2\cos\theta$ $\cos\theta = -\frac12$ के लिए शून्य होता है: $\theta = \pm\frac{2\pi}{3}$ । $x$ -अक्ष में सममिति; अतः $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ का अध्ययन कीजिए। $\theta \in \intco{0}{\frac{2\pi}{3}}$ के लिए: $r > 0$ , जो $3$ से घटकर $0$ तक आता है: बाहरी चाप, जो किरण $\theta = \frac{2\pi}{3}$ के स्पर्शतः मूल बिंदु में प्रवेश करता है। $\theta \in \intoc{\frac{2\pi}{3}}{\pi}$ के लिए: $r < 0$ : बिंदु $r\vec u(\theta)$ विपरीत किरण पर बैठते हैं (कोण $\theta - \pi \in \intoc{-\frac\pi3}{0}$ ), और दूरी $\abs r$ $0$ से बढ़कर $1$ हो जाती है: इससे मूल बिंदु से होकर एक छोटा भीतरी फंदा खिंचता है। $\theta = \pi$ पर $r = -1$ , और बिंदु $-\vec u(\pi) = (1, 0)$ है: अतः फंदा धनात्मक $x$ -अक्ष पर बंद हो जाता है। रेखाचित्र: एक बड़ा हृदय-जैसा बाहरी वक्र, जिसकी अधिकतम पहुँच $\theta = 0$ पर $3$ है, और उसके भीतर $O$ तथा $(1,0)$ से होकर जाता एक फंदा।

अभ्यास 24.6 ★★

शांकव $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ पहचानिए: वर्ग पूरे करके लघुकृत कीजिए, और केंद्र, अर्ध-अक्ष, नाभियाँ तथा उत्केंद्रता दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 24.6.

वर्ग पूरे कीजिए:

9(x^2 - 4x) + 25(y^2 - 2y) = 164 \iff 9(x-2)^2 + 25(y-1)^2 = 164 + 36 + 25 = 225 .

$225$ से भाग देने पर: $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$ : अर्थात् केंद्र $(2, 1)$ वाला दीर्घवृत्त, जिसके अर्ध-अक्ष $a = 5$ (क्षैतिज), $b = 3$ हैं; $c = \sqrt{25 - 9} = 4$ : नाभियाँ $(2 \pm 4,\, 1) = (-2, 1)$ और $(6, 1)$ ; उत्केंद्रता $e = \frac45$ ।

अभ्यास 24.7 ★★

सिद्ध कीजिए कि मूल बिंदु पर नाभि वाले किसी शांकव का ध्रुवीय समीकरण है

r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}

(नियता ऊर्ध्वाधर, नाभि से $\frac pe$ दूरी दाईं ओर)। $e > 1$ होने पर $\theta$ के कौन-से मान अनुमत हैं?

हल

हल — अभ्यास 24.7.

नाभि मूल बिंदु पर, नियता $D: x = d$ , जहाँ $d = \frac pe > 0$ । $r > 0$ वाले किसी बिंदु $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ के लिए:

MF = r, \qquad d(M, D) = \abs{d - r\cos\theta},

और शांकव-शर्त $MF = e\,d(M, D)$ , उस स्थिति में जब $M$ नियता की नाभि वाली ओर है ( $r\cos\theta < d$ ), $r = e(d - r\cos\theta)$ कहती है, अर्थात्

r(1 + e\cos\theta) = ed = p, \qquad r = \frac{p}{1 + e\cos\theta} .

$e < 1$ के लिए हर कभी शून्य नहीं होता: अतः सभी $\theta$ अनुमत (दीर्घवृत्त)। $e = 1$ के लिए: $\theta \neq \pi$ (परवलय, जो नियता की दूर वाली ओर खुलता है)। $e > 1$ के लिए: $1 + e\cos\theta > 0$ चाहिए, अर्थात् $\theta_0 = \arccos\bigl(-\frac1e\bigr)$ के साथ $\theta \in \intoo{-\theta_0}{\theta_0}$ : अर्थात् अतिपरवलय की एक शाखा (दूसरी शाखा चिह्न-चुनाव $r < 0$ के, अथवा दूसरी नाभि के अनुरूप है)।

अभ्यास 24.8 ★★

द्विनाभीय गुण $MF + MF' = 2a$ से दीर्घवृत्त की “माली वाली रचना” निकालिए, और सिद्ध कीजिए कि $M$ पर स्पर्शरेखा $MF$ और $MF'$ के साथ बराबर कोण बनाती है (परावर्तन गुण; $\norm{M(t) - F} + \norm{M(t) - F'} = 2a$ का अवकलन कीजिए और इकाई-सदिशों के गुणनों के योग के शून्य होने की व्याख्या कीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 24.8.

माली: $2a$ लंबाई की एक डोरी दो खूँटों $F, F'$ से बाँधिए और उसे अनुरेखी बिंदु $M$ से तनी रखिए: तब बाध्यता ठीक $MF + MF' = 2a$ है, अतः खिंचा हुआ वक्र वही दीर्घवृत्त है।

परावर्तन गुण: मान लीजिए $t \mapsto M(t)$ कोई नियमित प्राचलन है और $u(t) = \frac{M(t) - F}{\norm{M(t) - F}}$ , तथा $u'(t)$ $F'$ के लिए तदनुरूप इकाई सदिश। $\norm{M - F} + \norm{M - F'} = 2a$ का अवकलन करने पर, $\frac{\dd}{\dd t}\norm{M - F} = \bigl\langle \frac{M - F}{\norm{M-F}},\, M'\bigr\rangle$ का प्रयोग करते हुए ( $\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$ पर शृंखला नियम):

\bigl\langle u + u',\, M'\bigr\rangle = 0 .

अतः स्पर्श-दिशा $M'$ दोनों नाभीय किरणों की समद्विभाजक दिशा $u + u'$ के लांबिक है: इसलिए स्पर्शरेखा $MF$ और $MF'$ के साथ बराबर कोण बनाती है। (एक नाभि से चली प्रकाश-किरण दीर्घवृत्त से परावर्तित होकर दूसरी नाभि पर पहुँचती है।)

अभ्यास 24.9 ★★★

बेर्नुली का लेम्निस्केट ध्रुवीय वक्र $r^2 = \cos 2\theta$ है (जहाँ परिभाषित हो वहाँ $r = \sqrt{\cos2\theta}$ लीजिए)।

उसका प्रांत, सममितियाँ, मूल बिंदु पर की स्पर्शरेखाएँ दीजिए, और रेखाचित्र बनाइए।
सिद्ध कीजिए कि वह उन बिंदुओं $M$ का बिंदुपथ है जिनके लिए $MF \cdot MF' = \frac12$ , जहाँ $F, F' = \bigl(\pm\frac{1}{\sqrt2}, 0\bigr)$ । (ध्रुवीय निर्देशांकों में $MF^2\,MF'^2$ संगणित कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 24.9.

प्रांत: $\cos 2\theta \geq 0$ : $\theta \in \intcc{-\frac\pi4}{\frac\pi4} \cup \intcc{\frac{3\pi}{4}}{\frac{5\pi}{4}}$ । सममितियाँ: $\theta \mapsto -\theta$ ( $x$ -अक्ष) और $\theta \mapsto \pi - \theta$ ( $y$ -अक्ष): अतः $\intcc{0}{\frac\pi4}$ का अध्ययन कीजिए; $r$ $1$ से घटकर $0$ तक आता है। $\theta = \pm\frac\pi4$ पर: $r = 0$ , और मूल बिंदु पर स्पर्शरेखाएँ विकर्णों के अनुदिश। वक्र $\infty$ चिह्न जैसा है: $O$ पर मिलते दो सममित फंदे, जिनकी पहुँच $(\pm 1, 0)$ है।
$F, F' = (\pm c, 0)$ , $c = \frac{1}{\sqrt 2}$ , और $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ के साथ:

$MF^2\, MF'^2 = \bigl((r\cos\theta - c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) \bigl((r\cos\theta + c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) = (r^2 + c^2)^2 - (2rc\cos\theta)^2 ,$

यह $A = r^2 + c^2$ , $B = 2rc\cos\theta$ के साथ सर्वसमिका $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ से मिलता है। $c^2 = \frac12$ के साथ:

$MF^2 MF'^2 = \Bigl(r^2 + \frac12\Bigr)^2 - 2r^2\cos^2\theta = r^4 + r^2\bigl(1 - 2\cos^2\theta\bigr) + \frac14 = r^4 - r^2\cos 2\theta + \frac14 .$

लेम्निस्केट पर $r^2 = \cos 2\theta$ : अतः पहले दो पद कट जाते हैं और $MF^2MF'^2 = \frac14$ बचता है, अर्थात् $MF \cdot MF' = \frac12$ । विलोमतः, इसी संगणना को उलटा पढ़ने पर दिखता है कि बिंदुपथ-समीकरण $MF\,MF' = \frac12$ $r^2 = \cos 2\theta$ है ( $r \neq 0$ के लिए; और $O$ दोनों को संतुष्ट करता है)।

अभ्यास 24.10 ★★

परिभाषा 24.9 के ध्रुवीय सूत्र का प्रयोग करके कार्डियॉयड $r = 1 + \cos\theta$ की कुल लंबाई संगणित कीजिए (सर्वसमिका $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac\theta2$ वर्गमूल को $2\abs{\cos\frac\theta2}$ में बदल देती है)।

हल

हल — अभ्यास 24.10.

$r = 1 + \cos\theta$ , $r' = -\sin\theta$ :

r^2 + r'^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\frac\theta2 ,

अतः $\sqrt{r^2 + r'^2} = 2\abs{\cos\frac\theta2}$ , और $x$ -अक्ष में सममिति से,

L = \int_0^{2\pi} 2\Bigl|\cos\frac\theta2\Bigr|\,\dd\theta = 2\int_0^{\pi} 2\cos\frac\theta2\,\dd\theta = 2\Bigl[4\sin\frac\theta2\Bigr]_0^{\pi} = 8 .

एक और बीजीय, $\pi$ -मुक्त परिमाप।

अभ्यास 24.11 ★★

दिखाइए कि दीर्घवृत्त $(a\cos t, b\sin t)$ की, प्राचल $t$ वाले बिंदु पर, स्पर्शरेखा का समीकरण है

\frac{x\cos t}{a} + \frac{y\sin t}{b} = 1 ,

और दीर्घवृत्त के किसी बिंदु $(x_0, y_0)$ पर $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा निकालिए: $\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1$ (“वर्गों को बाँटने” का नियम)।

हल

हल — अभ्यास 24.11.

बिंदु $(a\cos t, b\sin t)$ समीकरण को संतुष्ट करता है: $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ । रेखा का अभिलंब सदिश $\bigl(\frac{\cos t}a, \frac{\sin t}b\bigr)$ है, और वेग $(-a\sin t, b\cos t)$ के साथ उसका गुणन $-\sin t\cos t + \sin t\cos t = 0$ है: अतः वह रेखा उस बिंदु से होकर स्पर्श-दिशा में जाती है — यानी वही स्पर्शरेखा है। दीर्घवृत्त पर $(x_0, y_0)$ के लिए $\cos t = \frac{x_0}a$ , $\sin t = \frac{y_0}b$ लिखिए और प्रतिस्थापित कीजिए:

\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1 ,

जो दीर्घवृत्त-समीकरण से $x^2 \mapsto x\,x_0$ और $y^2 \mapsto y\,y_0$ को “बाँट देने” से मिलता है।

अभ्यास 24.12 ★★★

लघुगणकीय सर्पिल ध्रुवीय वक्र $r = \eu^{k\theta}$ है ( $k > 0$ नियत, $\theta \in \R$ )।

दिखाइए कि त्रिज्या और स्पर्शरेखा के बीच का कोण $V$ अचर है ( $\tan V = \frac1k$ ) — अर्थात् सर्पिल हर किरण को एक ही कोण पर काटता है।
दिखाइए कि सर्पिल को $c$ कोण से घुमाने पर वह गुणक $\eu^{-kc}$ से उसके मापन पर चला जाता है: अर्थात् सर्पिल का हर घूर्णन उसी का आवर्धन है (स्व-समरूपता)।
चाप $\theta \in \intoc{-\infty}{\theta_0}$ की लंबाई संगणित कीजिए ( $\intcc{A}{\theta_0}$ , $A \to -\infty$ पर की लंबाइयों की सीमा के रूप में) और देखिए कि वह परिमित है: अर्थात् ऐसा वक्र जो मूल बिंदु के चारों ओर अनंत बार लिपटता है, फिर भी उसकी लंबाई परिमित है।

हल

हल — अभ्यास 24.12.

$r' = k\eu^{k\theta}$ , अतः $\tan V = \frac{r}{r'} = \frac1k$ : जो अचर है। सर्पिल मूल बिंदु से जाती हर किरण को एक ही कोण $V = \arctan\frac1k$ पर काटता है।
सम्मिश्र संकेतन में सर्पिल $\{\eu^{k\theta} \eu^{\iu\theta} : \theta \in \R\}$ है। $c$ से घुमाने पर वह $\eu^{\iu c}$ से गुणित हो जाता है:

$\eu^{k\theta}\eu^{\iu(\theta + c)} = \eu^{-kc}\,\eu^{k(\theta + c)}\eu^{\iu(\theta+c)} ,$

और जैसे-जैसे $\theta + c$ $\R$ पर चलता है, यह सर्पिल का $\eu^{-kc}$ गुना बताता है: अर्थात् घूर्णन $=$ मापन। रेखाओं और वृत्तों के अतिरिक्त कोई अन्य चिकना वक्र यह गुण नहीं रखता।
$\sqrt{r^2 + r'^2} = \sqrt{1 + k^2}\,\eu^{k\theta}$ , अतः $\intcc{A}{\theta_0}$ पर लंबाई $\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\bigl(\eu^{k\theta_0} - \eu^{kA}\bigr)$ है, और $A \to -\infty$ होने पर:

$L = \frac{\sqrt{1 + k^2}}{k}\,\eu^{k\theta_0} < \infty :$

अर्थात् मूल बिंदु के चारों ओर अनंत चक्कर, फिर भी परिमित कुल लंबाई (चक्कर गुणोत्तर रूप से सिकुड़ते जाते हैं)।

24.6 समस्या: साइक्लॉयड, वक्रों की रानी

समस्या 24.1

$R$ त्रिज्या वाला एक पहिया $x$ -अक्ष के अनुदिश बिना फिसले लुढ़कता है; और परिधि का वह बिंदु जो आरंभ में मूल बिंदु पर था, साइक्लॉयड खींचता है। सत्रहवीं शताब्दी इस वक्र पर लड़ी — गैलीलियो ने उसके काग़ज़ी टुकड़े तौले, रेन ने उसे नापा, रोबेरवाल ने उसका क्षेत्रफल संगणित किया, हाइगेंस ने उस पर घड़ियाँ बनाईं — और उनका हर परिणाम इसी अध्याय की पहुँच में है। हम चारों शास्त्रीय परिणाम सिद्ध करते हैं: स्पर्शरेखा की रचना, रेन की लंबाई $8R$ , क्षेत्रफल $3\pi R^2$ , और हाइगेंस का समकाल गुण।

भाग I — लुढ़कना और स्पर्शरेखा।

पहिया $t$ कोण घूम चुकने के बाद उसका केंद्र $\Omega(t) = (Rt, R)$ पर होता है (बिना फिसले लुढ़कना: स्पर्श-दूरी $=$ लुढ़का हुआ चाप)। दिखाइए कि चिह्नित बिंदु यहाँ है

$M(t) = \bigl(R(t - \sin t),\; R(1 - \cos t)\bigr).$
$f'(t)$ संगणित कीजिए और $\norm{f'(t)} = 2R\,\abs{\sin\frac t2}$ दिखाइए; विचित्र बिंदु (उभयाग्र — अभ्यास 24.2 देखिए) और हर मेहराब का शीर्ष खोजिए।
मान लीजिए $C(t) = (Rt, 0)$ स्पर्श-बिंदु है और $T(t) = (Rt, 2R)$ पहिये का शीर्ष। सिद्ध कीजिए कि $0 < t < 2\pi$ के लिए सदिश $M - C$ $M(t)$ पर वक्र का अभिलंब है और सदिश $T - M$ स्पर्शरेखीय: अर्थात् साइक्लॉयड की स्पर्शरेखा खींचने के लिए उस बिंदु को अपने लुढ़कते वृत्त के शीर्ष से जोड़ दीजिए। (सब कुछ $\sin\frac t2$ और $\cos\frac t2$ के द्वारा गुणनखंडित कीजिए।)
प्रश्न 3 की गतिकीय व्याख्या कीजिए: स्पर्श-बिंदु ही तात्क्षणिक घूर्णन केंद्र है, और $M$ की चाल $C$ तक की उसकी दूरी के बराबर है (इकाई कोणीय वेग के लिए)। $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ सत्यापित कीजिए।
ऊँचाई–चाल संबंध सिद्ध कीजिए

$\norm{f'(t)}^2 = 2R\,y(t) :$

अर्थात् इकाई कोणीय वेग से पार किए जाने वाले साइक्लॉयड पर हर बिंदु की चाल ठीक उतनी ही है जितनी वर्तमान ऊँचाई के बराबर गिरावट के लिए मुक्त-पतन की चाल होती है। (इसे भाग IV के लिए रख लीजिए।)

भाग II — रेन की प्रमेय: मेहराब की लंबाई $8R$ है।

परिभाषा 24.9 का प्रयोग करके एक मेहराब की लंबाई संगणित कीजिए:

$L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 8R$

(रेन की प्रमेय, 1658)। चार पहिया-व्यास, और कहीं कोई $\pi$ नहीं।
उभयाग्र से चाप लंबाई संगणित कीजिए: $s(t) = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ , और $s(2\pi) = 8R$ जाँचिए।
अब चाप को शीर्ष $t = \pi$ से नापिए: $\sigma(t) = \abs{4R\cos\frac t2}$ । आंतरिक संबंध सिद्ध कीजिए

$\sigma^2 = 8R\,\bigl(2R - y\bigr) :$

अर्थात् शीर्ष से चाप-दूरी का वर्ग शीर्ष के नीचे की ऊँचाई-गिरावट के समानुपाती है।
जाँचें: प्रश्न 8 से फिर से प्राप्त कीजिए कि शीर्ष से उभयाग्र तक के आधे मेहराब की लंबाई $4R$ है, और उदाहरण 24.10 की ऐस्ट्रॉयड-संगणना से तुलना कीजिए — दोनों वक्रों की लंबाइयाँ बीजीय और $\pi$ -मुक्त हैं; समझाइए कि यह कैसे संभव है, जबकि दोनों वृत्तों से बने हैं। ( $\norm{f'}$ का रूप देखिए।)

भाग III — रोबेरवाल का क्षेत्रफल: $3\pi R^2$ ।

औचित्य दीजिए कि एक मेहराब और ज़मीन के बीच का क्षेत्रफल $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ है ( $\int y\,\dd x$ में प्रतिस्थापन $x = x(t)$ , प्रमेय 15.15; $x$ वर्धमान है)।
संगणित कीजिए

$A = R^2\int_0^{2\pi}(1 - \cos t)^2\,\dd t = 3\pi R^2 :$

अर्थात् पहिये के क्षेत्रफल का ठीक तीन गुना — वही अनुपात जिसका अनुमान गैलीलियो ने तौलकर लगाया था।
ऐस्ट्रॉयड $(\cos^3t, \sin^3t)$ के लिए वही विधि: दिखाइए कि घिरा हुआ क्षेत्रफल $\frac{3\pi}8$ है ( $\sin^4 t\cos^2 t$ को रैखिक कीजिए; पूरे आवर्त पर केवल अचर पद बचता है)।
प्रश्न 10 के सूत्र की जाँच ऊपरी इकाई अर्धवृत्त $(\cos t, \sin t)$ , $t$ पर $\pi$ से $0$ तक कीजिए: क्या वह $\frac\pi2$ लौटाता है?

भाग IV — हाइगेंस का समकाल वक्र। मेहराब को उलट दीजिए: एक घर्षणहीन मनका गुरुत्व $g$ के अंतर्गत साइक्लॉयडी कटोरे के भीतर फिसलता है

x(t) = R(t + \sin t), \qquad y(t) = R(1 - \cos t) \qquad (t \in \intcc{-\pi}{\pi}),

जिसका सबसे निचला बिंदु मूल बिंदु है ( $y$ ऊपर की ओर नापा गया)।

चाल $\norm{f'(t)} = 2R\cos\frac t2$ , तल से चाप लंबाई $s(t) = 4R\sin\frac t2$ संगणित कीजिए, और कुंजी-सर्वसमिका सिद्ध कीजिए

$y = \frac{s^2}{8R} .$
प्राचल $t_0 > 0$ वाले बिंदु से विरामावस्था में छोड़ा गया मनका ऊर्जा-संरक्षण का पालन करता है: यदि $s(\tau)$ समय $\tau$ पर उसकी चाप-स्थिति दर्शाता है, तो $\frac12\bigl( \frac{\dd s}{\dd\tau}\bigr)^2 + g\,y = g\,y_0$ । प्रश्न 14 का प्रयोग करके इसे यों फिर से लिखिए

$\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = \frac{g}{4R}\,\bigl(s_0^2 - s^2\bigr), \qquad s_0 = s(t_0).$
$\tau$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए और सरल आवर्त दोलक पाइए

$\frac{\dd^2 s}{\dd\tau^2} = -\frac{g}{4R}\,s ;$

उसे प्रमेय 5.10 और आरंभिक शर्तों के साथ हल कीजिए: $s(\tau) = s_0\cos(\omega\tau)$ , $\omega = \sqrt{g/4R}$ ।
समकाल गुण निकालिए (हाइगेंस, 1659): तल तक पहुँचने का समय,

$T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,$

छोड़ने के बिंदु पर निर्भर नहीं करता — कटोरे की किन्हीं भी दो ऊँचाइयों से एक साथ छोड़े गए मनके एक साथ ही पहुँचते हैं।
प्रतिस्थापन से सत्यापित कीजिए कि $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ प्रश्न 15 के प्रथम-कोटि ऊर्जा-समीकरण को ठीक-ठीक संतुष्ट करता है (केवल अवकलित समीकरण को ही नहीं), और एक वाक्य में समझाइए कि वृत्तीय लोलक केवल लगभग समकालिक क्यों है जबकि साइक्लॉयड ठीक-ठीक समकालिक है।
संख्यात्मक रूप से: कौन-सी त्रिज्या $R$ उतरने के समय को ठीक एक सेकंड बना देती है ( $g = 9.81$ )? ध्यान दीजिए कि उत्तर एक मीटर के कितना निकट है, और पूरा दोलन-आवर्त $2\pi\sqrt{4R/g}$ $\ell = 4R$ के लिए लघु-कोण लोलक-सूत्र $2\pi\sqrt{\ell/g}$ के सामने कैसा है।

भाग V — लाभांश, और संश्लेषण।

प्रश्न 3 का स्पर्शरेखा-नियम $t = \frac\pi2$ पर लगाइए ( $R = 1$ लीजिए): $M$ , $T$ , तथा $MT$ की दिशा संगणित कीजिए, और उसे $f'(\frac\pi2)$ के सामने जाँचिए।
(ट्रोकॉयड) इसके बदले केंद्र से $d$ दूरी पर का कोई बिंदु चिह्नित कीजिए ( $d \neq R$ ): तब वक्र $x = Rt - d\sin t$ , $y = R - d\cos t$ है। दिखाइए कि $d < R$ के लिए वक्र सर्वत्र नियमित है और उसमें कोई विचित्र व्यवहार नहीं है ( $x' > 0$ : वह आगे बढ़ता रहता है), जबकि $d > R$ के लिए भुज $x'$ चिह्न बदलता है और वक्र फंदे बनाता है — अर्थात् रेल के उस किनारेदार पहिये जैसा, जिसके परिधि-बिंदु पीछे की ओर चलते हैं।
(लघुतमकाल वक्र की झलक) कटोरे के उभयाग्र $(\pi R, 2R)$ से तल तक साइक्लॉयड पर उतरने के समय $\pi\sqrt{R/g}$ की तुलना उन्हीं बिंदुओं को जोड़ती सीधी ढलान पर लगने वाले समय से कीजिए (जीवा के अनुदिश अचर त्वरण $g\sin\alpha$ ): दिखाइए कि जीवा $\sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{R/g} \approx 3.72\sqrt{R/g}$ लेती है। वक्र रेखा को हरा देता है — वस्तुतः वह सभी वक्रों में सबसे तेज़ है, और यह परिणाम विचरण-कलन का है।
दिखाइए कि मेहराब पर ( $0 < t < 2\pi$ ),

$\frac{\dd y}{\dd x} = \cot\frac t2, \qquad \frac{\dd^2 y}{\dd x^2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :$

अर्थात् मेहराब अवतल है, और ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखाएँ ठीक उभयाग्रों पर हैं।
अभ्यास 24.2 की ऊर्ध्वाधर उभयाग्र-स्पर्शरेखा ज्यामितीय रूप से फिर से प्राप्त कीजिए: $t \to 0^{+}$ होने पर प्रश्न 3 की जीवा $MT$ की सीमांत दिशा संगणित कीजिए, और वह भी बिना किसी प्रसार के।
संश्लेषण, चार वाक्यों में: इस समस्या ने कौन-सी तीन नामित प्रमेयें सिद्ध कीं (उनकी संख्याओं $8R$ , $3\pi R^2$ , $\pi\sqrt{R/g}$ और उनके लेखकों के साथ); कौन-सी अकेली संगणनात्मक युक्ति ( $\sin\frac t2$ , $\cos\frac t2$ वाले गुणनखंडन) भाग I, II और IV, तीनों को चलाती रही; आंतरिक संबंध $y = s^2/8R$ ने ज्यामिति को रैखिक अवकल समीकरण में कैसे बदल दिया; और हर भाग इस पुस्तक के किस अध्याय पर टिका था।

हल

हल — समस्या 24.1.

1. बिना फिसले लुढ़कने का अर्थ है कि स्पर्श-बिंदु उतनी ही दूरी चला है जितना पहिये का चाप खुला: अतः $t$ घूमने के बाद केंद्र $(Rt, R)$ पर है। चिह्नित बिंदु परिधि पर, नीचे की ऊर्ध्वाधर से $t$ कोण पीछे बैठा है (पहिया आगे बढ़ते हुए दक्षिणावर्त घूमता है):

M(t) = \Omega(t) + R(-\sin t, -\cos t) = \bigl(R(t - \sin t),\ R(1 - \cos t)\bigr),

जो $t = 0$ पर ( $M = (0,0)$ ) और $t = \pi$ पर ( $M = (\pi R, 2R)$ , शीर्ष) सही है।

2. $f'(t) = R(1 - \cos t,\ \sin t)$ और

\norm{f'}^2 = R^2\bigl((1-\cos t)^2 + \sin^2 t\bigr) = 2R^2(1 - \cos t) = 4R^2\sin^2\frac t2 ,

अतः $\norm{f'} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ । विचित्र बिंदु $t \in 2\pi\Z$ पर: ज़मीन पर के उभयाग्र (अभ्यास 24.2); और मेहराब का शीर्ष $t = \pi$ है, जहाँ चाल $2R$ अधिकतम है।

3. अर्ध-कोण गुणनखंडन:

f'(t) = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr), \quad M - C = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(-\cos\frac t2,\ \sin\frac t2\Bigr),

T - M = \bigl(R\sin t,\ R(1 + \cos t)\bigr) = 2R\cos\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr).

$0 < t < 2\pi$ के लिए $\sin\frac t2 \neq 0$ : $M - C$ स्पर्श-दिशा $\bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ के लांबिक है (उनका गुणन $-\sin\frac t2\cos\frac t2 + \sin\frac t2\cos\frac t2 = 0$ है), और $T - M$ उसके समांतर। पहिये के शीर्ष तक की जीवा स्पर्शरेखा है; और स्पर्श-बिंदु तक की जीवा अभिलंब।

4. हर क्षण पहिया अपने स्पर्श-बिंदु के परितः घूमता है (उस बिंदु का वेग शून्य है: बिना फिसले लुढ़कना), अतः पहिये का हर दृढ़ बिंदु उसे $C$ से जोड़ती रेखा के लांबिक चलता है, और उसकी चाल (कोणीय वेग $1$ ) उसी दूरी के बराबर होती है। जाँच: $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2} = \norm{f'(t)}$ ।

5. $2R\,y(t) = 2R\cdot 2R\sin^2\frac t2 = 4R^2\sin^2\frac t2 = \norm{f'(t)}^2$ । ऊँचाई $y$ पर चाल $\sqrt{2R\,y}$ है — अर्थात् औपचारिक रूप से मुक्त-पतन का नियम $v = \sqrt{2gh}$ , जहाँ ज़मीन छत की भूमिका निभा रही है; और भाग IV इसी प्रेक्षण को घड़ी में बदल देता है।

6. परिभाषा 24.9 और प्रश्न 2 से ( $\intcc{0}{2\pi}$ पर $\sin\frac t2 \geq 0$ ):

L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 2R\Bigl[-2\cos\frac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 2R(2 + 2) = 8R .

रेन की प्रमेय: ठीक चार व्यास।

7. $s(t) = \int_0^t 2R\sin\frac u2\,\dd u = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ ; $s(2\pi) = 4R(1+1) = 8R$ , जो संगत है।

8. $\sigma(t) = \abs{s(t) - s(\pi)} = \abs{4R(1 - \cos\frac t2) - 4R} = 4R\abs{\cos\frac t2}$ , अतः $\sigma^2 = 16R^2\cos^2\frac t2$ ; और $2R - y = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , जिससे $8R(2R - y) = 16R^2\cos^2\frac t2 = \sigma^2$ ।

9. उभयाग्र $t = 0$ पर (अथवा $2\pi$ ): $\sigma = 4R$ , जो $8R$ का आधा है: अर्थात् शीर्ष मेहराब को आधा कर देता है। दोनों संगणनाओं में चाल $\abs{\text{त्रिकोणमितीय बहुपद, चर } t/2}$ है, जिसका प्रतिअवकलज फिर त्रिकोणमितीय है: अतः लंबाई कोज्याओं के मानों का अंतर है — यानी परिमेय संख्याएँ गुणा $R$ — और नापने के लिए कोई वृत्त-चाप है ही नहीं, इसलिए कोई $\pi$ भी नहीं। वृत्त की अपनी चाल अचर है, अतः उसका लंबाई-समाकल पूरा अंतराल-दैर्घ्य $2\pi$ पैदा करता है; जबकि साइक्लॉयड की चाल सिरों पर शून्य हो जाती है और बीजीय रूप से समाकलित होती है।

10. मेहराब $x$ के $0$ से $2\pi R$ तक बढ़ते हुए बुहारा जाता है ( $x' = R(1 - \cos t) \geq 0$ , जो केवल छिटपुट बिंदुओं पर शून्य होता है)। क्षेत्रफल-समाकल $\int_0^{2\pi R} y\,\dd x$ (प्रमेय 15.15) में $x = x(t)$ प्रतिस्थापित करने पर $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ मिलता है।

11.

A = \int_0^{2\pi} R(1 - \cos t)\cdot R(1 - \cos t)\,\dd t = R^2\int_0^{2\pi}\bigl(1 - 2\cos t + \cos^2 t\bigr)\dd t = R^2\Bigl(2\pi - 0 + \pi\Bigr) = 3\pi R^2 ,

$\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$ का प्रयोग करते हुए। ठीक तीन पहिया-क्षेत्रफल: गैलीलियो की तराज़ू ने कहा था “लगभग $3$ ”; रोबेरवाल की संगणना कहती है “ठीक-ठीक”।

12. $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ के साथ: $y\,x' = -3\sin^4 t\cos^2 t$ । रैखिक कीजिए:

\sin^4 t\cos^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}\cdot\frac{\sin^2 2t}{4} = \frac{\sin^2 2t}{8} - \frac{\sin^2 2t\cos 2t}{8} ,

और $\intcc{0}{2\pi}$ पर: $\int\sin^2 2t = \pi$ , $\int \sin^2 2t\cos 2t = \bigl[\frac{\sin^3 2t}{6}\bigr] = 0$ । अतः $\oint y\,\dd x = -3\cdot\frac\pi8$ , और घिरा हुआ क्षेत्रफल $\frac{3\pi}8$ है (चिह्न वामावर्त दिक्विन्यास दर्ज करता है)।

13. $\pi$ से $0$ तक $t$ के साथ $(\cos t, \sin t)$ के लिए $x$ $-1$ से बढ़कर $1$ हो जाता है और

\int_\pi^0 \sin t\cdot(-\sin t)\,\dd t = \int_0^\pi \sin^2 t\,\dd t = \frac\pi2 :

अतः सूत्र ऊपरी अर्ध-चक्र का क्षेत्रफल लौटा देता है, जैसा होना ही चाहिए।

14. $x' = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , $y' = R\sin t = 2R\sin\frac t2\cos\frac t2$ , अतः $\norm{f'} = 2R\cos\frac t2$ ( $\intcc{-\pi}{\pi}$ पर ऋणेतर)। तल से चाप: $s(t) = \int_0^t 2R\cos\frac u2\,\dd u = 4R\sin\frac t2$ । तब

y = R(1 - \cos t) = 2R\sin^2\frac t2 = 2R\Bigl(\frac{s}{4R}\Bigr)^{\!2} = \frac{s^2}{8R} .

15. $v = \frac{\dd s}{\dd\tau}$ और $y = \frac{s^2}{8R}$ , $y_0 = \frac{s_0^2}{8R}$ के साथ ऊर्जा-संरक्षण:

\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = 2g(y_0 - y) = \frac{2g}{8R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr) = \frac{g}{4R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr).

16. $\tau$ में अवकलन करने पर: $2s's'' = -\frac{g}{4R}\,2ss'$ , अतः जहाँ भी $s' \neq 0$ (और संततता से सर्वत्र), $s'' = -\frac{g}{4R}s$ : अर्थात् सरल आवर्त दोलक। प्रमेय 5.10 से $\omega = \sqrt{g/(4R)}$ के साथ $s(\tau) = A\cos\omega\tau + B\sin\omega\tau$ ; और आरंभिक शर्तें $s(0) = s_0$ , $s'(0) = 0$ $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ देती हैं।

17. मनका तल पर तब पहुँचता है जब $s = 0$ , अर्थात् $\omega\tau = \frac\pi2$ पर:

T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \frac\pi2\sqrt{\frac{4R}{g}} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,

जो $s_0$ से स्वतंत्र है: कटोरे में कहीं से भी छोड़े जाएँ, सारे मनके एक ही क्षण पहुँचते हैं — यही समकाल गुण है।

18. $s = s_0\cos\omega\tau$ प्रतिस्थापित करने पर: बायाँ पक्ष $s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ है और दायाँ पक्ष $\frac{g}{4R}s_0^2(1 - \cos^2\omega\tau) = s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ : अर्थात् यथार्थ समानता, अतः कोई मिथ्या हल नहीं आया। किसी वृत्तीय चाप के लिए $y$ $s^2$ का समानुपाती नहीं होता ( $y = \ell(1 - \cos\frac s\ell) = \frac{s^2}{2\ell} - \frac{s^4}{24\ell^3} + \dots$ ): प्रत्यानयन पद केवल लगभग रैखिक है, अतः वृत्तीय लोलक का आवर्त आयाम के साथ खिसकता है, जबकि साइक्लॉयड का कठोरता से अचर रहता है।

19. $\pi\sqrt{R/g} = 1$ से $R = \frac{g}{\pi^2} \approx \frac{9.81}{9.87} \approx 0.994$ मीटर मिलता है — लगभग ठीक एक मीटर। पूरा दोलन $\frac{2\pi}\omega = 2\pi\sqrt{4R/g}$ लेता है, जो लंबाई $\ell = 4R$ वाले लोलक के लिए ठीक लघु-कोण सूत्र $2\pi\sqrt{\ell/g}$ है: हाइगेंस ने अपना लोलक ठीक उसी अनुपात के साइक्लॉयडी गालों से लटकाया था।

20. $t = \frac\pi2$ पर, $R = 1$ : $M = \bigl(\frac\pi2 - 1,\ 1\bigr)$ , $T = \bigl(\frac\pi2,\ 2\bigr)$ , अतः $T - M = (1, 1)$ । और $f'(\frac\pi2) = (1 - 0,\ 1) = (1, 1)$ : अर्थात् शीर्ष तक की जीवा ही वेग है, जैसा वादा था।

21. ट्रोकॉयड के लिए $x'(t) = R - d\cos t$ और $y'(t) = d\sin t$ । यदि $d < R$ : तो $x' \geq R - d > 0$ , अतः बिंदु सदा आगे बढ़ता है; वेग कभी शून्य नहीं होता (उसका पहला घटक धनात्मक है): कोई विचित्र बिंदु नहीं, बस एक नियमित लहर। यदि $d > R$ : तो $x'(0) = R - d < 0 < R + d = x'(\pi)$ , अतः बिंदु स्पर्श-क्षणों के निकट पीछे और अन्यत्र आगे चलता है: और वक्र फंदों में स्वयं को काटता है। रेल के पहिये के किनारे पर का कोई बिंदु (पटरी के शीर्ष से नीचे, $d > R$ ) हर चक्कर में पीछे की ओर चलता है।

22. उभयाग्र $(\pi R, 2R)$ से मूल बिंदु तक की जीवा की लंबाई $L = R\sqrt{\pi^2 + 4}$ है और उसका ढाल-कोण $\alpha$ है, जहाँ $\sin\alpha = \frac{2R}{L}$ । विराम से अचर त्वरण $g\sin\alpha$ के साथ फिसलने पर: $L = \frac12 g\sin\alpha\,T^2$ , अतः

T = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}} = \sqrt{\frac{2L^2}{2Rg}} = \frac{L}{\sqrt{Rg}} = \sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{\frac Rg} \approx 3.72\sqrt{\frac Rg}\,,

जबकि साइक्लॉयड के लिए $\pi\sqrt{R/g} \approx 3.14\sqrt{R/g}$ : अर्थात् वक्र वाला पथ तेज़ है। वस्तुतः वही सबसे तेज़ संभव पथ है — लघुतमकाल वक्र — और यह विचरण-कलन की प्रमेय है, जो इस खंड से आगे की बात है।

23. $\dfrac{\dd y}{\dd x} = \dfrac{y'}{x'} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\dfrac t2$ (अर्ध-कोण सूत्र)। तब

\frac{\dd^2y}{\dd x^2} = \frac{\dd}{\dd t}\Bigl(\cot\frac t2\Bigr)\cdot\frac{1}{x'(t)} = -\frac{1}{2\sin^2\frac t2}\cdot\frac{1}{2R\sin^2\frac t2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :

अर्थात् पूरे मेहराब पर अवतल; और $t \to 0^+$ अथवा $2\pi^-$ होने पर ढाल $\cot\frac t2 \to \pm\infty$ : यानी उभयाग्रों पर ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखाएँ।

24. जीवा की दिशा $T - M \parallel \bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ है, जो $t \to 0^{+}$ होने पर $(0, 1)$ की ओर जाती है: अतः उभयाग्र पर स्पर्शरेखा ऊर्ध्वाधर है — और यह शुद्ध ज्यामिति से, बिना किसी टेलर प्रसार के मिल गया।

25. (क) रेन की प्रमेय, $L = 8R$ ; रोबेरवाल का क्षेत्रफल, $A = 3\pi R^2$ (गैलीलियो का अनुमानित अनुपात $3$ ); हाइगेंस का समकाल गुण, $T_\downarrow = \pi\sqrt{R/g}$ । (ख) हर संगणना अर्ध-कोण गुणनखंडनों $f' = 2R\sin\frac t2(\sin\frac t2, \cos\frac t2)$ और कटोरे वाले उनके समकक्ष पर चली — एक ही सर्वसमिका, जो स्पर्शरेखा, लंबाई और घड़ी, तीनों को चलाती रही। (ग) आंतरिक संबंध $y = s^2/8R$ ने ऊर्जा-समीकरण को $s'' = -\frac{g}{4R}s$ में बदल दिया, जो अचर गुणांकों वाला रैखिक समीकरण है और जिसके हल ठीक-ठीक समकालिक हैं। (घ) भाग I ने अध्याय 14 का अवकल कलन प्रयुक्त किया, भाग II तथा III ने अध्याय 15 का समाकल, और भाग IV ने अध्याय 5 के अवकल समीकरण — अर्थात् साइक्लॉयड इस पुस्तक का पूरा पाठ्यक्रम एक ही वक्र में लपेटा हुआ है।