विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · Bachelor Year 3

23अभिलक्षणिक फलन और केंद्रीय सीमा प्रमेय

बृहत् संख्याओं का नियम कहता है कि औसत अभिसरित होते हैं; केंद्रीय सीमा प्रमेय कहती है कि वे उतार-चढ़ाव कैसे करते हैं: $\sqrt n$ से आवर्धित त्रुटि अनंतस्पर्शी रूप से गाउसीय होती है — चाहे आरंभ किसी भी बंटन नियम से किया गया हो। यह सार्वत्रिकता प्रारंभिक प्रायिकता का सबसे गहरा तथ्य है, और उसकी स्वाभाविक उपपत्ति फूरिये-वैश्लेषिक है: अभिलक्षणिक फलन (किसी बंटन नियम का फूरिये रूपांतर) स्वतंत्र योगों को गुणनफलों में बदल देता है, और अध्याय 14 की मशीनरी — एकैकीपन, गाउसीय स्थिर बिंदु — इन गुणनफलों के बिंदुशः अभिसरण को बंटन नियमों के अभिसरण में बदल देती है (लेवी की प्रमेय, पूरी तरह सिद्ध)। अध्याय गाउसीय सदिशों पर और सांख्यिकी में सर्वत्र प्रयुक्त विश्वास अंतरालों की ईमानदार व्युत्पत्ति पर समाप्त होता है; सप्ताहांत समस्या केंद्रीय सीमा प्रमेय की लिंडेबर्ग वाली दूसरी उपपत्ति स्पष्ट त्रुटि दर के साथ देती है।

23.1 अभिलक्षणिक फलन

परिभाषा 23.1

किसी वास्तविक यादृच्छिक चर $X$ का अभिलक्षणिक फलन

\varphi_X(\xi) = \E\bigl[\eu^{\iu\xi X}\bigr] = \int_\R \eu^{\iu\xi x}\,\dd\P_X(x) \qquad (\xi \in \R)

है (अंतरण प्रमेय उसे बंटन नियम से परिकलित कर देती है; किसी घनत्व $f$ के लिए अध्याय 14 की परिपाटी में $\varphi_X(\xi) = \hat f(-\xi)$ )।

प्रतिज्ञप्ति 23.2

(क) $\varphi_X(0) = 1$ , $\abs{\varphi_X} \leq 1$ , और $\varphi_X$ एकसमान रूप से संतत है; $\varphi_{aX + b}(\xi) = \eu^{\iu b\xi}\varphi_X(a\xi)$ । (ख) यदि $X, Y$ स्वतंत्र हों: $\varphi_{X+Y} = \varphi_X\,\varphi_Y$ । (ग) यदि $\E\abs X^k < \infty$ हो, तो $j \leq k$ के लिए $\varphi_X^{(j)}(0) = \iu^j\,\E[X^j]$ के साथ $\varphi_X \in \mathcal C^k$ ; विशेष रूप से, प्रसरण $\sigma^2$ वाले केंद्रित $X \in L^2$ के लिए:

\varphi_X(\xi) = 1 - \frac{\sigma^2\xi^2}{2} + o(\xi^2) \qquad (\xi \to 0).

(घ) गाउसीय: $X \sim \mathcal N(m, \sigma^2)$ का $\varphi_X(\xi) = \eu^{\iu m\xi - \sigma^2\xi^2/2}$ ।

उपपत्ति. (क) परिबंध तत्काल हैं; और सांतत्य: प्रभावी अभिसरण से $h \to 0$ पर $\abs{\varphi(\xi + h) - \varphi(\xi)} \leq \E\abs{\eu^{\iu hX} - 1} \to 0$ , $\xi$ में एकसमान रूप से। आफ़ीन नियम एक प्रतिस्थापन है। (ख) $\eu^{\iu\xi(X+Y)} = \eu^{\iu\xi X}\eu^{\iu\xi Y}$ , और स्वतंत्र चरों के गुणनफलों की प्रत्याशाएँ गुणनखंडित हो जाती हैं (प्रमेय 22.5, वास्तविक और काल्पनिक भागों पर लगाई गई)। (ग) प्रत्याशा के भीतर अवकलन, जिस पर $\E\abs X^j$ का प्रभुत्व है (प्रमेय 10.15); तब $0$ पर टेलर प्रसार $\mathcal C^2$ फलन $\varphi$ के लिए टेलर–यंग है। (घ) $\mathcal N(0,1)$ के लिए: गाउसीय रूपांतर ( $a = \frac12$ के साथ उदाहरण 14.2) $\int\eu^{\iu\xi x}\frac{\eu^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\dd x = \eu^{-\xi^2/2}$ दे देता है; और व्यापक स्थिति आफ़ीन नियम से। ∎

प्रमेय 23.3 (एकैकीपन)

यदि $\varphi_X = \varphi_Y$ हो, तो $X$ और $Y$ का बंटन नियम एक ही है। अधिक परिशुद्धता से, $X$ से स्वतंत्र $N \sim \mathcal N(0,1)$ और $\varepsilon > 0$ के लिए मृदुकृत चर $X + \varepsilon N$ का घनत्व

p_\varepsilon(x) = \frac1{2\pi}\int_\R \varphi_X(-\xi)\,\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\, \eu^{\iu\xi x}\,\dd\xi ,

है, जो केवल $\varphi_X$ से निर्धारित होता है; और $\varepsilon \to 0$ लेने पर $X$ का बंटन नियम पुनः प्राप्त हो जाता है।

उपपत्ति. $X + \varepsilon N$ का घनत्व $p_\varepsilon(x) = \E\bigl[g_\varepsilon(x - X)\bigr]$ है, जहाँ $g_\varepsilon$ $\mathcal N(0, \varepsilon^2)$ घनत्व है: वस्तुतः बोरेल $B$ के लिए स्वातंत्र्य और टोनेली $\P(X + \varepsilon N \in B) = \int\!\!\int\mathbf 1_B(x + \varepsilon n)g_1(n)\,\dd n\,\dd\P_X(x) = \int_B\E[g_\varepsilon(t - X)]\dd t$ दे देते हैं (प्रतिस्थापन कीजिए, फिर से टोनेली)। $g_\varepsilon$ को उसके रूपांतर के फूरिये प्रतिलोमन से लिखने पर (अभ्यास 14.4, पुनःमापित): $g_\varepsilon(u) = \frac1{2\pi}\int \eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\eu^{\iu\xi u}\dd\xi$ , और फुबिनी (सब कुछ गाउसीय गुणनखंड से प्रभावित):

p_\varepsilon(x) = \frac1{2\pi}\int_\R \varphi_X(-\xi)\,\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\, \eu^{\iu\xi x}\,\dd\xi ,

जो केवल $\varphi_X$ का एक फलनक है। यदि $\varphi_X = \varphi_Y$ हो: तो प्रत्येक $\varepsilon$ के लिए $X + \varepsilon N$ और $Y + \varepsilon N$ के बंटन नियम बराबर हैं; और परिबद्ध संतत $f$ के लिए $\varepsilon \to 0$ पर $\E f(X + \varepsilon N) \to \E f(X)$ (प्रभावी अभिसरण, गुणनफल समष्टि पर बिंदुशः $X + \varepsilon N \to X$ ), अतः ऐसे सभी $f$ के लिए $\E f(X) = \E f(Y)$ — और यह बंटन नियम को निर्धारित कर देता है: प्रत्येक $t$ के लिए $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ को परिबद्ध संतत ढालों $f_k^\pm$ के बीच दबाइए (जो $\intoc{-\infty}{t \mp \frac1k}$ पर $1$ के बराबर हैं, $t \pm \frac1k$ के परे $0$ के, और बीच में आफ़ीन); $\E f_k^-(X) \leq F_X(t) \leq \E f_k^+(X)$ में सीमा लेने पर हर उस $t$ पर $F_X(t) = F_Y(t)$ मिलता है जहाँ दोनों संतत हैं, अतः दक्षिण-सांतत्य और उभयनिष्ठ सांतत्य बिंदुओं की सघनता से सर्वत्र (दोनों $F$ में गणनीय संख्या के उछाल हैं); और बराबर बंटन फलन बराबर बंटन नियम अनिवार्य कर देते हैं (अभ्यास 9.3, जो प्रमेय 9.7 पर टिकी है)। ∎

23.2 बंटन में अभिसरण

परिभाषा 23.4

$X_n$ $X$ की ओर बंटन में (अथवा नियम में) अभिसरित होता है, जिसे $X_n \Rightarrow X$ लिखा जाता है, यदि

\E\bigl[f(X_n)\bigr] \longrightarrow \E\bigl[f(X)\bigr] \qquad\text{प्रत्येक परिबद्ध संतत } f\colon\R\to\R \text{ के लिए} .

तुल्य रूप से (अभ्यास 23.4): $F_X$ के प्रत्येक सांतत्य बिंदु $t$ पर $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$ । $X_n$ का किसी उभयनिष्ठ प्रायिकता समष्टि पर रहना आवश्यक नहीं: केवल बंटन नियम मायने रखते हैं।

प्रमेय 23.5 (हेली की चयन प्रमेय)

बंटन फलनों के प्रत्येक अनुक्रम $(F_n)$ का कोई ऐसा उपानुक्रम होता है जो सीमा के प्रत्येक सांतत्य बिंदु पर किसी अनह्रासमान दक्षिण-संतत $G \colon \R \to \intcc01$ की ओर बिंदुशः अभिसरित होता है — संभवतः $G(+\infty) - G(-\infty) < 1$ के साथ (द्रव्यमान अनंत की ओर पलायन कर सकता है)।

उपपत्ति. विकर्ण निष्कर्षण प्रत्येक परिमेय $q$ के लिए $F_{n_k}(q) \to \ell(q)$ दे देता है (मान संहत $\intcc01$ में हैं)। $G(t) = \inf\{\ell(q) : q \in \Q, q > t\}$ परिभाषित कीजिए: यह अनह्रासमान है; और दक्षिण-संतत भी (दाईं ओर से सिकुड़ते परिमेय प्रतिवेशों पर एक निम्नतम)। $G$ के किसी सांतत्य बिंदु $t$ पर: परिमेय $q_1 < t < q_2$ के लिए प्रत्येक $F_{n_k}$ की एकदिष्टता से

\ell(q_1) \leq \liminf F_{n_k}(t) \leq \limsup F_{n_k}(t) \leq \ell(q_2),

और $G$ की निम्नतम वाली परिभाषा तथा परिमेयों पर $\ell$ की एकदिष्टता से: जब भी $s < q$ हो तब $G(s) \leq \ell(q) \leq G(q)$ । $s < q_1 < t$ लेने पर $\ell(q_1) \geq G(s)$ और $\ell(q_2) \leq G(q_2)$ मिलते हैं; और $s \uparrow t$ तथा $q_2 \downarrow t$ लेने पर $t$ पर $G$ की सांतत्य $\liminf$ और $\limsup$ दोनों को $G(t)$ तक दबा देती है। ∎

प्रमेयिका 23.6 (अभिलक्षणिक फलन से सुसंहतता)

किसी भी यादृच्छिक चर $X$ और $u > 0$ के लिए:

\P\Bigl(\abs X \geq \frac2u\Bigr) \;\leq\; \frac1u\int_{-u}^{u}\bigl(1 - \operatorname{Re}\varphi_X(\xi)\bigr)\,\dd\xi .

उपपत्ति. टोनेली–फुबिनी से (समाकल्य परिबद्ध, क्षेत्र $\xi$ में परिमित):

\frac1u\int_{-u}^u\bigl(1 - \operatorname{Re}\varphi_X(\xi)\bigr)\dd\xi = \E\Bigl[\frac1u\int_{-u}^u(1 - \cos(\xi X))\,\dd\xi\Bigr] = 2\,\E\Bigl[1 - \frac{\sin(uX)}{uX}\Bigr]

(कोष्ठक को $X = 0$ पर उसकी सीमा $0$ मानिए)। समाकल्य ऋणेतर है ( $\abs{\sin t} \leq \abs t$ ), और $\abs{uX} \geq 2$ के लिए: $1 - \frac{\sin(uX)}{uX} \geq 1 - \frac1{\abs{uX}} \geq \frac12$ । अतः प्रत्याशा के भीतर केवल घटना $\{\abs{uX} \geq 2\}$ रखने पर कम से कम $2 \cdot \frac12\,\P(\abs X \geq \frac2u)$ बच जाता है, और यही दावा है। ∎

प्रमेय 23.7 (लेवी की सांतत्य प्रमेय)

मान लीजिए $(X_n)$ ऐसे यादृच्छिक चर हैं जिनके अभिलक्षणिक फलन बिंदुशः अभिसरित होते हैं: प्रत्येक $\xi$ के लिए $\varphi_{X_n}(\xi) \to \varphi(\xi)$ , जहाँ $\varphi = \varphi_X$ किसी यादृच्छिक चर $X$ का अभिलक्षणिक फलन है। तब $X_n \Rightarrow X$ ।

उपपत्ति. सुसंहतता। $\varepsilon > 0$ स्थिर कीजिए। चूँकि $\varphi$ $\varphi(0) = 1$ के साथ $0$ पर संतत है, अतः $\frac1u\int_{-u}^u(1 - \operatorname{Re}\varphi) < \varepsilon$ वाला $u > 0$ चुनिए; प्रभावी अभिसरण से (स्थिर $[-u,u]$ पर समाकल्य $2$ से परिबद्ध) बड़े $n$ के लिए $\varphi_{X_n}$ का वही समाकल $< 2\varepsilon$ है: प्रमेयिका 23.6 बड़े $n$ के लिए $\P(\abs{X_n} \geq \frac2u) \leq 2\varepsilon$ दे देता है, और अचर को बड़ा करने पर शेष परिमित संख्या के मामले भी सँभल जाते हैं: अर्थात् बंटन नियम सुसंहत हैं — कोई द्रव्यमान पलायन नहीं करता।

उपानुक्रम। मान लीजिए $(F_{n_k})$ कोई उपानुक्रम है; हेली (प्रमेय 23.5) से सांतत्य बिंदुओं पर $F_{n_{k_j}} \to G$ निकालिए। सुसंहतता $G(-\infty) = 0$ , $G(+\infty) = 1$ अनिवार्य कर देती है (सांतत्य बिंदुओं पर $G(\frac2u) - G(-\frac2u) \geq 1 - 2\varepsilon$ ): अतः $G$ किसी यादृच्छिक चर $Y$ का सच्चा बंटन फलन है। तब $X_{n_{k_j}} \Rightarrow Y$ (अभ्यास 23.4, $F$ से बंटन-संबंधी अभिसरण), अतः बिंदुशः $\varphi_{X_{n_{k_j}}} \to \varphi_Y$ ( $x \mapsto \eu^{\iu\xi x}$ परिबद्ध संतत है, वास्तविक और काल्पनिक भाग पृथक-पृथक); और परिकल्पना से तुलना करने पर $\varphi_Y = \varphi = \varphi_X$ , तथा एकैकीपन (प्रमेय 23.3) $Y \sim X$ दे देता है, अर्थात् $G = F_X$ ।

निष्कर्ष। $(F_n)$ के प्रत्येक उपानुक्रम का कोई उप-उपानुक्रम उसी $F_X$ की ओर (उसके सांतत्य बिंदुओं पर) अभिसरित होता है; अतः प्रत्येक सांतत्य बिंदु $t$ पर $F_n(t) \to F_X(t)$ (वह वास्तविक अनुक्रम अभिसरित होता है जिसके सभी उपानुक्रमों के उप-उपानुक्रमों की सीमा एक ही हो): अर्थात् $X_n \Rightarrow X$ । ∎

23.3 केंद्रीय सीमा प्रमेय

प्रमेय 23.8 (केंद्रीय सीमा प्रमेय)

मान लीजिए $(X_n)$ $\E X_1 = m$ और $\V(X_1) = \sigma^2 \in \intoo0\infty$ वाले स्वतंत्र सम-बंटित चर हैं। तब

\frac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n} \;\Longrightarrow\; \mathcal N(0, 1) : \qquad \P\Bigl(a \leq \frac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n} \leq b\Bigr) \longrightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b\eu^{-x^2/2}\,\dd x

सभी $a < b$ के लिए।

उपपत्ति. केंद्रीकरण और मानकीकरण कीजिए: $Z_i = \frac{X_i - m}{\sigma}$ (स्वतंत्र सम-बंटित, माध्य $0$ , प्रसरण $1$ ) और $T_n = \frac1{\sqrt n}\sum_{i\leq n}Z_i$ । स्वातंत्र्य तथा आफ़ीन नियम (प्रतिज्ञप्ति 23.2) से:

\varphi_{T_n}(\xi) = \varphi_{Z}\Bigl(\frac{\xi}{\sqrt n}\Bigr)^{n}, \qquad \varphi_Z(\eta) = 1 - \frac{\eta^2}2 + \eta^2\rho(\eta),\quad \rho(\eta)\to0 .

$\xi$ स्थिर कीजिए और $a_n = \varphi_Z(\xi/\sqrt n)$ , $b_n = 1 - \frac{\xi^2}{2n}$ लीजिए: बड़े $n$ के लिए दोनों का मापांक $\leq 1$ है ( $\xi^2 \leq 4n$ होते ही $\abs{b_n} \leq 1$ ; और $\abs{a_n} \leq 1$ सदैव)। $\abs a, \abs b \leq 1$ के लिए प्रारंभिक असमिका $\abs{a^n - b^n} \leq n\abs{a - b}$ (दूरबीनी $a^n - b^n = \sum a^k(a - b)b^{n-1-k}$ )

\Bigl|\varphi_{T_n}(\xi) - \Bigl(1 - \frac{\xi^2}{2n}\Bigr)^{n}\Bigr| \leq n\,\Bigl|\varphi_Z\Bigl(\frac\xi{\sqrt n}\Bigr) - 1 + \frac{\xi^2}{2n}\Bigr| = \xi^2\,\Bigl|\rho\Bigl(\frac{\xi}{\sqrt n}\Bigr)\Bigr| \longrightarrow 0,

दे देती है, जबकि $\bigl(1 - \frac{\xi^2}{2n}\bigr)^n \to \eu^{-\xi^2/2}$ (वास्तविक लघुगणक)। अतः प्रत्येक $\xi$ के लिए $\varphi_{T_n}(\xi) \to \eu^{-\xi^2/2} = \varphi_{\mathcal N(0,1)}(\xi)$ (प्रतिज्ञप्ति 23.2(घ)): और लेवी (प्रमेय 23.7) से निष्कर्ष निकलता है $T_n \Rightarrow \mathcal N(0,1)$ । अंतराल प्रायिकताएँ इसलिए निकलती हैं क्योंकि $F_{\mathcal N}$ सर्वत्र संतत है। ∎

उदाहरण 23.9 (विश्वास अंतराल, ईमानदारी से व्युत्पन्न)

$n$ स्वतंत्र मतदाताओं का सर्वेक्षण कीजिए; $\hat p_n = S_n/n$ $\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14$ के साथ वास्तविक $p$ का आकलन करता है। केंद्रीय सीमा प्रमेय बड़े $n$ के लिए

\P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq \frac{z}{2\sqrt n}\Bigr) \;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr| \leq z\Bigr) \longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z),

देती है, जहाँ $\Phi$ मानक गाउसीय बंटन फलन है। $z = 1.96$ के साथ: अनंतस्पर्शी विश्वास $95\%$ , और सीमांत $\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\%$ के लिए $n \geq \bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068$ चाहिए — यही वह संख्या है जो पढ़ने में आने वाले हर “ $\pm3$ अंक, $95\%$ ” के पीछे है; इसकी तुलना चेबिशेव वाले $5556$ (अभ्यास 22.7) से कीजिए। $\sqrt n$ सार्वत्रिक है: त्रुटि आधी करने के लिए प्रतिदर्श चौगुना कीजिए — यही वह नियम है जो मोंते कार्लो की लागत भी तय करता है (अभ्यास 23.7)।

23.4 गाउसीय सदिश

परिभाषा 23.10

कोई यादृच्छिक सदिश $X = (X_1, \dots, X_d)$ गाउसीय कहलाता है यदि प्रत्येक रैखिक संचय $\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i$ कोई (संभवतः अपह्रासी) वास्तविक गाउसीय चर हो। उसका बंटन नियम माध्य सदिश $m = (\E X_i)$ और सहप्रसरण आव्यूह $\Sigma = \bigl(\operatorname{Cov} (X_i, X_j)\bigr)$ से निर्धारित होता है: वस्तुतः सदिश का अभिलक्षणिक फलन $\varphi_X(t) = \E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}$ $\langle t, X\rangle$ के अभिलक्षणिक फलन का $1$ पर मान है:

\varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle - \tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr),

और $d$ -विमीय अभिलक्षणिक फलन एकैकी होते हैं (वही मृदुकरण वाली उपपत्ति जो प्रमेय 23.3 में है, निर्देशांकशः गाउसीय के साथ)।

प्रमेय 23.11

मान लीजिए $X$ कोई गाउसीय सदिश है।

प्रत्येक आफ़ीन प्रतिबिंब $AX + b$ गाउसीय सदिश है।
घटक $X_i$ स्वतंत्र हैं तभी और केवल तभी जब $\Sigma$ विकर्ण हो: संयुक्त रूप से गाउसीय चरों के लिए, असहसंबंधित $=$ स्वतंत्र।
यदि $\Sigma$ व्युत्क्रमणीय हो, तो $X$ का घनत्व $\frac{1}{(2\pi)^{d/2}\sqrt{\det\Sigma}} \exp\bigl(-\frac12(x - m)^{\mathsf T}\Sigma^{-1}(x - m)\bigr)$ है।

उपपत्ति. (1) $AX + b$ के घटकों के रैखिक संचय $X$ के रैखिक संचयों के आफ़ीन फलन हैं: अतः गाउसीय (किसी गाउसीय चर का आफ़ीन प्रतिबिंब गाउसीय होता है)। (2) यदि $\Sigma$ विकर्ण हो, तो अभिलक्षणिक फलन गुणनखंडित हो जाता है: $\varphi_X(t) = \prod_i\exp(\iu t_im_i - \frac12\Sigma_{ii}t_i^2) = \prod\varphi_{X_i}(t_i)$ , जो गुणनफल बंटन नियम का अभिलक्षणिक फलन है (प्रमेय 22.5 को $d$ -विमीय एकैकीपन के माध्यम से पढ़िए): अतः घटक स्वतंत्र हैं। विलोम स्वतंत्र $L^2$ चरों के सहप्रसरणों का लुप्त होना है। (3) $\Sigma = P D P^{\mathsf T}$ का विकर्णीकरण कीजिए ( $P$ लांबिक, $D > 0$ विकर्ण — अभ्यास 20.8); सदिश $Y = P^{\mathsf T}(X - m)$ सहप्रसरण $D$ वाला गाउसीय है: (2) से उसके घटक स्वतंत्र $\mathcal N(0, d_i)$ हैं, अतः $Y$ का घनत्व गुणनफल घनत्व है; इसे आयतन-संरक्षी $x = m + PY$ (प्रमेय 11.10, $\abs{\det P} = 1$ ) से अग्रसारित कीजिए और चरघातांक को निश्चर रूप में फिर से लिखिए। ∎

प्रमेय 23.12 (बहुविमीय केंद्रीय सीमा प्रमेय)

मान लीजिए $(X_n)$ माध्य $m$ और सहप्रसरण आव्यूह $\Sigma$ वाले $\R^d$ के स्वतंत्र सम-बंटित वर्ग-समाकलनीय यादृच्छिक सदिश हैं। तब $\frac{S_n - nm}{\sqrt n}$ गाउसीय सदिश $\mathcal N(0, \Sigma)$ की ओर बंटन में अभिसरित होता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 23.13

लगभग सब कुछ पहले से ही हमारे हाथ में है। प्रत्येक दिशा $t \in \R^d$ के लिए वास्तविक चर $\langle t, \frac{S_n - nm}{\sqrt n}\rangle$ प्रसरण $t^{\mathsf T}\Sigma t$ वाले स्वतंत्र सम-बंटित वास्तविक चरों का मानकीकृत योग है, अतः प्रमेय 23.8 का परिकलन $d$ -विमीय अभिलक्षणिक फलनों का $\eu^{-t^{\mathsf T}\Sigma t/2}$ की ओर बिंदुशः अभिसरण दे देता है, जो $\mathcal N(0, \Sigma)$ (परिभाषा 23.10) का अभिलक्षणिक फलन है। जो हमने पुनः सिद्ध नहीं किया वह है लेवी की सांतत्य प्रमेय $\R^d$ में: हेली का चयन और सुसंहतता आकलन सामान्य रीति से (निर्देशांकशः) सामान्यीकृत हो जाते हैं, और यह क्रामेर–वोल्ड न्यूनीकरण किसी भी स्नातकोत्तर प्रायिकता पाठ्यक्रम में ईमानदारी से किया जाता है; इस अध्याय की विधियों से बाहर कुछ भी आवश्यक नहीं।

विधि 23.14

किसी सीमा बंटन नियम की पहचान के लिए: अभिलक्षणिक फलन परिकलित कीजिए, बिंदुशः सीमा लीजिए, उसे पहचानिए (गाउसीय $\eu^{-\sigma^2\xi^2/2}$ , प्वासों $\eu^{\lambda(\eu^{\iu\xi}-1)}$ , चरघातांकी $\frac{\lambda} {\lambda - \iu\xi}$ , …) और लेवी लगाइए। यह तीन-चरणीय अनुष्ठान (स्वातंत्र्य $\to$ गुणनफल; $0$ पर टेलर $\to$ चरघातांकी सीमा; लेवी $\to$ नियम में अभिसरण) केंद्रीय सीमा प्रमेय, विरल घटनाओं का प्वासों नियम (अभ्यास 23.5), और इस पाठ्यक्रम की प्रत्येक शास्त्रीय सीमा प्रमेय सिद्ध कर देता है। लगभग निश्चित कथनों के लिए अध्याय 22 के साधन-संदूक पर लौटिए: दोनों अध्याय एक ही $S_n$ के बारे में भिन्न प्रश्नों का उत्तर देते हैं।

23.5 अभ्यास

अभ्यास 23.1 ★

अभिलक्षणिक फलन परिकलित कीजिए: $\intcc{-1}1$ पर एकसमान; चरघातांकी $\mathcal E(\lambda)$ ; प्वासों $\mathcal P(\lambda)$ ; द्विपद $\mathcal B(n, p)$ । प्रमेय 23.3 के माध्यम से निकालिए कि स्वतंत्र प्वासों चरों ( $\lambda, \mu$ ) का योग प्वासों $(\lambda + \mu)$ है।

हल

हल — अभ्यास 23.1.

$\intcc{-1}1$ पर एकसमान: $\varphi(\xi) = \frac12\int_{-1}^1\eu^{\iu\xi x}\dd x = \frac{\sin\xi}{\xi}$ ( $\xi = 0$ पर $1$ के बराबर)। चरघातांकी $\mathcal E(\lambda)$ : $\varphi(\xi) = \lambda\int_0^\infty\eu^{(\iu\xi - \lambda)x}\dd x = \frac{\lambda}{\lambda - \iu\xi}$ (आद्यंतर $+\infty$ पर लुप्त हो जाता है, क्योंकि $\operatorname{Re}(\iu\xi - \lambda) < 0$ )। प्वासों $\mathcal P(\lambda)$ : विविक्त बंटन नियमों के लिए अंतरण प्रमेय से,

\varphi(\xi) = \sum_{k\geq0}\eu^{\iu\xi k}\,\eu^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \eu^{-\lambda}\exp\bigl(\lambda\eu^{\iu\xi}\bigr) = \exp\bigl(\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)\bigr).

द्विपद $\mathcal B(n, p)$ : यह $n$ स्वतंत्र बर्नूली चरों का योग है, जिनमें से प्रत्येक का अभिलक्षणिक फलन $1 - p + p\eu^{\iu\xi}$ है, अतः $\varphi(\xi) = \bigl(1 - p + p\eu^{\iu\xi}\bigr)^n$ (प्रतिज्ञप्ति 23.2(ख))। प्वासों योज्यता: यदि $X \sim \mathcal P(\lambda)$ , $Y \sim \mathcal P(\mu)$ स्वतंत्र हों, तो

\varphi_{X+Y}(\xi) = \eu^{\lambda(\eu^{\iu\xi}-1)} \eu^{\mu(\eu^{\iu\xi}-1)} = \eu^{(\lambda+\mu)(\eu^{\iu\xi}-1)},

जो $\mathcal P(\lambda + \mu)$ का अभिलक्षणिक फलन है; और एकैकीपन (प्रमेय 23.3) बंटन नियम की पहचान कर देता है।

अभ्यास 23.2 ★★

(क) दर्शाइए कि $\varphi_X$ वास्तविक-मान वाला है तभी और केवल तभी जब $X$ और $-X$ का बंटन नियम एक ही हो (कोई सममित चर)। (ख) मान लीजिए किसी $\xi_0 \neq 0$ के लिए $\abs{\varphi_X(\xi_0)} = 1$ । दर्शाइए कि $X$ लगभग निश्चित रूप से किसी समांतर श्रेढ़ी $a + \frac{2\pi}{\xi_0}\Z$ पर आलंबित है ( $\varphi_X(\xi_0) = \eu^{\iu\theta}$ लिखिए और $\E[1 - \cos(\xi_0X - \theta)]$ परिकलित कीजिए)। निकालिए कि यदि $X$ का कोई घनत्व हो, तो सभी $\xi \neq 0$ के लिए $\abs{\varphi_X(\xi)} < 1$ ।

हल

हल — अभ्यास 23.2.

(क) $\overline{\varphi_X(\xi)} = \E\eu^{-\iu\xi X} = \varphi_{-X}(\xi)$ । अतः $\varphi_X$ वास्तविक है तभी और केवल तभी जब $\varphi_X = \varphi_{-X}$ , अर्थात् (एकैकीपन, प्रमेय 23.3) तभी और केवल तभी जब $X$ और $-X$ का बंटन नियम एक ही हो। (ख) $\varphi_X(\xi_0) = \eu^{\iu\theta}$ लिखिए। तब

\E\bigl[1 - \cos(\xi_0X - \theta)\bigr] = 1 - \operatorname{Re}\bigl(\eu^{-\iu\theta} \varphi_X(\xi_0)\bigr) = 1 - 1 = 0 .

समाकल्य अऋणात्मक है, अतः लगभग निश्चित रूप से $\cos(\xi_0X - \theta) = 1$ (शून्य प्रत्याशा वाला अऋणात्मक चर लगभग निश्चित रूप से लुप्त हो जाता है), अर्थात् लगभग निश्चित रूप से $\xi_0X - \theta \in 2\pi\Z$ : इसलिए $X$ लगभग निश्चित रूप से समांतर श्रेढ़ी $\frac{\theta}{\xi_0} + \frac{2\pi}{\xi_0}\Z$ में मान लेता है। यदि $X$ का कोई घनत्व हो, तो यह गणनीय समुच्चय लेबेग-अकिंचन है, अतः उसकी प्रायिकता $0$ है — विरोधाभास; इसलिए प्रत्येक $\xi \neq 0$ के लिए $\abs{\varphi_X(\xi)} < 1$ ।

अभ्यास 23.3 ★★

मान लीजिए $X \sim \mathcal N(m_1, \sigma_1^2)$ और $Y \sim \mathcal N(m_2, \sigma_2^2)$ स्वतंत्र हैं। दर्शाइए कि $X + Y \sim \mathcal N(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$ , और अधिक व्यापक रूप से यह कि गाउसीय कुल स्वतंत्र योगों तथा आफ़ीन प्रतिचित्रणों के अंतर्गत स्थायी है। विरोधाभास: क्या दो आश्रित गाउसीय चरों का योग सदैव गाउसीय होता है? (अभ्यास 23.9।)

हल

हल — अभ्यास 23.3.

स्वातंत्र्य और प्रतिज्ञप्ति 23.2 से:

\varphi_{X+Y}(\xi) = \eu^{\iu m_1\xi - \sigma_1^2\xi^2/2}\, \eu^{\iu m_2\xi - \sigma_2^2\xi^2/2} = \eu^{\iu(m_1+m_2)\xi - (\sigma_1^2+\sigma_2^2)\xi^2/2},

जो $\mathcal N(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$ का अभिलक्षणिक फलन है; एकैकीपन निष्कर्ष निकाल देता है। आफ़ीन प्रतिचित्रणों के अंतर्गत स्थायित्व आफ़ीन नियम ही है ( $aX + b \sim \mathcal N(am_1 + b, a^2\sigma_1^2)$ , जिसमें अपभ्रष्ट स्थिति $a = 0$ भी सम्मिलित है), और स्वतंत्र योगों के अंतर्गत स्थायित्व उपर्युक्त परिकलन पर आगमन से निकलता है। आश्रित गाउसीय चरों का योग गाउसीय होना आवश्यक नहीं है: अभ्यास 23.9 में $X$ और $Y = \varepsilon X$ दोनों मानक गाउसीय हैं, पर $X + Y$ प्रायिकता $\frac12$ के साथ लुप्त हो जाता है और फिर भी लगभग निश्चित रूप से शून्य नहीं है, अतः वह गाउसीय नहीं है।

अभ्यास 23.4 ★★

(क) परिभाषा 23.4 में दी गई तुल्यता सिद्ध कीजिए: यदि सभी परिबद्ध संतत $f$ के लिए $\E f(X_n) \to \E f(X)$ हो, तो सांतत्य बिंदुओं पर $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$ ( $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ को दो संतत सीढ़ी-ढालों के बीच दबाइए); और विलोमतः (किसी परिबद्ध संतत $f$ का ढाल फलनों के योगों से आसन्नन कीजिए, अथवा सांतत्य बिंदुओं के किसी सूक्ष्म जालक पर प्रतिबंधन कीजिए) — विलोम को पहले एकसमान संतत $f$ के लिए और फिर व्यापक रूप से लिया जा सकता है। (ख) दर्शाइए कि $X_n \Rightarrow c$ (कोई अचर) से प्रायिकता में $X_n \to c$ निकलता है।

हल

हल — अभ्यास 23.4.

(क) सीधा निहितार्थ। मान लीजिए $t$ $F_X$ का कोई सांतत्य बिंदु है और $\delta > 0$ । संतत ढाल $f^-$ ( $\intoc{-\infty}{t-\delta}$ पर $= 1$ , $t$ से आगे $0$ , बीच में आफ़ीन) और $f^+$ ( $\intoc{-\infty}t$ पर $= 1$ , $t + \delta$ से आगे $0$ , बीच में आफ़ीन) लीजिए; तब $f^- \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}t} \leq f^+$ , अतः

\E f^-(X_n) \leq F_{X_n}(t) \leq \E f^+(X_n),

और बाहरी पद $\E f^\pm(X)$ की ओर अभिसरित होते हैं, जो स्वयं $F_X(t - \delta)$ और $F_X(t + \delta)$ के बीच दबे हुए हैं। पहले $n \to \infty$ , फिर $\delta \to 0$ लीजिए और $t$ पर $F_X$ के सांतत्य का उपयोग कीजिए: $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$ ।

विलोम। मान लीजिए $f$ परिबद्ध संतत है, $M = \sup\abs f$ , $\varepsilon > 0$ । $F_X$ के सांतत्य बिंदु सघन हैं ( $F_X$ के उछाल अधिक से अधिक गणनीय हैं), अतः ऐसे सांतत्य बिंदु $a < b$ चुनिए जिनके लिए $F_X(a) < \varepsilon$ और $1 - F_X(b) < \varepsilon$ । संहत $\intcc ab$ पर फलन $f$ एकसमान रूप से संतत है: $F_X$ के ऐसे सांतत्य बिंदु $a = t_0 < t_1 < \dots < t_m = b$ चुनिए जिन पर प्रत्येक $\intoc{t_{j-1}}{t_j}$ में $f$ का दोलन अधिक से अधिक $\varepsilon$ हो, और $g = \sum_j f(t_j)\,\mathbf 1_{\intoc{t_{j-1}}{t_j}}$ रखिए। तब $\intoc ab$ पर $\abs{f - g} \leq \varepsilon$ , $\abs g \leq M$ , और $T = X_n$ अथवा $X$ के लिए:

\bigl|\E f(T) - \E g(T)\bigr| \leq \varepsilon + 2M\bigl(F_T(a) + 1 - F_T(b)\bigr).

इसके अतिरिक्त $\E g(X_n) = \sum_j f(t_j)\bigl(F_{X_n}(t_j) - F_{X_n}(t_{j-1})\bigr) \to \E g(X)$ (अभिसारी पदों का परिमित योग, क्योंकि सभी $t_j$ सांतत्य बिंदु हैं), तथा $F_{X_n}(a) \to F_X(a) < \varepsilon$ और $1 - F_{X_n}(b) \to 1 - F_X(b) < \varepsilon$ । सब जोड़ने पर: $\limsup_n\abs{\E f(X_n) - \E f(X)} \leq 2\varepsilon + 8M\varepsilon$ ; अब $\varepsilon \to 0$ लीजिए।

(ख) अचर $c$ का बंटन फलन $\mathbf 1_{\intco c\infty}$ है, जो $c$ के अतिरिक्त सर्वत्र संतत है। $\varepsilon > 0$ के लिए बिंदु $c - \varepsilon$ और $c + \frac\varepsilon2$ सांतत्य बिंदु हैं, अतः

\P(\abs{X_n - c} > \varepsilon) \leq F_{X_n}(c - \varepsilon) + 1 - F_{X_n}\Bigl(c + \frac\varepsilon2\Bigr) \longrightarrow 0 + 1 - 1 = 0 .

अभ्यास 23.5 ★★

(विरल घटनाओं का नियम) मान लीजिए $np_n \to \lambda > 0$ के साथ $X_n \sim \mathcal B(n, p_n)$ । अभिलक्षणिक फलनों और प्रमेय 23.7 के माध्यम से दर्शाइए कि $X_n \Rightarrow \mathcal P(\lambda)$ । संख्यात्मक विवेक जाँच: $\mathcal B(100, 0.02)$ और $\mathcal P(2)$ के लिए $\P(X = 0)$ की तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 23.5.

मान लीजिए $z_n = p_n(\eu^{\iu\xi} - 1)$ , ताकि $\varphi_{X_n}(\xi) = (1 + z_n)^n$ (अभ्यास 23.1) और $\abs{z_n} \leq 2p_n \to 0$ (ध्यान दीजिए कि $p_n = \frac{np_n}n \to 0$ )। $1 + z_n$ और $\eu^{z_n}$ दोनों का मापांक अधिक से अधिक $1$ है: त्रिभुज असमिका से $\abs{1 + z_n} = \abs{(1 - p_n) + p_n\eu^{\iu\xi}} \leq 1$ , और $\abs{\eu^{z_n}} = \eu^{p_n(\cos\xi - 1)} \leq 1$ । दूरबीनी असमिका $\abs{a^n - b^n} \leq n\abs{a - b}$ (प्रमेय 23.8 की उपपत्ति) और घात श्रेणी परिबंध $\abs{\eu^z - 1 - z} \leq \abs z^2\eu^{\abs z}$ देते हैं

\bigl|(1 + z_n)^n - \eu^{nz_n}\bigr| \leq n\bigl|1 + z_n - \eu^{z_n}\bigr| \leq n\,\abs{z_n}^2\,\eu^{\abs{z_n}} \leq 4\eu^2\,np_n^2 = 4\eu^2\,(np_n)\,p_n \longrightarrow 0 .

चूँकि $nz_n = np_n(\eu^{\iu\xi} - 1) \to \lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)$ , इसलिए प्रत्येक $\xi$ के लिए $\varphi_{X_n}(\xi) \to \exp\bigl(\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)\bigr)$ : यह $\mathcal P(\lambda)$ का अभिलक्षणिक फलन है, और लेवी (प्रमेय 23.7) से $X_n \Rightarrow \mathcal P(\lambda)$ । संख्यात्मक रूप से: $\P\bigl(\mathcal B(100, 0.02) = 0\bigr) = 0.98^{100} = \eu^{100\ln 0.98} \approx \eu^{-2.020} \approx 0.1326$ , जबकि $\P\bigl(\mathcal P(2) = 0\bigr) = \eu^{-2} \approx 0.1353$ : इस कच्चे $n$ पर भी अंतर दो प्रतिशत का ही है।

अभ्यास 23.6 ★★

(क) कोई निष्पक्ष पासा $n = 1000$ बार फेंका जाता है; कुल के $3600$ से अधिक होने की प्रायिकता का आसन्नन कीजिए (माध्य $3500$ , प्रति फेंक प्रसरण $\frac{35}{12}$ )। (ख) $S \sim \mathcal B(100, \frac12)$ के लिए सांतत्य संशोधन ( $\pm\frac12$ ) के साथ केंद्रीय सीमा प्रमेय से $\P(45 \leq S \leq 55)$ का आसन्नन कीजिए, और संशोधन के प्रभाव पर टिप्पणी कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 23.6.

(क) एक फेंक का माध्य $\frac72$ और प्रसरण $\frac{35}{12}$ है, अतः $S$ का माध्य $3500$ , प्रसरण $\frac{35000}{12} \approx 2916.7$ और मानक विचलन $\approx 54.0$ । केंद्रीय सीमा प्रमेय से,

\P(S > 3600) = \P\Bigl(\frac{S - 3500}{54.0} > 1.85\Bigr) \approx 1 - \Phi(1.85) \approx 0.032 :

अर्थात् लगभग $3\%$ संभावना। (ख) $S \sim \mathcal B(100, \frac12)$ : माध्य $50$ , मानक विचलन $5$ । सांतत्य संशोधन के साथ,

\P(45 \leq S \leq 55) \approx \Phi\Bigl(\frac{55.5 - 50}{5}\Bigr) - \Phi\Bigl(\frac{44.5 - 50}{5}\Bigr) = 2\Phi(1.1) - 1 \approx 0.729,

जबकि यथार्थ मान $0.7287$ है; और संशोधन के बिना $2\Phi(1) - 1 \approx 0.683$ , जो लगभग पाँच बिंदु दूर है। संशोधन इसलिए महत्त्व रखता है कि $S$ जालक चर है: परमाणु $\P(S = k)$ का अच्छा आसन्नन $\intcc{k - \frac12}{k + \frac12}$ का गाउसीय द्रव्यमान करता है, और अंतराल को पूर्णांकों $45$ तथा $55$ पर काट देने से दोनों सिरों पर आधा-आधा परमाणु छूट जाता है।

अभ्यास 23.7 ★★

(मोंते कार्लो त्रुटि) समस्या 22.1, प्रश्न 11 की व्यवस्था में, $g \in L^2(\intcc01^d)$ के साथ मान लीजिए $\sigma^2 = \V(g(U_1))$ और $I = \int g$ । दर्शाइए

\sqrt n\,\Bigl(\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) - I\Bigr) \Longrightarrow \mathcal N(0, \sigma^2),

और अनंतस्पर्शी $95\%$ त्रुटि-दंड $\pm 1.96\,\sigma/\sqrt n$ निकालिए — जो विमा $d$ से स्वतंत्र है। इसकी तुलना विमा $d$ में नियतांकी मध्यबिंदु नियम से कीजिए ( $\mathcal C^2$ समाकल्यों के लिए त्रुटि $\sim n^{-2/d}$ ): किस विमा से आगे यादृच्छिक प्रतिचयन जीतने लगता है?

हल

हल — अभ्यास 23.7.

चर $g(U_k)$ स्वतंत्र सम-बंटित (स्वतंत्र सम-बंटित चरों के मापनीय प्रतिबिंब) और वर्ग-समाकलनीय हैं, जिनका माध्य $I$ (अंतरण प्रमेय, अभ्यास 11.9) और प्रसरण $\sigma^2$ है। यदि $\sigma > 0$ हो, तो उन पर लगाई गई प्रमेय 23.8 ठीक कथित अभिसरण है:

\sqrt n\,\Bigl(\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) - I\Bigr) = \frac{\sum_{k\leq n}\bigl(g(U_k) - I\bigr)}{\sqrt n} \Longrightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)

(और $\sigma = 0$ होने पर $g$ लगभग निश्चित रूप से अचर है और बायाँ पक्ष सर्वथा लुप्त हो जाता है)। अतः $\P\bigl(\abs{\frac1n\sum g(U_k) - I} \leq 1.96\,\sigma/\sqrt n\bigr) \to 0.95$ : अर्थात् त्रुटि-दंड $\pm 1.96\,\sigma/\sqrt n$ विमा $d$ को केवल अचर $\sigma$ के माध्यम से देखता है, $n$ में दर के माध्यम से कभी नहीं। विमा $d$ में $n$ नोडों वाले मध्यबिंदु नियम का जाल $n^{-1/d}$ है और $\mathcal C^2$ समाकल्यों के लिए उसकी त्रुटि $n^{-2/d}$ कोटि की। मोंते कार्लो का $n^{-1/2}$ $n^{-2/d}$ से तेज़ी से घटता है ठीक तब जब $\frac12 > \frac2d$ , अर्थात् $d > 4$ : विमा $5$ से आगे यादृच्छिक प्रतिचयन अनंतस्पर्शी रूप से जालक को हरा देता है — विमा का अभिशाप प्रायिकता-आधारित विधियों को छोड़ देता है, और यही कारण है कि उच्च-विमीय समाकलन पर मोंते कार्लो का राज है।

अभ्यास 23.8 ★★★

(स्लुत्स्की) मान लीजिए $X_n \Rightarrow X$ और प्रायिकता में $Y_n \to c$ ( $c$ अचर)। दर्शाइए कि $X_n + Y_n \Rightarrow X + c$ और $Y_nX_n \Rightarrow cX$ । (अभिलक्षणिक फलनों और परिबंध $\abs{\E\eu^{\iu\xi (X_n+Y_n)} - \eu^{\iu\xi c}\E\eu^{\iu\xi X_n}} \leq \E\abs{\eu^{\iu\xi(Y_n - c)} - 1}$ के साथ काम कीजिए, $\abs{Y_n - c} \leq \delta$ पर विभाजन कीजिए।) अनुप्रयोग: उदाहरण 23.9 में अज्ञात $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$ को $\sqrt{\hat p_n(1 - \hat p_n)}$ से बदलना उचित ठहराइए।

हल

हल — अभ्यास 23.8.

योग। स्थिर $\xi$ के लिए:

\bigl|\E\eu^{\iu\xi(X_n+Y_n)} - \eu^{\iu\xi c}\,\E\eu^{\iu\xi X_n}\bigr| = \bigl|\E\bigl[\eu^{\iu\xi X_n}\bigl(\eu^{\iu\xi Y_n} - \eu^{\iu\xi c}\bigr)\bigr]\bigr| \leq \E\bigl|\eu^{\iu\xi(Y_n - c)} - 1\bigr| .

घटना $\{\abs{Y_n - c} \leq \delta\}$ पर विभाजन कीजिए: वहाँ $\abs{\eu^{\iu\xi(Y_n-c)} - 1} \leq \abs\xi\,\delta$ (जीवा चाप से छोटी होती है); और पूरक अधिक से अधिक $2\,\P(\abs{Y_n - c} > \delta) \to 0$ का योगदान करता है। अतः प्रत्येक $\delta > 0$ के लिए $\limsup$ $\leq \abs\xi\,\delta$ है: इसलिए अंतर $0$ की ओर जाता है। चूँकि $\E\eu^{\iu\xi X_n} \to \varphi_X(\xi)$ , इसलिए $\varphi_{X_n+Y_n}(\xi) \to \eu^{\iu\xi c}\varphi_X(\xi) = \varphi_{X+c}(\xi)$ , और लेवी (प्रमेय 23.7) से $X_n + Y_n \Rightarrow X + c$ ।

गुणनफल। पहले, $cX_n \Rightarrow cX$ : $\varphi_{cX_n}(\xi) = \varphi_{X_n}(c\xi) \to \varphi_X(c\xi) = \varphi_{cX}(\xi)$ । इसके बाद, प्रायिकता में $(Y_n - c)X_n \to 0$ : $X_n$ के बंटन नियम सुसंहत हैं (उनके अभिलक्षणिक फलन किसी अभिलक्षणिक फलन की ओर अभिसरित होते हैं; प्रमेय 23.7 का सुसंहतता चरण देखिए), अतः $\varepsilon > 0$ दिया हो तो ऐसा $M$ चुनिए जिसके साथ सभी $n$ के लिए $\P(\abs{X_n} > M) \leq \varepsilon$ ; तब

\P\bigl(\abs{(Y_n - c)X_n} > \varepsilon\bigr) \leq \P(\abs{X_n} > M) + \P\Bigl(\abs{Y_n - c} > \frac{\varepsilon}{M}\Bigr) \leq \varepsilon + o(1) .

$Y_nX_n = cX_n + (Y_n - c)X_n$ लिखिए और योग वाला भाग लगाइए (जिसकी उपपत्ति में केवल इतना ही उपयोग हुआ कि प्रायिकता में $Y_n' := (Y_n - c)X_n \to 0$ , अचर $0$ के साथ): अतः $Y_nX_n \Rightarrow cX$ ।

अनुप्रयोग। बृहत् संख्याओं के प्रबल नियम (प्रमेय 22.13) से लगभग निश्चित रूप से $\hat p_n \to p$ , अतः सांतत्य से लगभग निश्चित रूप से $\hat\sigma_n = \sqrt{\hat p_n(1 - \hat p_n)} \to \sigma = \sqrt{p(1 - p)} > 0$ , इसलिए प्रायिकता में $\frac{\sigma}{\hat\sigma_n} \to 1$ । स्लुत्स्की का गुणनफल नियम $\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n} \Rightarrow \mathcal N(0,1)$ को $\frac{S_n - np}{\hat\sigma_n\sqrt n} = \frac{\sigma}{\hat\sigma_n}\cdot \frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n} \Rightarrow \mathcal N(0,1)$ तक उन्नत कर देता है: अर्थात् केवल आँकड़ों से बना उपयोग्य विश्वास अंतराल $\hat p_n \pm 1.96\,\hat\sigma_n/\sqrt n$ अपना अनंतस्पर्शी $95\%$ स्तर बनाए रखता है।

अभ्यास 23.9 ★★★

मान लीजिए $X \sim \mathcal N(0,1)$ और $\P(\varepsilon = \pm1) = \frac12$ वाला $\varepsilon$ स्वतंत्र हैं; $Y = \varepsilon X$ रखिए। (क) दर्शाइए कि $Y \sim \mathcal N(0,1)$ और $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$ । (ख) दर्शाइए कि $X$ और $Y$ स्वतंत्र नहीं हैं, और यह कि $(X, Y)$ गाउसीय सदिश नहीं है ( $\P(X + Y = 0)$ परिकलित कीजिए)। (ग) शिक्षा: प्रमेय 23.11(2) के लिए संयुक्त गाउसीयता आवश्यक है — “असहसंबंधित गाउसीय” अकेले कुछ भी सिद्ध नहीं करता।

हल

हल — अभ्यास 23.9.

(क) प्रत्याशा को $\varepsilon$ के दोनों मानों पर विभाजित कीजिए (स्वातंत्र्य): बोरेल $B$ के लिए $\P(Y \in B) = \frac12\P(X \in B) + \frac12\P(-X \in B) = \P(X \in B)$ , क्योंकि $-X \sim X$ ( $\mathcal N(0,1)$ सममित है): अतः $Y \sim \mathcal N(0,1)$ । और $\operatorname{Cov}(X, Y) = \E[\varepsilon X^2] = \E[\varepsilon]\,\E[X^2] = 0 \cdot 1 = 0$ । (ख) $\abs Y = \abs X$ , अतः $\P(\abs X \leq 1,\ \abs Y \geq 2) = 0$ जबकि $\P(\abs X \leq 1)\,\P(\abs Y \geq 2) > 0$ : अतः स्वतंत्र नहीं। यदि $(X, Y)$ कोई गाउसीय सदिश होता, तो $X + Y = (1 + \varepsilon)X$ वास्तविक गाउसीय चर होता ( $t = (1,1)$ के साथ परिभाषा 23.10); पर $\P(X + Y = 0) = \P(\varepsilon = -1) = \frac12$ , जबकि किसी गाउसीय चर का कोई परमाणु तभी होता है जब वह लगभग निश्चित रूप से अचर हो — और $\{\varepsilon = 1\}$ पर $X + Y$ लगभग निश्चित रूप से $2X \neq 0$ है। विरोधाभास: अतः $(X, Y)$ गाउसीय नहीं है। (ग) दोनों उपांत गाउसीय हैं और सहप्रसरण लुप्त है, फिर भी स्वातंत्र्य विफल है — क्योंकि युग्म संयुक्त रूप से गाउसीय नहीं है। प्रमेय 23.11(2) को “गाउसीय उपांत” तक दुर्बल नहीं किया जा सकता।

अभ्यास 23.10 ★★

कोशी बंटन नियम का घनत्व $\frac1{\pi(1 + x^2)}$ है। (क) दर्शाइए कि उसका अभिलक्षणिक फलन $\eu^{-\abs\xi}$ है (अभ्यास 14.1 और प्रतिलोमन)। (ख) दर्शाइए कि यदि $X_1, \dots, X_n$ स्वतंत्र सम-बंटित कोशी हों, तो $\frac{S_n}n$ पुनः कोशी है — और वही बंटन नियम: औसत कभी संकेंद्रित नहीं होता। (ग) इसका बृहत् संख्याओं के नियमों तथा केंद्रीय सीमा प्रमेय से मेल बिठाइए: कौन-सी परिकल्पनाएँ विफल होती हैं? ( $\E\abs{X_1}$ परिकलित कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 23.10.

(क) अभ्यास 14.1 $\widehat{\eu^{-\abs\cdot}}(\xi) = \frac{2}{1 + \xi^2}$ परिकलित करती है; दोनों पक्ष समाकलनीय हैं, अतः फूरिये प्रतिलोमन (प्रमेय 14.5) इसे उलट देता है:

\int_\R\eu^{\iu\xi x}\,\frac{\dd x}{\pi(1 + x^2)} = \eu^{-\abs\xi},

जो किसी कोशी चर $X$ के लिए ठीक $\varphi_X(\xi)$ है। (ख) स्वातंत्र्य से $\varphi_{S_n}(\xi) = \bigl(\eu^{-\abs\xi}\bigr)^n = \eu^{-n\abs\xi}$ , अतः $\varphi_{S_n/n}(\xi) = \varphi_{S_n}(\xi/n) = \eu^{-\abs\xi}$ : अर्थात् आनुभविक माध्य $\frac{S_n}n$ प्रत्येक $n$ के लिए फिर से मानक कोशी है (एकैकीपन)। यह औसत कभी संकेंद्रित नहीं होता: समय $10^6$ पर उसके उतार-चढ़ाव वही हैं जो किसी एक प्रेक्षण के। (ग) $\E\abs{X_1} = \frac2\pi\int_0^\infty\frac{x\,\dd x}{1 + x^2} = +\infty$ : कोशी बंटन नियम समाकलनीय नहीं है, अतः बृहत् संख्याओं का प्रबल नियम (प्रमेय 22.13) लागू नहीं होता, और केंद्रीय सीमा प्रमेय (जिसे परिमित प्रसरण चाहिए) तो और भी कम। यहाँ उनके निष्कर्ष वस्तुतः विफल होते हैं, केवल उनकी उपपत्तियाँ नहीं। संगति जाँच: $\varphi(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ $0$ पर अवकलनीय नहीं है, ठीक वैसा ही जैसा प्रतिज्ञप्ति 23.2(ग) प्रतिधनात्मक रूप में पढ़ने पर किसी असमाकलनीय चर के लिए बताती है।

अभ्यास 23.11 ★★

(बीज रूप में स्थायी बंटन नियम) मान लीजिए $(X_n)$ स्वतंत्र सम-बंटित मानक कोशी हैं (अभ्यास 23.10)। (क) दर्शाइए कि किसी भी $a, b > 0$ के लिए $aX_1 + bX_2$ का बंटन नियम $(a + b)X_1$ का है: अर्थात् कोशी कुल सूचकांक $1$ का कड़ाई से स्थायी है। (ख) दर्शाइए कि गाउसीय कुल सूचकांक $2$ का कड़ाई से स्थायी है: स्वतंत्र सम-बंटित $\mathcal N(0,1)$ चरों $X_i$ के लिए $aX_1 + bX_2 \sim \sqrt{a^2 + b^2}\,X_1$ । (ग) $\eu^{-c\abs\xi^\alpha}$ रूप के अभिलक्षणिक फलनों के माध्यम से समझाइए कि सूचकांक- $\alpha$ स्थायित्व योगों के लिए मानकीकरण $n^{1/\alpha}$ क्यों अनिवार्य कर देता है, और यह केंद्रीय सीमा प्रमेय के आकर्षण-द्रोणियों के बारे में क्या कहता है: कौन-से स्वतंत्र सम-बंटित योग आफ़ीन मानकीकरण के बाद गाउसीय के बजाय किसी कोशी बंटन नियम की ओर अभिसरित हो सकते हैं?

हल

हल — अभ्यास 23.11.

(क) $\varphi_{aX_1 + bX_2}(\xi) = \eu^{-a\abs\xi}\eu^{-b\abs\xi} = \eu^{-(a+b)\abs\xi} = \varphi_{(a+b)X_1}(\xi)$ (स्वातंत्र्य और अभ्यास 23.10); एकैकीपन बंटन नियमों की पहचान कर देता है।

(ख) $\varphi_{aX_1+bX_2}(\xi) = \eu^{-a^2\xi^2/2} \eu^{-b^2\xi^2/2} = \eu^{-(a^2+b^2)\xi^2/2}$ : अर्थात् $\sqrt{a^2+b^2}\,X_1$ का बंटन नियम।

(ग) यदि $\varphi_X(\xi) = \eu^{-c\abs\xi^\alpha}$ हो, तो $S_n = X_1 + \dots + X_n$ के लिए $\varphi_{S_n} = \eu^{-cn\abs\xi^\alpha}$ , और $S_n/n^{1/\alpha}$ के लिए फिर $\varphi(\xi) = \eu^{-c\abs\xi^\alpha}$ : अर्थात् $n^{1/\alpha}$ मापन के अंतर्गत यथार्थ आत्म-पुनरुत्पादन — गाउसीय के लिए $\sqrt n$ ( $\alpha = 2$ ), और कोशी के लिए स्वयं $n$ ( $\alpha = 1$ , अभ्यास 23.10(ख))। स्वतंत्र सम-बंटित चरों का कोई योग (आफ़ीन मानकीकरण के बाद) केवल ऐसे बंटन नियम की ओर अभिसरित हो सकता है जो ऐसे संवलनों के अंतर्गत स्थायी हो; केंद्रीय सीमा प्रमेय कहती है कि परिमित प्रसरण गाउसीय द्रोणी अनिवार्य कर देता है, और कोशी द्रोणी उन बंटन नियमों के लिए सुरक्षित है जिनके पुच्छ इतने भारी हैं कि $\E X^2 = \infty$ और $\E\abs X = \infty$ तक — उदाहरणार्थ स्वयं कोशी चरों के योग। सार्वत्रिकता के कई द्वीप हैं, जिन्हें पुच्छ घातांक $\alpha \in \intoc02$ अनुक्रमित करता है।

अभ्यास 23.12 ★★

(आनुभविक बंटन फलन) मान लीजिए $(X_n)$ बंटन फलन $F$ वाले स्वतंत्र सम-बंटित चर हैं, और $F_n(t) = \frac1n\#\{k \leq n : X_k \leq t\}$ । (क) $t$ स्थिर कीजिए। दर्शाइए कि $n F_n(t) \sim \mathcal B(n, F(t))$ , कि लगभग निश्चित रूप से $F_n(t) \to F(t)$ (प्रमेय 22.13), और यह कि

\sqrt n\,\bigl(F_n(t) - F(t)\bigr) \Longrightarrow \mathcal N\bigl(0,\ F(t)(1 - F(t))\bigr) .

(ख) किस $t$ पर अनंतस्पर्शी प्रसरण उच्चिष्ठ है? व्याख्या कीजिए: माध्यिका वही स्थान है जहाँ किसी आनुभविक बंटन को ठीक-ठीक बाँधना सबसे कठिन है। (ग) संतत $F$ के लिए दर्शाइए कि $\sup_t\abs{F_n(t) - F(t)}$ का बंटन नियम $F$ पर निर्भर नहीं करता (अभ्यास 22.1 के माध्यम से एकसमान चरों तक न्यूनीकरण कीजिए) — यही वह बंटन-निरपेक्ष चमत्कार है जो कोल्मोगोरोव–स्मिरनोव परीक्षण के पीछे है; उस बंटन नियम का कोई परिकलन नहीं माँगा जा रहा।

हल

हल — अभ्यास 23.12.

(क) सूचक $\mathbf 1_{X_k \leq t}$ प्राचल $p = F(t)$ वाले स्वतंत्र सम-बंटित बर्नूली हैं: अतः उनका योग $nF_n(t)$ द्विपद $\mathcal B(n, p)$ है; प्रबल नियम लगभग निश्चित रूप से $F_n(t) \to p$ देता है, और उन्हीं सूचकों पर लगाई गई केंद्रीय सीमा प्रमेय (प्रमेय 23.8, प्रसरण $p(1-p)$ ) कथित गाउसीय सीमा दे देती है।

(ख) $p(1 - p)$ $p = \frac12$ पर उच्चिष्ठ है, अर्थात् वहाँ जहाँ $F(t) = \frac12$ : यानी माध्यिका पर। पुच्छ प्रायिकताओं का आकलन अनंतस्पर्शी रूप से सरल है ( $p \to 0, 1$ पर प्रसरण $\to 0$ ); और सबसे बड़ा सांख्यिकीय कोलाहल माध्यिका के क्षेत्र में होता है — आनुभविक वक्र अपने मध्य में ही सबसे अधिक डगमगाता है।

(ग) संतत $F$ के लिए चर $U_k = F(X_k)$ $\intoo01$ पर स्वतंत्र सम-बंटित एकसमान हैं (अभ्यास 22.1), और $F$ की एकदिष्टता देती है, जहाँ $G_n$ $U_k$ का आनुभविक बंटन फलन है:

\sup_{t\in\R}\,\abs{F_n(t) - F(t)} = \sup_{u \in \operatorname{im}F}\,\abs{G_n(u) - u} = \sup_{u\in\intcc01}\abs{G_n(u) - u} :

पहली समता इसलिए कि अकिंचन घटनाओं तक $\{X_k \leq t\} = \{U_k \leq F(t)\}$ (एकदिष्टता; कड़ी असमिका केवल $F$ के सपाट भागों पर विफल हो सकती है, जहाँ दोनों पक्ष अपरिवर्तित रहते हैं), और दूसरी इसलिए कि $0$ से $1$ तक चलने वाला कोई संतत $F$ $\intoo01$ का प्रत्येक मान प्राप्त कर लेता है (मध्यवर्ती मान प्रमेय), और सिरे कुछ नहीं जोड़ते ( $G_n(0) - 0 = 0$ और $G_n(1) - 1 = 0$ )। दायाँ पक्ष केवल एकसमान चरों पर निर्भर है: अर्थात् सभी $F$ के लिए एक ही बंटन नियम — इसलिए क्रांतिक मानों की एक ही सारणी (कोल्मोगोरोव के बंटन नियम की) आँकड़ों के विरुद्ध किसी भी संतत प्रतिरूप का परीक्षण कर देती है।

23.6 समस्या: केंद्रीय सीमा प्रमेय की लिंडेबर्ग वाली उपपत्ति, दर के साथ

समस्या 23.1

सप्ताहांत समस्या — प्रतिस्थापन विधि

लिंडेबर्ग (1922) ने केंद्रीय सीमा प्रमेय एक निहत्था कर देने वाली सरल कल्पना से सिद्ध की: योज्य पदों को एक-एक करके गाउसीय चरों से बदल दीजिए और प्रत्येक अदला-बदली को टेलर प्रसार से नियंत्रित कीजिए। इस विधि को फूरिये विश्लेषण की आवश्यकता नहीं, यह स्पष्ट त्रुटि दर देती है, और आज समूचे प्रायिकता सिद्धांत में सार्वत्रिकता की उपपत्तियों को चलाती है। मान लीजिए $(X_i)$ स्वतंत्र सम-बंटित, केंद्रित, $\V(X_1) = 1$ वाले, $\beta = \E\abs{X_1}^3 < \infty$ के साथ हैं; और मान लीजिए $(N_i)$ $X_i$ से स्वतंत्र स्वतंत्र सम-बंटित $\mathcal N(0,1)$ हैं (अस्तित्व: प्रमेय 22.6)।

T_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt n}, \qquad G_n = \frac{N_1 + \dots + N_n}{\sqrt n} \sim \mathcal N(0,1).

रखिए।

भाग I — अदला-बदली सर्वसमिका। $f \in \mathcal C^3_b(\R)$ स्थिर कीजिए (तीन परिबद्ध संतत अवकलज; $M_3 = \sup\abs{f'''}$ )। $0 \leq i \leq n$ के लिए संकर योग

H_i = \frac{X_1 + \dots + X_i + N_{i+1} + \dots + N_n}{\sqrt n},

परिभाषित कीजिए, जिससे $H_n = T_n$ और $H_0 = G_n$ ।

$W_i = \frac{1}{\sqrt n}\bigl(\sum_{j<i}X_j + \sum_{j>i}N_j\bigr)$ के साथ $H_i = W_i + \frac{X_i}{\sqrt n}$ और $H_{i-1} = W_i + \frac{N_i}{\sqrt n}$ लिखिए, और ध्यान दीजिए कि $W_i$ युग्म $(X_i, N_i)$ से स्वतंत्र है। इसे उचित ठहराइए।
समाकल या लाग्रांज शेषफल के साथ टेलर: किन्हीं भी वास्तविक $w, h$ के लिए:

$\Bigl|f(w + h) - f(w) - f'(w)h - \tfrac12f''(w)h^2\Bigr| \leq \frac{M_3\,\abs h^3}{6} .$
प्रश्न 2 को दो बार लगाइए ( $w = W_i$ पर $h = \frac{X_i}{\sqrt n}$ और $h = \frac{N_i}{\sqrt n}$ ), प्रत्याशा लीजिए, और स्वातंत्र्य तथा $X_i$ और $N_i$ के पहले दो आघूर्णों के मिलान का उपयोग करके दर्शाइए

$\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \frac{M_3}{6}\cdot \frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}}, \qquad \gamma = \E\abs{N_1}^3 = \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi} .$
$i$ पर दूरबीनी योग लीजिए और लिंडेबर्ग परिबंध निष्कर्ष निकालिए:

$\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq \frac{M_3\,(\beta + \gamma)}{6\,\sqrt n} .$

भाग II — चिकने $f$ से केंद्रीय सीमा प्रमेय तक।

दर्शाइए कि प्रत्येक $f \in \mathcal C_b^3$ के लिए $\E f(T_n) \to \E f(N)$ , और इसे सभी परिबद्ध संतत $f$ तक उन्नत कीजिए: ऐसा $f$ और $\varepsilon$ दिए जाने पर किसी बड़े अंतराल पर $\norm{f - f_\varepsilon}_\infty \leq \varepsilon$ वाला $f_\varepsilon \in \mathcal C^3_b$ रचिए — उदाहरणार्थ $f$ का किसी $\mathcal C^\infty$ उभार (प्रमेय 12.9) के साथ संवलन कीजिए — और पुच्छों को सुसंहतता ( $\V(T_n) = 1$ और चेबिशेव) से सँभालिए। निष्कर्ष निकालिए $T_n \Rightarrow \mathcal N(0, 1)$ : अर्थात् केंद्रीय सीमा प्रमेय, पुनः सिद्ध।
उपपत्ति ने कहाँ इसका उपयोग किया कि $X_i$ सम-बंटित हैं? दर्शाइए कि उसने मुश्किल से ही किया: $\sum_i\V(X_i) = s_n^2$ और तृतीय आघूर्णों वाले स्वतंत्र, केंद्रित, असम $X_i$ के लिए वह रूप कहिए और सिद्ध कीजिए, और त्रुटि $\frac{M_3}{6s_n^3}\sum_i\bigl(\E\abs{X_i}^3 + \V(X_i)^{3/2}\gamma\bigr)$ प्राप्त कीजिए — अर्थात् लिंडेबर्ग की सच्ची प्रमेय अपने ल्यापुनोव रूप में।

भाग III — मात्रात्मक लाभांश।

(बंटन फलन) मान लीजिए $t \in \R$ और $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ का ऊपर तथा नीचे से चौड़ाई $\delta$ के $\mathcal C^3_b$ ढालों से आसन्नन कीजिए (उन्हें रचिए, $M_3 = O(\delta^{-3})$ के साथ)। भाग I के साथ मिलाकर स्पष्ट अचरों वाला द्विपद परिबंध

$\sup_{t\in\R}\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \;\leq\; \frac{C_1(\beta + \gamma)}{\delta^3\sqrt n} + C_2\,\delta \qquad (\text{प्रत्येक } \delta > 0),$

निकालिए ( $C_2\delta$ पद इस बात का उपयोग करता है कि $\Phi$ का घनत्व $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ से परिबद्ध है), और $n^{-1/8}$ कोटि की एकसमान दर प्राप्त करने के लिए $\delta \sim n^{-1/8}$ पर अनुकूलन कीजिए। (अनुकूलतम $n^{-1/2}$ — बेरी–एसेन — के लिए सूक्ष्मतर साधन चाहिए; यहाँ बात यह है कि प्रारंभिक अदला-बदली से भी एक स्पष्ट दर मिल जाती है।)
(दे म्वाव्र–लाप्लास, मात्रात्मक रूप में) $X_i = 2B_i - 1$ (निष्पक्ष सिक्कों के चिह्न) पर विशेषीकरण कीजिए: निष्कर्ष की तुलना समस्या 11.1, प्रश्न 7 के स्थानीय आकलन से कीजिए — प्रत्येक विधि वह क्या देती है जो दूसरी नहीं देती?
(सार्वत्रिकता) एक अनुच्छेद में समझाइए कि प्रतिस्थापन विधि केंद्रीय सीमा प्रमेय से अधिक क्यों दिखाती है: चिकने $f$ के साथ $\E f(\text{योग})$ रूप की कोई भी सांख्यिकी, $n^{-1/2}$ की कोटि पर, योज्य पदों के पहले दो आघूर्णों से परे उनके समूचे बंटन नियम के प्रति असंवेदी है — यही वह “निश्चरता सिद्धांत” है जो आधुनिक सार्वत्रिकता परिणामों (यादृच्छिक आव्यूह, यादृच्छिक बहुपद) के मूल में है और जिसका पहला उदाहरण केंद्रीय सीमा प्रमेय है।

भाग IV — मृदुकरण, और आगे बढ़ाकर: बेहतर दरें। $n^{-1/2}$ (चिकने $f$ ) से $n^{-1/8}$ (बंटन फलन) तक की हानि $f'''$ को उच्चतम मानक में लगाने से आई थी। संकर उसका कुछ भाग सुधार सकते हैं: उनमें गाउसीय योज्य पद होते हैं, और गाउसीय मृदु करते हैं।

(एक छिपा हुआ गाउसीय) $1 \leq i \leq n - 1$ , $h = \frac{X_i}{\sqrt n}$ अथवा $\frac{N_i}{\sqrt n}$ , और $\theta \in \intcc01$ के लिए $Z = \frac{N_{i+1} + \dots + N_n}{\sqrt n}$ के साथ $W_i + \theta h = A + Z$ लिखिए। दर्शाइए कि $Z \sim \mathcal N\bigl(0, \frac{n-i}n\bigr)$ युग्म $(A, h)$ से स्वतंत्र है, और प्रत्येक संतत $g \in L^1(\R)$ के लिए निकालिए

$\E\bigl[\abs h^3\,\abs{g(W_i + \theta h)}\bigr] \;\leq\; \sqrt{\frac{n}{2\pi(n - i)}}\; \norm{g}_{L^1}\;\E\abs h^3 .$
प्रश्न 10 को टेलर शेषफल के समाकल रूप

$f(w + h) = f(w) + f'(w)h + \tfrac12f''(w)h^2 + \int_0^1\frac{(1 - \theta)^2}2\,f'''(w + \theta h)\,h^3\,\dd\theta,$

के साथ मिलाकर प्रश्न 3–4 फिर से कीजिए: $f \in \mathcal C^3_b$ के लिए, और साथ में $f''' \in L^1(\R)$ होने पर,

$\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq \frac{\beta + \gamma}{3\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{\norm{f'''}_{L^1}}{\sqrt n} + \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}}$

(प्रश्न 10 अदला-बदलियों $i \leq n - 1$ को सँभालता है — $\sum_{m=1}^{n-1}m^{-1/2} \leq 2\sqrt n$ का उपयोग कीजिए — और अंतिम को प्रश्न 3 का कच्चा परिबंध सँभालता है)। जाँचिए कि प्रश्न 7 के ढाल $\norm{\psi_\delta'''}_{L^1} = K_1\delta^{-2}$ संतुष्ट करते हैं जबकि $M_3 = K\delta^{-3}$ , उन्हें भीतर डालिए, और $\delta$ पर अनुकूलन कीजिए: एकसमान बंटन-फलन दर सुधरकर $O(n^{-1/6})$ हो जाती है।
(एक और आघूर्ण का मिलान) अतिरिक्त रूप से $\E X_1^3 = 0$ और $\beta_4 = \E X_1^4 < \infty$ मान लीजिए। $\E N_1^3$ और $\E N_1^4$ परिकलित कीजिए, चतुर्थ कोटि तक प्रसार कीजिए, और उन्हीं पंक्तियों पर सिद्ध कीजिए कि बंटन-फलन दर $O(n^{-1/4})$ हो जाती है (अब $\norm{\psi_\delta^{(4)}}_{L^1} = K_2\delta^{-3}$ और $M_4 = K'\delta^{-4}$ ; $\delta = n^{-1/4}$ चुनिए)।
(बाधा) मान लीजिए $X_1$ के पहले $k$ आघूर्ण गाउसीय आघूर्णों से मेल खाते हैं ( $k = 2$ सदैव; $k = 3$ ठीक तभी जब $\E X_1^3 = 0$ ; और $k \geq 4$ वस्तुतः कभी नहीं, क्योंकि $\E N_1^4 = 3$ )। सत्यापित कीजिए कि $\delta^{-k}n^{-(k-1)/2}$ को $\delta$ के विरुद्ध संतुलित करके प्रश्न 10–12 की योजना बंटन-फलन दर $n^{-(k-1)/(2k+2)}$ दे देती है, और ध्यान दीजिए कि यह घातांक बेरी–एसेन मान $\frac12$ तक केवल $k \to \infty$ पर ही पहुँचता है। कुछ वाक्यों में समझाइए कि अदला-बदली विधि क्यों संतृप्त हो जाती है: प्रत्येक अदला-बदली निरपेक्ष मान में लगाई जाती है, जबकि फूरिये मार्ग (एसेन की मृदुकरण असमिका) अभिलक्षणिक-फलन अंतर के दोलन का दोहन करता है और केवल तीन आघूर्णों से $C\beta n^{-1/2}$ तक पहुँच जाता है।

भाग V — दो विमाएँ: बहुविमीय केंद्रीय सीमा प्रमेय, अदला-बदली से। अब मान लीजिए $X_i$ सहप्रसरण आव्यूह $\Sigma$ और $\beta' = \E\norm{X_1}^3 < \infty$ (यूक्लिडीय मानक) वाले $\R^2$ के स्वतंत्र सम-बंटित केंद्रित यादृच्छिक सदिश हैं।

(गाउसीय सदिश, कोटि तक) $\Sigma = PDP^{\mathsf T}$ का विकर्णीकरण कीजिए (अभ्यास 20.8) और $C = P\sqrt DP^{\mathsf T}$ रखिए। स्वतंत्र मानक गाउसीय चरों के किसी युग्म $Z = (Z^1, Z^2)$ (प्रमेय 22.6) के लिए दर्शाइए कि $N = CZ$ माध्य $0$ , सहप्रसरण $\Sigma$ और $\gamma' = \E\norm N^3 < \infty$ वाला गाउसीय सदिश (परिभाषा 23.10) है; और यह कि स्वतंत्र सम-बंटित प्रतिकृतियों $N_i$ के लिए $G_n = \frac{N_1 + \dots + N_n}{\sqrt n}$ का बंटन नियम ठीक-ठीक $\mathcal N(0, \Sigma)$ है।
(दो चरों में टेलर) $M_3 = \max_{\abs\alpha = 3}\sup\abs{\partial^\alpha f} < \infty$ वाले $\mathcal C^3$ वर्ग के $f \colon \R^2 \to \R$ के लिए सिद्ध कीजिए

$\Bigl|f(w + h) - f(w) - \langle\nabla f(w), h\rangle - \tfrac12\langle h, D^2f(w)\,h\rangle \Bigr| \leq \frac{M_3}6\,\bigl(\abs{h_1} + \abs{h_2}\bigr)^3 \leq \frac{\sqrt2\,M_3}3\, \norm h^3$

( $\intcc01$ पर $t \mapsto f(w + th)$ का अध्ययन कीजिए)।
( $\R^2$ में केंद्रीय सीमा प्रमेय) सदिश संकरों $H_i$ पर प्रतिस्थापन योजना चलाइए: दर्शाइए कि प्रथम और द्वितीय कोटि के पद निरस्त हो जाते हैं (माध्य और सहप्रसरण मेल खाते हैं), दूरबीनी योग लीजिए, और प्रश्न 5 की भाँति उन्नत कीजिए ( $\E\norm{T_n}^2 = \operatorname{tr}\Sigma$ से सुसंहतता; और मृदुकरण अब $\R^2$ , प्रमेय 12.9 में) ताकि निष्कर्ष निकले: प्रत्येक परिबद्ध संतत $f \colon \R^2 \to \R$ के लिए

$\E\,f\Bigl(\frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt n}\Bigr) \longrightarrow \E\,f(N), \qquad N \sim \mathcal N(0, \Sigma) :$

अर्थात् विमा $2$ में प्रमेय 23.12, चिकने $f$ के लिए एक दर के साथ और बिना किसी फूरिये विश्लेषण के।
(क्रामेर–वोल्ड, और एक संयुक्त उतार-चढ़ाव) निकालिए कि प्रत्येक स्थिर $t \in \R^2$ के लिए $\langle t, \frac{S_n}{\sqrt n}\rangle \Rightarrow \mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ । अनुप्रयोग: स्वतंत्र सम-बंटित वास्तविक $(\xi_i)$ के लिए, जो केंद्रित हैं, $\E\xi_1^2 = 1$ , $\E\xi_1^6 < \infty$ (ताकि भाग V $V_i = (\xi_i, \xi_i^2 - 1)$ पर लागू हो), दर्शाइए

$\frac1{\sqrt n}\Bigl(\sum_{i\leq n}\xi_i,\ \sum_{i\leq n}(\xi_i^2 - 1)\Bigr) \Longrightarrow \mathcal N\Bigl(0, \begin{pmatrix} 1 & \E\xi_1^3\\ \E\xi_1^3 & \E\xi_1^4 - 1\end{pmatrix}\Bigr) :$

अर्थात् आनुभविक माध्य और आनुभविक द्वितीय आघूर्ण संयुक्त रूप से गाउसीय ढंग से उतार-चढ़ाव करते हैं — और सीमा में स्वतंत्र रूप से तभी और केवल तभी जब $\E\xi_1^3 = 0$ (प्रमेय 23.11)।

भाग VI — डेल्टा विधि।

मान लीजिए $(\hat\theta_n)$ ऐसे यादृच्छिक चर हैं कि किसी वास्तविक प्राचल $\theta$ के लिए $\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) \Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$ , और मान लीजिए $g$ $\theta$ पर अवकलनीय है। डेल्टा विधि सिद्ध कीजिए:

$\sqrt n\bigl(g(\hat\theta_n) - g(\theta)\bigr) \Longrightarrow \mathcal N\bigl(0, g'(\theta)^2\sigma^2\bigr)$

( $\theta$ पर $\eta \to 0$ के साथ $g(x) - g(\theta) = (g'(\theta) + \eta(x))(x - \theta)$ लिखिए; प्रायिकता में $\hat\theta_n \to \theta$ और फिर $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ दर्शाइए; और स्लुत्स्की, अभ्यास 23.8 तथा अभ्यास 23.4(ख) से समाप्त कीजिए)।
अनुप्रयोग। (क) माध्य $\mu$ और प्रसरण $\sigma^2$ वाले स्वतंत्र सम-बंटित वास्तविक $(\xi_i)$ और $\bar X_n = \frac1n\sum_{i\leq n}\xi_i$ के लिए: दर्शाइए कि $\mu \neq 0$ होने पर $\sqrt n(\bar X_n^2 - \mu^2) \Rightarrow \mathcal N(0, 4\mu^2\sigma^2)$ , और यह कि $\mu = 0$ के लिए सही कथन किसी अन्य मापक्रम पर रहता है: $N \sim \mathcal N(0,1)$ के साथ $n\bar X_n^2 \Rightarrow \sigma^2N^2$ (सीमा का बंटन फलन पहचानिए)। (ख) (प्रसरण स्थिरीकरण) किसी $\mathcal B(1, p)$ प्रतिदर्श की सफलता आवृत्ति $\hat p_n$ और $p \in \intoo01$ के लिए दर्शाइए कि $g(p) = \arcsin\sqrt p$ $p$ कुछ भी हो

$\sqrt n\,\bigl(g(\hat p_n) - g(p)\bigr) \Longrightarrow \mathcal N\Bigl(0, \frac14\Bigr)$

संतुष्ट करता है — अर्थात् अज्ञात प्राचल से मुक्त एक अनंतस्पर्शी त्रुटि-दंड; इसकी तुलना उदाहरण 23.9 से कीजिए।

भाग VII — प्वासों, उसी विधि से: ले काम की प्रमेय। प्रतिस्थापन एक दूसरा सार्वत्रिकता वर्ग भी जानता है: बहुत सारी स्वतंत्र विरल घटनाओं के योग। $\N$ पर बंटन नियमों के लिए उपयुक्त दूरी कुल विचरण है,

d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) = \sup_{A\subseteq\N}\, \abs{\mu(A) - \nu(A)} .

दर्शाइए कि $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) = \frac12\sum_{k\geq0}\abs{\mu(\{k\}) - \nu(\{k\})}$ , और युग्मन परिबंध सिद्ध कीजिए: एक ही समष्टि पर $\mu$ और $\nu$ बंटन नियमों वाले यादृच्छिक चरों के किसी भी युग्म $(X, Y)$ के लिए $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) \leq \P(X \neq Y)$ ।
$p \in \intoo01$ के लिए ठीक-ठीक परिकलित कीजिए:

$d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p), \mathcal P(p)\bigr) = p\bigl(1 - \eu^{-p}\bigr) \leq p^2 .$
(ले काम, अदला-बदली से) मान लीजिए $X_i \sim \mathcal B(1, p_i)$ और $Y_i \sim \mathcal P(p_i)$ , जिनमें $2n$ चर स्वतंत्र हैं; $S = X_1 + \dots + X_n$ , और स्मरण कीजिए कि $\lambda = \sum_ip_i$ (अभ्यास 23.1) के साथ $Y_1 + \dots + Y_n \sim \mathcal P(\lambda)$ । पूर्णांक संकरों $H_i = Y_1 + \dots + Y_i + X_{i+1} + \dots + X_n$ में एक बार में एक निर्देशांक बदलिए: प्रत्येक $A \subseteq \N$ के लिए दर्शाइए

$\abs{\P(H_{i-1} \in A) - \P(H_i \in A)} \leq d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p_i), \mathcal P(p_i)\bigr),$

और ले काम असमिका निष्कर्ष निकालिए:

$d_{\mathrm{TV}}\bigl(S \text{ का बंटन नियम},\ \mathcal P(\lambda)\bigr) \leq \sum_{i=1}^np_i^2 .$
लाभांश। (क) $p_i = \frac\lambda n$ के लिए: परिबंध $\frac{\lambda^2}n$ है — अर्थात् विरल घटनाओं का नियम (अभ्यास 23.5) एक स्पष्ट दर तक उन्नत, जो सभी घटनाओं पर एकसमान है और असमान $p_i$ के लिए भी मान्य। (ख) $500$ पत्र वितरित किए जाते हैं, और प्रत्येक स्वतंत्र रूप से प्रायिकता $\frac1{500}$ के साथ भटक जाता है: प्राचल $1$ वाले प्वासों प्रतिरूप की त्रुटि परिबद्ध कीजिए, और किसी भी पत्र के न भटकने की प्रायिकता का आकलन कीजिए। (ग) समस्या समाप्त कीजिए: यहाँ मिले दोनों सार्वत्रिकता वर्गों की तुलना कीजिए — गाउसीय (बहुत सारे छोटे बिखरे हुए योगदान; दो आघूर्णों का मिलान; टेलर) और प्वासों (बहुत सारे विरल योगदान; एक माध्य का मिलान; एक यथार्थ कुल-विचरण युग्मन) — और दोनों के पीछे खड़ी एक ही प्रतिस्थापन विधि की भी।
(सापेक्ष त्रुटि और लघुगणक रूपांतर) मान लीजिए $(X_n)$ स्वतंत्र सम-बंटित, धनात्मक, माध्य $\mu > 0$ , प्रसरण $\sigma^2$ वाले हैं, और $\bar X_n$ आनुभविक माध्य। डेल्टा विधि से दर्शाइए कि

$\sqrt n\,\bigl(\ln\bar X_n - \ln\mu\bigr) \Longrightarrow \mathcal N\Bigl(0,\ \frac{\sigma^2}{\mu^2}\Bigr) :$

अर्थात् $\ln\bar X_n$ का अनंतस्पर्शी प्राचल विचरण गुणांक $\sigma/\mu$ है — सापेक्ष, मापन-मुक्त त्रुटि। $\mu$ के लिए गुणक रूप $\bar X_n\cdot\eu^{\pm1.96\,\sigma/(\mu\sqrt n)}$ वाला $95\%$ विश्वास अंतराल निकालिए, और समझाइए कि वह योगात्मक अंतराल से कब बेहतर है।
(तृतीय आघूर्ण त्रुटि को दिशा देता है) केंद्रित बर्नूली( $p$ ) $X \sim$ के लिए $\E\bigl[(X - p)^3\bigr] = p(1-p)(1-2p)$ परिकलित कीजिए। भाग IV के विश्लेषण (अदला-बदली त्रुटि तृतीय आघूर्णों से चालित होती है) का उपयोग करते हुए समझाइए कि $p \neq \frac12$ के लिए $\mathcal B(n, p)$ का प्रसामान्य आसन्नन असममित क्यों होता है — एक ओर अधिक और दूसरी ओर कम — और $p = \frac12$ तीव्रतर मिलित-आघूर्ण दर का आनंद क्यों लेता है। $\mathcal N(2, 1.8)$ के विरुद्ध $\mathcal B(20, 0.1)$ पर विषमता का चिह्न संख्यात्मक रूप से सत्यापित कीजिए: $\P(S = 0) = 0.9^{20}$ की तुलना $\intoo{-\infty}{0.5}$ के गाउसीय द्रव्यमान से कीजिए।

हल

हल — समस्या 23.1.

1. कुल $(X_1, \dots, X_n, N_1, \dots, N_n)$ स्वतंत्र है: दोनों खंड रचना से एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं और प्रत्येक खंड स्वतंत्र सम-बंटित है। $W_i$ केवल चरों $(X_j)_{j<i}$ और $(N_j)_{j>i}$ का मापनीय फलन है, जो सब $X_i$ और $N_i$ से भिन्न हैं: अतः गुट सिद्धांत (प्रमेय 22.5) से $W_i$ युग्म $(X_i, N_i)$ से स्वतंत्र है। विभाजन $H_i = W_i + \frac{X_i}{\sqrt n}$ और $H_{i-1} = W_i + \frac{N_i}{\sqrt n}$ परिभाषाओं से तत्काल निकलते हैं: $H_i$ से $H_{i-1}$ तक जाने में केवल एक योज्य पद $X_i$ की जगह $N_i$ आ जाता है।

2. कोटि $3$ पर टेलर–लाग्रांज: $w$ और $w + h$ के बीच कोई ऐसा $c$ है जिसके साथ $f(w + h) = f(w) + f'(w)h + \frac12f''(w)h^2 + \frac16f'''(c)h^3$ , और $\abs{f'''(c)} \leq M_3$ वह परिबंध दे देता है।

3. उभयनिष्ठ आधार बिंदु $w = W_i$ पर दोनों प्रसारों को घटाने पर:

f(H_i) - f(H_{i-1}) = f'(W_i)\,\frac{X_i - N_i}{\sqrt n} + \frac{f''(W_i)}{2}\,\frac{X_i^2 - N_i^2}{n} + R_i, \qquad \abs{R_i} \leq \frac{M_3}{6}\cdot \frac{\abs{X_i}^3 + \abs{N_i}^3}{n^{3/2}} .

अब प्रत्याशा लीजिए। प्रश्न 1 से $f'(W_i)$ और $f''(W_i)$ $(X_i, N_i)$ से स्वतंत्र हैं, अतः मिश्रित प्रत्याशाएँ गुणनखंडित हो जाती हैं:

\begin{align*} \E\Bigl[f'(W_i)\,\frac{X_i - N_i}{\sqrt n}\Bigr] &= \E\bigl[f'(W_i)\bigr]\,\frac{\E X_i - \E N_i}{\sqrt n} = 0, \\ \E\Bigl[f''(W_i)\,\frac{X_i^2 - N_i^2}{n}\Bigr] &= \E\bigl[f''(W_i)\bigr]\,\frac{1 - 1}{n} = 0 : \end{align*}

$X_i$ और $N_i$ के पहले दो आघूर्ण मेल खाते हैं, और केवल शेषफल बचता है:

\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \E\abs{R_i} \leq \frac{M_3}{6}\cdot\frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}} .

गाउसीय तृतीय आघूर्ण: $\gamma = \E\abs{N_1}^3 = 2\int_0^\infty x^3\,\frac{\eu^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\dd x = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty 2u\,\eu^{-u}\dd u = \frac{4}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi}$ (प्रतिस्थापन $u = x^2/2$ , फिर $\Gamma(2) = 1$ )।

4. $\E f(T_n) - \E f(G_n) = \sum_{i=1}^n\bigl(\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr)$ का दूरबीनी योग लीजिए और $n$ में से प्रत्येक पद पर प्रश्न 3 लगाइए:

\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq n \cdot \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}} = \frac{M_3\,(\beta + \gamma)}{6\,\sqrt n} .

5. $G_n$ प्रत्येक $n$ के लिए ठीक-ठीक $\mathcal N(0,1)$ है (स्वतंत्र मानक गाउसीय चरों का मानकीकृत योग, अभ्यास 23.3), अतः $\E f(G_n) = \E f(N)$ और प्रश्न 4 का पाठ यह है कि $f \in \mathcal C^3_b$ के लिए $\abs{\E f(T_n) - \E f(N)} \leq \frac{M_3(\beta+\gamma)}{6\sqrt n} \to 0$ । उन्नयन। मान लीजिए $f$ परिबद्ध संतत है, $M = \sup\abs f$ , $\varepsilon > 0$ । $\frac1{A^2} \leq \varepsilon$ वाला कोई $A \geq 1$ चुनिए: $\V(T_n) = 1$ के साथ चेबिशेव सभी $n$ के लिए $\P(\abs{T_n} > A) \leq \varepsilon$ देती है, और वैसे ही $\P(\abs N > A) \leq \varepsilon$ । कोई ऐसा $\mathcal C^\infty$ फलन $\chi$ लीजिए जिसके लिए $\mathbf 1_{\intcc{-A}A} \leq \chi \leq \mathbf 1_{\intcc{-A-1}{A+1}}$ (एक चिकना पठार, जो $\mathbf 1_{\intcc{-A-\frac12}{A+\frac12}}$ के मृदुकरण से बनता है, प्रमेय 12.9); तब $g = f\chi$ संहत आलंब वाला संतत फलन है, अतः एकसमान रूप से संतत, इसलिए पर्याप्त छोटे $\eta$ के लिए उसका मृदुकरण $g_\eta = g * \rho_\eta$ $\mathcal C^\infty$ है, जिसके सभी कोटियों के अवकलज परिबद्ध हैं और $\norm{g - g_\eta}_\infty \leq \varepsilon$ । $T = T_n$ अथवा $N$ के लिए, चूँकि $\intcc{-A}A$ पर $f = g$ और सर्वत्र $\abs{f - g} \leq 2M$ :

\bigl|\E f(T) - \E g_\eta(T)\bigr| \leq \E\abs{(f - g)(T)} + \norm{g - g_\eta}_\infty \leq 2M\,\P(\abs T > A) + \varepsilon \leq (2M + 1)\,\varepsilon .

इसे $\E g_\eta(T_n) \to \E g_\eta(N)$ के साथ मिलाने पर (प्रश्न 4 लागू है: $g_\eta \in \mathcal C^3_b$ ):

\limsup_n\;\bigl|\E f(T_n) - \E f(N)\bigr| \leq 2(2M + 1)\,\varepsilon ,

और $\varepsilon$ मनमाना था: अतः प्रत्येक परिबद्ध संतत $f$ के लिए $\E f(T_n) \to \E f(N)$ , अर्थात् $T_n \Rightarrow \mathcal N(0,1)$ ।

6. सम बंटन केवल एक ही वाक्य से भीतर आया: “ $X_i$ और $N_i$ के पहले दो आघूर्ण एक ही हैं”। अतः मान लीजिए $X_1, \dots, X_n$ स्वतंत्र और केंद्रित हैं, जिनके प्रसरण $\sigma_i^2$ और तृतीय आघूर्ण परिमित हैं, $s_n^2 = \sum_i\sigma_i^2 > 0$ , और $N_i \sim \mathcal N(0, \sigma_i^2)$ सबसे स्वतंत्र लीजिए। संकरों को मानकीकरण $s_n$ के साथ परिभाषित कीजिए: $H_i = \frac1{s_n}(\sum_{j\leq i}X_j + \sum_{j>i}N_j)$ । $i$ -वीं अदला-बदली में $\E X_i = \E N_i = 0$ और $\E X_i^2 = \E N_i^2 = \sigma_i^2$ फिर से $f'$ और $f''$ वाले पद मार देते हैं, और शेषफल देता है (मापन से $\E\abs{N_i}^3 = \sigma_i^3\gamma$ का उपयोग करते हुए):

\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \frac{M_3}{6\,s_n^3}\bigl(\E\abs{X_i}^3 + \sigma_i^3\gamma\bigr) .

दूरबीनी योग लेने पर:

\Bigl|\E f\Bigl(\frac{X_1 + \dots + X_n}{s_n}\Bigr) - \E f(N)\Bigr| \leq \frac{M_3}{6\,s_n^3}\sum_{i=1}^n \Bigl(\E\abs{X_i}^3 + \V(X_i)^{3/2}\,\gamma\Bigr) .

चूँकि $\sigma_i^3 = (\E X_i^2)^{3/2} \leq \E\abs{X_i}^3$ (घात–माध्य असमिका, अर्थात् $X_i^2$ पर लगाई गई $t \mapsto t^{3/2}$ वाली जेनसन), इसलिए दायाँ पक्ष अधिक से अधिक $\frac{M_3(1 + \gamma)}{6}\cdot \frac{\sum_i\E\abs{X_i}^3}{s_n^3}$ है: अतः ल्यापुनोव की शर्त $\frac1{s_n^3}\sum_i\E\abs{X_i}^3 \to 0$ के अंतर्गत मानकीकृत योग बंटन नियम में $\mathcal N(0,1)$ की ओर अभिसरित होते हैं — अर्थात् सम बंटन के बिना केंद्रीय सीमा प्रमेय।

7. मान लीजिए $\rho \in \mathcal C^\infty_c(\intoo01)$ के लिए $\int\rho = 1$ , और $\psi(x) = \int_x^1\rho(s)\dd s$ रखिए: $\psi$ $\mathcal C^\infty$ और अवर्धमान है, $\R_-$ पर $\psi = 1$ और $\intco1\infty$ पर $\psi = 0$ ; और $K = \norm{\psi'''}_\infty$ लीजिए। $t \in \R$ तथा $\delta > 0$ के लिए $\psi_\delta(x) = \psi\bigl(\frac{x - t}\delta\bigr)$ और $\tilde\psi_\delta(x) = \psi\bigl(\frac{x - t}\delta + 1\bigr)$ परिभाषित कीजिए: ये $\mathcal C^3_b$ हैं जिनका तृतीय अवकलज $K/\delta^3$ से परिबद्ध है, और

\mathbf 1_{\intoc{-\infty}{t-\delta}} \leq \tilde\psi_\delta \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}t} \leq \psi_\delta \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}{t+\delta}} .

ऊपरी परिबंध: $\psi_\delta$ पर लगाए गए प्रश्न 4 से ( $M_3 = K/\delta^3$ के साथ),

\P(T_n \leq t) \leq \E\psi_\delta(T_n) \leq \E\psi_\delta(N) + \frac{K(\beta + \gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n} \leq \Phi(t + \delta) + \frac{K(\beta + \gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n} \leq \Phi(t) + \frac{\delta}{\sqrt{2\pi}} + \frac{K(\beta + \gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n},

क्योंकि $\Phi$ अचर $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ के साथ लिप्शिट्ज़ है (उसका घनत्व $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ से परिबद्ध है)। $\tilde\psi_\delta$ के माध्यम से सममित निचला परिबंध द्विपद आकलन दे देता है:

\sup_{t\in\R}\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \leq \frac{K(\beta + \gamma)}{6}\cdot\frac{1}{\delta^3\sqrt n} + \frac{\delta}{\sqrt{2\pi}} \qquad(\delta > 0\ \text{मनमाना}).

दोनों पद तब संतुलित होते हैं जब $\delta^{-3}n^{-1/2} \asymp \delta$ , अर्थात् $\delta = n^{-1/8}$ : तब दोनों $O(n^{-1/8})$ हैं, जो प्रत्येक $n$ के लिए मान्य एक स्पष्ट एकसमान दर है। (अनुकूलतम बेरी–एसेन दर $C\beta/\sqrt n$ के लिए फूरिये मृदुकरण असमिका चाहिए; अदला-बदली तीक्ष्णता का सौदा पूर्ण प्रारंभिकता से करती है।)

8. $X_i = 2B_i - 1$ (निष्पक्ष चिह्न) के लिए: वे केंद्रित हैं, प्रसरण $1$ , और $\abs{X_i} = 1$ अतः $\beta = 1$ । तब प्रश्न 7 $\sup_t\abs{\P(\frac{S_n}{\sqrt n} \leq t) - \Phi(t)}$ को प्रत्येक परिमित $n$ के लिए स्पष्ट और एकसमान रूप से परिबद्ध कर देता है — अर्थात् बंटन फलन के बारे में एक वैश्विक, अनंतस्पर्शी-इतर कथन। समस्या 11.1, प्रश्न 7 का स्थानीय आकलन इसके बजाय किसी एक परमाणु का यथार्थ अनंतस्पर्शी रूप देता है: $\P(S_{2n} = 2k) \sim \frac{\eu^{-k^2/n}}{\sqrt{\pi n}}$ : वह $n^{-1/2}$ आकार की प्रायिकताएँ सुलझा लेता है, जो प्रश्न 7 के $n^{-1/8}$ विभेदन से बहुत नीचे है, पर वह बिंदुशः तथा अनंतस्पर्शी है (स्थिर $n$ पर कोई स्पष्ट त्रुटि नहीं) और इसी विशेष जालक बंटन नियम से बँधा है। स्थानीय परिशुद्धता बनाम वैश्विक एकसमानता: दोनों विधियाँ पूरक हैं, और स्थानीय आकलन का $k \in \intint{a\sqrt n}{b\sqrt n}$ पर योग लेने से अंतरालों पर दे म्वाव्र–लाप्लास पुनः प्राप्त हो जाती है — तीक्ष्णतर दर के साथ, पर केवल इसी बंटन नियम के लिए।

9. अदला-बदली तर्क ने $X_i$ के बंटन नियम के बारे में $\E X_i = 0$ , $\E X_i^2 = 1$ और $\E\abs{X_i}^3$ की परिमितता से आगे कुछ भी उपयोग नहीं किया: यदि हमने गाउसीय चरों $N_i$ के स्थान पर उन्हीं पहले दो आघूर्णों और परिमित तृतीय आघूर्ण वाला कोई अन्य स्वतंत्र सम-बंटित कुल रखा होता, तो वही दूरबीनी योग प्रत्येक चिकने $f$ के लिए $\abs{\E f(\text{योग}_X) - \E f(\text{योग}_Y)}$ को $O(n^{-1/2})$ से परिबद्ध कर देता। अतः बड़े स्वतंत्र योगों की चिकनी सांख्यिकी सार्वत्रिक हैं: किसी मात्रात्मक त्रुटि तक वे योज्य पदों के बंटन नियम पर केवल दो संख्याओं के माध्यम से निर्भर हैं। यही निश्चरता सिद्धांत है: किसी सीमा प्रमेय को सबसे परिकलनीय बंटन नियम के लिए सिद्ध कीजिए (गाउसीय, जहाँ सब कुछ यथार्थ है), फिर अदला-बदली से उसे सभी बंटन नियमों तक ले जाइए। यही योजना — जिसमें योगों के स्थान पर अधिक जटिल फलनक आ जाते हैं — यादृच्छिक आव्यूहों के लिए विग्नर का अर्धवृत्त नियम, यादृच्छिक बहुपदों के मूलों की सार्वत्रिकता और आधुनिक प्रायिकता का बहुत कुछ चलाती है; और केंद्रीय सीमा प्रमेय उसका पहला तथा सरलतम उदाहरण है।

10. $Z$ केवल $(N_{i+1}, \dots, N_n)$ का बोरेल फलन है, जबकि $A = W_i + \theta h - Z$ और $h$ स्वतंत्र कुल $(X_1, \dots, X_n, N_1, \dots, N_n)$ के शेष चरों के फलन हैं: अतः गुट सिद्धांत (प्रमेय 22.5) से $Z$ $(A, h)$ से स्वतंत्र है। स्वतंत्र $N_j/\sqrt n \sim \mathcal N(0, \frac1n)$ के योग के रूप में $Z \sim \mathcal N(0, s^2)$ , जहाँ $s^2 = \frac{n-i}n$ (अभ्यास 23.3), और उसका घनत्व $\frac1{s\sqrt{2\pi}}$ से परिबद्ध है। $((A, h), Z)$ का बंटन नियम दोनों उपांत बंटन नियमों का गुणनफल है, अतः टोनेली (अंतरण) पहले खंड को जमा देता है: प्रत्येक $a$ के लिए $G(a) = \E\abs{g(a + Z)} = \int\abs{g(a + z)}\,\varphi_s(z)\,\dd z \leq \frac{\norm g_{L^1}}{s\sqrt{2\pi}}$ के साथ,

\E\bigl[\abs h^3\abs{g(A + Z)}\bigr] = \E\bigl[\abs h^3\,G(A)\bigr] \leq \frac{\norm g_{L^1}}{s\sqrt{2\pi}}\,\E\abs h^3 = \sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm g_{L^1}\,\E\abs h^3 .

11. टेलर सूत्र का समाकल रूप $f(w + h) - f(w) = h\int_0^1f'(w + \theta h)\,\dd\theta$ का $\theta$ में दो बार खंडशः समाकलन करने से निकलता है। $i$ -वीं अदला-बदली में प्रत्याशा लेने पर कोटि $0, 1, 2$ ठीक वैसे ही निरस्त हो जाती हैं जैसे प्रश्न 3 में, और दोनों शेषफल ( $h = X_i/\sqrt n$ तथा $N_i/\sqrt n$ के लिए) $i \leq n - 1$ पर $g = f'''$ वाले प्रश्न 10 से परिबद्ध हो जाते हैं:

\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \int_0^1\frac{(1-\theta)^2}2\,\dd\theta\; \sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm{f'''}_{L^1} \frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}} = \frac{\beta + \gamma}{6\,n^{3/2}} \sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm{f'''}_{L^1} .

$\sum_{i=1}^{n-1}\sqrt{\frac n{n-i}} = \sqrt n\sum_{m=1}^{n-1}m^{-1/2} \leq 2n$ के साथ योग लेकर, और अंतिम अदला-बदली ( $i = n$ , कोई गाउसीय शेष नहीं) के लिए प्रश्न 3 का परिबंध जोड़कर:

\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq \frac{\beta + \gamma}{3\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{\norm{f'''}_{L^1}}{\sqrt n} + \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}} .

ढाल: $\psi_\delta'''(x) = \delta^{-3}\psi'''\bigl(\frac{x - t}\delta\bigr)$ , अतः $K = \norm{\psi'''}_\infty$ के साथ $M_3 = K\delta^{-3}$ और $\norm{\psi_\delta'''}_{L^1} = \delta^{-2} \norm{\psi'''}_{L^1} = K_1\delta^{-2}$ (प्रतिस्थापन)। तब प्रश्न 7 का सैंडविच देता है

\sup_t\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \leq \frac{K_1(\beta + \gamma)}{3\sqrt{2\pi}}\cdot \frac1{\delta^2\sqrt n} + \frac{K(\beta + \gamma)}{6}\cdot \frac1{\delta^3n^{3/2}} + \frac\delta{\sqrt{2\pi}} .

$\delta = n^{-1/6}$ पर पहला और तीसरा पद $O(n^{-1/6})$ हैं और बीच वाला $O(n^{-1})$ : अर्थात् एकसमान दर $O(n^{-1/6})$ , जो प्रश्न 7 के $n^{-1/8}$ से कड़ाई से बेहतर है — संकर के गाउसीय आधे भाग ने अतिरिक्त मृदुकरण कर दिया।

12. $\E N_1^3 = 0$ (विषम समाकल्य), और खंडशः समाकलन से $\E N_1^4 = 3\,\E N_1^2 = 3$ ( $\int x^3\cdot x\varphi(x)\dd x = 3\int x^2\varphi$ )। परिबद्ध अवकलजों वाले $\mathcal C^4$ वर्ग के $f$ के लिए प्रत्येक अदला-बदली का चतुर्थ कोटि तक प्रसार कीजिए: तृतीय कोटि के पद गुणनखंड $\E X_i^3 - \E N_i^3 = 0$ धारण करते हैं (स्वातंत्र्य उन्हें प्रश्न 3 की भाँति गुणनखंडित कर देता है), अतः केवल चतुर्थ कोटि का शेषफल $\int_0^1\frac{(1-\theta)^3}6f^{(4)}(w + \theta h)h^4\dd\theta$ बचता है, जिसमें $\int_0^1 \frac{(1-\theta)^3}6\dd\theta = \frac1{24}$ और $\E h^4 = \beta_4n^{-2}$ अथवा $3n^{-2}$ । प्रश्न 10 ( $g = f^{(4)}$ के साथ) अदला-बदलियों $i \leq n - 1$ को परिबद्ध करता है, और प्रश्न 11 की भाँति योग लेने पर:

\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq \frac{\beta_4 + 3}{12\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{\norm{f^{(4)}}_{L^1}}{n} + \frac{M_4(\beta_4 + 3)}{24\,n^2} .

$\norm{\psi_\delta^{(4)}}_{L^1} = K_2\delta^{-3}$ और $M_4 = K'\delta^{-4}$ के साथ बंटन-फलन परिबंध $C\delta^{-3}n^{-1} + C'\delta^{-4}n^{-2} + \frac\delta{\sqrt{2\pi}}$ हो जाता है; और $\delta = n^{-1/4}$ पर बाहरी पद $O(n^{-1/4})$ तथा बीच वाला $O(n^{-1})$ : अर्थात् दर $O(n^{-1/4})$ ।

13. $k$ मिलित आघूर्णों के साथ प्रति अदला-बदली बचा हुआ शेषफल $\E\abs h^{k+1} \asymp n^{-(k+1)/2}$ कोटि का होता है; छिपे-गाउसीय परिबंध की क़ीमत $\norm{f^{(k+1)}}_{L^1}$ है और अदला-बदलियों पर योग गुणक $2n$ जोड़ देता है, जिससे चिकने $f$ के लिए $\asymp\norm{f^{(k+1)}}_{L^1}\, n^{-(k-1)/2}$ मिलता है। ढालों की क़ीमत $\norm{\psi_\delta^{(k+1)}}_{L^1} \asymp \delta^{-k}$ है, अतः बंटन-फलन त्रुटि $\asymp \delta^{-k}n^{-(k-1)/2} + \delta$ है, जो $\delta = n^{-(k-1)/(2k+2)}$ पर संतुलित होती है: अर्थात् दर $n^{-(k-1)/(2k+2)}$ , जो $k = 2$ के लिए $n^{-1/6}$ और $k = 3$ के लिए $n^{-1/4}$ है, और $n^{-1/2}$ तक केवल $k \to \infty$ पर पहुँचती है — पर $k \geq 4$ $\E X_1^4 = 3$ और उससे आगे अनिवार्य कर देता, अर्थात् ऐसा बंटन नियम जो पहले ही गाउसीय की नक़ल कर रहा हो। यह संतृप्ति संरचनात्मक है: अदला-बदली $n$ अदला-बदली-त्रुटियों को निरपेक्ष मान में जोड़ती है, और अदला-बदलियों के बीच के हर निरसन का त्याग कर देती है। फूरिये उपपत्ति अभिलक्षणिक फलनों की तुलना करती है, जहाँ त्रुटियाँ अपने दोलनशील कलाओं के साथ प्रकट होती हैं; एसेन की मृदुकरण असमिका $\frac{\dd\xi}{\abs\xi}$ के विरुद्ध समाकलित $\abs{\varphi_{T_n} - \varphi_N}$ को केवल लघुगणकीय क़ीमत पर बंटन-फलन परिबंध में बदल देती है, और तीन आघूर्णों से बेरी–एसेन का $C\beta n^{-1/2}$ दे देती है। प्रतिस्थापन अनुकूलता का सौदा प्रबलता से करता है — और, जैसा भाग VII दिखाता है, वहनीयता से भी।

14. $\Sigma$ सममित धनात्मक अर्ध-निश्चित है; और $\Sigma = PDP^{\mathsf T}$ ( $P$ लांबिक, $D \geq 0$ विकर्ण, अभ्यास 20.8) के साथ सममित $C = P\sqrt DP^{\mathsf T}$ $C^2 = \Sigma$ संतुष्ट करता है। किसी भी $t \in \R^2$ के लिए $\langle t, CZ\rangle = \langle Ct, Z\rangle = (Ct)_1Z^1 + (Ct)_2Z^2$ स्वतंत्र गाउसीय चरों का रैखिक संचय है, अतः गाउसीय (अभ्यास 23.3): इसलिए $N = CZ$ गाउसीय सदिश है; उसका माध्य $0$ है और सहप्रसरण $\E[NN^{\mathsf T}] = C\,\E[ZZ^{\mathsf T}]\,C^{\mathsf T} = CC^{\mathsf T} = \Sigma$ । आघूर्ण: $\norm N^3 \leq (\abs{N_1} + \abs{N_2})^3 \leq 4(\abs{N_1}^3 + \abs{N_2}^3)$ ( $\R_+$ पर $x^3$ की उत्तलता), और प्रत्येक निर्देशांक वास्तविक गाउसीय है जिसके सभी कोटियों के आघूर्ण हैं (अभ्यास 11.10): अतः $\gamma' < \infty$ । अंत में प्रत्येक $\langle t, G_n\rangle = \frac1{\sqrt n}\sum_i\langle t, N_i\rangle$ स्वतंत्र सम-बंटित $\mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ चरों का मानकीकृत योग है, अतः ठीक-ठीक $\mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ : इसलिए $G_n$ माध्य $0$ और सहप्रसरण $\Sigma$ वाला गाउसीय सदिश है, और उसका बंटन नियम $\mathcal N(0, \Sigma)$ (परिभाषा 23.10: बंटन नियम इन्हीं आँकड़ों से निर्धारित होता है)।

15. मान लीजिए $\phi(t) = f(w + th)$ , $t \in \intcc01$ : तब $\phi$ $\mathcal C^3$ है, जिसमें

\phi'''(t) = \sum_{j,k,l\in\{1,2\}}\partial_{jkl}f(w + th)\,h_jh_kh_l, \qquad \abs{\phi'''(t)} \leq M_3\Bigl(\sum_j\abs{h_j}\Bigr)^3 = M_3(\abs{h_1} + \abs{h_2})^3 .

$0$ और $1$ के बीच $\phi$ के लिए कोटि $3$ पर टेलर–लाग्रांज पहली असमिका दे देता है; और कोशी–श्वार्ज़ से $\abs{h_1} + \abs{h_2} \leq \sqrt2\norm h$ , जिससे अचर $\frac{2\sqrt2M_3}6 = \frac{\sqrt2M_3}3$ निकलता है।

16. $H_i$ और $W_i$ को प्रश्न 1 की भाँति परिभाषित कीजिए, अब $\R^2$ में; गुट तर्क अपरिवर्तित है। $i$ -वीं अदला-बदली में प्रथम कोटि के पद $\sum_j\E[\partial_jf(W_i)]\,(\E X_{i,j} - \E N_{i,j})/ \sqrt n = 0$ देते हैं और द्वितीय कोटि के पद $\frac1{2n}\sum_{j,k}\E[\partial_{jk}f(W_i)]\,(\Sigma_{jk} - \Sigma_{jk}) = 0$ : माध्य और सहप्रसरण मेल खाते हैं। प्रश्न 15 दोनों शेषफलों को परिबद्ध कर देता है:

\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \frac{\sqrt2M_3}3\cdot\frac{\E\norm{X_i}^3 + \E\norm{N_i}^3}{n^{3/2}} = \frac{\sqrt2M_3(\beta' + \gamma')}{3\,n^{3/2}},

और $n$ अदला-बदलियों पर दूरबीनी योग लेने पर:

\Bigl|\E f\Bigl(\frac{S_n}{\sqrt n}\Bigr) - \E f(G_n)\Bigr| \leq \frac{\sqrt2\,M_3(\beta' + \gamma')}{3\sqrt n}, \qquad G_n \sim \mathcal N(0, \Sigma)\ \text{ठीक-ठीक} .

उन्नयन: $\E\norm{T_n}^2 = \E\norm{X_1}^2 = \operatorname{tr}\Sigma$ (स्वातंत्र्य और केंद्रण से मिश्रित पद लुप्त हो जाते हैं), अतः $\P(\norm{T_n} > A) \leq \operatorname{tr}\Sigma/A^2$ , और वैसे ही $N$ के लिए: अर्थात् सुसंहतता। कोई परिबद्ध संतत $f$ और $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो त्रिज्या $A$ के गोले पर $1$ के बराबर और त्रिज्या $A + 1$ में आलंबित किसी चिकने पठार $\chi$ से गुणा कीजिए ( $\R^2$ में किसी सूचक का मृदुकरण, प्रमेय 12.9); तब $g = f\chi$ संहत आलंब वाला एकसमान रूप से संतत फलन है, अतः उसका द्वि-विमीय मृदुकरण $g_\eta$ $\mathcal C^\infty$ है, जिसके सभी कोटियों के अवकलज परिबद्ध हैं और छोटे $\eta$ के लिए $\norm{g - g_\eta}_\infty \leq \varepsilon$ । तब प्रश्न 5 की तीन- $\varepsilon$ शृंखला शब्दशः स्थानांतरित हो जाती है: प्रत्येक परिबद्ध संतत $f \colon \R^2 \to \R$ के लिए $\E f(T_n) \to \E f(N)$ । यह $d = 2$ के लिए प्रमेय 23.12 है, जो अब सिद्ध हो गई — अदला-बदली उस द्वि-विमीय लेवी प्रमेय को किनारे कर देती है जिसे अध्याय ने अस्वीकृत छोड़ दिया था।

17. परिबद्ध संतत $g \colon \R \to \R$ के लिए प्रतिचित्रण $x \mapsto g(\langle t, x\rangle)$ $\R^2$ पर परिबद्ध संतत है, अतः प्रश्न 16 से $\E g(\langle t, T_n\rangle) \to \E g(\langle t, N\rangle)$ : अर्थात् प्रत्येक प्रक्षेप बंटन नियम में अभिसरित होता है, और $\langle t, N\rangle \sim \mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ । (यह क्रामेर–वोल्ड की सरल दिशा है: संयुक्त अभिसरण से सभी रैखिक प्रतिबिंबों का अभिसरण निकलता है।) अनुप्रयोग: $V_i = (\xi_i, \xi_i^2 - 1)$ स्वतंत्र सम-बंटित केंद्रित सदिश हैं ( $\E\xi_1^2 = 1$ ), जिनकी सहप्रसरण प्रविष्टियाँ $\V(\xi_1) = 1$ , $\operatorname{Cov}(\xi_1, \xi_1^2 - 1) = \E\xi_1^3$ और $\V(\xi_1^2 - 1) = \E\xi_1^4 - 1$ हैं; और तृतीय आघूर्ण $\E\norm{V_1}^3 \leq 4\bigl(\E\abs{\xi_1}^3 + \E\abs{\xi_1^2 - 1}^3\bigr)$ तब परिमित है जब $\xi_1 \in L^6$ । प्रश्न 16 कथित संयुक्त गाउसीय सीमा दे देता है, और प्रमेय 23.11(2): सीमा के दोनों निर्देशांक ठीक तब स्वतंत्र हैं जब सहप्रसरण $\E\xi_1^3$ लुप्त हो — अर्थात् सममित बंटन नियमों के लिए आनुभविक माध्य और आनुभविक प्रसरण अनंतस्पर्शी रूप से विसंयोजित हो जाते हैं।

18. $g(x) - g(\theta) = (g'(\theta) + \eta(x))(x - \theta)$ लिखिए, जहाँ $x \neq \theta$ के लिए $\eta(x) = \frac{g(x) - g(\theta)}{x - \theta} - g'(\theta)$ और $\eta(\theta) = 0$ : $\theta$ पर अवकलनीयता का अर्थ ठीक यही है कि $x \to \theta$ पर $\eta(x) \to 0$ । चरण 1: प्रायिकता में $\hat\theta_n \to \theta$ : $\varepsilon > 0$ और किसी भी $A > 0$ के लिए अंततः $\varepsilon\sqrt n \geq A$ , अतः $\P(\abs{\hat\theta_n - \theta} > \varepsilon) \leq \P(\abs{\sqrt n(\hat\theta_n - \theta)} > A) \to \P(\sigma\abs N > A)$ (बंटन फलन सांतत्य बिंदुओं $\pm A$ पर अभिसरित होते हैं), और $A \to \infty$ पर दायाँ पक्ष $0$ की ओर जाता है। चरण 2: प्रायिकता में $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ : $\varepsilon' > 0$ दिया हो, तो ऐसा $\delta$ चुनिए जिसके साथ $\abs{x - \theta} \leq \delta$ पर $\abs\eta \leq \varepsilon'$ ; तब $\P(\abs{\eta(\hat\theta_n)} > \varepsilon') \leq \P(\abs{\hat\theta_n - \theta} > \delta) \to 0$ । चरण 3:

\sqrt n\bigl(g(\hat\theta_n) - g(\theta)\bigr) = g'(\theta)\,\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) + \eta(\hat\theta_n)\cdot\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) .

स्लुत्स्की के गुणनफल नियम (अभ्यास 23.8, जिसमें अनुक्रम $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ प्रायिकता में और बंटन-अभिसारी $\sqrt n(\hat\theta_n - \theta)$ ) से दूसरा पद बंटन नियम में $0\cdot\mathcal N(0, \sigma^2) = 0$ की ओर अभिसरित होता है, अतः प्रायिकता में $0$ की ओर (अभ्यास 23.4(ख)); और पहला बंटन नियम में $g'(\theta)\mathcal N(0, \sigma^2)$ की ओर (फिर स्लुत्स्की, अथवा अभिलक्षणिक फलनों का आफ़ीन नियम); और स्लुत्स्की का योग नियम उन्हें जोड़ देता है: सीमा $\mathcal N(0, g'(\theta)^2\sigma^2)$ है।

19. (क) केंद्रीय सीमा प्रमेय $\sqrt n(\bar X_n - \mu) \Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$ देती है; और $g(x) = x^2$ , $g'(\mu) = 2\mu$ वाली डेल्टा विधि $\sqrt n(\bar X_n^2 - \mu^2) \Rightarrow \mathcal N(0, 4\mu^2\sigma^2)$ — जो $\mu = 0$ पर अपभ्रष्ट (सीमा $0$ ) हो जाती है। उस स्थिति में उतार-चढ़ाव एक मापक्रम ऊपर रहता है: $n\bar X_n^2 = (\sqrt n\,\bar X_n)^2$ , और $t > 0$ के लिए

\P\bigl(n\bar X_n^2 \leq t\bigr) = \P\bigl(-\sqrt t \leq \sqrt n\,\bar X_n \leq \sqrt t\bigr) \longrightarrow \Phi\Bigl(\frac{\sqrt t}\sigma\Bigr) - \Phi\Bigl(-\frac{\sqrt t}\sigma\Bigr) = \P(\sigma^2N^2 \leq t) :

अर्थात् $n\bar X_n^2 \Rightarrow \sigma^2N^2$ , किसी गाउसीय का वर्ग (“काई-वर्ग” बंटन नियम) — जब पहला अवकलज मर जाता है, तब टेलर का द्वितीय कोटि पद कोई अगाउसीय सीमा तय कर देता है। (ख) यहाँ $\sqrt n(\hat p_n - p) \Rightarrow \mathcal N(0, p(1 - p))$ और $g(p) = \arcsin\sqrt p$ का $g'(p) = \frac1{2\sqrt{p(1 - p)}}$ , अतः $g'(p)^2\,p(1 - p) = \frac14$ : इसलिए प्रत्येक $p \in \intoo01$ के लिए सीमा $\mathcal N(0, \frac14)$ है। $\arcsin$ मापक्रम पर अनंतस्पर्शी $95\%$ त्रुटि-दंड $\pm \frac{0.98}{\sqrt n}$ है, जो पहले से ज्ञात है — जबकि उदाहरण 23.9 में चौड़ाई में अज्ञात $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$ आता था, जिसे या तो $\frac12$ से निकृष्टतम स्थिति में बाँधना पड़ता था या आकलित करना पड़ता था: अर्थात् यह रूपांतर प्रसरण को स्थिर कर देता है।

20. मान लीजिए $A^* = \{k : \mu(\{k\}) > \nu(\{k\})\}$ और $\Delta_k = \mu(\{k\}) - \nu(\{k\})$ , अतः $\sum_k\Delta_k = 0$ । किसी भी $A \subseteq \N$ के लिए: $\mu(A) - \nu(A) = \sum_{k\in A}\Delta_k \leq \sum_{k\in A^*}\Delta_k$ , जिसमें $A = A^*$ पर समता है; और चूँकि $(\Delta_k)$ के धनात्मक तथा ऋणात्मक भागों का कुल द्रव्यमान बराबर है, इसलिए $\sum_{A^*}\Delta_k = \frac12\sum_k\abs{\Delta_k}$ । $\mu, \nu$ की अदला-बदली चिह्न सँभाल लेती है: अतः $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) = \frac12\sum_k\abs{\Delta_k}$ । युग्मन: किसी भी $A$ के लिए

\mu(A) - \nu(A) = \E\bigl[\mathbf 1_A(X) - \mathbf 1_A(Y)\bigr] = \E\bigl[(\mathbf 1_A(X) - \mathbf 1_A(Y))\,\mathbf 1_{X\neq Y}\bigr] \leq \P(X \neq Y),

और $A$ पर उच्चतम लीजिए।

21. दोनों बंटन नियम इस प्रकार द्रव्यमान देते हैं: $k = 0$ : $1 - p$ बनाम $\eu^{-p}$ , जहाँ $\eu^{-p} > 1 - p$ ; $k = 1$ : $p$ बनाम $p\,\eu^{-p} < p$ ; $k \geq 2$ : $0$ बनाम प्वासों शेष $1 - \eu^{-p} - p\eu^{-p} \geq 0$ । अतः

d_{\mathrm{TV}} = \tfrac12\bigl[(\eu^{-p} - 1 + p) + (p - p\eu^{-p}) + (1 - \eu^{-p} - p\eu^{-p})\bigr] = \tfrac12\bigl(2p - 2p\eu^{-p}\bigr) = p(1 - \eu^{-p}),

और $1 - \eu^{-p} \leq p$ से परिबंध $p^2$ मिलता है।

22. $W_i = \sum_{j<i}Y_j + \sum_{j>i}X_j$ के साथ $H_{i-1} = W_i + X_i$ और $H_i = W_i + Y_i$ लिखिए, जहाँ $W_i$ युग्म $(X_i, Y_i)$ से स्वतंत्र है (गुट)। $A \subseteq \N$ के लिए स्वातंत्र्य से गणनीय संख्या के मानों पर प्रतिबंधन करने पर,

\P(H_{i-1} \in A) = \sum_{k\geq0}\P(X_i = k)\,\P(W_i + k \in A),

और वैसे ही $H_i$ के लिए $Y_i$ के साथ। घटाने पर, $c_k = \P(W_i + k \in A) \in \intcc01$ और शून्य योग वाले $\Delta_k = \P(X_i = k) - \P(Y_i = k)$ के साथ:

\abs{\P(H_{i-1} \in A) - \P(H_i \in A)} = \Bigl|\sum_k\Delta_k\bigl(c_k - \tfrac12\bigr)\Bigr| \leq \tfrac12\sum_k\abs{\Delta_k} = d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p_i), \mathcal P(p_i)\bigr) .

$H_0 = S$ से $H_n = \sum_iY_i \sim \mathcal P(\lambda)$ तक दूरबीनी योग लेकर (अभ्यास 23.1, दोहराया गया) और प्रश्न 21 का उपयोग करके:

\abs{\P(S \in A) - \P(\mathcal P(\lambda) \in A)} \leq \sum_{i=1}^np_i\bigl(1 - \eu^{-p_i}\bigr) \leq \sum_{i=1}^np_i^2 \qquad\text{प्रत्येक } A \text{ के लिए} :

अर्थात् ले काम असमिका। (प्रश्न 20 का युग्मन परिबंध एक वैकल्पिक मार्ग देता है: प्रत्येक युग्म को एक ही एकसमान चर पर युग्मित कीजिए ताकि $\P(X_i \neq Y_i) \leq p_i^2$ हो और $\P(S \neq \sum Y_i)$ परिबद्ध कीजिए; अदला-बदली को कोई रचना चाहिए ही नहीं।)

23. (क) $p_i = \frac\lambda n$ के साथ: $d_{\mathrm{TV}}(S \text{ का बंटन नियम}, \mathcal P(\lambda)) \leq \frac{\lambda^2}n$ । यह अभ्यास 23.5 को तीन प्रकार से तीक्ष्ण कर देता है: प्रत्येक परिमित $n$ पर स्पष्ट त्रुटि, एक ही बार में सभी घटनाओं $A$ पर एकसमानता (एक-एक अंतराल पर नहीं), और समान $p_i$ की कोई आवश्यकता नहीं — केवल $\sum_ip_i^2$ का छोटा होना, उदाहरणार्थ $\sum p_i^2 \leq \lambda\max_ip_i$ : अर्थात् बहुत सी विरल घटनाएँ, कोई भी प्रभावी नहीं। (ख) यहाँ $n = 500$ , $p_i = \frac1{500}$ , $\lambda = 1$ : प्वासों प्रतिरूप की त्रुटि प्रत्येक घटना पर अधिक से अधिक $500\cdot\frac1{500^2} = 0.002$ है; विशेष रूप से $A = \{0\}$ लेने पर,

\P(\text{कोई पत्र नहीं भटका}) = \Bigl(1 - \frac1{500}\Bigr)^{500}, \qquad \Bigl|\P(\text{कोई पत्र नहीं भटका}) - \eu^{-1}\Bigr| \leq 0.002,

अतः उत्तर प्रत्याभूत $0.002$ तक $\eu^{-1} \approx 0.368$ है (वास्तविक विसंगति लगभग $4\cdot10^{-4}$ है)। (ग) समस्या दो व्यवस्थाओं वाली एक ही विधि पर समाप्त होती है। जब $n$ तुलनीय योगदान प्रत्येक प्रसरण $\frac1n$ धारण करते हैं, तब गाउसीय के विरुद्ध दो आघूर्णों का मिलान प्रत्येक अदला-बदली की त्रुटि को $o(\frac1n)$ बना देता है: तब योग गाउसीय हो जाते हैं — और स्थानीय तुलना का साधन टेलर है। और जब $n$ योगदान प्रायिकता $p_i$ वाले सूचक होते हैं, तब किसी प्वासों परमाणु के विरुद्ध माध्य का मिलान प्रत्येक अदला-बदली की क़ीमत $p_i^2$ बना देता है: तब विरल घटनाओं की गणनाएँ प्वासों हो जाती हैं — और स्थानीय तुलना का यथार्थ साधन कुल विचरण है। वही संकर, वही दूरबीन, भिन्न स्थानीय आकलन: प्रतिस्थापन कोई प्रमेय नहीं, एक रणनीति है, और गाउसीय तथा प्वासों सीमाएँ उसके दो सबसे पुराने लाभांश हैं।

24. केंद्रीय सीमा प्रमेय $\sqrt n(\bar X_n - \mu) \Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$ देती है, और $g(x) = \ln x$ $\mu > 0$ पर अवकलनीय है जिसका $g'(\mu) = \frac1\mu$ : अतः डेल्टा विधि (भाग VI) $\sqrt n(\ln\bar X_n - \ln\mu) \Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2/\mu^2)$ दे देती है। अंतराल $\abs{\ln\bar X_n - \ln\mu} \leq \frac{1.96\,\sigma}{\mu\sqrt n}$ को चरघातांक लेकर खोलने पर:

\mu \in \bar X_n\cdot \eu^{\pm1.96\,\sigma/(\mu\sqrt n)} \qquad\text{अनंतस्पर्शी प्रायिकता } 95\% \text{ के साथ}

(व्यवहार में $\sigma/\mu$ के स्थान पर उसका आनुभविक रूप रखा जाता है, अभ्यास 23.8 की भाँति स्लुत्स्की से)। गुणक अंतराल तब स्वाभाविक है जब आँकड़े धनात्मक हों और त्रुटियाँ उनके आकार के समानुपाती — आय, सांद्रता, अर्ध-आयु: अर्थात् वे राशियाँ जो लघुगणकीय मापक्रम पर बसती हैं, जहाँ सममित योगात्मक अंतराल शून्य को पार तक कर सकते हैं।

25. $\E[(X - p)^3] = (1-p)^3p + (-p)^3(1 - p) = p(1-p)\bigl[(1-p)^2 - p^2\bigr] = p(1-p)(1 - 2p)$ । अदला-बदली विश्लेषण (भाग IV) में, दो आघूर्णों के मिलान के बाद बची प्रमुख त्रुटि चिह्न सहित तृतीय आघूर्ण धारण करती है: $p < \frac12$ के लिए वह धनात्मक है (बंटन नियम दाईं ओर झुकता है: माध्य से ऊपर विरल बड़े उत्क्रमण), और प्रसामान्य आसन्नन द्रव्यमान को व्यवस्थित रूप से ग़लत जगह रखता है — छोटी बाईं पुच्छ को कम और दाईं को अधिक आँकते हुए — जिसकी त्रुटि $n^{-1/2}$ कोटि की है; और $p = \frac12$ पर तृतीय आघूर्ण लुप्त हो जाता है, बर्नूली गाउसीय से तृतीय कोटि तक मेल खा जाती है, और दर सुधर जाती है (भाग IV का मिलित-आघूर्ण प्रश्न)। संख्यात्मक रूप से: $\P(S = 0) = 0.9^{20} = 0.1216$ , जबकि गाउसीय $\mathcal N(2, 1.8)$ $\Phi\bigl(\frac{0.5 - 2}{\sqrt{1.8}}\bigr) = \Phi(-1.118) \approx 0.132$ देती है: अर्थात् प्रसामान्य वक्र, जो $0$ पर की दीवार से और दाईं ओर की विषमता से अनभिज्ञ है, नीचे बहुत अधिक द्रव्यमान रख देता है — ठीक वही त्रुटि-चिह्न जिसकी भविष्यवाणी की गई थी, और वह $n = 20$ पर ही दिख जाता है।

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