प्रायिकता समष्टि क्या है?

उदाहरण 22.2

उल्लेखनीय मानक बंटन नियम और उनके रूपांतर: बर्नूली $\mathcal B(p)$, द्विपद $\mathcal B(n, p)$, ज्यामितीय, प्वासों $\mathcal P(\lambda)$ (विविक्त: दूसरे वर्ष की सारणियाँ मान्य बनी रहती हैं); $\intcc01$ पर एकसमान (स्वयं लेबेग माप); चरघातांकी $\mathcal E(\lambda)$ (घनत्व $\lambda\eu^{-\lambda x}\mathbf 1_{x>0}$); और गाउसीय $\mathcal N(m, \sigma^2)$, जिसका घनत्व $\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\bigl(-\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2}\bigr)$ है — यह समस्या 10.1 से एक प्रायिकता घनत्व है, जिसका माध्य $m$ और प्रसरण $\sigma^2$ है (गाउसीय आघूर्ण, अभ्यास 11.10)।

उदाहरण 22.14 (प्रबल नियम से क्या मिलता है)

(क) आवृत्तियाँ: स्वतंत्र सम-बंटित सिक्का-उछालों के लिए चित की प्रेक्षित आवृत्ति लगभग निश्चित रूप से $p$ की ओर अभिसरित होती है — अर्थात् स्वयं प्रायिकता का आनुभविक औचित्य। (ख) मोंते कार्लो: $g \in L^1(\intcc01)$ और स्वतंत्र सम-बंटित एकसमान $(U_n)$ (प्रमेय 22.6) के लिए लगभग निश्चित रूप से $\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) \to \int_0^1g$: अर्थात् प्रतिचयन से समाकल, किसी भी विमा में, अध्याय 23 में परिशुद्ध की गई विमा-निरपेक्ष दर $\sim n^{-1/2}$ पर। (ग) सामान्य संख्याएँ: लगभग प्रत्येक वास्तविक संख्या के द्विआधारी प्रसार में एकों की अनंतस्पर्शी आवृत्ति $\frac12$ होती है (प्रमेय 22.6 के अंक चरों पर प्रबल नियम लगाइए) — यह बोरेल की प्रमेय है, जो रोज़मर्रा की संख्याओं के बारे में एक कथन है और माप से सिद्ध होता है: समस्या 22.1 उसे सभी आधारों में पूरा कर देता है।