22प्रायिकता: आधार और बृहत् संख्याओं का नियम

हल — अभ्यास 22.1.

(क) $u \in \intoo01$ के लिए: $\P(F(X) \leq u) = \P(X \leq F^{-1}(u)) = F(F^{-1}(u)) = u$ (सांतत्य और कड़ी एकदिष्टता $F$ को $\intoo01$ पर एकैकी आच्छादक बना देती हैं, जिससे $\{F(X) \leq u\} = \{X \leq F^{-1}(u)\}$): अतः $F(X)$ एकसमान है। विपरीत दिशा में $\P(G(U) \leq t) = \P(U \leq F(t)) = F(t)$: अर्थात् किसी बंटन नियम का अनुकरण करने के लिए किसी एकसमान प्रतिदर्श पर प्रतिलोम बंटन फलन लगाइए।

(ख) $Y = X^2$, जहाँ $X$ $\intcc{-1}1$ पर एकसमान है: $t \in \intcc01$ के लिए $F_Y(t) = \P(-\sqrt t \leq X \leq \sqrt t) = \sqrt t$: अतः घनत्व $\frac1{2\sqrt t}\mathbf 1_{\intoo01}$। और $\P\bigl(-\frac1\lambda\ln U \leq t\bigr) = \P(U \geq \eu^{-\lambda t}) = 1 - \eu^{-\lambda t}$: अर्थात् चरघातांकी $\mathcal E(\lambda)$ — प्रतिलोमन क्रिया में।

हल — अभ्यास 22.2.

(क) प्वासों: $\E X = \sum_{k\geq0}k\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \lambda$, $\E[X(X-1)] = \lambda^2$, अतः $\V = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$। ज्यामितीय ($\P(X = k) = p(1-p)^{k-1}$): $\E X = \frac1p$, $\V = \frac{1-p}{p^2}$ (ज्यामितीय श्रेणी का दो बार अवकलन कीजिए)।

(ख) $G(t) = \P(T > t)$ अवर्धमान है और $G(0^+)\dots$ $G \colon \intco0\infty \to \intoc01$; और स्मृतिहीनता का पाठ $G(t + s) = G(t)G(s)$ है। तब $G(n t) = G(t)^n$ तथा $G(t/n) = G(t)^{1/n}$: अतः परिमेय $q \geq 0$ के लिए $G(q) = G(1)^q$; $G(1) = \eu^{-\lambda}$ लिखिए ($\in \intoo01$: $G(1) = 1$ $G \equiv 1$ अनिवार्य कर देता, जो किसी परिमित यादृच्छिक चर के लिए असंभव है; और $G(1) = 0$ परिकल्पना से अपवर्जित है), और किसी भी $t$ को परिमेयों के बीच दबाइए (एकदिष्टता): $G(t) = \eu^{-\lambda t}$ — अर्थात् चरघातांकी बंटन नियम। विलोम एक परिकलन मात्र है।

हल — अभ्यास 22.3.

(क) $\sigma(f_i(X_i)) = f_i(X_i)^{-1}(\mathcal B) \subseteq X_i^{-1}(\mathcal B) = \sigma(X_i)$ ($f_i$ बोरेल), और स्वतंत्र $\sigma$-बीजगणितों के उप-$\sigma$-बीजगणित स्वतंत्र होते हैं (परिभाषक सर्वसमिका तब तो और भी सरलता से लागू होती है)।

(ख) $\sigma(A_i) = \{\varnothing, A_i, A_i^c, \Omega\} = \sigma(A_i^c) = \sigma(\mathbf 1_{A_i})$: तीनों कथन एक ही $\sigma$-बीजगणितों के स्वातंत्र्य का दावा करते हैं। ($A_i$ पर का गुणनखंडन पूरकों तक फैलता है — यह परिभाषा 22.4 की तुल्यता के भीतर का $\lambda$-निकाय तर्क है, अथवा सीधे समावेश-अपवर्जन।)

(ग) $\P(A) = \P(B) = \P(C) = \frac12$; और युग्मों पर $A\cap B = A\cap C = B\cap C$: प्रत्येक प्रतिच्छेदन “दोनों चित” अथवा उसके अनुरूप है, जिसकी प्रायिकता $\frac14$ है: अतः युग्मशः स्वतंत्र। पर $\P(A\cap B\cap C) = \P(\text{चित-चित}) = \frac14 \neq \frac18$: अतः स्वतंत्र नहीं — $C$ $A$ और $B$ से निर्धारित हो जाता है।

हल — अभ्यास 22.4.

(क) मान लीजिए पाठ $T$ की लंबाई $L$ है और $q = a^{-L}$ ($a$ वर्णमाला का आकार)। घटनाएँ $E_k = \{$स्थान $kL+1, \dots, (k+1)L$ $T$ की वर्तनी करते हैं$\}$ स्वतंत्र हैं (स्वतंत्र सम-बंटित अक्षरों के असंयुक्त खंड), और प्रत्येक की प्रायिकता $q > 0$ है: अतः $\sum\P(E_k) = \infty$, और बोरेल–कांतेली (2) से लगभग निश्चित रूप से अनंत बार प्रकटन मिलते हैं।

(ख) ऊपरी: $\P\bigl(R_n \geq (1+\varepsilon)\log_2n\bigr) \leq 2^{-(1+\varepsilon)\log_2n} = n^{-(1+\varepsilon)}$, जिसका योग परिमित है: अतः बोरेल–कांतेली (1) से लगभग निश्चित रूप से ऐसे $n$ परिमित ही हैं। निचली: असंयुक्त खंड भरिए — $j$-वाँ खंड लंबाई $\ell_j = \lceil\log_2s_j\rceil$ का, जो $s_j = \sum_{i<j}\ell_i$ से आरंभ होता है; घटनाएँ “खंड $j$ सर्वथा एक है” स्वतंत्र हैं और उनकी प्रायिकता $2^{-\ell_j} \asymp \frac1{s_j} \asymp \frac1{j\log_2 j}$ है, जिसका योग अपसरित होता है: अतः बोरेल–कांतेली (2) से सर्वथा-एक वाले खंड अनंत बार मिलते हैं, अर्थात् $R_{s_j} \geq \log_2 s_j$ अनंत बार। दोनों मिलकर: प्रथम $n$ अंकों में सबसे लंबी लड़ी लगभग निश्चित रूप से $(1 + o(1))\log_2n$ है।

हल — अभ्यास 22.5.

(क) $R = \bigl(\limsup\abs{X_n}^{1/n}\bigr)^{-1}$ परिमित संख्या के $X_n$ बदलने पर अपरिवर्तित रहता है: अतः प्रत्येक $N$ के लिए $R$ $\sigma(X_N, X_{N+1}, \dots)$-मापनीय है, अर्थात् पुच्छ-मापनीय। तब प्रत्येक घटना $\{R \leq c\}$ की प्रायिकता $0$ या $1$ है (प्रमेय 22.9), इसलिए $R$ का बंटन फलन केवल मान $0, 1$ लेता है: वह किसी एक ही बिंदु $c_0 \in \intcc0{+\infty}$ पर उछलता है, और लगभग निश्चित रूप से $R = c_0$।

(ख) $\sum X_n$ का तथा $\frac{S_n}n$ का अभिसरण परिमित संख्या के पदों के बदलने से अप्रभावित रहता है (दूसरे के लिए: बदले हुए पद $O(1/n) \to 0$ का योगदान करते हैं): अतः दोनों पुच्छ घटनाएँ हैं; शून्य–एक नियम।

(ग) $\{X_1 > 0\}$ $X_1$ पर निर्भर है: स्वतंत्र सम-बंटित चिह्नों ($\P(X_1 = \pm1) = \frac12$) के लिए उसकी प्रायिकता $\frac12 \notin \{0,1\}$ है — इसमें कोई विरोधाभास नहीं, वह पुच्छ घटना है ही नहीं।

हल — अभ्यास 22.6.

$(\intcc01, \lambda)$ पर काम कीजिए। (क) टाइपराइटर $\mathbf 1_{I_n}$ (अभ्यास 12.3): $\norm{X_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (सभी $p < \infty$), अतः प्रायिकता में भी; पर प्रत्येक $\omega$ पर मान $0$ और $1$ दोनों बार-बार लौटते हैं: अतः कहीं भी बिंदुशः अभिसरण नहीं। (ख) $X_n = n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ $0$ के बाहर, पर $\norm{X_n}_p \geq n^{1 - 1/p} \geq 1$। (ग) $X_n = \sqrt n\,\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$: $\E\abs{X_n} = n^{-1/2} \to 0$, $\E X_n^2 = 1$। (घ) किसी भी उपानुक्रम में से (प्रायिकता में अभिसरण) कोई ऐसा आगे का उपानुक्रम निकालिए जो लगभग निश्चित रूप से अभिसरित हो (प्रतिज्ञप्ति 22.11(ग)); प्रभावी अभिसरण उसके अनुदिश $L^1$ अभिसरण दे देता है, और सीमा वही $X$ रहती है। अतः संख्यात्मक अनुक्रम $\E\abs{X_n - X}$ के प्रत्येक उपानुक्रम का कोई उप-उपानुक्रम $0$ की ओर जाता है: इसलिए समूचा अनुक्रम $0$ की ओर जाता है।

हल — अभ्यास 22.7.

(क) $\hat p_n = \frac{S_n}n$, जहाँ $S_n$ द्विपद है: $\V(\hat p_n) = \frac{p(1-p)}n \leq \frac1{4n}$, और चेबिशेव (प्रतिज्ञप्ति 22.3) वह परिबंध दे देती है। (ख) $\frac1{4n(0.03)^2} \leq 0.05$ हल कीजिए: $n \geq \frac{1}{4\cdot0.0009\cdot0.05} \approx 5556$। उसी प्रत्याभूति के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय $n \approx 1070$ उचित ठहरा देगी: चेबिशेव अपनी व्यापकता की क़ीमत लगभग $5$ के गुणक से चुकाती है।

हल — अभ्यास 22.8.

(क) यदि $S_n \sim \mathcal B(n, x)$ हो, तो अंतरण प्रमेय $\E\bigl[f(\frac{S_n}n)\bigr] = \sum_k\binom nkx^k(1-x)^{n-k}f(\frac kn) = B_nf(x)$ देती है।

(ख)–(ग) मान लीजिए $\omega = \omega_f$ सांतत्य मापांक है ($\abs{f(u) - f(v)} \leq \omega(\abs{u - v})$, और चरणों को जोड़ने से $\omega(c \delta) \leq (1 + c)\,\omega(\delta)$)। तब किसी भी $\delta > 0$ के लिए

(यदि $\abs{u - x} \leq \delta$ हो तो स्पष्ट; अन्यथा $\omega(\abs{u-x}) \leq (1 + \frac{\abs{u-x}}\delta) \omega(\delta) \leq (1 + \frac{(u-x)^2}{\delta^2}) \omega(\delta)$)। $u = \frac{S_n}n$ पर प्रत्याशा लीजिए:

और $\delta = n^{-1/2}$ के साथ: $\norm{B_nf - f}_\infty \leq \frac54\,\omega\bigl(n^{-1/2}\bigr) \leq \frac32\,\omega\bigl(n^{-1/2}\bigr) \to 0$ (संहत पर एकसमान सांतत्य): अर्थात् वाइरश्ट्रास प्रमेय की एक प्रायिकता-आधारित उपपत्ति, स्पष्ट और एकसमान दर के साथ।

हल — अभ्यास 22.9.

(क) $k - 1$ प्रकार संग्रहीत हो चुकने के बाद प्रत्येक प्राचय प्रायिकता $p_k = \frac{n-k+1}n$ के साथ नया होता है: अतः $\tau_k$ ज्यामितीय $(p_k)$ है, और $\tau_k$ स्वतंत्र हैं (प्राचय स्वतंत्र हैं)। योग लीजिए: $\E T_n = \sum_k\frac n{n-k+1} = nH_n \sim n\ln n$; $\V(T_n) = \sum\frac{1 - p_k}{p_k^2} \leq n^2\sum_{j=1}^n\frac1{j^2} \leq \frac{\pi^2}6n^2$।

(ख) चेबिशेव: $\P\bigl(\abs{T_n - nH_n} \geq \varepsilon n\ln n\bigr) \leq \frac{\pi^2n^2/6}{\varepsilon^2n^2\ln^2n} \to 0$, और $\frac{nH_n}{n\ln n} \to 1$: अतः प्रायिकता में $\frac{T_n}{n\ln n} \to 1$।

(ग) संघ परिबंध: $T_n > t$ का अर्थ है कि $\lceil t\rceil$ प्राचयों के बाद कोई प्रकार अनदेखा रह गया, अतः $\P(T_n > t) \leq n(1 - \frac1n)^{t} \leq n\,\eu^{-t/n}$; और $t = \beta n\ln n$ पर: $\leq n^{1 - \beta}$। $\beta > 1$ के लिए $\sum_m 2^{m(1-\beta)} < \infty$: अतः बोरेल–कांतेली $n = 2^m$ के अनुदिश लगभग निश्चित रूप से अंततः $T_n \leq \beta n\ln n$ दे देती है — विशेषतः कथनानुसार प्रत्येक $\beta > 2$ के लिए (उपानुक्रम के अनुदिश कोई भी $\beta > 1$ काम कर जाता है)।

हल — अभ्यास 22.10.

(क) सम-सूचकांक वाले अंक $(b_{2k})_k$ स्वतंत्र सम-बंटित निष्पक्ष बिट हैं (स्वतंत्र अंक-कुल का एक उपकुल), अतः $U = \sum_kb_{2k}2^{-k}$ प्रत्येक द्विआधारी अंतराल को उसकी सही प्रायिकता देता है (जैसा प्रमेय 22.6 में): इसलिए एकसमान; और वैसे ही $V$; और $(U, V)$ असंयुक्त अंक-खंडों पर निर्भर हैं: अतः स्वतंत्र (द्विआधारी आयतों पर गुणनखंडन, फिर दिन्किन)।

(ख) $\Phi(\omega) = (U(\omega), V(\omega))$ मापनीय है और $\Phi_*\lambda = \lambda\otimes\lambda = \lambda_2$ (द्विआधारी आयतों पर सहमति $+$ अद्वितीयता)। अंकों को गूँथने से कोई प्रतिलोम मिलता है, जो किसी भी गुणनखंड के द्विआधारी परिमेयों के (अकिंचन) समुच्चय के बाहर परिभाषित है: अर्थात् $\intcc01$ और $\intcc01^2$ के पूर्ण-माप उपसमुच्चयों के बीच कोई माप-संरक्षी एकैकी आच्छादन। पियानो (समस्या 6.1) से तुलना कीजिए: वहाँ सांतत्य ने एकैकीपन के बिना आच्छादकता अनिवार्य कर दी थी; और यहाँ सांतत्य छोड़कर केवल मापनीयता रखने पर कोई माप-तुल्याकारिता मिल जाती है — विमा माप सिद्धांत को नहीं दिखती, संस्थिति को दिखती है।

हल — अभ्यास 22.11.

(क) बंटन के संतत होने से बराबरियाँ अकिंचन घटनाएँ हो जाती हैं (जैसा अध्याय के क्रम-सांख्यिकी तर्कों में), और $(X_1, \dots, X_n)$ के $n!$ सापेक्ष क्रम विनिमेय हैं, अतः समान रूप से संभाव्य। $R_n = 1$ का अर्थ है कि उच्चिष्ठ अंतिम स्थान पर बैठता है: जिसकी प्रायिकता $\frac{(n-1)!}{n!} = \frac1n$ है।

(ख) $n$ स्थिर कीजिए और $X_1, \dots, X_{n-1}$ के सापेक्ष क्रम पर प्रतिबंधन कीजिए: $X_n$ को $n$ संभव कोटि-स्थानों में डालना एकसमान है और उस क्रम से स्वतंत्र ($n$-बहुक की विनिमेयता)। अतः $R_n$ (घटना “$X_n$ शीर्ष स्थान लेता है”) समूचे अभिलेख इतिहास $(R_1, \dots, R_{n-1})$ से स्वतंत्र है, जो प्रथम $n - 1$ चरों के सापेक्ष क्रम का फलन है। आगमन से पूर्ण स्वातंत्र्य मिल जाता है, जिसमें $\P(R_n = 1) = \frac1n$।